LOGICA PROPOSICIONAL

(1)

PRESENTACIÓN

Este módulo preparado por el equipo de docentes del Área de Matemática,

del Departamento de Formación General de la Universidad César Vallejo

del Departamento de Formación General de la Universidad César Vallejo –

– Piura

Piura

tiene como propósito ayudarte a mejorar tus habiliades lógico matemáticas.

El contenido está dividido en 8 capítulos los cuales son : Lógica

Proposicional, Introducción al Algebra, Ecuaciones, Inecuaciones, Razones y

Proporciones, Conjuntos, Relaciones y Funciones e Introducción a la Geometría

Analítica,

Analítica, se

se desarrolla

desarrollarán

rán en

en las

las sesiones de

sesiones de aprendiz

aprendizaje

aje de

de acuerdo

acuerdo al

al sílabo

sílabo

correspondiente. Cada uno de los temas desarrollados contiene ejemplos

desarrollados paso a paso, así como problemas de aplicación, talleres de

ejercicios, talleres de problemas que serán desarrollados en clase y las

actividade

actividades te

s te servirán para afianzar tu

servirán para afianzar tu aprendiaza

aprendiazaje.

je.

Si al terminar cada tema no has logrado comprender el material, revísalo

nuevamente hasta que logres afianzar tus conocimientos, puedes consultar a tu

profesor, de

profesor, de esta manera

esta manera podrás reafirmar

podrás reafirmar o

o complementa

complementar la

r la comprensión de

comprensión de

algún tema.

Ten presente que

Ten presente que estos contenidos sirven particularmente para garantizar el

estos contenidos sirven particularmente para garantizar el

éxito indispensable en el estudio de las matemáticas enseñadas en el nivel

universitari

universitario, por

o, por eso se te

eso se te exhorta a estudiar y resolver los t

exhorta a estudiar y resolver los talleres y actividades

alleres y actividades

de cada capítulo.

Los

(2)

(3)

ÍNDICE

PRESENTACIÓN

PRESENTACIÓN 0101

CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL

El

El interruptor interruptor 0808

ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 0909

Introducción 09

1.1

1.1 La La lógica lógica como como ciencia ciencia 1010 1.2

1.2 La La lógica lógica proposicional proposicional 1111 Taller

Taller de de ejercicios ejercicios 2323

Actividad Actividad 2626 FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL 3030 Introducción 30 Introducción 30 1.3

1.3 Casos Casos especiales especiales de de formalización formalización 3232 Taller

Actividad Actividad 3636 VERDAD FORMAL VERDAD FORMAL 3939 Introducción 39 Introducción 39 1.4

1.4 Esquemas Esquemas moleculares moleculares 3939 1.5

1.5 Tablas Tablas de de verdad verdad 3939

1.6

1.6 Evaluación Evaluación de de esquemas esquemas moleculares moleculares 4141 1.6.1

1.6.1 Mediante Mediante tablas tablas de de verdad verdad 4242 1.6.2

1.6.2 Mediante Mediante método método abreviado abreviado 4444 Taller

Actividad Actividad 4848 EQUIVALENCIAS LÓGICAS EQUIVALENCIAS LÓGICAS 5151 Introducción 51 Introducción 51 1.7

1.7 Leyes Leyes de de equivalencia equivalencia 5151 1.8

1.8 Simplificación Simplificación de de esquemas esquemas moleculares moleculares 5454 Taller

Bibliografía 56

CAPÍTULO 02: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA CAPÍTULO 02: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

¿En

¿En qué qué se se aplica aplica el el álgebra? álgebra? 5858 OPERACIONES COMBINADAS EN

OPERACIONES COMBINADAS EN  5959

Introducción 59

2.1

2.1 Operaciones Operaciones combinadas combinadas con con números naturalnúmeros naturaleses ₅₉₅₉ 2.2

2.2 Operaciones Operaciones combinadas combinadas con con números números enteros enteros 5959 2.3

2.3 Operaciones Operaciones combinadas combinadas con con números números racionales racionales 6161 Taller

Actividad

Actividad 6262

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA

CONCEPTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA 6464

Introducción 64

2.4

2.4 Teoría Teoría de de exponentes exponentes 6464 Taller

Actividad

(4)

Introducción 68

2.5

2.5 Productos Productos notables notables 6969

Taller

Actividad Actividad 7171 FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN 7272 Introducción 72 Introducción 72 2.6

2.6 Factor Factor común común monomio monomio 7272 2.7

2.7 Factor Factor común común polinomio polinomio 7272 2.8

2.8 Trinomio Trinomio cuadrado cuadrado perfecto perfecto 7373 2.9

2.9 Aspa Aspa simple simple 7474

2.10

2.10 Diferencia Diferencia de de cuadrados cuadrados 7474 2.11

2.11 Suma Suma o o diferencia diferencia de de cubos cubos 7474 2.12

2.12 Método Método de de los los divisores divisores comunes comunes 7575 Taller

Actividad Actividad 7777 FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS 7878 Introducción 78 Introducción 78 2.13

2.13 Fracción Fracción algebraica algebraica 7878 2.14

2.14 Simplificación Simplificación de de fracciones fracciones algébricas algébricas 7878 2.15

2.15 Operaciones Operaciones con con fraciones fraciones algebraicas algebraicas 7979 2.15.1.

2.15.1. Adición Adición y y sustracción sustracción de de fracciones fracciones algebraicas algebraicas 7979 2.15.2.

2.15.2. Multiplicación Multiplicación y y división división de de fracciones fracciones algebraicas algebraicas 7979 2.15.3.

2.15.3. Operaciones Operaciones combinadas combinadas de de fracciones fracciones algebraicas algebraicas 8080 Taller

Actividad Actividad 8181 Bibliografía Bibliografía CAPÍTULO 03: ECUACIONES CAPÍTULO 03: ECUACIONES ¿Por qué

¿Por qué utilizamos la letra “x” para representar un valor desconocidoutilizamos la letra “x” para representar un valor desconocido? ? 8282 ECUACIONES

ECUACIONES 8484

Introducción Introducción 3.1

3.1 Ecuaciones Ecuaciones de de primer primer grado grado con con una una incógnita incógnita 8585 3.1.1

3.1.1 Ecuaciones Ecuaciones de de primer primer grado grado con con coeficientes coeficientes enteros enteros 8585 Taller

3.1.2

3.1.2 Ecuaciones Ecuaciones de de primer primer grado grado con con coeficientes coeficientes fraccionarios fraccionarios 8787 Taller

3.1.3

3.1.3 Ecuaciones Ecuaciones de de primer primer grado grado con con denominadores denominadores compuestos compuestos 8888 Taller

3.2

3.2 Sistema Sistema de de ecuaciones ecuaciones de de primer primer grado grado con con dos dos incógnitas incógnitas 9191 3.2.1

3.2.1 Métodos Métodos de de resolución resolución 9191 a)

a) Método Método de de reducción reducción o o de de sumas sumas y y restas. restas. 9191 Taller

Taller de de ejercicios ejercicios 9292 b)

b) Método Método de de sustitución. sustitución. 9393 Taller

Taller de de ejercicios ejercicios 9494 Actividad

Actividad 9595

3.3

3.3 Ecuaciones Ecuaciones de de segundo segundo grado grado 9797 3.3.1

3.3.1 Ecuación Ecuación de de segundo segundo grado grado incompleta incompleta 9797 Taller

3.3.2

3.3.2 Ecuación Ecuación de de segundo segundo grado grado completa completa 9898 3.3.2.1

3.3.2.1 Solución Solución de de ecuaciones ecuaciones de de segundo segundo grado grado por por factorización factorización 9898 Taller

3.3.2.2 Solución

(5)

Taller

Taller de de ejercicios. ejercicios. 100100

3.3.2.3

3.3.2.3 Solución de ecuaciones Solución de ecuaciones de segundo gradode segundo grado completando

completando cuadrados cuadrados 101101

Taller

Actividad

Actividad 103103

3.4

3.4 Problemas Problemas con con ecuaciones ecuaciones de de primer primer grado grado 104104 Taller

Taller de de problemas problemas 105105

Actividad

Actividad 107107

3.5

3.5 Problemas Problemas con con ecuaciones ecuaciones de de segundo segundo grado grado 109109 Taller

Actividad

Actividad 111111

3.6

3.6 Ecuaciones Ecuaciones polinómicas polinómicas 112112 3.6.1

3.6.1 Ecuaciones Ecuaciones polinómicas polinómicas de de grado grado superior superior a a dos dos 112112 3.6.2

3.6.2 Regla Regla de de Rufiini Rufiini 114114 Taller

Actividad Actividad 115115 Bibliografía 116 Bibliografía 116 CAPÍTULO 04: INECUACIONES CAPÍTULO 04: INECUACIONES Las

Las tres tres cajas cajas de de caramelos caramelos 118118 INTERVALOS INTERVALOS 119119 Introducción 119 Introducción 119 4.1 4.1 Desigualdades Desigualdades 119119 4.2

4.2 La La notación notación de de intervalo intervalo 119119 4.3

4.3 Operaciones Operaciones entre entre intervalos intervalos 121121 Taller

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

INECUACIONES DE PRIMER GRADO 126126

Introducción Introducción 4.4

4.4 Inecuaciones Inecuaciones de de primer primer grado grado 126126 Taller

Actividad

Actividad 127127

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 129129

Introducción 129

4.5

4.5 Inecuaciones Inecuaciones de de segundo segundo grado grado 129129

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES APLICACIONES DE LAS INECUACIONES

Taller

Actividad Actividad 133133 INECUACIONES POLINÓMICAS INECUACIONES POLINÓMICAS 135135 Introdución 135 Introdución 135 4.6

4.6 Inecuaciones Inecuaciones polinómicas polinómicas 135135 4.6.1

4.6.1 Método Método de de los los puntos puntos críticos críticos para para resolver resolver problemas problemas 135135 4.6.2

4.6.2 Inecuaciones Inecuaciones con con factores factores cuadráticos cuadráticos irreductibles irreductibles 139139 Taller

Actividad

Actividad 141141

Bibliografía 141

CAPITULO 05: RAZONES Y

CAPITULO 05: RAZONES Y PROPORCIONESPROPORCIONES Las

(6)

5.2

5.2 Serie Serie de de razones razones geométricas geométricas equivalentes equivalentes 145145 5.3

5.3 Propiedades Propiedades de de las las razones razones geométricas geométricas 145145 5.4

5.4 Problemas Problemas resueltos resueltos 146146 5.5

5.5 Proporción Proporción 147147

5.6

5.6 Propiedades Propiedades de de las las proporciones proporciones 148148 Taller

Actividad

Actividad 150150

CAPÍTULO 06: CONJUNTOS CAPÍTULO 06: CONJUNTOS

¿Por

¿Por qué qué agrupamos? agrupamos? 153153

CONJUNTOS

CONJUNTOS 154154

Introdución 154

6.1

6.1 Idea Idea intuitiva intuitiva de de conjunto conjunto 154154 6.2

6.2 Notación Notación de de un un conjunto conjunto 154154 6.3

6.3 Relación Relación de de conjuntos conjuntos 154154 6.3.1

6.3.1 Relación Relación de de pertenencia pertenencia 154154 6.3.2

6.3.2 Realción Realción de de inclusión inclusión 155155 6.3.3

6.3.3 Relación Relación de de igualdad igualdad 155155 6.4

6.4 Clases Clases de de conjuntos conjuntos 157157 6.4.1

6.4.1 Conjunto Conjunto universal universal 157157 6.4.2

6.4.2 Conjunto Conjunto vacio vacio o o nulo nulo 157157 6.4.3

6.4.3 Conjunto Conjunto unitario unitario 157157 6.4.4

6.4.4 Conjunto Conjunto finito finito 157157 6.4.5

6.4.5 Conjunto Conjunto infinito infinito 157157 6.5

6.5 Conjunto Conjunto potencia potencia 158158

6.5.1

6.5.1 Propiedades Propiedades del del conjunto conjunto potencia potencia 158158 Taller

6.6

6.6 Operaciones Operaciones con con conjuntos conjuntos 160160 6.6.1 6.6.1 Intersección Intersección 160160 6.6.2 6.6.2 Unión Unión 161161 6.6.3 6.6.3 Diferencia Diferencia 163163 6.6.4

6.6.4 Diferencia Diferencia simétrica simétrica 164164 6.6.5

6.6.5 Complemento Complemento de de A A 165165 Taller

6.7

6.7 Problemas Problemas de de aplicación aplicación de de conjuntos conjuntos 167167 Taller

Actividad

Actividad 170170

CAPÍTULO 07: RELACIONES Y FUNCIONES CAPÍTULO 07: RELACIONES Y FUNCIONES

El

El problemas problemas de de la la señora señora Benitez Benitez 173173 RELACIONES RELACIONES 174174 Introducción 174 Introducción 174 7.1 7.1 Preliminares Preliminares 175175 7.2 7.2 Relación Relación 176176 7.3

7.3 Relaciones Relaciones dede  en en  ₁₇₇₁₇₇

Taller

FUNCIONES

FUNCIONES 184184

Introducción 184

7.4

7.4 Dominio Dominio y y rango rango de de una una función función real real 186186 7.5

7.5 Función Función lineal lineal 187187

7.6

7.6 Función Función cuadrática cuadrática 189189 7.6.1

7.6.1 Cálculo Cálculo del del rango rango de de la la función función cuadrática cuadrática 189189 7.6.2

7.6.2 Gráfica Gráfica de de una una función función cuadrática cuadrática 189189 7.7

(7)

7.7.1 Gráfica de una función exponencial 192

7.8 Función logarítmica 194

7.8.1 Gráfica de una función logarítmica 197

Actividad 197

Bibliografía 200

CAPÍTULO 08: INTRODUCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

¿Qué es la geometría analítica? 202

GEOMETRÍA ANALÍTICA 203

Introducción 203

8.1 Fórmula de la distancia entre dos puntos 203

8.2 Fórmula del punto medio 204

8.3 Pendiente de una recta 205

Taller de ejercicios 206

LA RECTA 207

Introdución 207

8.4 Formas de la ecuación de una recta 207

8.4.1 Forma punto pendiente 208

8.4.2 Forma de dos puntos 208

8.4.3 Forma pendiente ordenada al origen 208

8.4.4 Forma coordenadas al origen 208

8.4.5 Ecuación de una recta vertical 209

8.4.6 Forma general de la ecuación de una recta 209

8.5 Distancia de un punto a una recta 210

8.6 Relación entre dos rectas en el plano 210

8.7 Problemas resueltos 210

LA PARÁBOLA 214

Introducción 214

8.8 Elementos de la parábola 214

8.9 Formas de la ecuación de la parábola 215

8.9.1 Forma canónica 215

8.9.2 Forma ordinaria 217

8.9.3 Forma general de la recta 219

8.10 Problemas resueltos 219 Taller de ejercicios 221 Actividad 222 LA CIRCUNFERENCIA 223 Introducción 223 8.11 Elementos de la circunferencia 223

8.12 Formas de la ecuación de una circunferencia 224

8.12.1 Forma canónica 224

8.12.2 Forma ordinaria 224

8.12.3 Ecuación general de la circunferencia 224

8.13 Problemas resueltos 225

Actividad 228

(8)

LÓGICA

PROPOSICIONAL

(9)

En el interior de una habitación hay una bombilla. Fuera

hay tres interruptores, y sólo uno de ellos enciende la

bombilla. Nosotros estamos fuera y sólo podemos entrar una

vez a la habitación. ¿Cómo averiguar el interruptor que

enciende la bombilla?

(10)

ELEMENTOS DE LÓGICA

PROPOSICIONAL

L a hi stori a hace a los hombr es sabios; la poesía, in geniosos; las matemáti cas, sutiles; la f il osofía natu ral, pr ofun dos; la m oral , graves; l a lógica y retóri ca, hábil es para la lu cha.

FRANCI S BACON Introducción

Cuando escuchamos la palabra “Lógica” inmediatamente la asociamos, al menos a la mayoría de personas les pasa esto, con la idea o noción de razonamiento. Aunque esta relación nos puede servir de primera aproximación, hoy en día esto puede ser considerado desbordado por la enorme extensión y diversidad que ha alcanzado esta disciplina, sobre todo en la tecnología e informática.

Lo cierto es que uno puede razonar correctamente sin ni siquiera haber estudiado lógica. Y esto no es un caso aislado. Por ejemplo, en el mundo deportivo se ejecutan maniobras difíciles, a veces increíbles, sin que los atletas sepan de las leyes físicas que les permiten ejecutar dichas maniobras. Algo similar ocurre en lógica. Entonces, ¿por qué estudiar lógica?... Básicamente por dos razones que expongo a continuación:

Primero, porque un estudio adecuado de ésta la enfocará tanto como una ciencia y como un arte. Esto significa que es menester aplicar las técnicas y criterios aprendidos a nuestros propios razonamientos, lo cual a su vez nos da una menor posibilidad de cometer errores que aquella persona que nunca ha estudiado lógica. Esta posibilidad disminuye aún más cuando estudiamos y analizamos los métodos incorrectos de razonamiento, las llamadas falacias, pues su conocimiento nos ayuda efectivamente a evitarlas y nos ayuda a conocer, con sólo escuchar, lo que pasa en realidad en la otra persona.

La otra razón tiene que ver con nuestra necesidad tecnológica. Todos sabemos, por ejemplo, que cuando una plancha se está calentando demasiado debemos bajarle la graduación. Y no necesitamos que se nos diga qué entendemos por “calentando demasiado” (basta con acercar un poco la mano, si es que la ropa no huele ya ha quemado) o cuál es esa temperatura. Hasta aquí no hay problema. Pero como humanos que somos, no nos quedamos contentos con eso. Para no estar tan pendientes de que si la plancha está muy caliente o no, es mejor tener una que automáticamente baje su temperatura cuando ésta se está elevando

demasiado y la eleve cuando baja más de lo necesario. Aquí la situación cambia. Ahora necesitamos precisar lo que antes era obvio para nosotros y “traducirlo” de alguna forma en un “lenguaje” en que la plancha nos entienda. Es aquí donde se hace imprescindible el uso de las ciencias formales (la lógica y la matemática) y naturales. Parece un tanto extraño que se deba recurrir a una ciencia formal como la lógica, pero lo cierto es que las

(11)

instrucciones se dan naturalmente en su lenguaje. Si no conocemos ese lenguaje, no podremos conseguir nuestro objetivo. Claro que aún queda otro camino: esperar que otro lo haga y luego comprársela. Esa ha sido, en general, la tendencia de nuestro país. Si queremos cambiar y generar nuestra propia tecnología, el estudio de la lógica, entre otras ciencias, es fundamental.

Por supuesto que para lograr lo anterior se requiere de una lógica más potente que la lógica proposicional, que es la que se expone en este módulo. Pero aunque ya de por sí ésta nos permite comprender los procesos informáticos en los que tiene aplicación, su estudio nos facilita la comprensión de lógicas más avanzadas, como la lógica borrosa por ejemplo, y nos proporciona ideas para la generalización de conceptos y técnicas a esas lógicas.

Y todo este emocionante viaje empieza aquí, con la lógica proposicional.

1.1 La lógica como ciencia

Si reparamos en las ciencias que la humanidad ha creado y cultivado, advertimos que presentan cinco características invariables:

Aunque pueden interrelacionarse, lo que distingue a una ciencia de otra (lo que me permite decir: “yo soy matemático y tú abogado”) es básicamente el objeto de estudio. Basándose en este criterio, Mario Bunge [Bu] clasifica a las ciencias en dos grandes grupos: Fácticas (su objeto de estudio está en la realidad física o social) y Formales (cuyo objeto de estudio es ideal o abstracto)

CIENCIA

Conjunto Ordenado y Sistematizado de Conocimientos

Conocimientos de Validez Universal

Objeto Propio de Estudio

Método de Estudio

Leyes Propias

(12)

De lo anterior, podemos decir que la lógica es una ciencia formal, cuyo objeto de estudio son los métodos y los principios usados para determinar la validez o invalidez de los argumentos1.

1.2 La lógica proposicional

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones, sus posibles valores de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

Definición 1.1 Enunciado Es toda frase u oración.

Ejemplo 1.1

(a) Lima es la capital del Perú (b) El doble de 3 es 5

(c) ¿Qué hora es? (d) ¡Auxilio!

(e) x 2 7

(f)

_x

2

₂

Dentro de los enunciados podemos distinguir los siguientes tipos

Definición 1.2 Enunciado abierto

Es aquel enunciado que presenta variables2 y que en sí mismo no es ni verdadero ni falso, pero que al asignarle un valor a aquellas, resulta ser verdadero o falso, pero no ambos. Se abrevia porE. A.

1_{ARGUMENTOS: representaciones mentales que relacionan conceptos y juicios (premisas) de}

modo que permiten derivar otros juicios (conclusiones).

2

El término “variable” abarca los pronombres en tercera persona (él,ella,ellos,ellas)(*) Entes Ideales (Matemáticas, Lógica) Fenómenos Sociales (Sociología, Derecho,…) CIENCIAS FORMALES CIENCIAS SOCIALES Fenómenos Naturales (Física, Química, Geología,…) CIENCIAS NATURALES O B J E T O D E E S T U D I O CIENCIAS FÁCTICAS

(13)

Otra forma de caracterizar a los enunciados abiertos es considerarlos como aquellos enunciados que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición (en el sentido de la definición 1.4) cuando cada variable asume un valor determinado. Ésa es la razón por la que también se conocen como funciones proposicionales.

Un enunciado será verdadero (o falso) si lo que afirma coincide (o no) con la realidad.

Ejemplo 1.2

(a) Él se fue a Lima

Es un E.A pues no se se indica quién es él. En este caso, el pronombre “Él” actúa como variable. Si por ejemplo, hacemos que “Él” se refiera a Luis, el enunciado sería “Luis se fue a Lima”, enunciado del cual se puede hablar de que sea verdadero o falso dependiendo si Luis se ha ido a Lima o no

(b) x 2y 7

Es un E.A pues si x 2 y y 3 el enunciado se convierte en la proposición

2 2 3 7 la cual es, en los números reales, falsa Definición 1.3 Enunciado cerrado

Es toda definición3, por lo que su valor de verdad es siempre verdadero, pues así se ha convenido. Se admiten también como enunciados cerrados a aquellos enunciados cuya verdad se aceptan sin demostración.

Ejemplo 1.3

(a) El seno de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa..

Enunciado cerrado.

(b) El triángulo no es un polígono de tres lados.

No es un enunciado cerrado por dos razones: No es una definición y no es una proposición simple.

(c) El triángulo es un polígono de tres lados

Enunciado cerrado. Se trata de la definición de triángulo.

Definición 1.4 Proposición

Es el significado de un enunciado que tenga la propiedad de ser verdadero o falso, pero no ambas.

Ejemplo 1.4

(a) Todos los peruanos son demócratas

Es una proposición universal (debido al artículo todos) y afirmativa (el verbo está afirmado).

(14)

Es una proposición particular (artículo algunos) y afirmativa (el oso panda es hervíboro).

(c) Miguel Grau murió en el combate de Abtao

Es una proposición singular (Miguel Grau es nombre propio) y afirmativa.

(d) Io es una satélite de Júpiter

Es una proposición singular y afirmativa.

(e) La Luna no es un planeta

Proposición singular (la Luna es el nombre del satélite terrestre. Aquí “la” no funciona como artículo) y negativa.

(f) El 28 de Julio de 1821 se proclamó la independencia del Perú

Proposición singular (se refiere sólo al 28 de julio de 1821 y no a otro 28 de julio) y afirmativa.

(g) Los mamíferos no son vertebrados

Proposición universal (artículo definido “los”) y negativa.

Específicamente hablando, no se consideran como proposiciones a los deseos, dudas, interjecciones, preguntas, pedidos, súplicas, órdenes, las doxas o enunciados de opinión o valoración (por ejemplo, “los mejores jugadores son de la UCV ”), los enunciados que usan personajes ficticios4 (por ejemplo, Romeo se suicidó por Julieta), los refranes, los proverbios, los enunciados abiertos, las pseudoproposiciones (oraciones declarativas sin sentido), las descripciones definidas, las supersticiones, mitos y los filosofemas o enunciados filosóficos. El porqué de estas exclusiones debe quedar claro al tener en cuenta la función del lenguaje que predomina en ellos. De la definición 1.3, todo enunciado cerrado es una proposición simple, con valor de verdad siempre verdadero, pero no lo recíprocamente.

Ejemplo 1.5

(a) La Virgen de la Puerta es milagrosa

A pesar de ser una oración declarativa, es sólo un enunciado

(b) El río suena cuando piedras trae Es un enunciado (refrán)

(c) El gato negro trae mala suerte Enunciado (Superstición)

(d) ¿Qué es la lógica?

Enunciado. Es una pregunta.

(e) Debemos honrar a nuestros héroes.

Enunciado. Según el contexto, puede ser una oración imperativa o exhortativa.

4_{No así los enunciados que se refieren a personajes ficticios desde el punto de vista real. Por}

ejemplo: ‘Romeo’ es un personaje de una obra literaria o los duendes son personajes ficticios. Éstas son proposiciones.

(15)

(f) Sea en hora buena

Enunciado. Oración desiderativa

En el lenguaje común, las oraciones se combinan para formar otras más complejas. Es natural esperar que lo mismo ocurra con las proposiciones. Para realizar estas combinaciones, definimos lo siguiente.

Definición 1.5 Términos de enlace o conectores

Son aquellos términos que sirven para enlazar una o más proposiciones y así formar otras más complejas.

Básicamente son 7 los conectores empleados. En la siguiente tabla aparecen sus nombres y la forma “más pura” como aparecen en el lenguaje.

NOMBRE FORMA BÁSICA

1. ElNegador “…no…”

2. ElConjuntor “...y…”

3. ElDisyuntor incluyente “…o…” 4. ElDisyuntor excluyente “…o…o…” 5. ElImplicador “…si…entonces…”

6. ElReplicador “…si…”

7. ElBiimplicador “…si y sólo si…”

Obviamente, dada la diversidad de nuestro lenguaje, hay varios sinónimos para los conectores mostrados en la tabla 1.1. Las tablas 1.2 a 1.8 muestran algunos sinónimos empleados para referirse a cada uno de éstos. P y Q son proposiciones.

Negadores Internos  No P  Nunca P  Jamás P  Tampoco P Negadores Externos  Es absurdo que P  Es inconcebible que P  Es innegable que no P  No es el caso que P  Es imposible que P  Es mentira que P  Es incorrecto que P Deninguna forma se da P  Es incierto que P  No es inobjetable que P  En modo alguno P  No ocurre que P  No es innegable que P  Es refutable P  Es negable que P  Es inadmisible que P  No acaece que P  No acontece que P.  Es sofisma que P  No es verdad que P  Es erróneo que P

Tabla 1.1. Tipos de Conectores o Términos de Enlace

(16)

El Conjuntor  P y Q  P incluso Q  P pero Q  P aunque Q  P al igual que Q  P tal como Q  P tanto que Q  Cierto que P lo mismo que Q  Simultáneamente P con Q  P más aún Q  Siempre ambos P con Q  P también Q  P así como Q

 P vemos que también

Q

 P al mismo tiempo que

Q

 P sin embargo Q  P es compatible con Q  P aún cuando Q

 Sin que P tampoco Q  P además Q

 P igualmente Q

 Tanto P como cuanto Q

 P al mismo modo Q  P de la misma manera Q  P no obstante Q  P sino Q  No sólo P sino también Q  P asimismo Q  P a pesar de que Q  P a la vez que Q  P aún cuando Q  P a la par que Q El Disyuntor Incluyente  P o Q  P a menos que Q  A menos que P, Q  P salvo que Q  P y bien, o también Q  P ya bien Q  P, de lo contrario también Q  P o también Q  P a no ser Q  P o sino Q  P o en todo caso Q  P y/o Q  P a no ser que Q  O P o Q o ambos  P excepto que Q  P o incluso Q  P o a la vez Q En sentido incluyente  P alternativamente Q  P o bien Q  Como mínimo P o Q El Disyuntor Excluyente  o P o Q  o bien P o bien Q  P o Q (en sentidos excluyentes)  P o solamente Q  P o únicamente Q  P salvo que unicamente Q  P o sólo Q  P a menos que solamente Q  P no es equivalente a Q  No es equivalente P con Q  P no biimplica a Q En sentido excluyente

 P excepto que solo

Q

 P a menos que solo

Q  P salvo Q  P alternativamente Q  P o bien necesariamente Q

Tabla 1.3. Sinónimos del Conjuntor

Tabla 1.4. Sinónimos del Disyuntor incluyente

(17)

El Implicador

 Si P entonces Q  Siempre que P por

consiguiente Q

 Ya que P bien se ve

que Q

 Con tal P es obvio

que Q

 Cuando P así pues

Q

 Toda vez que P es

consecuente Q

 Excepto que P, Q  Para P es condición

necesaria Q

 En cuanto P por tanto Q  Cada vez que P

consiguientemente Q

 Ya que P es evidente Q  De P derivamos Q  P implica Q

 Si P, Q

 Dado P por eso Q

 Como quiera que P por

lo cual Q  P es condición suficiente para Q  P impone a Q  Cuando P, Q  Como P, Q  De P, Q  Suponiendo que P, Q  P sólo si Q  Sólo P si Q  P es condición suficiente de Q  Una condición necesaria para P es Q  En el caso de que P en tal sentido Q El Replicador  Sólo si P, Q  P si Q  P porque Q  P siempre que Q  Es condición necesaria P para Q  No P a menos que Q  P para Q  Para P es suficiente Q  P puesto que Q  P dado que Q  P supone que Q  P es suficiente para Q  P en tanto Q  P pues Q  P en vista de Q  P como Q  P por cuanto Q  P debido a que Q  P cada vez que Q  P en razón de Q El Biimplicador  P si y sólo si Q  P siempre y cuando Q  P se define lógicamente como Q  P es igual que Q  P es idéntica a Q  P es condición necesaria y suficiente para Q  P es equivalente a Q  Sólo si P entonces Q  P siempre que y sólo cuando Q  P porque y sólo porque Q  P entonces y sólo entonces Q

Tabla 1.6. Sinónimos del Implicador

Tabla 1.7. Sinónimos del Replicador

(18)

Definición 1.6 Proposiciones Simples y Compuestas

Una proposición es simple o atómica si no tiene conectivos lógicos en su estructura. Si los presenta, se denomina compuesta o molecular .

El siguiente gráfico muestra las relaciones entre enunciado, enunciado abierto , enunciado cerrado y proposición.

ENUNCIADO ENUNCIADO ABIERTO ENUNCIADO CERRADO PROPOSICIÓN PROPOSICIÓN COMPUESTA PROPOSICIÓN SIMPLE

Las proposiciones simples pueden ser:

a) Predicativas

Si al sujeto se le atribuye una cualidad o descripción, es decir, se afirma una característica respecto a él.

b) Relacionales

Establecen una relación entre dos o más sujetos que tienen una misma categoría gramatical. Al sujeto se le compara con otro mediante términos relacionales

La siguiente tabla muestra algunos términos relacionales.

TÉRMINOS RELACIONALES

Igual Vecino de Amigo de Siamés

Semejante a Amar Juntos Compadre de

Contemporáneo de Compañero de Similar a Hermano de Gemelo de Correligionario de Camarada de Tio de

Mayor que Menor que Colega de Sobrino de

Interrelacionados Mellizo de Unidos Más … que…

Figura 1.3. Relación entre enunciado, enunciado abierto, enunciado cerrado y proposición

(19)

Ejemplo 1.6

(a) Lima es la capital del Perú. Proposición simple predicativa

(b) El Perú es más rico que Bolivia

Proposición simple relacional (Relación comercial)

(c) Los felinos son más carnívoros que los primates. Relación simple relacional (Relación alimenticia)

(d) Vallejo fue contemporáneo de Mariátegui.

Relación simple relacional (Relación temporal)

(e) Ica está al sur de Lambayeque.

Relación simple relacional (Relación espacial)

(f) Rebeca y José obsequian una bicicleta a su sobrino. Relación simple relacional (ambos le han obsequiado)

(g) Juan y Sara se aman.

Relación simple relacional (Relación afectiva)

A su vez, las proposiciones compuestas se clasifican en:

a) Negativas

Si tienen al conector monádico “n o ”. Decimos monádico pues sólo necesita de una proposición para ser una expresión bien formada. Pueden ser:

a.1 Simples

Si presenta negador interno, es decir, la negación va en el verbo. (ver tabla 1.2)

a.2 Compleja

Si tiene negador externo, es decir, la negación va al inicio de una proposición simple o compuesta. Se construye con sinónimos de “no” (ver tabla 1.2)

a.3 Por prefijo

Si el término predicado va antecedido por un prefijo que indica negación

La siguiente tabla muestra los prefijos que indican negación

Prefijo Ejemplo

a – a político

des – d es arreglar

dis – d is conforme

(20)

i – in – im – in justo i lógico Ejemplo 1.7

(a) Los felinos no son herbívoros

Es una proposición compuesta negativa simple. Negador interno “no”.

(b) Es mentira que en el Perú hay democracia.

Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es mentira que”.

(c) Es absurdo que Juan sea amigo de Luis

Es una proposición compuesta negativa compleja. Negador externo “Es mentira que”.

(d) Alejandro es un amoral

Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica negación “…a moral”.

(e) Este libro está desactualizado

Es una proposición compuesta negativa por prefijo. Prefijo que indica negación “…d es actualizado”.

b) Conjuntivas

Si tienen el conector diádico “…y …”. Diádico pues necesita de dos proposiciones para tener sentido.

Las comas ( , ) y los puntos seguidos ( . ) significan muchas veces una conjunción.

Ejemplo 1.8

(a) Aravis es médico y Juan es abogado Es una proposición compuesta conjuntiva.

(b) Perú y Brasil son países sudamericanos.

Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como: “Perú es un país sudamericano y Brasil es país sudamericano”. Observa la redundancia.

(c) Los mamíferos y los reptiles son vertebrados y hervíboros

Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como: “Los mamíferos son vertebrados y los mamíferos son herbívoros y los reptiles son vertebrados y los reptiles son herbívoros ”. Nota la gran redundancia que existe. No obstante, éste es el realmente el significado de la oración. Cabe resaltar que hay en realidad cuatro proposiciones simples.

(d) Vallejo fue escritor, poeta y revolucionario.

Es una proposición compuesta conjuntiva. La oración puede ser reescrita como “Vallejo fue escritor y Vallejo fue poeta y Vallejo fue revolucionario”

(21)

(e) Los claveles y los pájaros son flores y animales respectivamente.

Es una proposición compuesta conjuntiva. Puede ser reescrita como “Los claveles son flores y los pájaros son animales”

c) Disyuntivas incluyentes o débiles

Si tienen el conector diádico “…o …” en sentido incluyente, esto es, cuando ambas proposiciones pueden ser ciertas a la vez, es decir, al menos una es cierta. Se clasifican en:

Las comas ( , ) a veces significan disyunción. El contexto aclarará si se trata de una conjunción o de una disyunción.

Ejemplo 1.9

(a) La ingeniería es una ciencia o la medicina es un arte. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente.

(b) La matemática o la biología son ciencias exactas.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. La oración puede ser reescrita como: “La matemática es una ciencia exacta o la biología es una ciencia exacta”.

(c) Los hongos son causantes de enfermedades o ayudan en el metabolismo. Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Se puede reescribir como: “Los hongos son causantes de enfermedades o los hongos ayudan en el metabolismo”

(d) Los peruanos o los ecuatorianos son pacifistas o buscan el desarrollo.

Es una proposición compuesta disyuntiva incluyente. Al reescribirla como: “Los peruanos son pacifistas o los ecuatorianos son pacifistas o los peruanos buscan el desarrollo o los ecuatorianos buscan el dearrollo”. Se observa que hay en realidad cuatro proposiciones simples.

d) Disyuntivas excluyentes o fuertes

Si tienen el conector diádico “…o …” en sentido excluyente, es decir, cuando ambas proposiciones no pueden ser ciertas al mismo tiempo. Pueden ser reconocidas por las siguientes características:

d.1 Por su forma

Se presentan los siguientes casos: d.1.1 La forma

“o…o…”

Esta forma incluye el caso cuando la segunda “o” es reemplazada por un sinónimo de la “o” inclusiva, es decir, con alguno de los sinónimos de la tabla 1.5.(ejemplos 1.9 – (a) y 1.9 – (c))

d.1.2 La forma

(22)

Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente

Proposic ión Condicion adora Prótasis

Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria Propos ición Condicion ada

A p ó d o s i s Antecedente Razón Suficiente Condición Suficiente Consecuente Razón Necesaria Condición Necesaria d.2 Por su contenido

Si las proposiciones no pueden ser verdaderas a la vez (ejemplo 1.9 – (d))

Ejemplo 1.10

(a) O la ingeniería es una ciencia o es una técnica. (b) David es ingeniero o únicamente es político.

(c) Marleny es actriz salvo que solamente sea médico. (d) Perú está en América o Europa.

e) Implicativas5 o proposiciones hipotéticas

Si tienen el conector diádico “si …entonces …”. La proposiciones entre estos términos reciben nombres especiales.

Si entonces

Observemos ahora el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.11

(a) Si todos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, entonces Sócrates es mortal.

(b) Si Kai es soltero, entonces no está casado.

(c) Si coloco en un ácido papel de tornasol azul, entonces el papel de tornasol se volverá rojo.

(d) Si nuestro equipo pierde el partido, entonces te entrego mil soles.

Existen otros términos linguísticos para representar a la proposición implicativa. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.12

(a) Porque la oferta aumenta, por eso los precios disminuyen.

(b) La demanda aumenta únicamente porque los precios aumentan. (c) Es suficiente construir la democracia para respetar la constitución.

(d) Condición necesaria para construir la democracia es respetar la constitución

f) Replicativas

Si tienen el conector diádico “…si …”. La proposiciones a ambos lados del si reciben nombres análogos a los de las implicativas.

si

Ejemplo 1.13

Las siguientes proposiciones son replicativas

5_{Algunos autores las llaman condicionales para distinguirlas de aquellas, a las que denominan}

implicativas, donde el antecedente se relaciona lógicamente con el consecuente. A éstas estamos llamando argumentos.

(23)

(a) No hay tuberculosis, puesto que no hay infección de bacilos. (b) Para matricularse es suficiente tener dinero.

(c) Es necesario matricularse para tener dinero.

(d) Condición suficiente para matricularse es tener dinero.

g) Biimplicativas

Si tienen el conector diádico “…si y sólo si …”. Se pueden usar los sinónimos de la tabla 1.8. También se consideran biimplicativas las proposiciones de la forma “ Para … es cond ición n ecesaria y suficiente …”

Ejemplo 1.14

(a) Para ser profesional es suficiente y necesario ser buen estudiante. Proposición compuesta biimplicativa

La siguiente figura resume los tipos de proposiciones simples y compuestas que aparecen en nuestro lenguaje.

Figura 1.4. Tipos de Proposiciones

Compuestas

Simples

Predicativas

Relacionales

Negativas

Conjuntivas

Disyuntivas

Incluyentes

Disyuntivas

Excluyentes

Implicativas

Replicativas

Biimplicativas

(24)

19/01/2012

Subtítulo

TALLER DE EJERCICIOS

1. Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad.

1.1. El almanaque “Bristol” es una publicación anual. 1.2. El Perú es un país austral y occidental.

1.3. Recoge ese lápiz 1.4. x y 5

1.5.

2 5 6

1.6. Hola que tal 1.7.

x 1 10

2

1.8. Sócrates nació en Atenas 1.9. x 2 5y , para y 2 . 1.10.

x 2 5

, para x 2. 1.11. 2 2 Sen x Cos x 1 1.12.

x 3 9

, si x 5 1.13.

x y z

, si x 3, y 4

1.14. La raíz cuadrada de -1 es un número imaginario. 1.15. Cuzco es una ciudad arqueológica.

1.16. El símbolo del oro es Au 1.17. _x2 _y2 ₅

1.18. Marte es el dios de la guerra. 1.19. Romeo amó a Julieta.

1.20. Según la mitología griega, “Bóreas” es el dios del viento del Norte. 1.21. Vete a comprar pan

1.22. Centauro es una constelación austral. 1.23. Atardece.

1.24. Carlos Marx es autor de la Iliada. 1.25. 7 es número primo.

1.26. Cristóbal Colón conquistó el Perú 1.27. Anochece

1.28. ¡Hace mucho calor!

1.29. La radio es un medio de información. 1.30. La matemática es una ciencia.

2. Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares 2.1. Fobos es un satélite de Marte.

2.2. Andrómeda y la Vía Láctea son galaxias. 2.3. Julio C. Tello descubrió el Señor de Sipán.

2.4. Los dos grandes aportes de los romanos fueron el derecho y el cristianismo. 2.5. Los videos no son pruebas judiciales.

2.6. Si se calientan las aguas de la costa central y meridional entonces se producirá el fenómeno del Niño.

2.7. La filosofía es una forma de pensamiento propio del hombre. 2.8. Tarapoto pertenece a Loreto.

2.9. El cerebro y el corazón son órganos vitales 2.10. Irán y Libia elevan el precio del petróleo. 2.11. Londres es la capital de Inglaterra.

2.12. Juan y María serán elegidos miembros de la asamblea. 2.13. No es cierto que Amanda sea economista.

2.14. Si hace frío entonces nos enfermamos

2.15. La uretra no se extiende desde la vejiga al exterior del organismo. es la ecuación de una circunferencia de radio 5.

(25)

2.16. Los riñones son los mayores órganos excretores del cuerpo. 2.17. La uretra es más larga en los hombres que en las mujeres. 2.18. Las nebrinas son unos tubos microscópicos que filtran la sangre. 2.19. Cada riñón está compuesto de millones de nebrinas.

2.20. El término “honrado” es igual a “honesto”.

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o relacionales

3.1. Los átomos tienen núcleo. 3.2. La Tierra gira sobre su eje. 3.3. Los sapos son peces. 3.4. La Luna es un planeta.

3.5. Es falso que el lobo sea animal.

3.6. Los vertebrados son mamíferos a no ser que sean cuadrúpedos. 3.7. Caín fue filicida y Edipo parricida.

3.8. El hombre perdurará en este mundo.

3.9. Sócrates o Platón escribieron los Diálogos. 3.10. Sócrates fue maestro de Aristóteles.

3.11. Perú tiene la mayor tasa de analfabetos en Latinoamérica.

3.12. Máncora es un balneario que pertenece al departamento de Piura. 3.13. Piura está al sur de Tumbes.

3.14. Piura es un departamento rico en fosfatos.

3.15. Huanca y Hueso, ambos fueron perros de Simón Robles. 3.16.

5x 8x 12

, donde x 4.

3.17. El dios Osiris representa al Sol.

3.18. La hormona vasoperina sube la presión arterial. 3.19. Pedro nació en Lima

3.20. Piura está al noroeste de Iquitos

4. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas 4.1. No ocurre que haga frío, o el viento es caliente.

4.2. No iré al cine o no vendrás a la casa. 4.3. El 10101 nunca será divisible por 2. 4.4. Juan y Carlos no son condiscípulos 4.5. Rubén y Luís son inmorales

4.6. No se da el caso que estudias medicina e ingeniería 4.7. Carlos no fue a trabajar y no visitó a Maria.

4.8. Es falso que, Carlos fue a trabajar y visitó a Maria. 4.9. No es cierto que, Carlos trabaja, y María estudia. 4.10. Si Carlos fue a trabajar entonces no visitó a María. 4.11. De ninguna forma, Pedro es matemático

4.12. No ocurre que 2 1.73 .

4.13. Juan es menor que Pablo, no obstante 2 8

4.14. No sólo los gases son invisibles sino también inodoros. 4.15. Es sofisma que, el latón es un metal.

5. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas

5.1. es una potencia par, _n ; pero 3nes una potencia impar, _n .

5.2. Javier no es piadoso ya que no paga sus deudas. 5.3. Sólo si la Luna se ve blanca, retiene la luz solar.

5.4. Alfonso Ugarte ni corrió ni se entrego frente al enemigo del sur.

5.5. Carlos tiene vocación de filósofo aunque no aprecie a los pensadores griegos. 5.6. Maria ama a Juan empero Juan ama a Rosa.

5.7. Tritón es satélite del planeta Neptuno.

5.8. Derecho, Hotelería e Ingeniería son algunas escuelas de la UCV – Piura. 5.9. José Santos Chocano nació en Lima el 14 de mayo de 1875 y murió en

(26)

5.10. De ninguna manera se firmará el TLC con Estados Unidos. 5.11. No es cierto que garúe y que luego llueva.

5.12. Juan es menor que Jorge sin embargo Jorge es mayor que Luís. 5.13. Julio César y Marco Antonio fueron contemporáneos.

5.14. Platón y Aristóteles fueron discípulos de Sócrates.

5.15. Los montes Urales separan Europa de Asia pero África se separa de Asia por el canal de Suez.

6. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes

6.1. Estudio pero no aprendo

6.2. Carlos o Juan pero no ambos 6.3. Hace frío ya que llueve

6.4. No es posible que cante o baile 6.5. Juan estudia o trabaja.

6.6. En los anfibios, el padre y la madre custodian los huevos. 6.7. Los anfibios son vivíparos u ovíparos

6.8. Los animales son vertebrados o invertebrados. 6.9. Los carnívoros son omnívoros o sólo herbívoros. 6.10. La sal de mesa o cloruro de sodio.

7. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas excluyentes

7.1. Luís es futbolista o tenista.

7.2. La ventana del aula es triangular o cuadrangular.

7.3. Ingresarán a la UCV los que aprueben el examen de ingreso o únicamente los que estén exonerados de él.

7.4. Recibirás el dinero o la casa pero no ambas cosas. 7.5. Javier es futbolista o voleybolista

8. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas 8.1. Iré a Cajamarca sólo si salgo de vacaciones.

8.2. Si la aritmética es consistente, la geometría también lo es.

8.3. El hoyo de la capa de ozono seguirá creciendo si seguimos contaminando nuestro medio ambiente.

8.4. La contaminación favoreció la aparición de seres complejos, pero es perjudicial para la vida humana.

8.5. Las escuelas fueran creadas por Carlomagno para educar a los privilegiados. 8.6. María será buena estudiante si no memoriza las preguntas.

8.7. Juan puede cursar Matemática Aplicada a la Seguridad de Redes Informáticas sólo si está en tercer curso de carrera.

9. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas 9.1. Si hay gasolina en el tanque, mi automóvil funciona.

9.2. Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque.

9.3. Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automóvil funcione. 9.4. Para que el automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. 9.5. Qué haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas 10.1. Si hay anabolismo, hay catabolismo.

10.2. Sólo si hay anabolismo, hay catabolismo. 10.3. Hay anabolismo si y sólo si hay catabolismo.

10.4. Hay catabolismo siempre y cuando hay anabolismo

(27)

10.6. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje

10.7. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.8. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura

10.9. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio.

10.10. El que transpire es condición necesaria de que camine.

1. Clasifica los siguientes enunciados. Para aquellos que sean proposiciones, indica su valor de verdad.

1.1. Amanece.

1.2. Él tiene mucha hambre.

1.3. Ama a tú prójimo como a ti mismo. 1.4. El hijo de Carlos V.

1.5. El hijo primogénito de Luis VIII

1.6. Las águilas de América del Norte son carnívoras. 1.7. 93.

1.8. ¿Cuántos alumnos tiene la UCV filial Piura? 1.9. ¡No puedo creer que campeone Alianza Lima!

1.10. El creador indiscutible de la lógica matemática fue el inglés George Boole. 1.11. Romeo amó a Julieta según la obra literaria.

1.12. Ven ahora.

1.13. Nunca debo olvidar el ayer. 1.14. Mañana la veré.

1.15. Mañana es viernes. 1.16. El amor es hermoso.

1.17. Mi anhelo es ver al Perú como un país exportador. 1.18. El Perú es un país eminentemente agrario.

1.19. El actual presidente del Perú 1.20. Ella ama a Luís

1.21. El caballero Carmelo

1.22. La esposa de Túpac Amarú fue fusilada 1.23. ¡Ojalá regreses el próximo año!

1.24. _{a b}2 _{a 2ab b .}2 2

1.25. Hace frío.

1.26. Esta tiza es de color negro. 1.27. Alcánzame el libro de Historia. 1.28. Él ganó la maratón.

1.29. El hombre es inmortal.

1.30. Ella, Carmen, es comerciante

2. Clasifica las siguientes proposiciones, si lo fuesen, en simples o moleculares 2.1. El Perú es un país rico en petróleo y en minerales.

2.2. Si trabajas en las minas es obvio que tendrás mejor nivel de vida. 2.3. La economía ecuatoriana no está dolarizada.

2.4. Juan y Raúl son socios. 2.5. Edgar y Alex son poetas. 2.6. El Huascarán es un nevado. 2.7. Yungay pertenece a Ancash.

(28)

2.10. García Márquez escribió cien años de soledad.

2.11. Juan y María ambos serán elegidos miembros de la asamblea. 2.12. La boca es el acceso al tubo digestivo.

2.13. La dentadura es la encargada de triturar los alimentos. 2.14. La deglución es el acto de tragar.

2.15. Dalila mató a Sansón.

2.16. Juan Velasco derrocó a Belaúnde.

2.17. Las capas de la tierra son tres: corteza, manto y núcleo.

2.18. El régimen de los ríos es variable y está condicionado por la escasez o la abundancia de agua.

2.19. Los distintos climas de la tierra son: ecuatorial, tropical, desértico, templado y polar.

2.20. La agricultura es extensiva o intensiva.

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples predicativas o relacionales

3.1. El bronquio derecho se divide en tres ramas. 3.2. La biología es una ciencia práctica.

3.3. El aire entra a los pulmones y proporciona oxígeno a las células del organismo.

3.4. Los hongos tienen pared celular o capilar.

3.5. El aire expulsado de los pulmones elimina el dióxido de carbono del organismo.

3.6. Los dos huesos más delgados de la parte inferior de la pierna se conoce como tibia y peroné.

3.7. Los huesos fusionados del cráneo encierran en su interior el encéfalo.

3.8. La pared del intestino delgado tiene muchas proyecciones pequeñas llamadas vellosidades.

3.9. El hígado puede convertir glucosa en glucógeno.

3.10. Lima es una de las ciudades más modernas de América. 3.11. El estómago es la parte del sistema digestivo.

3.12. Bolivia está entre Brasil y Uruguay. 3.13. Simón Bolívar fue el héroe de Arica. 3.14. El agua y el aceite se mezclan.

3.15. 2 2

25 3 4

3.16. El agua se evapora por el calor. 3.17. 18 es un número par.

3.18. El carbono y el hidrógeno son elementos químicos. 3.19. Grau y Bolognesi son héroes.

3.20. George Washington y Thomas Jefferson fueron presidentes de EE.UU

3.21. Víctor Raúl Haya de la Torre y Oscar Benavides fueron antagonistas políticos. 3.22. Benito Mussolini y el Fascismo.

3.23. En 1936 Alemania y Japón firmaron un pacto anticomunista.

3.24. La Segunda Guerra Mundial la ganaron la URSS, Gran Bretaña, EE.UU. y Francia.

3.25. El área lateral de un cilindro de revolución se obtiene multiplicando la longitud de la circunferencia por la altura del cilindro.

4. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones negativas 4.1. No ocurre que, las aguas de la corriente peruana sean calientes 4.2. Es falso que, lo dicho por los políticos es verdad

4.3. José Evaristo es infiel

4.4. Indudablemente la ciencia es útil a la sociedad 4.5. Absurdo es que 2 5

4.6. En forma alguna Deysi estudia Ingeniería. 4.7. Es mentira que 5 3

4.8. La mayoría de buitres no tienen garras.

4.9. Es falso que los buitres tienen picos muy fuertes.

(29)

4.11. Brasil no venció a Perú en vóley

4.12. No es cierto que Perú venció a Brasil en vóley 4.13. Perú no venció a Brasil en vóley

4.14. No es cierto que, Brasil venció a Perú en vóley.

4.15. El cilindro es una figura del espacio formado por líneas curvas asimismo por líneas rectas.

5. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones conjuntivas

5.1. El avión es un medio de transporte seguro, aunque sus accidentes son fatales.

5.2. El Perú es libre y soberano para tomar sus decisiones 5.3. Andrés es callado, aunque divertido.

5.4. El león es animal acuático y/o mamífero.

5.5. El pez es acuático al igual que el elefante es terrestre.

5.6. No sólo Colón es descubridor sino también Magallanes lo fue. 5.7. Marte es planeta a no ser que Júpiter también lo es.

5.8. El sistema inmunológico utiliza mecanismos de defensa: la inmunidad innata así como la inmunidad adquirida.

5.9. Si José mejora su economía, podrá inscribirse al instituto. 5.10. Trabajo sin embargo estudio.

5.11. Viajaré a España si obtengo visa de estudio. 5.12. Termino la secundaria y postulo a la universidad

6. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas incluyentes

6.1. Pedro es responsable a menos que Juan también lo sea. 6.2. Juan es responsable excepto que Pedro también lo sea. 6.3. Salvo que Pedro sea responsable, Juan, lo es.

6.4. Juan no es responsable o Pedro es responsable.

6.5. Pedro es responsable a la vez Juan no es responsable.

7. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones disyuntivas excluyentes

7.1. El libro de álgebra es voluminoso o interesante 7.2. Luis es alto o bajo

7.3. O aceptas el aumento o te vas del trabajo 7.4. Juan trabaja o estudia.

7.5. Juan trabaja o sólo estudia.

7.6. El Huascarán se encuentra en la Cordillera Oriental de los Andes o se encuentra en la Cordillera Occidental.

7.7. O bien la lactosa se encuentra en la leche o bien se encuentre en el vino. 7.8. Paty es casada o es soltera

7.9. El movimiento de rotación de la tierra lo hace a 28 km por minuto o lo hace a 30 km por segundo

7.10. O el Perú hace la guerra o Ecuador es pacifista

8. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones implicativas

8.1. Una condición suficiente para que Julio visite Cuenca es que visite las Casas Colgantes.

8.2. Si se estudia lógica, mejorará nuestra forma de razonar. 8.3. Sólo si vas a la Iglesia, eres creyente

8.4. Un número es par si es divisible por 2

8.5. Una figura es un triángulo siempre que tenga exactamente 3 lados 8.6. El sol es 1 300 000 veces más grande que la Tierra.

(30)

9. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones replicativas 9.1. Se prohíbe usar celular en clase porque atenta contra la disciplina 9.2. Si el avestruz tiene mayor tamaño pero es un ave, no vuela.

9.3. La pena de muerte está justificada porque se están cometiendo atrocidades. 9.4. El cuadrado de 3 ó 16.

9.5. Es imposible que 3 7 si 5 9. 9.6. Luis es profesor y trabaja en la UCV.

10. Indica cuáles de las siguientes enunciados son proposiciones biimplicativas 10.11. Abel estudia siempre y cuando Luis trabaje

10.12. El que llueva es condición suficiente para obtener buenas cosechas 10.13. Hace calor equivale a decir que aumentó la temperatura

10.14. Es aniversario patrio si y sólo si es 28 de julio.

(31)

FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL

La matematica es el desarrollo de todos los tipos de razonamiento formal, necesario y deductivo”.

ALFRED NORTHWHI TEHEAD Introducción

En esta sección, aprenderemos a traducir un argumento expresado en palabras de nuestro lenguaje a el lenguaje formal de la lógica.

Este enfoque no es nuevo. Desde que se descubrieron las estructuras del pensamiento, el desarrollo de la ciencia ha experimentado un crecimiento notable. Tómese el siguiente ejemplo:

“La ley de la gravedad de Newton nos dice también que cuanto más separados estén los cuerpos menor será la fuerza gravitatoria entre ellos. La ley de la gravedad de Newton establece que la atracción gravitatoria producida por una estrella a una cierta

distancia es exactamente la cuarta parte de la que produciría una estrella similar a la mitad de distancia. Esta ley predice con gran precisión las órbitas de la Tierra, la Luna y

los planetas.”6

Estas 77 palabras pueden ser resumidas en la siguiente expresión:

1 2 2

m m F G

d

Obviamente, para poder entender ésta última fórmula, debemos conocer el lenguaje formal en la que está planteada así como su contenido semántico. Pero la ventaja es que esta fórmula se entiende en cualquier idioma.

(32)

En este apartado, uniremos los conceptos de proposición y conectivos lógicos con sus homónimos formales.

Definición 1.7 Formalización proposicional

Es el proceso mediante el cual se identifican proposiciones simples y estructuras lógicas proposicionales, asignándoles un símbolo del lenguaje formal de la lógica proposicional y organizándolos con los signos auxiliares de dicho lenguaje

La asignación de la que habla la definición anterior es la siguiente:

La relación entre conectivos lógicos y conectores es la siguiente:

Nombre Forma Símbolos

Negador “no”  N Conjuntor “... y ...” . & K Disyuntor Incluyente “… o …” A Disyuntor Excluyente “o … o …”

Implicador “si … entonces …” C

Replicador “… porque …”

Biimplicador “… si y sólo si …” E

Si al formalizar no queda claro cuál es el conectivo dominante, se debe utilizar la siguiente convención: Menor jerarquía Mayor jerarquía   ,  ,  ,

Veamos un ejemplo de formalización

Tabla 1.11. Conectivos lógicos y su significado semántico

(33)

Ejemplo 1.15

“La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y en la tecnología; ya que se debe a que haya sido propuesta para servir de campo unificador de las ciencias sociales, ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una problemática común”

Solución:

Paso 1: Identificar las propos iciones simples y asignarles variables

p : La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre q : La Teoría de la Comunicación interviene en la tecnología

r : La Teoría de la Comunicación ha sido propuesta para servir de campo

unificador de las ciencias sociales

s : La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales un lenguaje común

t : La Teoría de la Comunicación ofrece a las ciencias sociales una

problemática común

Paso 2: Identificar los conectivos lógicos presentes

“La Teoría de la Comunicación interviene en diversas ciencias del hombre y en la tecnología; ya que se debe a que haya sido propuesta para servir de campo unificador de las ciencias sociales , ofreciendo a éstas tanto un lenguaje como una problemática común”

La forma es:

“… y …; ya que se debe a que …, … tanto … como …”

Paso 3: Escribir la fórmula lógica corresp ond iente

p q r s t

1.3 Casos especiales de formalización

Como regla general, la formalización debe ser literal, es decir, tal y como está escrito. No valen las equivalencias.

Hay casos especiales con los siguientes conectivos

1.3.1 El negador

 La doble negación de una proposición simple la convierte en una compuesta.  Los negadores externos no necesitan de la presencia de una coma para

indicar a qué proposiciones afectan.

 Las expresiones lingüísticas de doble negación (innegable, inobjetable, no es

inadmisible, no es mentira que,…) se formalizan como tales.

 Las expresiones con prefijos de negación se formalizan.

Ejemplo 1.16

(a) Es mentira que Lucy no es profesora p : Lucy es profesora

(34)

Observa que Es mentira que… es un negador externo. Dado que  es

unario, cuando no hay confusión, se suelen obviar los paréntesis. Según esto, lo anterior se escribe  p

(b) No es falso que si Luís no compra un automóvil entonces no podrá ir a Máncora además no abrazará a su novia.

p :

Luis compra un automóvil q : Luis va a Máncora

r : Luis abrazará a su novia.

Formalización:    p  q r

Observa que el negador externo de doble negación No es falso que… se formaliza como tal. Además, como no hay signos de puntuación en el interior de la oración, afecta a toda ella, por lo que es el conectivo dominante. Dado que  tiene mayor jerarquía que el _, es el conectivo dominante dentro del

corchete.

(c) Es imposible que llueva hoy, ya que hace tiempo no hay sequía.

p :

Llueve hoy

q : Hace tiempo que hay sequía Formalización:  p q

Observa que el negador externo Es imposible que… afecta a toda la parte de la oración hasta antes de la coma.

(d) Es innegable que los vertebrados son reptiles p : Los vertebrados son reptiles.

Formalización:  p

(e) Ender es infeliz

p :

Ender es feliz. Formalización: 

p

1.3.2 El conjuntor

 Cuando se usan comas y el último conector es “ y ”, las comas se formalizan

como conjunciones.

 Una excepción a la regla anterior: Cuando una oración usa términos

relacionales, aún cuando aparezca el término “y”, se formaliza como una proposición simple.

 No se formaliza cuando la relación es del tipo causal y temporal.

Ejemplo 1.17

(a) Pinino y Minily son amigos p : Pinino y Minily son amigos Formalización:

p

(b) Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor y pintor . p : Leonardo Da Vinci fue ingeniero.

q : Leonardo Da Vinci fue escritor.

(35)

Formalización:

p q r

1.3.3 El disyuntor

 Cuando se usan comas y el último conector es “ o ”, las comas se formalizan

como disyunciones.

Ejemplo 1.18

Leonardo Da Vinci fue ingeniero, escritor o pintor .

p :

Leonardo Da Vinci fue ingeniero. q : Leonardo Da Vinci fue escritor.

r : Leonardo Da Vinci fue pintor.

Formalización:

p q r

19/01/2012

Subtítulo

TALLER DE EJERCICIOS

Realiza lo indicado:

1. Formalizar el enunciado: “El hígado es la glándula más grande del cuerpo humano además depura la sangre”.

2. Formalizar : “Alguien, nadie, alguno, algo y cualquiera son pronombres indefinidos”. 3. Formalizar: “De que una figura geométrica tenga cuatro lados iguales se deriva que

es un cuadrado o un rombo, pero si la figura geométrica tiene cuatro lados iguales así como cuatro ángulos rectos es obvio que es un cuadrado”

4. La proposición: “Es absurdo que la caja toráxica este formada por menos de 11 pares de costillas dado que éstas se unen por delante al esternón”. Se formaliza:

5. El siguiente esquema:r p q no es la formalización de:

(a) La sangre es un liquido de color rojo, puesto que no esta constituido por plasma incluso por hematíes.

(b) Los dientes caninos nunca tienen la corona aplanada sin embargo la tienen en forma de pirámide cuadrangular por lo tanto su función es desgarrar los alimentos. (c) Las neuronas jamás son unidades funcionales del corazón aun cuando lo sean del

riñón por lo tanto actúan como un filtro.

(d) El 12 es numero par dado que no es divisible por 5 además es un número compuesto.

6. Formalizar: “El coseno y la secante juntas son razones inversas, a menos que su producto no sea igual a uno”.

7. Formalizar: “La progresión geométrica no es creciente si su razón esta entre 0 y 1, salvo que su razón es mayor que 1, por consiguiente es creciente”

8. Formalizar la proposición: “Cuando el Perú firme el tratado de libre comercio así pues exportará sus productos al extranjero a pesar de que los congresistas se oponen, excepto que exporte sus productos al extranjero”.