Aceros Arequipa produce un acero especial usado en la industria de la construcción. El departamento de ventas de Aceros Arequipa ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes cuatro meses. La empresa puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que Aceros Arequipa produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de
producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4
Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500
Costo de producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650 Costo de inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120
Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados.
El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para Aceros Arequipa que minimice los costos totales en los siguientes cuatro meses.
FORMULACIÓN: Variables de Decisión
Pi = Cantidad, en toneladas, de acero que se produce en el mes
i(=1,2,3,4).
Ii = Cantidad, en toneladas, de acero que se quedan en el inventario
al final del mes i(=1,2,3,4).
Ai = Aumento, en toneladas, de la producción de acero en el mes
i(=1,2,3,4)
Di = Disminución, en toneladas, de la producción de acero en el mes
i(=1,2,3,4)
Función Objetivo
Minimizar Z: costo de Producción + costo de Inventario + costo por Aumento de producción. + costo por Disminución de producción
7400*P1 + 7500*P2 + 7600*P3 + 7650* P4 +120*( I1 + I2 + I3 + I4) + 50*
Restricciones:
P0 = 1800 Producción del mes anterior al mes 1.
P1 < 4000 Cantidad máxima de producción en el mes 1
P2 < 4000 Cantidad máxima de producción en el mes 2
P3 < 4000 Cantidad máxima de producción en el mes 3
P4 < 4000 Cantidad máxima de producción en el mes 4
I0 = 1000 Inventario inicial del mes 1 es 1000 toneladas
I4>= 1500 Inventario para el mes 4 es al menos 1500 toneladas
Relación Contable
Mes Inventario Inicial + Producción – Inventario Final = Demanda 1 I0 + P1 - I1 = 2400
2 I1 + P2 - I2 = 2200
3 I2 + P3 - I3 = 2700
4 I3 + P4 - I4 = 2500
Relación de Aumento y Disminución de Producción Mes 1 P1 – P0 – A1 + D1 = 0
Mes 2 P2 – P1 – A2 + D2 = 0
Mes 3 P3 – P2 – A3 + D3 = 0
Mes 4 P4 – P3 – A4 + D4 = 0
El artificio para esta restricción es darle un valor positivo a Ai si la
diferencia de producción de un mes a otro es positivo o darle un valor positivo a Di si la diferencia es negativa. Los dos valores (Ai y Di) no
pueden ser positivas, uno de ellos es positivo y el otro cero, dado que la función objetivo determinará la más conveniente para minimizarlo.
Condición de No Negatividad
Ii > 0; para todo i(=1,2,3,4)
Pi > 0; para todo i(=1,2,3,4)
Ai > 0; para todo i(=1,2,3,4)
2.2. PROBLEMAS PROPUESTOS PARA FORMULAR DE PROGRAMACION LINEAL
2.2.1. PescaPerú S.A. desea determinar la mejor forma de cargar las
bodegas de su bolichera “Sol” que le proporcione la mejor utilidad posible. “Sol” tiene una capacidad de carga total de 300 tn, divididas en 3 bodegas. La bodega-1 está designada para carga de camarones, la bodega-2 para mariscos y la bodega-3 para pescado. Por disposiciones de mercado a lo más deben de cargarse 130 tn de pescado y la carga de mariscos mas la de camarones no debe superar las 170 tn.
Por medidas de seguridad, la carga en la bodega-2, no debe exceder a la tercera parte de la carga realizada en la bodega-3. La carga en la bodega-1, a lo más debe ser las dos quintas partes de lo cargado en la bodega-3.
Las utilidades por ton. de camarones es de $1000, por ton de mariscos $700 y por pescado $ 600.
2.2.2. Bata para su campaña escolar, va a fabricar 3 modelos de
calzado E1, E2 y E3. El proceso de manufactura del calzado hace que se requieran 2 operaciones de producción. Cada par de calzado de cualquier modelo requiere una hora de tiempo en la operación-1. En la operación-2 el modelo E1 requiere de 1 hora, el modelo E2 de 2 horas y el E3 de 2.5 horas.
Bata cuenta con mano de obra suficiente para operar hasta 300 hrs. de tiempo semanal en la operación-1 y hasta 360 hrs. para la operación-2. Se ha calculado una utilidad de S/.14, S/16 y S/17 por cada par de calzado E1, E2 y E3 respectivamente.
Se tiene un pronóstico de que la demanda del modelo E1 no será de mas de 500 pares por semana, y que l demanda combinada de los modelos E2 y E3 será como mínimo 300 pero no mas de 600. ¿Cuántos pares de calzado de cada modelo deben fabricarse para obtener la mayor utilidad?.
2.2.3. Dos aleaciones A y B se hacen de cuatro metales diferentes I, II,
Los cuatro metales se extraen de diferentes minerales cuyos constituyentes en porcentaje de estos metales, cantidad máxima disponible y costo por tonelada se tabulan como sigue.
Constituyentes (%) Mineral
Cantidad max.
(tons) I II III IV OTROS
Precio ($ / ton)
1 1000 20 10 30 30 10 30
2 2000 10 20 30 30 10 40
3 3000 5 5 70 20 0 50
Los precios de venta de las aleaciones A y B son 200 y 300 $/tonelada.
Formule el problema como un modelo de programación lineal eligiendo la función objetivo apropiada que hará el mejor uso de la información dada [Sugerencia: sea xijk la cantidad (en toneladas)
del metal i(i = I, II, III, IV) obtenida del mineral j(j = 1,2,3) y asignada en la aleación k-ésima (k = A, B).]
2.2.4. Una fábrica de zapatos ha pronosticado la demanda para los
siguientes seis meses: 5.000, 6.000, 5.000, 9.000, 6.000 y 5.000 pares de zapatos respectivamente. A principios del mes 1, la empresa tiene 13 empleados. Cada empleado de la fábrica utiliza 15 minutos para producir un par de zapatos y trabaja al mes 150 horas y hasta 40 horas de tiempo extra. Asimismo, cada empleado recibe un salario de 2.000 dólares al mes más 50 dólares por cada hora de tiempo extra que trabaje. A principios de cada mes la empresa puede contratar o despedir empleados. A la empresa le cuesta 1.500 dólares contratar un trabajador y 1.900 dólares despedir un empleado. El costo mensual de almacenamiento de cada par de zapatos es igual al 3% del costo de producir un par de zapatos en tiempo normal. La materia prima necesaria para producir un par de zapatos cuesta 10 dólares.
Aleación Especificaciones
A
A lo más 80% de I A lo más 30% de II Al menos 50% de IV B Entre 40% y 60% de II Al menos 30% de III
Formule un modelo de programación lineal, y resuélvalo utilizando el software SOLVER, de modo tal que minimice el costo de satisfacer la demanda de los siguientes seis meses.
2.2.5. La Corporación Financiera de Desarrollo (COFIDE) está
estudiando un plan inversiones para los próximos dos años. Actualmente, COFIDE tiene tres millones de dólares para invertir. COFIDE espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las inversiones previas. En la siguiente tabla se presentan los datos:
Ingresos de inversiones previas 6 MESES 12 MESES 18 MESES Ingreso $300,000 $400,000 $180,000
Hay tres proyectos de desarrollo (a los que llamaremos proyecto 1, proyecto 2 y proyecto 3 en los que COFIDE está planeando participar.
En la siguiente tabla se muestra el flujo de caja que se tendría si COFIDE participara a un nivel del 100% en el proyecto 1 (los números negativos son inversiones y los positivos son ingresos). Así, para participar en el proyecto 1 a un nivel de 100% COFIDE tendría que desembolsar de inmediato $1,000,000. A los seis meses erogaría otros $700,000, etc.
TABLA 1: Flujo de Caja del Proyecto 1