Matematica_Financiera Administración Publica

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atemática Financiera aplicada

a la Administración Pública

J

OSÉ

A

BDÉNAGO

A

RÉVALO

N

IÑO

METODOLOGÍA Y PEDAGOGÍA

ISABEL

C

.

GARCÍA

CHAGUENDO

Escuela Superior de Administración Pública Programa de Administración

Pública Territorial Núcleo

FUNDAMENT

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GUIDO ECHEVERRI PIEDRAHÍTA Subdirectora Académica ÁNGELA MARÍA MEJÍA URIBE Decana de la Facultad de Pregrado

ELBA ROJAS DE CASTILLO Coordinador de A.P.T. HERNANDO LOAIZA GALLÓN

Corrección de Estilo Ana María Guerrero Martínez.

Coordinadora Grupo de Grupo de Publicaciones y Recursos Educativos

Teresa González Velásquez Concepto Gráfico y Diagramación

Julio César Cárdenas Rozo ...Juc@ro Fotomecánica y Montaje William Gabriel Castillo Jiménez

Impresión Luis Argemiro Forero Triana

Acabados

Grupo de Publicaciones y Recursos Educativos, ESAP © Escuela Superior de Administración Pública

Impreso en Colombia Printed in Colombia

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resentación

P

Este documento forma parte integral del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior de Ad-ministración Pública con el fin de desarrollar su Pro-grama de Administración Pública Territorial en la modalidad de Educación a Distancia.

De acuerdo con los criterios orientadores de esta metodología y del Programa, el módulo: Matemáti-ca Financiera, busMatemáti-ca convertirse en la herramienta fundamental y básica mediante la cual el estudiante de esta modalidad adquiere de manera autónoma los conocimientos y habilidades exigidas dentro de los estándares de calidad establecidos para la Educación Superior hoy.

En todo proceso educativo el estudiante es el actor principal. En la Educación a Distancia, además, el estudiante es el responsable fundamental del proce-so, es quién hace uso de su tiempo, capacidad y dis-ciplina en el desarrollo de las actividades tendientes a la adquisición del conocimiento. La entidad educati-va, por su parte, ofrece y pone a su disposición los instrumentos que acompañan el proceso de au-toaprendizaje, así como los tutores que reorientan el

proceso académico - administrativo que le dan so-porte al Programa en su conjunto.

Como entidad educativa que desarrolla programas bajo la modalidad a distancia, la ESAP presenta estos módulos a sus estudiantes y tutores para que de una manera coordinada, didáctica, pedagógica y creativa los utilicen en su interacción académica hacia el logro de los objetivos de formación del Programa, y para que de forma constructiva realicen sus aportes para el mejoramiento de los mismos.

Cada módulo debe ser asumido como un actor más del proceso educativo y, por ende, como sujeto acti-vo del permanente proceso de autoevaluación que implica la búsqueda continúa de la calidad académi-ca.

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atemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

N

úcleo Temático

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D

el Núcleo

Fundamentación

El Programa de Administración Pública Territorial está conformado por nueve núcleos temáticos, uno de los cuales es: Fundamentación. El núcleo está cons-truido a partir de los saberes que a manera de instru-mentos el estudiante adquiere de diversas disciplinas, frecuentemente vinculadas a las ciencias exactas, y que proveen el desarrollo del proceso de formación las herramientas que facilitan los procesos de forma-ción y de aprendizaje.

El núcleo de Fundamentación, está conformado por los siguientes módulos de estudio:

· Matemática I · Informática I · Matemática II · Informática II · Estadística I · Informática III · Estadística II · Matemática Financiera

A. P. T

.

ORGANIZACIONES ICAS ESPACIO, TIEMPO TEITOIO INESIGACIN ASESORA CONSORA ROEICA ICA ROEICA E ESAO E OER GESION E ESARROO NAENACION ROECO E RO ROCCIN ISRICIN CONSRCCION E CONOCIIENO

Su denominación y ubicación curricular en el Progra-ma de Administración Pública Territorial es como apa-rece en los siguientes esquemas conceptuales:

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ódulo Temático

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION UNIDAD 1 INTERES UNIDAD 2 INTERES COMPUESTO UNIDAD 3 ANUALIDAD UNIDAD 4 AMORTIZACIÓN BIBLIOGRAFIA

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OBJETIVO DEL MÓDULO TEMÁTICO

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

OBJETIVOS GENERALES

· Facultar a la Administrador Público para operar Las

técnicas usuales de la Matemática Financiera.

· Dar a los estudiantes las herramientas de manejo de

los recursos financieros y fiscales, para que, reconociendo la

importancia y sentido de la interacción de la Matemática

Finan-ciera con otras disciplinas como Derecho Administrativo, Penal

y Civil, se hagan más competentes y eficientes con lo cual se

puedan optimizar los recursos financieros del sector.

Aprehender y aplicar en el manejo financiero y presupuestal de la

Administra-ción Pública Colombiana, las técnicas de la Matemática financiera, como el

Interés Simple, el Interés Compuesto, las Anualidades y la Amortización. En

esta perspectiva se propenderá por:

*

Manejar el concepto de interés en sus diferentes modalidades.

*

Manejar el concepto de “Interés” en relación con las Inversiones

temporales de los recursos.

*

Manejar el concepto de interés en relación con las acreencias.

*

Manejar el concepto de interés en relación con las liquidaciones de

las sentencias judiciales en sede administrativa.

*

Manejar el concepto de series uniformes en sus diferentes

modalidades.

*

Manejar el concepto de “series uniformes” en relación con las

diferentes modalidades de acreencia.

*

Manejar el concepto de “series uniformes” en relación con

la valoración de las Condenas contra el Estado en sede judicial.

*

Manejar el concepto de amortización en sus diferentes

modalidades.

*

Manejar el concepto de “Amortización” para la presupuestación de

los valores periódicos de desembolso continuo por préstamos

efectuados a favor de las Organizaciones Públicas.

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METODOLOGÍA GENERAL

El Programa está diseñado bajo la modalidad de Edu-cación a Distancia, por ello desarrolla procesos de autoformación, interformación y seguimiento presen-cial. Por lo tanto a usted como estudiante le genera retos tales como: la búsqueda de una disciplina de autoestudio, el compromiso por una actitud proacti-va de cambio, la tolerancia en el acercamiento con sus compañeros de estudio mediante Equipos de Tra-bajo, y la sabiduría para programar su tiempo, e in-corporar este proceso a su proyecto de vida. Teniendo en cuenta, la metodología a distancia, el desarrollo de las sesiones presenciales de este Módu-lo Temático, será el Seminario-Taller, en el cual se empleará estrategias pedagógicas como:

1. Construcción cognitiva

2. Lectura autorregulada

3. Elaboración de mapas conceptuales

4. Trabajo en equipo

5. Trabajo de grupo

6. Socialización del trabajo de auto

e interformación

7. Elaboración de la bitácora o diario

8. Autoevaluación de aprendizajes

9. Autoevaluación de construcciones

elaboradas en los aprendizajes

10. Autoevaluación de procesos, decisiones

y estrategias de estudio.

Así mismo, las sesiones presenciales se apoyarán con conversatorios, simposios, mesas redondas, estudios de casos, exposición de mapas conceptuales, y apli-cación de las temáticas. Las actividades a desarrollar-se en las desarrollar-sesiones predesarrollar-senciales son preparadas y or-ganizadas por el grupo de coordinadores de los equipos de trabajo.

La aplicación de la metodología incluye: Proyecto de Vida / Proyecto de Futuro / Proyecto de Grado:

Cada estudiante deberá tomar los principales elemen-tos y características para su proyecto de vida en rela-ción con el ejercicio de la Gestión de la Administra-ción Pública Territorial, el Proyecto de Futuro y el Proyecto de Grado; de tal manera, que se genere

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coherencia en su quehacer personal y profesional tan-to en el espacio público como en el espacio privado. Lecturas Autoreguladas:

Cada participante debe elaborar un mapa concep-tual de cada lectura por unidad de acuerdo con la bibliografía básica, y establecer los interrogantes que desde su conocimiento y experiencia que considere que son los que se deben resolver, en relación con la problemática territorial de Colombia.

Para ello los estudiantes deberán tener presente en la relación lectura - aprendizaje, los siguientes verbos: COMPRENDER, INTERPRETAR, ARGUMENTAR, APLICAR, ELABORAR, DEDUCIR, COMPARAR, DIFERENCIAR, CARACTERIZAR, IDENTIFICAR, DETERMINAR, ESTABLECER, ANALIZAR , SIN-TETIZAR Y PROPONER en la realización de los re-súmenes de las lecturas. Así mismo deberán, elabo-rar notas de las lecturas y los comentarios personales respectivos.

Bitácora o Diario De Aprendizaje:

Cada participante debe llevar una bitácora o diario de aprendizaje cuyo objetivo es hacer el seguimiento a las sesiones temáticas correspondientes del Módu-lo.

La bitácora comprende también, la confrontación que usted realice de lo aprendido en relación con las dife-rentes actividades de formación a la luz de los con-ceptos expuestos: ¿Qué aprendió?, ¿Qué no apren-dió? ¿Cuáles fueron las deficiencias conceptuales y metodológicas en el desarrollo de las sesiones? ¿Cuál fue el grado de complejidad de los textos de lectura, los facilitadores y obstaculizadores en el proceso de aprendizaje, sus fortalezas y debilidades en el mismo, las síntesis analíticas o resúmenes, los aportes del gru-po, de los compañeros, del tutor, y su interacción con el grupo y con el equipo de trabajo?

Equipos de Trabajo:

Los participantes del programa formarán equipos de trabajo integrados por un número impar de cinco (5)

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estudiantes, con el fin de desarrollar trabajos en pe-queños grupos, los cuales se socializaran en el traba-jo de autoformación. El trabatraba-jo de Interformación o de los equipos, se socializará en el trabajo de Grupo en el desarrollo de las sesiones presenciales tutoria-les.

Sesión Presencial Tutorial:

Las tutorías constan de treinta y dos (32) horas y se desarrollan en siete (7) sesiones presenciales: seis (6) sesiones de cinco (5) horas para la socialización del trabajo de auto e interformación y 2 sesiones de 1 hora para la socialización de las evaluaciones. Las tutorías se desarrollan en la modalidad Seminario - Taller. Cuyo objetivo primordial es resolver los inte-rrogantes de los participantes, construir un mapa conceptual, y aplicar los conocimientos a la proble-mática del municipio o región, mediante el desarrollo de las diferentes actividades de aprendizaje. Así, la labor del tutor en las sesiones presenciales es la de hacer el seguimiento y el acompañamiento de los pro-cesos de autoformación e interformación.

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EVALUACIÓN

.

La evaluación es integral, es decir por procesos. Ten-drá un carácter cualitativo y cuantitativo; Así los cri-terios, a tener en cuenta son los productos desarro-llados, los aprendizajes obtenidos, la participación, la asistencia a las sesiones, el interés por el desarrollo de los temas, y la relación con el grupo y con los compañeros. Se hará Coevaluación, Autoevaluación y Evaluación del tutor.

Se empleará la bitácora como un instrumento bási-co en la realización de la autoevaluación. Finalmente la Evaluación cuantitativa se realizará teniendo en cuenta los parámetros establecidos por la ESAP, para ello los estudiantes realizarán un trabajo final escrito sobre la valoración en sede judicial o liquidación en sede administrativa de condenas contra una entidad del Estado donde se aplicarán las Matemáticas Finan-cieras y el Desarrollo administrativo.

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entro de la compleja actividad jurisdiccional del Estado, es preciso destacar el impacto de las condenas contra las entidades de de-recho público, por la alta incidencia presupuestal que representan los desembolsos causados por ellas. En efecto, los artículos 85, 86 y 87 del Código Con-tencioso Administrativo, establece el marco legal que orienta la valoración de los perjuicios indemnizables por concepto del ejercicio formal de las facultades del Estado, que se traduce en actos administrativos; o, bien, en desarrollo de hechos que no se expresan de manera voluntaria ni solemne por parte de la au-toridad, pero de lo cual no se lo exonera de la res-ponsabilidad que le compete.

Los perjuicios ocasionados con motivo de la activi-dad contractual que afecte la integriactivi-dad patrimonial del ejecutor, también se hallan normativamente esta-blecidos como consecuencia de los efectos que dan lugar al pago en que permanentemente incurren la nación y las entidades territoriales y descentralizadas. En vista de las dificultades técnicas que la previsión

mediante la ley anual del presupuesto, establece el rubro “sentencias judicialmente exigibles” como criterio de necesaria incorporación, no obstante la incertidumbre asociada a las cifras con que suele cuan-tificárselo.

El módulo desarrolla, la valoración en Sede Judicial a partir de la sentencia, del laudo o del arreglo concilia-do, y relaciona los principios matemáticos con los fi-nancieros que soporta la jurisprudencia con las liqui-daciones ulteriores que se llevan a cabo en las sedes administrativas obligadas al desembolso.

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U

nidad 1

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PLAN DE LA UNIDAD

1. INTERÉS

1.1. OBJETIVO DIDÁCTICO.

1. INTERÉS

1.1. Concepto.

1.2. Clases de interés.

1.3. Interés simple.

1.4. Interés comercial e interés real.

1.5. Aplicación del interés simple en lo Contencioso Administrativo.

1.6. Valor futuro y valor presente.

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1.2. CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

1.21. CONCEPTUALES. · Interés · Inversión · Acreencias · Interés Real · Interés Comercial 1.2.1. PROCEDIMENTALES.

· Manejar el concepto de interés en sus diferentes

modalidades.

· Manejar el concepto de “interés” en relación con

las Inversiones Temporales de los recursos.

· Manejar el concepto de interés en relación con las

acreencias.

· Manejar el concepto de interés en relación con

las liquidaciones de las Sentencias judiciales en sede administrativa.

· Qué se entiende por interés simple?

· ¿Cuál es la diferencia entre interés real y comercial?

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· ¿Cuándo se aplica el interés comercial y el interés real?

· ¿Es posible relacionar el interés simple con el Derecho

Administrativo y con el Código Penal?

· ¿Qué tasas de interés son aplicables para la liquidación

de intereses en Sede Administrativa?

· ¿Qué se entiende por intereses moratorios?

1.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES.

Desarrollo de competencias Cognitivas Operativas en la generación de habilidades que favorecen el saber hacer para la aplicación y dise-ño de instrumentos.

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1.3. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1.3.1. DE AUTOFORMACIÓN.

· Motivación Cognitiva

· Lectura de la bibliografía básica.

· Elaboración de mapa conceptual de la lectura del

esta unidad y de la lectura de la bibliografía básica.

· En la bitácora, cada estudiante deberá elaborar la definición

de los contenidos conceptuales y procedimentales de la presente unidad.

· Elaboración de la Autoevaluación

1.3.2. DE INTERFORMACIÓN.

Los estudiantes conformaran grupos de trabajo, con los cuales debe-rán socializar las actividades de autoformación.

1.3.3. PRESENCIAL.

· Presentación de la unidad y exposición del mapa

conceptual general por parte del tutor.

· Aclaración de Conceptos

· Realización de Taller: Aplicación de la unidad mediante

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1.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD I

EL INTERÉS

Es la compensación pagada o recibida por el uso del dinero tomado en préstamo. Este concepto consti-tuye parte del soporte de las finanzas y tiene como principio el cálculo y análisis de la variación del dine-ro respecto del tiempo.

Si depositamos en una cuenta de ahorros de un Ban-co $4’000.000 y dentro de 8 meses cancelamos la cuenta el Banco nos entrega $4’230.000.

- El dinero depositado de $4.000.000 es el capital inicial o valor presente y lo representamos con K. - La inversión permanece 8 meses; es el tiempo y lo simbolizamos con T.

El capital inicial (K) es $4.000.000; en ocho meses, éste se convierte en $4’230.000 que es el valor futu-ro. Hay una diferencia entre el valor futuro del dine-ro (F) y el valor presente (K); es lo que se denomina interés (I): de donde:

I = F – K

Interés es igual al valor futuro menos el capital inicial o valor presente, para nuestro ejemplo:

$230.000 = $4’230.000 - $4’000.000

I = F - K

El interés depende de tres variables: El tiempo (T), la tasa de interés (i) y el capital (K).

TIEMPO: Es el intervalo en que se desenvuelve una operación financiera. El tiempo puede ser exacto o aproximado.

Para el tiempo exacto tenemos en cuenta el mes ca-lendario, que puede ser de 28, de 30, o 31 días. Ejemplo: Cuántos días transcurren entre el 20 de oc-tubre del 2002 y el 19 de abril del 2003.

Octubre tiene 31 días; como la fecha es el 20 de este mes, le faltan para completar el mes... ...11 días. Noviembre 30 días Diciembre 31 días Enero 31 días Febrero 28 días Marzo 31 días Abril 19 días ______ Total 181 días

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El tiempo exacto se utiliza en lo contencioso Admi-nistrativo para hacer la liquidación de las condenas en SEDE ADMINISTRATIVA.

Para calcular el tiempo aproximado se supone que todos los meses tienen 30 días.

Ejemplo: Calcular el número de meses que hay entre el 13 de febrero de 1996 y el 26 de diciembre del 2002.

Debemos hacer un cuadro que nos indique día, mes y año, colocando en la primera fila el tiempo más re-ciente, y en la segunda el más lejano, y hacemos la respectiva resta.

DIA MES AÑO

26 12 2002

13 02 1996

13 días 10 meses 6 años

Convertimos los años en meses:

6 años x 12 meses = 72 meses; a estos 72 meses les sumamos 10 meses (restar 12 meses – 2 meses) y nos da 82 meses; los 13 días debemos pasarlos a meses; como el mes tiene 30 días, dividimos 13 días entre 30:

13 ₌ 0.433, es decir, los 13 días equivalen a 0,433 de mes.

30

El total de meses es: 72 + 10 + 0.433 = 82.433 meses.

En cuanto al tiempo, el interés puede ser: Interés real e interés comercial o bancario.

Para el interés comercial o bancario el año tiene 360 días y todos los meses son de 30 días. Por esta clase de interés se rigen todos los establecimientos comer-ciales y bancarios.

En el interés real, el año tiene 365 días, y los meses son calendario; lo utiliza el Estado para las liquidacio-nes en sede administrativa, ya que el Estado no es comerciante.

TASA DE INTERES: Tomemos el caso de tres per-sonas: Nohora, Magdalena y Johanna invierten cada una $ 100 pesos durante un año. Al finalizar el año, Nohora obtiene $124, Magdalena $130, y Johanna $118. Si analizamos esta operación financiera, vemos que Nohora ganó $ 24 por cada $100 invertidos du-rante un año, y se nota un 24%; Magdalena ganó $ 30 por cada 100 invertidos, se nota 30% y Johanna ganó 18 por cada $ 100 invertidos y se nota 18%. La variación de estos $100 durante el tiempo (un año) se nota % (por ciento) y se llama tasa de interés. CAPITAL (K): Para algunos tratadistas, en finanzas se entiende el capital como una suma prestada, pero

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si depositamos dinero en una cuenta de ahorros es Capital; cuando se condena a una entidad del Estado a pagar una determinada suma de dinero, a este di-nero también se lo denomina Capital.

CLASES DE INTERÉS: Hay dos clases de interés: Interés simple e Interés compuesto.

1.4.1. INTERÉS SIMPLE

Ejemplo: Conseguimos un préstamo por $10’000.000 durante 7 meses pagando una tasa de interés del 3% mensual con la condición de que al final de cada mes debemos desembolsar los intere-ses. Cuánto pagamos en total al final de los siete meses?.

Gráfica:

El préstamo es por 10’000.000 y la tasa de interés mensual es del 3%; por concepto de intereses paga-mos $300.000 cada mes.

Si observamos la gráfica, vemos que el capital es cons-tante ($10’000.000) y los intereses también perma-necen constantes, debido a que el computo de los intereses se hace con base en el capital inicial. Si el capital no varía y los intereses permanecen cons-tantes, hablamos de: Interés Simple.

Al final de los siete meses debemos pagar el capital inicial (los $10.000.000 del préstamo), más siete des-embolsos por $ 300.000 (intereses) cada mes. $10’.000.000 + 7 (300.000) = $12’100.000

Capital Intereses Total

El interés depende del capital, del tiempo y de la tasa de interés.

I = C t i

Debemos tener en cuenta dos escenarios: Si el inte-rés es comercial, dividimos por 360 y sí es real lo divi-dimos por 365.

Ejemplo con Interés Comercial:

Conseguimos un préstamo bancario por $12’700.000 durante 276 días pagando una tasa de interés simple del 26.5% anual. Calcular los intereses pagados.

I = K t i 360 I = ? K = 1’270.000 i = 26.5% t = 276 I = 1’270.000 x 276 x 0,265 360 I = $2’580.216,67

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Ejemplo con Interés real:

Calcular el interés real que debemos pagar por un préstamo de $11’690.000 durante 305 días pagan-do una tasa de interés simple de 28.76% anual. I = ? t = 305 K = 11’690.000 i = 28.76% I = K t i 365 I = 11’690.000 x 305 x 0,2876 365 I = $2’809.379,23

Interés real pagado $2’809.379,23 Ejemplo para la liquidación en Sede Administrativa:

Mediante sentencia de segunda instancia, ejecutoria-da el 27 de marzo del 2002, el Consejo de Estado impone a una entidad oficial el pago de las sumas de $110’000.000 y $51’000.000 por concepto de per-juicios materiales y morales respectivamente a favor de la persona natural demandante.

Para acatar el fallo, la Entidad condenada efectúa la correspondiente liquidación hasta el día 27 de junio del 2002, fecha de resolución oficial del pago. Si el cheque a que hay lugar se entrega al beneficiario el 24 de agosto del 2002, se pide:

1. Calcular y sustentar el valor correcto del pago.

Para la liquidación de esta sentencia debemos tener en cuenta los siguiente:

- La sentencia C – 188 del 24 de marzo de 1999, que en uno de sus apartes dice:

“En cuánto al Artículo 177 del Código Contencioso Administrativo, a menos que la sentencia que impo-ne la condena señale un plazo para el pago, evento en el cual, dentro del mismo se pagaron intereses

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tir de la ejecutoria de la respectiva sentencia, sin per-juicio de la aplicación del término de dieciocho (18) meses que el precepto contempla para que la corres-pondiente condena sea ejecutable ante la justicia or-dinaria”

- Decreto 818 de 1994 (Abril 22), aparte del Artículo 3:

“Se entiende que ha existido pago de una sentencia, una conciliación, o un laudo arbitral, en la fecha de entrega del cheque al beneficiario o a su apoderado, o de la consignación en la cuenta depósitos judicia-les”

- Artículo 305 del Código Penal . Usura. “El que reci-ba o cobre, directa o indirectamente, a cambio de préstamo de dinero o por concepto de venta de bie-nes o servicios a plazo, utilidad o ventaja que exceda en la mitad del interés bancario corriente que para el período correspondiente estén cobrando los bancos, según certificación de la Superintendencia Bancaria, cualquiera sea la forma utilizada para hacer constar la operación, ocultarla o disimularla, incurrirá en pri-sión de dos (2) a cinco (5) años y multa de cincuenta

(50) a doscientos (200) salarios mínimos legales mensuales vigentes”.

Para obtener la suma a pagar por concepto de interés se aplica la siguiente formula:

I ₌K t i 365

I = Intereses a reconocer.

K = Capital, el cual no varía para el cálculo de cada período.

i = Tasa de Interés

t = Número de días del período.

- Las tasas aplicables para la liquidación de intereses serán las certificadas por la Superintendencia Banca-ria; para los intereses comerciales se toma el interés Bancario Corriente.

- En cuanto al límite máximo de los intereses morato-rios es preciso tener en cuenta el Artículo 305 del Código Penal.

Intereses – Perjuicios morales y materiales. Fecha de ejecutoria : 27 – 03 – 02

Capital a Liquidar: $161’000.000= Ejemplo para marzo:

K = 161’000.000 T = 4 días

i = 20.97% corriente, por mora: 20.97% x 1.5 = 31.455%

I = K t i

365

I = 161’000.000 x 4 x 0.31455

365 Intereses para marzo: 554.986,85

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INTERESES MORATORIOS

INTERESES CORRIENTES

0

, INTERESES MORATORIOS $19’893.513

TOTAL NETO A PAGAR $180’893.513

Si en el ejemplo anterior la presentación de los docu-mentos debidamente diligenciados es el 18 de octu-bre del 2002 y la fecha de entrega del cheque al be-neficiario: 13 de noviembre de 2002. ¿Cuanto recibirá el beneficiario?

Se debe tener en cuenta las normas aplicadas en el anterior ejercicio y además el « Artículo 60 de la ley 446 de 1998. Pago de sentencias. Adiciónese el Artí-culo 177 del Código Contencioso Administrativo con los siguientes incisos:

Cumplidos seis (6) meses desde la ejecutoria de la providencia que imponga o liquide una condena o de la que apruebe una conciliación sin que los beneficia-rios hayan acudido ante la entidad responsable para hacerla efectiva, acompañando la documentación exigida para el efecto, cesará la causación de intere-ses de todo tipo desde entonces hasta cuando se presentare la solicitud en legal forma.

En asuntos de carácter laboral, cuando se condene a un reintegro y dentro del término de seis meses si-guientes a la ejecutoria de providencia que así lo

dis-imputables al interesado, en adelante cesará la cau-sación de emolumentos de todo tipo.»

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Se pagarán intereses por mora del 27 de marzo al 27 de septiembre; a partir del 28 de septiembre hasta el 18 de octubre cesará el pago de intereses. Del 19 de octubre al 12 de noviembre intereses por mora.

INTERESES MORATORIOS $27’872.673,1 TOTAL NETO A PAGAR $188’872.673,1

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Dinero no recibido por la persona natural demandante por presentar la solicitud extemporánea:

Septiembre 3 días 161.000.000 x 3 x 0.3027 ₌ $400.599,18 365 Octubre 18 días 161.000.000 x 18 x 0.3045 ₌$2’417.646,58 365

Total dinero no recibido $2’818.205,75.

El Tribunal Administrativo de Boyacá en la fecha Enero 16 de 2002, declaró la nulidad de la resolu-ción Nº 083 de octubre 13 de 2001 expedida por el Director de una entidad descentralizada del Depar-tamento, por la cual se revoca el nombramiento de Nohora Cecilia Jaimes Quintero.

Como consecuencia de lo anterior, se ordena a la entidad demandada a reintegrar a Nohora Cecilia Jai-mes Quintero al cargo del cual fue removida o a otro de igual o superior categoría y a reconocer y pagar todos los salarios y prestaciones sociales dejados de percibir desde la fecha de su retiro hasta aquella en que efectivamente sea reintegrada al servicio. Que tal providencia quedó ejecutoriada el 18 de mayo de 2002.

Con base en lo anterior:

1. Indexar conforme lo señala la fórmula del

Consejo de Estado (Artículo 178 C.C.A).

2. Establecer los intereses moratorios

confor-me lo señala el artículo 177 deñ C.C.A. (Sentencia C-188/99)

Información adicional:

- Salario Neto año 2001 = $1’870.000.

- Salario Neto año 2002 = $1’942.000.

- Fecha de pago: 26 de agosto de 2002

I.P.C. acumulado Octubre 2001 = 127.291656 Noviembre 2001 = 127.440432 Diciembre 2001 = 127.595043 Enero 2002 = 128.626944 Febrero 2002 = 130.281517 Marzo 2002 = 131.178597 Abril 2002 = 132.401814 Interés Bancario Corriente: Mayo de 2002 = 20.00% Junio de 2002 = 19.95% Julio 2002 = 19.77% Agosto 2002 = 20.01%

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Las sumas que resultan a favor de la parte actora (No-hora Cecilia Jaimes Quintero), se ajustarán al valor de conformidad con el artículo 178 del C.C.A. (mes a mes), hasta la fecha de ejecutoria de la presente pro-videncia, dando aplicación a la siguiente fórmula:

R = RH Índice Final Índice Inicial

En donde R se determina multiplicando el valor his-tórico (RH) que es lo dejado de percibir desde la fe-cha en que dejaron de cancelarse los valores en vir-tud del acto acusado, por el guarismo que resulta de dividir el índice final de precios al consumidor, certifi-cado por el DANE, vigente a la fecha de ejecutoria de esta providencia, por el índice vigente a la fecha de la desvinculación, teniendo en cuenta los aumentos decretados durante dicho periodo.

El salario del año 2001 fue de $1’870.000oo. Nohora Cecilia James fue retirada el 13 de octubre del 2001.

1?870.000 x 17 ₌$1’059.666,67

30

Correspondiente a 17 días del mes de octubre. Para el índice de precios al consumidor final se toma el del mes anterior a la ejecutoria, en este caso, el de abril del 2002. R = RH Índice final Índice inicial Octubre 1’059.666,67 x 132.401814 ₌$1’102.207,27 127.291656 Noviembre 1’870.000 x 132.401814 ₌$1’942.8000,95 127.440432 Diciembre 1’870.000 x 132.401814 ₌ $1’940.446,79 127.595043 Enero 1’942.000 x 132.401814 = $1’998.992,70 128.626944 Febrero 1’942.000 x 132.401814 = $1’973.605,53 130.281517 Marzo 1’942.000 x 132.401814 = $1’960.108,80 131.178597

(38)

Abril $1’942.000

Total salarios actualizados $12’860.162,04 Capital a liquidar: $12’860.162,04

Para establecer los intereses moratorios aplicamos la fórmula:

I = k.t.i

365

Ejemplo: para el mes de mayo. k = 12’860.162,04 t = 13 días i = 30% I = 12’860.162,04 x 13 x 0.3 365 I = $137.409,95

El interés Bancario Corriente según la Superintenden-cia Bancaria para el mes de mayo es 20%, pero como los intereses son moratorios, multiplicamos el interés por 1.5.

(20% x 1.5 = 30%)

Capital $12’860.162,04

Intereses por mora $1’045.446,59 Valor total por pagar $13’905.608,63

(39)

M

1.4.2. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERÉS SIMPLE

Si hoy depositamos en una cuenta de ahorro (k) y esta inversión permanece durante determinado tiem-po (8 meses) ganando una tasa de interés (i), al final la corporación nos entregará el capital (k) más el inte-rés (i) ganado por el dinero depositado.

El valor que retiramos dentro de 8 meses lo denomi-naremos valor futuro y lo representamos con F, F = k + I.

Pero I = k,t.i, reemplazando tenemos: F = k + kti, sacando factor común: F = k (1+ti)

Ejemplo:

El tesorero de una entidad territorial deposita un ex-cedente financiero equivalente a $12’800.000 duran-te 287 días en una corporación que paga una tasa de interés del 17.5% anual. ¿Cuánto puede retirar al fi-nal de esta operación financiera?

(40)

k = 12’800.000 t = 287 días i = 17.5% F = ¿ F = k (1 + ti) F = 12’800.000 ( 1 + 287 x 0.175) = $14’585.777 Dentro de 287 días puede retirar $14’585.777 ¿Cuánto tiempo debe permanecer un depósito de $9’450.000 en un banco que paga una tasa de inte-rés del 13.8% anual, si queremos retirar $10’000.000 de pesos? k = 9’450.000 i = 13.8% F = 10’000.000 t = ¿ F = k (1 + ti) 10’000.000 = 9’450.000 (1 + t x 0.138) 360 10’000.000 ₌1 ₊ t x 0.138 9’450.000 360 1.058201058 – 1 = t x 0.318 360 0.058201058 = t x 0.318 360 t = 0.058201058 x 360 = 151.82 0.318 Respuesta: 151.82 días

¿Qué tasa de interés gana un inversionista si hoy de-posita $3’600.000 y dentro de 114 días retira $39’800.000? F = k (1 + ti) 39’800.000 = 3’600.000 (1 + 114 i) 360 39’800.000 _{– 1 =} 114 _i 3’600.000 360 0.105555 x 360 _{= i} 114 i = 33,33%

En los 114 días gana una tasa de interés simple del 33,33%

(41)

M

1.5. AUTOEVALUACIÓN

1. Con base en la siguiente información presente la liquidación debidamente tabulada que le corres-ponde al beneficio legítimo de una condena contra una entidad descentralizada del Distrito Capital.

· Fecha de fallo de segunda instancia proferida por el Consejo de Estado:

Noviembre 14 de 2001.

· Fecha de ejecutoria: Noviembre 20 de 2001.

· Valor de la condena: $94’300.000.

· Fecha de presentación de los documentos debidamente diligenciados: Junio 14 de 2002.

· Fecha de resolución de pago: Junio 22 de 2002.

· Fecha de entrega del cheque al beneficiario: Julio 18 de 2002.

2. Un alcalde municipal está interesado en comprar un edificio para funcionamiento de un colegio, le hacen tres propuestas que a continuación se detallan. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento del dinero es del 12% anual?

a) 600’000.000 al contado y un pagaré a 150 días por valor de 326’00.000.

b) 300’000.000 a 120 días y 635’000.000 a 180 días.

c) 200’000.000 al contado y un pagaré con intereses del 14% a 130 días.

3. Una máquina vale $18’000.000 al contado. Un comprador conviene pagar $8’000.000 de cuota inicial y el resto a 90 días con un recargo del 4% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple pagó?

4. Si el tesorero municipal deposita hoy $18’950.000 y dentro de 130 días retira $19’246.000. ¿Qué tasa de interés ganó?

5. Un inversionista deposita $10’000.000 en una corporación financiera que paga una tasa de interés del 11.5% anual, a los dos meses retira $2’500.000 y 3 meses después retira $3’400.000. Hallar el saldo disponible a los 8 meses contados desde la fecha del depósito.

6. Si hoy se depositan $8’960.000 en una corporación que paga una tasa de interés del 9.4% anual y posteriormente retiramos $9’100.000. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre el depósito y el retiro del dinero?

7. Cuántos años se requerirán para que:

a) Una inversión de $10’000.000 se convierte en $14’700.000 con una tasa de interés simple

del 18.3% anual

b) Una inversión de $6’400.000 se convierte en $7’260.000 con una tasa de interés del 14%

(42)

1.6.CONSTRUCCIÓN COGNITIVA

Centro Territorial: —————————————————————————————————— Nombre del Estudiante: ——————————————————————————————— Código : Equipo : ————————————————————————————————————-Temática : ———————————————————————————————————— Unidad :

————————————————————————————————————-ACTIVIDADES ¿CÓMO LO HICE?

Identificación del Proyecto de Aprendizaje

1. Después de hacer una revisión del

con-tenido del presente capítulo, me gustaría elaborar un ensayo sobre el siguiente problema, dificultad, amenaza, oportunidad, potencialidad, fortaleza o aspecto de interés, que afecta mi comunidad.

2. Dos preguntas que intentaré

responder-me en ese ensayo son:

3. El Título provisional del ensayo que

quie-ro escribir es:

4. La Utilidad (beneficios a corto plazo) que

este ensayo tendría (para mí o para otras perso-nas) es:

5. La Importancia (beneficios a largo plazo)

que este ensayo tendría para mi o para otras per-sonas) es :

6. El objetivo propuesto en la unidad que

más se aproxima a mis intereses es:

7. El procedimiento o camino más

razona-ble para alcanzar el objetivo propuesto de la uni-dad es:

(43)

M

8. Las ideas conceptos, que se relacionan

con el objetivo propuesto, que yo poseo son:

9. Un objetivo que yo quiero lograr con la

elaboración del ensayo es:

10. El procedimiento o camino más

razona-ble para alcanzar este objetivo es:

11. Algunas ideas o conceptos que poseo y

que se relacionan con el objetivo mío son:

12. El mapa conceptual que yo tengo sobre

estas temáticas lo puedo representar así:

13. En mi vida diaria yo utilizo uno o más de

estos conceptos así:

1.8. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Los estudiantes deberán consultar los siguien-tes textos: Matemáticas Financiera, Capitulo Interés Simple.

Código Contencioso Administrativo. Código Penal.

Tablas de interés de la Superintendencia

1.7. RESULTADO DIDÁCTICO

Al finalizar la sesión el estudiante estará en ca-pacidad de APLICAR las herramientas del Inte-rés al manejo de la finanzas del Estado..

(44)

U

nidad 2

(45)

Interés Compuesto

(46)

PLAN DE LA UNIDAD

2. EL INTERES COMPUESTO

2.1. OBJETIVO DIDÁCTICO.

2. EL INTERÉS COMPUESTO

2.1. Concepto de interés compuesto.

2.2. Tasa nominal y tasa efectiva.

2.3. Valor futuro.

2.4. Valor presente.

2.5. Tasas de interés equivalentes.

(47)

Interés Compuesto

2

2.2. CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

2.2.1. CONCEPTUALES. * Tasa * Tasa Nominal * Tasa Efectiva * Tasa Anticipada * Tasa Vencida * Valor Presente * Valor Futuro 2.2.2. PROCEDIMENTALES.

· Manejar los conceptos de tasa nominal y tasa efectiva.

· Diferenciar tasas nominales anticipadas y tasas nominales

vencidas.

· Definir con claridad el valor futuro y el valor presente.

Desarrollo de competencias socioafectivas simples que posibiliten la generación de habilidades que integran el saber y el saber hacer con el ser como persona para la realización de Trabajos en grupo, y la autoevaluación de procesos.

(48)

2.3. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

2.3.1. DE AUTOFORMACION.

· Autoevaluación

· Autoevaluación de Procesos, Decisiones y Estrategias

de Estudio.

· Lectura de la bibliografía básica.

· En la bitácora, el estudiante deberá elaborar el glosario

de los conceptos claves de esta unidad. 2.3.2. DE INTERFORMACION.

· Los estudiantes por grupos de trabajo, deberán ELABORAR

UNA REFLEXIÓN SOBRE LA APLICACIÓN DE LA MATEMÁ-TICA FINANCIERA EN EL MANEJO DE LAS FINANZAS DEL ESTADO.

· Los estudiantes por grupos de trabajo deberán socializar

las actividades de autoformación 2.3.3. PRESENCIAL.

· Presentación de la unidad por parte del tutor.

· Exposición de las actividades de autoformación

e interformación pro grupos de trabajo

· Aclaración de conceptos

· Realización de Taller para la aplicación de los contenidos

(49)

Interés Compuesto

(50)

2.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD.

INTERÉS COMPUESTO

Ejemplo:

Conseguimos un préstamo por $10’000.000 a una tasa de interés de 2.5% mensual durante cuatro me-ses, con la condición de no amortizar los intereses al final de cada mes sino de capitalizarlos hasta el final. ¿Cuánto cancelamos por el préstamo?

Gráfica:

Si el préstamo es por $10’000.000 a una tasa de in-terés mensual es del 2.5%, por concepto de intereses pagamos $ 25.000 el primer mes.

Si observamos la gráfica, vemos que: Capital (K) e in-tereses aumentan a través del tiempo, debido a que el interés se convierte en capital y a esta operación la denominamos capitalización.

En el interés compuesto hay dos tasas de interés: Tasa de interés Nominal y Tasa de interés efectiva.

TASA DE INTERÉS NOMINAL: Es la tasa anual que se capitaliza más de una vez al año.

Hablar de tasa Nominal equivale a tasa capitalizable. La tasa Nominal la representamos con J. El número de veces que el interés se convierte en Capital se de-nomina Capitalización y lo simbolizamos con m. Ejemplo: J = 30% N.M. se lee: una tasa del 30% no-minal mensual, o capitalizable mensualmente. El inte-rés durante el año se convierte 12 veces en Capital, de donde m = 12.

J = 24% NT. Se lee: una tasa anual del 24 por ciento nominal trimestral o capitalizable trimestralmente. El interés durante el año se convierte cuatro veces en Capital: m = 4.

Toda tasa nominal es una tasa anual. J = 24% N. b (Nominal bimestral): m = 6 J = 30% N. d (Nominal diaria): m = 360

TASA EFECTIVA: Es aquélla que realmente opera so-bre el Capital en un período. El período puede ser: un año, un mes, un semestre, un trimestre, un día, una semana o un bimestre.

Ejemplo: Un Banco nos concede un préstamo y, nos cobra una tasa de interés del 30% N.M. (Nominal mensual). Cual es la tasa efectiva mensual que nos

0

(51)

Interés Compuesto

2

La tasa que nos cobra el Banco es una tasa anual (Nominal).

Durante el año el interés se convierte en Capital 12 veces (el año tiene 12 meses).

Para saber cuál es la tasa de interés de un mes (un período) debemos dividir la tasa Nominal entre el número de capitalizaciones:

J , 30% ₌2.5%

m 12

Al dividir la tasa Nominal (30%) entre el número de capitalizaciones nos da una tasa del 2.5%, que es la tasa de período o tasa efectiva mensual.

Tasa de período es lo mismo que tasa efectiva y la simbolizamos con i.

Conseguimos un préstamo y nos cobran una tasa de interés del 30% NT (Nominal trimestral). ¿Qué tasa efectiva debemos pagar?

J = 30% N.T = 0,30 NT

Durante el año hay cuatro capitalizaciones: m = 4; la tasa de periodo o efectiva (i ) ₌ j ₌ 0.30 ₌ 7.5%

m 4 efectiva trimestral o tasa de período trimestral.

2.4.1 VALOR FUTURO

Ejemplo: Por un préstamo de 10’000.000 de pesos pagamos una tasa de interés del 18% N.M. durante

un año. ¿Cuánto debemos pagar por el préstamo?. _{F = ?}

=

El préstamo es de 10’000.000 de pesos (K), la tasa de interés es del 18% N.M. y el tiempo es de un año; como la tasa de interés es mensual el tiempo debe ser mensual (12 meses). Debemos hallar el valor

futuro para el interés compuesto: F = K (1 + i)n_.

F = ?

K = 10’000.000

i = J ₌0.18 ₌1.5% = 0.015 efectiva mensual.

m 12

n = número de períodos; en este caso meses 12.

F = 10’000’000 (1.015)12 _{= 11’956.181,71}

Debemos pagar por el préstamo: $11’956.181,71. Consignamos $ 8’000.000 en una Corporación du-rante 2 años, y nos pagan una tasa de interés del

(52)

12% N.T. (nominal trimestral). Cuánto dinero retira-mos dentro de 2 años?

El depósito es por 2 años, pero como la tasa casa de interés es trimestral, debemos convertir los años en trimestres 8 (2 años x 4 trimestres).

La tasa de interés es Nominal, debemos convertirla en efectiva: i = J ₌0,12 = 0.03 m 4 F = ? i = 0,03 n = 8 K = 8’000.000 2.4.2. VALOR PRESENTE

Se trata de poner capitales del futuro en pesos de hoy.

Ejemplo: Dentro de 10 meses recibo $10’000.000.¿ A cuánto dinero en pesos de hoy equivalen los 10’000.000 de pesos, si la tasa de interés es del 2% efectiva mensual? i = 2% efectiva mensual F = K ( 1 + i)n K = F (1 + i)-n K = F (1 + i) -n n = 10 K = ? F = 10’000.000 i = F (1 + i) –n _{K = 10’000.000 (1.02)}-10 _{= $8’203.483}

Financieramente es lo mismo recibir hoy $ 8’203.483 pesos o $10’000.000 dentro de 10 meses, si la tasa de interés es del 2,0% efectiva mensual.

2.4.3. TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES Tasas equivalentes son aquéllas, que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Las equivalencias de tasas las podemos hacer: de Efec-tiva a EfecEfec-tiva, de Nominal a EfecEfec-tiva y de Nominal a Nominal.

(53)

Interés Compuesto

2

Las tasas de interés pueden ser: vencidas o anticipa-das.

Tasa de interés vencida es la que opera al final de un período, y anticipada es la que se aplica al principio del período.

En lo Contencioso Administrativo se utilizan las tasas vencidas.

La tasa efectiva la simbolizamos con i, pero para

equi-valencia de tasas debemos representarla con (1 + i)n_.

Donde n es igual al número de períodos, debemos tomar, como unidad de tiempo para tasas de interés el año.

Ejemplo: Una Corporación Financiera nos concede un préstamo y nos cobra una tasa de interés del 34% efectivo anual. Hallar el valor de la tasa efectiva men-sual.

Simbología de la tasa efectiva: (1 + i)n_.

(1 + i)1 _{Tasa efectiva anual}

(1 + i)2 _{Tasa efectiva semestral}

(1 + i)4 _{Tasa efectiva trimestral}

(1 + i)6 _{Tasa efectiva bimestral}

(1 + i)12 _{Tasa efectiva mensual}

(1 + i)360_{Tasa efectiva diaria.}

Para el ejemplo debemos comparar dos tasa efecti-vas: Una anual y otra mensual.

(1 + i)n_{= (1 + i)}n

Tasa de interés conocida: (1.34)1

Tasa de interés desconocida: (1 + i)12

(1 + i)12_{= (1+i )}1

(1 + i)12_{= (1.34)}1

Despejamos i, (1 + i) = (1.34)1/12

i = (1.34)1/12_{– 1}

i = 2,46% efectiva mensual.

Si un Banco nos cobra por un préstamo una tasa de interés del 2.5% efectivo mensual, qué tasa efectiva anual y trimestral nos está cobrando?

Anual: (1 + i)n_{= (1 + i)}n (1 + i)1_{= (1 + i)}12 (1 + i)1_{= (1.025)}12_. i = (1.025)12_{– 1} i = 34,49% efectiva anual. Para la trimestral: (1 + i)n_{= (1 + i)}n_. (1 + i)4_{= (1 + i)}12_.

(54)

i = (1.025)12/4 _{- 1}

i = 7.69% efectiva trimestral 2.4.4. TASA NOMINALES

La tasa nominal la simbolizamos con J, pero para

equi-valencias la representamos: (1 + J/m)m_{, donde m}

quie-re decir número de capitalizaciones al año.

Ejemplo: Un Banco, para hacer préstamos, cobra una tasa de interés del 36% N.M (nominal mensual). La tasa Nominal la representamos así:

J= 1 + 0.36 12. 12 J = 24% N.T = 1 + 0.24 4 4 J = 24% N.S = 1 + 0.24 2 2

Si el Banco nos exige pagar una tasa del 36% N.M, cuál es la tasa efectiva anual?

Debemos igualar una tasa nominal con una tasa efec-tiva. (1 + i)n = 1 + J m m (1 + i)1 = 1 + 0.36 12 12 i = (1 + 0.03)12_{– 1 = 42.57% efectiva anual.}

Conocida una tasa del 24% N.T, hallar la tasa efectiva mensual equivalente. (1 + i)n = 1 + J m _m (1 + i)12 = 1 + 0.24 4 4 (1 + i)12 _{= (1 + 0.06)}4 1 + i= (1.06)4/12 i = (1.06)1/3_–1 i = 1.96% efectiva mensual.

Si i = 2% efectiva mensual, hallar la tasa nominal tri-mestral equivalente.

1 + J m_{= (1+i)}n

4

1 + J 4_{= (1.02)}12

(55)

Interés Compuesto

2

J = 4 [(1.02)3_{– 1] = 24.48% N.T.V.}

Si una Corporación nos cobra una tasa de interés del 2.4% efectiva mensual, hallar la tasa Nominal trimes-tral equivalente. 1 + J = (1 + i)n m 1 + J 4 _{= (1 + i)12} 4 1 + J 4 _{= (1.024)12} 4 J = 4 [(1.024)12/4_{– 1]}

J = 39.8% Nominal trimestral vencida. 2.4.5. TASAS ANTICIPADAS

Tasa de interés anticipada es aquella que opera al prin-cipio del periodo. Ejemplo: Si solicitamos un présta-mo por $10’000.000 y el banco nos cobra una tasa del 2.5% mensual, pueden ocurrir dos situaciones: que el Banco nos entregue los $10’000.000 y nos cobre intereses al final del mes (10’000.000 X 0.25 = 25.000) o nos cobre el interés por adelantado, en este caso recibiríamos $975.000 porque nos descon-taría $25.000 por concepto de intereses. A esto lo denominamos interés anticipado.

Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o del Periodo:

NOMINALES son las que se capitalizan más de una vez al año. Ejemplo:

Una tasa del: 24% N.M.A. se lee una tasa del 24%

32% N.T.A. se lee una tasa del 32% Nominal trimes-tre anticipado.

18% N.B.A. se lee una tasa del 18% Nominal bimes-tral anticipado.

Si dividimos la tasa nominal anticipada (J) entre el número de capitalizaciones (m) obtenemos la tasa anticipada del periodo y la simbolizamos con d. Para los ejemplos anteriores:

J =24%N.M.A. d = J d = 0.24 d=0.02 anticipada de mes m 12

J =32% N.T.A. d =J d =0.32 d=0.08 anticipada de trimestre

m 4

J = 18% N.B.A. d = J d = 0.18 d=0.03 anticipada de bimestre m 6

(56)

La simbología de la tasa nominal anticipada es la mis-ma de la tasa nominal vencida:

(1 + J /m)m

Donde J es igual a la tasa de interés y m al número de capitalizaciones en un año.

Una tasa del 30% N.M.A. se representa

1+0.30 12

₁₂

Equivalencias entre tasas anticipadas y tasas venci-das.

Ejemplo: Un banco nos cobra una tasa del 30% N.M.A. ¿Cuál es la tasa efectiva anual?

Los pasos a seguir son:

1. Hallar la tasa anticipada de periodo.

J = 30% N.M.A

d = J = 0.30 = 0.025 m 12

anticipada del mes

2. La anticipada de periodo se pasa a vencida

del mismo periodo (i)

i = d = 0.025 = 0.0256 efctiva mensual. 1-d 1-0.025

3. Se halla la tasa efectiva anual.

(1 + i)n_{= (1 + i)}n

(1 + i)1 _{= (1 + i)}12

(1 + i)1_{= (1.0256)}12

i = (1.0256)12_{– 1 = 35.43% efectiva anual}

Una corporación nos hace un préstamo y nos cobra una tasa de interés del 32% N.T.A. ¿Cuál es la tasa efectiva anual? J = 23% N.T.A. d = 0.32 = 0.8 anticipado de trimestre. 4 i = d = 0.08 = 0.0869 efectiva trimestral 1-d 1-0.08 (1.0869)4 _{(1 + i)}12 (1.0869)1/3_{= (1 + i)} i = (1.0869)1/3_{– 1 = 2,81% efectiva mensual}

Un prestamista cobra una tasa de interés del 24% N.B.A. ¿Cuál es la tasa nominal trimestral vencida? J = 0.24 = 0.04 6 i = d = 0.04 = 0.0416 efectiva bimestral 1-d 1-0.04 (1 + i)n_{= (1 + J / m)} m (1.0416)6 _{= (1 + J / 4)} 4

(57)

Interés Compuesto

2

(1.0416) 3/2_{= (1 + J/4 )}

J= 4 [(1.0416)3/2_{– 1] = 25.21% N.T.V.}

Hallar la tasa anticipada de de trimestre equivalente al 35% efectiva anual.

Encontramos la efectiva trimestral.

(1 + i)4_{= (1.35)}1

i = (1.35)1/4 _{– 1}

i = 7.79% efectiva trimestral

La efectiva trimestral la convertimos en anticipada del mismo periodo (d) con la fórmula: d = i

1+ i d = 0.0779 = 0.0724 anticipada de trimestre 1.0779

Hallar la tasa nominal trimestral anticipada equiva-lente a una tasa del 24% nominal mensual anticipa-da. d = 0.24 = 2% 12 i = 0.02 = 0.0204 efectiva mensual . 1-0.02 (1.0204)12_{= (1 + i)}4 i = (1.0204)3_{– 1 = 6,24% efectiva trimestral} d = i = 0.0624 = 5.87% anticipada de trimestre. . 1+i 1.0624

(58)

2.5. AUTOEVALUACIÓN

1. ¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto?

2. ¿Qué es tasa nominal?

3. ¿Qué es tasa efectiva?

4. ¿Diferencia entre tasa nominal anticipada y tasa nominal vencida?

5. ¿Defina el concepto de capitalización?

6. ¿Cuál es la diferencia entre tasa de periodo y tasa efectiva?

7. ¿Qué diferencia hay entre tasa nominal y tasa capitalizable?

8. ¿Qué se entiende por valor futuro y por valor presente?

9. ¿Qué alternativa es mejor para invertir los excedentes de tesorería de una empresa pública:

invertir una cantidad de dinero y duplicarla dentro de 16 meses? ¿o depositarla en una cuenta de ahorros que paga el 4.5% mensual?

10. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:

a) Al 15% efectiva semestral.

b) Al 20% nominal bimestral.

c) Al 24% nominal trimestral anticipada

d) Al 25% anticipada de año.

11. ¿Qué tasa nominal mensual convierte 970.000 de hoy, en 1’430.000 dentro de tres

semestres?

12. Un acreedor de una empresa descentralizada en liquidación, acepta que se le pague hoy

el 75% de tres pagarés a cargo de la entidad; uno por 12 millones de pesos que está vencido hace 16 meses con un interés por mora del 1.9% mensual sobre capital e intereses, otro de 20 millones de pesos que venció hace 9 meses, con la tasa de interés por mora del 1.9% mensual y el último por 8 millones de pesos que vence dentro de 6 meses. Si el interés convenido es del 22% efectivo anual, hallar la suma de dinero recibida por el acreedor.

13. Una entidad territorial debe cancelar hoy un préstamo por 40 millones de pesos.

El Banco decide incrementar esta suma en un 30% y pide el Municipio que el nuevo saldo sea cancelado dentro de 11 meses con un pago único. Hallar la tasa efectiva mensual que se cobra por el préstamo.

14. Un inversionista tiene 12 millones de pesos para invertirlos en una corporación que paga una

tasa de interés del 24% nominal trimestral vencida. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el inversionista para que el valor depositado se duplique?

15. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:

Al 26% efectiva anual. Al 35% anticipada de año.

Al 34% nominal trimestral vencida. Al 4% anticipada de bimestre. Al 31% efectivo anual.

(59)

Interés Compuesto

2 2.6. AUTO EVALUACIÓN DE PROCESOS, DECISIONES

Y ESTRATEGIAS DE ESTUDIO

Centro Territorial : —————————————————————————————————— Nombre del Estudiante : ——————————————————————————————— Código : —————————————————————————————————————— Equipo : —————————————————————————————————————— Temática : ————————————————————————————————————— Unidad : ——————————————————————————————————————

FACTORES ANÁLISIS OBSERVACIONES CALIFICACIÓN

1. EFICACIA 2. EFICIENCIA 3. APROPIACION 4. DEBILIDADES Y OBSTACULIZADORES 5. FORTALEZAS Y FACILITADORES 6. VALORACION DE LA EXPERIENCIA

Una vez estudiada y resueltas la primera y segunda unidad, por parte de usted apreciado estudiante, deberá evaluar (en el formato anterior) los procesos, las decisiones y estrategias de estudio que se implementaron en las actividades de autoforma-ción, interformación y presencial para el desarrollo de los mismos. Por lo cual, usted debe: Determinar la Eficacia del Proceso de Aprendizaje, valorando el cumplimiento de las actividades y los resultados intermedios del proceso, e indicando su nivel de satisfacción personal. Determinar la Eficiencia del Proceso de Aprendizaje, valorando los logros alcanzados frente a los recursos utilizados (tiempo, esfuerzo, materiales de estudio) e indicando su nivel de satisfacción personal. Señalar la apropiación de las Estrategias empleadas para realizar las actividades del proceso de aprendizaje, valorando hasta qué punto tiene dominio sobre ellas, le despiertan interés, le producen satisfacción y compromiso y hacen parte de su repertorio cognitivo y le ayudan a evitar errores y aumentar las probabilidades de acierto. Determinar las debilidades y los obstaculizadores de orden cognitivo, afectivo o sicomotor que dificultan el cumplimiento del proceso de aprendizaje, señalado algunas vías de solución. Determi-nar las fortalezas y los facilitadores de orden intrínseco que han permitido el cumplimiento del proceso de aprendizaje; Y expresar el valor que usted concede a la experiencia de esta unidades, en función de los logros, los aciertos y los errores. La escala de calificación será la siguiente: 5.0: Excelente Desempeño; 4.5: Buen desempeño; 4.0: Aceptable desempeño; 3.5:

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2.7. RESULTADO DIDÁCTICO

Al finalizar la sesión el estudiante estará en ca-pacidad de APLICAR las herramientas del Inte-rés Compuesto al manejo de la finanzas del Es-tado..

2.8. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Los estudiantes deberán consultar los capítulos Interés Compuesto y Tasas equivalentes del libro Matemáticas Financiera

(61)

M

U

nidad 3

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(63)

M

PLAN DE LA UNIDAD

3. ANUALIDADES

3.1. Concepto de anualidad.

3.2. Anualidades vencidas.

3.3. Anualidades anticipadas.

3.4. Refinanciación de la deuda.

3.5. Distribución de una cuota.

3.6. Anualidades diferidas.

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3.1. CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

3.1.1. CONCEPTUALES. · Anualidad · Anualidad Anticipada · Anualidad Vencida · Anualidad Diferida · Refinanciación

· Distribución de una Cuota

· Valoración de Perjuicios Materiales

3.1.2. PROCEDIMENTALES.

· Aplicar los conceptos mediante la realización de ejercicios

prácticos relacionados con el ejercicio de la Administración Pública Colombiana.

· Determinar y aplicar los conceptos de anualidad

estableci-dos por el Consejo de Estado

· Determinar y aplicar el concepto de Índices de Precios al

Consumidor

· Determinar y aplicar la Tabla de Esperanza de Vida.

Desarrollo de Competencias Gerenciales y de Gestión, en el desa-rrollo de habilidades para integrar el saber y el saber hacer con el ser para la aplicación de ejercicios simulados.

(65)

M

3.2. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

3.2.1. DE AUTOFORMACION.

· Elaboración de la Autoevalución de la unidad

· Elaboración de la Autoevaluación de aprendizajes o

cambios experimentados.

· Lectura de la unidad 3, y de la bibliografía básica.

· Elaboración de los conceptos claves en la bitácora.

3.2.2. DE INTERFORMACION.

Los estudiantes por grupos de trabajo deberán socializar las actividades de autoformación.

3.2.3. PRESENCIAL.

· Presentación de las actividades de autoformación por

parte de los estudiantes

· Aclaración de conceptos por parte del tutor

· Realización de Taller para aplicar lo aprendido en la

(66)

(67)

M

3.4. ANUALIDADES

Ejemplo:

Consignamos en una cuenta de ahorros $180.000 al final de cada mes durante siete meses. Si la Corpora-ción, nos paga una tasa de interés del 1.5% efectivo mensual. ¿Cuánto podemos retirar durante de siete meses?

I = 1.5% efectiva mensual

Si observamos la gráfica, vemos que los depósitos son iguales (180.000) los intervalos de tiempo tam-bién lo son y la tasa de interés está expresada en por-centaje mensual equivalente a las unidades de tiem-po. Por reunir estas características definimos está operación financiera como una anualidad o serie uni-forme..

En está operación financiera intervienen varios ele-mentos, a saber:

- Los depósitos (180.000) los representamos con R. - El número de veces que efectuamos los depósitos, lo representamos con n.

- La tasa de interés que en este caso es del 2.5% mensual, la representamos con i.

- El valor futuro (F) o el valor presente (P) según la clase de operación financiera.

Si consignamos $ 180.000 al final de cada mes, y es-tamos pensando en un ahorro para dentro de siete meses, en este caso es el valor futuro de una Anuali-dad.

Para saber cuánto podemos retirar dentro de siete meses, debemos aplicar la siguiente formula:

F = R (1 + i) n_{– 1}

i

F = Valor futuro de una Anualidad R = Valor de cada depósito h = Número de períodos

i = Tasa de interés del período o efectiva Reemplazando: F = ? R = 180.000 n = 7 i = 1.5% efectivo mensual F = 180.000 (1.015) 7_–1 = $1’318.138,96 0,015

Dentro de siete meses se puede retirar $1’318.138,96 A un empleado le consignan el sueldo en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés del 14% efec-tiva anual, los depósitos mensuales ascienden a $ 500.000. Cuánto puede retirar dentro de 12 meses? Como los períodos son meses y la tasa de interés es anual, debemos convertir las tasa efectiva anual en tasa efectiva mensual.

(68)

(1 + i) = (1 + i) (1 + i)12_{= (1 + i)}1 (1 + i)12_{= (1.14)}1 i = (1.14)1/12_{– 1} i = 1.097% efectiva mensual R = 500.000 i = 1.097% efectiva mensual n = 12 F = ? F = 500.000 (1.01097)12_{–1 = $6’375.580} 0,01097

Dentro de doce meses se puede retirar $ 6’375.580 Valor presente de una Anualidad.

Un concesionario vende canos de acuerdo con las siguientes condiciones: sin cuota inicial, tasa de inte-rés del 1,2% efectiva mensual y 12 cuotas mensuales iguales cada una de $ 1’200.000 . Calcular el precio de contado.

Si compramos el carro asumimos una deuda, la deu-da disminuye nuestro Capital, y debemos traer todos los valores (12 cuotas), al momento cero, a esto lo denominamos valor presente.

(69)

M

El valor presente es lo que costarían las 12 cuotas de 1’200.000 pesos cada una en pesos de hoy.

Para hacer este cálculo debemos traer a valor pre-sente esta Anualidad, aplicando la siguiente fórmula:

P = R 1 – (1 + i)-n

i

P = Valor en pesos de hoy de las 12 cuotas mensua-les

R = Valor de cada una de las cuotas n = Número de pagos

i = Tasa efectiva o tasa del período P = ? R = 1’200.000 n = 12 i = 1,2% Efectiva mensual P = 1’200.000 1- (1.012)-12 = $13’336.976,84 0,012

El carro de contado nos cuesta $ 13’336.976,84 pe-sos.

Las anualidades o series uniformes teniendo en cuen-ta la forma en que se estipule el pago o cuocuen-ta suelen ser: vencidas o anticipadas. Vencidas cuando el pago o cuota se paga al final del periodo y anticipadas cuan-do se hace el pago al comienzo del periocuan-do.

Ejemplo:

El ordenador del gasto municipal deposita en una cuenta de ahorros $ 1’400.00 al final de cada mes durante 7 meses. Si la tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1.3% efectiva mensual, ¿cuánto dinero recibe al final del último mes?

Es una serie vencida por que los depósitos se hacen al final de cada mes.

R = 1’400.00 n = 7 meses i = 1.3% efectivo anual F = R (1+i)n_{– 1} i F = 1’400.00 (1.013)7_{– 1 = $10’190.589,45} 0.013

Si el ordenador del gasto municipal hace los mismos depósitos al principio de cada mes y durante el mis-mo tiempo, ¿qué cantidad recibe dentro de siete me-ses?

Como los depósitos los hace al principio de cada mes, a esta operación financiera la denominamos serie

(70)

an-R = 1’400.00 n = 7

i = 1.3% F = ¿

El valor futuro de una serie vencida los representa-mos con la fórmula:

F = R (1 + i)n_{– 1}

i

Si queremos convertirla en valor futuro de una serie

anticipada, le agregamos (1 + i)1_{, la fórmula será:}

F = R (1 + i)n -1_{(1 + i)}1

i

F = 1’400.00 (1.013)7 _{– 1 (1.013)}1_{= $10’323.067}

0.013

Es más favorable para el ordenador del gasto munici-pal consignar al principio de cada mes ($10’323.067) ya que si las consignaciones las efectúa al final del periodo reunirá $10’190.589.

$ 10’232.067 – $ 10’190.589 = $132.478 diferen-cia entre depósitos dinero al final de cada periodo y principio del mismo periodo.

Un municipio consigue un préstamo por 38 millones de pesos, se compromete a pagarlo mediante 24 cuo-tas mensuales iguales en forma anticipada. Si la cuo-tasa de interés que cobra el banco es del 1.5% efectivo mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Como es una deuda, se aplica la fórmula para halla el valor presente de una serie uniforme:

P = R 1 – (1 + i)-n

el municipio se compromete a pagar las cuotas al prin-cipio de cada mes, el algoritmo que debemos utilizar es: P = R 1 – (1 + i)-n_{(1 + i)}1 i P = 38’000.000 n = 24 I = 1.5% R = ¿ 38’000.000 = R 1 – (1.015)-24_(1.015)1 0.015 R = 1’869.079,68

El municipio debe pagar 24 cuotas mensuales de 1’ 869.079,68 cada una.

Si en el ejemplo anterior el municipio paga las cuotas al final de cada mes, ¿cuál será el valor de cada cuo-ta?

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M

si las cuotas se pagan al final de cada mes es una serie vencida. P = 38’000.000 n = 24 i = 1.5% º R = ¿ 38’000.000 = R 1 – (10.015)-24 = $1’897.115,87 0.015

Si las cuotas se pagan al final de cada mes, el valor de cada una es $1’897.115,87.

Con el fin de modernizar y ampliar la cobertura de los servicios públicos, un municipio consigue un présta-mo por 1200 millones de pesos a Findeter présta-modalidad de cofinanciación para pagarlos durante 10 años mediante cuotas mensuales vencida pagando una tasa de interés del 1.5% E.M. Después de pagar la cuota 80 debido al sobredimensionamiento burocrático, el

municipio pide a Findeter le financie la deuda 6 años más. Findeter acepta la financiación pero la condicio-na a ucondicio-na nueva tasa de interés del 1.8% E.M. Se pide:

1. Calcular el valor de las cuotas refinanciadas.

2. El saldo de la deuda después de haber

cancelado la cuota refinanciada número 48.

3. El total de intereses pagados de la deuda

refinanciada hasta la cuota 48.

Calculemos la cuota ordinaria del crédito inicial.

P = 1200 R = ¿ n = 120 i = 1.5% E.M. 1200000000 = R 1 – (1.015)-120 0.015 1200000000 R 55.49845411 R₌ 1200000000 ₌ $21’622.223,89 55.49845411

Valor de cada una de las 120 cuotas mensuales $21’622.223,89.

Para refinanciarla deuda después de pagar la cuota 80 debemos hallar el saldo de la deuda.