Investigacion Operativa

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Vicerrectorado de Investigación

OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS I

TINS Básicos

INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS

TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP

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© OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS I

Desarrollo y Edición: Vicerrectorado de Investigación Elaboración del TINS: • Ing. César Canelo Sotelo

• Ing. Luis Medina Aquino

Diseño y Diagramación: Julia Saldaña Balandra Soporte académico: Instituto de Investigación Producción: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

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“El presente material contiene una compilación de obras de Optimización de Sistemas publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución.

Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor”.

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PRESENTACIÓN

El asunto del presente texto está engastado en el espacio ilimitado de la matemática aplicada, surgida en la segunda mitad del siglo XX, como producto de la ciencia y la tecnología desarrollada en el fragor de la segunda guerra mundial.

Producto que tomó el nombre de Investigación de Operaciones, compuesto por los temas de Programación Lineal, Programación Dinámica, Programación Geométrica, entre otros. Técnicas que han venido aplicándose intensamente como soporte de la maximización de indicadores concurrentes a la excelencia de calidad con altos niveles de productividad y bajos costos de producción.

En este contexto, la educación superior universitaria ha integrado en los currícula de diferentes Carreras de Ingeniería algunas Asignaturas de Investigación Operativa, con enfoque metodológico generado en el espacio de la Teoría General de Sistemas.

Con tal método, mediante un acucioso trabajo académico de recopilación y selección, ha venido en prepararse para estudios de la Carrera de Ingeniería de Sistemas el Curso de Optimización de Sistemas I, aplicado en el VI ciclo de estudios, con temas de Programación Lineal.

El acopio y selección de materias pertinentes a la Asignatura, arriba mencionada, ha sido realizada por el profesor Ing. Luis Medina Aquino , en unión con el profesor Ing. César Canelo Sotelo, en congruencia al sillabus correspondiente, en el nivel de calidad académica requerido; comprende los siguientes temas:

El capítulo 1 trata sobre la descripción del modelo de programación lineal, que consta de variables de decisión, función objetivo, restricciones y condición de no negatividad. El objetivo del modelo es maximizar (utilidades) o minimizar (costos) de una función lineal Z. A través de un problema que tiene dos variables de decisión se explica la formulación del programa lineal y cómo hallar una solución gráfica.

El capítulo 2 complementa el capítulo uno con la construcción de modelos de programación lineal formulados en base a diferentes problemas que se presentan en la industria. Existen diferentes problemas tipo con su respectiva formulación, con más de dos variables.

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El capítulo 3 explica el método general para hallar una o varias soluciones de un modelo de programación lineal. Para ello es necesario colocar las restricciones del modo estándar, convirtiendo las desigualdades en igualdades, añadiendo variables de holgura, de exceso y/o artificiales. Luego se coloca todos los valores en una tabla y se empieza a realizar iteraciones hasta hallar el valor óptimo de la función objetivo.

En el capítulo 4 se explica la dualidad de un programa lineal. Si la función objetivo original (primal) es de maximización entonces la función objetivo del programa dual será de minimización y viceversa. La cantidad de variables de decisión en el programa primal será la misma cantidad de restricciones del dual. El número de restricciones del primal será la misma del número total de variables duales. Los valores del lado derecho del programa primal serán los coeficientes de la función objetivo del dual. Y los coeficientes de las variables primales serán los mismos valores del lado derecho de las restricciones del programa dual.

El capítulo 5 trata acerca del análisis de sensibilidad que se puede hacer al modelo de programación lineal. El análisis de sensibilidad responde a la pregunta: ¿Qué pasa con el valor de la función objetivo si existen cambios en los coeficientes de la función objetivo o el lado derecho de las restricciones? ¿Se mantiene o no la solución óptima si existen cambios en los coeficientes de las variables de la función objetivo? ¿Si se agrega una nueva variable a la función objetivo y a las restricciones, formará parte de la nueva solución? ¿Si se agrega una nueva restricción, se modificará la solución óptima?

En el capítulo 6 se aborda el modelo de programación lineal entera. La programación lineal resuelta por el método simplex nos da un resultado con valores continuos, pero existen problemas de programación lineal que exigen una solución con valores enteros. En realidad, para este tipo de problemas se añaden restricciones de variable entera a través de un algoritmo de ramificación que va restringiendo las variables a soluciones enteras. En este campo se incluye problemas de programación lineal cuyas variables de decisión son valores binarios {0, 1}.

El contenido del texto representa el esfuerzo académico de los profesores

Ing. Luis Medina Aquino e Ing. César Canelo Sotelo, a quienes la Institución agradece de manera especial en el camino de contribución, tendiente a la mejora continua de la calidad académica.

LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA

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ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 1

PROGRAMACION LINEAL: EL METODO GRAFICO... 11

CAPÍTULO 2

PROGRAMACION LINEAL: FORMULACIÓN DE PROBLEMAS... 43

CAPÍTULO 3 EL MÉTODO SIMPLEX... 67 CAPÍTULO 4 EL PROBLEMA DUAL ... 83 CAPÍTULO 5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD ... 97 CAPÍTULO 6

PROGRAMACION LINEAL ENTERA... 109

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DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA Clase

N° Tema Semana Horas

1

Introducción a la Investigación de

Operaciones: Origen, Definición, Modelo, Tipos de modelo. Metodología de la Investigación de Operaciones.

1 04

2

Programación Lineal: Definición, Presentación del modelo de P.L., Suposiciones del modelo de P.L., Interpretación económica del modelo de PL., Propiedades del modelo de PL., Formas de mostrar el modelo de PL., Variable de holgura, Transformaciones en el modelo de PL.

2 04

3 Formulación de problemas con P.L. 3 04

4

Solución del modelo P.L.: Región Factible y Soluciones, Conjuntos convexos. Métodos de solución de modelos lineales: Gráfico y

Simplex.

4 04

5 Casos especiales de soluciones de PL usando _{el método gráfico.} 5 04 6 _primal.Método simplex: Teoremas. Algoritmo simplex 6 04

7

Casos especiales usando el algoritmo simplex: Solución única, Solución con región factible no acotada, Problema no factible, Soluciones Múltiples. Solución degenerada. Prevención del ciclado

7 04

8 Técnica de las variables artificiales. Método

de penalización. Método de las dos fases. 8 04

9 Revisión – Nivelación 9 04

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Clase

N° Tema Semana Horas

11 Simplex revisado: Inversión explícita de la

base, Método de las dos fases. 11 04

12

Problema dual: El programa Dual, Relaciones Primal – Dual. Teoremas. Propiedades Primal-dual.

12 04

13 Algoritmo Simplex Dual. Interpretación

Económica del problema Dual. 13 04

14

Análisis de sensibilidad. Rangos de

sensibilidad: Cambios en el vector de costos y recursos. Cambios en la matriz de coeficientes tecnológicos.

14 04

15 Análisis de sensibilidad: Adición de una nueva _{variable. Adición de una nueva restricción.} 15 04 16 Uso de software computacional para PL;

Linear Interactive Discrete Optimizer (LINDO). 16 04

17 Programación entera: Formulación. 17 04

18

Métodos de solución de problemas de

Programación Lineal Entera: Método gráfico,

Método de ramificar y acotar. 18 04

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CAPÍTULO 1

PROGRAMACION LINEAL: EL METODO GRAFICO

1.1. INTRODUCCIÓN

Existen problemas de decisión administrativos que pueden ser resueltos a través de un modelo matemático llamado programación lineal. Por ejemplo el fabricante desea elaborar un programa de producción de costo mínimo; exigido por la demanda a atender y limitado por su capacidad de producción.

Un modelo de programación lineal busca el objetivo de maximizar (minimizar) una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.1

Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente: 1. Un conjunto de variables de decisión

2. Una función objetivo

3. Un conjunto de restricciones

Para formular un modelo de programación lineal primero se debe entender el problema y responder a las siguientes preguntas: ¿Cuál es nuestro objetivo económico? ¿Maximizar utilidades o minimizar costos? ¿Qué limitaciones de recursos existen? ¿Qué requerimientos mínimos se necesitan?

Con esto podemos:

(i) Identificar las variables de decisión del modelo, a las que llamaremos X1, X2, X3,...., Xn.

(ii) Expresar la función objetivo como:

Maximizar (o Minimizar) Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 +....+ Cn Xn

(iii) Determinar las restricciones del modelo que son funciones lineales de las variables de decisión. Estas restricciones pueden ser igualdades (=) o desigualdades de la forma (>, <).

1_{Función lineal de varias variables es una función de la forma Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 +....+}

Cn Xn, donde las variables aparecen con exponente 1 y no se permiten productos cruzados: C1 X1 x C2 X2; o de orden superior: C1 X12

.

Restricciones lineales: son funciones lineales de tipo:

ai1 X1 + ai2 X2 + ai3 X3 +....+ ain Xn < bi

ò ai1 X1 + ai2 X2 + ai3 X3 +....+ ain Xn > bi

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También incluye restricciones de no negatividad de las variables: X1, X2, X3,...., Xn > 0.

1.2. FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN EJERCICIO DE PROGRAMACION LINEAL

La solución gráfica se emplea para resolver modelos de programación lineal con dos variables, ya que resulta bastante difícil dibujar planos de tres variables, e imposible hacerlo para cuatro o más variables.

Ejercicio

Juan es un prospero negociante que se dedica a la compra y venta de naranja y papaya. Él tiene su cartera de clientes que son aquellos comerciantes que tienen su puesto de frutas en los diferentes mercados del distrito de Jesús María. Todos los días temprano en la mañana visita a su proveedor de frutas en el mercado mayorista y hace las compras del día. El día anterior recibe los pedidos de sus clientes y esta suma 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Juan lleva su camión para el transporte cuya capacidad de carga es de 1600 kilos. Entonces ¿Cuántos kilos de cada fruta debe comprar Juan para maximizar los beneficios?

Para resolver esta pregunta se tienen los siguientes precios y costos por kilo de fruta:

Precio de compra Precio de venta al por mayor al minorista

Papaya S/. 1.30 S/. 1.60

Naranja S/. 1.00 S/. 1.20

Procedimiento de Solución (Método Gráfico)

1) Establecer la formulación del problema

2) Graficar en el plano cartesiano las restricciones del tipo >, < ó =, como si fueran rectas.

3) Ubicar el espacio de la solución factible (región factible), el cual está dado por el área común a todas las restricciones.

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Formulación del Ejercicio

Definición de las Variables de Decisión

X1 = Cantidad, en kilos, de papaya que se debe comprar. X2 = Cantidad, en kilos, de naranja que se debe comprar.

Función Objetivo

Maximizar la utilidad total de los dos productos

Restricciones

Cantidad máxima de Papaya < 600 kilos. Cantidad máxima de Naranja < 1200 kilos. Carga máxima del camión < 1600 kilos.

Condición de No Negatividad

X1, X2 > 0

El Modelo

Maximizar Z = 0.30 X1 + 0.20 X2 (Beneficio Total) Sujeto a:

R1 X1 < 600 (Cantidad máxima de Papaya)

R2 X2 < 1200 (Cantidad máxima de Naranja)

R3 X1 + X2 < 1600 (Carga máxima del camión) X1, X2 > 0 (Condición de no negatividad) Gráfica en el Plano Cartesiano

Primero graficar la igualdad de la restricción, luego escoger un punto de ensayo (por ejemplo el punto 0,0) y se sustituye este punto en la desigualdad para comprobar si cumple esta restricción. Si lo cumple entonces sombrear el área que cubre este punto de ensayo y si no lo cumple sombrear el área que no lo cubre.

Gráfica 1 X1 R2 X2 < 1200 R1 X1 < 600 X2 (600,0) (0,0) X1 X2 (0,1200) (600,0) (0,0)

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En el plano cartesiano de la izquierda de la gráfica 1, primero se dibuja la recta X1 = 600 y luego se escoge un punto de ensayo, para nuestro caso (0,0), y se verifica que cumpla con la desigualdad, por tanto se sombrea los puntos que cumplen con todos los puntos de X1 que sean menores o iguales a 600 Kg. (restricción R1).

Con el mismo procedimiento se dibuja la recta X2=1200, que se muestra en el plano cartesiano de la derecha de la gráfica 1, y se acota más el área de los puntos factibles con los puntos de X2 que sean menores o iguales a 1200 Kg. (restricción R2).

Por último graficamos la tercera restricción el cual restringe aún más el área de puntos factibles, como se muestra la gráfica 2.

Región factible es el conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones simultáneamente. Existen infinitos puntos factibles (soluciones).

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Gráfica 2

Se debe dibujar el contorno de la función objetivo (línea iso-beneficio) mediante rectas paralelas, en cada vértice, según la relación: X2 = – 1.5 X1 + K,ver gráfica 3.

Los valores que optimizan la función objetivo siempre se encuentran en uno de los puntos extremos, en este caso A, B, C, D ó E. X1 X2 (0,1600) (1600,0) R2 R3 R1 (600,1000) (400,1200) (0,1200) (600,0) A (0,0) B C E D

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1.3. PROBLEMAS RESUELTOS: FORMULADOS Y CON SOLUCION GRAFICA DE PROGRAMACION LINEAL, UTILIZANDO WINQSB2.

1.3.1 CREDIFONDO, una empresa que administra fondos mutuos, tiene

$50,000 de un fondo de pensiones, y desea invertir en bonos tipo A y bonos tipo B que producen una rentabilidad de 6% y 10% anual respectivamente. Por motivos de liquidez no puede invertir más del 25% en bonos tipo A, y lo mínimo a depositar en bonos tipo B es $10,000. Determinar un plan óptimo de inversiones

VARIABLES DE DECISIÓN:

X1 = Cantidad, en dólares, que se debe invertir en bonos tipo A. X2 = Cantidad, en dólares, que se debe invertir en bonos tipo B.

2_{WINQSB es un software creado por el Dr. Yih-Long Chang que se puede bajar de internet.}

Buscando en google hallamos varias direcciones, una de ellas es http://www.investigacion-operaciones.com/Metodos_computacionales.htm X1 X2 Z1 = 0.30 (0) + 0.20 (0) = 0 Z2 = 0.30 (600) + 0.20 (0) = 180 Z3 = 0.30 (0) + 0.20 (1200) = 240 Z4 = 0.30 (400) + 0.20 (1200) = 360 Z5 = 0.30 (600) + 0.20 (1000) = 380 (óptimo)

Se debe adquirir 600 Kg. de papaya y 1000 Kg. de naranja para obtener S/. 380 de utilidad Z2 Z4 Z5 Z3 Z1 (600,1000) (400,1200) (0,1200) (600,0) A (0,0) B C D E 0.20 Pendiente de la función objetivo 0.30 Gráfica 3

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FUNCION OBJETIVO:

Se debe maximizar la rentabilidad total de la inversión en los dos tipos de bonos.

Maximizar Z = 0.06 X1 + 0.10 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Fondo máximo a depositar: X1 + X2 ≤ 50,000

R2 = Máximo a invertir en bonos tipo A: X1 ≤ 0.25 (X1 + X2) 0.75 X1 – 0.25 X2 ≤ 0

R3 = Mínimo a invertir en bonos tipo B: X2 ≥ 10,000

CONDICION DE NO NEGATIVIDAD:

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

SOLUCION CON WINQSB:

1.3.2. INTERBANK tiene un total de $20 millones asignados a

préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, los préstamos hipotecarios tienen una tasa anual de recuperación del 10%, y los préstamos para autos una tasa anual de recuperación del 12%. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios debe ser mayor o igual cuatro veces la cantidad total de préstamos para autos. Determine la

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cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar INTERBANK para maximizar el monto de recuperación.

X1= Cantidad, en dólares, que se debe asignar para créditos hipotecarios

X2 = Cantidad, en dólares, que se debe asignar para créditos de autos.

Se debe maximizar la recuperación total de los préstamos Maximizar Z = 0.10 X1 + 0.12 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Fondo máximo para asignar créditos: X1 + X2 ≤ 20,000,000 R2 = Relación de préstamos X1 ≥ 4 X2 X1 – 4 X2 ≥ 0

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

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1.3.3. MAQUINASA es una pequeña fábrica situada en los alrededores

de una gran ciudad. Su producción se limita a dos productos industriales: Alfa y Beta. El departamento de contabilidad de la empresa ha calculado las contribuciones de cada producto: 10 dólares para el producto Alfa y 12 dólares para el Beta. Cada producto pasa por tres departamentos de la fábrica. Los requerimientos de tiempo para cada producto y el total del tiempo disponible en cada departamento son los siguientes:

Horas Requeridas Horas Producto Producto Disponibles

Departamento ALFA BETA este mes Determine la cantidad

1 2.0 3.0 1,500 de productos Alfa y Beta

2 3.0 2.0 1,500 de tal forma que maximice

3 1.0 1.0 600 la contribución total.

X1 = Cantidad, en unidades, del producto Alfa que se debe producir por mes.

X2 = Cantidad, en unidades, del producto Beta que se debe producir por mes.

Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 10 X1 + 12 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Horas disponibles del Departamento 1: 2X1 + 3X2 ≤ 1500 R2 = Horas disponibles del Departamento 2: 3X1 + 2X2 ≤ 1500 R3 = Horas disponibles del Departamento 3: 1X1 + 1X2 ≤ 600

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1.3.4. Una dietista del hospital Rebagliati es responsable de la

planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. La especialista examina en estos momentos el caso de un paciente que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos elementos que se puede consumir; sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día:

- 1000 unidades del nutriente A. - 2000 unidades del nutriente B; y - 1500 unidades del nutriente C.

Cada onza de la fuente alimenticia #1, contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C.

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Cada onza de la fuente alimenticia #2, contiene 200 unidades del nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C.

Ambas fuentes alimenticias son algo costosas: La fuente alimenticia #1 cuesta $6 por libra y la fuente #2 $8 por libra.

La dietista desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos.

Nota: 1 libra = 16 onzas VARIABLES DE DECISIÓN:

X1 = Cantidad, en onzas, de la fuente alimenticia #1 que se debe asignar a la dieta por día.

X2 = Cantidad, en onzas, de la fuente alimenticia #2 que se debe asignar a la dieta por día.

Se debe minimizar el costo total de la dieta.

Minimizar Z = 6/16 X1 + 8/16 X2 = 0.375 X1 + 0.5 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Cantidad mínima de nutriente A: 100X1 + 200X2 ≥ 1000 R2 = Cantidad mínima de nutriente B: 400X1 + 250X2 ≥ 2000 R3 = Cantidad mínima de nutriente C: 200X1 + 200X2 ≥ 1500

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1.3.5. La fábrica ABC vende dos tipos de bombas hidráulicas: (1) normal

y (2) extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres procesos: ensamblado, pintura y pruebas de control de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la siguiente tabla:

Tabla de Requerimientos de Manufactura

Tiempo de Tiempo de Tiempo de

Tipo Ensamble Pintado Prueba

Normal 3.6 1.6 0.6

Extra Grande 4.8 1.8 0.6

La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es $75. Existen disponibles por semana 4,800 horas en tiempo de ensamble, 1,980 horas en tiempo de pintura y 900 horas en tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de renta señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de los extra grandes por semana. A la fábrica ABC le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.

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X1 = Cantidad, en unidades, de bombas hidráulicas normales que se debe producir por semana

X2 = Cantidad, en unidades, de bombas hidráulicas extragrandes que se debe producir por semana.

RESTRICCIONES:

R1 = Horas disponibles de ensamble: 3.6 X1 + 4.8 X2 ≤ 4800 R2 = Horas disponibles de pintado: 1.6 X1 + 1.8 X2 ≤ 1980 R3 = Horas disponibles de prueba: 0.6 X1 + 0.6 X2 ≤ 900 R4 = Demanda mínima de X1: X1 ≥ 300 R5 = Demanda mínima de X2: X2 ≥ 180

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

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1.3.6. PARAMONGA tiene dos tipos de papel, para libros y para

revistas. Cada tonelada de papel para libros requiere 2 toneladas de abeto y 3 ton. de pino. Cada tonelada de papel para revistas requiere 2 toneladas de abeto y 2 toneladas de pino. La empresa debe proveer al menos 25000 tons de papel para libros y 10000 tons de papel para revistas por año.

La disponibilidad anual de materiales es de 300000 tons de abeto y 450000 de pino. Por razón de mercado la cantidad de papel fabricado para revistas debe ser al menos 1.5 veces a la cantidad de papel fabricado para libros. Cada tonelada de papel para libros da una utilidad de $215 y de revistas de $270. Determine un plan óptimo de producción

X1 = Cantidad, en toneladas, de papel para libros que se debe producir por año.

X2 = Cantidad, en toneladas, de papel para revistas que se debe producir por año.

Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 215 X1 + 270 X2 RESTRICCIONES: R1 = Disponibilidad de abeto: 2 X1 + 2 X2 ≤ 300000 R2 = Disponibilidad de pino: 3 X1 + 2 X2 ≤ 450000 R3 = Razón de mercado: X2 ≥ 1.5 X1 1.5 X1 – X2 ≤ 0 R4 = Demanda mínima de X1: X1 ≥ 25000 R5 = Demanda mínima de X2: X2 ≥ 10000 CONDICION DE NO NEGATIVIDAD: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

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1.3.7. CATS es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada lata

de 16 onzas de Cats es una mezcla, o combinación, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean

X1 = número de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas. X2 = número de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas. Cada onza del ingrediente A contiene 1/2 onzas de proteínas y 1/8 de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteínas y 1/3 de onza de grasas. Las restricciones implican que una lata de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y no más de 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0.04 por onza y el ingrediente B cuesta $0.03 la onza.

a) Formule el problema de programación lineal.

b) ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de 16 onzas?

c) Identifique e interprete los valores de las variables de excedente para este problema.

(27)

X1 = Cantidad, en onzas, del ingrediente A en la lata de 16 onzas. X2 = Cantidad, en onzas, del ingrediente B en la lata de 16 onzas.

Se debe minimizar el costo total de los ingredientes en la lata de 16 onzas.

Minimizar Z = 0.04 X1 + 0.03 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Cantidad de los ingredientes A y B en la lata de 16 oz.: X1+X2=16 R2 = Cantidad mínima de proteínas: 0.5 X1 + 0.10 X2 ≥ 4

R3 = Cantidad máxima de grasas C: 0.125 X1 + 0.333 X2 ≤ 2.5 0.375 X1 + X2 ≤ 7.5

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

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1.3.8. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne

para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 ctvs por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 ctvs por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?

X1 = Cantidad, en libras, de carne molida de res contenida en una libra de albondigón.

X2 = Cantidad, en libras, de carne molida de cerdo contenida en una libra de albondigón.

Se debe minimizar el costo total de los ingredientes en una libra de albodigón.

Minimizar Z = 0.80 X1 + 0.60 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Cantidad de ingredientes en una libra de albondigón: X1 + X2 = 1 R2 = Cantidad máxima de grasa 0.25 libras: 0.20 X1 + 0.32 X2 ≤ 0.25

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X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.3.9. Una fábrica de automóviles y camiones consta de los

departamentos que a continuación se enumeran: 1. Estampado de planchas metálicas

2. Armado de motores 3. Montaje de automóviles 4. Montaje de camiones

El Departamento 1 puede estampar, por mes, las planchas necesarias para 25,000 automóviles 35,000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33,333 motores de automóviles o 16,667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores de automóvil y camión. El Departamento 3 puede montar y terminar 22,500 automóviles, y el Departamento 4 puede montar 15,000 camiones. Si cada automóvil deja una utilidad de 300 dólares y cada camión de 250, ¿qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse, de

(30)

manera que las utilidades que se obtengan sean las máximas posibles?

X1 = Cantidad, en unidades, de automóviles que se debe producir por mes.

X2 = Cantidad, en unidades, de camiones que se debe producir por mes.

RESTRICCIONES:

R1 = El departamento 1 puede estampar, por mes, planchas metálicas para 25000 automóviles o 35000 camiones. Supongamos que los primeros 15 días (1/2 mes) se producen 12500 automóviles, entonces los últimos 15 días se deben producir 17500 camiones. El análisis parte del tiempo de producción para cada producto, cuyo límite máximo es un mes.

De esta forma el tiempo para producir automóviles es X1/25000 (fracción de mes) y el tiempo para producir camiones es X2/35000, de tal forma que la suma de tiempos sea menor o igual a un mes:

X1/25000 + X2/35000 ≤ 1 7 X1 + 5 X2 ≤ 175000 R2 = Similar análisis para el Departamento 2: X1 + 2X2 ≤ 33333

R3 = Cantidad máxima en el departamento de montaje para automóviles: X1 ≤ 22500

R4 = Cantidad máxima en el departamento de montaje para camiones: X2 ≤ 15000

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1.3.10. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de

combustible, A y B. El combustible de clase A tiene 25 % de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2, y 50 % de gasolina grado 3. El combustible de clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 75 galones/hora de grado 1, 150 galones/hora de grado 2, y 200 galones/hora de grado 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. Las clases A y B, pueden venderse a 75 y 90 centavos por galón, respectivamente. ¿Qué cantidad por hora debe fabricarse de cada combustible?

X1 = Cantidad, en galones, del combustible A que se debe producir por hora.

X2 = Cantidad, en galones, del combustible B que se debe producir por hora.

Se debe maximizar la utilidad total (ingreso menos costo) de los dos productos

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Ingreso en centavos = 75 X1 + 90 X2 Costo en centavos =

30 (0.25 X1) + 60 (0.25 X1 + 0.50 X2) + 50 (0.50 X1 + 0.50 X2) Maximizar Z = Ingreso – Costo = 27.5 X1 + 35 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Gasolina grado 1 disponible: 0.25 X1 ≤ 75

R2 = Gasolina grado 2 disponible: 0.25 X1 + 0.50 X2 ≤ 150 R3 = Gasolina grado 3 disponible: 0.50 X1 + 0.50 X2 ≤ 200

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.4. PROBLEMAS FORMULADOS PERO SIN SOLUCION GRAFICA 1.4.1. Una compañía petrolera que tiene dos refinerías, necesita al

menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y

(33)

200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2,500 para operar la refinería I y de $2,000 para la refinería II, ¿cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo?¿cuál es el costo mínimo?

X1 = Cantidad de días que debe ser operada la refinería I para cumplir con los requerimientos de producción.

X2 = Cantidad de días que debe ser operada la refinería II para cumplir con los requerimientos de producción.

Se debe minimizar el costo total de operación de las dos refinerías. Minimizar Z = 2500 X1 + 2000 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado bajo requerido: 200X1 + 100X2 ≥ 800

R2 = Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado medio requerido: 300X1 +200X2 ≥ 1400

R3 = Cantidad mínima de barriles de petróleo de grado alto requerido: 100X1 + 100X2 ≥ 500

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.4.2. A causa de reglamentaciones gubernamentales nuevas sobre la

contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10,500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

(34)

X1 = Cantidad, en litros, del producto químico que se debe producir con el proceso anterior.

X2 = Cantidad, en litros, del producto químico que se debe producir con el proceso nuevo.

Se debe maximizar la utilidad total del producto químico en los dos procesos

Maximizar Z = 30 X1 + 20 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Descarga máxima de dióxido de azufre: 15 X1 + 5 X2 ≤ 10500 R1 = Descarga máxima de partículas: 40 X1 + 40 X2 ≤ 30000

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.4.3. INDUMIL, un fabricante progresista de mecanismos civiles y

militares, fabrica actualmente una línea de armas para civiles, con una producción actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z-1500. El gerente de manufactura quiere saber si podrían aumentarse las ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compiló la siguiente información sobre las horas requeridas para la fabricación de cada modelo y las capacidades de los departamentos de la fábrica.

Horas-Hombre Requeridas Horas

Modelo Modelo Disponibles

Departamento Z-1200 Z-1500 por día

1 2.0 0.0 300 2 0.0 3.0 540 3 2.0 2.0 440 4 1.2 1.5 300 Contribución por unidad $50 $40

a) Determínese la mezcla óptima de productos suponiendo que pueden venderse las cantidades. Use el método gráfico.

b) ¿Cuánto aumentaría la mezcla óptima la contribución a los costos fijos y a las ganancias?

(35)

c) Suponga que el precio del modelo Z-1200 se reduzca a $10 ¿Cuál será la mezcla óptima de productos? Use el método gráfico

X1 = Cantidad, en unidades, del producto Z-1200 que se debe producir por día.

X2 = Cantidad, en unidades, del producto Z-1500 que se debe producir por día.

Se debe maximizar la utilidad total de los dos productos Maximizar Z = 50 X1 + 40 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Horas disponibles del Departamento 1: 2 X1 ≤ 300 R2 = Horas disponibles del Departamento 2: 3 X2 ≤ 540

R3 = Horas disponibles del Departamento 3: 2 X1 + 2 X2 ≤ 440 R4 = Horas disponibles del Departamento 4: 1.2 X1 + 1.5 X2 ≤ 300

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.4.4. JUGUETES SAC fabrica dos tipos de juguetes de madera:

soldados y trenes. Se vende un soldado a $27 y se usan $10 de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en $14. Se vende un tren a $21 y se usan $9 de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en $10. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, la empresa puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente. La firma quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos - costos).

a) Formule un modelo matemático para la situación de JUGUETES SAC que se pueda utilizar para maximizar su ganancia semanal.

b) Determine gráficamente la región factible del problema y el punto donde se hace máxima la ganancia de la compañía.

(36)

X1 = Cantidad de soldados de madera que se debe producir por semana.

X2 = Cantidad de trenes de madera que se debe producir por semana.

Se debe maximizar la utilidad total (ingreso menos costo) de los dos productos:

Ingreso por ventas = 27 X1 + 21 X2 Costo de materia prima = 10 X1 + 9 X2

Costo de mano de obra y costos generales = 14 X1 + 10 X2 Maximizar Z = Ingresos – Costos = 3 X1 + 2 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Horas disponibles de carpintería: 1 X1 + 1 X2 ≤ 80 R2 = Horas disponibles de acabado: 2 X1 + 1 X2 ≤ 100 R3 = Demanda máxima de soldados: X1 ≤ 40

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.4.5. Financiera Solución administra fondos de empresas y clientes

pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Financiera Solución (FS) se le ha autorizado invertir 1.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo de bonos. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de bonos cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60,000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición de riesgo de FS, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad adquirida en el fondo de bonos tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado asociado con el fondo de acciones indica, simplemente, que se trata de la inversión más riesgosa.

El cliente de la financiera también ha especificado que se inviertan por lo menos 300,000 dólares en el fondo de bonos.

(37)

¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir la financiera para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera? ¿Cuál es el valor del riesgo total?

X1 = Cantidad, en unidades, que se debe adquirir del fondo de acciones X2 = Cantidad, en unidades, que se debe adquirir del fondo de bonos

Se debe minimizar el riesgo total de la inversión. Minimizar Z = 8 X1 + 3 X2

RESTRICCIONES:

R1 = Cantidad máxima a invertir de dólares: X1 + X2 ≤ 1200000 R2 = Rendimiento anual mínimo requerido: 5 X1 + 4 X2 ≥ 60000 R3 = Inversión mínima en bonos: 100 X2 ≥ 300000

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS

1.5.1. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de

manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

1.5.2. Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1

tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares.

(38)

¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima?

1.5.3. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una

persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por Kg son los que se indican en la siguiente tabla:

Proteínas Hidratos Grasas Costo (pts/kg)

A 2 6 1 600

B 1 1 3 400

a) ¿Cuántos Kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?

b) ¿Cuántos Kg de cada producto deberíamos comprar si el precio de A subiera a 1000 pts/Kg ?

1.5.4. En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B.

La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5g. Además se utiliza por lo menos 1g de B y se requiere 1 g de A. La sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo.

1.5.5. En una encuesta realizada por una televisión local se ha

detectado que un programa con 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta 30.000 espectadores, mientras que otro programa con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10.000 espectadores.

Para un determinado período, la dirección de la red decide dedicar 80 minutos de variedades y los anunciantes 6 minutos de publicidad. ¿Cuántas veces deberá aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores?

(39)

1.5.6. Una empresa tiene dos factorías A y B. En ellas fabrica un

determinado producto, a razón de 500 y 400 unidades por día respectivamente. El producto ha de ser distribuido posteriormente a tres centros I, II y III, que requieren, respectivamente, 200, 300 y 400 unidades. Los costos de transportar cada unidad del producto desde cada factoría a cada centro distribuidor son los indicados en la tabla siguiente:

I II III FABRICACIÓN

A 50 60 10 500 u.

B 25 40 20 400 u.

DEMANDA 200 300 400

¿De qué manera deben organizar el transporte a fin de que los gastos sean mínimos?

1.5.7. Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gráficas, de 16Mb y

32Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos máquinas que emplean 2 min. en fabricar las de 16Mb y 3 min. en fabricar las de 32Mb. La cadena de montaje sólo puede funcionar, como máximo, 300 minutos diarios.

Además cada máquina tiene una capacidad máxima de fabricación diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber más de 90 tarjetas de 16Mb ni más de 80 tarjetas de 32Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45$ y el de las segundas de 60$.

¿Cuántas tarjetas de 16Mb y 32Mb debe fabricar diariamente cada máquina para que el beneficio sea máximo?.

1.5.8. Una multinacional farmacéutica desea fabricar un compuesto

nutritivo a base de dos productos A y B. El producto A contiene 30% de proteínas, un 1% de grasas y un 10% de azúcares. El producto B contiene un 5% de proteínas, un 7% de grasas y un 10% de azúcares. El compuesto tiene que tener, al menos, 25g. de proteínas, 6g. de grasas y 30g. de azúcares.

El coste del producto A es de 0.6 pts/g. y el de B es de 0.2 pts/g. ¿Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea mínimo?

(40)

1.5.9. Una compañía minera tiene abiertas dos minas M1 y M2, desde

las cuales transporta carbón a dos grupos G1 y G2 de una central térmica. De la mina M1 salen diariamente para la central 800T de antracita y de la mina M2 300T.

De las 1100T, 500 tienen que ir hasta el grupo G1 y 600T hasta el grupo G2. El coste de cada tonelada transportada de M1 a G1 es de 60$, el de A1 a G2 de 80$, el de M2 a G1 de 40$ y el de M2 a G2 de 50$.

¿Cuántas toneladas hay que transportar desde cada mina hasta cada grupo para que el coste total sea mínimo?.

1.5.10. Una asociación agrícola tiene de dos parcelas: la parcela P1

tiene 400Ha de tierra utilizable y dispone de 500m3 de agua, mientras la parcela P2 tiene 900Ha de tierra utilizable y dispone de 1200m3 de agua. Los cultivos aconsejados son: remolacha y algodón. La remolacha consume 3m3 de agua por Ha y tiene un beneficio de 700$ por Ha y el algodón consume 2m3 de agua por Ha y tiene un beneficio de 500$ por Ha. Se ha establecido una cuota máxima por Ha para cada cultivo: 800 para la remolacha y 600 para el algodón, siendo el porcentaje total de terreno cultivado el mismo en cada parcela.

Plantear el problema de programación lineal.

1.5.11. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones C1

y C2 y quiere transportar 100T de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1 con capacidad para 15T y con un coste de 4000pts por viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5T y con un coste de 3000pts por viaje.

a) ¿Cuál es el número posible de camiones que puede usar (gráficamente)?

b) ¿Cuál es el número posible de camiones que debe usar para que el coste sea mínimo?

c) ¿Cuál es el valor de dicho coste?.

1.5.12. Un quiosco de prensa vende bolígrafos a 20pts y cuadernos a

30pts. Llevamos 240pts y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos por lo menos. ¿Cuál será el número máximo de piezas que podemos comprar?

(41)

1.5.13. Una compañía aérea dispone de dos tipos de aviones A1 y A2

para cubrir un determinado trayecto. El avión A1 debe hacer más veces el trayecto que el avión A2 pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A1 consume 900 litros de combustible y A2 700 litros. En cada viaje del avión A1 la empresa gana 30.000$ y 20.000$ por cada viaje del avión A2.

a) ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias?.

b) ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo?

1.5.14. Un joyero fabrica dos tipos de anillos: los anillos A1 precisan 1g.

de oro y 5g. de plata vendiéndolos a $40 cada uno. Para los anillos tipo A2 emplea 1,5g. de oro y 1g. de plata y los vende a $50. El joyero dispone en su taller de 750g. de cada metal.

¿Calcular cuántos anillos debe fabricar de cada clase para obtener el máximo beneficio?

1.5.15. Electrón S.A. produce 2 tipos de monitores para PC; de 17” y 15”

(conocidos como M17 y M15). Los pronósticos de mercado indican que será posible vender todos los monitores que se puedan producir para el siguiente mes.

Cada monitor pasa por un proceso en el departamento electrónico (DE) y otro en el departamento mecánico (DM) y además es sometido a verificación de calidad en el dpto. CC.

En el DE se disponen de 150 hrs. de operación, en el DM de 160 hrs.

Por acuerdo con los trabajadores deben utilizarse al menos el 90% del total de una meta de 150 hrs. en el departamento de verificación de calidad CC.

El monitor M17 tiene un costo de producción de $ 1,200 y se venderá a $ 1,700 y requiere de 10 hrs. de operación en el DE, 20 hrs en el DM y 30 hrs de control de calidad.

(42)

El monitor M15 tiene un costo de producción de $ 1,000 y se venderá a $ 1,400 y requiere de 15 hrs. de operación en el DE, 10 hrs en el DM y 10 hrs de control de calidad.

La gerencia de ventas por estrategia de ventas exige que se produzca al menos un monitor M15 por cada 2 monitores M17. E informa que se debe de cumplir con el pedido ya recibido de un cliente de por lo menos 4 monitores (en cualquier combinación M17 y M15).

1.5.16. La Smith Motors, Inc., vende automóviles normales y vagonetas.

La compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía cuenta con 900 horas de tiempo de taller disponible cada mes para la preparación de automóviles nuevos. Plantee un problema de PL para determinar cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades.

1.5.17. La empresa La Preferida, del Valle de Ica, cultiva brócoli y coliflor

en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades.

1.5.18. Los supervisores de la producción de una refinería deben

programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado, Con respecto a la producción, el proceso 1 genera 4,000 galones de gasolina y 1,750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso 2 genera 3,500 galones de gasolina y 2,250 galones de petróleo para uso

(43)

doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1,200 barriles de petróleo nacional y 1 ,800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28,000 galones de gasolina y 12,000 galones de petróleo para consumo doméstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1,000 y $1,100 para los procesos 1 y 2, respectivamente.

a. Plantee un modelo de programación lineal para determinar el

programa de producción que maximice la contribución total. Asegúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción.

b. El Ministerio de Energía y Minas puede emitir un dictamen

que limite la producción total de gasolina a no más de la mitad del petróleo que se fabrique para uso doméstico. ¿Qué restricción debe añadirse al modelo para plantear esta condición?

(44)

CAPÍTULO 2

PROGRAMACION LINEAL: FORMULACIÓN DE PROBLEMAS

2.1. EJERCICIOS FORMULADOS DE PROGRAMACION LINEAL Ejercicio 2.1.1: Problema de transporte

Un fabricante de jabón y detergentes tiene tres plantas, localizadas en Cincinnati, Denver y Atlanta. Los almacenes principales se encuentran en Nueva York, Boston, Chicago, Los Angeles y Dallas. En las tablas siguientes se proporcionan los requerimientos de ventas del próximo año para cada almacén y los costos de envío desde cada planta a cada almacén.

Requerimientos de los almacenes

Ubicación del almacén Ventas anuales (miles de cajas) Nueva York Boston Chicago Los Angeles Dallas Total 50 10 60 30 20 ---- 170 Costos de envío de 1000 cajas de jabón

De / A Nueva

York Boston Chicago

Los Angeles Dallas Cincinnati Denver Atlanta $ 120 210 150 $ 150 220 170 $ 80 150 150 $ 250 100 240 $ 180 110 200 La capacidad de producción para las plantas de Cincinnatti, Denver y Atlanta son 100 mil, 60 mil y 50 mil cajas, respectivamente.

La compañía quiere determinar un programa de entregas que minimice los costos totales de transporte de la compañía.

(45)

FORMULACIÓN:

Variables de Decisión:

Sea:

X11 = Número de cajas enviadas de la primera fábrica (Cincinnati) al

primer almacén (Nueva York), en miles de cajas. Análogamente:

X12, X13, X14, X15 = Número de cajas enviadas de la primera

fábrica (Cincinnati) al segundo, tercer, etc., almacén (Boston, Chicago, etcétera)

X21, X22, X23, X24, X25 = Número de cajas enviadas de la segunda

fábrica (Denver) al primer, segundo, etc., almacén.

X31, X32, X33, X34, X35 = Número de cajas enviadas de la tercera

fábrica (Atlanta) al primer, segundo, etc., almacén.

Función Objetivo:

El objetivo es minimizar costos de transporte.

Minimizar: Z = 120X11 + 150X12 + 80X13 + 250X14 + 180X15 +

210X21 + 220X22 + 150X23 + 100X24 + 110X25 +

150X31 + 170X32 + 150X33 + 240X34 + 200X35

El costo total es la suma de los productos, de cada fábrica a cada almacén, del costo de envío de la tabla multiplicado por el número de millares de cajas que se envían.

Restricciones:

Hay dos conjuntos de restricciones para este problema. El primero garantiza que se cumplirán las necesidades del almacén, entonces, para Nueva York:

X11 + X21 + X31 = 50

Lo anterior estipula que la suma de las cajas que se envían a Nueva York de la primera fábrica (Cincinnati), la segunda (Denver) y la tercera (Atlanta) debe ser 50 mil cajas, el requerimiento de ventas de Nueva York. Para los otros almacenes se tiene:

Boston: X12 + X22 + X32 = 10

(46)

Los Angeles: X14 + X24 + X34 = 30

Dallas: X15 + X25 + X35 = 20

El segundo conjunto de restricciones garantiza que las fábricas no excedan sus capacidades de producción. De esta manera, para la fábrica de Cincinnati:

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 100

Esta expresión indica que la cantidad que se envía de la primera fábrica al primer almacén, al segundo, al tercero, etc., no debe exceder la capacidad de 100,000 cajas de la fábrica.

En forma similar:

Denver: X21+ X22 + X23 + X24 + X25 < 60

Atlanta: X31 + X32+ X33 + X34 + X35 < 50

Por último, todas las X deben ser mayores o iguales que cero.

La solución de este problema de programación lineal ofrecerá el programa óptimo de envíos (es decir, el de menor costo) para la compañía. Es un ejemplo de un tipo especial de problema, conocido, de manera bastante natural, como el problema de transporte.

En resumen, la formulación completa de este problema es: Minimizar Z = 120X11 + 150X12 + 80X13 + 250X14 + 180X15 + 210X21 + 220X22 + 150X23 + 100X24 + 110X25 + 150X31 + 170X32 + 150X33 + 240X34 + 200X35 Sujeto a: X11 + X21 + X31 = 50 X12 + X22 + X32 = 10 Restricciones de X13 + X23 + X33 = 60 requerimientos de X14 + X24 + X34 = 30 almacenes X15 + X25 + X35 = 20 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 < 100 Capacidad X21 + X22 + X23 + X24 + X25 < 60 disponible de X31 + X32 + X33 + X34 + X35 < 50 fábricas Condición de no negatividad X11, X12, …., ……, X35 > 0

(47)

Ejercicio 2.1.2: Problema de mezcla

Se obtienen distintos tipos de gasolina mezclando ciertas gasolinas que se obtienen directamente de las operaciones de refinería. En un proceso de refinamiento real hay varias gasolinas para mezcla, varias gasolinas que son productos finales (por ejemplo, distintos grados de gasolina para aviación y para motores) y varias características de importancia para la composición química de los diversos grados de gasolina (por ejemplo, octanaje, presión de vapor, contenido de azufre, contenido de goma). En este ejemplo simplificando se supondrá que la refinería sólo tiene dos tipos de gasolina para mezcla, con las características que se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 2.1. Características de las gasolinas para mezcla Mezclas

disponibles Octanaje Presión de vapor

Cantidad disponible Gasolina para mezcla, tipo 1 Gasolina para mezcla, tipo 2 104 94 5 9 30 000 barriles 70 000 barriles Estas gasolinas para mezcla pueden combinarse para obtener dos productos finales: gasolina para aviación y gasolina para motores. En la siguiente tabla se presentan las características que requieren estos productos finales.

Tabla 2.2. Características de las gasolinas finales Productos

finales Octanaje mínimo vapor máxima Presión de máximas Ventas Precio de venta (por barril) Gasolina para aviación Gasolina para motores 102 96 6 8 20 000 barriles Cualquier cantidad $45.10 $32.40 FORMULACIÓN: Variables de Decisión: Sea:

X1 = Número de barriles de gasolina para la mezcla 1 utilizados en

gasolina para aviación

(48)

gasolina para motores

La función objetivo es maximizar Z = Ingresos totales: Maximizar: Z = 45.10 (X1 + X2) + 32.40 (X3 + X4)

= 45.10 X1 + 45.10 X2 + 32.40 X3 + 32.40 X4

Observe que X1 + X2 es la cantidad total de gasolina para aviación

mezclada (en barriles); como se vende a 45.10 dólares por barril, los ingresos por este producto son 45.10 (X1 + X2). De manera análoga, los

ingresos por la gasolina para motor son de 32.40 (X3 + X4) y la suma de

estos términos representa los ingresos totales.

Restricciones:

Hay varios tipos de restricciones que afectan la forma en que la refinería mezclará su gasolina. La primera es el nivel de ventas o tamaño de la demanda, el hecho de que no pueden venderse más de 20 000 barriles de gasolina para aviación. Lo anterior puede expresarse así:

X1 + X2 < 20 000

Otro conjunto de restricciones se refiere a las cantidades disponibles de las gasolinas para mezcla. Entonces:

X1 + X3 < 30 000

Observe que X1 + X3 representa la cantidad total de gasolina para

mezcla 1 (la suma de la cantidad utilizada en gasolina para aviación, X1,

y la cantidad usada en gasolina para motores, X3). La ecuación anterior

establece que la cantidad de gasolina para mezcla 1 no debe exceder la cantidad disponible, 30 000 barriles. Hay una restricción similar para la gasolina para la mezcla 2:

X2 + X4 < 70 000

Otro conjunto de restricciones tiene que ver con el octanaje de las gasolinas finales. Recuerde que la cantidad total de la gasolina para aviación es X1 + X2 y su octanaje estará definido por las cantidades

(49)

Octanaje 104 * X1 + 94 * X2

de la --- gasolina para aviación X1 + X2

Las cifras 104 y 94 provienen de la tabla 2.1 y son los octanajes de las gasolinas para mezcla 1 y 2, respectivamente. En la tabla 2.2 se observa que el octanaje de la gasolina para aviación debe ser por lo menos 102, por lo cual se tiene la siguiente restricción:

104 X1 + 94 X2

--- > 102 X1 + X2

Al acomodar la expresión para convertirla en restricción lineal, se tiene: 104 X1 + 94 X2 > 102 X1 + 102 X2 o

(104 X1 – 102 X1) + (94 X2 – 102 X2) > 0, ó

2 X1 – 8 X2 > 0

Análogamente, para la gasolina para motores, se tiene: 104 X3 + 94 X4 > 96(X3 + X4) ó

8 X3 – 2 X4 > 0

El último conjunto de restricciones tiene que ver con los requisitos de presión de vapor de las gasolinas finales. En el caso de la gasolina para aviación, la restricción es:

5 X1 + 9 X2 < 6(X1 + X2) ó

– X1 + 3X2 < 0

y el requisito de presión de vapor de la gasolina para motores es: 5 X3 + 9 X4 < 8(X3 + X4) ó

– 3X3 + X4 < 0

En resumen, la formulación total del modelo de programación lineal es: Maximizar Z = 45.10X1 + 45.10X2 + 32.40X3 + 32.40X4

Sujeto a: X1 + X2 < 20 000 Restricción de la demanda

X1 + X3 < 30 000 Restricciones de disponibilidad

X2 + X4 < 70 000 de gasolina para mezclas

2 X1 – 8 X2 > 0 Restricciones de

(50)

– X1 + 3X2 < 0 Restricciones de

– 3X3 + X4 < 0 presión de vapor

Condición de no negatividad

X1, X2, X3, X4 > 0

Ejercicio 2.1.3: Problema de programación de actividades

Una empresa tiene un programa estricto de compromisos de entrega de un producto para los próximos seis meses. El costo de producción varía por mes, por los cambios anticipados en costos de materiales. La capacidad de producción de la compañía es de 100 unidades por mes con tiempo normal y hasta 15 unidades adicionales por mes con tiempo extra.

La siguiente tabla muestra los requerimientos de entrega y los costos de producción por mes.

Requerimientos y costos Mes

1 2 3 4 5 6 Compromisos de entrega

(unidades) Costo por unidad en

tiempo normal Costo por unidad en

tiempo extra 95 $30 $35 85 30 35 110 32 37 115 32 37 90 31 36 105 32 37 El costo de almacenar en inventario una unidad que no se vende es de dos dólares por mes. El problema de la compañía es determinar el número de unidades que debe producir cada mes en tiempo normal y tiempo extra para cubrir los requerimientos con el menor costo. La empresa no tiene unidades disponibles al iniciar el mes 1 y no quiere que sobren unidades al terminar el mes 6.

FORMULACIÓN:

Sea:

X1, X2, X3, X4, X5, X6 = Número de unidades producidas en tiempo

normal cada mes

Y1, Y2, Y3, Y4 , Y5 , Y6 = Número de unidades producidas en tiempo

(51)

I1, I2, I3, I4, I5 , I6 = Número de unidades en almacén (no

vendidas) al final de cada mes

El objetivo es minimizar costos:

Minimizar: Z = 30X1 + 30X2 + 32X3 + 32X4 + 31X5 + 32X6 +

35Y1 + 35Y2 + 37Y3 + 36Y4 + 37Y5 + 37Y6 +

2I1 + 2I2 + 2I3 + 2I4 + 2I5 + 2I6

La primera parte de esta expresión es el costo de la producción en tiempo normal multiplicado por las cantidades producidas en tiempo normal cada mes. La segunda parte representa el costo de producción en tiempo extra multiplicado por las cantidades que se producen en tiempo extra cada mes. La tercera parte es el costo de almacenamiento de las unidades que no se vendan, multiplicados por el número de unidades no vendidas cada mes.

Restricciones:

Las restricciones de la producción en tiempo normal son:

Por último, se requiere un grupo de restricciones de enlace o de equilibrio para unir los períodos y asegurar que se cumplan los compromisos de entrega. Estas restricciones tienen la siguiente forma: (Fuentes de las unidades) = (Usos de las unidades) ó

Pr Pr

Inventario oducción en oducción en Compromisos Inventario Inicial tiempo normal tiempo extra de entrega final

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ + = +

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para el mes 1, esto es: 0 + X1 + Y1 = 95 + I1

puesto que no hay inventario inicial. Al acomodar la ecuación: X1 + Y1 – I1 = 95

Para el mes 2:

I1 + X2 + Y2 = 85 + I2, ó

I1 + X2 + Y2 - I2 = 85

Para los otros meses:

Mes 3: I2 + X3 + Y3 - I3 = 110

(52)

Mes 5: I4 + X5 + Y5 - I5 = 90

Mes 6: I5 + X6 + Y6 - I6 = 105

Puesto que el inventario final debe ser cero, la última restricción es: I6 = 0

En resumen, la formulación es:

Minimizar: Z = 30 X1 + 30 X2 + 32 X3 + 32 X4 + 31 X5 + 32 X6 + 35 Y1 + 35 Y2 + 37 Y3 + 36 Y4 + 37 Y5 + 37 Y6 + 2 I1 + 2 I2 + 2 I3 + 2 I4 + 2 I5 + 2 I6 Sujeto a: X1 + Y1 - I1 = 95 I1 + X2 + Y2 - I2 = 85 Restricciones I2 + X3 + Y3 - I3 = 110 de balance de I3 + X4 + Y4 - I4 = 115 inventario I4 + X5 + Y5 - I5 = 90 I5 + X6 + Y6 - I6 = 105 X1 < 100 X2 < 100 Restricciones X3 < 100 de producción X4 < 100 en tiempo normal X5 < 100 X6 < 100 Y1 < 15 Y2 < 15 Restricciones Y3 < 15 de producción Y4 < 15 en tiempo extra Y5 < 15 Y6 < 15

I6 = 0 Restricción de inventario final

Condición de no negatividad

X1, X2, X3, X4, X5, X6 > 0

Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6 > 0

I1, I2, I3, I4, I5, I6 > 0

Ejercicio 2.1.4: Problema de producción

Una empresa fabricante de tostadoras eléctricas, debe tomar una decisión sobre la producción de un nuevo modelo. La empresa tiene la posibilidad de emplear 3 técnicas alternativas de producción: manual, semi-automática y mediante el empleo de robots.

(53)

Los requerimientos de cada técnica se resumen en el siguiente cuadro: TECNICA DE ENSAMBLADO

Manual Semi-automática Robotizada

Mano de Obra Especializada 1 min 4 min 8 min

Mano de Obra no-especializada 40 min 30 min 20 min Tiempo de Taller de Ensamblado 3 min 2 min 4 min

La disponibilidad de recursos para este producto son los siguientes: 4500 minutos de mano de obra especializada, 36000 minutos de mano de obra no-especializada y 2700 minutos de tiempo disponible de taller de ensamblado.

El costo total de producción manual es de $7 por tostadora, de $8 por tostadora para la producción semi-automática, y de $8.5 por tostadora para la producción robotizada. Se necesita producir 1000 tostadoras. Calcular la cantidad de tostadoras que se debe producir con cada técnica de ensamblado.

FORMULACIÓN:

Xi: Cantidad de tostadoras ensambladas con la técnica i: (= M, S, R)

Se debe minimizar Costos

Minimizar Z = 7 XM + 8XS + 8.5XR Restricciones: Disponibilidad de Recursos: Ensamblado Manual: 1 XM + 4 XS + 8 XR < 4,500 Ensamblado Semiautomático: 40 XM + 30 XS + 20 XR < 36,000 Ensamblado Robotizado 3XM + 2XS + 4XR < 2,700 Condición de Producción: XM + XS + XR = 1000 Condición de No Negatividad: XM > 0 , XS > 0 , XR > 0

(54)

Ejercicio 2.1.5: Problema de asignación de personal

El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A.”, está analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este período de entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento (aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores regulares. Se paga $500 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $800 mensuales. La rotación de personal entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual. El gerente de personal debe decidir cuántas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida se da el número de meses-hombre necesarios. También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio. En cuanto al 1º de enero, hay 58 empleados regulares.

Mes Meses-hombre requeridos Mes Meses-hombre requeridos Enero 60 Abril 80 Febrero 50 Mayo 70 Marzo 60 Junio 100 FORMULACIÓN:

Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo en cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del mes anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre disponibles se puede expresar como sigue:

Variables de Decisión

Meses-hombre disponibles: Ri + 0.2Ai

en donde:

Ri = número de trabajadores regulares al principio del mes

Ai = número de aprendices contratados en el mes.

Función Objetivo

El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo de personal

Minimizar Z =