Estructura de la Materia
Grupo 21, Semestre 2013-2
Prof. Isidoro García Cruz
EJERCICIOS
1. La luz amarilla que emite una lámpara de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Calcular la frecuencia de esta radiación.
Respuesta:
Sabemos que:ν
λ
=c
Donde c es la constate de la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda, ν es la frecuencia. s m x
c
=3
10
8 nm589
=λ
?
=ν
s
c
x m x nm nm s m x 14 1 9 810
09
.
5
10
1
1
589
10
3
/ − − = = =λ
ν
2. Un láser produce una radiación con una longitud de onda de 640 nm. Calcule la frecuencia de esta radiación.
Respuesta:
?
=ν
s
c
x m x nm nm s m x 14 1 9 810
69
.
4
10
1
1
640
10
3
/ − − = = =λ
ν
3. Una estación de radio difunde una radiación electromagnética de 103.4 MHz. Considerar que 1 Mhz= 1 x 106 s-1. Calcule la longitud de onda de esta radiación.
Respuesta:
?
=λ
m
m
c
x s x MHz MHz s m x10
901
.
2
901
.
2
10
1
1
4
.
103
10
3
9 6 8 1 / − = = − = =ν
λ
4. Calcule la energía de un fotón de luz amarilla cuya longitud de onda es 589 nm.
Respuesta:
?
=E
fotón Sabemos que:ν
λ
=c
y que además:ν
h
E
fotón=h
= Constante de Planck y ν es la frecuencia.h
= 6.63 x 10-34 J s La frecuencia es:s
c
x m x nm nm s m x 14 1 9 810
09
.
5
10
1
1
589
10
3
/ − − = = =λ
ν
entonces:(
x Js)
[
xs
]
x Jh
E
fotón6
.
63
10
5
.
09
10
3
.
37
10
19 1 14 34 − − − = = =ν
Es decir que un fotón de energía radiante proporciona o genera 3.37 x 10-19 J/fotón, entonces cuanta energía proporcionará un mol de fotones ?.
La energía se expresa en J/mol, luego entonces hay que convertir estos 3.37 x
10-19 J a J/mol. Para ello consideremos el Numero de Avogadro, NA= 6.023 x
1023 fotones/mol. Es decir en un mol hay 6.023 x 1023 fotones.
mol J x mol J fotón J x mol fotones x
10
3
.
37
10
202975
2
.
02975
10
023
.
6
23 19 = = 5 − mol J xE
fotón2
.
03
10
5 =5. Un láser emite luz con una frecuencia de 4.69 x 1014 s-1. a) Calcule la energía del fotón de la radiación de este láser. b) El láser emite una ráfaga de energía que contiene 5 x 1017 fotones de esta radiación. Calcule la energía total de esta ráfaga. c) Si el láser emite 1.3 x 10-2 J de energía durante la ráfaga. Cuantos fotones emite durante esa ráfaga.
Respuesta:
Sabemos que:ν
λ
=c
y queν
h
E
fotón=h
= Constante de Planck ν es la frecuencia. En este caso, ya conocemos ν.h
= 6.63 x 10-34 J s Entonces:(
Js
)
[
s
]
J
h
E
=ν
=6
.
63
x10
−344
.
69
x10
14 −1 =3
.
11
x10
−19J
E
=3
.
11
x10
−193.11 x 10-19 J es la energía del fotón de la radiación del láser, es decir 3.11 x 10-19 J/fotón.
b) Dado que el láser emite una ráfaga de 5 x 1017 fotones de energía, entonces:
J
J
x
fotones
x
10
3
.
11
10
fotónJ0
.
1555
0
.
16
0
.
5
17 19 = = −J
E
=0
.
16
Esta es la energía total de esa ráfaga.c) Si el láser emite 1.3 x 10-2 J, es decir 1.3 x 10-2 J/fotón, entonces la cantidad de fotones que emite es ráfaga es:
fotones x fotones x J fotón J x
10
18
.
4
10
180006
.
4
10
11
.
3
10
3
.
1
16 16 19 2 / = = − −6. La radiación de longitud de onda de 242.4 nm, es la longitud de onda más larga que produce la fotodisociación de la molécula de O2. a) Cuál es
la energía de un fotón de esta radiación; b) Cuál es la energía de un mol de fotones de esta radiación?
Respuesta:
Sabemos que: a)s
s
x
c
x m x nm nm s m x 15 1 9 810
24
.
1
10
2396
.
1
10
1
1
4
.
242
10
3
/ 15 1 − −=
− = = =λ
ν
? =E
fotón(
x)
x J foton x J fotón Js xs
h
E
fotón6
.
63
10
1
.
24
10
8
.
2212
10
/8
.
22
10
/ 19 19 1 15 34 − − − − = = = =ν
nm4
.
242
=λ
b) Como ya tenemos la energía de un fotón podemos multiplicarla por el NA para conocer la energía en J/mol.
(
x fotones mol)
x J mol x J mol fotónJ x
E
=8
.
22
10
−19 /6
.
023
10
23 / =4
.
95090
10
5 / =4
.
95
10
5 /7. Calcular la longitud de onda de un electrón que tiene una velocidad de 5.97 x 106 m/s. Considere que la masa del electrón es 9.11 x 1028 g.
Respuesta:
?
=λ
me=9.11 x 10 -28 g 1J= 1Kg m2/sCon base al comportamiento dual de la materia de De Broglie:
v
m
h
=λ
(
x m s)
g x J x /10
97
.
5
10
11
.
9
10
63
.
6
6 28 34 − − =λ
( )
(
5
.
97
10
)
1
1
10
5
.
6
43867
.
63
10
10
10
11
.
9
10
63
.
6
21 31 3 6 28 2 2 34 / − − − − = = x m x g x s m x g x xKg
s
s
m
Kg
λ
m x10
2190
.
1
−10 =λ
nm m x10
1
.
22
2190
.
1
10 = = −λ
nm22
.
1
=λ
Esta el longitud de onda del electrón a una velocidad de 5.97 x106 m/s. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la longitud de onda de los R-X.
8. Calcule la longitud de onda asociada a los electrones que se mueven a una velocidad que es la décima parte de la velocidad de la luz.
Respuesta:
?
=λ
me=9.11 x 10 -28 gLa décima parte de la velocidad de la luz es:
(
x m s)
x m s xv
=0
.
10
3
10
8 / =3
10
7 /( )
(
3
10
)
1
1
10
6
2
.
.
63
733
10
10
10
11
.
9
10
63
.
6
20 31 3 7 28 2 2 34 / − − − − = = x m x g x s m x g x xKg
s
s
m
Kg
λ
m x10
4259
.
2
−11 =λ
pm nm m x10
0
.
0243
24
.
3
43
.
2
11 = = = −λ
pm3
.
24
=λ
Esta el longitud de onda del electrón a una décima de lavelocidad de la luz. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la longitud de onda de los R-Gamma.
9. La determinación de la posición de un electrón con una precisión de 0.01Å es más que adecuada o está bien determinada. En estas condiciones calcule la indeterminación de la medida simultánea de la velocidad del electrón.
Respuesta:
?
=
∆
vEl principio de incertidumbre de Heisenberg dice que:
π
4
h
mv x∆
≥∆
∆
∆
≥ x mvh
π
4
(
)
(
)
( )
m x x m x x Js xs
s
m
Kg
mv10
256
.
1
10
63
.
6
10
1
1416
.
3
4
10
63
.
6
11 2 2 34 . 12 34 . − − − − = ≥∆
s m x s m xKg
Kg
mv5
.
2786
10
5
.
28
10
23 23 − − ≥ ≥∆
Como la masa del electrón está bien determinada, entonces la velocidad será:
m
mv v∆
∆
≥ s m x s m xKg
Kg
v57958287
.
6
/10
11
.
9
10
28
.
5
31 23 ≥ ≥ − −∆
s m x s m xKg
Kg
v57958287
.
6
/10
11
.
9
10
28
.
5
31 23 ≥ ≥ − −∆
s m v≥57958288
/∆
Una velocidad enorme !!h Km x h s x m Km s m v / 1 3600 1000 1 /
2
.
086
10
57958288
≥ 8 ≥∆
h Km x v2
.
086
10
/ 8 ≥∆
h Km x v2
.
086
10
/ 8 ≥∆
La indeterminación de ±2.1 x 108 Km/h en la velocidad del electrón es del mismo orden o mayor que las propias velocidades típicas de éstas partículas.
10. Calcule la longitud de onda asociada: a) a un electrón que se mueve a una velocidad de 1x106 m/s; b) a un coche de 1000 Kg de masa que se desplaza a la velocidad de 120 Km/h.
Respuesta:
a) Para el electrón?
=λ
me= 9.11 x 10 -31 KgSabemos que la dualidad de la partícula de acuerdo a de Broglie:
λ
h
v
m
p
= = s m x s m x xKg
Kg
v
m
p
9
.
11
10
−311
10
60
.
91
10
−24 = = = Entonces: m x s m x x s m x xKg
s
s
m
Kg
Kg
s
J
p
h
10
27
.
7
10
91
.
0
10
63
.
6
10
91
.
0
10
63
.
6
10 24 2 2 34 24 34 − − − − − = = = =λ
a) Para el coche?
=λ
mcoche= 1000 Kg s m s h Km m h KmKg
Kg
v
m
p
33333
.
33
3600
1
1
100
120
1000
= = = Entonces:m x s m x s m x
Kg
s
s
m
Kg
Kg
s
J
p
h
10
99
.
1
33
.
33333
10
63
.
6
33
.
33333
10
63
.
6
38 2 2 34 34 − − − = = = =λ
La menor cantidad de movimiento (momentum) del electrón (mv) comparada con la del coche a pesar de su mayor velocidad, pero cuya masa es muchísimo más pequeña. Y al contrario la longitud de onda asociada al coche es mucho más pequeña, que la del electrón.
11. Grafique las funciones de onda correspondientes a los dos primeros valores de n, así como sus cuadrados. Considere que la longitud de la caja es de 6Å=6x1010 m.
Respuesta:
Clase (martes, 14/02/13)
12. Calcular la diferencia entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos consecutivos de: a) un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr; b) una bola de billar de 0.2 Kg de masa moviéndose a lo largo de una mesa de billar de 2m de longitud perpendicularmente a las dos bandas opuestas más alejadas.
Respuesta:
a) Para el electrón:L
m
h
v
nn2
1 = +∆
(
)(
) (
x Kgm)
s Kg x m x Kg x Js xs
m
v
nn10
6566
.
9
10
63
.
6
10
53
.
0
10
11
.
9
2
10
63
.
6
41 2 2 34 10 31 34 1 − − − − − + = =∆
h Km x h s m km s m x s m xv
nn6
.
8657
10
6
.
88
10
2
.
48
10
7 6 6 1 1 3600 1000 1 = = = +∆
b) Para la bola de billar:
(
)(
)
(
)
s m x Kgm s Kg x m Kg Js xs
m
v
nn8
.
2875
10
8
.
0
10
63
.
6
0
.
2
2
.
0
2
10
63
.
6
34 2 2 34 34 1 − − − + = = =∆
h Km x h s m km s m xv
nn8
.
30
10
2
.
99
10
33 34 1 1 3600 1000 1 − − + = =∆
Para el electrón, las velocidades permitidas entre dos niveles consecutivos es muy considerable, mientras que para la bola de billar es casi despreciable.
13. a) Calcular la diferencia de energía entre los dos primeros niveles correspondiente a un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr de longitud; b) Cuál sería la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo?
Respuesta:
n=1 a)(
)
= − =+
∆
+ +L
m
h
n
E
E
E
n n n n 2 2 1 18
1
2
( )
[
]
(
)
(
)
− − − + = − = + +∆
m
x
Kg
x
s
s
m
Kg
x
E
E
E
x x n n n n10
53
.
0
10
11
.
9
8
10
63
.
6
1
1
2
31 10 34 2 2 4 4 2 2 1 1(
)
J xx
s
m
Kg
x
E
E
E
n n n n6
.
44
10
10
0472
.
2
10
3957
.
4
3
17 2 2 1 1 50 67 − + + = − − = − =∆
b) La frecuencia:
Como la frecuencia se obtiene de:
ν
h
E
=∆
s
h
E
x s J x J x 16 1 34 . 1710
71
.
9
10
63
.
6
10
44
.
6
− − − = = =∆
ν
Con una radiación de esta frecuencia es suficiente para excitar un electrón del nivel uno al nivel dos. Esta radiación corresponde al la región UV.
14. a) Calcular la diferencia de energía entre los primeros estados energéticos de un electrón confinado en una caja cúbica de un 1 A; b) Cuál sería la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo?
Respuesta:
15. Determine la longitud de onda de la línea espectral de la serie de Balmer del hidrógeno correspondiente a la transición de n=5 a n=2.
Respuesta:
?
=
λ
Cuando un electrón pasa de una órbita mas alta a una órbita más baja hay una emisión de energía, o se emite energía. Esta energía se obtiene a partir de la diferencia de energía: − = − = − = −
∆
n
n
J
n
n
R
E
E
E
fi i fi i H i f x 2 2 18 2 2 1 1 1 110
179
.
2
(
)
J
J
J
E
x x x fi i10
5759
.
4
25
.
0
04
.
0
10
179
.
2
2
5
10
179
.
2
2 2 18 19 18 1 1 − − − − = − = − =∆
J
E
=−4
.
57
x10
−19∆
El signo (-) de esta diferencia de energía, nos indica que se emite energía. Esta cantidad de energía se emite como un fotón de energía, debido a que la diferencia de energía entre los niveles n=5 y n=2 es igual a la energía del fotón emitido.
Pero lo que nos piden es la
λ
=?
, por lo que antes debemos calcula lafrecuencia. Es decir:
ν
h
E
E
= fotón =∆
s
s
J
J
h
E
x x x fotón 14 1 1 34 1914
9012
.
6
10
63
.
6
10
576
.
4
− − − − = = =ν
s
x14
14 1901
.
6
− =ν
Y finalmente para calcular
λ
, hacemos:ν
λ
=c
m x x s m xs
C
10
34
.
4
10
901
.
6
10
3
7 1 14 8 − − = = =ν
λ
m x10
34
.
4
−7 =λ
nm434
=λ
Estos 434 nm corresponden justamente a una de la líneas del espectro de emisión del Hidrógeno, (color violeta).
16. Determine la energía cinética del electrón ionizado de un ión (catión) de Li2+ en su estado fundamental utilizando un fotón de frecuencia de 5 x 1016 s-1.
Respuesta:
?
=
E
CinéticaEl catión que se forma es el ión Li2+, es decir; Li +
h
ν
→ Li2+ + 3eEs decir, la carga nuclear (Z=3+) y n=1.
Sabemos que:
n
R
Z
E
H n 2 2 − = Entonces:(
)
(
)
J x J x x J x xn
R
Z
E
H10
9611
.
1
10
179
.
2
9
1
10
179
.
2
3
18 17 2 18 2 2 2 1 − − − = = − = − = J xE
11
.
961
10
17 − =Pero esta es la Energía Total para
E
1, es decir para el primer nivel n=1.La energía para un fotón de 5 x 1016 s-1 es:
ν
h
E
fotón=(
x Js)
[
xs
]
x JE
fotón6
.
63
10
5
10
3
.
315
10
17 1 16 34 − − − = = J xE
fotón3
.
315
10
17 − = Esta es la energía deE
i. O estrictamente:fotón J
x
E
=3
.
315
10
−17 /Sabemos que la Energía de Ionización es la energía para arrancar un electrón del núcleo del átomo, en este caso, el del átomo de Litio. Es decir,
J x
E
E
i1
.
961
10
17 1 − = −= . La energía adicional del fotón es transferida como
Energía Cinética al electrón, luego entonces:
