Problemas de Mecanica de Fluidos

PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS (CAVITACION Y GOLPE DE ARIETE)

1.-

Por una tubería de acero ( =2x10^10 kg/cm2), de 30 cm de diámetro fluye

un caudal de 100 l/s de agua, el espesor de la tubería es de e = 2 cm, el sistema es horizontal y la altura de presión en la válvula de control de 42 m, si ocurre un cierre instantáneo determine:

a) la celeridad (velocidad) de la onda de presión.

b) La presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control.

Solución:

a) Por la ecuación de Allievi a =

_√

_{48.3+KD /e}9900 Como K =10^10/ ε K = 10^10/2X10^10 = 0.5 D/e = 30/2 = 15 cm Sustituyendo datos en a =

_√

_{48.3+.05 x 15}9900 m/s = 1325.31 m/s

b) por la ecuación de Joukowsky ΔP/ γ= aVo/g

De la ecuación de continuidad

Vo = 4Q/ πD^2 = (4 0.100)/ π x .30^2) m/s Vo = 1.41 m/s

ΔP/γ = 1325.31(1.41/9.81) m

ΔP/γ = 190.44m (sobrepresión debida al golpe de ariete) La altura de presión total sobre la válvula será de

2.- Por una conducción de 1200 m de longitud y 400 mm de diámetro se

transporta

un caudal de 200 l/s de agua. Se conoce que la tubería de 8 mm de espesor de paredes es de

acero cuyo modulo de elasticidad es de 2.10^7 N/cm^2. Si se cierra una válvula dispuesta en su

extremo final se desea conocer la sobrepresión producida por golpe de ariete. a) Si el cierre se efectúa en 4 s.

b) Si el cierre se realiza en 2 s. solución:

a) En primer término hay que conocer si el cierre de la válvula es lento o rápido, para ello es necesario conocer la velocidad de la onda sonora.

a =

_√

_{48.3+KD /e}9900 = a =

_√

_{48.3+(.5 x 50)}9900 = 1156.33 m/s

Como K =10^7/ ε K = 10^7/2X10^7 = .5 D/e = 400/8 = 50

Donde E es el modulo de elasticidad del material de que esta constituida la tubería, D su diametro interior y e el espesor.

El tiempo que tarda la onda sonora en ir y volver es: T= 2 L_a = 2 x 1200_{1156.33 = 2.07 seg}

luego si el tiempo de cierre de la válvula es Tcv = 4 seg el cierre es lento y se aplica la formula de Michaud para calcular el golpe de ariete.

H= _{agTcv =} 2 LV 2 x 1200 x 1.59_{9.81 x 4} = 97.85 mca = 960000 Pa

donde V es la velocidad del flujo en la tuberia en funcionamiento normal

V= Q_{S =}

.2 (π x .42

b) Si el cierre se efectua en 2 s es rapido, aplicandose la formula de Allievi para el

calculo del golpe de ariete.

H= aV_g = 1156.33_9.81 = 117.87 mca = 1850 KPa

3.-

Una turbobomba rigurosamente radial trasiega agua girando a una velocidad de 720 rpm. Las características geométricas de su rodete son: β2 = 60º, anchura de los álabes a la entrada b1 = 35 mm, idem. a la salida b2 = 21 mm; los álabes el 10% de la superficie de paso tanto a la entrada como a la salida; D1 diámetro a la entrada de los álabes del rodete = 200 mm; idem a la salida D2 = 350 mm.

Cuando la bomba funciona en su punto óptimo, con un caudal de 50 l/s, los rendimientos de la máquina son manométrico = 75 %, volumétrico = 95 % y mecánico = 90 %. Adóptese como eficacia del álabe 0,72. Se pide:

a) Dibujar los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de los álabes del rodete.

b) Alturas de Euler, interna, manométrica y absorbida de la bomba. c) Potencias manométrica, interna y absorbida.

5.-

6.-7.-

Por una tubería de hierro (ε=2x1010 _kg/m2_{), de 60 cm de diámetro, espesor}

e=0.06 m, longitud L=3,000 m, circula un caudal de agua de 400 l/s, el sistema es horizontal y la altura de presión en la válvula de control es de 95 m, si la válvula se cierra en un tiempo Tc=12 s, determine:

a) La celeridad de la onda de presión

b) La presión máxima provocada por el golde de ariete en la válvula de control K=10 10 ϵ = 1010 2 x 1010=0.5 a= 9900

√

48.3+KD e = 9900

√

48.3+(0.5) (0.6 m) 0.06 m =1356 . 0372m s

T =2 L a = 2 (3,000 m) 1356.0372 m s =4.4247 s<Tc=12 s V_o= 4 Q π D2= 4

(

0.4m 3 s

)

π ( 0.6 m)2 =1.4147 m s ∆ P γ = 2 LV_o gTc = 2 (3,000 m)

(

1.4147m s

)

(

9.81m s

)

(12 s ) =72.1050 m+95 m=167 . 1050 m a) 1356.0372 m/s b) 167.1050 m

8.-Suponiendo rígida una tubería de acero de 60 cm, ¿qué aumento de

presión tiene lugar cuando se frena instantáneamente un flujo de 560 l/seg de aceite, de densidad relativa 0.85 y módulo de elasticidad volumétrico 17500 kg/cm2_? Q= AV →V =Q A= 0.56m 3 s π(0.3 m)2=1.9806 m s c=

√

mó dulode elasticidad en kg/m 2 densidad / g =

√

175000000 kg/m2 820 kg /m3 9.81m/ s =1446.9269 m/s ∆ P= ρCV =

(

850 kg m3 9.81m s2

)

(

1446.9269m s

)(

1.9806 m s

)

=248,309.4705 kg m2 El aumento de Presión es 24.8309 kg/cm2

9.- Si una tubería rígida de acero tiene 2400 m de longitud y se cierra un flujo

de 560 l/s de aceite de densidad relativa 0.85 y módulo de elasticidad

volumétrico 17,500 kg/cm2_{, ¿Qué tiempo debe durar la operación de cierre de}

una válvula para evitar el golpe de ariete?

c=

√

mó dulode elasticidad en kg/m 2 densidad / g =

√

175000000 kg/m 2 820 kg /m 3 9.81 m/s =1446.9269m/ s T =2 L C = 2 (2400 m) 1446.9269m s =3.3174 s

10.-Un líquido (s= 0.86) con una presión de vapor de 3.8 psia fluye por el

estrechamiento horizontal de la figura la presión atmosférica es 26.8 inHg. Hallar el caudal teórico máximo(es decir ¿para qué valor de Q ocurre la cavitación?). Desprecie las pérdidas de carga.

Solución:

Como la atmosfera estándar es equivalente a 29.92 inHg y 14.7 psia

P_atm= 26.8

29.92(14.7)=13.16 psia

De la ecuación

(

p_❑crit

)

_relativa=−

(

p_❑atm−_❑pv

)

(

p_crit ❑

)

relativa=−

(

13.16−3.8 .86 (62.4 )

)

144=−25.1 ft v₁= Q A₁= 4 Q π D1 2= 4 Q π 32= Q 7.07 v₂=4 Q π 12= Q .785

Ahora sustituimos nuestros datos en la siguiente formula: p1 γ +z1+ v12 2 g= p2 γ +z2+ v22 2 g Sustituyendo 10 (144) .86 (62.4)+0+

(

Q 7.07

)

2

(

1 2(32.2)

)

=−25+0+

(

Q .785

)

2

(

1 2(32.2)

)

De esto despejamos Q y obtenemos la respuesta

Q=45 .7 cfs

11.- El agua fluye a 10 fps por una tubería de acero de 400 ft de longitud y de

in de diámetro, siendo el espesor de la pared .25 in. Calcule la duración de un pulso y el máximo de presión teórico originado por el cierre a) completo y b) parcial, reduciendo la velocidad a 6 fps.

Con la siguiente formula obtenemos cT

c_T= c

√

1+D t

(

E_v E

)

c_T= 4.720

√

1+ 8 .25

(

3 x 105 3 x 107

)

=4.110 fps

Ahora con la siguiente ecuación obtenemos Tr

T_r=2 L

T_r=2 400

4.110=.195 s

Para esta tubería el impacto del golpe de ariete inicialmente equivalente a una presión de 1.276 ft de agua produce aproximadamente cinco veces por segundo.

A) De la ecuación

Δp= cT ΔV = 62.4/32.2 (4.11) (10) = 79,600 psf = 553 psi De donde Δp/γ= 79.600/ 62.4= 1.276 ft de agua

B) En el caso del cierre parcial, cT y T permanecen constantes. De Δp = � cT ΔV

Δp= - 62.4/32.2 (4.110) (6-10) = 31.800 psf

12.- Las pruebas sobre el modelo de una bomba indican un �

c de 0.10. Una

unidad homóloga instalada en un lugar donde pa=90 kPa y pv= 3.5 kPa tiene

que bombear agua con una cabeza de 25m. La pérdida de cabeza desde el tanque de succión hasta el impulsor de la bomba es 0.35 N.m/N ¿Cuál es la cabeza de succión permisible máxima?

�’= Ve 2 2 g h = p_{a−¿pv−γ zs∓γ h1} γH ¿

Despejando la ecuación para zs y sustituyendo los valores de �c, H, pa y pv

z_{s =} pa−_γ¿pv

¿ - �’H –

h_{1 =} 90000−3500

9806 – 0.10 (25) – 0.35= 5.97 m

Entre menor sea el valor de zs _{, mayor será el valor de s y mayor la}

seguridad contra la cavitación.

13.-

LAS PRUEBAS SOBRE EL MODELODE UNA BOMBA INDICAN UN PARÁ METRO DE CAVITACIÓN σC DE 0.10. UNA UNIDAD HOMOLOGA,

BOMBEAR AGUA CON UNA CABEZA DE 25 m.LA PÉRDIDA DE CABEZA DESDE EL TANQUE DE SUCCIÓN HASTA EL IMPULSOR DE LA BOMBA ES 0.35 Nm/N ¿CUÁL ES LA CABEZA DE SUCCIÓN PERMISIBLE MÁXIMA? DATOS: σ'= 0.10 Pa= 90 000 Pa Pv=3500 Pa = 1000 kg/m ϒ 3 h1= 0.35 m g=9.81 m/s2 σ'= (Pa-Pv– zϒ S+ hϒ 1)/ Hϒ σ'H=((Pa - Pv)/ ) – zϒ S+ h1 zS=((Pa - Pv)/ ) -σ'H+ hϒ 1

h1 pasa a ser negativo porque es una succión y se invierte el flujo. zS=((Pa - Pv)/ ) -σ'H-hϒ 1

Zs=((90 000 Pa -3500 Pa)/((1000 kg/m3_)*(9.81m/s2_{))) – (0.10*25) – 0.35}

16.-

Se pretende instalar una tubería de fibrocemento de 2.800 m de longitud para alimentar desde un grupo de bombeo a un depósito de regulación de una población. El caudal a suministrar es 28,80 m3_{/h, y la diferencia de cotas entre}

el depósito y el grupo de bombeo es de 70 m. El perfil de la tubería esquematizado es el siguiente:

Se pide:

a) Determinar el diámetro de la tubería y las pérdidas de carga (despreciar las pérdidas de carga en puntos singulares.

b) Calcular la sobrepresión producida por el golpe de ariete. Representarla gráficamente en el mismo perfil.

17.-18.-

CAVITACIÓN

es el fenómeno por el cual la presión total en la entrada de la bomba (lugar de la más baja presión en todo el sistema) alcanza la presión de vapor del líquido bombeado. El agua hervirá y se formarán burbujas de vapor. Luego el agua y las burbujas son impulsadas hacia afuera por el impulsor a la parte de mayor presión de la bomba donde las burbujas colapsan e implotan

originando desprendimiento de materiales. Este colapso es incontrolado y violento y causa daños graves a todo el equipo.

Para evitar la cavitación podemos definir la condición que tiene que cumplir la presión del sistema en la entrada: pentrada > pvapor. O sea, teniendo en cuenta las presiones: patmosférica ± psucción – pfricción – pbomba > pvapor

Donde:

Psucción: es la presión hidrostática ρgh (para succión, + para succión sobre la bomba)

Pfricción: expresa la fricción en la tubería de succión Pbomba: la baja de presión generado por la bomba.

24.-25.-

Las prestaciones en el punto de máximo rendimiento de una bomba centrífuga montada en la instalación esquematizada en la figura son:

H0 = 50m

Q0 =15m3/min

La bomba está accionada por un motor eléctrico de corriente continua regulado a 1500 rpm. En el punto E, la presión requerida en función del caudal vine definida por la ecuación:

PE = 39.2 + 6.37X106 Q2

Q (m3_/s)

PE (Pa)

Con relación a las condiciones de aspiración se sabe que los síntomas de cavitación empiezan a manifestarse cuando el caudal de la bomba incrementa en un 10%.

En el tramo de aspiración los resultados experimentales demuestran que cuando fluye un caudal de 10m3_{/min las pérdidas por rozamiento son}

equivalentes a 1.5m columna de agua.

Calcular el incremento de velocidad de accionamiento para provocar la cavitación.

1.- Evaluar en qué condiciones está trabajando la bomba, cuando Q’ ₌

Q+10%Q =1.1Q

Donde P1 / ρg = o Z1= -2 PE/ ρg= 39.2 + 6.37X106 Q2 / 1000(9.81) = 4+650 Q2 ZE = 0 VE2 / 2g = 0 y V12 / 2g = 0 Σζ 1E = Σζaspiración = A Q2 = 54 Q2

Esto significa que cuando Q=10m3_{/min, Σζ}

1E = 1.5 mc de agua

Con esto se evalúa la constante A: 1.5= A [10/60]2 _{A = 1.5/[10/60]}2 ₌₅₄ Luego H=4+650 Q2_{+54 Q}2₊₂ H=6+704 Q2 _{donde Q (m}3_{/s)y H(m)} H=H/H0 siendo H0 =50m Q=Q/Q0 siendo Q0 =15 m3/min =0.25 m3/s 50H = 6+704[0.25Q]2 H= 0.12+.88 Q2

Cuando el caudal incrementa un 10% entonces para Q’_{=1.1 le corresponde}

H’_{=1.1848m. Para conseguir esta altura de elevación debemos hacer girar la}

bomba más rápido. La velocidad de rotación se puede calcular aplicando la teoría de la semejanza comprobando que los puntos A y B tengan el mismo rendimiento.

HA/HB= 1.185

1.185 = ωb2/ ωa2

ωb = √1.185[15000]2 =1633rpm

26.-

Se tiene una conducción de 500 m de longitud por la que se conduce agua a una velocidad de 1,2 m/s. Se desea conocer la sobrepresión que se producirá si se cierra la válvula situada en su extremo final en el supuesto siguiente:

Si la válvula se cerrase en 1 s, la tubería fuese totalmente rígida y el liquido incompresible. Datos: L=500 m V=1.2 m/s T=1 s G=9.81 m/s2 ΔH=? Fórmula: ΔH=2LV/GT Sustitución: ΔH=2(500 m) (1.2 m/s)/ (9.81 m/s2_{) (1 s)} Resultado: ΔH=122.32m

27.-28.-

En una tubería deformable de acero que transporta glicerina a 20° C, se efectúa el cierre rápido de una válvula, frenándose el líquido instantáneamente y provocando una diferencia de presión de 7.0x104_kg/m2_{. Calcular el caudal}

probable y el tiempo que tarda la onda de presión en propagarse desde la válvula hasta la embocadura de la tubería y de nuevo a la válvula.

Propiedades de la tubería Propiedades de la glicerina E = 2.1x106 _kg/cm2 _E B = 44350 kg/cm2 L = 300m Dr = 1.262 t = 9.5mm d = 120cm

ρ=Dr (ρagua) ρ=1.262(1000kg m3) ρ=1262kg m3 1UTM =9.81 kg ρ=(1262kg m3)

(

1 UTM 9.81 kg

)

=128.6442 UTM m3

Ahora calculamos la celeridad:

c=

√

E_B ρ[1+

(

EB E

)

(

d t

)

] 1+

(

(

2.1 x 1010kg m2

)

(

4.435 x 108kg m2

)

)

(120 cm 0.95 cm) ¿ (126.6442UTM m3 )¿ (2.1 x 1010kg m2) ¿ c=√¿ c=166.49m s

dP=ρcdV d V =dP ρc dV = 7.0 x 104kg m2

(

128.6442UTM m3

)

(166.49 m s ) dV =3.268 m/ s

Con la velocidad podemos calcular el caudal:

A=π d 2 4 A=π (1.2 m) 2 4 A=1.13 m2 Q= AV Q=

(

1.13 m2

)

(3.268m s ) Q=3.6928m 3 s

Tiempo de propagación de la onda:

T =2 L c

T =2(300 m)

166.49m

s

T =3.6 s

29.-30.-

Una bomba succiona un reservorio de agua a una temperatura de 50°C por un tubo de succión de 3 m de longitud. La salida de la bomba está a 1.2 por

encima de la entrada y se considera un régimen permanente. Calcular la altura neta de succión disponible.

A 50°C, Pv=12350 Pa y grav específica 988kgf/m3

Hrof= 3m, pero hay que hacer corrección por cambio de densidad del agua Hrof=3m(988/1000)=2.96m Hd=Patm γ −zf −Hrof Hd= 101325 (988 )(9.81)−1.2−2.96=6.29 (NPSH )_D=Hd−Pv γ (NPSH )_D=6.29− 12350 988∗9,81=5.02 m

31.-

supondremos un tramo simple regulado aguas abajo y supondremos a la tubería horizontal para que H sea representativo de los términos de presión sin necesidad de descontar el término Z. Por otra parte, no se considera el efecto amortiguador de las pérdidas de energía, por lo que los resultados quedan del lado de la seguridad.

. Cierre Instantáneo. Datos:

 Tubería de Acero, 50 cm de diámetro, L=2000m, espesor 3 cm.  Ho = 50 m

 Uo = 2 m/s

√

ε ρ

√

1+εD Ee =

√

2.16× 10 6

√

1+2.2× 104×50 2.1 ×106×3 =1356 m/s

La sobrepresión máxima (válida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale:

∆ h=c U0

g =276 m

El diagrama envolvente será:

32.- . Calcular cuando es cierre brusco.

Datos:

 Tubería de Asbesto Cemento, 60 cm de diámetro, L=3000m, espesor 5 cm.  Ho = 60 m  Uo = 1 m/s  Tiempo de cierre: Tc = 4s c=

√

ε ρ

√

1+εD Ee =

√

2.16 ×10 6

√

1+2.2 ×10 4 × 60 2.1× 105_{× 5} =980 m/s

Calculamos 2 L /c=2× 3000/980 = 6,1 seg > Tc ⇒ Cierre brusco.

La sobrepresión máxima (válida para la faz de golpe directo) de golpe de ariete vale:

∆ h=c U0

g ≈100 m

El diagrama envolvente será:

33.-

Una bomba con capacidad igual a 42 l/s y Hsmax = 4,6 m, se quiere instalar a

4,2 m de altura estática sobre el nivel mínimo del líquido en el depósito de succión. El diámetro económico determinado para la tubería de descarga es de 10 in (0,25

m). Si la longitud total equivalente de la tubería de succión es de 63 m, determine

el diámetro que debe tener la tubería de aspiración. Considere C = 130. Solución

1. Determinar las pérdidas de carga disponibles en la tubería de succión. Aplicando la expresión (4.6): 4 , 0 2 , 4 6 , 4 max    succ hf m

2. Determinar las pérdidas que se producen en la tubería de succión. Aplicando la expresión (3.64b):

succ T v succ T L D C q hf     _{1,852 4,871} 852 , 1 671 , 10 63 ) 25 , 0 ( ) 130 ( ) 042 , 0 ( 671 , 10 871 , 4 852 , 1 852 , 1     succ T hf 2 , 0  succ T hf m

3. Comparar los valores de pérdidas 2 , 0 4 , 0 max   Tsucc  succ hf hf m

Como la carga que hay disponible para pérdidas es 0,4 m, y con la tubería de 0,25

m sólo se producen 0,2 m, es posible proponer para la tubería de succión el

mismo diámetro de la tubería de impulsión (0,25 in). De haber sido las pérdidas de carga para 42 l/s mayor de 0,4 m se hubiera tanteado con otros diámetros, comenzando por el comercial inmediato superior a 0,25 m.