2,3,5,7,11,13,17,23,...

(1)

y Problemas de Olímpiadas Matemátias

Dediado al profesor Darío Durán, maestro de maestros.

José Heber Nieto Said

jhnietogmail.om

www.jhnieto.org

Departamento de Matemátia

Faultad de Cienias

Universidad del Zulia

(2)

La Teoría de Números o Aritmétia es la rama de la matemátia que

es-tudia todo lo relaionado on los números naturales y enteros. El heho de

que estosnúmerosseestudien desdelos primerosaños de laenseñanza esolar

podríahaerpensarquesetratadeun temaelementalysinmisterios.Perono

es así, por el ontrario, la Aritmétia enierra algunos de los problemas más

difíilesde lamatemátia,algunosde losualespermaneenohan

permanei-do abiertos durante siglos. En lateoría de números avanzada seutilizan toda

lase de herramientas matemátias, omo por ejemplo la teoría de funiones

de variable ompleja. Sin embargo, aún limitándonos a las noiones más

bá-sias y elementales, es posible generar una gama inagotable de problemas de

todos los grados de diultad posibles. Esta es la razón por la ual la Teoría

de Númerosesuno de lostemasinfaltablesyfavoritosen todas lasolimpiadas

matemátias.

Algunos problemas

Veamosalgunosejemplos deproblemas interesantes, parauyasoluiónno

hae falta onoer más que latabla de multipliar.

Problema 1. En una de sus lases el profesor Darío esribió en la pizarra el

número 12345679012345679,ydijoqueera mágio.½Profesor,olvidóel8!

Bueno,sí,peronoimporta,dejémosloasí...Profesor,¾yquétienedemágio

ese número? Pues veamos, díganme una ifra del 1 al 9. ½El 7, el 7!

Multipliquen elnúmero mágiopor 63. Los alumnoslo haen, y obtienen on

asombro 777777777777777777.¾Qué hubiese respondido Darío si los alumnos

esogen el3, o ualquierotra ifra? ¾Qué expliaióntiene todoesto?

Problema 2. Elprodutode dosenteros onseutivos,¾puedeterminaren 8?

Problema 3. ¾En qué dígitotermina

2

2011

?

Problema 4. Juan tiene 5tarjetas on elnúmero2,8 tarjetason el número

3, 10 tarjetas on el número 7 y 20 tarjetas on el número 8, y las usa para

formarnúmerosdevariasifras,oloándolasenla.¾Puedeformarunnúmero

que sea un uadrado perfeto?

Problema5. Halleunnúmeronaturaltalque,sisuúltimaifraaladerehase

(3)

Elonjuntodelosnúmerosnaturales

{

1 ,

2 ,

3 , . . .

}

sedenotará

N

,y eldelos enteros

{

. . . ,

−

3 ,

−

2 ,

−

1 ,

0 ,

1 ,

2 ,

3 , . . .

}

sedenotará

Z

. Se die que

a

_∈

Z

esmúltiplo de

b

∈

Z

si

a

=

kb

para algún

k

∈

Z

.

En este aso también sedie que

a

esdivisible entre

b

o que

b

divide a

a

, y se esribe

b

|

a

.

Para ualquier

a

∈

Z

se umple que

1 |

a

y que

a

|

a

, ya que

a

= 1

· a

. Cualquier entero

a

divide al0, ya que

0 =

a

·

0

. Losenteros múltiplos de 2 se denominan pares, y losque nolo son impares. Observe que0 espar.

La divisibilidad es transitiva, es deir que si

a

|

b

y

b

|

c

entones

a

|

c

. También es inmediato que si un número divide a otros dos entones divide

tanto asu suma omo asu diferenia.

2.1. Números primos

Si un número natural

p >

1

sólo tiene omo divisores a 1 y

p

, entones se die que es primo. Lasuesión de losprimeros númerosprimos omienza así:

2 ,

3 ,

5 ,

7 ,

11 ,

13 ,

17 ,

23 , . . .

Los números

n >

1

que no son primosse llaman ompuestos.

El1 es espeial: no esni primo niompuesto, essimplementela unidad.

La importania de los números primos onsiste en que ualquier número

natural

n >

1

es primo o puede expresarse omo produto de primos. En símbolos,

n

=

p

a

1

p

a

2

· · ·

p

a

k

donde

p

1

< p

2

<

· · ·

< pk

son números primos y los exponentes

a

1

, a

2

, . . . , ak

son números naturales. Más aún, esta desomposiión esúnia exepto por el

orden de los fatores.

De esta manera los números primos son omo los bloques fundamentales

quepermitengenerar, multipliativamente,atodos losnúmerosnaturales(del

mismo modo que el 1 los genera aditivamente). Este resultado es tan

impor-tante que se onoe omo Teorema Fundamental de la Aritmétia, y

fue probado por Eulides (

≈

325265 a.C.), quien dedió el Libro IX de sus famosos Elementos a la Teoría de números.

(4)

números primos o, para ser más eles a su manera de pensar, que los

núme-ros primos son más que ualquier antidad nita. En efeto, dado ualquier

onjuntonito de números primosdiferentes

p

1

, p

2

, . . . , pk

onsidere elnúmero

N

=

p

1

p

2

· · ·

pk

+ 1

.Como

N

noesdivisibleporningún

pi

, en sudesomposiiónen fatoresprimosdebeapareer porlomenosun primo

q

talque

q

6∈ {

p

1

, p

2

, . . . , pk

}

.Por lo tanto, ningúnonjuntonito de números primos los ontiene a todos.

Si

n

=

p

1

p

2

· · ·

pk

entones sus divisores son todos los números de la forma

p

b

1

p

b

2

· · ·

p

b

k

donde

0 ≤

bi

≤

ai

. Por ejemplo los divisores de

24 = 2

3

_·

₃

1

son

2

0

_·

3

0

= 1

,

2

1

·

3

0

= 2

,

2

·

3

0

= 4

,

2

3

·

3

0

= 8

,

2

0

·

3

1

= 3

,

2

1

·

3

1

= 6

,

2

·

3

1

= 12

y

2

3

_·

₃

1

_{= 24}

.

Una onseuenia de lo anterior es queel número de divisores de

n

(inlu-yendo al 1y al propio

n

) es

(

a

1

+ 1)(

a

2

+ 1)

· · ·

(

ak

+ 1)

.

Enefeto, paraformar undivisor elexponentede

p

1

puedeesogerse de

a

1

+ 1

maneras, asaber

0 ,

1 ,

2 , . . . , a

1

.Delamismamanera,elexponentede

p

2

puede esogerse de

a

2

+ 1

manerasy asísuesivamente hastael exponentede

pk

que puede esogerse de

ak

+ 1

maneras.

Otra onseuenia del Teorema Fundamentales queun númeronatural es

un uadrado perfeto siy sólositodos sus fatoresprimos diferentes apareen

elevadosaexponentes pares.Másengeneral,un númeronaturalesuna

poten-ia

k

-sima siy sólositodos sus fatoresprimos diferentes apareen elevados a exponentes múltiplosde

k

.

Problemas

Problema 6 (OJM 2009). Los números desde el l hasta el 2009 se esriben

onseutivamente en la pizarra. En una primera pasada se borran el primer

número esrito, el terero, elquinto y así suesivamente hasta borrar el 2009.

En una segunda pasada se aplia el mismo proedimiento a los números que

quedaron,borrandoelprimerodeellos,elterero,elquintoyasísuesivamente.

Esto se repite mientras queden números en la pizarra. ¾En qué pasada se

(5)

Problema 7. Pruebe que

n

(

n

+ 1)(

n

+ 2)

es múltiplo de 6 para ualquier entero

n

.

Problema8. Pruebeque

n

(

n

+1)(

n

+2)(

n

+3)

esmúltiplode24paraualquier entero

n

.

Problema 9. Probar queel número

1 +

k

2

₊

_k

4

esompuesto para ualquier

número

k

entero mayorque 1.

Problema10. Pruebequeparaualquiernúmeronatural

n

elnúmero

n

3

₊₂

_n

es múltiplo de 3.

Problema 11. (Eötvös1894) Pruebeque

17 |

2 m

+ 3

n

si y sólosi

17 |

9 m

+ 5

n

(

m

y

n

enteros).

Problema 12. Caraterie los números naturales que tienen una antidad

impar de divisores.

Problema 13 (Canguro2007,9 o

). Dadoun número,una extrañaaluladora

sólopuedehaerlosiguiente:multipliarlopor2opor3,oalularsusegunda

o terera potenia. Si omenzamos on el número 15, ¾uál de los siguientes

resultados se puede obtener al usar laaluladora ino vees onseutivas?

(a)

2

6

₃

6

₅

4

;(b)

2

8

₃

5

₅

6

; ()

2

8

₃

4

₅

2

;(d)

2

3

₃

3

₅

3

; (e)

2 3

2

₅

6

. Problema 14. (Canguro 2007, 9 o

) Halle el menor número natural

A

tal que

10 A

es un uadrado perfeto y

6 A

es un ubo perfeto. Problema 15. (Canguro 2009, 10

o

) Unnúmeroprimo se die que esextraño

si tieneun solodígito,o sitienedos omás dígitospero losdosnúmerosquese

obtienen omitiendo elprimerooelúltimodígitoson tambiénprimosextraños.

¾Cuántos primos extraños hay?

Problema16. Sea

n

unenteropositivo.Pruebequesi

2

n

₋

₁

esprimoentones

n

esprimo.

Problema17. Sea

n

unenteropositivo.Pruebequesi

2

n

₊₁

esprimoentones

n

esuna poteniade 2.

Problema 18. (Canguro 2010, 10 o

) Enada ladode un pentágonoseesribe

un número natural, de manera tal que números adyaentes nuna tienen un

fator omún mayor que 1, pero números no adyaentes siempre tienen un

fator omún mayorque 1. Hay muhas posibilidades de haer esto, pero uno

delosnúmerossiguientesnoapareeránunaenlosladosdelpentágono.¾Cuál

es?

(6)

Problema 19. (Canguro 2008, 9 o

)Todos los divisoresdel entero positivo

N

, diferentesde

N

y1,seesribenenordenreiente.¾Cuántosnúmerosnaturales

N

son tales que el mayor de losdivisores esritos es 45 vees más grande que el menor?

Problema 20. Si

56 a

= 65

b

, pruebe que

a

+

b

esompuesto.

Problema21. Pruebequeparaualquiernúmeronatural

n

existen

n

números naturales onseutivos que son ompuestos.

Problema 22 (OJM regional2008). Halleelmenor entero positivo

n

talque ada dígito de

15 n

sea 0ó 2.

Problema 23. Halletodas lassoluiones enteras de laeuaión

xy

₋

3 x

₋

2 y

= 15

.

Problema 24 (OIM1999). Halletodos losenteros positivosqueson menores

que 1000 y umplen on la siguiente ondiión: el ubo de la suma de sus

dígitos es igual aluadrado de diho entero.

Problema25. (OIM1999)Sea

B

unenteromayorque10talqueadaunode sus dígitospertenee alonjunto

{

1 ,

3 ,

7 ,

9 }

. Demuestre que

B

tiene un fator primo mayoro igual que11.

Algunos problemas abiertos sobre números primos

Dosnúmeros primosson gemelossidieren en dosunidades. Por ejemplo

3 y 5,5 y 7,11 y 13, 17y 19, 101 y 103, 1997 y 1999. ¾Existeninnitos pares

de primosgemelos? No sesabe.

La onjetura de Goldbah, menionada por primera vez en una arta de

GoldbahaEuleren1742,armaquetodonúmeroparmayorque2essumade

dosnúmerosprimos.Porejemplo

4 = 2+2

,

6 = 3+3

,

8 = 3+5

,

1000 = 3+997

,

10000 = 59 + 9941

. Se onoen muhos resultados pariales, pero la onjetura aún no se ha probado ni refutado, aunque en los últimos años se han heho

muhos anunios alrespeto.

¾Existeninnitosnúmerosprimosdelaforma

2

p

₋

₁

,on

p

primo?(Losprimos de esta formase llamannúmeros primos de Mersenne).

¾Existen innitos números primos de laforma

2

2 n

+ 1

, on

n

entero no nega-tivo)?(Los primos de esta formase llamannúmeros primos de Fermat).

(7)

Elalgoritmo de la división entera nos dieque si

a, b

∈

Z

y

b

6 = 0

entones existen númerosenteros únios

q

y

r

tales que

a

=

qb

+

r

y

0 ≤

r <

|

b

|

.

A

q

y

r

seles llama respetivamente oiente y resto de la división entera de

a

entre

b

. El resto es0 siy sólosi

a

esmúltiplo de

b

.

Observe quelosrestossólopueden ser 0,1,2,...,

|

b

| −

1

.Todoslosenteros

a

quedan así partiionados en onjuntos disjuntos, según uál sea el resto al dividirlosentre

b

.Esos onjuntossellamanlases residualesmódulo

b

.Esmuy fáilverquedos enterosestánen unamismalaseresdualmódulo

b

siysólosi sudifereniaesdivisibleentre

b

.Enefeto,si

a

=

qb

+

r

y

a

′

₌

_q

′

_b

₊

_r

entones

a

′

₋

_a

_{= (}

_q

′

₋

_q

₎

_b

y

b

|

a

′

₋

_a

. Reíproamente si

a

=

qb

+

r

y

a

′

₋

_a

₌

_kb

entones

a

′

₌

_a

₊

_kb

_{= (}

_q

₊

_k

₎

_b

₊

_r

. Problemas Problema 26. (Canguro 2007, 10 o

) Un entero positivo al ser dividido entre

4 deja resto 1 y al ser dividido entre 5 deja resto 3. ¾Qué resto deja al ser

dividido entre 20?

Problema 27. (Canguro 2007,11 o

)Sidividimos 336entre elnúmeronatural

n

elresto es 2.Entones el resto que seobtieneal dividir2007 entre

n

es: (a) 100; (b) 3; () 2; (d) 1;(e) 0.

Problema 28. (Canguro 2007,8 o

) Cinonúmeros enteros seesriben

alrede-dor de un írulo de maneraquelasuma de dos o de tres númerosadyaentes

no sea nuna múltiplo de 3. ¾Cuántos de los ino números son múltiplos de

3?

Problema 29. Halle el menor entero positivo tal que al dividirlo entre 2, 3,

4, 5,6, 7,8 o 9deja resto 1.

Problema 30. Halleelmenor enteropositivotalquealdividirlo entre 2deja

resto 1, al dividirlo entre 3 deja resto 2, al dividirlo entre 4 deja resto 2, al

dividirloentre 5dejaresto4,aldividirloentre 6dejaresto5,aldividirloentre

7 dejaresto 6, aldividirlo entre 8 dejaresto 7 y aldividirlo entre 9 dejaresto

8.

Problema 31. ¾Cuál es el exponente de 7 en la desomposiión de

2011!

en produto de fatores primos?

(8)

Problema 32. ¾En uántos eros termina

2011!

?

Problema 33 (XXIII OIM2008). Demuestrequenoexisten enteros positivos

x

e

y

tales que

x

2008

_{+ 2008! = 21}

y

_.

2.3. Máximo omún divisor

El máximo omún divisor de dos números naturales

a

y

b

es el mayor de sus divisores omunes y se denota

mcd(

a, b

)

. El md tiene las siguientes propiedades:

mcd(

a,

1) = 1

,

mcd(

a, b

) = mcd(

b, a

)

,

mcd(

a, b

) =

a

siy sólosi

a

|

b,

Si

a > b

,entones

mcd(

a, b

) = mcd(

a

−

b, b

)

,

Si

a

=

qb

+

r

,entones

mcd(

a, b

) = mcd(

b, r

)

.

Si se onoe la desomposiión en produto de fatores primos de

a

y de

b

, entones es muy fáil alular

mcd(

a, b

)

: es igual al produto de los fatores primos omunes elevados al menor de los exponentes on que apareen en

las desomposiiones de

a

y

b

. De aquí se dedue que

mcd(

a, b

)

no sólo es el mayor divisor omún sino que además ualquier otro divisor omún de

a

y

b

divide a

mcd(

a, b

)

. por ejemplo

406 = 2

·

7

·

29

y

147 = 3

·

7

2

, por lo tanto

mcd(406

,

147) = 7

.

El

mcd(

a, b

)

también sepuede obtener apliando elalgoritmo de Eulides: esribamos

a

=

bq

+

r

on

0 ≤

r < b

.Si

r

= 0

entones

b

|

a

y

mcd(

a, b

) =

b

.Si

r

₆

= 0

,entones

mcd(

a, b

) = mcd(

bq

+

r, b

) = mcd(

r, b

)

yelproblema seredue a alular

mcd(

b, r

)

. Prosiguiendode estamanera eventualmentese obtieneel resultado.

Ejemplo 1. Hallar

mcd(3127

,

2491)

medianteel algoritmode Eulides. Soluión.

3127 = 2

_·

2491 + 636

,

2491 = 3

_·

636 + 583

,

636 = 583 + 53

,

(9)

y por lo tanto

mcd(3127

,

2491) = 53

. es interesante haer los álulos por desomposiiónenprodutodefatoresprimosyomparareltrabajorealizado.

Del algoritmo de Eulides se sigue que

mcd(

a, b

)

se puede expresar en la forma

sa

+

tb

para iertos enteros

s

y

t

(esto se onoe omo Teorema de bezout). Por ejemplo, aprovehando los álulos que aabamos de haer se

tiene

mcd(406

,

147) = 7 = 112

₋

3 _·

35 = 112

₋

3(147

₋

112) = 4

_·

112 ₋

3 _·

147 = 4(406

₋

2 _·

147)

₋

3 _·

147 = 4

_·

406 ₋

11 _·

147 .

Una onseuenia importante de esta manera de expresar el máximo omún

divisor esel Lema de Eulides:

Si

a

|

bc

y

mcd(

a, b

) = 1

entones

a

|

c

.

Demostraión. Para iertos enteros

s

y

t

se tiene

1 = mcd(

a, b

) =

sa

+

tb

. Multipliando por

c

resulta

c

=

sac

+

tbc

y omo

a

|

sac

y

a

|

tbc

se tiene que

a

_|

sac

+

tbc

=

c

.

Números oprimos

Dosnúmeros

a

y

b

sedien oprimos, primos relativos o primos entre sí si no tienen más divisor omún que 1, es deir si

mcd(

a, b

) = 1

. Observe que en este aso

mcm

(

a, b

) =

ab

.

Si

mcd(

a, b

) =

d

entones

mcd(

a/d, b/d

) = 1

, es deir que

a/d

y

b/d

son oprimos.

2.4. Mínimo omún múltiplo

Elmínimoomúnmúltiplo de

a

y

b

eselmenorde sus múltiplosomunesy se denota

mcm(

a, b

)

. El

mcm(

a, b

)

esigual alproduto de los fatores primos omunes y no omunes elevados al mayorde losexponentes on queapareen

en

a

y

b

.De aquísededue que

mcm(

a, b

)

nosóloeselmenormúltiploomún sino que además divide aualquier otro múltiplo omún de

a

y

b

.

El

mcd(

a, b

)

y el

mcm(

a, b

)

satisfaen la siguienterelaión:

mcd(

a, b

)

_·

mcm(

a, b

) =

ab.

Si un número natural es divisible entre el produto

ab

de otros dos, entones es divisible entre ada uno de ellos. El reíproo no es ierto: 12 es divisible

(10)

entre 4 y entre 6pero noesdivisible entre

4

· 6 = 24

. Loquesiempre sepuede armaresquesi

n

esmúltiplode

a

yde

b

entones

n

esmúltiplode

mcm(

a, b

)

. Problemas

Problema 34. Sean

a

= 999

. . .

999 |

{z

}

40

nueves

y

b

= 999999999999

.Halle

mcd(

a, b

)

. Problema35. Juan,MarioyPedroentrenandandovueltasenbiiletaauna

pista irular.Juan tarda8minutosen dar unavuelta, Mariotarda 9minutos

y Pedro tarda 12 minutos. Si los tres parten del mismo punto a las 6:00 am,

¾a qué hora volverán a enontrarse?

Problema 36. Pruebe que todo número natural tiene un múltiplo uyos

dí-gitos son solamenteunos o eros.

Problema 37. Pruebe que todo número natural oprimo on 10 tiene un

múltiplo uyos dígitos son todos unos.

Problema 38. Se tiene una hoja retangularde papelmilimetrado de

259 ×

154

.Si setraza una diagonal, ¾uántos uadraditos atraviesa?

Se die que ladiagonalatraviesaun uadraditosi ontiene almenosun punto

interior del mismo.

Problema39(OJM2009). `Anavendegalletas,quevienenenajaspequeñas

de 5 unidades y en ajas grandes de 12 unidades. Si, por ejemplo, un liente

quiere 39 galletas,Ana puededespahar elpedidoexatamente on tres ajas

pequeñas y dos grandes, ya que

3 ×

5 + 2

×

12 = 39

. Pero hay pedidos que no se pueden despahar exatamente, por ejemplo, uando un liente quiere

7, 16ó 23 galletas.¾Cuál esel pedido más grande que nose puede despahar

exatamente?

Nota: Se supone que Ana tiene o puede pedir a la fábria todas las galletas

que le haganfalta.

Problema 40. Sean

a

y

b

naturales oprimos. Pruebe que ualquier natural suientementegrande puede expresarse en la forma

sa

+

tb

on

s

y

t

enteros nonegativos.¾Cuál eselmayorenteroquenosepuedeexpresarenesa forma?

(11)

Lanoión de ongruenia fue introduida por Gauss (17771855). Se die

que dos enteros

a

y

b

son ongruentes módulo

m

si

m

|

(

a

−

b

)

. Enese aso se esribe

a

_≡

b

(m´od

m

)

.

Las ongruenia módulo

m

tiene muhas propiedades similares a las de la igualdad,entre ellas lareexividad, lasimetría y latransitividad:

a

_≡

a

(m´od

m

)

,

a

_≡

b

(m´od

m

)

_⇒

b

_≡

a

(m´od

m

)

,

a

_≡

b

(m´od

m

)

y

b

≡

c

(m´od

m

)

⇒

a

≡

c

(m´od

m

)

.

También se pueden sumar, restar o multipliar ongruenias (del mismo

mó-dulo) miembro amiembro:

Si

a

≡

b

(m´od

m

)

y

c

≡

d

(m´od

m

)

entones

a

+

c

_≡

b

+

d

(m´od

m

)

,

a

₋

c

_≡

b

₋

d

(m´od

m

)

,

ac

_≡

bd

(m´od

m

)

.

La prueba de todas estas propiedades es inmediata. Porejemplo la última se

prueba así: omo

a

≡

b

(m´od

m

)

y

c

≡

d

(m´od

m

)

se tiene, pordeniión, que

p

_|

(

a

₋

b

)

y

p

|

(

c

−

d

)

. Pero

ac

−

bd

=

ac

−

ad

+

ad

−

bd

=

a

(

c

−

d

) + (

a

−

b

)

d

, porlo tanto

p

|

(

ac

−

bd

)

y

ac

≡

bd

(m´od

m

)

.

Si

mcd(

a, m

) = 1

entones

a

tiene un inverso multipliativo módulo

m

, es deir un número

s

tal que

as

≡

1 (m´od

m

)

. En efeto, omo

sa

+

tm

= 1

para iertos enteros

s

y

t

, resulta

sa

= 1

−

tm

≡

1 (m´od

m

)

. Este inverso multipliativo es únio módulo

m

, ya que si

sa

≡

s

′

_a

_≡

_{1 (m´od}

_m

₎

entones,

omo

mcd(

a, m

) = 1

, se dedue

s

≡

s

′

_(m´od

_m

₎

. La existenia del inverso

multipliativo permite resolver euaiones lineales en ongruenias del tipo

ax

_≡

b

(m´od

m

)

. En efeto, basta multipliar la ongruenia por

s

y resulta

sax

_≡

sb

(m´od

m

)

, o sea

x

≡

sb

(m´od

m

)

.

Si

m

6 = 0

y

r

es el resto de la división de

a

entre

m

, entones

a

=

mq

+

r

y

m

|

(

a

−

r

)

, es deir que

a

≡

r

(m´od

m

)

. Como

0 ≤

r < m

podemos deir que ualquier entero es ongruente módulo

m

on uno de los números

0 ,

1 , . . . , m

₋

1

. Si

a

y

b

dejan elmismo resto

r

al dividirlosentre

m

, entones

a

_≡

r

_≡

b

(m´od

m

)

y portransitividad

a

≡

b

(m´od

m

)

.Reíproamente, si

a

≡

b

(12)

entones

r

≡

a

≡

b

≡

s

(m´od

m

)

y por transitividad resulta

r

≡

s

(m´od

m

)

, es deir

m

|

(

r

−

s

)

. Pero omo

0 ≤

r, s < m

se tiene que

0 ≤ |

r

−

s

|

< m

, y la únia posibilidad para que

m

dividaa

r

−

s

es

r

−

s

= 0

, es deir

r

=

s

. En resumen,

a

≡

b

(m´od

m

)

siy sólo sial dividir

a

y

b

entre

m

seobtienen restos iguales.

Ejemplo 2. Calularelresto de ladivisión de

2

2011

entre 7.

Soluión. Calular

2

2011

paradespuésefetuarladivisiónestálaramentefuera

de nuestroalane(almenosonlápizy papel).Pero omo

2

3

_{= 8}

_≡

_{1(m´od 7)}

se tiene

2

2011

= 2

3

· 670+1

_{= (2}

3

₎

670

·

2 _≡

1

670

_·

2 _≡

2 (m´od 7)

Criterios de divisibilidad

Existenvariosriteriosdedivisibilidadquepermitenaveriguarrápidamente

si un númeronaturales divisibleentre otros númerosnaturales pequeños.Los

más onoidos armanque un númeroes divisible entre:

2 si y sólosi suúltima ifraes par.

3 si y sólosi lasuma de sus ifras esdivisible entre 3.

4 siy sólosielnúmeroformadoporsus dos últimasifrasesdivisibleentre 4.

5 si y sólosi suúltima ifraes 0 ó5.

7 si y sólo si al quitarle la ifra

u

de las unidades y restarle

2 u

al número resultante, seobtiene un múltiplo de 7.

8 si y sólosi elnúmeroformado por sus 3 últimasifras esdivisible entre 8.

9 si y sólosi lasuma de sus ifras esdivisible entre 9.

10 si y sólosi suúltima ifraes 0.

11 si y sólosi lasuma algebraia alternada de sus ifras esmúltiplo de 11.

Las pruebas son senillas usando ongruenias. Por ejemplo, omo

10 ≡

1 (m´od 9)

resultaque

10

k

_≡

_{1 (m´od 9)}

y entones

(13)

omo

10 ≡ −

1 (m´od 11)

resulta que

10

2 k

_≡

_{1 (m´od 11)}

y

10

2 k

+1

_{≡ −}

₁

(m´od 11)

,de donde

a

n

10

n

+

a

n

−

1

10

n

−

1

+

· · ·

a

1

· 10 +

a

0

≡

(

−

1)

n

a

n

+

· · ·

+

a

2

−

a

1

+

a

0

(m´od 11)

,

de donde sededue elriterio de divisibilidadentre 11.

Tal vez el riterio menos onoido (y usado) sea el de divisibilidad entre

7. Ese riterio arma que

n

= 10

a

+

u

es divisible entre 7 si y sólo si

a

−

2 u

lo es. Pero si

10 a

+

u

≡

0 (m´od 7)

, multipliando por

−

2

resulta

−

20 a

−

2 u

_≡

0 (m´od 7)

, es deir

a

−

2 u

≡

0 (m´od 7)

(pues

−

20 ≡

1 (m´od 7)

), y reíproamentesi

a

−

2 u

≡

0 (m´od 7)

multipliandopor10resulta

10 a

−

20 u

≡

0 (m´od 7)

,es deir

10 a

+

u

≡

0 (m´od 7)

.

Algunos ejemplos: 987654 es divisible entre 2 pero no entre 4. 123456 es

divisible entre 3 pero no entre 9. 12345 es divisible entre 5 pero no entre 10.

123456789esmúltiplode9peronode6.273esmúltiplode7pues

27 −

2

· 3 = 21

loes.917652esdivisibleentre11pues

9 −

1 + 7

−

6 + 5

−

2 = 11

loes.Cualquier número on una antidad par de ifras idéntias es divisible entre 11, ya que

la suma alternada de todas ellas es0.

Funión

φ

de Euler

Si

n

esunnúmeronaturalsedene

φ

(

n

)

omolaantidadde númerosdel onjunto

{

1 ,

2 , . . . , n

}

quesonoprimoson

n

.Porejemplo

φ

(6) = 2

yaquede losnúmeros1,2,3,4,5y6solamente1y5sonoprimoson6.Si

p

esprimoy

a

naturalentones entre1y

p

a

solamentelosnúmeros

p,

2 p,

3 p, . . . , p

a

−

1

_p

₌

_p

a

no son oprimoson

p

a

, es deirque

φ

(

p

a

_{) =}

_p

a

₋

_p

a

−

1

₌

_p

a

₍₁

₋

₁

_/p

₎

.Más en

general sepuede probar quesi

n

=

p

a

1

p

a

2

· · ·

p

a

k

entones

φ

(

n

) = (

p

a

1

−

p

a

1 ₋

1

)(

p

a

2

−

p

a

2 ₋

1

2

)

· · ·

(

p

a

k

−

p

a

k−

1 k

)

=

n

1 ₋

1 p

1

1 ₋

1 p

2

· · ·

1 ₋

1 pk

.

Teorema de Euler-Fermat

Si

mcd(

a, m

) = 1

entones

(14)

Demostraión. Sean

c

1

,

c

2

,...,

cφ

(

n

)

loselementos de

{

1 ,

2 , . . . , n

}

que son o-primos on

n

y pongamos

aci

=

qin

+

ri

, para

i

= 1

,...,

φ

(

n

)

, on

0 ≤

ri

< n

. Es laro que los restos

ri

son todos diferentes, ya que

ri

=

rj

=

⇒

aci

=

acj

(m´od

n

) =

_⇒

ci

=

cj

(m´od

n

)

(por ser

a

oprimo on

n

), absurdo. Además

mcd(

ri, n

) = mcd(

aci

₋

qin, n

) = mcd(

aci, n

) = 1

. Se onluye que

{

c

1

, c

2

, . . . , cφ

(

n

)

}

=

{

r

1

, r

2

, . . . , rφ

(

n

)

}

.

Pero

ri

≡

aci

(m´od

n

)

, por lotanto

c

1

c

2

· · ·

cφ

(

n

)

=

r

1

r

2

· · ·

rφ

(

n

)

≡

a

φ

(

n

)

c

1

c

2

· · ·

cφ

(

n

)

(m´od

n

)

,

de donde resulta

a

φ

(

n

)

_≡

_{1 (m´od}

_n

₎

.

Unasopartiular importantesepresentauando

n

esprimo.Observeque si

p

esprimo entones

φ

(

p

) =

p

−

1

,porlo tantose tiene:

Teorema (pequeño) de Fermat

Si

p

esprimo y

p

∤

a

, entones

a

p

−

1

≡

1 (m´od

p

)

.

Problemas

Problema 42. Un número se esribe on ien eros, ien unos y ien doses,

en algún orden.¾Puede ser un uadrado perfeto?

Problema 43. Pedro multipliódos enteros de dos ifrasada uno y odió

los fatoresy elproduto on letras,usando letrasiguales paradígitos iguales

y letras diferentes para dígitos diferentes. Entones le mostró al maestro su

trabajo:

AB

· CD

=

EEF F

.Pero elmaestroleontestó:Revisaloquehiiste, pues ometiste un error. ¾Cómo supo eso elmaestro?

Problema 44. Permutando lasifras del número

1223334444555556666667777777

¾podrá obtenerse un uadrado perfeto?

Problema 45. Si

m

y

n

sonenterostalesque

m

2

₊

_n

2

esmúltiplode3,pruebe

(15)

Problema 46. Hallarel menorentero positivo

x

tal que

21 x

≡

2(m´od 37)

. Problema 47. Si

x

,

y

,

z

son enteros tales que

x

2

₊

_y

2

₌

_z

2

, pruebe que al

menos uno de ellos esmúltiplo de 3.

Problema48. Sitresnúmerosprimosmayoresque3estánenprogresión

arit-métia, pruebe quela razón (odifereniaomún) de laprogresión es múltiplo

de 6.

Problema49. Setienen7númerosenterostalesquelasumade6ualesquiera

de ellos esdivisible entre 5.Pruebeque los7 números son múltiplosde 5.

Problema 50. Si

x

,

y

,

z

son enteros tales que

x

2

₊

_y

2

₊

_z

2

esmúltiplode 4,

pruebeque tanto

x

,

y

,

z

son los tres pares.

Problema 51. Pruebe que

2222

5555

_{+ 5555}

2222

es divisibleentre 7.

Problema 52. ¾Qué resto se obtieneal dividir

2

3 2011

entre 17?

Problema 53. Pruebe que existe

n

tal que

3

n

tiene al menos 2011 eros

onseutivos.

Problema 54. Pruebe que, dado ualquier natural

N

, existe

n

tal que

2

n

tiene al menos

N

eros onseutivos.

Problema 55 (Teorema de Wilson). Pruebe que, para ualquier primo

p

, se umple

(

p

₋

1)!

_{≡ −}

1 (m´od

p

)

.

Residuos usdrátios

Si

m

es un entero, se llama residuo uadrátio módulo

m

a aualquier entero

a

oprimo on

m

para el ual tenga soluiónlaongruenia

x

2

_≡

a

(m´od

m

)

.

Porejemplo 3 esun residuouadrátio módulo 11, ya que

5

2

_≡

_{3 (m´od 11)}

.

Elsiguienteteorema, probado porGauss, esuno de losresultados más

im-portantesyprofundosdelateoríaelementaldenúmeros.Parasudemostraión

remitimosal letor ala literaturaespeializada.

Ley de reiproidad uadrátia. Si

p

y

q

son primos impares y al menos uno de ellosesde laforma

4 n

+ 1

,entones

p

esunresiduouadrátio módulo

q

siysólosi

q

esunresiduouadrátiomódulo

p

.Sienambio

p

y

q

sonambos de la forma

4 n

+ 3

, entones

p

esun residuo uadrátio módulo

q

si y sólo si

(16)

Problema 56. Si

p

es un primo impar entones la mitad de los enteros de 1 a

p

−

1

son residuosuadrátios módulo

p

y laotra mitad nolo son.

Problema 57. Si

p

es un primo de la forma

4 n

+ 3

entones

−

1

no es un residuo uadrátio módulo

p

.

Problema 58. Si

p

esun primode laforma

4 n

+ 1

entones

−

1

esun residuo uadrátio módulo

p

.

Problema 59. Pruebe que existen innitosprimos de la forma

4 n

+ 1

. Problema 60. Si

p

es un primo de la forma

4 n

+ 3

y

p

|

a

2

₊

_b

2

, pruebe que

p

_|

a

y

p

|

b

.

Algunos problemas adiionales

Problema 61. Sea

S

(

n

)

la suma de los dígitos de la expresión deimal del número natural

n

(porejemplo

S

(748) = 7 + 4 + 8 = 19

).¾Qué relaiónexiste entre

S

(2

n

)

y

2 S

(

n

)

?

Problema 62 (XOMCC, Honduras, 2008). Halleelmenorenteropositivo

N

tal quela suma de sus ifrassea 100, y lasuma de las ifrasde

2 N

sea 110. Problema 63. (OM 2005,

1

er

Nivel) Un número entero se llama autodivi si

es divisible entre el número de dos ifrasformado por sus dos últimos dígitos

(deenasyunidades).Porejemplo,78013esautodivipuesesdivisibleentre13,

8517esautodivipuesesdivisibleentre17.Halle6númerosenterosonseutivos

que sean autodivi y que tenganlas ifrasde lasunidades, de lasdeenas y de

las entenas distintas de 0.

Problema 64. (IMO 1989)Pruebe quepara ualquier

n

enteropositivo exis-ten

n

enterospositivosonseutivosningunodelosualesesprimonipotenia de un primo.

Problema65.(OMCC2002)Enuentreunonjuntoinnitodeenteros

positi-vos

S

talqueparaada

n

≥

1

yualesquiera

n

elementosdistintos

x

1

, x

2

, . . . , xn

de

S

,el número

x

1

+

x

2

+

· · ·

+

xn

noes un uadrado perfeto.

Problema 66. (IMO 2002) Losdivisores positivosdel entero

n >

1

son

d

1

<

d

2

<

· · ·

< dk

,on

d

1

= 1

y

dk

=

n

.Sea

d

=

d

1

d

2

+

d

2

d

3

+

· · ·

+

dk

−

1

dk

.Pruebe que

d < n

2

y halle todos los

n

para los uales

d

divide a

n

2

(17)

Problema 67. (OMCC 2001) Enontrar todos los números naturales

N

que umplan lasdos ondiiones siguientes:

Sólo dos de losdígitos de

N

son distintos de 0y uno de ellos es 3.

N

es un uadrado perfeto.

Problema 68. (IMO 2003-6) Sea

p

un número primo. Demostrar que existe un númeroprimo

q

talque,paratodoentero

n

,elnúmero

n

p

₋

_p

noesdivisible

por

q

.

Problema 69. (IMO 2006-4) Determine todas las parejas de enteros

(

x, y

)

tales que

1 + 2

x

_{+ 2}

2 x

+1

₌

_y

2

.

Problema 70. (IMO2011-5)Sea

f

unafunióndel onjuntode losenterosal onjuntode losenteros positivos.Se supone quepara ualesquiera dosenteros

m

y

n

, la diferenia

f

(

m

)

−

f

(

n

)

es divisible por

f

(

m

−

n

)

. Demostrar que para todoslosenteros

m

y

n

on

f

(

m

)

≤

f

(

n

)

,elnúmero

f

(

n

)

esdivisiblepor

f

(

m

)

.

Soluiones

1ElprofesorDaríodividió111111111111111111entre 9yasíobtuvoelnúmero

mágio12345679012345679.Paraualquierifra

x

del1al9,sielnúmero mági-osemultipliapor

9 x

evidentementeelresultadoserá

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

. 2No.Comoelúltimodígitodeunprodutosólodependede losúltimosdígitos

de losfatores, basta examinarlos produtos

1 ×

2 = 2

,

2 ×

3 = 6

,

3 ×

4 = 12

,

4 _×

5 = 20

,

5 ×

6 = 30

,

6 ×

7 = 42

,

7 ×

8 = 56

,

8 ×

9 = 72

y

9 ×

0 = 0

para onvenerse de que el produto de dos enteros onseutivos sólo puede

terminaren 0,2 ó 6.

3 Si se esriben Las primeraspoteniasde 2:

2

1

_{= 2}

,

2

_{= 4}

,

2

3

_{= 8}

,

2

4

_{= 16}

,

2

5

_{= 32}

,

2

6

_{= 64}

,

2

7

_{= 128}

,

2

8

_{= 256}

,

2

9

_{= 512}

,...se observa que la última

ifra se repite periódiamente: 2, 4, 8,6, 2, 4,8, 6,...Esto esonseuenia de

que elúltimo dígito de un produtosólo depende de losúltimosdígitos de los

fatores, asíla siguientea ualquierpotenia de 2que termineen 2terminará

en

2 ×

2 = 4

,lasiguienteaualquieraquetermineen4terminaráen

4 ×

2 = 8

, la siguiente aualquiera que termine en 8 terminará en 6 (pues

8 ×

2 = 16

y la siguiente a ualquiera que termine en 4 terminará en 2 (pues

6 ×

2 = 12

. Como

2011 = 502

×

4 + 3

,

2

2011

terminaen 8.

(18)

5 Se tratade hallarun número

abc . . . xyz

talque

zabc . . . xy

= 2

· abc . . . xyz

, o bien

abc . . . vwxyz

×

2 zabc . . . vwxy

Observe que

z

debe ser al menos 2. Supongamos que

z

= 2

. Entones, omo

2 _·

2 = 4

, debe ser

y

= 4

. Ahora, omo

4

· 2 = 8

, debe ser

x

= 8

. Y omo

8 _·

2 = 16

,debe ser

w

= 6

y nos llevamos1. Ahora

6

· 2 + 1 = 13

, por lotanto

v

= 3

.

abc . . .

36842

×

2 zabc . . .

3684

Laideaesontinuardeestamanerahastaque, alhaerelproduto,seobtenga

nuevamentela ifra2, sinaarreo. Asíresulta lo siguiente:

105263157894736842

×

2

210526315789473684

Esta es lasoluiónmás pequeñaal problema.Comenzando on

z

= 3

,

4 , . . . ,

9

se obtienen otras soluiones: 157894736842105263,210526315789473684,

263157894736842105,315789473684210526,368421052631578947,

421052631578947368y 473684210526315789(observe que todas estas son

ver-siones rotadas de la primera que obtuvimos). Finalmente, onatenando dos

o más de las soluiones anteriores se obtienen nuevas soluiones, de 36, 54,

72,...ifras.

6 Enla primerapasadase borran todos losimpares,quedando lospares del 2

al 2008. La segunda pasada deja todos los múltiplos de 4 desde el 4 hasta el

2008. Así suesivamente vanquedando losmúltiplosde 8, luego losde 16, 32,

64, 128,256, 512y1024.Como

1728 = 64

·

27

,sobrevivealasexta pasadayes borrado en la séptima. Como el únio múltiplo de 1024 (no mayorque 2009)

es el mismo 1024, éste es el último número borrado y se elimina en la pasada

número 11.

7 Uno de los números

n

,

n

+ 1

y

n

+ 2

es múltiplo de 3, y al menos uno de ellos espar, por lotanto elproduto esdivisible entre

3

· 2 = 6

.

8 Al menos uno de los números

n

,

n

+ 1

,

n

+ 2

y

n

+ 3

es múltiplo de 3, y dos de ellos son pares, siendo uno de los dos múltiplo de 4. Por lo tanto, el

produto esdivisible entre

3

·

2

·

2

_{= 24}

(19)

9

1 +

k

2

₊

_k

4

_{= (1 +}

_k

2

₎

2

₋

_k

2

_{= (1 +}

_k

2

₊

_k

_{)(1 +}

_k

2

₋

_k

₎

. 10 Si

n

es múltiplo de 3 entones

n

3

_{+ 2}

_n

₌

_n

₍

_n

2

_{+ 2)}

también lo es. De lo

ontrario

n

+ 1

o

n

−

1

deben ser múltiplosde 3,es deir que

n

debeser de la forma

3 k

−

1

o

3 k

+ 1

. Pero entones

n

2

_{+ 1 = 9}

_k

2

_±

₆

_k

_{+ 3}

es múltiplode 3. Porongruenias:

n

3

_{+ 2}

_n

_≡

_n

₋

_n

_{= 0 (m´od 3)}

. 11 Observe que

13(2

m

+ 3

n

)

−

17(

m

+ 2

n

) = 9 + 5

n

. 12 El número de divisores del número

n

=

p

a

1

p

a

2

· · ·

p

a

k

es

(

a

1

+ 1)(

a

2

+

1)

_{· · ·}

(

ak

+ 1)

,queesimpar siy sólositodos los

ai

son pares,loual ourre si y sólo si

n

esun uadrado perfeto.

13Ningunaoperaiónpuedeinrementarelexponentede5sinhaerlomismo

onelde3.Esodesarta (b)y(e).A(d)sólosepuedellegarmultipliandopor

2 y elevando luego al ubo,o elevando al ubo primero y luego multipliando

por2 tres vees, esdeir en 2 o 4operaiones, y nuna en 5.Para obtener ()

nabríaqueelevarunaúniavezaluadrado(porel

5

2

),loualobligaarealizar

al menos ino operaiones para obtener

2

8

, y al menos otra para obtener

3

4

.

Finalmente (a) se obtiene multipliando dos vees por 2, multipliando luego

por3, elevando al uboy multipliando por 5.

14 Para que

10 A

sea un uadrado perfeto los fatores primos 2 y 5 deben apareer en ladesomposiiónde

A

onexponenteimpar.Para que

6 A

sea un uboperfeto losexponentes de losfatoresprimos2y3en ladesomposiión

de

A

deben ser de la forma

3 k

+ 2

. Además debe apareer 5 on exponente múltiplode 3.Comoelmenorentero impardelaforma

3 k

+ 2

esino,

A

debe ser divisible entre

2

5

_·

₃

2

_·

₅

3

_{= 36000}

, y éste es el menor

A

posible. Es fáil ver que los valores de

A

que umplen la ondiión son todos los de la forma

36000

n

6

, para

n

natural.

15 Hay 9primos extraños, asaber 2, 3,5,7, 23, 37, 53, 73y 373.

16 Si

n

fuese ompuesto se podría esribir

n

=

rs

on

r

y

s

enteros mayores que 1.Sea

x

= 2

r

. Entones

2

n

_{= (2}

r

₎

s

₌

_x

s

y

2

n

₋

1 =

x

s

₋

1 = (

x

₋

1)(

x

s

−

1

₊

_x

s

−

2

₊

· · ·

+

x

2

+

x

+ 1)

,

sería ompuesto.

El reíproo noes ierto, es deir que hay primos

p

para losuales

2

p

₋

₁

no es primo. El primer ejemplo es

p

= 11

, ya que

2

11

₋

_{1 = 2047 = 23}

_·

₈₉

.

Los primos de la forma

2

p

₋

₁

se llaman números primos de Mersenne en

honoralpadreMarinMersenne, quienmantuvoorrespondeniaon Fermaty

(20)

es

2

43112609

₋

₁

, un primo de Mersenne de 12978189 ifras. Hasta ahora se

onoen47primosdeMersenne, elúltimode losualesfuehalladoenabrildel

2009 pormediode una búsqueda oletivaorganizada através de Internet. Si

desea saber más de esta búsqueda visitehttp://www.mersenne.org

17 Si

n

es divisible poralgún primo impar

p

entones

n

=

pr

y

2

n

+ 1 = (2

r

)

p

+ 1 = (2

r

+ 1)(2

r

(

p

−

1)

−

2

r

(

p

−

2)

₊

· · · −

2

r

+ 1)

,

oseaque

2

n

₊₁

esompuesto.Porlotantosi

2

n

₊₁

esprimo

n

tieneomoúnio fator primo al2,esdeir que

n

esuna poteniade 2.Sisepone

Fn

= 2

2 n

+ 1

entones

F

0

= 3

,

F

1

= 5

,

F

2

= 17

,

F

3

= 257

y

F

4

= 65537

son todos primos. EnbaseaestoFermatonjeturóen1650quetodoslos

Fn

eranprimos,peroen 1732 Eulerhallóque

F

5

= 2

32

_{+ 1 = 4294967297 = 641}

_·

_6700417

esompuesto.

De heho, no se onoe ningún

Fn

primo on

n >

5

. Los primos de la forma

2

2 n

+ 1

se llamannúmeros primos de Fermat.

18 El 19. En realidadningún primo

p

puedeapareer, pues siaparee losdos númerosnoadyaentesseríanmúltiplosde

p

,peroomosonadyaentesentresí se llegaauna ontradiión.Puede probarse queualquiernúmero ompuesto

puede apareer, pues si

p

6 =

q

son dos fatores primos de

n

y

r

,

s

y

t

son primos que nodividen a

n

,la disposiión

pr

,

st

,

n

,

rt

,

qs

umplela ondiión del problema.

19 Si

d

eselmenor divisorde

N

mayorque1,entones elmayordivisor de

N

menor que

N

es

45 d

y

d

· (45

d

) = 45

d

2

₌

_N

. Es laro que

d

debe ser primo y que sus únios valores posibles son 2 y 3. Luego, sólo hay dos números

N

posibles:

180 = 45

·

2

y

405 = 45

·

3

2

.

20 Desomponiendo ada miembro de la igualdad

56 a

= 65

b

en produto de fatores primos, seveque

a

= 65

A

y

b

= 56

B

para iertos naturales

A

y

B

,y sustituyendo en la igualdadqueda

56

·

65 A

= 65

·

56 B

, de donde

A

=

B

. Por lo tanto

a

+

b

= 65

A

+ 56

A

= 11

2

_A

esompuesto.

2118 Si

n

= 1

se toma ualquier ompuesto, si

n >

1

entones por ejemplo

(

n

+ 1)! + 2

,

(

n

+ 1)! + 3

,...,

(

n

+ 1)! +

n

.

22Como

15 n

= 5(3

n

)

esmultiplode5,debeterminaren5óen0.Enesteaso debeterminaren 0.Como

15 n

= 3(5

n

)

esmultiplode 3,lasumadesus dígitos debe ser múltiplo de 3 y, por tanto, la menor antidad de doses neesarios

para obtener un múltiplode 3son tres.Ceros, nohae faltamás queelúltimo

dígito. Luego, el valormás pequeño para

15 n

es

2220 = 15

·

148

y elmenor

n

posiblees 148.

(21)

(

x

₋

2)(

y

₋

3)

, pero también aparee un 6. Entones sumando 6 a ambos miembros La euaión se transforma en

(

x

−

2)(

y

−

3) = 21

. Ahora sólofalta expresar 21 de todas las manerasposibles omo produto de dos enteros.

x

₋

2 y

₋

3 x

y

1 21 3 24 3 7 5 10 7 3 9 6 21 1 23 4

−

1 ₋

21

1

−

18 −

3 ₋

7 ₋

1 ₋

4 −

7 ₋

3 ₋

5

0

−

21 ₋

1 ₋

19

2 24 Si

n

2

es un ubo perfeto, entones también

n

es un ubo perfeto. Los ubosperfetos menoresque1000 son1,8,27, 64,125, 216,343, 512y 729,de

los uales sóloumplen laondiión 1y 27.

25 Si no fuera así, los únios fatores primos de

B

serían 3 y 7. Pero esto ontradie elheho de que todos los números de la forma

3

n

₇

m

tienenla ifra

de lasdeenas par.Enefeto, esto esiertopara3y 7,ysiun número tienela

ifra de lasdeenas par y termina en 1, 3, 7ó 9, al multipliartlopor3 o por

7seguirá teniendola mismaaraterístia,yaque elaarreodesdelaolumna

de laderehaserá siempre par (0,2, 4ó 6).

26 Sea

n

= 5

k

+ 3

y pongamos

k

= 4

q

+

r

, on

0 ≤

r <

4

. Entones

n

=

5(4

q

+

r

) + 3 = 20

q

+ 5

r

+ 3

deja elmismo resto que

5 r

+ 3

aldividirlo entre 4, y para que ese resto sea 1 debe ser

r

= 2

. Por lo tanto la respuesta es

5 _·

2 + 3 = 13

.

27Observemosque

n >

2

yquesepuedeesribir

336 =

qn

+ 2

.Como

336

· 6 =

2016

se tiene

2007 = 336

·

6 −

9 = 6(

qn

+ 2)

−

9 = 6

qn

+ 3

. Ahora bien,

n

no puede ser 3 (pues 336 entre 3deja resto 0 y no2), es deir que

n >

3

y la igualdad

2007 = 6

qn

+ 3

muestraque elresto busado es3.

28 Fijándonos en los restos al dividir los números entre 3 (que pueden ser

0, 1 ó 2) observamos que no puede haber dos eros ontiguos, ni un 1y un 2

ontiguos,nitresrestosigualesonseutivos,nirestos0,1y2(enalgúnorden)

onseutivos.Deestosededue quedebehaberalgún0(de loontrariohabría

un 1 y un 2 ontiguos, o serían todos unos o todos eros). Los veinos de ese

(22)

onguraión íliade restos debeser

(1

,

1 ,

0 ,

1 ,

0)

o

(2

,

2 ,

0 ,

2 ,

0)

y dos de los ino números deben ser múltiplosde 3.

29

n

−

1

debe ser múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, por lo tanto el menor posible umple

n

−

1 = mcm(2

,

3 ,

4 ,

5 ,

6 ,

7 ,

8 ,

9) = 2

3

_·

₃

2

_·

₅

_·

_{7 = 2520}

, y la respuesta es

n

= 2521

. 30 Análogamente

n

+ 1 = mcm(2

,

3 ,

4 ,

5 ,

6 ,

7 ,

8 ,

9) = 2

3

_·

₃

2

_·

₅

_·

_{7 = 2520}

, por lo tanto

n

= 2519

.

31 Desde 1 hasta 2011 hay

2011

7 = 287

múltiplos de 7, por lo tanto el exponentebusado esalmenos287.Pero losmúltiplosde

7

2

_{= 49}

ontribuyen

al menos on dos sietes, porlo tanto se debe sumar

2011

49 = 41

. Del mismo

modohayquesumarunsieteporadamúltiplode

7

3

_{= 343}

,esdeir

2011

343 =

5

. Larespuesta esentones

287 + 41 + 5 = 333

.

Engeneral, elexponentede un primo

p

en

n

!

es

n

p

+

n

p

2

+

n

p

3

+

_{· · ·}

32 El exponentede 5 en

2011!

es

2011

5 +

2011

25 +

2011

125 +

2011

625 = 402 + 80 + 16 + 3 = 501

yelexponentede2esobviamentemayorqueelde5,porlotanto

2011!

termina en 501 eros.

33 Observe que

21 = 3

·

7

. Laantidad de fatores primos 3 en

2008!

es

n

=

2008

3 +

2008

9 +

_{· · ·}

<

2008

.

Como

3 |

21

y

3 |

2008!

resulta que

3 |

x

y la antidad de fatores primos 3 en

x

2008

espor lomenos 2008. Por lotantola mayorpotenia de 3 quedivide

al miembro izquierdo es

3

n

, de donde

y

=

n

. Razonando de manera similar on el 7,

y

debería ser igual a la antidad de fatores 7 en 2008!. Pero eso es imposible, pues ese númeroes laramentemenor que

n

.

(23)

mcd(10

40

₋

₁

_,

₁₀

12

₋

_{1) = mcd(10}

40

₋

₁

₋

₁₀

28

₍₁₀

12

₋

₁₎

_,

₁₀

12

₋

₁₎

= mcd(10

28

₋

₁

_,

₁₀

12

₋

_{1) = mcd(10}

28

₋

₁

₋

₁₀

16

₍₁₀

12

₋

₁₎

_,

₁₀

12

₋

₁₎

= mcd(10

16

₋

₁

_,

₁₀

12

₋

_{1) = mcd(10}

16

₋

₁

₋

₁₀

4

₍₁₀

12

₋

₁₎

_,

₁₀

12

₋

₁₎

= mcd(10

4

₋

₁

_,

₁₀

12

₋

_{1) = 10}

4

₋

₁

, ya que

10

12

₋

_{1 = (10}

4

₎

3

₋

_{1 = (10}

4

₋

₁₎₍₁₀

8

_{+ 10}

4

_{+ 1)}

.

35 Se enontrarán después de

mcm(8

,

9 ,

12) = 72

minutos, esdeir a las7:12 am.

36Dado

n

onsiderelos

n

+1

números1,11,111,...,

11 . . .

11 |

{z

}

n

+1

unos

.PorelPrinipio

de las asillas debe haber dos de ellos, digamos

11 . . .

11 |

{z

}

h

unos y

11 . . .

11 |

{z

}

k

unos , on

i

≤

h < k

_≤

n

+ 1

, que dejan el mismo resto aldividirlos entre

n

. Por lo tanto su diferenia, esdeir

11 . . .

11 |

{z

}

k

−

h

unos

00 . . .

00 |

{z

}

h

eros ,es múltiplo de

n

.

37 Si

n

es natural, por el problema anterior

n

|

11 . . .

11 |

{z

}

k

−

h

unos

00 . . .

00 |

{z

}

h

eros , es deir

n

_|

r

_·

10

h

,donde

r

tienetodossusdígitosigualesa1.Peroomo

mcd(

n,

10) = 1

resulta que

n

|

r

.

38Engeneralsupongamosquelahojatienedimensiones

m

×

n

yonsideremos unsistemadeoordenadasartesianasenelualelvértieinferiorizquierdosea

(0

,

0)

y elderehosea

(

m, n

)

.Siladiagonaltiene

k

puntos de interseiónon las líneas de la uadríula entones esos puntos determinan

k

−

1

segmentos, ada uno ontenidoen un uadradito,y elnúmero de uadraditosatravesados

porla diagonalserá

k

−

1

. Como

(0

,

0)

esuno de los puntos de uinterseión, el número de uadraditos atravesados por la diagonal es igual al número de

puntos de interseión de la diagonal on las retas

x

=

k

(

k

= 1

,

2 , . . . , m

),

y

=

h

(

h

= 1

,

2 , . . . , n

). Podría pensarse que esos puntos de interseión son

m

+

n

, pero en esa suma algunospuntos están ontados dos vees, a saberlos puntos perteneientes a la diagonal que tengan ambas oordenadas enteras.