S Matematica II 2012 2

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(1)UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 21. → CQ=3a y BQ=2a EAP ∼. Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP ⋅ CQ en m. A) 3/5 B) 5/6 D) 5/3 . C) 6/5 E) 5/2. AP=2b y QC=3a 2 5 3 5a = 3 → a = 5 4 9 → AP = y QC = 5 5 6 ∴ AP ⋅ CQ = 5 5b = 2 → b =. Recuerde B N. a. c. m. . α. b. C. ABC ∼. Según el gráfico,. n. M. α. Respuesta. L. 6 5. MNL. a b c = = m n . Alternativa. Análisis y procedimiento Piden. AP ⋅ CQ .. En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm. Calcule la longitud de la circunferencia (en cm). D. D. M. F. 2. B α 2. C. PREGUNTA N.o 22 G. E. BP=3b y AP=2b. Además. Tema: Semejanza de triángulos. →. AP 2 = BP 3. Luego. Resolución. A. CBP. 2b. 3b P θ. A. θ 2a. Q. C R. 3. A. 3a α. O. B. C. Según el gráfico: ABQ ∼ BQ 2 = CQ 3. FCQ. A) 12 7 p D). B) 12 5 p. 24 3 p 3. C) 12 3 p E). 24 5 p 5. 16.

(2) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 23. Resolución. Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.. Recuerde que por relaciones métricas en el. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B 1 (P exterior a AB). Si mPAB= mC y AP=12 u, 2 determine el valor de BC (en u).. a. 1. b. h. h. 2. =. 1 a. 2. =. 1 b2. A) B) C) D) E). Análisis y procedimiento Piden C. D. Resolución M. Tema: Aplicaciones de la congruencia. C. 12 8 A. 3 4 5 6 8. r. Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.. 6 r. O r. B. B. C. m M A. Se sabe C =2pr AO=OB y AD // OC → AD=2(OC)=12 Por relaciones métricas en el 1 82. =. 1 12 2. → r=. C =. +. m. C. m. Análisis y procedimiento Piden x. Dato: AP=12. DAB. 1 ( 2r ) 2. P. 12 5 5. 24 5 p 5. 12. B α. Respuesta. 6. α α. 24 5 p 5. 2α. A. Alternativa. E. x 2α C Q. M 6. 12. 6. 17.

(3) UNI MATEMÁTICA. Análisis y procedimiento. Se prolongan AC y PB hasta Q.. En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles. → AP=AQ=12 En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ. → AM=MQ=BM=6. El. Piden la longitud del radio x. De la figura, por los datos se tiene que FO=x – c OG=x OM=a – x ON=b – x B M. MBC es isósceles, por lo tanto, x=6 x. Respuesta 6. Alternativa. D. C. F. b– x. c. b. x–c O. G x. a N. PREGUNTA N.o 24 Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la circunferencia mayor. A). ab a−b+c. D). ab a+b−c. b a+b−c. B). C). ab a+b+c. E). a a+b+c. A Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM (x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2 x=. ab a+b−c. Respuesta ab a+b−c. Alternativa. Resolución. D. Tema: Relaciones métricas en la circunferencia Teorema de cuerdas. PREGUNTA N.o 25 y. a x. b. ab=xy. En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y mDAB=70º, calcule la mCDB. A) 8º B) 10º D) 15º . C) 12º E) 17º. 18.

(4) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 26. Resolución. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?. Tema: Aplicaciónes de la congruencia Observación A. Si AQ=QB. a α Q O θ. →. ak. α=θ. a. θ. a. α α. B. Análisis y procedimiento B 70º. A) 1 B) 2 D) 4 . L 30º. C. C) 3 E) 5. Resolución. N. Tema: Teorema de correspondencia 2a. A. 70º. M a. a. 60º a x x+40º 40º D. Recuerde Teorema de correspondencia y. x ω. Piden mCDB=x. Como L mediatriz de AD, entonces AM=MD=a BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a. BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a. Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º BND se cumple que x+x+40º=60º ∴ x=10º. β. si b<w → x<y. Análisis y procedimiento Piden el menor valor entero de k. Dato: a es una constante B. agudo. E. ak a. Respuesta 10º. Alternativa. B. A. α α. θ. D a C. 19.

(5) UNI MATEMÁTICA. Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a En el BED, por teorema de correspondencia, como agudo < recto, entonces a<ak 1<k. Resolución. Tema: Área de regiones planas Recordemos que a.. Área de la región triangular equilátera. Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.. . Respuesta. . A =. 2 3 4. . 2. Alternativa. B. b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal. d. PREGUNTA N.o 27 Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo área CEF equilátero, entonces el valor de es área ABCD igual a: D. d2 2. Análisis y procedimiento Del gráfico nos piden. C D. 15º. C. 30º 30º 45º a. B. área CEF . área ABCD . E F. A =. a. E. A. a. 15º. a 3 . M A). 2 −1. B). 3 −1. C) 2 3 − 3 D) E). 1 2 1 3. . a 45º A. a 45º F. B. . Como AC es mediatriz de EF, sea EM=MF=a → MC=a 3 y en el. EAF: AM=a.. Luego, AC=a+a 3 =a ( 3 + 1). 20.

(6) UNI MATEMÁTICA. Ahora calculamos las áreas solicitadas. área CEF=(2a) área ABCD=. En un tetraedro regular se cumple que. 3 =a 2 3 4. h=. ( AC)2 (a( 3 + 1)) = 2 2. 2. a 6 3. Análisis y procedimiento. a2 = (4 + 2 3 ) = a 2 (2 + 3 ) 2. →. 2. D. área CEF a2 3 3 = 2 = =2 3−3 área ABCD a (2 + 3 ) (2 + 3 ). a. Respuesta. θ. 2 3−3. A. Alternativa. B. a 3 3. C. H. C Del tetraedro regular de arista lateral a. PREGUNTA N.o 28 Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.. la altura DH =. En el. A) arc tan( 2). AHD AH =. B) arc sen( 2). a 6 . 3. C) arc cos( 3 ). a 3 3. a 6 tan θ = 3 a 3 3. D) arc cos( 2) E) arc cot( 3 ). Resolución. tan θ = 2. Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos D. \. a. B. h. θ = arc tan 2. Respuesta arc tan 2. A C. Alternativa. A. 21.

(7) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 29. Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías respecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados. A) 16 13 B) 15 13 D) 13 13 . C) 14 13 E) 12 13. En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4. Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8.. Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es 8 × 2 13 = 16 13. Respuesta. Resolución. 16 13. Tema: Geometría analítica Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.. Alternativa. A. Análisis y procedimiento Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados. Z 13 (– 3; 2; 4)P 4. –3. N. P '(3; – 2; 4). 13. 4 3 2. 4. –4 –3 –2 1 –1. 0 13 1 (– 3; 2; 0) 2 – 1 3 –2 4 –3 4 –4 S Y 13 – 5 P '' (– 3; 2; – 4). Q 3. M. 4. X. J. Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ''=( – 3; 2; – 4) En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0). PN = NP ' = 13. A) 3( 3 + 1)a 3 B) 3( 3 − 1)a 3 C) 2( 3 + 1)a 3. Sea P ' el simétrico de P respecto de Z , entonces P '=(3; – 2; 4). Luego,. Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEFA'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luego por las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.. 13. . → OM = 2 2 + 3 2 = 13. PREGUNTA N.o 30. D) 2( 3 − 1)a 3 E). 4 ( 3 − 1)a 3 3. Resolución Tema: Prisma h . B. V: volumen V=B h. 22.

(8) UNI MATEMÁTICA. Análisis y procedimiento. PREGUNTA N.o 31. Piden V. V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’. El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.. C. 2a. B. 2a. A). 2π 3. Q. D). 8π 3. 2a E. A. C'. F B'. D'. 2a. A'. D''. P. 30º 2a. F'. 2a R 60º h. 2a. 60º E '. B). 2a. Piden A base. M. Dato: vcilindro =40π. N. oblicuo. 30º. V=2a2h . base. 2 (I) sección recta. 4a 3 h 3 = 2a 4 a 3 + 4a 3. •. h = a ( 3 − 1). 30º. 2. g. 10. 5. H. (. ). Sabemos que vcilindro = A sección ⋅ g oblicuo. . (A. . π(2)2g=40π. Reemplazando en (I). sección recta. recta. )g=40π. → g=10. V = 2 ( 3 − 1) a 3. •. Respuesta 2(. 10 π 3. E''. RMN ∼ AA’N h MN = 2a A ' N. \. E). Resolución. Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah. →. 6π 3. Análisis y procedimiento 4a 3 3. →. C). Tema: Cilindro. B. 2a 3. 4π 3. D. Pero. . 3 − 1) a 3. Alternativa. D. A sección = ( A base ) cos 30º recta.  3 4 π = ( A base )   2  8π ∴ A base = 3. 23.

(9) UNI MATEMÁTICA. Respuesta. Recuerde que. Volumen del anillo esférico. 8π 3. Alternativa. D. V anillo = esférico. . πa 2h 6. a: longitud de la cuerda AB. PREGUNTA N.o 32. h: longitud de la proyección de AB. Determine, en la siguiente figura, el volumen generado al rotar la región sombreada alrededor del eje X.. Análisis y procedimiento. Y R. 2π. Y R. O. A. 2π. R. X. O. R. 2. R. B. X. A) πR3 B). πR 3 3. C). πR 3 4. Piden VRS (volumen del sólido generado).. D). πR 3 6. Se observa. E). πR 3 9. VRS= V anillo. esférico. Por teorema. Resolución. V RS =. π (R 2 ) R 6. V RS =. πR 3 3. 2. Tema: Anillo esférico B ∴ a. h. Respuesta A. πR 3 3. Alternativa. B. 24.

(10) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 33. Piden el volumen máximo. La figura representa un recipiente regular, en donde a y  son dados en cm y el ángulo θ es variable. Determine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.. V=b h=. Para que el volumen sea máximo, senq=1. \. a. θ. 2a 2 . B). 3 2 a  2. C). 2 2 a 2. 1 2 a  2. Alternativa. En la siguiente ecuación trigonométrica 7 x 1 cos 4   − cos ( 2 x ) =  2 8 8 El número de soluciones en [0; 2π] es:. 3 2 2 a  2. A) B) C) D) E). Resolución Tema: Sólidos - Prisma Recuerde. 1 2 3 4 5. Resolución Tema: Ecuaciones trigonométricas. h. B. . Vprisma=B h. . B θ. . cos2θ=2cos2θ –1. •. 2cos2θ=1+cos2θ. •. cosθ=1 → θ=2np; n ∈ Z. Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación. a. a. •. Análisis y procedimiento. Análisis y procedimiento. a. D. PREGUNTA N.o 34. 1 D) a 2  2 E). a2  2. Respuesta.  A). v=. θ. a. a2  ⋅ sen θ 2. 7 x 1 cos 4   − cos 2 x =  2 8 8 θ. a. 2. x  2  2 cos 2  − cos 2 x = 7  2. 25.

(11) UNI MATEMÁTICA. 2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7 2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7 cosx=1 → x=0; 2π. Y. π 2. y=|arc tanx|. Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación es 2.. X. Respuesta 2. Alternativa. B. Análisis y procedimiento f(x)=|arc senx|+|arc tanx| f1(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1. PREGUNTA N.o 35. f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R. Sea f una función definida por f(x)=|arc senx|+|arc tanx|. → x ∈ [– 1; 1]. Determine el rango de f.. Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la.  π A) 0;   2. función y=|arc senx|+|arc tanx|.  π B) 0;  2. Y.  3π  C) 0;  4 . 3π 4 y=f(x).  3π D) 0; 4  E) [0; π⟩ –1. Resolución. 0. 1. X. Tema: Funciones inversas  3π  ∴ Ran f ∈ 0;  4 . Y π 2. Respuesta y=|arc senx|. –1. 1. X.  3π  0; 4 . Alternativa. C. 26.

(12) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 36. Cuál de los gráficos mostrados representa a la función. Graficando y= – cos2x. y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo.. Y. y = cos2x. 1. A). –π. – π/2. – π/2. π/2. 0. π/2. –1. y = – cos2x. Respuesta. B) – π/2. π/2. – π/2 C). π X. – π/2. π/2. π/2. Alternativa. C. PREGUNTA N.o 37 D) – π – π/2. π/2 π. De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si L = 4 unidades, calcule LCD  + 3 LEF . AB. E) – π/2. π/2. E. Resolución. A. O F. Tema: Funciones trigonométricas directas. D B. Análisis y procedimiento Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p).. C. A) 2 2. y=cos(2x – p). B) 3 2. y=cos( – (p – 2x)). C) 4 2. y=cos(p – 2x). D) 5 2 . y= – cos2x. E) 6 2. 27.

(13) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 38. Resolución. En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es. Tema: Área de un sector circular. Y. A. β O. θrad S. L. B. A) – 2 B) – 1 D) 1/2 . S: área del sector circular AOB S=. Tema: Ángulos en posición normal Si AO=OA’. Análisis y procedimiento. Y. Piden x + 3y.. A(– m; n) C. E. •. 2. A O. θrad S y 2S F. •. x 3S D. 4. X. A' (– n; – m). Análisis y procedimiento B. Del gráfico. 2. y (4) ∧ 6S = 2θ 2θ  y 2  16 →6  = → 3y = 2 2  2θ  2θ. S=. C) – 1/2 E) 1. Resolución. L2 2θ. O. X. φ. Y P(– a; b) β. x2 (4)2 ∧ 6S = 2θ 2θ  x 2  16 → 6  = →x=2 2  6θ  2θ. φ. 3S =. X. P '(– b; – a) Por definición  −a   b  tan φ ⋅ tan β =      −b   − a  ∴ tanf · tanb= – 1. ∴ x + 3y = 4 2. Respuesta. Respuesta. 4 2. –1. Alternativa. C. Alternativa. B. 28.

(14) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 39. PREGUNTA N.o 40. 1  5π   3π  Si tan   = , cot   = y − 4, calcule x+y.  4  3x + 5  2 . Al determinar la forma compleja de la ecuación. A) – 4/5. B) – 3/4. D) 5/3 . (x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos. C) – 3/5. A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0. E) 8/3. B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0. Resolución. C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0. Tema: Reducción al primer cuadrante. D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0. sen(p+q)= – senq cos(p+q)= – cosq tan(p+q)=tanq. E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0. Resolución. Análisis y procedimiento De. Tema: Números complejos. 1  5π  tan   =  4  3x + 5 π 1  tan  π +  =  4  3x + 5 1 π tan   =  4  3x + 5 1 1= 3x + 5. •. ∀ z ∈ C: |z|2=z · z. •. Ecuación de la circunferencia (x – x0)2+(y – y0)2=r2 o. |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i. Análisis y procedimiento Tenemos que. 3x+5=1. (x – 1)2+(y – 1)2=12. 4 → x=− 3 De  3π  cot   = y − 4  2  0=y – 4. → |z – (1+i)|2=12; z=x+yi →. (z – (1+i))(z – (1+i))=1. →. (z – (1+i))(z – (1+i))=1. →. (z – (1+i))(z – (1 – i))=1. → y=4. → z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1. Nos preguntan 4 x+y=− +4 3 8 ∴ x+y= 3. → z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1. Respuesta. Respuesta. 8 3. zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0. → z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1/ – ( – 1)=1/ ∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0. Alternativa. E. Alternativa. A. 29.

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