Calculo Diferencial e Integral

Cálculo

Diferencial e

Integral I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Lic. Bulmaro Pacheco Moreno

Director Académico

Profr. Adrián Esquer Duarte

Director Administrativo

C.P. Gilberto Contreras Vásquez

Director de Planeación

Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas

Director Financiero

Lic. Oscar Rascón Acuña

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Módulo de Aprendizaje.

Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados.

Primera edición 2008. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración:

Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado

Supervisión Académica:

Jesús Arely Meza León

Diseño de Portada:

María Jesús Jiménez Duarte

Edición:

Bernardino Huerta Valdez

Coordinación Técnica:

Martha Elizabeth García Pérez

Coordinación General:

COMPONENTE:

FORMACIÓN

PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y

ECONÓMICO-ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo

Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________

Reglas de derivación CÁLCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL I

Aplicaciones

Valores máximos y

mínimos Optimización en las ciencias naturales y sociales Graficado de curvas complejas Límites y continuidad Derivadas Funciones

elementales trascendentes Funciones

A problemas de Inician con el conocimiento de

Conforman las

Se aplican

Para derivar se usan

Presentación ...8

UNIDAD 1. LÍMITES ... 9

1.1. Límites. ...11

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ...11

1.1.2. Teorema o propiedades de los límites ...16

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. ...18

1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito ...23

1.2. Teorema de continuidad de una función ...29

1.2.1. Condiciones de continuidad ...30

1.2.2. Teoremas de valor intermedio y de valores extremos ...33

Sección de tareas ...35

Autoevaluación ...45

Ejercicio de reforzamiento ...47

UNIDAD 2. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA ... 49

2.1. La derivada ... 51

2.1.1. Razón de cambio promedio e instantánea ... 51

2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea ... 56

2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada ... 57

2.1.4. Diferenciabilidad en un intervalo ... 61

2.2. Reglas de derivación ... 65

2.2.1. Reglas de la potencia ... 65

2.2.2. Reglas del producto y del cociente de funciones ... 68

2.2.3. Regla de la cadena ... 69

2.2.4. Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas ... 71

2.2.5.- Derivadas de funciones: exponencial y logarítmicas ... 76

2.3. Derivación implícita ... 77

2.4. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal ... 81

Sección de tareas ...87

Autoevaluación ...97

UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES ... 103

3.1. Aplicaciones de la primera derivada ... 105

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada ... 105

3.1.2. Derivadas de orden superior ... 111

3.1.3. Cálculos de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada ... 111

3.1.4. Funciones crecientes y decrecientes ... 114

3.2. Concavidad ... 118

3.2.1. Criterio de la segunda derivada. ... 118

3.2.2. Puntos de inflexión ... 120

3.2.3. Trazado de Curvas ... 121

3.3. Aplicaciones de la derivada ... 123

3.3.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ... 123

3.3.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales ... 127 Sección de tareas ... 131 Autoevaluación ... 139 Ejercicio de reforzamiento ... 141 Claves de respuestas ... 143 Glosario ... 144 Bibliografía ... 146

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I.

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones:

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales.

La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como:

ƒ La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes.

ƒ El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental.

ƒ La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

L

L

í

í

m

m

i

i

t

t

e

e

s

s

.

.

Objetivo:

El alumno:

Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario:

¾ Límites.

¾ Teorema de continuidad de una función.

Mapa Conceptual de Unidad

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL LÍMITES LÍMITES TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN NOCIÓN INTUITIVA TEOREMA O PROPIEDADES FUNCIONES INFINITOS Y EN EL INFINITO CONDICIONES DE CONTINUIDAD TEOREMAS DE VALORES INTERMEDIO Y EXTREMO

L

L

Í

Í

M

M

I

I

T

T

E

E

S

S

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.

Investigaremos qué sucede con las imágenes de f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) se acercan al valor específico x=c, tanto por la derecha como por la izquierda.

Haremos esto tabulando los valores de la función para los valores de x cada vez más cercano al número.

Consideramos la función f(x)=x+5 cuando x se acerca a -2.

Como podemos observar que cuando x se acerca a -2 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 3, esto es, cuando x está muy cerca de -2, f(x) está próximo a 3. Este comportamiento se representa matemáticamente por medio del concepto de límites de una función, decimos en este caso que 3 es el límite de la función, cuando x tiende a -2 y lo escribimos como:

F(x) 3 cuando x -2

Izquierda derecha

La noción que se adquiere de que f(x) tiende al número L cuando x tiende al número C, se detiene en general como la noción intuitiva de límite de la siguiente manera:

Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces concluimos que

1

1

.

_.

1

₁

.

_.

x F(x) -2.1 2.9 -2.01 2.99 -2.2001 2.999 -2.0001 2.9999 -2.00001 2.99999 x F(x) -1.9 3.1 -1.99 3.01 -1.999 3.001 -1.9999 3.0001 -1.99999 3.00001

La abreviación Lim fue usada, por primera vez, por Ginebrino Simón A.J. Ihuilier (1750-1840) en 1786 y la usó también Cauchy.

Aquí también podemos definir los límites laterales como:

A) L, es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a C por la izquierda y lo representamos como:

Lim f(x)=L cuando x<c, se observa que f(x) se aproxima a L1.

X C

B) L2 es el límite de f por la derecha cuando x tiende a C por la derecha y lo

Representamos como:

Lim f(x) =L2 cuando X>C se observa que f(x) se aproxima a L2

X C

Propiedades de los límites laterales:

El límite de la función f en x=c existen sus límites laterales y estos son iguales, por lo que tenemos:

Lim f(x) = lim = lim f(x) X C X C X C

Pero si sucede lo contrario, cuando los límites laterales son diferentes, se dice que el límite no existe y se representa como:

Lim f(x) =E Ejemplo 1.

Dada la función f(x)= x2_-25

X – 5

Elabora la tabla y la gráfica de la función y determina lim f(x) X 5

Derecha Izquierda

Podemos observar que cuando x se acerca a 5 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 10, esto es cuando x está muy cerca de 5, f(x) está próxima 6 y lo escribimos como:

F(x) 10 cuando x 5 O en su forma formal: lim X2 _{- 25 = 10}

X - 5 x F(x) 5.1 10.1 5.01 10.01 5.001 10.001 5.0001 10.0001 5.00001 10.00001 x F(x) 4.9 9.9 4.09 9.99 4.009 9.999 4.0009 9.9999 4.00009 9.99999

Es importante saber que la existencia de una función f no depende si f está realmente definida C, sino solamente si f está definida para x cerca de C.

F(x) 10

Izquierda derecha

A veces nos preguntamos por qué tenemos que hacer tanto procedimiento para determinar que lim x+5 = 3

X -2

Cuando por sustitución directa de x= -2 se encuentra el mismo resultado en la forma por demás más simple. Recuerda que aquí nos interesa encontrar el concepto de límite de una función y no el proceso mecánico para evaluar o determinar un límite.

Debes observar que en casos como lim X2 _-25

X – 5

Si se sustituye x por 5 no es posible, esto nos lleva a una determinación en que para determinarlo requiere de artificios que nos permitan simplificar el factor que produce la indeterminación, en este caso sólo con factorizar así:

(x-5)(x+5) = x+5, si x=5 X – 5

Esto se verá cuando se apliquen los teoremas de límites en funciones independientes.

Ejemplo 2.

Elabora la gráfica y obtén lim f(x) para la función: f(x) =2/x-2/ si x<3 x 2

El dominio de esta función son todos los números reales, como se vio en Matemáticas 4, sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos dará una forma de ver la otra parte de la función, nos dará media parábola. Lo que nos interesa es saber si las dos partes se unirán en un punto o nos apoyaremos en la recta numérica para saber que sucede para estos valores de x.

Cuando x≥3 nos dice que se incluye el 3 en el dominio de la segunda parte de la función. En cambio si x<3 nos dice que es abierta y no se incluye absoluto, por lo

X < 3 X ≥ 3

La gráfica correspondiente a la función dada es:

Aquí se nota en la gráfica que las dos partes de la función quedan separadas. Ahora vemos qué pasa con este comportamiento en la obtención de límites. Elaboramos las tablas con x 3+ _{y con X 3}- _{en la función.}

X 3+ _{X 3}-

Lim f(x)=2 Lim f(x)=1 X 3+ _{X 3}

-Llegamos a que estos dos límites son diferentes, por lo tanto el límite buscado no existe:

Lim f(x) = E X 3+

Nota: En este caso el límite no existe, aunque este definida la función f(3). Interpretación de la gráfica:

Ambos lados x=3, la función se dirige a diferentes puntos; por la izquierda a (2,3) y x F(x)=X-3+1 3 1 4 2 5 2.41 6 2.73 7 3 x F(x)=2/X-2/ -1 6 0 4 1 2 2 0 3 2 x F(x)=2/X-2/ 2.9 1.8 2.99 1.98 2.999 1.998 2.9999 1.9998 2.99999 1.99998 x F(x)=X-3+ 3.1 1.31 3.01 1.1 3.001 1.03 3.0001 1.01 3.00001 1.003

1. Dada la función f(x)=x2 _{– 2x + 3, completa las tablas y grafica los puntos}

para obtener el límite de la función cuando x tiende a 2.

X F(X) X F(X) 2.1 1.9 2.01 1.99 2.001 1.999 2.0001 1.9999 2.00001 1.99999

f no está definida para x=-3

1

2 x

2. ¿Qué observas de los valores de la función conforme x se acerca al número C por la izquierda (x<c) y por la derecha (x>c)?

3. ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (si o no)?

4. Si la respuesta es afirmativa o negativa ¿Cómo se representaría en su forma formal?

5. Escribe las notaciones de límite en el tipo de límite que representa.

a) Lim f(x()=L ( ) Límite por la derecha X C

b) Lim f(x)=L1 ( ) Límite de una función X C-

c) Lim f(x)=L2 ( ) Límite por la izquierda

¿Notaste que los teoremas pueden estar combinados?

TAREA 1

Página 35.

1.1.2. TEOREMA O PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

En la sección anterior nos enfocamos a la tarea de llegar a la noción intuitiva de límites de manera informal. Encontramos que no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtenerlo. Por consiguiente, daremos la estructura de cómo se denotan las propiedades o teoremas de los límites de funciones y que nos permiten, en algunos casos, encontrar los límites de una función de una manera mecánica o directa.

1. Si K es una constante: Limk=k si k es una constante Ejemplo: x c (Teorema básico)

Lim 3=3 X 1

2. Si x es una identidad: Limx=e si x es una identidad Ejemplo: x c (Teorema básico)

Lim x =-6 X -6

3. Si k es una constante que se multiplica por una identidad:

Lim kx=kLimx = k(c) si x es una constante y x sea una identidad x c (También se le conoce como múltiplo escolar) Lim 7x = 7Limx= 7(2)=14

x 2 x 2

4. El límite de la suma o diferencia de funciones: Lim [f(x) +_{-g(x)1]=Lim f(x)}+_{- lim g(x)}

x 2 x 2 x 2 Ejemplo:

Lim (3x+5)= Lim 3x + Lim5 = 3 Limx + Lim 5 X 2 x 2 x 2

=3(2)+5=6+5=11 5. El límite del producto de funciones: Lim [f(x). g(x)] = Lim f(x). Lim g(x)

Ejemplo:

Lim x(x-3) = Lim x.Lim (x-3)

Lim x [lim x – lim3]

=2(2 – 3) = 2(-1)= -2

X 2 X 2

X 2 X 2

X 2 X 2 X 2

Lim [ f(x)/g(x) ] = lim f(x) , si Lim g(x) ≠0 X c x c

lim g(x)

Ejemplo:

Lim [ x/7x-1] = Lim x = Lim x x 4 x 4

Lim(7x-1) Lim 7x – Lim 1 x 4 x 4 x 4

Lim x

x 4 = 4 = 4 = 4 7Limx – Lim7 7(4)-7 28-1 27

7. El límite de una función elevada a una potencia: Lim xn _{= [ Lim x ]} n _{= c}n _{(nen) (Teorema básico)}

x c x c Ejemplo:

Lim x2 _{= [Lim x ]}2 ₌₇2 _{= 49}

x 7 x 7

8. El límite para funciones con radicales, Lim n_{√f(x) =} n_{√Lim f(x)}

x c

Siempre y cuando cumpla con las siguientes condiciones: a) si n es par, f(x) ≥ 0

Ejemplo:

Lim √2x = √Lim 2x = √2Lim = √(2)(2) = √4 = 2 x 2 x 2 x 2

b) si n es impar, f(x) es cualquier real. Ejemplo:

Lim √6x – x2 _{= √Lim 6x – x}2 _{= √6Limx – Lim x}2

x 3 x 3 x 3 x 3 √6Limx - [ Limx ]2 _{= √6(3)-(3)}2 _{= √18-9 = √9 = 3} x 3 x 3 X c Recordar Factorización. 1. Factor común. 2. La diferencia de cuadrados perfectos. 3. Trinomios cuadrados perfectos. 4. Trinomios cuadrados imperfectos. Como también la racionalización y funciones. TAREA 2 Página 37. X 2

1. En el recuadro escribe el nombre del teorema del límite o la forma en que se denota el teorema, según lo que aparecerá en las columnas. Revisa la primera celda.

Límite de la suma de funciones Lim[f(x).g(x)] = Lim f(x)+Limg(x) x c x c x c

Límite de la diferencia de funciones.

Lim [f(x).g(x)] = Lim f(x).Limg(x)

x c x c x c Límite del cociente de una función. Límite de una función elevada a una

potencia. Lim K=c x c

Lim k x=kLimx

x c x c El límite de una función elevada a una potencia. 2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la izquierda lo siguiente: Lim 3x = 3(-1) Lim k = c x -1 x c Lim √5 = √5 Lim x = c x 1/2 x c Lim x= -7 Lim kx =k.c x -7 x c Lim x3 _{= 4}3 _{=64 Lim x}n _{= x}c x 4 x c

1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

Al desarrollar este subtema, encontraremos que existen funciones indeterminadas que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un valor real, utilizaremos técnicas que nos convertirán en funciones determinadas.

Ejemplo 1: Hallar: Lim (4x2₊₃₎

x 2 Solución:

Lim (4x2_{+3) = Lim 4x}2 _{+ Lim 3 Teorema 4}

x 2 x 2 x 2

= 4[Lim x2_{] + Lim3 Teorema 3}

x 2 x 2 EJERCICIO 2

La propiedad de la sustitución directa es válida para toda la función polinómica, tal como se establece el Teorema 9.

Límite de un polinomio

Si p es un polinomio y c es un número real, entonces Lim p(x) = p(c) x c

Estrategias para calcular límites.

1. Aprenda a reconocer los límites calculables por sustitución directa.

2. Si el límite de f(x) cuando x c no puede evaluarse por sustitución directa, intente hallar una función g que coincida con f en todo x=c (elegir g de modo que su límite sea calculable por sustitución directa)

Ejemplo 2: Hallar: Lim x2 _{+ x + 2}

x 1 x + 1 Solución:

Puesto que el denominador no es cero para x =1, se puede evaluar directamente quedando:

Lim x2 _{+ x + 2 = 1}2 _{+ 1 + 2 = 1+1+2 = 4 = 2}

x 1 x + 1 1 + 1 1 + 1 2

Teorema 10.

Límite de una función dada por r(x) es p(x)/q(x) y c es un número real tal que q(c) ≠ 0, entonces Lim r(x) = r(c) = p(c)/q(c) x c Ejemplo 3. Hallar: Lim x2 _{+ x – 6} x -3 x+3 Solución:

Puesto que el denominador es cero para x=-3, no se puede aplicar el Teorema 10, entonces se factoriza x2 _{+ x – 6}

X2 _{+ x -6 = (x+3)(x-2)}

Lim (x+3)(x-2) Técnica de cancelación x -3 x+3

El resultado se ilustra en la figura. y f(x)= x2 _{+ x - 6} x+3 x Ejemplo 4. Hallar: Lim √x+1 -1 x 0 x Solución:

Puesto que el denominador es cero para x=0, no se aplica al Teorema 10, entonces se racionaliza el numerador.

√x+1 – 1 = (√x+1 - 1) (√x+1 + 1) = (√x+1)2 _{– 1}

X x √x+1 + 1 x(√x+1+1) En consecuencia;

Lim √x+1+1 = Lim 1 = 1 = 1 = 1 =1/2 x 0 x x 0 √x+1 + 1 √0+1 √1+1 1+1

Teorema 11. Límites de funciones trigonométricas s c es un número real, se verifican las siguientes propiedades:

1. Lim senx = sen c x c

2. Lim cosx = cos c x c

3. Lim tgx = tg c x c

4. Lim ctgx = ctg c x c

Lim senx = sen(0) Teorema 11 y 3 x 0

Teorema 12. Dos límites trigonométricas especiales. 1. Lim senx = 1 2. Lim 1-cosx = 0

x 0 x x 0 x

* si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe.

Ejemplo 7:

Lim (senx)1-cos/x _{= 1}0

x 0

Ejemplos: Hallar: Lim tgx

x 0 senx Solución:

Si sustituimos directamente llegaríamos a 0/0, pero usando tgx =(sen)/(cosx), podemos reescribir la función como:

tgx = (senx)(cosx) = 1 senx senx cosx Luego,

Lim tgx = Lim 1 = 1 = 1 x 0 senx x 0 cosx 1 Ejemplo 9: Hallar:

Lim (1+tanx) = 1+tan 45° =1+1=2 x 45°

Ejemplo 10: Hallar:

Lim (1+senx)3/2cosx _{= (1+sen0}0₎3/2cos0

= (1+0)3/2(1) ₌₁3/2 _{= 1}

El poder milagroso del Cálculo Moderno se debe a tres invenciones distintas: La notación arábiga, las fracciones decimales y los logaritmos.

Funciones logarítmicas y exponenciales. Definición. ex _{es la inversa de lnx.}

Se sigue que el dominio de ex _{es el conjunto de todos los números reales}

y su rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Como ex

es la inversa de lnx.

Propiedades de ex _{(Teorema 12)}

a) ex _{>0 para toda x}

el rango de ex _{es el conjunto de todos los reales positivos}

b) ln(ex_{) = x}

c) elnx _{= x}

Las propiedades e y b vienen del hecho que ex _{y lnx son inversas una de}

la otra. Ejemplo 11:

Lim ln(ex _{. e}2x_{) = Lim ln (e}3x₎

x 5 x 5 = Lim 3x propiedad b x 5 = 3(5) = 15 Ejemplo 12: Lim [ln (4x)+2ln(3x) – ln(x+1) – 3ln(x-1)] x 2 =Lim [ln (4x)(3x)2 _{] =ln [ 4(2)3(2)}2 _] x 2 (x+1)(x-1)3 _(2+1)(2-1)3 = ln (8)3(4) = ln (8)(12) = ln 96 (3)(1)3 _{(3)(1) 3} = ln 32 = 3.46 ≈ 3.5 Leyes de los logaritmos. Si m>0 y n>0, entonces 1. log m.n = logm + logn 2. log m/n = logm-logn 3. log mn_=nlogm

a) Lim x2 _{+ 1 = b) Lim sen x =} x -1 x+1 x ▲/3 c) Lim (4 – x/2) d) Lim √2x2 _{– 2 =} x 4 x 3 e) Lim tg (▲x) f) Lim x3 _{– 27} x 3 x 3 g) Lim (1+▲x)3_{-1 h) Lim x-3 =} ▲ 0 ▲x x 3 x2_-9

i) Lim esenx _{= j) Lim cosx}

x 2¶ x 90° ctgx

k) Lim [ln-2x – ln (2x+3) + ln (ex_{) + e}lnx_{] =}

x 1

L) Lim esenx/x _{. e} 1-cosx/x ₌

x 0

M) Lim ln x3 _{– ln7x =}

x -1

2. Anota las cuatro funciones trigonométricas en donde nos dice que si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe.

3. Realizar la gráfica de los siguientes límites ilustrando donde la función no está definida o si está ya definida.

a) Lim x - 4 b) Lim (x2_-4x+1)

X 4 X2 _{– X-12 X 2}

c) Lim x3 _{-27 d) Lim √25-X}2

X 3 X2_{-9 X 4}

1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO.

Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras. Se aplican las siguientes definiciones informales.

A. Si x aumenta sin límites, se dice que tiende hacia un infinito positivo. Esto se designa por:

Consideremos la función f donde f(x) =1/x para {x : x>0} como se ilustra en la figura siguiente:

f(x) = 1/x para x >0

La gráfica muestra que x se hace más y más grande, el valor de la expresión 1/x se aproximará más y más hacia cero, simbólicamente, esto es:

Lim 1/x =0 x +∞

Otro ejemplo, probablemente menos obvio, puede encontrarse en la función f donde:

F(x) = 3x2

X2₊₁

Esta función se ilustra en la figura siguiente, como también la tabla, mostrándonos lo que sucede a f(x) cuando x se hace inusitadamente mayor. x 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 F(x) 3/2 12/5 27/10 48/17 75/26 300 100 30000 10001 3000000 1000001 300000000 100000001 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

siguientes maneras:

F(x) 3 cuando x +∞ o Lim [3x2_/x2_{+1] = 3}

x +∞

Podemos hacer a f(x) tan cercano a 3 como se desee, haciendo a x lo suficientemente grande. Esto es, decir que el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3 (If (x)-3l) sea tan pequeño como se desee (menor que ε) haciendo a x lo suficientemente grande (mayor que algún número N>0). Esto es también verdad para f(x) 3 según que x -∞. La siguiente definición define formalmente el límite de una función cuando x aumenta y disminuye sin límite.

Definición 1. Lim f(x) = L si y sólo si para todo ε>0; эN>0 x +∞

Tal que I f(x) - Ll <ε cuando x>N

Definición 2. Lim f(x) = L si y solo si para toda ε >0, ЭN<0 X -∞

Tal que I f(x)-LI <ε cuando x<N

Con el objetivo de evitar el considerar a la dirección y tener que tratar con dos definiciones, presentamos la siguiente definición de un límite donde x se puede aproximar por +∞ ó -∞.

Definición que se forma de 1 y 2 para límites infinitos. Lim f(x) = L si y sólo si para toda ε >0; ЭN>0 x ∞

Tal que l f(x)- L I<ε cuando IxI>N

Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito y de manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del

El símbolo de igualdad en la expresión Lim f(x)=∞ no significa que el límite exista. Todo lo contrario, nos indica la razón de su no existencia: El comportamiento no acotado de f(x) cuando x tiende a c. 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 3 2 1

A continuación damos ejemplos de límites infinitos, tanto por la izquierda como por la derecha o de ambos lados:

1. Lim x = ∞ 2. Lim x = ∞ x 1+ _{x-1 x 4}- _X+4

3. Lim x+5 = ∞ x 5 x2_-25

Resolución de límites infinitos.

Encuentra qué signo debe tener ∞ en las siguientes funciones con límites, cuando x tienda a la izquierda o a la derecha.

1. Lim 3x = Se toma un valor cercano a 2 por la izquierda o por x 2- _{x-2 la derecha. Tomaremos 1.999 y lo sustituiremos en}

la función. 3x = 3(1.999) = 5.997 = -5.997 x-2 1.999-2 -0.001

Como es negativo el resultado, entonces: Lim 3x = -∞ x 2- _x-2 2. Lim x2 ₌ x 4 4-x x2 _{= (4.001)}2 _{= 16.008001 = -16008.1} 4-x 4-4.001 -0.001 Entonces: Lim x2 _{= -∞} x 4+ _4-x 3. Lim 2x – 3 = x 1/5 5x+1 2x - 3 = 2(-0.2001)-3 = -0.4002-3 = -3.4002-3 5x+1 5(-0.2001)+1 -1.0005+1 -1.0005+1 = 6800.4 Entonces: Lim 2x – 3 = +∞ x -1/5 5x+1 Límites en el infinito.

Ejemplos:

Hallar el límite de las siguientes funciones:

1. Lim 3x4 _-5x3 _+4x2 _{-3x+6 = 3x}4_/x4 _{– 5x}3 _{+ 4x}2_/x4 _{– 3x/x}4 _{+ 6/x}4 x ∞ 6x4_+8x3_-4x2_{+8x+10 6x}4_/x4 _{+ 8x}3_/x4 _{– 4x}2_/x4 _{+ 8x/x}4_+10/x4 = 3 – 5/x + 4/x2 _{– 3/x}3 _{+ 6/x}4 _{se aplica el teorema} 6 + 8/x – 4/x2 _{+ 8/x}3 _+10/x4 _{Lim c/x = 0} x ∞ = Lim 3/6 = 3/6 = ½ x ∞

Hay que considerar que la variable de exponente más grande debe ser el mismo en el numerador como en el denominador. De no cumplir con el requisito le asignaremos el valor cero.

2. Lim 7x2 _{– 3x = 7/0 = ∞ No existe}

x ∞ 5x + 0

Como x2 _{no está en el denominador, esta parte vale cero.}

3. Lim 10x3 _{+ 6 = 10x}3_/x3 _{+ 6/x}3 _{= 10/-10 = -1}

x ∞ -10x3_{-7 -10x}3_/x3 _{– 7/x}3

4. Lim 2x3 _{+ 6 = 0/8 = 0}

x ∞ 8x5 _+10x

Como x5 _{no está en el numerador, esta parte vale cero.}

5. Lim 3_{√x + √x = x}1/3 _{+ x}1/2 _{= 1/-1 = -1}

x ∞ 3_{√x + √x x}1/3 _x1/2

Como 1/2 >1/3 entonces ½ es el mayor exponente. 6. Lim (5 – 2/x2_{) = Lim 5 – Lim 2/x}2 _{= 5-0 = 5}

x ∞ x ∞

7. Lim 2x -1 = 2x/x – 1/x = 2 – 0 = 2/1 = 2 x ∞ x+1 x/x + 1/x 1 + 0

8. Lim n = Lim n/n = Lim 1 = 1/1 = 1 x ∞ n+1 x ∞ n/n+1 x ∞ 1+1/n

9. Sea f(t) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)= 1 es el nivel

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el límite para t tendiendo al infinito?

Solución:

Cuando t = 1, 2 y 10, los niveles de oxígeno. F(1) = 12 _{-1 + 1 =1/2 = 50% 1 semana} 12₊₁ F(2) = 22 _{– 2 + 1 = 3/5 = 60% 2 semanas} 22 _{+ 1} F(10) = 102 _{– 10 + 1 = 91/101 = 90.17 10 semanas} 102 ₊₁ Lim t2 _{– t + 1 = 1- 1/t + 1/t}2 _{= 1 – 0 + 0 = 1 = 10%} x ∞ t2 _{+ 1 1 + (1/t}2_{) 1 + 0}

Contesta lo que se te pide.

1. Determina el signo que debe tener ∞ en las siguientes funciones al aplicar límites infinitos:

A) Lim 6x = x 3- _x-3 B) Lim x2 ₌ x 2+ _4-x C) Lim 3x – 2 = x 1-_{/4 4x + 1}

2. Resuelva los siguientes límites en el infinito: A) Lim 4x3 _{+ 9x}2 _{+ 3x =} x ∞ 6x3 _{+ 3x + 5} B) Lim 10x2 _{+ 5x – 3 =} x ∞ 5x2 _{+ 3x – 5} C) Lim 10x5 _-3x4 _{+ 3x}2 ₌ x ∞ 14x9 _-5x7 _{+ 3x}2 _{+ 5}

D

D

E

E

U

U

N

N

A

A

F

F

U

U

N

N

C

C

I

I

Ó

Ó

N

N

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vamos caminando y encontramos un charco de agua, tenemos que brincar para poder seguir nuestro camino.

En las gráficas se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En caso contrario, cuando no despegamos el lápiz del papel decimos que la función es una función continua. Y cuando lo despegamos es una función discontinua.

Analizaremos las siguientes figuras para obtener la definición de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva (informal).

F(x) f(x)

C x c x

En forma intuitiva se puede decir La gráfica que represen- que la gráfica que representa a ta esta función, da un sal- esta función, puede dibujarse en to; o sea, hay un trazo un trazo interrumpido. interrumpido.

Concluimos que es una función Concluimos que es una

continua. función discontinua.

En el subtema siguiente llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua.

1

1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. Sea la función: 1. f(x) = (x+2)(x-5) x – 5 Gráfica de la función: f(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 6 7

En esta función f(x) no está definida, esto nos dice que para toda x ε R, excepto cuando x=5, hay una ruptura en la gráfica en x=5 concluimos que la función f es discontinua en x=5 y continua para todos los otros valores de x≠5.

Consideramos la función g: 2. g(x) = x cuando x≠3 2 cuando x=3

No por el hecho de que g(x) está definida para todos los números reales x, hay una ruptura en su gráfica en x=3 y debemos afirmar que g es discontinua en 3, teniendo a una función definida en algún punto c es una condición necesaria para la continuidad en ese punto pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista. La siguiente definición explica la situación:

Definición.

Se dice que es una función f es continua en c si y sólo si las tres condiciones siguientes son verdaderas.

I. f(c) está definida II. Lim f(x) existe x c

III. Lim f(x) = f(c) x c

continua en todas partes.

Existen dos tipos de discontinuidad, las evitables y las esenciales. Por lo general, la discontinuidad es evitable cuando se rompe por factorización o cuando podemos cambiar alguna de las condiciones de la función, y será esencial cuando no podemos hacer lo anterior.

Si no se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, entonces la función será discontinua en ese punto.

Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos:

1. Una división entre cero.

2. Extraer una raíz de índice para una cantidad negativa.

Si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor.

Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican:

1. f(x) = 2 si x= 1 2x2 _{+ x – 3 si x ≠ 1}

x – 1

Aplicando las tres condiciones: I. f(x) existe f(1)=2 cumple

II. Lim f(x) existe Lim (2x+3)(x-1) = Lim 2x+3 x c x c = 2(1)+3

=2+3=5 cumple Se factoriza 2x2 _{+ x -3:}

(2x+3) (x-1)

III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) no cumple ya que 2≠5 x c x c

Es discontinua en x=1

2. F(X) 1/x-3 aplicando las tres condiciones de continuidad,

Primeramente se toma x-3 del denominador y se iguala a cero para despejar x.

x-3 =0 , x= 3

Aplicando las tres condiciones de continuidad: I. f(c) existe f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 1 cumple

II. Lim f(x) existe Lim 2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 cumple x c x 5

III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) o sea 11 ≠ 9 no cumple x c x c

Es discontinua en x= 5 Contesta lo que se te pide.

1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. a) f(x) 0 x2 _{– 1} b) f(x) = 3x + 5 c) f(x) =1/2 + x d) f(x) = x2 _{– 9} x+3 e) f(x) = √x-1 f) f(x) = 3x, si x ≥ 3 6x , si x ≤ 3 g) f(x) = 9x, si x <9 10, si x=9 X2_{, si x>9} h) f(x)= x+3, si x= 3 x-3 3x, si x>3 X2_{, si x<3}

2. Comprueba que las siguientes funciones son continuas en todas partes.

a) f(x) = 3 sen(x) b) f(x) = Ix-2I c) f(x) = 101/x _{d) f(x) = x/x}2_-1

3. Demostrar que la función f(x) = x2 _{– 1 es continua en x=3}

4. Dada la función f(x) = 3x – 2 cuando x≥ 3 kx+1 cuando x<3 TAREA 5

5. Determina si las siguientes funciones son continuas en el intervalo que se indica: a) f(x) = 3/5x + 3 , en [1,-5] b) f(x) = x – 6 , en [1,6] x – 7 c) f(x) = √5 +x , en [-5,2] d) f(x) = √3-x , en [3,7] e) f(x) = √x+2 , en [-3,2]

1.2.2. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS. Definición de los teoremas:

Teorema del valor intermedio.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b], tal que f(c)=k. El teorema de valor intermedio asegura la existencia de al menos un número c en el intervalo [a, b]. Puede, claro, haber más de uno, como se indica en la figura:

El teorema no nos proporciona un método para encontrarlo. Tales teoremas se denominan teoremas de existencia.

¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento; esto te ayudará a enriquecer

los temas vistos en clase.

Teorema de valores extremos.

Si f es continua es un intervalo cerrado [a, b] entonces f alcanza un valor máximo y también un valor mínimo en ese intervalo.

Este teorema nos dice que en el recorrido de la función ésta deberá alcanzar un valor mayor y un valor menor. Estos valores son los valores extremos; es decir, los más alejados que tendrá la función.

f(x) f(c+

S

) f(c) T(c-

S

) 0 x c-

S

c c+

S

b

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega resultados a tu profesor.

A) Para las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye una tabla de valores para encontrar el límite dado.

1. Lim (1-2x) 6. Lim x2 _{– 9} X 1 x 3 x – 3 2. Lim √x-2 7. f(x) = 2x+1 si x<1 x c x+5 si x ≥ 1 3. Lim x2 _{– 2x 8. g(x) = x}2 _{+ 2x si x ≥ -1} x 0 1/4x+1/2 4. Lim f(x) x2 _{– 2x +3 9. Lim x}2 _{+ 5x + 6} x 2 x 6 x2_+8x+16 5. Lim x + 1 10. f(x)= x2 _{si x < 2} x 3 x- 3 -x+6 si x >2

B) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites. 1.

2. 3. 4. 5.

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos. a) Lim ¶ = b) Lim x= x e x -1 c) Lim 5x4 _{– 8x}3 _{– 2x}2 _{– 3x + 2 =} x 1/2 d) Lim (3x2 _{+ 2)(5x}2 _{+ 9)} x √2 e) Lim (5x+1)3 ₌ x 1 f) Lim √x2 _+x x 1/9 g) Lim 3x + 2 x 4 5x+6 h) Lim [√x+6 + √x2_{+7] =} x -2 i) Lim 9x + 5 = x 7/3 3x-8 j) Lim [(3x6_{)(9x+7)] + √8x/x =} x 8 Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor. I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites.

1. Sea f(x)= 3x2_{-2x+1, g(x)=x}2_{-4 y h(x) = 4x-3} Hallar ; a) Lim [f(x) + g(x) – h(x)] x 2 b) Lim [f(x). g(x)] x 1 h(x) c) Lim [ h(x) . g(x) – f(x)] x 5 f(x)

2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados, y cuáles, indeterminados. a) Lim 2x-10 = __________________________ x -5 x+5 b) Lim (x+3)2 _{= __________________________} x -2 (x-2)2 c) Lim 5x2 _{– 4x – 12 = ______________________} x 6/5 (5x+6)(x-2) d) Lim xcosx = ____________________________ x ¶ e) Lim h2 _{– 2h +1 = ________________________} h 0 h-1 f) Lim e9k _{= _______________________________} x 6 g) Lim ln [2x+2x] = ________________________ x -1 Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

3. ¿A qué conclusión llegaste en los teoremas de límite en el subtema 1.1.2 en los teoremas del subtema 1.1.3 al aplicarse en los ejemplos de las funciones? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. ¿Qué son funciones determinadas y funciones indeterminadas? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

5. ¿Cuáles son las técnicas o procesos para convertir una función indeterminada en determinada?

______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

6. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad,

r= 2x pies/seg √625-x2

a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies. b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies. c) Hallar el límite de r cuando x es 25

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor. 1. De las funciones siguientes encuentra el signo que debe de asignarse al ∞. a) Lim 5x = x 5 x-1 b) Lim 4x + 9 = x 3 2x+3 c) Lim __x__ x 1+_{/2 2x-1}

2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes desigualdades. a) Lim 6x3 _{– 5x}2 _{+ 3 = -3} x ∞ 2x3 _{+4x -7} b) Lim ax4 _{+ 6x}2_{+c = 0} x ∞ dx5_+cx3_+fx c) Lim 4x2 _{– 3 = 1} x ∞ 2x3_+3x2 d) Lim 3h+2xh2_+x2_h3 _{= 1/2x} x ∞ 4-3xh-2x3_h3 e) Lim √x+1 = 1 x ∞ x-1 f) Lim 3+cosx = 0 x ∞ x g) Lim n/n+1 = -1 h) Lim x+3 = 5 x ∞ x2_+5x+6 Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES:

1. Determina si las funciones son continuas o discontinuas y compruébalas con la gráfica de cada una de ellas. a) f(x) = x2 _{– 1} b) f(x) = 3x+5 c) f(x) = 1/3+x d) f(x) = x2 _{– 16} x + 4 e) f(x) = /x/ si x ε (-4,4) f) g(x) = 2x2 _{si x ε [0,2]} 5x-2 si x ε (2,4) g) f(x) = 1/x , si -5 = x ≤ -1 √x2_{+1 , si -1<x=3} h) f(x) =3/x-1 i) f(x) = 2x+3, si x ≥ 4 3 , si -4 < x < 4 3-2x, si x ≤ - 4

2. Para cada uno de los problemas determina si la función es continua sobre el intervalo dado: a) f(x) = 1/x+2 : (-∞, -2); (-∞, -2] ; (-2, +∞); [-2, +∞)

b) f(x) = √x2 _{– 9 : (-∞, -3] ; [-3,3) ; [3,+∞) ; (3, +∞)}

c) f(x) = senx : (-∞, +∞) ; [¶/2, ¶/4] ; [0,¶]

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

3. Realiza una gráfica para representar el teorema de valor intermedio y de valores extremos. Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la letra que corresponda:

1. Lim x2 _{– 25 =} x -5 x+5 A. 6 B. -10 C. No existe límite (∞) D. 1 2. Lim (x2_{-4k+1) =} x 2 A. 0 B. 7 C. -3 D. 2 3. Lim 4 – x2 ₌ x 2 3-√x2 ₊₅ A. 1/7 B. 2x C. 5 D. 6 4. Lim 3x – 2 = x ∞ 9x+7 A. 1/3 B. 6/5 C. 0 D. -2 5. Lim senx = x ¶/2 A. ∞ B. 1 C. 0

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________ AUTOEVALUACIÓN

6. El valor de k en la función f(x) = x+3 , x ≤ 2 es: Kx+6 , x >2 A. 2 B. -∞ C. -1/2 D. 4 7. Lim Ln (2e2x _{. 3e}4x_{) =} x 3 A. -32 B. 8 C.100 D.180

8. La siguiente gráfica corresponde a una función: f(x) x A. continua en x=0 B. discontinua en x=0 C. constante en x=0 D. constante en x<0 9. Lim x2 _{– 4 es:} x 2 A. continua B. continua removable C. discontinua D. discontinua removable 10. La función f(x) = 1/√2-x es continua: A. [2, +∞) B. (-2,-∞) C. (3, +∞) D. (3,-∞)

¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.

Consulta las claves de respuestas en la página 141.

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un reporte a tu profesor.

1. Obtén los siguientes límites: a) Lim [ x3 _{– 27 ]=} x 3 x-3 b) Lim [ (x+5)2 _{- 25] =} x 0 x c) Lim [ √x – 2 ] = x 4 x - 4 d) Lim [ 2 + 3senø]= x ø

e) Lim senø (cotø + tanø) = ø 0 cos2₂ f) Lim x3 _{– 2x}2 _{– 5x+6} x 1 x3_-3x2_-x+3 g) Lim ex _{+ e}-x ₌ x 0 3 h) Lim Ln [(2x-8)2 _{+ 5x}3_] x 2 i) Lim (x2 _{– 3x + 2 ) (x-3)} x -3 j) Lim 4x + 4 = x ∞ 2x+5 k) Lim 3x + 4 = x ∞ √2x2_-5

REFORZAMIENTO 1 _{Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________}

2. Determina el signo + o – del ∞ resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos.

a) Lim 5x = x 2+ _-x+2 b) x 3- _x2 ₌ x-3 c) Lim 2x-3 = x 2-_{/7 7x+2}

3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado. a) f(x) = 3x + 5 x=2 b) f(x) = 5(x+2)2 _{– 7 x= -1} c) f(x) = -1/x-1/ + 4 x= 0 d) f(x) = x2 _{– 36 x= 6} x – 6 e) f(x) = 1/2x3 _{si x ≤ 2 x=2} -(x+1)2_{+5 si x > 2} f) f(x) = 3(x+1)2_{-1 si x < -1} 1 si x = -1 x-1 si x > -1 g) f(x) = /x/ si x ε (-4,4) h) f(x) = 2x2 _{si x ε [0,2]} 5x-2 si x ε (2,4)

4. Hallar la discontinuidad de las siguientes funciones. Determinar si son removibles o no son removibles. a) f(x) = 2/x b) f(x) = x3 _{- 27} x2 _{– 9} c) f(x) = 0 si x = 0 2 si x ≠ 0

5. Trazar las gráficas de las siguientes funciones y determinar si son tentativas en el intervalo cerrado [0,1]:

U

n

i

d

a

d

2

L

L

a

a

s

s

r

r

a

a

z

z

o

o

n

n

e

e

s

s

d

d

e

e

c

c

a

a

m

m

b

b

i

i

o

o

y

y

l

l

a

a

d

d

e

e

r

r

i

i

v

v

a

a

d

d

a

a

.

.

Objetivo:

El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

Temario:

¾ La derivada. ¾ Reglas de derivación. ¾ Derivación implícita.

¾ Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal.

El libro de la naturaleza

“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito…

Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos).

Mapa Conceptual de Unidad

Interpretación geométrica de la derivada La diferenciabilidad en un intervalo Graficado de curvas complejas La Derivada Razón de cambio promedio e instantánea. Las reglas de derivación Las cua- les son Se obtiene por De las cuales obtenemos Para concluir en Regla de la potencia

Reglas del producto y del cociente Regla de la cadena Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Derivación implícita

Ecuaciones de la tangente y normal, longitudes de la subtangente y subnormal.

L

L

A

A

D

D

E

E

R

R

I

I

V

V

A

A

D

D

A

A

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio.

El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo.

La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII:

1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área.

Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

2.1.1. Razón de cambio promedio e instantáneo.

En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta llamada “m” y se concluyó lo siguiente:

a) La pendiente de toda recta paralela al eje “x” es cero.

b) La pendiente de una recta que forma un ángulo

θ

entre

0

°

<

θ

<

90

°

es positiva.

c) Una recta paralela al eje “y” no tiene pendiente.

d) Si la recta forma un ángulo

θ

entre

90

°

<

θ

<

180

°

la pendiente es negativa.

2

2

.

_.

1

₁

.

_.

Gottgried Wilhem Leibniz (1646-1716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal

Veamos la siguiente gráfica.

b

mx

x

f

y

=

(

)

=

+

Sea

P

₁

(

x

₁

,

y

₂

)

yP

₂

(

x

₂

,

y

₂

)

dos puntos de la recta. Recuerda que la pendiente del segmento P1 y P2 se define:

1 2 1 2

x

x

y

y

m

−

−

=

Y por lo tanto:

x

y

m

∆

∆

=

Donde: 1 2

x

x

x

=

−

∆

. Es la diferencia de las abscisas (x)

∆

y

=

y

₂

−

y

₁. Es la diferencia de las ordenadas (y) Por lo tanto:

x

y

∆

∆

se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”.

La razón de cambio:

x

y

∆

∆

es el mismo para cualquier par de puntos que se tomen en la línea recta. Para demostrar esto veamos lo siguiente:

Tomamos la ecuación de la recta:

)

(

)

(

y

−

y

₁

=

m

x

−

x

₁

Sean

P

₁

(

x

₁

,

y

₂

)

yP

₂

(

x

₂

,

y

₂

)

dos puntos de la recta

y 2 1

x

x

y

y

m

−

−

=

es la pendiente de la recta que pasa

x1 x2 y1 y2 y=f(x) P1 P2

x

∆

y

∆

∆

Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO. ) ( ) (y−y₁ =m x−x₁ Es la ecuación de la recta de la forma punto pendiente

donde pasa la recta. Entonces:

)

(

)

(

y

−

y

₁

=

m

x

−

x

₁ quedaría:

)

(

)

(

y

₂

−

y

₁

=

m

x

₂

−

x

₁ Y despejando la pendiente tenemos: 1 2 1 2

x

x

y

y

m

−

−

=

Esto demuestra que la pendiente es la razón de cambio promedio. Por lo tanto podemos definir que:

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que la diferencia entre ambas es que la razón de cambio promedio es una razón de incrementos, mientras que la razón de cambio instantáneo es el límite de una razón de incrementos.

Razón de cambio promedio.

Sea

f

una función tal que

y

=

f

(x

)

y

P

₁

(

x

₁

,

y

₂

)

yP

₂

(

x

₂

,

y

₂

)

un par de puntos de

f

. Definimos la razón de cambio promedio de “y”

con respecto a “x” como:

1 2 1 2 1 2 1 2

(

)

(

)

x

x

x

f

x

f

x

x

y

y

x

y

−

−

=

−

−

=

∆

∆

Razón de cambio instantáneo.

Sea

y

=

f

(x

)

una función definida en todos puntos del intervalo

( y

x

,

)

Definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x.

x

y

x

∆

∆

→

lim

0 O bien: 1 2 1 2 0

)

(

)

(

lim

f

x

_x

_x

f

x

x

−

−

→

Ejemplo 1.

Determinar la razón de cambio promedio de la función

1

3

)

(

x

=

x

+

f

en el intervalo

[

3

,

7

]

Solución:

Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

y

=

f

(x

)

∆

x

∆

y

3

_f

₍

₃

₎

₌

₁₀

₄

₋

₃

₌

₁

_f

₍

₄

₎

₋

_f

₍

₃

₎

₌

₁₃

₋

₁₀

₌

₃

4

f

(

4

)

=

13

5

−

4

=

1

5

f

(

5

)

=

16

6

−

5

=

1

3

13

16

)

4

(

)

5

(

−

f

=

−

=

f

6

f

(

6

)

=

19

7

−

6

=

1

7

_f

₍

₇

₎

₌

₂₂

f

(

7

)

−

f

(

6

)

=

22

−

19

=

3

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados. 1 2 1 2 1 2 1 2

(

)

(

)

x

x

x

f

x

f

x

x

y

y

x

y

−

−

=

−

−

=

∆

∆

_{Observamos la tabla para sustituir los}

resultados y tenemos:

3

1

3

=

=

∆

∆

x

y

Por lo tanto la razón de cambio promedio de la función en el intervalo

[

3

,

7

]

es de 3.

Ejemplo 2.

Determinar la razón de cambio promedio de la función:

_f

(

_x

)

₌

5

_x

2

₊

2

_x

₋

6

_{En el intervalo}

_[

₋

₁

_,

₄

_]

Solución:

Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

_y

₌

_f

_(x

₎

_∆

_x

_∆

_y

1

1

=

−

x

f

(

x

₁

)

=

−

3

4-(-1)= 5 82-(-3) = 85

4

2

=

x

f

(

x

₂

)

=

82

1 2 1 2 1 2 1 2

(

)

(

)

x

x

x

f

x

f

x

x

y

y

x

y

−

−

=

−

−

=

∆

∆

17

3

85

)

(

)

(

1 2 1 2 1 2 1 2

₌

₌

−

−

=

−

−

=

∆

∆

x

x

x

f

x

f

x

x

y

y

x

y

17

=

∆

∆

x

y

Geométricamente,

=

17

∆

∆

x

y

es la pendiente de la recta secante que une Los puntos (-1,-3) y (4,82).

Ahora veremos problemas en donde interviene la razón de cambio Instantáneo.

Ejemplo 3.

Las leyes de la física indican que si un cuerpo cae

libremente a una distancia de “s” pies en “t” segundos, entonces 2

16t

S

=

Hallar

t

s

∆

∆

en el intervalo de valores de

t

∈

[

3

,

3

.

5

]

Solución:

Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

t

_y

₌

_s

_(t

₎

_∆

_s

_∆

_t

3

1

=

t

s

(

3

)

=

144

196 - 144 = 52 3.5 - 3 = 0.5

5

.

3

2

=

t

s

(

3

.

5

)

=

196

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

104

5

.

0

52

)

(

)

(

1 2 1 2 1 2 1 2

₌

₌

−

−

=

−

−

=

∆

∆

t

t

t

s

t

s

t

t

s

s

t

s

104

=

∆

∆

t

s

Y como vimos en la materia Física I, la siguiente definición:

velocidad

tiempo

ento

desplazami

t

s

₌

₌

∆

∆

promedio del cuerpo en el intervalo del tiempo.

El símbolo

"

∈

"

significa pertenece o está en.