Matematica Financiera Teoria y Aplicación

3

C

APÍTULO

1

F

UNDAMENTACIÓN

B

ÁSICA

P

ARA

L

A

M

ATEMÁTICA

F

INANCIERA

J

USTIFICACIÓN

En la actualidad el mundo de los negocios, ya sean personales o empresariales, se mueve con la aplicación de la matemática financiera. El dominio de este conocimiento le permitirá actuar eficiente y eficazmente en el manejo del efectivo y de los pasivos de su empresa o entidad para la cual labora y cooperar como persona en el desarrollo social y económico de su entorno inmediato, ciudad y región.

Como estudiante, ahora que tomaste la decisión de iniciar el estudio de la matemática financiera, empezaremos por conocer las herramientas que le facilitarán el trabajo en la solución de los problemas a los cuales debe dar respuesta en la vida como asistente financiero o como empresario.

En el estudio de este mundo interesante y útil de la matemática financiera, también recordaremos los conceptos de aritmética y álgebra para que pueda comprender rápidamente el proceso de desarrollo de las ecuaciones que nos permitan llegar a los resultados esperados.

4

I

O

BJETIVO

G

ENERAL

Apropiarme y dominar los conceptos de fundamentación de la matemática financiera y de las herramientas que me posibilitarán un desempeño eficiente y eficaz en la búsqueda de alternativas de soluciones como respuesta a problemas financieros.

Fundamentar los estudiantes que ingresan al curso de matemática financiera, para hacer la materia de fácil comprensión.

M

IS

O

BJETIVOS

 Dominar el manejo de la calculadora financiera como herramienta indispensable en la solución de problemas financieros.

 Desarrollar competencias en el manejo del Excel para dar solución a problemas financieros y reconocer su importancia en el desarrollo empresarial.

 Desplegar habilidades para el uso eficaz de las tablas financieras.

 Revisar y dominar los fundamentos matemáticos necesarios para el aprendizaje de la matemática financiera.

C

ONDUCTA DE

_E

NTRADA

 ¿Conozco el manejo de una calculadora Financiera?  ¿He utilizado el Excel como herramienta financiera?  ¿Qué es un logaritmo?

 ¿Para qué se utiliza el logaritmo?

 ¿Qué aplicación tiene el logaritmo en la matemática financiera?  ¿Qué es una ecuación de primer grado?

 ¿Cómo se despeja la incógnita en una ecuación?

 ¿Tengo un orden para la solución de ejercicios en las matemáticas?  ¿Conozco cómo se determina el precio de venta de un producto?  ¿Cómo se realizan los descuentos?

5

1.1

U

SO DE LA

C

ALCULADORA

La calculadora es junto al computador, herramienta fundamental tanto en las actividades académicas como laborales, dado que permite el desarrollo de ejercicios complejos de forma rápida y exacta.

La calculadora financiera es muy utilizada en el medio empresarial y el mundo bancario y bursátil, para este texto se utilizó la Hewlett - Packard 19B II, y la Casio FC 200.

En este capítulo no se busca mostrar el manual de las calculadoras sino explicar los puntos básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la matemática financiera. Se recomienda en el momento de comprar su calculadora, estudiar detenidamente su manual.

Antes de explicar los aspectos más importantes en el uso de la calculadora, es significativo que el estudiante entienda que esta herramienta no reemplaza el proceso de entendimiento para resolver los diferentes cuestionamientos financieros y mucho menos la interpretación de los resultados.

En este primer capítulo se hace una explicación general sobre el uso de la calculadora y en los siguientes capítulos se presenta la aplicación de ésta en cada uno de los temas tratados.

H

-

19

B

II

M

I

O

.

El modo en el que debe estar la calculadora para el inicio de operaciones, es el algebraico, el procedimiento para llegar allí es el siguiente:

Encienda la calculadora ON Digite la tecla naranja

Pulse la tecla DISP

Aparece en el menú varias opciones entre ellas digite OTROS En el siguiente menú digite ALG

Digite EXIT

6

M

P

Para el inicio de las operaciones, la calculadora deberá estar en el menú principal (MAIN). Para llegar al menú principal se pulsa la tecla EXIT, las veces que se requieran. O digitando la tecla naranja y EXIT, o sea con MAIN, para hacerlo directamente.

O

O

.

Al efectuar las operaciones se requiere claridad en cuanto al orden establecido, con el propósito de asegurar la calidad del resultado.

 Las operaciones que se realizan en primera instancia son las que están ubicadas dentro de un paréntesis.

 El segundo paso es el de las multiplicaciones y divisiones.  El tercero y último son las sumas y restas.

O

B

Es importante señalar las operaciones fundamentales que se realizan en los problemas de matemática financiera, ellos son: Potencias, raíces, porcentajes y memorias.

P

_Y

_R

_.

Para elevar a una potencia se maneja la tecla [^], la cual se encuentra como segunda función de la tecla [x].

La tecla de cambio está ubicada en el teclado de la pantalla en la segunda fila, su color es el naranja. En el manual está señalada con el número cinco (5).Para digitar la potencia se presiona la tecla de cambio y luego la tecla x, la cual tiene como función secundaria en potencia.

E

1.1:

Se desea lograr el resultado de 3 5_{, se procede de la siguiente manera:}

3  Tecla de Cambio  ^x 5 = 243

Para el cálculo de raíces se utilizan las teclas [^] y [1/x] (segunda función de la tecla [ ]). Por ejemplo, para obtener el resultado de la raíz cuadrada de 16, se sigue la siguiente secuencia de tecleo:

16 Tecla de cambio  ^x  Tecla de cambio 1/𝑥

7

E

P

 Determine el resultado de 43  Calcule la raíz cúbica de 125  ¿Cuál es el resultado de 54 _?

 Obtenga la raíz quinta de 4.000

P

La tecla % se requiere para obtener el porcentaje de un valor dado, para esto solo se digita la tecla precedida por el correspondiente valor.

E

_1.2:

Se quiere conocer el valor de la cuota inicial de un electrodoméstico cuyo valor total es de $1.500.000=, se entrega financiado, la cuota inicial es del 30% del valor total.

1.500.000 * 30 % = 450.000

E

P

 Determine el valor de la cuota inicial de un vehículo, cuyo precio es de $40.000.000 y para financiarlo se requiere pagar el 20% de cuota inicial.

 ¿Cuánto debe pagar inicialmente en la universidad si para financiar el semestre debe abonar el 30%, el valor del semestre es de $600.000

C

S

La tecla [+/-] es para el cambio de signo, se emplea para cambiar el signo del número exhibido en pantalla; también admite introducir números negativos directamente.

L

Para calcular el logaritmo de un número se requiere entrar al menú MATH, el cual se encuentra ubicado como función secundaria de %.

8 RDN PI LOGS TRIG CONV PROB

Para efectuar una operación con cualquiera de estos elementos se digitan las teclas que están debajo de cada uno de ellos.

Para el caso del logaritmo se digita la tecla que está debajo de LOGS, observándose el menú de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Los elementos que se utilizan son tres: LOG: Logaritmo en base diez (10) 10 ^x: Antilogaritmo

LN: Logaritmo Natural.

E

1.3:

Calcular el Log de 2.

Tecla de cambio  %  LOGS  2  LOG = 0,30103 El Log de 2 es 0,30103

E

1.4:

Calcular el antilogaritmo de 0,69897

Tecla de cambio  %  LOGS  0,69897 10 x = 5 El antilogaritmo de 0,69897 es 5

NOTA: Para el LN es el mismo procedimiento sólo se modifica el elemento.

A

Para el cálculo del antilogaritmo, se utiliza la tecla marcada como 10^x, y antilogaritmo natural ex_.

E

P

 Determine el antilogaritmo de 0,698970004.  Establezca el antilogaritmo natural de 0,69314718.

9

M

Todas las calculadoras tienen por lo menos un registro de memoria, el utilizar las memorias permite minimizar la probabilidad de error y la optimización del tiempo.

Esta calculadora posee 10 memorias disponibles, numeradas del 0 al 9, las cuales pueden ser utilizadas para acumular números.

Para guardar el número que se muestra en pantalla en una memoria, se oprime la tecla [STO] seguida de un número entre 0 y 9; para rescatar un número almacenado en una memoria, se oprime la tecla [RCL] seguida del dígito en donde se encuentre el número que deseamos recobrar. El número se muestra en la pantalla y continúa almacenado en la memoria.

Por lo general, resulta innecesario borrar las memorias ya que un número nuevo reemplaza al número almacenado anteriormente. Sin embargo, se puede borrar una memoria almacenando en ella un 0; para borrar todas las memorias simultáneamente, se teclea [STO] [DEL].

M

F

Para la solución de ejercicios ya aplicados a la matemática financiera con la calculadora HP, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Ubíquese en el menú MAIN (principal). Allí se muestra un tablero de opciones primarias. Los elementos de este menú son:

FIN: Menú Financiero COM: Menú Comercial SUMA: Menú Estadístico

CALEN: Reloj, Calendario y Cálculos con fechas. RESOL: Programación de la calculadora

TEXTO: Agenda

2. Digite la tecla que se encuentra debajo del elemento FIN. El menú FIN (Finanzas) es el más utilizado dentro del campo financiero, bancario y bursátil. Este menú contiene los siguientes submenús:

VDT: Valor del Dinero en el Tiempo CONVI: Conversión de Tasas de Interés.

10 F. CAJ: Manejo de fluidos de efectivo

BONO: Cálculos con Bonos DEPRC: Cálculos de Depreciación

3. Presione la tecla que se encuentra debajo del elemento VDT. El menú VDT se utiliza para llevar a cabo cálculos de interés compuesto y de anualidades. El menú se divide en dos partes: primario y secundario. El menú primario contiene 6 elementos, que son los siguientes:

N: Allí se almacena o calcula el número total de períodos de capitalización (o de pagos, en una anualidad). N puede expresarse en cualquier período de tiempo.

%IA: Almacena o calcula la tasa de interés anual, en porcentaje. V. A: Determina el capital o valor presente.

PAGO: Calcula la cantidad de cada pago periódico (anualidad). V. F.: Se estima el valor futuro

OTRO: Pasa al submenú secundario, que se utiliza para modificar las condiciones de pago y para presentar el menú de amortización.

Allí se muestra los siguientes elementos:

P/AÑO: Almacena el número de períodos de capitalización por año, importante la relación con la tasa de interés.

INIC: Determina el modo inicial, el cual se utiliza cuando la anualidad es anticipada. FINAL: Fija el modo final, el cual se utiliza cuando la anualidad es vencida.

AMRT: Muestra el menú para la amortización de una deuda a interés compuesto. Para regresar al menú primario se oprime la tecla [EXIT].

Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que el dinero cancelado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo.

Si los valores no se ingresan de manera adecuada atendiendo a su signo, la calculadora podría mostrar el mensaje: “no hay solución”.

11

C

F

200

M

_I

_O

Esta calculadora es un poco más sencilla que la HP, pero para nuestro texto es de gran utilidad, además de ser más económica y estar al alcance de la mayoría de estudiantes. Las operaciones se inician cuando el interruptor que se encuentra a la izquierda se deslice hacia arriba y quede en ON.

Como la idea del texto no es reemplazar el manual de la calculadora sino destacar algunos comandos, vamos a señalar algunas teclas claves para el estudiante de la matemática financiera.

S

_F

Esta tecla se digita para activar las funciones de color naranja ubicadas arriba de la tecla. Al digitarla aparece en la pantalla la letra S.

INGRESO DE CARACTERES ALFABÉTICOS ALPHA

Para ingresar los caracteres de color rojo o las memorias se digita la tecla ALPHA.

M

F

Para efectuar las operaciones financieras se digita la tecla MODE y el número 4.

Al realizar los diferentes cálculos se deben borrar las memorias financieras, se digita SHIFT AC EXE AC. Cuando se encuentra en el menú financiero en la pantalla se muestra FIN.

SELECCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS

Para indicar el tipo de interés que se va a trabajar, se digita la tecla MODE y el número cero (0), y la calculadora va cambiando el modo.

12

F

Las funciones son las siguientes: PRN INT CFj Nj NPV IRR COMP n i% PV PMT FV

Su forma de trabajar se explica en las páginas 121 a 123 del manual de su calculadora.

M

El manejo de las memorias es fundamental para ganar tiempo en las operaciones y minimizar el riesgo de equivocarse. La calculadora Fc 200 cuenta con veintiséis memorias y están identificadas con las letras de A a Z de color rojo.

Es importante conocer el procedimiento de almacenamiento en la memoria, como la forma de conocer la información guardada.

A

Para guardar información en la memoria la FC 200 cuenta con un gran número de celdas, se identifican porque se les asignó las letras del alfabeto.

Para guardar en la memoria se digita STO ALPHA la letra de la casilla que se selecciona (Ejemplo A) y EXE.

El procedimiento para guardar en la memoria el valor $1000 en la casilla A es el siguiente: 1000 - STO - ALPHA- A - EXE.

CONSULTA

Para consultar la memoria y recuperar la información guardada se digita RCL después ALPHA y la letra donde se guardó la información.

Si se procede a recuperar la información guardada anteriormente el proceso es: RCL - ALPHA - A - EXE.

Para un mejor estudio vaya a la página 133 y 134 del manual de su calculadora, donde además aprenderá a efectuar operaciones con los resultados guardados en las memorias.

13

E

Pulse ON/OFF.

 Si ha utilizado la tecla ON/OFF para apagar la calculadora, ésta volverá al modo de calculadora estándar mostrando un valor de cero.

Se mantendrán todos los valores y parámetros de las hojas de trabajo, formatos de número, unidades de ángulo, fechas, separadores y métodos de cálculo anteriores.  Si la calculadora se ha apagado por la acción de Automatic Power Down™ (APDTM_),

al encenderla estará exactamente igual que cuando la dejó, sin que se hayan perdido ninguno de los parámetros de visualización, memoria almacenada o cualquier operación en curso o condición de error sin resolver.

S

La función principal de una tecla es la que aparece sobre la propia tecla. Por ejemplo, la función principal de la tecla ON/OFF es apagar y encender la calculadora.

La mayoría de las teclas incluyen una función secundaria impresa por encima de la tecla. Para seleccionar una función secundaria pulse 2nd y la tecla correspondiente. (Cuando se pulsa 2nd, el indicador 2nd aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla). Por ejemplo, al pulsar 2nd [OUIT] se sale de la hoja de trabajo seleccionada y la calculadora regresa al modo estándar.

Nota: Para cancelar la acción después de pulsar 2nd, pulse 2nd de nuevo.

U

:

H

La calculadora contiene hojas de trabajo que llevan integradas las fórmulas con las que podrá resolver problemas concretos. Solo tendrá que aplicar los parámetros o asignar los valores conocidos a las variables de la hoja de trabajo, y calcular luego el valor desconocido. El cambio de los valores permite formular preguntas hipotéticas de tipo qué ocurre si y comparar los resultados.

Excepto para las variables de TVM, a las que se accede en el modo de calculadora estándar, es necesario solicitar todas las demás variables.

Por ejemplo, para asignar valores a las variables de amortización deberá pulsar primero 2nd [AMORT] para acceder a la hoja de trabajo Amortización.

14 Cada hoja de trabajo es independiente de las demás: las operaciones realizadas en una hoja de trabajo no afectan a las variables de las otras.

Al salir de una hoja de trabajo o apagar la calculadora, ésta retiene todos los datos de la hoja de trabajo.

R

 Se borran la pantalla, las 10 memorias, los cálculos no finalizados y todos los datos de las hojas de trabajo.

 Se recuperan los valores de configuración predeterminados.  Se recupera el funcionamiento del modo de calculadora estándar.

La calculadora dispone de métodos alternativos que permiten borrar datos selectiva mente, por lo que el reinicio de la misma deberá utilizarse con cuidado para evitar la pérdida accidental de datos. (Consulte «Borrado de entradas y memorias de la calculadora» en la página 8.)Por ejemplo, puede reiniciar la calculadora después de utilizarla por primera vez, al iniciar un nuevo cálculo o cuando surja algún problema de funcionamiento y no consiga resolverlo con ninguna de las otras posibles soluciones. (Consulte «Si surge alguna dificultad» en la página 111.)

Pulsación de 2nd [RESET] ENTER

1. Pulse 2nd [RESET). Aparecen los indicadores R5T ? Y ENTER.

Nota: Para cancelar el reinicio, pulse 2nd [QUIT). Aparece el valor 0.00.

2. Pulse ENTER. Aparecen R5T y 0.00, lo que confirma que se ha reiniciado la calculadora. Nota: Si se produce una condición de error, pulse CE/C para borrar la pantalla antes de intentar reiniciar la calculadora.

1.2.

G

ENERALIDADES DEL

E

XCEL

En la medida que se aumentan los negocios en el mundo, se han requerido instrumentos mucho más rápidos que permitan la toma de decisiones en períodos breves, y mecanismos que permita realizar comparaciones y elegir la mejor alternativa, sin tener que utilizar constantemente la calculadora para revisar las operaciones efectuadas y el papel para apuntar los resultados.

15 De allí partió la idea de crear un programa que permitiese anotar datos como en las hojas de papel, en celdas o memorias y luego poder efectuar operaciones con ellos.

De esta forma las hojas de cálculo se han convertido en el instrumento perfecto para el desarrollo financiero de las empresas, dado que su avance es tal que se permite hacer simulaciones que son fundamentales en la solución de problemas.

Para el desarrollo del texto se va a utilizar el EXCEL, hoja de cálculo por excelencia en estos momentos.

C

La estructura principal que utiliza este tipo de software para almacenar y organizar la información es un área de trabajo en forma de matriz, estructurada por un determinado número de filas y columnas, denominadas hoja de cálculo.

Los comandos principales que constituyen el menú principal son: INICIO, INSERTAR, DISEÑO DE PAGINA, FÓRMULAS, DATOS, REVISAR Y VISTA.

Para el caso de la matemática financiera es una herramienta fundamental, dada su aplicación para el administrador financiero.

Las funciones que más se utilizan se encuentran en el comando FÓRMULA.

Una vez se ingresa a la opción de funciones, la hoja electrónica te muestra las diversas alternativas que se tienen para trabajar, en el desarrollo de este texto se utilizarán fundamentalmente tres: FINANCIERAS, LÓGICAS MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS.

16

F

F

En este comando se encuentran las diferentes funciones utilizadas en las finanzas, dado que allí ya están programados y organizados los procedimientos matemáticos.

Las operaciones de más uso son las siguientes:

INT. EFECTIVO: Calcula la tasa efectiva a partir de la nominal.

NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal si se conoce la tasa efectiva.

NPER: Permite conocer el número de períodos que se requieren para pagar la totalidad de una obligación, cuando las cuotas son pagos iguales.

PAGO: Esta función permite calcular el valor de una anualidad cuando se conoce el valor presente o el valor futuro.

TASA: Con este comando se calcula el interés a partir del valor de las cuotas y el valor futuro o presente.

TIR: Se halla la tasa de rentabilidad del flujo de caja de un proyecto. VA: Conocemos el valor presente de unos pagos futuros.

VF: Determina el valor futuro a partir del valor presente o las anualidades.

17

F

M

T

De igual forma en el menú funciones también se encuentran las matemáticas y trigonométricas, donde se desarrollan temas como los logaritmos, y las lógicas que se utilizan en el tema de amortizaciones y organización de los flujos de caja.

Las funciones que se muestran son las que se requieren: LN: Calcula el logaritmo natural de un número.

LOG: Devuelve el logaritmo de un número en la base que se le indique. LOG10: Determina el logaritmo en base diez de un número.

POTENCIA: Permite obtener el resultado de elevar un número a una potencia. PRODUCTO: Multiplica una serie de números.

RAÍZ: Se obtiene la raíz cuadrada de un número.

SUMA: Suma una serie de números ubicados en un rango.

SUMAR.SI: Sólo suma los números que cumplen determinada condición.

M

_F

_L

SI: Se asigna un valor si cumple determinado criterio, sino se le asigna otro valor, se utiliza en las condiciones de pago para las tablas de amortización.

Es importante en el manejo del Excel, enlazar todas las variables, porque es allí donde se encuentra la ventaja de la hoja electrónica, dado que ante la modificación de cualquiera de ellas, inmediatamente afecta el resultado sin volver a realizar las operaciones.

1.3

L

AS

_T

ABLAS

_F

INANCIERAS

Buscando optimizar el tiempo en el desarrollo de los ejercicios, se editaron tablas que contienen el valor de un factor, que no es más que el resultado de las diferentes fórmulas como VP, VF y ANUALIDADES, para diferentes períodos y tasas de interés.

Cada hoja muestra el resultado para determinada tasa de interés y seis columnas, cada columna es el resultado de la deducción de una incógnita conociendo las demás variables. La hoja está organizada de la siguiente forma:

18 TASA 3%

N PAGOS UNICOS ANUALIDADES GRADIENTES

F/P P/F A/F F/A A/P P/A P/G A/G

1 1.0300 0.9709 1.0000 1.0000 1.0300 .09709

2 1.0609 0.9426 0.49261 2.0300 0.52261 1.9135 0,9426 0,4926

F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro.

A/P: Con un valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente.

P/G: Cálculo del valor presente con el factor de un gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el factor de un gradiente aritmético.

E

P

 Determine el factor para determinar el valor presente con un futuro para N = 5 y una tasa de interés del 3%.

 ¿Cuál es el factor para calcular una anualidad si se tiene un valor presente, con N = 6 y una tasa del 2%?

1.4

F

UNDAMENTACIÓN DE

_M

ATEMÁTICA

_B

ÁSICA

Para comprender la matemática financiera, el estudiante requiere recordar los conocimientos básicos de las matemáticas básicas, este repaso va a permitir el fortalecimiento de los conceptos para facilitar el desarrollo de la materia.

Los temas que se estudiarán son los siguientes:  Logaritmos

 Sucesiones y Progresiones.  Ecuaciones.

19  Radicación

 Exponenciación

 Pasos para solución de problemas en las matemáticas.

L

Atención: ¿para qué sirven los logaritmos?.

Son una herramienta muy útil que permite abreviar diversas operaciones aritméticas. En un principio fueron utilizados para la realización de cálculos aritméticos complejos principalmente en astronomía. Aun cuando hoy existen las calculadoras y los computadores, los cuales facilitan los cálculos, los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia, la tecnología, las finanzas, y otras.

D

:

El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar un número llamado BASE para obtener el número requerido.

a

_{= c}

E

1.5:

¿A cuánto se debe potenciar 10 para que sea igual a 100? La respuesta es 2. Luego, 102 _{= 100}

Loga b = c

¿A cuánto debo potenciar a “a” para que sea igual a “b”? ac _{= b}

20 Si lo comprende, puede continuar.

Propiedades de los Logaritmos

Como el logaritmo es un exponente tiene las mismas propiedades de los exponentes. 1. El logaritmo de los números negativos y de cero no existe en el conjunto de los

números reales, es decir:

Loga N no existe para todo N menor o igual a cero

2. El logaritmo de uno, es igual a cero, es decir

Loga 1 = 0 Se sabe que todo número elevado a la potencia cero es igual a uno en el

conjunto de los números reales.

3. El logaritmo del número a en la base a es igual a 1, es decir: Loga a = 1 porque a1 = a

4. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números, es decir

Loga AB = loga A + loga B

Log (6) (5)= Log 6 + Log 5

5. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador, es decir

Loga A/B = Loga A - Loga B

Log 6/5= Log 6 - Log 5

6. El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número, es decir:

Loga An = n loga A

E

P

 Determinar el Log de 4/3.  Estimar el Log 4*6.

B

L

El logaritmo de un número depende de la base que se utilice. Cualquier número positivo diferente de 1 puede ser usado como base de un sistema de logaritmos, luego el número de

21 sistemas de logaritmos es infinito. Sin embargo, los sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de logaritmos decimales que emplea el número 10 como base y el sistema de logaritmos naturales llamado también neperianos.

Sistema de logaritmos decimales

Este sistema es también llamado sistema de logaritmos comunes. El logaritmo decimal de un número positivo A, se escribe como log10 A. Al trabajar con logaritmos decimales es

costumbre omitir el subíndice 10. De esta forma, log10 A es igual a log A.

Sistema de logaritmos naturales

También llamado sistema de logaritmos neperianos. Emplea como base un número irracional representado por la letra “e” cuyo valor aproximado es 2.718281828459.... Se denomina “logaritmo de A en base “e” o “logaritmo natural o neperiano de A”, se acostumbra escribir ln A en lugar de loge A. Al igual que para el cálculo del logaritmo

decimal, el logaritmo natural se puede obtener mediante el uso de tablas o de calculadora. Se teclea el número y en seguida se oprime la tecla ln o se digita la tecla ln y en seguida se escribe el número, según el tipo de calculadora que se tenga.

A

L

M

F

.

Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos en las finanzas es la solución de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Este caso se presenta en el cálculo del tiempo (n).

E

1.6:

Se realiza una inversión de $100 a una tasa del 6% bimestral, ¿en cuánto tiempo se tendrá un valor de $150?

Utilizando la fórmula de valor presente, para obtener un valor futuro, tendríamos: 100*(1.06)N _{= 150 simplificando tenemos que}

(1.06)N _{= 1.5}

Se saca el logaritmo a ambos lados de la ecuación y se simplifica: Log (1.06)N _{= log 1.5}

22

𝑁 =

𝑙𝑜𝑔 1,06

N = 6,96

Respuesta:

Para alcanzar la inversión del valor de $150 debemos dejar los recursos 6.96 bimestres. NOTA: Esta aplicación se entenderá mejor cuando el estudiante conozca la fórmula de valor presente y valor futuro.

E

P

 ¿Cuánto tiempo se requiere para tener el doble del capital actual si mensualmente tiene una rentabilidad del 5%?.

 Determine el número de meses que se requiere esperar para alcanzar $ 1.000.000 si hoy se tienen $800.000 y mensualmente tiene una rentabilidad del 2%.

U

C

H

Para el ejemplo que se está trabajando; el logaritmo de 1.5, se digita el número y seguidamente la tecla ubicada debajo del elemento LOG así:

1.5 LOG = 0.176091259

Al digitar la tecla EXIT retorna al menú MATH, y al digitar nuevamente EXIT, se retorna al menú principal MAIN.

Si para el ejemplo se requiere el Logaritmo Natural, el elemento marcado será LN, del menú MATH.

Para el ejercicio se digita el 1.5 y a continuación se digita la tecla que se encuentra debajo del elemento LN.

E

P

 Determinar el Log de 4.  Estimar el Log 8*6.

23 CÁLCULO DEL LOG EN EXCEL

Se va a calcular el Log de 1.5

 Se ingresa por funciones (fx)

 La categoría de la función es matemáticas y trigonométricas  Se busca el nombre de la función, para el ejercicio se tomó el LOG10

 Una vez definida la función se señala el valor que se va a calcular. NOTA: Si el cálculo fuese el Logaritmo Natural se seleccionaría LN.

S

Y

P

S

Una sucesión es una lista ordenada de números. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14 o 3, 6, 12, 24, 48

En la primera parte del ejemplo, el primer término es 2, el segundo 5, el tercero 8 .... Cada término se obtiene sumando 3 al término anterior.

En la segunda parte del ejemplo, el primer término es 3, el segundo 6, el tercero 12, ... Cada término se obtiene duplicando el anterior.

P

D

:

Una progresión es una sucesión de números relacionados de tal forma que cada número es igual al anterior sumado o multiplicado por un valor constante.

Existen dos clases de progresiones; aritméticas y geométricas.

P

A

Se define como progresión aritmética a la sucesión cuya diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. Esta diferencia se denomina diferencia común (DC).

La expresión queda así:

24 Dónde:

A: Primer término. DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término.

La fórmula para calcular el último término es la siguiente: UT= A + (N-1)*DC El valor de la sumatoria de la serie se determina mediante la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇)

2

E

1.7:

E

A

:

2, 5, 8, 11, 14, 17,20... El total de términos es de 20. Calcular el UT y la Sumatoria de la serie. A: 2 DC: 3 N: 20 UT = 2+ (20 - 1) * 3 UT = 59 Sumatoria Serie (SS) =

20∗(2+59)

2

NOTA: Si se desea conocer un determinado término de la serie, por ejemplo el término 15 del ejercicio anterior, en la fórmula del UT, se reemplaza el UT, por el quince (15).

25 Aplicación en las finanzas:

E

1.8:

Se efectúa un crédito de $100 con un interés del 2% mensual. El cliente está de acuerdo en pagar $10 a capital cada mes, más el interés.

Al finalizar el primer mes paga $10 más $2 de interés. El total del pago es de $12 y se adeuda $90 al banco.

Para el segundo mes se paga $10 de capital más los intereses sobre $90, es decir; $1,80 por lo tanto, el segundo pago sería de $11,80.

Para el tercer mes sería $10 de capital y $1,60 de interés Para el cuarto mes sería $10 de capital y $1,40 de interés Para el quinto mes sería $10 de capital y $1,20 de interés

Los pagos sucesivos serían: 12, 11.80, 11.60, 11.40, 11.20,...10.20. La diferencia común es 0.20 (20 centavos)

E

P

 Calcular el último término de la siguiente serie: 4, 9, 14,19...N La serie tiene 15 términos.

 Determinar la Sumatoria de la siguiente serie: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.

P

G

I

C

Una progresión es geométrica (PG) cuando en una sucesión de términos, cada término es igual al anterior multiplicado por una constante denominada RAZÓN.

Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162 2, 2x31_{, 2x3}2_{, 2x3}3_{, 2 x3}4

La RAZÓN es 3.

Si A es el primer término y r es la razón, los términos sucesivos de la progresión geométrica (PG) son:

26 A, Ar, Ar2_{, Ar}3

En esta PG se observa que la potencia de r en cualquier término es menor en uno al número de términos (N).

Esto permite concluir que el último término o término n-ésimo se obtiene de la siguiente forma: UT = a*rn_-1

Para calcular la sumatoria de la serie, se aplica la siguiente fórmula:

Sumatoria Serie (SS) =

r∗UT – A

r−1

E

1.9:

Se tiene la siguiente serie:

2, 4, 8, 16, 32, si la serie tiene 10 términos, calcule el último término, y la sumatoria de la serie.

A = 2, r = 2, N = 10, UT= UT = 2* 29

UT = 1024

El último término de la serie es 1024. La sumatoria de la serie se calcula así: Sumatoria serie (SS) = (2∗1.024)−2)

2−1

SS = 2.046

La sumatoria de la serie es de 2.046.

E

1.10:

A

F

:

Se depositan $100 en una entidad financiera que paga 1% mensual. ¿Cuánto dinero se tendrá al finalizar un año?

Los intereses se capitalizan cada mes. Al finalizar el primer mes se tendría

27 100 + 100(0.01) = 101

El valor de la inversión para el segundo mes sería:

101 + 1% de 101  101 (1.01)  esto es equivalente a 100(1.01)2

De igual forma el valor de la inversión para el tercer mes sería: 100(1.01)3

La sucesión sería 100, 100(1.01)1_{, 100(1.01)}2_{, 100(1.01)}3_...

Demostrando la aplicabilidad de la progresión geométrica para el cálculo de resultados donde se trabaja con el interés compuesto.

E

P

 Determine el décimo término de la siguiente progresión: 2, 6, 18, 54,...

 Calcule la sumatoria de la siguiente serie, la cual está compuesta por 8 términos: 4, 8, 16, 32,...

E

Una ecuación es una igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas denominadas incógnitas, y sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

G

U

E

El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación.

En una ecuación de primer grado el mayor exponente de X es 1. Ejemplo: 2X+8= 20

En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2. Ejemplo: X2- _{+ X + 15=0}

En la matemática financiera, el uso de las ecuaciones se limita a ecuaciones de primer grado con una incógnita, cuando se hace referencia a una incógnita se precisa que sólo se desconoce una variable.

28 El éxito de un estudiante de matemática financiera radica en el buen planteamiento de la ecuación, y éste se da cuando existe claridad en la ubicación de la incógnita.

E

1.11:

Determinar el precio de contado de un artículo que se financió de la siguiente forma cuota inicial, 30% del valor de contado y $500.000 a 30 días (1 mes), con un interés del 2% mensual.

La ecuación se plantea para el momento 0, porque es allí donde se quiere conocer el valor de contado.

Valor de Contado = X X = 0,3X+500.000/(1,02)

A

El precio de contado es igual al 30% de ese valor, más los 500.000, pero trayéndolos al momento cero, o sea, trayéndolos a valor presente.

S

:

X-0,3X= 500.000 / 1.02 0,7X = 490.196,07 X = 490.196,07 /0,7 X = 700.280,11

RTA: El valor de contado del artículo es de $700.280,11

E

P

 Determine el valor de X de la siguiente ecuación: 10x – 5 = 4x + 20

 Despeje el valor de X: 6𝑥

2

+

29

R

La raíz de un valor x, es aquel número que elevado a una potencia da como resultado el valor inicial.

Ejemplo: La raíz de 16(dieciséis), su raíz cuadrada es 4(cuatro), porque al elevar 4 al cuadrado, se obtiene la cifra inicial de 16.

El concepto de radicación se aplica en la matemática financiera para el despeje de la tasa de interés cuando se conoce los valores presente y futuro y el número de períodos.

E

A

:

La operación que regularmente se utiliza es la de supresión del índice y del exponente.

E

1.12:

Para despejar i se elevan las dos partes en (1/3) o expresado de otra forma se saca raíz cúbica a ambos lados, con el propósito de eliminar el exponente 3, porque cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, los dos valores se eliminan.

E

P

 Determinar el valor del interés despejando la siguiente ecuación: (1+ i)4 _{-1 = 16%}

 Calcular la tasa de interés de: (1+ i)3 _{-1= 10%}

30

E

Un exponente se puede definir como el producto de un número real que se multiplica por sí mismo un determinado número de veces.

E

1.13

X * X * X = X3

La X se denomina base y el número al cual se encuentra elevado se denomina exponente. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.

Leyes Exponenciales:

PRODUCTO DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE:

El producto de dos exponentes con la misma base es equivalente a elevar la base a la suma de los exponentes.

E

1.14:

COCIENTE DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE

El cociente de dos exponentes con la misma base es similar a elevar la base por la diferencia del exponente del numerador menos el denominador.

E

1.15:

E

U

E

Al elevar un exponente a otro exponente, se eleva la base al producto de sus exponentes.

E

1.16:

EL EXPONENTE CERO

31

E

1.17:

50 _{= 1}

EXPONENTE NEGATIVO

Cuando la base tiene un exponente negativo éste es igual a 1 sobre esta misma base con exponente positivo.

E

1.18

E

P

 Determine el resultado del producto de las siguientes potencias: X3 _{* X}4

 Calcule el resultado de la siguiente expresión: (52₎3 _{+ 4}4

 Determinar el resultante de: (6 * 5)2

L

D

P

S

P

M

F

La razón de existir este texto es la búsqueda de la forma para que el estudiante le encuentre gusto a las matemáticas, en especial a la financiera, es tratar de sugerir unos pasos estándar que se apliquen en la solución de cualquier problema matemático.

Los diez pasos que, con mucho respeto, le sugiero a un estudiante interesado en resolver todo ejercicio que se le presente son los siguientes:

1. Piense que la matemática es muy fácil, es lógica, y exacta, que tú eres bueno para las matemáticas.

2. Lea cuidadosamente el problema sin dejar escapar detalle alguno.

3. Trate de aplicarlo a la cotidianidad de su vida, si la realidad te presenta esta situación. ¿Cuál sería la forma de darle solución?

4. Tenga claridad en la pregunta del ejercicio.

5. Plantee el camino para encontrar la respuesta, aquí se utiliza el diagrama del flujo de caja.

6. El diagrama del flujo de caja le orienta cuando ingresa dinero y en qué momento efectúa erogaciones, de igual manera el período en el cual está ubicada la incógnita.

32 7. Plantee la ecuación que le va a permitir efectuar las operaciones requeridas en el

desarrollo del ejercicio.

8. Evalúe las operaciones efectuadas, quizás se haya equivocado en alguna, o digitó mal la calculadora o el computador.

9. Revise si la repuesta está dentro de la lógica.

10. Interprete el resultado para saber dar respuesta a la pregunta.

1.5

F

UNDAMENTACIÓN

C

OMERCIAL

P

Como porcentaje se define la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien unidades. Se describe con el signo %.

Si se expresa el 20%, esto quiere decir veinte unidades por cada 100, se representa de otras formas como: 20/100, 0.20.

E

1.19:

La tasa de interés mensual es el 3%.

Esto significa que mensualmente por cada $100 que a usted le presten, debe pagar $3.

E

P

 Determine el interés por un crédito de $1.000.000, si la tasa cobrada es 2% mensual.

 Para financiar un electrodoméstico se requiere pagar el 20% de cuota inicial, cual será la cantidad de dinero a desembolsar, si el artículo tiene un valor de $6.000.000=.

D

_C

El descuento comercial se define como una rebaja sobre el precio de lista de un artículo o mercancía y se expresa como un por ciento del precio fijado.

Los descuentos en el comercio se dan por las siguientes razones:  POR VOLUMEN

33  PAGO DE CONTADO, O ANTES DEL VENCIMIENTO.

E

1.20:

Un almacén mayorista, vende mercancía a la empresa ABC por un valor de $10.000.000, dado su volumen de compra, le concede un descuento del 10%, y si la empresa ABC paga de contado le da un descuento del 5%.

Si ABC, pagó de contado determine el valor de la factura. VALOR INICIAL DE LA

FACTURA $10.000.000

Descuento por volumen (10%)

Valor descuento 10.000.000 x 10%= 1.000.000

VALOR FACTURA $9.000.000 Descuento pago de contado (5%)

Valor descuento 9.000.000 x 5% = 450.000

VALOR FINAL DE LA FACTURA $8.550.000

Aquí se observa que al efectuarse dos o más descuentos comerciales, éstos deben ser sucesivos.

E

P

Determine el pago final de una factura, la cual tiene un valor de $30.000.000, por volumen tiene un descuento del 15%, y por pago de contado de un 4%.

D

D

P

V

Para determinar el precio de venta de un artículo, se debe conocer el costo y el margen de utilidad.

La fórmula es la siguiente:

34 La utilidad bruta se determina como el margen de utilidad multiplicado por el precio de venta.

E

1.21:

E

A

Cuál es el precio de venta de un artículo cuyo costo es de $5.000.000= y el margen de utilidad que se espera obtener es del 30%.

Se reemplaza en la fórmula: PV = 5.000.000 + 0, 3 * PV 0, 7 PV =5.000.000

PV = 5.000.000 / 0,7 PV =7.142.857

El precio al que se espera vender el artículo es de $7.142.857.

E

P

 Usted inicia un negocio de ventas de empanadas, el costo unitario es de $400, si se espera alcanzar un margen de utilidad del 50% determine el precio de venta de cada empanada.

 Si el costo de fabricar una carrocería es de $12.000.000, y el margen de utilidad esperado es el 15%, determine el precio de venta de cada carrocería.

A

UTOEVALUACIÓN

a. Cómo debo operar la calculadora financiera para obtener el 37.8% de 4’850.000. b. Comente cuál es el proceso para trabajar las funciones financieras en Excel.

c. ¿Entiendo la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica? d. En una ecuación de primer grado cuál es el mayor exponente de X.

e. En una operación matemática de exponenciales, cuál es el procedimiento para realizar la siguiente operación:

35 f. ¿Cómo se determina el descuento comercial? ¿Tienen las grandes empresas ventajas

sobre las pequeñas, allí?

g. ¿Conociendo el margen de utilidad es suficiente para determinar el precio de venta de un artículo?

G

LOSARIO

AHORRO: Parte del ingreso que una persona o ente jurídico no gasta en consumo, sino lo pospone para algún momento futuro.

COMERCIALIZACIÓN: Proceso mediante el cual los productos se trasladan de los productores a los consumidores.

COMERCIO EXTERIOR: Intercambio de productos y servicios entre países.

DESCUENTO: Disminución del valor nominal de un título valor por pago anticipado.

ECUACIÓN: Es una igualdad de valores, que relacionan dos o más variables, y que permite conocer los valores numéricos asignados a las letras.

FACTURA COMERCIAL: Documento en el que se fija el valor de la mercancía vendida.

FINANZAS: Rama de la administración de empresas que se preocupa por el flujo de fondos que requiere la empresa para su funcionamiento y la generación de utilidades.

ÍNDICE: Indicador que tiene por objeto medir las variaciones de un fenómeno económico.

INGRESO: Remuneración percibida por un trabajador por los servicios prestados durante un período de tiempo.

INSOLVENCIA: Incapacidad para pagar las deudas en la fecha fijada.

INSTITUCIÓN FINANCIERA: Empresa cuya actividad es la intermediación financiera.

INSTRUMENTO FINANCIERO: Documento que representa una deuda.

INVERSIÓN: Asignación de recursos económicos en determinado negocio cuyo propósito es el de obtener ganancias en un período de tiempo.

INVERSIONISTA: Persona que emplea sus recursos económicos para adquirir activos productivos o títulos valores en el mercado financiero y bursátil.

MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERA: Es la diferencia entre las tasas de interés de colocación y de captación.

36

MARGEN DE UTILIDAD: Es el margen que desea obtener quien vende un producto, el cual se determina restando al precio de venta el costo medio, y su resultado se divide por el precio.

PRECIO: Cantidad de dinero que se paga por la adquisición de una mercancía o servicio.

PRÉSTAMO: Contrato mediante el cual una persona denominada prestamista entrega un bien que le pertenece a otra persona llamada prestatario, con el propósito que éste lo disfrute, pague un interés y se comprometa a devolverlo en un determinado período de tiempo.

F

ÓRMULAS

F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro.

A/P: Con el valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. P/G: Cálculo del valor presente con el gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el gradiente aritmético. Factores para aplicar con las tablas financieras.

UT= A + (N-1)*DC

Cálculo del último término en una progresión aritmética. Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇)

2

Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión aritmética, donde: A: Primer término.

DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término.

37 UT = a*rn-1

Cálculo del último término en una progresión geométrica.

Sumatoria Serie (SS) =

r∗UT – A

r−1

Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión geométrica. PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA

38

C

APÍTULO

2

I

NTERÉS

J

USTIFICACIÓN

El concepto interés es la base donde se fundamenta la matemática financiera, cuantifica el valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, es la forma como el inversionista conoce el valor que debe pagar como usuario del dinero, o la compensación que se da a la persona que deja utilizarlo en el presente en aras de que otro lo haga.

En este capítulo se conocerán las diferentes formas como las entidades financieras cobran y pagan por captar el dinero de los ahorradores y a su vez como lo prestan a los inversionistas.

Así mismo, el estudiante o la persona común y corriente aprenderá a calcular el verdadera rentabilidad o costo de su dinero, para que de esta forma tenga argumentos en el proceso de seleccionar alternativas de inversión.

39

M

IS

O

BJETIVOS

Como estudiante debo:

 Comprender y manejar, como parte de mi profesión, el concepto valor del dinero en el tiempo.

 Entender y manejar con habilidad las tasas de interés.

 Diferenciar interés simple e interés compuesto y saber con claridad cuándo es preciso utilizarlos.

 Distinguir tasa nominal y tasa efectiva, con la finalidad de realizar bien los cálculos financieros que estén bajo mi responsabilidad.

 Aprender a calcular una tasa efectiva, partiendo de una nominal.

 Comprender la importancia de calcular tasas nominales, a partir de efectivas.

C

ONDUCTA DE

E

NTRADA

Amigo estudiante la evaluación de entrada le permitirá saber si cuenta con los conocimientos y conceptos necesarios para continuar su estudio en finanzas. Así conocerá sus deficiencias y podrá superarlas antes de empezar a estudiar esta nueva unidad.

Responda estas preguntas y reflexione sobre sus respuestas y sobre sus fortalezas y debilidades en este tema.

Haga más fuertes sus conocimientos y supere sus deficiencias de una vez, y el manejo financiero será parte de su éxito.

1. ¿Podría describir la diferencia existente entre el uso de la calculadora financiera, el Excel y las tablas financieras? ¡Inténtelo!

2. ¿Puede representar el proceso de llegar al menú financiero de la calculadora Hewlett - Packard? ¡Por favor hágalo!

3. ¿Cuál sería el proceso utilizado en Excel para trabajar las funciones financieras?

4. ¿Puede hablar sobre el uso de los logaritmos en la matemática financiera? ¿Tienen alguna importancia? ¿Cómo se usan?

5. ¿Cuándo una empresa ofrece descuentos por diferentes conceptos, para liquidar el valor del descuento, se utiliza la misma base?

40

2.1

V

ALOR DEL

D

INERO EN EL

T

IEMPO

Al ingresar ya en el campo financiero, el concepto más importante que debe tener claro el estudiante tanto como el profesional en finanzas es la incidencia del tiempo en el valor del dinero.

No es lo mismo disponer de un millón de pesos hoy que dentro de un año, ya que, si cuento con el dinero hoy, lo puede usar en el momento, y aprovechar una oportunidad de negocio, en segunda instancia, porque éste va perdiendo valor como consecuencia de la inflación, y en tercera instancia, porque al prestar el dinero se está asumiendo el riesgo de que no sea devuelto en la fecha fijada, o nunca regrese.

Por lo tanto, un millón de pesos en el momento actual será equivalente a un millón de pesos más una cifra adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese período, un ingreso por asumir el riesgo de prestarlo y la utilidad de quien pospone su uso para cederle su derecho a otro.

Hay dos conceptos básicos:

 Ante dos capitales de igual cuantía en momentos diferentes, se preferirá aquél que sea más cercano al día de hoy.

 Ante dos capitales de distinta cuantía en momentos diferentes, se prefiere el de mayor valor pero comparado en un mismo momento.

Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en igual momento, y para ello se utilizan las fórmulas de matemática financiera.

E

2.1:

¿Cuál opción es preferible: disponer de cuatro millones de pesos dentro de un año o de ocho millones dentro de cuatro años?

Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante.

Así, por ejemplo, si aplicando las fórmulas de matemática financiera con determinada tasa de interés (25% anual), resulta que el primer valor equivale a 3,2 millones hoy y el segundo equivale a 3,216 millones, veremos que es preferible elegir la segunda opción. Se han calculado los valores equivalentes en el momento actual, pero se podría haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 4 años, otro.), y el resultado habría sido el mismo.

41 Las fórmulas que permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman leyes de capitalización.

Estas leyes financieras, permiten sumar o restar capitales en distintos momentos.

E

2.2:

Si se va pagar 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no se pueden sumar directamente, sino que se deben hallar sus equivalentes en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses...) Y entonces, si se podrá efectuar la suma.

2.2

L

A

_T

ASA DE

_I

NTERÉS

La tasa de interés, entendida como el costo del dinero en el tiempo, también se puede definir como el ingreso que debe recibir su dueño por no hacer uso de él hoy, o el precio que debe pagar alguien por tener acceso al dinero hoy.

Es quizás la variable que más incide en la toma de decisiones cuando se trata del manejo de las finanzas.

Cuando usted acude a una entidad financiera debe tener en cuenta diferentes aspectos para saber en definitiva cuál es el costo del crédito que va a solicitar o cuánto es lo que en realidad va a ganar por dejar su dinero allí.

Para tener claridad sobre estas situaciones, se van a recordar conceptos como:  Interés Simple.

 Interés Compuesto.  Tasa de Interés Nominal.  Tasa de Interés Efectiva.

E

S

:

Es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un tiempo futuro cuando no se capitalizan los intereses, es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de 1 año).

La fórmula que sirve para determinar los intereses que genera un capital (valor presente) es la siguiente:

42 “I” Son los intereses que se generan.

“P” Es el capital inicial (en el momento n = 0), es decir, el valor presente. “i” Es la tasa de Interés que se aplica.

“n” Es el tiempo que dura la inversión.

C

:

 El capital inicial permanece constante durante el período de la operación financiera, puesto que los intereses no se capitalizan.

 El valor de los intereses es igual en todos los períodos.

 No capitaliza sobre los intereses no pagados, la base de liquidación sigue siendo el capital inicial. (Ver tabla pág.50)

E

2.3:

Determinar los intereses que generan cinco millones de pesos a una tasa del 15% anual en un plazo de un año, y el valor a pagar una vez finalizado el período.

I = 5’000.000 * 0,15 * 1 I = 750.000 pesos

El valor de los intereses es de $750.000.

Una vez que se ha calculado el importe de los intereses se determina el valor futuro. V. F = P + I

V. F = P + (P * i * n)  (Sustituyendo “I” por su equivalente) V. F = P * (1 + (i * n))  (Sacando factor común “P”)

V. F “Es el capital final con un interés simple”. Para el ejemplo se tendría:

V.F = 5’000.000x (1+(0,15x1)) V.F = 5’750.000=

Nota: Es importante tener en cuenta que: el interés y el plazo deben referirse a la misma medida de tiempo (si el interés es anual, el plazo debe ir en años, si el interés es mensual, el plazo irá en meses.)

43

E

P

Ahora, intentemos desarrollar el siguiente ejercicio, para estar seguros de la comprensión del tema:

Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés simple del 2% mensual. ¿Cuánto dinero deberá desembolsar al finalizar el período?.

¿Puede dar respuesta al siguiente ejercicio? desarrollémoslo:

¿Cuál es el valor mensual que usted debe cancelar si le otorgan un préstamo de $500.000= por un trimestre, si el interés es simple, con una tasa del 3% mensual?

I

C

:

El interés compuesto es aquel que permite calcular el equivalente de un capital en un futuro pero a diferencia del interés simple, los intereses pasan a ser parte del capital. La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el compuesto, se considera que los intereses que va generando el capital inicial, van formando nuevo capital.

La fórmula de capitalización compuesta que permite calcular los intereses es la siguiente: I = P * ((1 + i)n _{- 1)}

“I” Son los intereses que se generan

“P” es el capital inicial (en el momento n = 0) “i” es la tasa de interés del período de capitalización. “n” es el tiempo que dura la inversión

E

2.4:

Continuando con el ejemplo 2.3, el valor de los intereses con interés compuesto sería el siguiente:

I = 5.000.000 * ((1+0, 0125)12 _-1)

I = 803.772,58

El total del interés es de $803.772,58

44 NOTA: Obsérvese que el interés que se aplicó fue el mensual, porque el período de capitalización es el mes.

LIQUIDACIÓN COMPARATIVA EN EXCEL DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.

En el cuadro siguiente se va a mostrar el ejercicio realizado con las fórmulas, pero mediante la liquidación periódica en la hoja electrónica.

El supuesto del ejercicio es que los créditos se realizan con la condición de que todo se paga al finalizar el año.

En este cuadro es importante observar cómo en el interés compuesto periódicamente aumenta el valor de los intereses, mientras que en el simple permanece constante. De igual forma el capital adeudado es igual, mientras que en el compuesto va aumentando a medida que se capitalizan los intereses.

El resultado obtenido es equivalente a lo mostrado mediante las fórmulas, donde se muestra que el interés compuesto es el de mayor costo.

E

P

Ahora intentemos desarrollar los mismos ejercicios elaborados con el interés simple, pero aplicando el interés compuesto, para comprender de mejor manera las diferencias.

Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés compuesto del 2% mensual. ¿Cuánto dinero deberá pagar al finalizar el período?

45 Intentemos, nuevamente con el segundo ejercicio:

Cuál es el valor mensual de interés que usted causa mensualmente, si le otorgan un préstamo de $500.000= por un trimestre, el interés a cobrar es el compuesto, con una tasa del 3% mensual y el compromiso es de pagar la totalidad de dinero al finalizar el período?

2.3

T

ASA DE

I

NTERÉS

N

OMINAL

(I

N

):

Es la que se declara en las operaciones financieras, equivale a la tasa de interés del período (Ip) por el número de períodos. Siempre al enunciarla se le adiciona el período de capitalización.

Nominal; significa aparente, es decir, no real, por lo tanto se debe convertir a efectiva. ¿Qué es el período de capitalización?

El período de capitalización, corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia de interés del capital.

C

T

N

La tasa de interés nominal se clasifica en vencida y anticipada.

Vencida: Cuando el interés se cobra o paga al vencerse cada uno de los períodos de capitalización.

Anticipada: Cuando el interés se cobra o paga al iniciarse cada uno de los períodos de capitalización.

E

T

N

:

24% anual mes vencido. Tasa Nominal: 24%

Período de la tasa nominal: año.

Período de capitalización: mes vencido. Anticipada

46 Tasa Nominal: 30%.

Período de la tasa nominal: Año

Período de capitalización: Trimestre anticipado

Nota: Se sabe que es una tasa nominal porque cuando hace referencia al tiempo, va acompañado del período de capitalización, para el ejemplo era mes vencido y trimestre anticipado.

E

_P

Para una mejor comprensión los invito a indicar cuál es la tasa nominal, el período de la tasa nominal y el período de capitalización.

30% anual trimestre vencido 12% semestral mes anticipado

2.4

T

ASA DE

_I

NTERÉS

_E

FECTIVA

_:

Es aquella que indica cuál es el verdadero costo de un crédito o la verdadera rentabilidad de una inversión. Como la tasa nominal está expresada en vencida y anticipada; las siguientes son las fórmulas para hacer el cálculo del interés efectivo.

Fórmulas: Interés Vencido:

Ie = (1+ ip)n _-1

Interés Anticipado: Ie = (1 - ip)-n _-1

Antes de explicar el procedimiento de cómo se determina el interés efectivo, es importante recordar cómo se determina el interés del período de capitalización (ip).

PROCESO PARA CALCULAR EL ip.  Se toma la tasa nominal

 Se determina n. número de veces que está el período de capitalización en el período del interés nominal.

47 Cuando se dice ip se hace referencia al interés del período de capitalización.

𝑖𝑝 =

𝐼𝑛

𝑛

Cálculo de la tasa de interés de los períodos de capitalización.

INTERÉS TIPO Ip

32% Anual mes vencido Nominal 2,66% mensual

16% Semestral trimestre vencido Nominal 8% trimestral

24% Anual Efectivo 24% anual

4% Bimestral Efectivo 4% bimestral

18% Semestral mes vencido Nominal 3% mensual

15% Semestral bimestre vencido Nominal 5% bimestral 24% Anual bimestre anticipado Nominal 4% bimes.anticipado

Nota: La tasa efectiva no hace referencia al período de capitalización. Ejemplo: 18% anual.

E

P

Para una mejor comprensión los invito a indicar de la tasa nominal, el interés del período de capitalización.

36% Anual trimestre vencido. 15% Semestral mes vencido. 9% Trimestral mes vencido.

Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Vencida.

E

2.5:

24% anual mes vencido

Determine el interés efectivo del semestre.

P

:

48 Se establece el período de la tasa nominal (AÑO)

Se calcula el número de veces (n) que está el período de capitalización en el período de la tasa nominal. (12)

Se divide la tasa nominal en n y se calcula el ip ip = 24%/12

ip =2%

El interés del mes es del 2%.

Se señala el período de cálculo del interés efectivo (n), número de veces que está el período de capitalización en el período de cálculo del interés efectivo (6).

n = 6 Porque en un semestre hay 6 meses. Se aplica la fórmula.

Interés Efectivo Semestral Ie = (1+0,24%/12)6 _{- 1}

Ie = (1,02)6 _{- 1}

Ie = 0.12616

Ie = 12.616 % Semestral

Ahora determine el interés efectivo del trimestre. Interés efectivo trimestral

ip = 24%/12 = 2% mensual n= 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,02)3 _{- 1}

Ie = 6.1208 % Trimestral

E

2.6:

Con una tasa nominal del 18% semestral mes vencido, calcular:

 Tasa Efectiva Semestre ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un semestre hay 6 meses.

49 Ie = 19.40 % semestral

 Tasa Efectiva Trimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,03)3 _{- 1}

Ie = 9.27% trimestral

 Tasa Efectiva Bimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un bimestre hay 2 meses.

Ie = (1 + 0,03)2 _{- 1}

Ie = 6.09% bimestral

E

2.7:

Con una tasa del 36% anual bimestre vencido, calcular:

 Tasa efectiva semestral El período de capitalización es el BIMESTRE ip = 36%/6 = 6% Bimestral

n = 3 En un semestre hay 3 bimestres. Ie = (1 +0,06)3 - 1

Ie = 19.1% semestral

 Tasa efectiva bimestral ip = 36%/6 = 6% bimestral n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre.

Ie = (1 + 0,06)1 _{- 1}

Ie = 6% bimestral

 Tasa efectiva anual ip = 36%/6 = 6% bimestral