MA2112 Departamento de Matemáticas

Puras y Aplicadas.

Geometría de funciones (conjuntos de nivel etc.) y repaso de geometría analítica en R3 .

1. Halle una ecuación del plano que pasa por A(1,0,-2) y es perpendicular a la recta representada por : x+3=y-1=2z-4 .

2. Demuestre que la ecuación x+y+z=1 no representa una recta en R3. 3. Halle una representación paramétrica de la recta intersección de los planos de ecuaciones x+2y-z = 7 , 2x+3y-5z+1 = 0 .

4. Halle el coseno del ángulo que forman los vectores u =(1,2,1) , v = ( 2 , - 1 , 3 ) .

5. Halle en cada uno de los siguientes casos, el o los vectores que tienen las propiedades que se indican :

5.a) un vector unitario perpendicular a los vectores u ,v del ejercicio anterior;

5.b) dos vectores w1, w2 que tengan ambos módulo =1, sean

perpendiculares uno al otro y sean , los dos, paralelos al plano de ecuación x+y+z = 1 ;

5.c) un vector perpendicular a la recta representada por x = 2y = 3z-1 y paralelo al plano x+2y+z = 7 .

6. Halle un vector perpendicular al plano que pasa por los tres puntos A(1,0,1), B(2,2,0) , C(0,3,-1) ; luego halle una ecuación del plano . 7. Halle una ecuación del plano que pasa por el origen O(0,0,0) y es paralelo a las dos rectas r: x=y=3z , s :

⎩ ⎨

⎧x + 2 y - z = 0 2 x - y + 2 z = 1 . 8. Halle el módulo del vector AB siendo A(1,2,5) , B(-1,0,2). 9. Halle una ecuación de la esfera de centro C(1,1,2) y radio r=3 . 1 0 . Halle centro y radio de la esfera de ecuación

x2+y2+z2+2x-4y+z-1= 0.

11. Halle una ecuación del plano tangente a la esfera del ejercicio anterior en el punto Q(1,2,1).

Puras y Aplicadas.

1 2 . Halle una ecuación del plano que contiene a la recta r:

⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪

⎧_x=1+t

y = 2 - 3 t z = 3 + 2 t y pasa por el punto A(0,-2,3) .

13. Verifique que en R3 una ecuación F(x,y,z)=0 en la cual falte una de las tres variables x, y o z , representa un conjunto que es unión de rectas paralelas al eje que corresponde a la variable que falta.

Por ejemplo : la ecuación x2+ y2-1 = 0 representa un cilindro con rectas generatrices paralelas al eje z .

14. Verifique que la ecuación z=f(

√⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 ) representa a la superficie de revolución (alrededor del eje z) generada por rotación de la curva del plano Oxz cuya ecuación en el plano Oxz es z=f(x) . 1 5 . Usando el resultado del ejercicio anterior, halle una ecuación para

el cono de vértice V(0,0,1) , cuya intersección con el plano Oxz es la unión de las dos rectas de ecuaciones (en el plano Oxz) :

z=±

√⎯

3 x + 1 .

16. Una función F(x,y,z) se llama h o m o g é n e a si existe un número α tal que F(tx,ty,tz) = tαF(x,y,z). Por ejemplo x2+ y2-z2 es homogénea ya que : (tx)2+(ty)2-(tz)2 = t2( x2+ y2-z2) .

Verifique que si F(x,y,z) es homogénea, entonces la ecuación F(x,y,z)=0 representa un conjunto que es unión de rectas por el origen (es decir : un c o n o con vértice en el origen).

17. Para cada una de las siguientes funciones f : A→ R

(siendo A subconjunto de R2 ) dibuje varias curvas de nivel y luego trate de hacer un bosquejo de la gráfica de f en R3 .

En algunos casos particulares puede ser util recordar los resultados de los ejercicios 13, 14, 16.

Haremos el c o n v e n i o (usual) siguiente : cuando una función f : A→ R se define por medio de una fórmula, sin especificar cual es su dominio, el dominio A será el subconjunto de Rn formado por aquellas n-uplas (x1,x2,...) para las cuales tiene

sentido la fórmula.

Puras y Aplicadas. 17.2 f(x,y)=

√⎯⎯⎯⎯⎯

1-x2-y2 ; 17.3 f(x,y)= x2+ y2 ; 17.4 f(x,y) =

√⎯⎯⎯⎯

x2+y2 ; 17.5 f(x,y)= 2x2+ 3 y2 ; 17.6 f(x,y) = (x-1)2+(y-2)2 ; 17.7 f(x,y)=

√⎯⎯⎯

1-y2 ; 17.8 f(x,y) = 1-⎥x⎥-⎥y⎥ , A={(x,y)∈R2⎥ ⎥x⎥+⎥y⎥ ≤ 1} ;

1 8 . Halle en cada caso la p r o y e c c i ó n sobre el plano Oxy , de la curva intersección de las superficies cuyas ecuaciones se asignan :

18.1 z= x2+y2 , x+y+z = 1 ; 18.2 z=3(

√⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 ) , z=6 ; 18.3 z=

√⎯⎯⎯⎯⎯

4-x2-y2 , z=1 ; 18.4 z=

√⎯⎯⎯⎯⎯

4-x2-y2 , z=x+y+2 . Sugerencia : cada punto de la curva de intersección de las dos superficies dadas, se proyecta considerando una recta paralela al eje z que pase por el punto a proyectar e intersecando la misma recta con el plano Oxy;

recordando el ejercicio 13 , podemos observar que si de las dos ecuaciones dadas eliminamos la variable z , obtenemos la

ecuación de una superficie que pasa por la curva intersección y es un cilindro con generatrices paralelas al eje z , es decir : es justamente el cilindro proyectante. La intersección de este cilindro con el plano Oxy será la curva proyección pedida y la ecuación de esta curva en el plano Oxy es la misma que la ecuación del cilindro en R3.

A título de ejemplo, hallemos la ecuación de la proyección sobre el plano Oxy de la curva intersección de las dos superficies de ecuación z= x2+ y2 , z=1-2x+y.

Se tiene , eliminando z : x2+ y2 =1-2x+y es decir , la circunferencia de centro C(-1, 1/2 ) y radio r=3/2 .

Puras y Aplicadas.

1 9 . Para cada una de las siguientes afirmaciones diga si es cierta o falsa : 19.1 Dada una recta cualquiera, existe sólo un vector unitario paralelo

a la recta dada;

19.2 Dos curvas de nivel diferentes de una misma función f:R2→R siempre tienen intersección vacía;

19.3 Todas las curvas de nivel de una misma función f:R2→R estan en un mismo plano ;

19.4 Una función f:R2→R puede tener conjuntos de nivel formados exactamente por dos puntos;

19.5 Las dos rectas

⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_x=1+2t y = 2 - 6 t z = 3 + 4 t , ⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_x=-1-3t y = 8 + 9 t z = - 1 - 6 t

, tienen infinitos puntos de i n t e r s e c c i ó n ;

19.6 La recta intersección de los dos planos z=x+y+1 , z=x-y+3 tiene ecuación y=1 ;

19.7 Las dos rectas x=y=z , _⎩⎨⎧3y-z=1_x+2y-z=1, pertenecen a un mismo plano; 19.8 Los dos vectores u =(-1,3,-2) , v =( 5,0,-1) forman ángulo agudo; 19.9 El plano de ecuación ax+by+cz+d=0 y la recta representada por x-xo

l = y-y_o

m = z-z_o

n son perpendiculares si y sólo si al+bm+cn=0 ; 19.10 El conjunto representado en R3 por 2x2+ x y + x z + y2+ z2=0

contiene sólo un punto (el origen);

19.11 El conjunto representado en R3 por 2x2-xy-yz=0 es un cono con vértice en el origen;

19.12 El conjunto representado en R3 por y2-yz-z2=1 es un cilindro con generatrices paralelas al eje x ;

19.13 La ecuación y2+ z2-7x = 0 representa una superficie de revolución; 19.14 La circunferencia intersección de la esfera x2+ y2+ z2 = 4 con el

plano x-y-z=0 se proyecta sobre el plano Oxy en la elipse de ecuación : x2+y2 - xy = 2 ;

19.15 Existen funciones cuyas gráficas no son superficies de revolución pero todas sus curvas de nivel son círculos;

19.16 Existe exactamente un plano que pasa por un punto asignado y es perpendicular a dos rectas no paralelas asignadas;

19.17 Existe exactamente una recta que pasa por un punto asignado y es perpendicular a dos rectas no paralelas asignadas.

Respuestas : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 F V V V V F V F F V V V V V V F V .

Puras y Aplicadas.

Soluciones de algunos ejercicios. 1.- 2x + 2y + z = 0 .

2.- Basta hallar tres puntos, A, B, C, que pertenezcan al conjunto

representado por la ecuación dada y n o pertenezcan a una misma recta; por ejemplo A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1); como los vectores A B = (-1,1,0), A C = (-1,0,1) no son paralelos, es evidente que A, B, C no pertenecen a una misma recta.

3.- Una posible representación paramétrica es :

⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_x=-23+7t y = 1 5 - 3 t z = t ; observe que la respuesta n o es única; en la representación estan puestos en evidencia un pto. P_o(-23, 15, 0) de la recta y un vector paralelo, u = (7,-3,1) . Si se usara otro punto de la misma recta y otro vector paralelo, se obtendría otra representación, igualmente correcta. 4.- Si u =(u₁,u₂,u₃), v =(v₁,v₂,v₃) , se tiene :

u .v = ⎪u⎪.⎪v⎪.cos(φ) = u₁v₁+ u₂v₂+ u₃v₃, por lo tanto, despejando, se obtiene cos(φ) =(u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃)/⎪u⎪.⎪v⎪ =

√⎯⎯

2 1

1 4 . 5a.- el vector : w = uxv=

⎣⎢ ⎢⎢ ⎢⎡ ⎦⎥ ⎥⎥ ⎥⎤ i j k 1 2 1 2 - 1 3 = (7,-1,-5) es perpendicular a los dos vectores, u , v pero no tiene módulo =1 ; entonces obtendremos el vector _⎪w

w⎪ = 1

5

√⎯

3 (7,-1,-5) , que es paralelo al anterior y es unitario.

5b.- Para que un vector sea paralelo al plano dado, deberá ser perpendicular al vector (a,b,c)=(1,1,1) (que es un vector

perpendicular al plano); por ejemplo podemos considerar el vector (1, -1,0) ; para que otro vector v = ( v₁,v₂,v₃) sea paralelo al plano y perpendicular a (1,-1,0), deberá ser : v₁+ v₂+ v₃=0 , v₁-v₂ = 0 ;

por lo tanto obtenemos v₁= v₂, 2v₁+ v₃ = 0, así que podemos poner v =(1, 1, -2) ; lo único que falta, para obtener los vectores pedidos, es que tengan módulo =1 y esto se obteiene dividiendo cada vector por su módulo : ( 1

√⎯

2 , - 1

√⎯

2 , 0) , ( 1

√⎯

6 , 1

√⎯

6 , - 2

√⎯

6 ) . 5c.- (6,3,2)x(1,2,1) = (-1,-4,9) .

Puras y Aplicadas.

6.- A B = (1,2,-1), A C = (-1,3,-2) ; A B xAC = (-1,3 5 ) = vector perpendicular al plano;

(-1)(x-1)+3(y-0)+5(z-1) = 0 ; x-3y-5z +4 = 0.

7.- Vector paralelo a la primera recta : (3,3,1) ; vector paralelo a la segunda recta : (1,2,-1)x(2,-1,2) = (3,-4,-5) ;

vector perpendicular al plano buscado :

(3,-4,-5)x(3,3,1)=(11,-18,21); ecuación del plano: 11x-18y+21z=0. 8.- A B = (-2,-2,-3) ; ⎪A B⎪=

√⎯⎯

17 . 9.- (x-1)2+(y-1)2+(x-2)2= 9 ; x2+ y2+ z2-2x-2y-4z - 3 = 0. 10.- C(-1,2,-1 2) , r= 5 2 .

11.- El plano tangente buscado es perpendicular al vector C Q = (2,0,3 2) y al vector (4,0,3) ; la ecuación del plano es: 4x+3z-7 = 0.

12.- El plano buscado debe ser paralelo al vector director de la recta, (1,-3,2), y al vector A B =(1,4,0) [siendo B(1,2,3) un pto. de la recta] ; Entonces (a,b,c) = (1,4,0)x(1,-3,2) = (8,-2,-7) y la ecuación del plano es : 8x-2y-7z+17 = 0.

13.- Sea E={ (x,y,z)⎪ F(x,y,z)=0} el conjunto representado por la ecuación F(x,y,z)=0 . Si por ejemplo en la ecuación dada no aparece la

variable z, es decir, si F(x,y,z)= G(x,y) y si cierto punto P₁(x₁,y₁,z₁) pertence a E, entonces F(x₁,y₁,z₁)=G(x₁,y₁) = 0, luego cualquier otro punto , P'((x₁,y₁, z) , de la recta que pasa por P₁ y es paralela al eje z, también tiene coordenadas que cumplen con la ecuación

F(x,y,z)=G(x,y) = 0 [ _{ya que F(x1,y1,z)=G(x1,y1)}],y por lo tanto también pertenece a E.

14.- Los puntos de la circunferencia (que está en un plano paralelo al plano Oxy, por el punto P1(x1,y1,z1) ) de centro C(0,0,z₁) y radio r=

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(x₁)2+ ( y₁)2

son exáctamente todos los puntos de coordenadas (x,y,z₁), tales que

√⎯⎯⎯⎯

x2+y2 =

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(x₁)2+ ( y₁)2 ;

por lo tanto si E = { (x,y,z)⎪ f(

√⎯⎯⎯⎯

x2+y2 )=z}

y si las coordenadas del punto P₁(x₁,y₁,z₁) cumplen con la e c u a c i ó n

f(

√⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 )=z (es decir : f(

√⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

(x₁)2+ ( y₁)2 ) = z₁ ) entonces todos los puntos de la circunferencia que acabamos de mencionar, también cumplen con la misma ecuación.

Puras y Aplicadas.

1 5 . - z = ±

√⎯

3

√⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 +1 ; 3(x2+ y2)- (z-1)2= 0 .

16.- Toda vez que un punto P₁(x₁,y₁,z₁) pertenece al conjunto dado, se tiene F(x₁,y₁,z₁) = 0 , y si P'(tx₁,ty₁,tz₁) es cualquier punto de la recta que pasa por el origen y por P₁, se tiene :

F(tx₁,ty₁,tz₁) = tαF(x₁,y₁,z₁) = tα.0 = 0 , por lo cual el conjunto dado contiene todos los puntos de esa recta.

1 7 . 1 la ecuación x+y+z=1 representa un plano que pasa por los tres puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ; la gráfica de la función dada es el triángulo de vértices A,B,C;

17.2 la semiesfera superior (z ≥ 0) de la esfera de centro el origen y radio 1 ;

17.3.superficie de revolución obtenida girando la parábola de ecuación z = x2 en el plano Oxz ( y=0) alrededor del eje z. Esta superficie se l l a m a un "paraboloide";

17.4 parte superior del cono de vértice el origen ( y ecuación

x2+ y2-z2=0) obtenida girando la curva de ecuación z=⎪x⎪ en el plano oxz, alrededor del eje z.

1 7 . 5 Paraboloide (superficie parecida a la de 17.3) con secciones (paralelas al plano Oxy) elípticas.

17.6 El mismo paraboloide de 17.3, trasladado según el vector (1,2,0). 1 7 . 7 La ecuación z=

√⎯⎯⎯

1 - y2 es equivalente [es decir, tiene las mismas

soluciones, y por lo tanto representa al mismo conjunto] al sistema :

⎩⎪⎨

⎪⎧z ≥ 0

y2+ z2 = 1 . Como la ecuación y

2_{+ z}2 _{=1 representa un cilindro con}

generatrices paralelas al eje x, eje el eje x y radio 1, entonces la gráfica estudiada es la parte superior, (z ≥ 0), de tal cilindro ; 17.8 el conjunto representado en el plano Oxy por la inecuación :

⎪x⎪+⎪y⎪ ≤ 1 es el cuadrado de vértices A(1,0), B(0,1), C(-1,0),

D(0,-1) ; la gráfica estudiada es la superficie lateral de la pirámide de vértice (0,0,1) y base el cuadrado de vértices A,B,C,D.

18.1 1-x-y = x2+ y2 , circunferencia del plano Oxy, de centro (-1 2 ,-1 2 ), y radio

√⎯

3 2 ; 18.2 x2+ y2=4 ; 18.3 x2+ y2=3 ;

18.4 (x+y+2)2 = 4-x2-y2;...; x2+ y2+xy+2x+2y = 0; elipse de centro (- 2 3 ,

- 2 3 ) y ejes paralelos a las bisectrices de los cuadrantes.

Puras y Aplicadas.

Conjuntos abiertos,conjuntos cerrados; frontera de un conjunto.

En Rn se define la longitud o n o r m a o m ó d u l o de un vector x=(x1,x2,...,xn) :

(D e f . 0 ) ⎥⎥x⎥⎥ = (

∑

i = 1 n

( x_i)2 )1 / 2 .

La distancia entre dos puntos a = ( a₁,a₂,...,a_n) , b = ( b₁,b₂,...,b_n) de Rn se define como la norma del vector b -a = ( b₁-a₁,...,b_n-a_n) ;

la norma tiene las propiedades siguientes :

para todo vector x , todo vector y y todo número real h : i) ⎥⎥x⎥⎥ ≥ 0 ; ⎥⎥x⎥⎥ = 0 si y sólo si x = o ;

ii) ⎥⎥hx⎥⎥ =⎥h⎥ .⎥⎥x⎥⎥ ;

iii) ⎥⎥x+ y⎥⎥ ≤⎥⎥x⎥⎥ +⎥⎥y⎥⎥ ; (desigualdad triangular)

iv) ⎥x.y⎥ ≤⎥⎥x⎥⎥ .⎥⎥y⎥⎥ (desigualdad de Schwartz-Cauchy).

D e f 1 . Se llama Disco abierto ( o Bola abierta) de centro a y radio r , el c o n j u n t o :

D_r(a )={x∈Rn⎥ ⎥⎥x -a⎥⎥< r} (a veces este conjunto se indica con B(a ,r) ). Sea ahora E un subconjunto de Rn ;

Def. 2 : un punto a se dice interno al conjunto E si y sólo si existe un disco abierto de centro a y de radio d conveniente , completamente contenido en E ( Dd(a) ⊆ E ) ;

Def. 3 : un punto a se dice de frontera para el conjunto E si y sólo si a ni es interno para E ni es interno para el complemento cE de E . ( Equivalentemente : en t o d o disco de centro a siempre se hallan

puntos de E y puntos de cE).

Def. 4 : el conjunto de todos los puntos de frontera de E se llama la Frontera de E y se indica a veces con F(E) .

Def. 5 : un conjunto E se dice abierto , si y sólo si todos sus puntos son internos.

Puras y Aplicadas.

Def.6 : un conjunto E se dice cerrado si y sólo si su complemento es a b i e r t o .

E j e r c i c i o s .

1. Dado el cuadrado E={(x,y)∈R2⎥ 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 } , ponga en evidencia c o n detalle que : a) el punto A(0.1 , 0.9) es interno ; b) el punto B(0.5, 0) es de frontera ;

c) si O,P,Q,R son los cuatro vértices del cuadrado , la poligonal OPQRO es la frontera de E ;

d) E es cerrado.

2. Sea E={(x,y)∈R2⎥ x+y=1 } ; demuestre que : a) ningún punto de E es interno a E ;

b) F(E)=E ; c) E es cerrado.

3 . Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R2 : i) halle todos los puntos de frontera;

ii) diga, justificando, si es abierto y si es cerrado. 3.1 E={(x,y)∈R2⎥ x >1 } ; 3.2 E={(x,y)∈R2⎥ y=0 , x=1 n , n=1,2,3,...} ; 3.3 E={(x,y)∈R2⎥ x+y<0 } ; 3.4 E={(x,y)∈R2⎥ 0 < y <1 } ; 3.5 E={(x,y)∈R2⎥ x-y2=0 } ; 3.6 E={(x,y)∈R2⎥ y-x =1 , 0 ≤ x ≤1 } .

4 .Ponga en evidencia (usando las definiciones dadas) que : i) F(E)=F(cE) ;

ii) E es abierto si y sólo si los dos conjuntos E, F(E) tienen intersección vacía;

iii) E es cerrado si y sólo si E contiene a su frontera.

5 . Para cada una de las siguientes afirmaciones diga, justificando, si es cierta o falsa :

5.1 Todo conjunto que no es abierto es necesariamente cerrado; 5.2 Existen conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados;

5.3 Todo disco abierto es cerrado;

5.4 Todo intervalo [a,b] en R es un conjunto cerrado ;

5.5 Un disco abierto en R es lo mismo que un intervalo abierto; 5.6 Un disco abierto en R2 es lo mismo que una circunferencia ;

Puras y Aplicadas.

5.7 La frontera de una circunferencia en R2 es la circunferencia misma; 5.8 Si un subconjunto E de R2 contiene sólo un número finito de

puntos, entonces E es cerrado;

5.9 El conjunto de los enteros Z={...,-2,-1,0,1,2,...} es un conjunto abierto en R;

5.10 Un subconjunto de R2 nunca coincide con su frontera .

Respuesta : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F V F V V F V V F F

6. Verifique que el conjunto E= {x∈Rn⎥ 0< ⎥⎥x-a⎥⎥< δ} es igual al disco D_δ(a ) quitándole su centro a .

7. Enuncie la definición de lím

x_→a(f(x)) (como se enunció en MA1111)

en términos de discos abiertos.

8 . Demuestre que en R2 se tiene , dado x =(x,y) : ⎥x⎥ ≤ ⎥⎥x⎥⎥ ≤ ⎥x⎥ +⎥y⎥ , ⎥y⎥ ≤ ⎥⎥x⎥⎥ .

Límites y continuidad.

9. Diga cual o cuales de las siguientes definiciones de "l í m

x→a(f(x )) = L" son correctas y cuales no (justifique, en el caso de no ser correctas) : 9.1 ) Para todo número real positivo

ε

existe un número real positivo

δ

tal que si 0 < ⎥⎥x -a⎥⎥<

δ

, x∈Dom(f) entonces necesariamente 0 < ⎥⎥f(x )-f(a )⎥⎥<

ε

.

9 . 2 ) Para todo número real positivo

ε

existe un número real positivo

δ

tal que si 0 < ⎥⎥x-a⎥⎥<

δ

, x∈Dom(f) entonces necesariamente ⎥⎥f(x )-f(a )⎥⎥<

ε

.

9 . 3 ) Para todo número real positivo

ε

existe un número real positivo

δ

tal que si 0 < ⎥⎥x-a⎥⎥<

δ

, x∈Dom(f) entonces necesariamente 0 < ⎥⎥f(x)-L⎥⎥<

ε

.

9 . 4 ) Para todo número real positivo

ε

existe un número real positivo

δ

tal que si 0 < ⎥⎥x-a⎥⎥<

δ

, x∈Dom(f) entonces necesariamente ⎥⎥f(x)-L⎥⎥<

ε

.

9 . 5 ) Para todo número real positivo

ε

existe un número real

positivo

δ

tal que si ⎥⎥x -a⎥⎥<

δ

, x∈Dom(f) entonces necesariamente

⎥⎥f(x)-L⎥⎥<

ε

.

[la única correcta es la 9.4; la 9.2 es la def. de función continua en a ]

10.- En cada uno de los siguientes casos, diga, justificando, si existe el límite (y en el caso de que exista, hállelo ) : "l í m

Puras y Aplicadas. 10.1 x = (x,y) , a = (0, 0) , f(x )= sen(

√⎯⎯⎯⎯

x 2_+y2₎

√⎯⎯⎯⎯

x2+y2 ; 10.2 x = (x,y) , a = (0, 1) , f(x )= sen(

√⎯⎯⎯⎯

x 2_+y2₎

√⎯⎯⎯⎯

x2+y2 ; 10.3 x = (x,y) , a = (0, 0) , f(x )= ⎩⎪⎨ ⎪⎧ _{x y . l n ( x y ) s i x y}

_>

₀ x + y s i x y

≤

0 ; 10.4 x = (x,y) , a = (0, 0) , f(x )= ⎩⎪⎨ ⎪⎧ _{x . l n ( y ) s i x y}

_>

₀ x + y s i x y

≤

0 ; 10.5 x = (x,y) , a = (0, 0) , f(x )= ⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ _y x

√⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 si x≠0 0 s i x = 0 ; 10.6 x = (x,y) , a = (1, 2) , f(x )=x + 2 y + x 3 x+y+7 ; 10.7 x = (x,y) , a = (1, 2) , f(x )= ⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_x2_+y2_{- 5} x - 1 s i x≠1 6 s i x = 1 ; 10.8 x = (x,y) , a = (1, 2) , f(x ) = ⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_x2_+xy+2x-y-3 x - 1 s i x≠1 6 s i x = 1 .

11.- Para cada una de las funciones del ejercicio anterior diga, justificando, si es posible definirla en x = a de manera que resulte continua en ese punto.

[ no es posible en los casos 10.4 , 10.5, 10.7 ]

12.- Demuestre con detalle que :

12.1 toda función constante f : Rn→R , f(x )=k es continua; 12.2 la función p₂ : R3→R , p₂(x )=p₂(x,y,z)=y es continua;

12.3 dadas f: R2→R3 , g: R2→R3 continuas, la función "producto escalar" h = f.g: R2→R también es continua.

Puras y Aplicadas.

Soluciones de algunos ejercicios.

3 . - observación : los únicos subconjuntos de Rn _{que son a la vez}

abiertos y cerrados son aquellos cuya frontera es vacía, es decir, el conjunto vacío y Rn _{mismo; por lo tanto si alguno de los conjuntos}

estudiados no es uno de ests dos y resulta ser abierto, no

mencionaremos explícitamente que no es cerrado y si es cerrado no mencionaremos que no es abierto.

3 . 1 es conjunto abierto; F(E)= recta de ecuación x=1;

3 . 2 F ( E ) = E∪{(0,0)} ; no es abiero porque, por ejemplo, el pto.(0,1) es un pto. del conjunto que no es interno; no es cerrado porque, por ejemplo, el pto. (0,0) es un pto. del complemento de E que no es interno al complemento (luego el complemento no es abierto, luego E no es cerrado);

3 . 3 es abierto y su frontera es la recta de ecuación x+y=0;

3 . 4 es abierto y su frontera es la unión de las dos rectas de ecuaciones y=0, y=1 ;

3 . 5 es cerrado y coincide con su frontera : F(E)=E; 3 . 6 es cerrado y coincide con su frontera.

7.- se dice que l í m

x→a(f(x )) = L si y sólo si, dado un disco, Dε(L) , de radio (positivo) arbitrario,

ε

, y centro L, , existe un disco, D_δ(a ), con centro en a (y conveniente radio positivo, δ) tal que si

x∈D_δ(a ) y x ≠ α (y, por supuesto x∈Df=dominio de f), entonces

f(x)∈D_ε(L) .

8 . - ⎪y⎪=

√⎯⎯

y2 _≤

√⎯⎯⎯⎯⎯

_x2_{+ y}2 _{= ⎪x⎪ ; análogamente se demuestra que}

⎪x⎪≤ ⎪x⎪ ;

como para números reales positivos se tiene :

a ≤ b si y sólo si a2 ≤ b2 ,para justificar la desigualdad :

⎪x⎪≤ ⎪x⎪+⎪y⎪ , basta verificar que x2+y2= ⎪x⎪2 ≤ ( ⎪x⎪+⎪y⎪)2 ; ( ⎪x⎪+⎪y⎪)2 = x2+y2+2⎪x⎪.⎪y⎪ ≥ x2+y2 .

1 0 . 1 Poniendo α=

√⎯⎯⎯⎯⎯

x2+ y2 = ⎪x⎪ y recordando el limite notable l í m_α→

0(

sen(α)

α )= 1 , resulta que el línite existe y es =1 ;

1 0 . 2 Por propiedades de límites y funciones continuas, el leimite existe y es igual a sen(1) [ = seno del ángulo que mide un radián]

Puras y Aplicadas.

1 0 . 3 Recordando, entre otras cosas, que l í m

u→o(u.ln(u))= 0 se puede

verificar que este límite existe y es igual a 0;

1 0 . 4 Observemos que acercándonos al origen, en el primer cuadrante, a lo largo de la curva de ecuación y=e(-1/x) el valor de la función tiende hacia l í m

x→o(x.(-

1

x) = -1 , mientras que acercándonos a lo largo de uno de los ejes, tiende hacia cero. Por lo tanto se concluye que este límite no existe.

1 0 . 5 Si nos acercamos al origen a lo largo del eje y. el límite dá cero, mientras que si nos acercamos a lo largo de la parábola de ecuación x=y2 _{, tenemos : f(x,y)= f(y}2_{,y) =}

√⎯⎯⎯⎯⎯

y4+y2

y =

⎪y⎪

y

√⎯⎯⎯⎯

y2+1 así que

tendríamos límite =1 si nos acercamos desde el primer cuadrante, =-1 si nos acercamos desde el cuarto cuadrante.

Se concluye que el límite no existe;

1 0 . 6 por teoremas sobre límites y funciones continuas, el límite existe y es igual a 3/5 ;

1 0 . 7 Este límite se puede analizar en forma más intuitiva, si , poniendo u= x-1 , v= y-2, observamos que :

l í m

(x,y)→(1,2)(f(x,y)) = (u,v)l í m→(0,0)(u+2+

v

u (v+4)) ,(con u≠0) ; con esta fórmula más sencilla en u, v observamos que acercándonos con (u,v) al origen a lo largo de la bisectriz u=v. el límite dá 6 ,

mientras que acercándonos a lo largo del eje u, el límite dá 2. Así que el límite dado no existe.

1 0 . 8 Con el mismo método del ejercicio anterior, vemos que la fórmula de la función en u,v resulta ser : u

2_{+ 6 u + u v}

u = u+6+v ; esta

simplificación era menos facil de averiguar quedándonos con las variable x, y...; como l í m

(u,v)→(0,0)(u+v+6) = 6, se averigua esta vez

Puras y Aplicadas.

Ejercicios varios sobre funciones continuas y derivadas. 13.-Para cada una de las siguientes afirmaciones,diga , justificando, si es

verdadera o falsa.

13.1.La función f: R2→_{R definida por : f(x)=}

⎩ ⎨

⎧ x2_{+ x y + 3 s i y < 1}

y2_{+ x y + 3 s i y 1}

es continua;

13.2.Si una función f: R2→_{R tiene derivadas parciales en a e n t o n c e s}

f es continua en a ;

13.3.Si una función f: R2_{→R tiene derivadas parciales continuas en}

todo R2 _{entonces f es continua y diferenciable en todo R}2 _;

13.4.Si una función f: R2→_{R es diferenciable en todo R}2 _entonces

su derivadas parciales son necesariamente continuas en todo R2 _;

13.5. La función f: R2→_{R definida por : f(x)=}

⎩⎪⎨

⎪⎧ 5 x + 4 y + 2 s i x y = 0 2 x + 3 y s i x y≠0 tiene en el origen derivadas parciales : fx(0,0)=5 , fy(0,0)=4 ;

13.6. El plano tangente en A(0,0,2) a la superficie de ecuación z=f(x,y)=función definida en 13.5, es el plano de ecuación 5x+4y-z+2=0 ;

13.7. Una función f: R3→_{R puede ser diferenciable en cierto punto}

a y al mismo tiempo puede ser que no exista alguna derivada direccional f(a ;v ) ;

13.8. La función f: R2_{→R definida por : f(x) =}3

√⎯⎯⎯⎯⎯

_x3_{+ y}3 _tiene

derivada direccional f(o ,v ) en el origen o =(0,0) respecto a todo vector v = ( v1,v2) ; en particular para los vectores u =(1,0),

v =(0,1), w =(2,3) se tiene :

f(o ,u )=1 = f(o ,v ) , f(o ,w ) =3

√⎯⎯

35 ; también fx(0,0)=fy(0,0)= 1 ;

13.9.

∇

f(0,0).(2,3)=5 (= producto escalar del gradiente de f en o por w =(2,3) ) ;

13.10. La función f: R2_{→R definida por : f(x) =}3

√⎯⎯⎯⎯⎯

_x3_+y3 _es

diferenciable en o = ( 0 , 0 ) ;

13.11. El plano tangente a la superficie de ecuación z=3

√⎯⎯⎯⎯⎯

x3_+y3 _en

Puras y Aplicadas.

13.12. La curva intersección de las dos superficies de ecuaciones z =3

√⎯⎯⎯⎯⎯

x3_{+ y}3 _{, y=x}2 _{tiene vector tangente en el origen T=( 1,0,1);} [Sugerencia : represente parametricamente la curva tomando x=t como parámetro y recuerde que la curva representada por OP=(x(t),y(t),z(t)) tiene por vector tangente en el punto OP(t) el vector (x'(t),y'(t),z'(t))] ; Respuestas : # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F F V F V F F V V F F V

Para cada una de las siguientes funciones (ejercicios 14 hasta 17 ) diga ,

justificando , en cuales puntos de su dominio es continua, en cuales existen las derivadas parciales y en cuales es diferenciable.

1 4 .a) f(x)= ⎩ ⎨ ⎧ x2_{+ 2 x + y + 1 s i x < 0} x y + 3 x + y + 1 s i x 0 ; 1 4 .b) f(x)= ⎩⎨ ⎧ x2_{+ 2 x + y + 1 s i y < 0} x y + 3 x + y + 1 s i y 0 ; 1 5 .a) f(x)= _⎩⎨⎧ x 3_{+ y s i x < 0} x2_{+ y s i x 0} ;1 5 .b) f(x)= _⎩⎨ ⎧ 5 x + 2 y s i x < 0 5 x + 3 y s i x 0 ; 1 6 . f(x)=

⎩⎪

⎨⎪

⎧

_{(x2+ y2) s e n (} 1

√⎯⎯⎯⎯⎯

x2_+y2) s i x 2_{+ y}2≠₀ 0 s i x2 _{+ y} 2 _{= 0} ; 1 7 . f(x)= ⎩⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ x y ( y 2_{- x}2 x2_{+ y}2 ) s i x2+ y2≠0 0 s i x2_{+ y} 2_{= 0} .

1 8 . Dada la superficie de ecuación z=2x2_{+ 3 y}3 _{halle la ecuación de su}

plano tangente en el punto A(2,-1, 5) .

1 9 . Halle los dos puntos de la superficie del ejercicio anterior tal que el plano tangente sea paralelo al plano 2x-3y+z=0 ;

2 0 .Halle, si posible, un punto de la superficie del ejercicio anterior tal que el plano tangente sea perpendicular a la recta intersección

de los planos x=y, x+y=z .

2 1 . De cierta función diferenciable f : R3→_{R se conoce que las derivadas}

direccionales en el punto a =(1,0,2) respecto a los vectores u = ( 1 , 0 , 1 ) , v =(1,2,1) , w =(0,1,1) son , respectivamente : f(a ,u )= 0, f(a ,v )= -3, f(a ,w )= 2 .

i) Halle el gradiente de f en a ;

ii) halle la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación f(x,y,z)=f(1,0,2) en el punto (1,0,2) ;

iii) halle la derivada direccional f(a ,h ) siendo h =(2,1,3) .

Puras y Aplicadas.

E = { (x,y,z)⎥ f(x,y,z)>0} es abierto ;

23. Demuestre que el conjunto E = {(x,y,z)⎥ 2x-3y+z > 0 } es abierto} [Sugerencia : use el resultado del ejercicio anterior ].

2 4 . Halle la frontera del dominio de las funciones definidas por las siguientes fórmulas (recuerde que el dominio queda determinado por la condición de que la fórmula dé por resultado un número real) :

i) 1

2x2_+3y3 , ii) log(x2+ y2) , iii)

1

log(x2_{+ y}2₎ ,

iv) 3

√⎯⎯⎯

x-y , v) 4

√⎯⎯⎯

x-y , vi) f(x,y,z)=2x-3y+z : A→R , A⊆R3 _;

(las primeras cinco fórmulas son de funciones cuyo dominio es subconjunto de R2_{) .}

Soluciones de algunos de los ejercicios anteriores (desde el n.14 hasta n.24)

14a) es continua en todo R2 _{; fy existe en todo R}2 _;

fx existe para x≠0 y en (0,-1) ; f es diferenciable si x≠0 y si (x,y)=(0,-1) .

f no es diferenciable, ni existe fx , en todos los puntos del eje y, distintos del punto (0,-1).

14b) Es continua fuera del eje x , además en los puntos (0,0), (1,0) del eje x ;

fx existe en todo R2 _{; fy existe fuera del eje x, además en (0,0);}

f es diferenciable fuera del eje x; (no es diferenciable en ningún punto del eje x).

15a) Es continua y diferenciable en todo R2 _{(y por lo tanto las derivadas}

parciales fx ,fy también existen en todo R2 _.

15b) las derivadas parciales fx ,fy existen en todo R2 _{, sin embargo la}

función es continua sólo en el origen y fuera del eje y ; no es continua en todos los ptos del eje y, distintos del origen;

es diferenciable fuera del eje y; no es diferenciable en el origen. 16. Es continua y diferenciable en todo R2 _{; sus derivadas parciales}

existen en todo R2_{, pero no son continuas en el origen.}

17. Es continua y diferenciable en todo R2_;

esta función tiene la propiedad interesante de tener en el origen derivadas segundas mixtas distintas : fxy(0,0)=1 ≠fyx(0,0)=-1 . 1 8 . - 8x+9y-z-2 = 0 .

Puras y Aplicadas. 1 9 . - A(-1 2 ,

√⎯

3 3 , 1 2 +

√⎯

3 3 ) , B(-1 2 ,

-√⎯

3 3 , 1 2 -

√⎯

3 3 ) .

20.- Si existiese un tal punto, (a,b,c) debería cumplirse que : (4a, 9b2_{, -1)=t(1,1,2) lo cual no es posible .}

2 1 . - Si ∇f(1,0,2)=(a,b,c) entonces, como f es diferenciable, tenemos : 0 = f ( a ,u )= (a,b,c).u = (a,b,c).(1,0,1)= a+c ; y análogamente : -3 = f(a ,v )= (a,b,c).v = (a,b,c).(1,2,1)= a+2b+c ;

2 = f(a ,w )= (a,b,c).v = (a,b,c).(0,1,1)= b+c ; resolviendo entonces el sistema :

⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧_{a + c = 0} a + 2 b + c = - 3 b + c = 2 obtenemos : ∇f(1,0,2)= (-7,-3,7)/2 ;

la ecuación del plano tangente entonces es : 7x+3y-7z+7=0 ; la derivada direccional f(a ,h ), con h = (2,1,3) se obtiene con el producto escalar : ∇f.(2,1,3) = ((-7,-3,7)/2 )(2,1,3) = 2.

2 2 . - Verifiquemos que todo punto a∈E es interno a E .

Si a∈E entonces f(a )>0 ; apliquemos la definición de continuidad en el pto a , con

ε

= f(a ) ;

"dado

ε

= f(a), existe

δ

>0 tal que ⎪x-a⎪<

δ

⇒

⇒

⇒

⇒

⎪f(x)-f(a)⎪<

ε

" ; escribiendo la desigualdad ⎪f(x )-f(a )⎪<

ε

en forma equivalente, sin usar valor absoluto, tenemos :

-

ε

< f(x )-f(a ) <

ε

, y como

ε

= f(a ) , sigue 0 < f(x ) < 2

ε ,

por lo cual resulta que x∈E ; así que todos los puntos del disco abierto D_δ(a ) pertenecen a E; por lo tanto a es punto interno de E .

2 3 . - Como f(x,y,z)= 2x-3y+z es función continua, sigue (por el resultado del ejercicio anterior), que E es abierto.

2 4 . - Indicando con E el dominio de la función considerada y con F(E) su frontera, tenemos :

i) F(E)={(x,y)∈R2_{⎪ 2x}2_+3y3_{=0} ;}

ii) F(E)={(0,0)} (sólo el origen);

iii) F(E)={(x,y)∈R2⎪ _x2_+y2_-1=0}∪_{{(0,0)} (es decir : el origen y todos}

los ptos.de la circunferencia de centro el origen y radio =1); iv)F(E)= ∅ ; v) F(E)={(x,y)∈R2_{⎪ x-y=0} ; vi)F(E)= ∅ .}