En diversas situaciones, durante el tiempo que se realiza una transacción financiera, las variables económicas se van modificando, entre estas, la tasa de interés.
En esta parte del capítulo, vamos a aprender a calcular el valor presente o futuro o las anualidades, cuando varían las tasas de interés en el flujo de caja.
Como un principio para facilitar la comprensión en los ejercicios, es fundamental que el estudiante tenga claro donde termina una tasa de interés y a partir de que momento se
187 inicia la otra, en este punto donde se modifica, necesariamente tiene que calcularse ya sea un valor presente o futuro.
E
JEMPLO4.24:
Un reloj tiene un precio de $ 1.500.000 y el distribuidor lo vende financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el saldo a 12 cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés es del 2,5% mensual, durante los seis primeros meses y del 2% mensual de allí en adelante. Hallar el valor de las cuotas.
0 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 10 11 12 450.000 1.500.000 2% 2,5%
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Con el precio de contado que se debe pagar por los equipos, el valor de la cuota inicial, el número de cuotas a financiar y las tasas de interés del período, se busca la cuantía de la cuota.
PREGUNTA La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, esta está ubicada en cada uno de los períodos. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se le da valor a las variables. VP = 1.500.000
CI = 450.000 I mes (0-6) = 2,5% I mes (6-12) = 2 % n ( meses) = 12
188 La incógnita es A, para definir cuál fórmula utilizar, se analiza qué datos se tienen, en este caso, se tiene valor presente, entonces se va a calcular A, con la fórmula de valor presente y anualidad.
PROCEDIMIENTO:
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Precio del reloj = Cuota inicial + valor presente de las doce cuotas.
NOTA: Como existen dos tasas de interés, para llevar a valor presente, se debe realizar lo siguiente:
PASOS:
Las cuotas del rango de los períodos 0-6, se llevan a cero con el interés del 2,5% Las cuotas del rango de los meses 6-12, se llevan primero a valor presente al mes 6
con la tasa del 2%, luego se lleva a cero con la tasa del 2,5%, se toma el resultado como un futuro y se lleva a un presente.
1.500.000 = 450.000 + 𝐴 [(1 + 0,025) 6− 1 0,025(1 − 0,025)6] + 𝐴 [ (1 + 0,02)6− 1 0,02(1 + 0,02)6 (1 + 0,025)6 ]
Se resuelven las fórmulas, queda así:
1.500.000 = 450.000 + A * 5,508125361+ A * 4,830096302 Se va a despejar la fórmula 1.500.000-450.000 = A * 10,33822166 𝐴 = 1.050.000 10,33822166 A = 101.564,85 RESPUESTA
189
E
JERCICIOS DEP
RÁCTICA:
Su hijo le solicita que le colabore en su propósito de reunir fondos para comprar un computador, en el momento El cuenta con $400.000, y usted se compromete a regalarle $100.000 mensuales por un año, determine la cantidad de que dispone el joven al final del año si durante los seis primeros meses de su ahorro su dinero rentaba al 1% mensual y los siguientes seis al 1,2% mes.
La universidad está promocionando una especialización en el área administrativa, el valor de la matrícula es de $4.000.000 y el plazo para registrarse es de seis meses, usted empezó a ahorrar $200.000 mensuales en una entidad financiera que le reconoce el 15% anual y su padre le deposita $2 por cada peso que usted ahorre en otro banco que paga un interés del 12% anual ¿Podrá usted completar el valor de la matrícula?
E
JERCICIOS DER
EPASO DELC
APÍTULOE
JEMPLO4.25:
Una empresa debe comprar nuevos equipos para modernizar su maquinaria y las condiciones son:
Cuota inicial del 40% del precio de contado y el resto en seis pagos trimestrales de $5.000.000= cada uno. Determinar el precio de contado si se sabe que en la financiación se pactó un interés del 3% mensual.
0
3
6
9
12
0.40 X
15
18
X
5.000.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor trimestral que se debe pagar por los equipos, y el porcentaje de cuota inicial, se busca el precio de contado.
190 La incógnita es VP.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Como los períodos son trimestrales y el interés es mensual éste se debe pasar a trimestral. Interés trimestre = (1,03)3 - 1 9,2727 trimestral.
Entonces: A = 5.000.000 i (Trim) = 9,2727 %. n (Trim) = 6 VP = X PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Como la incógnita está en el VP, este es el punto de referencia, entonces la ecuación se plantearía de la siguiente manera.
El precio de contado = cuota inicial + anualidades traídas a valor presente.
𝑋 = 0,4𝑋 + 𝐴 [(1 + 𝑖)
𝑛− 1
𝑖(1 + 𝑖)
𝑛]
𝑋 = 0,4𝑋 + 5.000.000 [
(1 + 0,092727)
6
− 1
0,092727(1 + 0,092727)
6]
El valor de X (valor de contado) es igual a la cuota inicial (40% del valor de contado) más el valor financiado (6 cuotas de $10.000.000=) traído a valor presente al mes cero.
Resolviendo la segunda parte de la ecuación se tiene:
El valor presente en el período cero de la financiación es de $22.248.395,42, quedando la ecuación así:
X = 0,4X + 22.248.395,42
191 X - 0,4X = 22.248.395,42 0,6X = 22.248.395,42 𝑋 =22.248.395,42 0,6
Se hace la operación, resultado $37.080.659 RESPUESTA
El importe de contado de los nuevos equipos es de $37.080.659
E
JEMPLO4.26:
Usted ahorra mensualmente $ 50.000 durante el primer semestre, en una entidad que paga un interés del 24% anual capitalizado mensualmente; a partir del segundo semestre empieza a retirar $ 30.000 por mes vencido. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros al finalizar el año.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
30.000
50.000
Saldo
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el monto ahorrado mensualmente en los seis primeros meses, el valor de los retiros mensuales en los seis meses siguientes, la tasa de interés del período, se busca la cuantía del saldo al finalizar el año.
PREGUNTA La incógnita es VF.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser VF la incógnita, está ubicada en el mes doce (12). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Dado que la tasa está dada como anual nominal mes vencida, se pasa a mensual, el procedimiento es dividir el 24% entre 12 meses, dando como resultado el 2%.
24/12 = 2% mensual
192 i (mes) = 2% n (meses) = 12 A ingresos (0-6) = 50.000 A egresos (6-12) = 30.000 V.F = PROCEDIMIENTO
Como la pregunta es el saldo en el mes doce, la incógnita es un valor futuro, esto indica que se utilizara la fórmula de anualidades y valor futuro.
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
SALDOMES 12 = CONSIGNADOLLEVADO AL MES DOCE - RETIRADOLLEVADO AL MES DOCE
SALDOMES 12 = 50.000
[
(1+0,02) 6−1 0,02]
*(1,02)6 – 30.000[
(1+0,02)6−1 0,02]
PASOS Se lleva el valor de las consignaciones al mes seis. VF6 = 50.000
[
(1+0,02)6−1
0,02
]
315.406 El saldo de las consignaciones en el mes seis es de 315.406, entonces se lleva al mes doce, con la fórmula de VF y VP.
VF12 = 315.406* (1.02)6 355.198,38
El valor de lo consignado en el mes doce es de $355.198,38, ahora se lleva al mes doce el valor de los retiros.
VF12 = 30.000
[
(1+0,02)6−1
0,02
]
189.243,63 El monto de los retiros en el mes doce es de $189.243,63, para conocer el saldo solo se requiere restar al valor de lo consignado, los retiros.
SALDO = 355.198,38 - 189.243,63 SALDO = 165. 954, 75
193 Al finalizar el año, usted puede disponer en la cuenta de ahorros de $165.954,75
E
JEMPLO4.27:
Un automóvil tiene un precio de contado de $30.000.000 puede adquirirse con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado en 8 cuotas trimestrales iguales, pero la primera cuota la paga en el mes seis, si la tasa de interés que se cobra por la financiación es de 30 % anual. Hallar el monto de las cuotas.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A 30.000.000
9.000.000
Trimestres
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el precio del automóvil, el valor de la cuota inicial, el número de pagos trimestrales, y la tasa de interés del período, se busca el valor de las cuotas.
PREGUNTA La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los trimestres. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Al analizar el ejercicio se observa que los períodos son trimestrales, por lo tanto el interés debe ser trimestral, como la tasa dada es una efectiva anual, hay que calcular la efectiva trimestral.
IETRIMESTRE = (1+0,3)1/4 - 1
IETRIMESTRE = 6,779%
Se asignan los valores a las variables. VP = 30.000.000
CI = 9.000.000
ITRIMESTRE = 6,779% n = 8
194 A =
Como la incógnita es A, y se tiene como valor presente el importe del automóvil, se utiliza la fórmula de anualidad y valor presente, teniendo en cuenta que el valor presente de una anualidad está ubicado un período antes de la primera anualidad, el valor presente de las cuotas, se debe llevar al período cero.
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Valor del automóvil = cuota inicial + cuotas llevadas al período cero.
30.000.000 = 9.000.000 + A [
(1+0,06779)8−1 0,006779 (1+0,06779)8
(1+0,06779)8
]
PASOS
Se determina el saldo que se va a financiar, el cual es de $21.000.000
Se lleva al primer trimestre, dado que la primera cuota se paga en el 2 trimestre. V/R FINANCIAR = 21.000.000 * (1,06779)
Una vez se establece el valor financiado, o sea 22.423.590 se procede a calcular el valor de la cuota. 22.423.590 = A
(
(1,06779)8 0,06779(1,06779)8)
22.423.590 = A * 6,022778377 A = 3.723.130,52 RESPUESTA El valor de cada cuota es de $3.723.130, 52
E
JEMPLO4.28:
Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1.200.000 y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: Cuota inicial: $ 350.000; doce cuotas mensuales iguales; y 2 abonos extraordinarios de $200.000 en los meses tres y seis. Hallar el valor de las cuotas, si el interés de financiación es el 2.2% mensual.
195 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $1.200.000 A 350.000 200.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el precio del electrodoméstico, el valor de la cuota inicial, el monto de los abonos extraordinarios, la tasa de interés del período, y el número de cuotas, se busca la cuantía de las doce cuotas ordinarias.
PREGUNTA
La incógnita es A. Valor de cada una de las cuotas ordinarias. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los doce meses. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asignan los valores a las variables: VP = 1.200.000 CI = 350.000 ABONOS EXTRAORDINARIOS MES3 = 200.000 MES5 = 200.000 I mes = 2.2% A = PROCEDIMIENTO
La incógnita es A, como punto de referencia está el valor de contado del electrodoméstico, al que se le tiene que descontar el pago de la cuota inicial y los abonos extraordinarios llevados al período cero.
Los abonos extraordinarios se pueden llevar a VP en el momento cero como anualidad; dado que estos abonos se hacen en dos trimestres, se calcula la tasa de interés trimestral. I trimestre = (1,022)3 -1 6,7462 %
196 PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Valor del electrodoméstico = Cuota inicial + VP0 de los abonos extraordinarios + VP0 de las doce cuotas.
1.200.000 = 350000 + 200.000 + A
(
(1+0,06746)2−10,06746(1,06746)2
) + 𝐴 (
(1+0,022)12 0,022(1,022)12
)
PASOS
Se resta la cuota inicial al precio del electrodoméstico, para saber el monto inicial a financiar, dando como resultado 850.000
Para determinar el valor de la cuota, a los 850.000, se le debe restar los abonos extraordinarios en el momento cero.
VP abonos ext = 200.000
(
(1+0,06746)2−1
0,06746(1,06746)2
)
VP abonos ext = 362.879,38
El valor presente de los abonos extraordinarios es de $362.879,38
El valor presente de los abonos extraordinarios se le descuenta a los 850.000, para definir el saldo a financiar.
VALOR A FINANCIAR = 850.000 - 362.879,38 VALOR A FINANCIAR = 487.120,61
Conocido el valor a financiar, ahora se determina la cuantía de la anualidad.
487.120,61 = A
(
(1+0,022)12−10,022(1,022)12
)
487.120,61 = A x 10,4466 A = 46.629,56
RESPUESTA
El valor a pagar mensualmente en la financiación del electrodoméstico es de $46.629,56.
E
JEMPLO4.29
Usted consigue un contrato de un año y se propone ahorrar mensualmente $600.000 al mes, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 1,8% mensual, si usted demora 6
197 meses en volver a conseguir trabajo, ¿cuánto puede ser su gasto mensual, para que le alcance lo ahorrado? 0 6 600.000 12 13 14 15 16 17 18 A
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el valor del ahorro mensual, el tiempo que efectuó las consignaciones y la tasa de interés del período, se busca el valor que puede gastar la persona cada mes para cubrir los seis meses sin recibir ingresos.
PREGUNTA La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del trece al dieciocho.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se asigna valor a las variables:
AAHORRO = 600.000
I MES = 1,8%
AGASTO =
La incógnita está en el gasto mensual que debe realizar en los seis meses, para poderlos cubrir con lo ahorrado durante el año. Se debe llevar al mes 12 lo ahorrado, y allí se toma este valor como un presente, para calcular la cuantía de las cuotas.
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
VF12 de los 600.000 ahorrados mensualmente = VP12 de los gastos durante los 6 meses
600.000
(
(1+0,018)2−10,018
) = 𝐴 (
(1+0,018)6−1
0,018(1+0,018)6
)
PASOS
198 VF12 = 600.000
(
(1+0,018)12−1
0,018
)
VF12 = 7.957.351
El total ahorrado es de $7.957.351, disponibles para gastarlos en los seis meses que no tiene acceso al mercado laboral. Ahora se procede a calcular el valor del gasto mensual. 7.957.351 = A
(
(1+0,018)6−1 0,018(1+0,018)6)
7.957.351 = A* 5,639434775 A = 1.411.019,24 RESPUESTAUsted durante los seis meses que no tiene trabajo puede gastar $1.411.019,24 mensualmente.
E
JEMPLO4.30:
Ante el vencimiento de una obligación dentro de 30 días de $20.000.000= y la incapacidad para pagarlos, Se solicita refinanciar el crédito que además tiene otro cumplimiento en el mes seis por 15.000.000. Este crédito tenía un interés del 34,49% anual, se propone refinanciarlo en 12 cuotas mensuales iguales, el banco le aprueba pero el interés varía al 2,8% mensual, determine el valor de las cuotas.
VENCIMIENTO ACTUAL i=34,49% Anual 0 1 2 3 4 5 6 $15.000.000 $20.000.000 PROPUESTA DE REFINANCIACIÓN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 i=2,8% mes A
199 ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor y el momento de los pagos del compromiso inicial, se debe totalizar la deuda, para calcular la cuantía de las cuotas de la refinanciación.
PREGUNTA La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses en el flujo de caja de la refinanciación.
PROCEDIMIENTO
Para determinar la cuantía de las nuevas cuotas, el primer paso es calcular el valor presente de la deuda actual, es decir, traer a valor presente los cumplimientos del mes uno y seis.
VALOR DEUDA = VALOR PRESENTE DE LOS CUMPLIMIENTOS Como la tasa está efectiva anual, se pasa a mensual imes = (1+0,3449)1/12 -1
imes = 2,5%
Ahora se procede a calcular el VP para conocer el total de la deuda.
𝑉𝑃 = (20.000.000 (1,025) ) + (
15.000.000 (1,025)6 )
VP = 32.446.648,11
Conociendo el monto de la deuda, se procede a calcular el valor de las cuotas, es importante recordar que la tasa de interés es mayor.
32.446.648,11 = A
(
1,028)12−10,028(1,028)12
)
32.446.648,11= A * 10,07389772 A = 3.220.863,36
RESPUESTA
200
E
JEMPLO4.31:
Su hijo comenzará estudios universitarios dentro de tres años, para esa fecha usted aspira a tener ahorrados 12.000.000=; con este propósito se quiere averiguar cuánto deberá ahorrar mensualmente durante los tres años en una cooperativa que paga un interés del 1.5% mensual durante el primer año, 1,8% mensual en el segundo y 2% mensual en el tercer año.
12 24 36
12.000.000
1,5% 1,8% 2%
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo la cifra a la que se quiere llegar dentro de tres años, y las tasas que paga en cada uno de los años, se calcula el valor de las cuotas mensuales.
PREGUNTA La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asigna valor a las variables VF = 12.000.000 i1 AÑO = 1,5% mes i2 AÑO = 1,8% mes i3 AÑO = 2% mes n total = 36 PROCEDIMIENTO
Como el interrogante está en el valor de las cuotas, pero el punto de referencia es el saldo al finalizar el tercer año, se utiliza la fórmula de VF y anualidades.
Como varían las tasas de interés, en el momento que cambian se toma como un puerto donde debes llegar para tomar el otro camino, o sea que para este caso se calcula el valor futuro de la anualidad del período donde está la primer tasa, a partir de allí se toma como un presente se lleva al mes 24 con la tasa del 1,8%, y de allí al mes 36 con la tasa del 2%.