Tema 0: Fundamentos de Mecánica
0.1. Cálculo vectorial 0.2. Cálculo diferencial
0.1. Cálculo vectorial
• Un vector es un segmento orientado en el espacio.
• Características:
a) Módulo: Longitud del vector
b) Dirección: Recta que contiene al vector c) Sentido: Orientación del vector
d) Punto de aplicación: Punto donde nace el vector
• Vector unitario: Es un vector de módulo unidad, y es útil cuando sólo importa la dirección y el sentido de un vector.
• Coordenadas de un vector:
Utilizamos un sistema de ejes cartesiano para descomponer en coordenadas un vector
Analíticamente podemos escribir:
v
)
,
,
(
ˆ
ˆ
ˆ
z y x z
y
x
i
v
j
v
k
v
v
v
v
Cálculo del módulo:
Z
X
Y
vz
vx
vy
v
k
j i
2 2
2
z y
x
v
v
v
• Operaciones con vectores:
a) Suma: b) Producto escalar:
c) Producto vectorial:
La dirección de es perpendicular a y El sentido se averigua con la regla del tornillo
u
v
k v u v
u j
v u v
u i
v u v
u i
w
sen v
u w
w v
u
x y y
x z
x x
z y
z z
y· · )ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ
(
v v
v
u u u
kˆ jˆ ˆ
· ·
z y x
z y x
w
u
v
w
El producto vectorial no es conmutativo:
u v v
0.2. Cálculo diferencial
• Derivación:
Derivar una función con respecto a una magnitud es obtener otra función que te indique cómo cambia la función original con respecto a dicha magnitud.
Ejemplo: Si la función es la posición de un objeto en todo
instante, r(t), su derivada con respecto al tiempo nos indicaría
lo rápido que cambia de posición con el paso del tiempo, es decir, nos daría idea de la velocidad que tiene en todo
momento, v(t). Se expresa así:
dt
r
d
t
v
¿Cómo se aplica la derivación?
En general la utilizaremos para funciones polinómicas del tipo f (x) axn
• Integración:
Integrar es la operación inversa a la derivación, es decir, hallar la función original a partir de la derivada con respecto a una magnitud.
Ejemplo: Si la función derivada es la velocidad instantánea, su integral es el espacio recorrido en función del tiempo. Se expresa así:
t
¿Cómo se aplica la integración?
La regla de integración para funciones polinómicas del tipo es: Ejemplos: n x a x
f ( ) ·
0.3. Cinemática de traslación
• Movimiento rectilíneo uniforme (MRU):
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA):
• Caída libre:
• Movimiento circular uniforme (MCU):
0.4. Dinámica de traslación
• Ley de inercia:
• Ley fundamental de la Dinámica:
• Principio de acción y reacción:
• Teorema de las fuerzas vivas:
• Teorema de la energía potencial:
• Principio de conservación de la energía:
a
m
F
·
cte
v
a
F
0
0
21 12
F
F
cte)
mecánica
(Energía
0
0
Si
W
E
E
cte
W
E
Fr
Fr
F
d
r
E
cW
·
F·dr Ep si F escentral
0.5. Cinemática y dinámica de rotación
• Momento angular: El momento angular o cinético de una masa puntual con respecto a un punto O es:
Se mide en kg·m2·s-1
Es una magnitud determinante en el movimiento de rotación. Su valor depende del sistema de referencia. En general se suele elegir como origen del sistema de referencia el punto del eje que intercepta al plano de la rotación.
L
v p
r
v r m v
m r
p r
• Momento de inercia: Es una magnitud física que mide la resistencia o inercia que ofrece un cuerpo a rotar. En el caso de una partícula viene dado por:
El momento angular se relaciona con el momento de inercia:
2
·
r
m
I
angular
velocidad
·
·
)
·
·(
)
·(
v
r
Si
2
r
mr
I
mr
mv
r
L
• Momento de una fuerza: Cuando se ejerce una fuerza sobre un sólido rígido que puede girar alrededor de un eje, actúa un momento que viene dado por la expresión:
La rotación se produce porque en el eje actúa una fuerza de reacción a F.
M F
r
-F
eje
F aplica se
donde punto
del posición de
Vector
F fuerza la
de Momento
r M
• Teorema del momento angular:
La variación de L con el tiempo es el momento de la fuerza que actúa sobre el cuerpo.
• Conservación del momento angular:
Si M = 0 entonces L = cte durante la rotación. Es decir:
Esto se aplica al caso de la patinadora que para acelerar el giro (mayor velocidad angular) encoge los brazos (menor momento de inercia), y por el contrario se abre de brazos (mayor momento de inercia) para frenar el giro (menor velocidad angular). Así el momento angular se mantiene constante durante la maniobra
M F
r p v
dt p d r p dt
r d dt
p r d dt
L d
( )
2 2 1
1 2
1 L I ·
