CAPÍTULO 4 Movimientos generales en le p

CAPÍTULO 4.

MOVIMIENTOS GENERALES EN EL PLANO

INTRODUCCIÓN

Uno de los conceptos de mayor profundidad y riqueza, en geometría, es el de movimiento. Para abordarlo precisamos ahondar en los conceptos de relación, función y vector, ya que muchos de los conceptos geométricos se describen por medio de “relaciones” o funciones, y un vector es un objeto matemático que da cuenta de una dirección, un sentido u orientación y una longitud. Aplazaremos, pues, nuestra construcción geométrica hasta la sección 4.2.

4.1 RELACIONES Y FUNCIONES 2 Consideremos los siguientes enunciados:

1.x es amigo de y 2.x es el peso de y 3.x es paralela a y 4.x precede a y 5.x es la mitad de y.

Los elementos x, y, que satisfacen los enunciados anteriores, pertenecen a conjuntos respectivos A y B iguales o diferentes. Así, por ejemplo, en el enunciado 1, el conjunto A podría ser el de las personas de apellido Álvarez y el conjunto B las de apellido Torres. Entonces, el enunciado uno establecería “la relación amistad Álvarez & Torres”, por decirlo así, entre los miembros de los Álvarez y los de los Torres. Si esta “relación amistad” la simbolizamos por a la expresión ( ) (léase fi de x igual a y) le damos el significado de x es amigo de y, donde x es un Álvarez y y es un Torres.

2_{Permanecemos fiel a una presentación didáctica, sin afectar la esencia de los conceptos. El lector}

Describa conjuntos A y B para los elementos x, y de cada uno de los enunciados anteriores del 2 al 5.

Más precisamente, una relación3 es una correspondencia entre algunos o todos los elementos de un conjunto A y algunos o todos los elementos de un conjunto B. Si es el nombre de la relación entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B, se dice que es una relación de A en B. En la relación , si a un elemento x de A le corresponde un elemento y de B, se dice que x está relacionado con y mediante , y se escribe (x) = y (léase fi de x igual a y).4 En ( ) se dice que y es la imagen de x. Por tanto, fijados los conjuntos A y B, los cinco enunciados anteriores del 1 al 5 definen, cada uno, una relación.5

Si es una relación de A en B, entonces la relación relaciona algunos o todos los elementos x de A con elementos y de B; la relación de B en A que relaciona a estos y con aquellos x se denomina la inversa de , denotada por , si satisface (y) = x si, y sólo si, (x) = y. Esto es, si relaciona a x con y, _{relaciona a y con x y viceversa.} Ejemplo 1. Si relaciona cada número entero con su doble; esto es, si (x) = 2x o, equivalentemente, y =2x, entonces relaciona a x con 2x y, por tanto, _{relaciona a} 2x con x; o sea, relaciona cada número par con su mitad: (y) = y/2, para y par. ¿Cuál es la fórmula para la relación inversa de la relación definida de en por (x) = x – 8?

Una relación de A en B se denomina función, si A y B son diferentes de vacío y cada elemento de A tiene sólo una imagen en B. Para decir que es una función de A en B, escribimos : A  B es una función. El conjunto A se llama dominio y B es el codominio de la función. Dos funciones y son iguales si tienen el mismo dominio y cada elemento de éste tiene la misma imagen con y es decir, ( ) = ( ) para todo x del dominio.

Las siguientes relaciones son funciones: la que establece la métrica en una recta, ver axioma A14; la que da la distancia entre dos puntos, ver axioma A15; la que da la medida de un ángulo en grados, ver axioma A17; y la relación definida por (x) = x – 8. Sus

3

Se define aquí lo que se llama relación binaria; hay, además, relaciones ternarias como la de “estar entre” de puntos de una recta; cuaternarias como la de proporcionalidad entre números reales, etc.

4

Si x está relacionado con y mediante no necesariamente y está relacionado con x mediante , basta con examinar los cinco enunciados que dan inicio a esta sección.

5

dominios y codominios respectivos son: los puntos de la recta y los números reales, en el primer caso; las parejas de puntos espaciales y los números reales no negativos, en el segundo caso; la colección de todos los ángulos del plano y los números reales del intervalo [0, 180], en el tercer caso; en el último caso.6

Ejemplo 2. Sea ℓ una recta y la relación definida en ℓ por el enunciado X precede a Y, entonces es una relación de ℓ en ℓ que no es función. En efecto, cada punto X de ℓ precede a varios puntos; es decir, X tiene varias imágenes. Por tanto, no es función. Ejemplo 3. Consideremos dos rectas diferentes ℓ y m y otra recta r que corta a ℓ y m, de modo que las tres no se corten en el mismo punto, y sea la relación de ℓ en m definida por (A) = B sólo si A es un punto de ℓ y B es un punto de m y la recta AB es paralela a r (haga una figura ilustrativa). Entonces, es una función, ya que el quinto postulado de Euclides asegura que por cada punto A de ℓ, exterior a r, sólo pasa una paralela a r, la cual corta a m sólo en un punto. O sea, cada punto de ℓ tiene sólo una imagen en m. Luego, es una función.

Si : A  B y : B  C son funciones, entonces relaciona acada elemento x de A con un solo elemento y de B, relaciona a cada uno de estos y de B con un solo elemento z de C, estableciéndose la asignación única x a z; la función de A en C que conserva esta asignación se llama la compuesta de y 7_{, denotada por}

o . 8 Según lo anterior, o : A  C es una función y ( o )(x) = z, pero z = (y), y = (x); así, sustituyendo, ( o )(x) = ( (x)). De ahí que o produce el mismo efecto que y juntas, actuando primero y luego .

Ejemplo 4. Sean ℓ una recta horizontal, la función que relaciona cada punto de ℓ con el punto que está a la distancia de 2cm a su derecha y la función que relaciona cada punto de ℓ con el punto que está a la distancia de 5cm a su izquierda. Entonces o es la función que relaciona cada punto de ℓ con el punto que está a la distancia de 3cm a su izquierda. Esto puede tratarse, también, de la siguiente manera: si x es la coordenada de un punto de ℓ, se satisfacen ’(x) = x + 2 y ’(x) = x – 5,9 según las definiciones de y . Luego, ( ’





6_{De lo anterior se concluye que una función es un tipo especial de relación.}

7 _{El orden y alude a que primero actúa , después ; así (x) = y, (y) = z o, sustituyendo,} ( (x)) = z, con x en A,z en C. Obsérvese que la definición de función compuesta no toma los y que no son imágenes de los x de A, aunque cada elemento de B tiene su imagen en C.

8_{La compuesta de dos funciones es también una función.}

de 3cm a su izquierda. En la definición de ’



, ver ejemplo 1.

Una función : A  B es biyectiva si: 1) Elementos de A, diferentes, tienen imágenes diferentes en B. 2) Cada elemento de B es imagen de alguno de A. 10

Ejemplo 5. La función , del ejemplo 3, es una función biyectiva. Pues: 1) Si A y B son puntos de ℓ diferentes, probemos por reducción al absurdo que sus imágenes A’ = (A), B’ = (B) son diferentes. Sea A’ = B’. Entonces, por definición de , las rectas AA’ y BB’ son paralelas a r. Lo cual nos lleva a que por el punto A’ o B’ pasan dos paralelas a r, contradiciendo el quinto postulado de Euclides. Por tanto, las imágenes A’ y B’ son diferentes. 2) Sea P un punto de m, y probemos que es imagen de algún punto de ℓ. Por el quinto postulado de Euclides por P pasa sólo una paralela a r que corta ℓ en un punto Q. Luego, P es imagen de este punto Q. De 1) y 2), se deduce que es biyectiva.

Resolver ejercicio 4.1.

Reanudamos, en la sección que sigue, nuestra construcción geométrica. 4.2 MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Un movimiento en un plano  es una función :   biyectiva que conserva distancia, colinealidad y orden entre puntos del plano.

La definición de movimiento nos asegura que si A es un punto de α, entonces el movimiento relaciona a A con otro punto A’ del mismo α. Conservar distancia significa que si A y B son puntos del plano α y (A) = A’, (B) = B’, entonces d (A, B) = d (A’, B’). Es decir, la distancia entre los puntos iniciales es igual a la distancia entre sus imágenes. Conservar colinealidad significa que si A, B y C son puntos colineales y A’, B’ y C’ son sus respectivas imágenes al aplicarles , entonces A’, B’ y C’ también son colineales. Conservar orden significa que si A y B son puntos de una recta contenida en α y A precede a B, entonces A’ precede a B’. De la colinealidad también se desprende que el movimiento relaciona una recta ℓ de α con otra recta ℓ’ de α o también (ℓ) = ℓ’ y, en consecuencia, la imagen de un segmento es otro segmento, la de una semirrecta es otra semirrecta y la de un semiplano es otro semiplano.

El movimiento más simple en un plano α es el que relaciona cada punto A de α consigo mismo. Este movimiento se llama movimiento idéntico, que denotamos por i. Así, i(A) = A, para todo punto A de α. La compuesta de un movimiento con su inverso -1 es

igual a i. 11 O sea, al aplicar a un punto A un movimiento y luego a su imagen A’ el movimiento inverso, se produce de nuevo el punto inicial A. En efecto, sea (A) = A’. Por definición de inversa - 1 _{(A’) = A. Por tanto, (} -1

o )(A)= -1 ( (A))= -1 (A’) = A. De

ahí que -1o = i, pues relaciona a A con A, para todo punto A . También, o -1= i. Ver Fig.4.1.

Fig.4.1

Los movimientos básicos de un plano son: la simetría central o simetría respecto a un punto, la simetría axial o reflexión, la traslación y la rotación o giro. Cualquier otro movimiento del plano puede expresarse como la compuesta de algunos de los

movimientos básicos12. En el próximo capítulo, definiremos estos movimientos y haremos

su estudio por separado. A continuación daremos los axiomas que rigen a los movimientos generales:

A20. La compuesta de dos movimientos, en el mismo plano, es un movimiento. Es decir: si , σ son movimientos del mismo plano, entonces σ o , o σ son movimientos. 13

A21. El inverso de un movimiento es otro movimiento. Es decir, si es un movimiento, entonces -1

es un movimiento.

A22. Si r y r’ son dos semirrectas contenidas en el mismo plano y r es frontera del semiplano S y r’ es frontera del semiplano S’, existe sólo un movimiento que envía14

a r en r’ y a S en S’.

11_{La inversa de una relación no necesariamente es una función, pero la inversa de una función}

biyectiva es una función biyectiva.

12_{La demostración de esta proposición se hace aplicando los axiomas A20, A21 y A22, pero se aparta}

de los objetivos de este libro.

13_{La composición de funciones no es conmutativa, vale decir, en general,} σ

o o σ.

A B

C _{A’ B’}

C’

( ) ( ) _{( )( ) , etc.} Fig.4.1(a)

4.3 CONGRUENCIA EN EL PLANO

Dos figuras  y ’ de un plano son congruentes, denotado   ’, si existe un movimiento del plano que envía a  en ’.

Así, por ejemplo, en la figura 4.1, se tiene que ABC  A’B’C’ (léase triángulo ABC congruente con triángulo A’B’C’), pues (ABC) = A’B’C’. En el mundo físico esto significa que desplazando una figura sobre la otra podemos hacerlas coincidir15, pues se conservan distancia, orden y colinealidad entre puntos del plano mediante un movimiento. Sin embargo, en el mundo del pensamiento se interpreta como la coexistencia de dos triángulos y una correspondencia biyectiva o biunívoca entre sus puntos que conserva distancia, orden y colinealidad, nada más.

De la definición de congruencia puede demostrarse: AB  CD sólo si d(A, B) = d(C, D); dos ángulos son congruentes si, y sólo si, sus medidas son iguales; dos

14

La semejanza de los movimientos geométrico y físico, permite intercambiar los verbos relacionar por enviar; no obstante, estos dos tipos de movimientos son distintos.

15

Esto supone el axioma de rigidez, de la física clásica, según el cual los cuerpos en movimiento no se deforman.

A

B

C

D

A’

B’

C’ D’

A’’

B’’

C’’ D’’

circunferencias son congruentes si, y sólo si, tienen el mismo radio. ¿Qué diferencia existe entre igualdad y congruencia de figuras?

TEOREMA 4.1

Si 1, 2 y 3 son figuras de un plano , entonces: 1) Cada figura es congruente consigo misma. 2) Si 1  2, entonces 2  1. 3) Si 1  2 y 2  3, entonces 1  3.16

Demostración

1. 1  1, pues para el movimiento idéntico i, se tiene i (1) = 1.

2. Si 1  2, existe un movimiento :   tal que (1) = 2. Por definición de función inversa -1(2) = 1. Además, -1 es un movimiento por A21, lo cual implica que 2  1.

3. Si 1  2 y 2  3, existen dos movimientos , σ:   tales que (1) = 2 y σ(2) = 3. Pero, (σ o ) (1) = 3, como puede verificarse. Por el axioma A20, σ o es un movimiento. Luego, 1  3.

Dados dos triángulos T1 y T2, contenidos en un mismo plano, si T1 T2, existe un movimiento del plano tal que (T1) = T2. ¿Por qué? Sea T1= ABC y T2 =A’B’C’, donde (A) = A’, (B) = B’, (C) = C’. De las propiedades del movimiento se tendrán, si ABC  A’B’C’:

AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ A  A’, B  B’, C  C’.

Fig. 4.2

16_{Una relación de A en A que satisface para cada x, y, z de A: 1) x está relacionada con x. 2) Si x} está relacionada con y, entonces y está relacionada con x. 3) Si x está relacionada con y y y está relacionada con z, entonces x está relacionada con z, se llama relación de equivalencia en A. Así, la relación de congruencia entre figuras es una relación de equivalencia en la colección de todas ellas. La relación de paralelismo es también una relación de equivalencia, pero en la colección de las rectas del plano.

En la figura 4.2, hemos marcado de igual manera los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ que son congruentes entre sí. Esta forma de señalar los elementos congruentes, entre figuras, será usada en lo sucesivo. Una primera consecuencia que obtenemos es que dos triángulos congruentes tienen sus lados, respectivamente, congruentes. La recíproca de

esta proposición es, también, verdadera. Pero su demostración requiere de elementos que

trataremos en el capítulo 5. Una segunda consecuencia, es que dos triángulos congruentes tienen sus ángulos, respectivamente, congruentes. Sin embargo, la recíproca no es verdadera.

TEOREMA 4.2 En un mismo plano,

1) En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a ángulos centrales congruentes les corresponden arcos congruentes, y viceversa.

2) En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a ángulos centrales congruentes corresponden cuerdas congruentes y viceversa.

Demostración Probemos 1. Sean C y C’ dos circunferencias congruentes de centros O y O’, respectivamente, entonces, ellas tienen radios iguales, porque el movimiento conserva distancias. Sean A, B puntos de C y A’, B’ puntos de C’ y supongamos que los ángulos centrales AOB y A’O’B’ son congruentes. Ver Fig.4.3.

Existe un movimiento del plano que transforma AOB en A’O’B’, por definición de congruencia. Además, (O) = O’, pues el movimiento conserva orden y O, O’ son primeros elementos en las semirrectas que definen. El punto A se transforma en A’ o en B’ lo mismo B.

Fig.4.3

Supongamos, entonces, que (A) = A’ y (B) = B’ y probemos que arco AB es congruente con arco A’B’. Sea P un punto del interior de arco AB, con (P) = P’. De ahí,

C’ _O’

_•

A’

B’ O

A

OP = O’P’, pues conserva distancia. En consecuencia, P’ C’. Además, P’ pertenece al interior de A’O’B’, ya que P pertenece al interior de AOB y conserva orden. Por lo tanto, todo punto de arco AB se transforma en un punto de arco A’B’. Un procedimiento análogo se sigue para probar que todo punto de arco A’B’ es imagen de algún punto de arco AB. Luego, arco AB se transforma en arco A’B’, es decir, ellos son congruentes. Recíprocamente, puede probarse que si los arcos AB y A’B’ son congruentes, entonces los ángulos centrales AOB y A’O’B’ son congruentes. Una demostración similar se sigue para 2).

TEOREMA 4.3

Si en plano , ABC  A’B’C’ y :  es un movimiento que envía la semirrecta BA en la semirrecta B’A’, el semiplano (BA



,C) en el semiplano (B A' ' 

,C’), entonces envía la semirrecta BC en la semirrecta B’C’.

Demostración: (por reducción al absurdo).

Como conserva orden, (B) = B’. Supongamos que no envía la semirrecta BC en la semirrecta B’C’ y sea (C) = E. Entonces, la imagen del rayo17 _{BC es el rayo B’E, el cual} es interior o exterior a A’B’C’. Consideremos que es interior, ver Fig. 4.4.

Fig. 4.4 Aplicando el axioma de la medida angular, se tiene:

m( A’B’C’) = m( A’B’E) + m( EB’C’) De ahí que,

m( A’B’E) < m( A’B’C’).

O sea, m ( A’B’E) < m ( ABC), pues ABC  A’B’C’. Esto contradice el hecho de que ( ABC) = A’B’E. ¿Por qué? Una contradicción análoga se obtiene si se considera que el rayo B’E es exterior a A’B’C’. Luego, envía la semirrecta BC en la semirrecta B’C’. 4.4 CRITERIOS DE CONGRUENCIA

De acuerdo con la definición de congruencia: dos polígonos y ’, en un plano α, son congruentes, si existe un movimiento de α que satisface ( ) = ’. Es de nuestro

17

interés, ahora, inferir las consecuencias de esta definición. Comencemos por el polígono de menor número de lados, el triángulo.

TEOREMA 4.4 (Criterio de congruencia LAL)

Si dos lados de un triángulo y el ángulo que forman son, respectivamente, congruentes con dos lados y el ángulo que forman de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Demostración Supongamos que BA = B’A’, BC = B’C’ y B  B’, Fig. 4.5. Por el axioma A.22, existe sólo un movimiento que transforma la semirrecta BA en la semirrecta B’A’ y el semiplano (AB



, C) en el semiplano (A B' ' 

, C’). Puesto que conserva orden y distancia, A se transforma en A’ y B en B’. Como B  B’, por el teorema 4.3 la semirrecta BC se transforma en la semirrecta B’C’. Luego, C se transforma en C’, pues conserva distancia y orden. Por tanto, ABC se transforma en A’B’C’. O sea, ABC  A’B’C’.

Fig.4.5

TEOREMA 4.5 (Criterio de congruencia ALA)

Si un lado de un triángulo y sus dos ángulos contiguos son, respectivamente, congruentes a un lado y sus dos ángulos contiguos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

La demostración es similar a la efectuada anteriormente; se deja como ejercicio al lector, ver Fig. 4.5.

A

B C

C’ B’

A’

Fig. 4.5

TEOREMA 4.6 (Criterio general de congruencia para polígonos)

Si un polígono de n lados tiene (n-1) lados consecutivos y los (n-2) ángulos que forman, respectivamente, congruentes a (n-1) lados y los (n-2) ángulos que forman de otro polígono de n lados, entonces los polígonos son congruentes.

Demostración Usaremos el principio de inducción. Para n = 3 (el triángulo es el polígono de menor número de lados), el criterio se cumple, pues corresponde al criterio de congruencia triangular LAL. Supongamos, entonces, que se cumple el criterio para polígonos de k lados (k3).

A2 Ak-1 A’2 A’k-1

A3 A’3

Pk+1 P’k+1

Fig.4.6

Debemos probar que se sigue cumpliendo para los de k+1 lados. Consideremos dos polígonos k+1 y ’k+1 de k+1 lados, de vértices Ai, Ai’ y ángulos interiores Ai, Ai’,

respectivamente, (1  i  k+1, ver Fig. 4.6). Supongamos que tienen congruentes k lados,

A’1

Ak A’k

A1

dos a dos, y los k-1 ángulos que forman, ver hipótesis del teorema para n = k+1. Por ejemplo: sean

A A_{1 2}  A A₁' ₂',,A A_{k k1}  A A_k' _k'_1, y A2  A2’,..., Ak  Ak’.

Tracemos las diagonales A A1 k y A A1 k

' '

, entonces, el polígono A1A2...Ak es congruente con el polígono A1’A2’...Ak’ porque tienen k lados y satisfacen la hipótesis de inducción. Sea el movimiento que lleva k en ’k . Este movimiento transforma Ak1Ak en Ak1Ak

' '

y el semiplano (Ak-1Ak



, A1) en el semiplano (Ak Ak



1

' '

, A1’). Como Ak  A’k y AkAk+1 = Ak’A’k+1, entonces llevará a Ak+1 sobre A’k+1, por teorema 4.3 y porque conserva distancia. En consecuencia, lleva a A A_{1 k+1} en A A₁' _k+1'. Resumiendo, tenemos que lleva a k+1 en ’k+1. Por tanto, k+1  ’k+1. De ahí, n  n’, para todo n  3.

TEOREMA 4.7 (Teorema de la mediatriz)

C es un punto de la mediatriz del segmento AB si, y sólo si, d(A, C) = d(B, C). Demostración. ) Si C, A y B son colineales, por definición de mediatriz, se tiene que C es el punto medio del segmento AB y la afirmación del teorema se deduce inmediatamente. Si los puntos anotados no son colineales, ellos determinan ABC. Tracemos la mediatriz CP del segmento AB, ver figura 4.7.a. Así se tiene, APC  BPC por ser los ángulos en P rectos y por el criterio LAL. Pero en triángulos congruentes, a ángulos congruentes se

oponen lados congruentes. Luego, los segmentos BC y AC son congruentes y d (A, C) =

d (B, C).

Fig.4.7.a Fig.4.7.b

) Ahora demostremos que si d (A, C) = d (B, C), entonces C es un punto de la mediatriz del segmento AB. Si C, A y B son colineales, C es punto medio del segmento AB por hipótesis. Es decir, C es un punto de la mediatriz del segmento AB. Si los puntos anotados

P A

C

B

P

A _B

C

no son colineales, determinan ABC. Tacemos la bisectriz de ángulo C, la cual corta al segmento AB en P, ver figura 4.7.b. De ahí, APC  BPC por el criterio LAL, pues los ángulos en C son congruentes por construcción, los lados AC y BC son congruentes por hipótesis y el lado CP es común a los dos triángulos y es congruente consigo mismo. Pero en triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y

viceversa. Luego, 1  2 y los segmentos AP y BP son congruentes. Como 1 y 2

determinan un ángulo llano y son congruentes, entonces cada uno es un ángulo recto. Esto, con la congruencia de los segmentos AP y BP, implica que C está en la mediatriz del segmento AB.

Resolver ejercicio 4.2.

4.5 DIRECCIÓN, SENTIDO Y ORIENTACIÓN.

Dos segmentos o semirrectas o un segmento y una semirrecta tienen la misma dirección si son colineales o están contenidos en rectas paralelas. Dos segmentos o semirrectas o un segmento y una semirrecta, con la misma dirección, tienen el mismo sentido u orientación si sus puntos están ordenados de la misma manera mediante la relación preceder; si el orden es contrario, se dice que tienen sentidos opuestos.18

Fig. 4.8

En la Fig. 4.8, AB y BA tienen sentidos opuestos, aunque AB = BA; AB y PQ tienen el mismo sentido; AB



y PQ 

tienen el mismo sentido; QP 

y BP 

tienen sentidos opuestos.

Fig. 4.9

En la Fig.4.9, ABy CD tienen el mismo sentido, lo mismo AB 

y CD 

. En cambio, las semirrectas r y s tienen sentidos opuestos.

Si O es un punto en un plano, se denomina haz de vértice O a todos las semirrectas o rayos del plano de origen O. Este haz se dice que está orientado en sentido positivo, si sus rayos siguen el orden de la terna (r, i, s), de semirrectas del haz, siendo r la horizontal derecha, s la vertical superior e i una semirrecta interior al ángulo que forman r y s; y está orientado en sentido negativo, si sus rayos siguen el orden de la terna (s, i, r). De una recta, un segmento, un haz y un ángulo, en los cuales se ha fijado un sentido, se dice

que están orientados19. Ver Fig.4.10.

Fig. 4.10

Con los conceptos de convexidad y ángulo orientado, extendemos la noción de ángulo y de

medida angular: un ángulo, no nulo ni llano, determina en el plano que lo contiene dos

conjuntos disjuntos, su interior y su exterior. Cuando al ángulo, como hemos hecho hasta aquí, le asignamos como región angular abierta su interior, le llamaremos ángulo convexo. Si al ángulo le asignamos como región angular abierta su exterior, lo denominamos ángulo cóncavo. Si es la medida en grados de un ángulo convexo, la medida de su correspondiente ángulo cóncavo se define por 360 – . Si un ángulo convexo o cóncavo mide grados y se orienta positivamente, decimos que la medida del ángulo orientado es + , y - si se orienta negativamente. Con esto, ampliamos la noción de medida angular, conviniendo en que a cada ángulo convexo o

cóncavo o nulo o llano, de medida le corresponde el conjunto de medidas +360.k,

donde k es cualquier número entero20.

19_{Por lo dicho sobre rectas horizontal y vertical, en capítulo 3, se deduce que las orientaciones positivas}

y negativas son relativas.

20

Esta medida angular ampliada, ya no es función; es simplemente una relación.

i

O r

+

_

Un vector es un punto o un segmento orientado. Si el vector es un punto, se llama vector nulo o vector cero, denotado por 0



. El vector nulo definido por el punto A también se simboliza por AA



. Si el punto A precede al punto B, el vector AB correspondiente se denota por AB

 . Fig.4.11

La longitud del vector AB, denotada por  AB 

 es la distancia entre A y B. Dos vectores son congruentes si son nulos o tienen la misma dirección, el mismo sentido y la misma longitud. En Fig.4.11, se tiene AB



CD 

; el vector opuesto a AB 

, denotado   AB, es BA



, es decir,  

AB = BA



. De ahí que - 0



= 0



, ¿por qué? Si A, B y C son puntos en el plano, se define AB



+ BC



= AC



, donde AC



se llama vector suma de AB



y BC



o vector resultante.

Fig. 4.12 (a) A B C D

→

→

 AB

B

Para sumar dos vectores, no consecutivos, AB 

y CD 

, se halla un vector de origen B congruente con CD



y se calcula la suma de AB 

y este nuevo vector, ver figura 4.12 (a). Y se define AB

 - CD



= AB 

+ ( 

CD), llamada resta o diferencia entre AB 

yCD 

, ver Fig.4.12 (b).

Fig. 4.12 (b)

Se define 0.AB 

= 0



, y si r es un número real r. 0



= 0



;

si r > el vector r. AB 

es el vector de longitud r veces la longitud de AB 

con la misma dirección y sentido de AB 

; si r < 0, el vector r. AB 

es el vector de longitud | | veces la longitud del vector AB



, con la misma dirección, pero sentido contrario de AB



. El vector - r.AB 

es el vector opuesto a r.AB 

. De la definición anterior se desprende que r. AB



 = r. AB 

, si r > 0 y r. AB 

 = r AB 

, si

r< 0. Además, si r  0 los vectores AB 

y r. AB 

son paralelos, lo mismo AB 

y - r.AB

 .

EJERCICIOS

4.1 a) Si en una recta representamos por x la coordenada de un punto genérico, describa de manera geométrica lo que hacen las funciones de en , definidas por (x) = x + 7, (x) = x – 4. Calcule o y describa, de modo geométrico, lo que hace o . Averiguar si son funciones biyectivas. b) Verificar si la función , que a cada pareja de números reales le asigna su suma, (x, y) = x + y, es inyectiva y/o sobreyectiva.

4.2 a) Probar que las diagonales de un cuadrado son congruentes y se cortan perpendicularmente en sus puntos medios (use el teorema de la mediatriz). b) Si A y B son puntos de una circunferencia de centro O y ℓ es una recta perpendicular al segmento AB en su punto medio, demostrar que ℓ pasa por O y divide el arco AB en dos arcos congruentes.

4.3 Nota. Use papel sin líneas para este punto. a) Sean u, v vectores que tienen un mismo

origen O. Hallar u + v, u – v, v – u con  u  = 7,  v  = 3, si u, v son colineales y opuestos, y después si son colineales y del mismo sentido. b) Sean O un punto de una recta horizontal, u, v, w vectores con el mismo origen O; u forma con la horizontal un ángulo de 30 grados y  u  = 4, v forma con la horizontal un ángulo de 70 grados y  v  = 6, w forma con la horizontal un ángulo de 150 grados y  w = 7. Hallar (u + v) – w, (5/3)u – (4/5)w. c) Si u, v, w son vectores cualesquiera, probar que (u + v) +w = u + (v + w).

LOS HERALDOS NEGROS

Hay golpes en la vida, tan fuertes... ¡Yo no sé! Golpes como del odio de Dios; como si ante ellos, la resaca de todo lo sufrido

se empozara en el alma... ¡Yo no sé!

Son pocos; pero son... Abren zanjas oscuras en el rostro más fiero y en el lomo más fuerte. Serán tal vez los potros de bárbaros atilas; o los heraldos negros que nos manda la Muerte.

Son las caídas hondas de los Cristos del alma de alguna fe adorable que el Destino blasfema. Esos golpes sangrientos son las crepitaciones

de algún pan que en la puerta del horno se nos quema.

Y el hombre... Pobre... ¡pobre! Vuelve los ojos,

como cuando por sobre el hombro nos llama una palmada; vuelve los ojos locos, y todo lo vivido se empoza,

como charco de culpa, en la mirada.

Hay golpes en la vida, tan fuertes... ¡Yo no sé!

César Vallejo Poeta peruano

PRIMAVERA A LA VISTA

Pulida claridad de piedra diáfana, lisa frente de estatua sin memoria: cielo de invierno, espacio reflejado en otro más profundo y más vacío.

El mar respira apenas, brilla apenas. Se ha parado la luz entre los árboles, ejército dormido. Los despierta el viento con banderas de follajes.

El día abre los ojos y penetra en una primavera anticipada.

Todo lo que mis manos tocan, vuela. Está lleno de pájaros el mundo.

Octavio Paz Poeta mejicano

EL JOVEN A SUS TENACES CONSEJEROS

(DER JÜNGLING AN DIE KLUGEN RATGEBER)21

¿Pretendéis que me apacigüe? ¿Que domine este amor ardiente y gozoso, este impulso hacia la verdad suprema? ¿Que cante mi canto del cisne al borde del sepulcro donde os complacéis en encerrarnos vivos?

¡Perdonadme!, mas no obstante el poderoso impulso que lo arrastra el oleaje surgente de la vida

hierve impaciente en su angosto lecho

hasta el día en que descanse en su mar natal.

La viña desdeña los frescos valles, los afortunados jardines de la Hesperia

sólo dan frutos de oro bajo el ardor del relámpago que penetra como flecha el corazón de la tierra. ¿Por qué moderar el fuego de mi alma

que se abrasa bajo el yugo de esta edad de bronce? ¿Por qué, débiles corazones, querer sacarme

mi elemento de fuego, a mí que sólo puedo vivir en el combate?

La vida no está dedicada a la muerte, ni al letargo el dios que nos inflama. El sublime genio que nos llega del Éter no nació para el yugo.

Baja hacia nosotros, se sumerge, se baña en el torrente del siglo; y dichosa, la náyade

21_{En la página web, Friedrich Hölderlin-Cisne Negro, de donde se copió la traducción de este poema, se}

arrastra por un momento al nadador,

que muy pronto se sumerge, su cabeza ceñida de luces.

¡Renunciad al placer de rebajar lo grande! ¡No habléis de vuestra felicidad!

¡No plantéis el cedro en vuestros potes de arcilla! ¡No toméis al Espíritu por vuestro siervo!

¡No intentéis detener los corceles del sol y dejad que las estrellas prosigan su trayecto! ¡Y a mí, no me aconsejéis que me someta, no pretendáis que sirva a los esclavos!

Y si no podéis soportar la hermosura, hacedle una guerra abierta, eficaz.

Antaño se clavaba en la cruz al inspirado,

hoy lo asesinan con tenaces e insinuantes consejos. ¡Cuántos habéis logrado someter

al imperio de la necesidad! ¡Cuántas veces retuvisteis al arriesgado juerguista en la playa cuando iba a embarcarse lleno de esperanza para las iluminadas orillas del Oriente!

Es inútil: esta época estéril no me retendrá. Mi siglo es para mí un azote.

Yo aspiro a los campos verdes de la vida y al cielo del entusiasmo.

Enterrad, oh muertos, a vuestros muertos, celebrad la labor del hombre, e insultadme.

Pero en mí madura, tal como mi corazón lo quiere, la bella, la vida Naturaleza.