ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON BASES MULTIPLICATIVAS

(1)

U

NIVERSIDAD DE

C ´

ADIZ

F

ACULTAD DE

C

IENCIAS

PROGRAMA DE DOCTORADO ENMATEMATICAS´

E

STRUCTURAS ALGEBRAICAS CON

B

ASES

M

ULTIPLICATIVAS

Tesis presentada por

Francisco Javier Navarro Izquierdo

Dirigida por: Dr. D. Antonio Jes´us Calder´on Mart´ın

(2)

(3)

Abstract

Let A be an algebra of arbitrary dimension, over an arbitrary base field K and in which any identity on the product is not supposed. A basis B = {ei}i∈I

of A is called multiplicative if for any i, j ∈ I we have that eiej ∈ Kek for

some k ∈ I. We show that if A admits a multiplicative basis then it decom-poses as the direct sum A = L

k

Ik of well-described ideals admitting each

one a multiplicative basis. Also the minimality of A is characterized in terms of the multiplicative basis and it is shown that, under a mild condition, the above direct sum is by means of the family of its minimal ideals admitting a multiplicative basis.

We will show that, the results above, can be extended to triple systems, n-´algebras and modules over linear spaces frameworks. Furthermore, the results obtained for modules over arbitrary linear spaces, can be applied to modules over arbitrary algebras and arbitrary algebraic pairs.

Finally, we will fix an infinite set I and consider the associative matrix algebra MI(K) where K is a base field with char(K) 6= 2. For any couple of bijective

maps σ, ν : I → I, such that σν = νσ and σ2 = ν2, we introduce a linear subspace Ωλ_σ,νofMI(K). We endow it with a structure of (non-associative)

al-gebra for a certain bilinear product, and obtain a wide class of non-associative algebras containing, in particular, the Lie and Jordan algebras Lie(MI(K), t)

(4)

(5)

(6)

(7)

Resumen

Consideremos un ´algebra arbitraria A, sobre un cuerpo base K y sobre la que no suponemos ning´un tipo de identidad en su producto (asociatividad, Lie, etc.). Una base B = {ei}i∈I de A se dice multiplicativa si para

cualesquie-ra i, j ∈ I se tiene que eiej ∈ Kek para alg´un k ∈ I. Mostraremos que si

A admite una base multiplicativa entonces descompone como la suma directa A=L

k

Ikde ciertos ideales admitiendo cada uno de ellos una base

multipli-cativa. Además, caracterizaremos la minimalidad de A en términos de la base multiplicativa y mostraremos que bajo ciertas condiciones, la anterior suma directa es a través de la familia de los ideales minimales que admiten una base multiplicativa.

Mostraremos que los resultados anteriores pueden extenderse al marco de sistemas triples, n-álgebras y módulos sobre espacios vectoriales arbitrarios. Además, los resultados obtenidos para módulos sobre espacios vectoriales, pueden ser aplicados a módulos sobre álgebras y pares algebraicos.

Finalmente, fijaremos un conjunto infinito I y consideraremos el ´algebra de matrices asociativaMI(K) donde K es un cuerpo base con char(K) 6= 2.

Pa-ra cualquier par de aplicaciones biyectivas σ, ν : I → I tales que σν = νσ y σ2_{= ν}2_{, introduciremos el espacio vectorial Ω}λ

σ,νdeMI(K). Lo dotaremos de

una estructura de álgebra (no asociativa) para un cierto producto bilineal, obte-niendo una amplia clase de álgebras no asociativas que contiene, en particular, las álgebras de Lie y de Jordan Lie(MI(K), t) y Jor(MI(K), t)

(8)

(9)

Agradecimientos

Me gustar´ıa que estas l´ıneas sirvieran para expresar mi más profundo y sincero agradecimiento a todas aquellas personas que, de algún modo, me han apoyado en la realización de esta tesis.

Para empezar, agradecer de todo corazón a mi director, el Dr. Antonio Jesús Calderón Mart´ın, que aceptara desempeñar dicho papel, as´ı como la forma en que lo ha hecho. Por la confianza que ha depositado en m´ı en todo momento y por transmitirme su saber y experiencia. Por todo ello lo considero mi mentor y, por supuesto, un referente.

Quisiera hacer extensiva mi gratitud a aquellos profesores y compañeros que me han apoyado en toda mi trayectoria académica. En especial, a mi profesor y compañero D. Luis Manzano Ram´ırez, “un viajero que viene de Ubrique”. A mis compañeros y amigos, Antonio, Isa´ıas y Juan, con quienes he pasado grandes momentos inolvidables tanto en el estudio como fuera de él, y que permanecerán imborrables en mi memoria. A Guille, quien en todo momento ha estado presente, por sus consejos y su amistad. A Charito, con quien he compartido la mayor parte del tiempo a lo largo de la carrera. Y, por supuesto, a mis amigos Benito y Agust´ın, cuyo apoyo nunca me ha faltado.

Agradecer a Inma su paciencia, comprensi´on y apoyo durante todo este tiem-po. Por escucharme y permitirme compartir con ella mis penas, preocupacio-nes y alegr´ıas, a´un estando lejos.

Un agradecimiento muy especial merecen mis padres Javier y Pilar, no sólo por haber estado a mi lado durante todo este tiempo en los buenos y malos momentos, sino también por todo aquello que me han inculcado. Y, cómo no, a mi hermana Alba, a quien nunca le falta una palabra para animarme a seguir haciendo lo que hago. Gracias a ellos he podido llegar hasta aqu´ı.

(10)

que supiese transmitirme su amor por la enseñanza, alimentase mi curiosidad y me animase a no dejar de aprender. Desde entonces ha supuesto, supone y supondrá una fuente de inspiración.

A todos ellos, muchas gracias.

Francisco J. Navarro Izquierdo

(11)

´Indice

1 Introducci´on 1

2 Algebras arbitrarias con bases multiplicativas´ 7

2.1 Introducci´on y definiciones previas . . . 7

2.2 Conexiones en el conjunto de ´ındices. Descomposiciones . . . 16

2.3 Componentes minimales . . . 27

3 Sistemas triples con bases multiplicativas 37

4 n- ´Algebras con bases multiplicativas 55

5 M´odulos sobre espacios vectoriales con bases multiplicativas 73

5.1 Definiciones previas y ejemplos . . . 73

(12)

5.4 Algunas aplicaciones . . . 86

5.4.1 Algebras arbitrarias con bases multiplicativas revisitadas . . . 86´

5.4.2 M´odulos sobre ´algebras arbitrarias con bases multiplicativas . . . . 87

5.4.3 Pares algebraicos con bases multiplicativas . . . 90

6 Una clase de ´algebras de matrices simples 95 6.1 Introducci´on y definiciones previas . . . 95

6.2 Bases est´andar de (Ωλ_σ,ν, h·, ·i) . . . 102

6.3 Simplicidad de cualquier (Ω−_σ,ν, h·, ·i) . . . 109

6.4 La clase C est´a formada por ´algebras simples . . . 116

7 Conclusi´on 123

(13)

CAPITULO

1

Introducci´on

Las estructuras algebraicas, las cuales se definen como un conjunto no vac´ıo dotado de una o varias operaciones que se aplican a los elementos de dicho conjunto, se clasifican seg´un las propiedades que verifican las operaciones de las que est´an dotadas. Es por ello que, a la hora de estudiar su estructura, sea sumamente importante estudiar las propiedades de estas operaciones.

En el presente trabajo, vamos a estudiar estructuras algebraicas construidas a partir de espacios vectoriales. Es decir, estructuras que surgen como resultado de dotar al espacio vectorial de una operaci´on interna (o externa) n-lineal.

En el caso de las álgebras, sistemas triples o n-álgebras, se tratará de una operación interna bilineal, trilineal y n-lineal respectivamente, y en el caso de los módulos sobre espacios vectoriales será una operación bilineal externa.

Generalmente, cuando pensamos en una operación arbitraria sobre un espacio vectorial, solemos imaginar una expresión algebraica, en la que intervienen los elementos de nuestra estructura expresados en su forma más general. Sin embargo, la manera de escribir estos elementos de forma genérica guarda una gran relación con las coordenadas respecto de ciertas bases, lo cual se traduce en que, la expresión algebraica genérica que define el producto suela estar formulada en términos de las coordenadas respecto de alguna base (normalmente denominada como canónica).

(14)

Ejemplo 1.1. El producto vectorial sobre R3_{como R-espacio vectorial, viene dado por el} determinante x × y = i j k x1 x2 x3 y1 y2 y3

siendoi, j y k los elementos de la base can´onica y (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) las

coorde-nadas dex e y respecto de dicha base. Observemos que en efecto, el producto

x × y = (x2y3− x3y2, x3y1− x1y3, x1y2− x2y1)

acaba expres´andose en t´erminos de coordenadas.

Ejemplo 1.2. Teniendo en cuenta que los números complejos son de la forma a + bi con a, b ∈ R, donde i = √−1 denota la parte imaginaria. Tenemos que la expresión general del producto de dos números complejos, viene dado por

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

siendo _{a, b, c, d ∈ R. En efecto, si consideramos C como R-espacio vectorial y la base} B= {1, i} tenemos que, nuevamente, el producto

(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)

se expresa en t´erminos de las coordenadas.

De hecho, en t´erminos generales, dada una base B = {ei}i∈I, el producto de un

´algebra puede darse como

x y = X

i,j∈I

(xiyj)(ei ej)

siendo xie yjlas coordenadas i-´esima y j-´esima de los elementos x e y respecto de la base

B. De forma similar, esta expresión puede extenderse para sistemas triples, n-álgebras y módulos sobre espacios vectoriales.

Es decir, el producto siempre puede escribirse en función de sus coordenadas respecto de una base fijada, de modo que para estudiar las propiedades del producto de cierta estructura algebraica, basta con conocer las propiedades que éste verifica sobre los elementos de la base. De hecho, definir el producto por linealización sobre los elementos de la base se ha convertido en una práctica bastante extendida, ya que, como veremos en los cap´ıtulos que siguen, supone una forma sencilla de construir estructuras algebraicas de cualquier tipo.

(15)

De este modo, el presente trabajo est´a dedicado al estudio de las estructuras algebraicas centr´andonos en el producto sobre los elementos de la base, considerando en la mayor´ıa de los casos (Cap´ıtulos 2-5) que dicha base es multiplicativa.

En t´erminos generales, con independencia del tipo de estructura algebraica que estemos tratando (siempre que esta admita una base), se dice que una base B es multiplicativa, cuando el resultado de operar con los elementos de la base, es otro elemento de la base multiplicado por un escalar.

Tanto la variedad como la cantidad de ejemplos de estructuras algebraicas que admiten una base multiplicativa, como puede verse en los Cap´ıtulos del 2 al 5, se ha incrementado debido a que, como dijimos anteriormente, definir el producto de una estructura algebraica por linealizaci´on sobre el producto de los elementos de la base, se ha convertido en una pr´actica muy extendida.

En los Cap´ıtulos 2, 3 y 4 estudiaremos estructuras algebraicas que admiten bases multi-plicativas ampliando progresivamente el número de elementos que intervienen en la opera-ción interna que actúa sobre ellas. De modo que comenzaremos estudiando las álgebras, e iremos extendiendo los resultados primero al marco de los sistemas triples y finalmente al de las n-álgebras que admiten bases multiplicativas.

En el Cap´ıtulo 5 volveremos a las operaciones bilineales. En este caso trataremos de extender los resultados obtenidos para las álgebras al marco de los módulos, que es un con-cepto más general que el de álgebras. En este caso, veremos cómo los resultados obtenidos pueden aplicarse a estructuras algebraicas más concretas.

En los cap´ıtulos anteriormente mencionados (2-5) mostraremos que, bajo ciertas condi-ciones, la semisimplicidad de las estructuras algebraicas estudiadas en estos cap´ıtulos está asegurada. Para ello bastará con considerar el producto sobre los elementos de la base. Es más, las condiciones que nos permiten asegurar la semisimplicidad, también están expre-sadas en términos del producto de los elementos de la base. Este hecho, en muchos casos supone una ventaja añadida, ya que, como puede verse en los ejemplos que se muestran en los Cap´ıtulos 2-5, es muy común que al considerar el producto sobre los elementos de la base, éste quede resumido a considerar un número reducido de casos.

Por ejemplo, si consideramos producto matricial, tenemos que en el caso no-trivial m´as sencillo, cuando se tratan de matrices cuadradas y reales de orden 2, la expresi´on general

(16)

del producto a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 = a11b11+ a12b21 a11b12+ a12b22 a21b11+ a22b21 a21b12+ a22b22

es, cuanto menos, extensa. De hecho a medida que incrementamos el orden de la matriz también lo hace el tamaño de la expresión, lo cual añadir´ıa una dificultad añadida a la hora de estudiar las propiedades del producto a través de su expresión en términos de las coordenadas. Sin embargo, si nos centramos en los elementos de la base estándar B = {Ei,j}1≤i,j≤n para las matrices de orden n, siendo Ei,j la matriz cuyo elemento de la fila

i-´esima y la columna j-´esima es 1 y el resto 0. Se tiene que el producto puede resumirse en dos casos:

Ei,jEj,k = Ei,k

para todo i, j, k ∈ {1, . . . , n} y cero en caso contrario.

Por tanto, que las condiciones que nos permiten asegurar los resultados estén expresadas en términos del producto sobre los elementos de la base, suponen la ventaja de que, en muchas ocasiones, baste con con comprobar un número reducido de casos.

Además, una de las razones por la cual se estudian este tipo de estructuras, las que ad-miten una base multiplicativa, es que son muy comunes. En los ejemplos que se irán mos-trando (o simplemente mencionando) a lo largo de los Cap´ıtulos 2-5, observaremos que en muchos casos no es necesario buscar una base multiplicativa ya que, la estándar (o canóni-ca), suele serlo. Esto no siempre es as´ı

Ejemplo 1.3. Consideremos base est´andar

B= ( e1 = 1 0 0 0 ! , e2 = 0 0 0 1 ! , e3 = 0 1 1 0 !)

del ´algebra de las matrices sim´etricas deM2(R), con el producto A B = AB + BA.

Entonces B no es multiplicativa, ya que el producto

0 1 1 0 ! 0 1 1 0 ! = 2 0 0 2 ! = 2 1 0 0 0 ! + 2 0 0 0 1 !

tiene como resultado una combinaci´on lineal de elementos de B formada por m´as de un elemento. En general el producto sobre los elementos de la base puede resumirse en cuatro

(17)

casos diferentes: los casos

ei ei = 2ei y ei e3 = e3 ei= e3

para todoi ∈ {1, 2}, el caso ya estudiado e3 e3 = 2e1+ 2e2y, el caso restante, en el que

el producto es nulo.

Sin embargo, que una base no sea multiplicativa, no quiere decir que su estructura no pueda ser estudiada a través del producto sobre los elementos de la base. De hecho, en muchos casos esto es lo más interesante ya que, por un lado la base genera toda nuestra estructura y, por otro lado, el producto determina el tipo de estructura del que se trata. Por lo tanto parece lógico centrarnos en el estudio de estos dos elementos (producto y base), a la hora de estudiar la estructura estemos o no ante una base multiplicativa.

De este modo, para completar nuestro trabajo, en el Cap´ıtulo 6, se ha estudiado una clase de álgebras de matrices cuyas bases estándar no son multiplicativas. En éste, trabajaremos con el producto sobre los elementos de la base, para mostrar que, en efecto, las álgebras de matrices consideradas son simples.

De hecho, en el propio Cap´ıtulo 6 se muestra una forma sencilla de construir ´algebras de matrices no asociativas, que difieren de los tipos cl´asicos de Lie y de Jordan, que pertenecen a la clase estudiada.

Por ´ultimo, finalizaremos este trabajo con un cap´ıtulo en el que se expondr´an las con-clusiones acerca del estudio realizado, as´ı como de los resultados obtenidos (Cap´ıtulo 7).

(18)

(19)

CAPITULO

2

´

Algebras arbitrarias con bases

multiplicativas

2.1 Introducci´on y definiciones previas

A lo largo de este cap´ıtulo A denotará un álgebra arbitraria en el sentido de que no tendrá restricciones en la dimensión de la propia álgebra o del cuerpo base K, y no se supondrá ninguna identidad en el producto (asociatividad, alternatividad, Lie, Jordan, Leibniz, Mal-cev, etc.). Es decir, A es únicamente un espacio vectorial sobre un cuerpo K dotado de una aplicación bilineal

A× A → A (x, y) 7→ xy a la que llamaremos el producto de A.

En el presente cap´ıtulo estudiaremos si los resultados obtenidos para ´algebras asociativas graduadas por un grupo abeliano [19] pueden obtenerse en el marco de las ´algebras con base multiplicativa.

En [19] podemos leer la siguiente definición. Un álgebra asociativa A está graduada por un grupo abeliano G si admite la siguiente descomposición

A=M

i∈G

(20)

siendo cada Ai es un subespacio vectorial de A tal que dados i, j ∈ G se verifica que

AiAj ⊂ Ai+j, donde + denota la operaci´on del grupo.

En el caso de las ´algebras que admiten una base multiplicativa B = {ei}i∈I podemos

ofrecer la siguiente descomposici´on,

A=M

i∈I

Ai

con Ai= Keipara cada i ∈ I.

Sin embargo, a diferencia que en ocurre en [19], no se exige que I tenga que ser un gru-po. De hecho, este conjunto no tiene por qué tener estructura alguna. Teniendo en cuenta la definición de graduación a partir de un conjunto arbitrario [22] se tiene que la descom-posición anterior cumple las condiciones de graduación ya que, dados i, j ∈ I tales que eiej 6= 0, entonces

eiej ∈ Kek

para un cierto k ∈ I. Por tanto (Kei)(Kej) ⊂ Kek, es decir, dados i, j ∈ I entonces

0 6= AiAj ⊂ Ak

para un cierto k ∈ I ´o 0 = AiAj.

Al trabajar con un conjunto de ´ındices arbitrario se tiene que, del mismo modo que se hace en [22], se est´en extendiendo los resultados obtenidos en [19], para un tipo concreto de ´algebras.

Sin embargo pese a que este tipo de ´algebra pueda ser tratada como una graduaci´on nos encontramos con varias razones que hacen que se abandone esa idea, pese a que ello suponga el riesgo de abandonar la ventaja de reutilizar parte de los procedimientos utiizados en [19, 22], y pasemos a estudiarla desde la perspectiva de las bases multiplicativas.

La primera razón es que resulta más natural trabajar directamente con los elementos de la base que con los componentes de una graduación.

La segunda, última y más importante razón es que, en este tipo concreto de estructuras, hay conceptos usuales en la teor´ıa de graduaciones, como el de soporte de una graduación o longitud máxima, que como veremos a continuación, dejan de tener sentido. De aqu´ı, la teor´ıa se simplifica.

(21)

2.1 Introducci´on y definiciones previas

En el ámbito de las álgebras graduadas, tanto por un grupo como por un conjunto arbi-trario, se define el soporte de la graduación como el conjunto de ´ındices, diferentes a la unidad en el caso de grupo, cuyo componente homogéneo asociado es no nulo. Esto es

Σ = {i ∈ I \ {1} : Ai6= {0}}.

Teniendo en cuenta que por regla general el conjunto de ´ındices no tiene por qué contener a la unidad, ya que no tiene por que tener estructura de ningún tipo, y que por propia construcción 0 6= Ai = Kei con i ∈ I, entonces siempre Σ = I y por tanto el uso del

soportees irrelevante.

Por otro lado, como puede comprobarse en [19] un álgebra graduada es de longitud máximasi la dimensión de sus componentes no nulas es 1, es decir dim(Ai) = 1 para todo

i ∈ Σ. En el caso de las álgebras con base multiplicativa observamos que por cómo se construyen los componentes de la graduación

dim(Ai) = dim(Kei) = 1

para todo i ∈ I. De este modo, dicho concepto carece ahora de sentido ya que no aporta ninguna informaci´on nueva.

Del mismo modo que que hay conceptos que, por el tipo de estructura estudiada, dejan de tener importancia, provocando que nos inclinemos por un enfoque diferente, el propio enfoque hace que, a su vez, haya conceptos como el de anulador, que pese a que siga teniendo sentido, no sea necesario utilizarlo a lo largo del estudio, y que, sin embargo, haya otros nuevos conceptos, como el de base heredada, que sean necesarios a˜nadir.

El concepto de anulador, al contrario de los que se han tratado en p´arrafos anteriores, es un concepto que sigue teniendo sentido ya que es el conjunto formado por los elementos del ´algebra que al multiplicarlos por cualquier otro el resultado es cero,

An(A) = {x ∈ A : xA + Ax = 0}.

En los estudios de graduaciones una de las condiciones que interven´ıan en los resultados obtenidos era que An(A) = {0}. En el caso de las ´algebras con base multiplicativa puede ocurrir que el anulador de un ´algebra con base multiplicativa sea distinto de cero (An(A) 6=

(22)

{0}). Sin embargo no va a ser necesario imponer en nuestro estudio que An(A) = {0}.

La razón por la cual esa condición deja de ser necesaria es que ya no estamos conside-rando que en el conjunto de ´ındices se encuentre el elemento unidad en el caso de grupos o algún elemento destacado o en el caso de graduaciones por un conjunto arbitrario. Co-mo puede observarse en [19, 22] las graduaciones consideradas, tanto de un álgebra coCo-mo de una subálgebra, estaba compuesta por dos partes bien diferenciadas: la componente ho-mogénea asociada a la unidad A1, (Aoen el caso de graduaciones por medio de un conjunto

arbitrario), y el resto. De este modo un ideal graduado descompondr´ıa de la forma

I= I1⊕

M

i∈Σ

Ii

con Ii= I ∩ Aipara todo i ∈ Σ ∪ {1}. Puesto que el estudio de las graduaciones se basa en

las propiedades del soporte, a la hora de caracterizar la minimalidad de un ideal es necesario asegurar que, en efecto, la graduación de los ideales no esté compuesta únicamente por la componente homogénea asociada a la unidad, esto es Σ 6= ∅. La forma de asegurar esto es exigiendo que el anulador del álgebra sea {0}.

En nuestro caso, al no aplicar la perspectiva de la graduación, no necesitamos añadir un componente homogéneo asociado a un elemento especial y, por tanto, no existe la posibili-dad de que la graduación del mismo esté compuesto únicamente por dicho componente. As´ı pues deja de ser necesaria la condición An(A) = {0} y, en consecuencia, no necesitaremos introducir el concepto de anulador.

Como hemos visto en p´arrafos anteriores, un ideal graduado viene definido por la si-guiente igualdad I= I1⊕ M i∈Σ Ii

con Ii = I ∩ Aipara todo i ∈ Σ ∪ {1}.

Esto permite que a la hora de considerar el soporte del ideal, ΣI, se tenga que de forma

natural ΣI⊂ Σ. De este modo, a la hora de poder relacionar la graduaci´on de un ideal con la

del ´algebra, esto puede hacerse de manera sencilla a partir de los ´ındices, algo fundamental a la hora de desarrollar el estudio.

Sin embargo cuando estamos tratando ´algebras con bases multiplicativas, puede ocurrir que un ideal de A tenga una base multiplicativa con elementos diferentes a los de la base

(23)

original, dificultando as´ı su estudio.

Es por esta razón que nos encontramos en la necesidad de introducir el concepto de base heredadaque, como puede verse con más detalle en la Definición 2.3, se trata de una base procedente de la base original, esto es BI ⊂ B donde BIes la base del ideal y B la base

del ´algebra que contiene a dicho ideal.

Una vez hecha una breve comparativa entre las ´algebras que admiten una graduaci´on y las que admiten una base multiplicativa, continuamos con las definiciones necesarias para poder comenzar el estudio. Concretamente la de base multiplicativa.

Definici´on 2.1. Se dice que una base B = {ei}i∈I de un ´algebra A sobre un cuerpo K es

multiplicativa si para cada i, j ∈ I se tiene que o bien eiej = 0 o bien 0 6= eiej ∈ Kek

para un (´unico) k ∈ I.

Nota1. La definición de base multiplicativa que ofrecemos en la Definición 2.1 es un poco más general que aquella que se encuentra en la bibliograf´ıa ([7, 11, 13, 14, 47]). De hecho, en estas referencias, una base B = {ei}i∈I es multiplicativa si para cualesquiera i, j ∈ I o

bien eiej = 0 o bien 0 6= eiej = ekpara alg´un k ∈ I.

Ha de observarse que para introducir el concepto de base multiplicativa nos hemos fijado en el producto del cual esta dotado el álgebra. Sin embargo, el interés que despiertan este tipo de álgebras se debe justamente al proceso contrario ya que resulta más cómodo fijar la forma en la que operan los elementos de la base para poder definir un producto en todo el álgebra.

Sin ir más lejos, álgebras comúnmente conocidas como los números complejos (C) o los cuaterniones (H), basan la construcción de su producto en definir el producto sobre los elementos de la base y extenderlo por linealización. Son por tanto ejemplos de álgebras que admiten una base multiplicativa.

Ejemplo 2.1. La base {1, i, j, k} de los cuaterniones se trata de un claro ejemplo de base multiplicativa ya que como podemos comprobar mediante la Tabla de Cayley, que define el producto entre cada uno de sus elementos,

1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1

(24)

cuando operamos dos elementos de la base el resultado es otro elemento de la base operado por un escalar (en este caso el1 o el −1).

En el Ejemplo 2.1 puede apreciarse como se define el producto de un álgebra mediante el producto de los elementos de su base. De hecho, para construir ejemplos de álgebras con bases multiplicativas únicamente necesitamos fijar un conjunto arbitrario de ´ındices I 6= ∅ y dos aplicaciones arbitrarias

α : I × I → I y β : I × I → K.

Entonces el espacio vectorial A sobre K con base B = {ei}i∈I y el producto sobre los

elementos de la base dado por eiej = β(i, j)eα(i,j) se convierte en un ´algebra con base

multiplicativa B.

Como es usual en la literatura describir un álgebra mediante la exhibición de una tabla de multiplicación sobre los elementos de una base fijada, se pueden encontrar una gran can-tidad de ejemplos clásicos de álgebras que admiten bases multiplicativas en las categor´ıas de álgebras asociativas, conmutativas, alternativas, álgebras de Lie, de Malcev, de Leibniz, de Zinbiel, Hom-álgebras de Lie, de Jordan, etc.

Por ejemplo en [55] encontramos que para construir un ejemplo de ´algebra no-Lie de Malcev con base multiplicativa la tabla de multiplicaci´on, tal y como puede verse en el ejemplo siguiente (Ejemplo 2.2) es:

Ejemplo 2.2. Sea A un ´algebra con base {e1, e2, e3, e4} con la siguiente tabla de

multi-plicaci´on: e1 e2 e3 e4 e1 0 −e2 −e3 e4 e2 e2 0 2e4 0 e3 e3 −2e4 0 0 e4 −e4 0 0 0

Haciendo algunos cálculos se puede mostrar que, en efecto se satisface la propiedad antisimétrica y la identidad de Malcev. Además, se tiene que, si denotamos por

J (x, y, z) = (xy)z + (yz)x + (zx)y

se tiene que

(25)

incumpli´endose la identidad de Jacobi.

Por lo tanto se trata de un ´algebra no-Lie de Malcev que, por construcci´on, admite una base multiplicativa{e1, e2, e3, e4}.

Siguiendo con más ejemplos, en la categor´ıa de las álgebras asociativas tenemos que las clases de álgebras de grupos cuando K es algebraicamente cerrado y álgebras de cami-nos ([6, 11, 13, 42, 44, 54]) son ejemplos de álgebras (asociativas) que admiten una base multiplicativa.

Ejemplo 2.3. Si consideramos el ´algebra de matrices A = Mn(R) se tiene que la base

can´onica

B= {Ei,j}_1≤i,j≤n,

donde Ei,j es la matriz cuyo elemento ai,j = 1 y el resto de elementos es nulo, es un

ejemplo de base multiplicativa.

De hecho, si observamos c´omo operan los elementos de la base comprobamos que

Ei,jEj,k = Ei,k

para todoi, j, k ∈ {1, . . . , n} y

Ei,jEk,h= θ,

dondeθ denota a la matriz nula, si j 6= k.

Ejemplo 2.4. Las álgebras de caminos admiten una base multiplicativa por su propia construcción. Para construir un álgebra de caminos necesitamos fijar un cuerpo K y un grafo dirigidoG no vac´ıo. Denotamos por

B= “conjunto de todos los posibles caminos de G”

y consideramos el K-espacio vectorial generado por el conjunto B, que a su vez es base, y definimos el producto por linealizaci´on sobre los elementos de B de modo que, el resultado de multiplicar dos caminos p y p0 de G es la concatenaci´on de ambos si el final de p coincide con el principio dep0y cero en caso contrario.

Además se tiene que cualquier tipo de representación finita de un álgebra asociativa A de dimensión finita tiene también una base multiplicativa ([7, 47]).

Las bases multiplicativas están ´ıntimamente relacionadas con la teor´ıa de las bases Gröbner. De hecho, como puede verse en [44], una álgebra con una base multiplicativa admite una teor´ıa de bases Gröbner si dicha base (multiplicativa) tiene un orden admisible.

(26)

En la categor´ıa de álgebras conmutativas, podemos tomar como ejemplo clásico el álge-bra de grupo conmutativa ([11]). En el Ejemplo 2.5 encontramos otro ejemplo de álgeálge-bra conmutativa de dimensión infinita con base multiplicativa.

Ejemplo 2.5. El ´algebra de polinomios A = K[x] admite la base multiplicativa B= {xn}_n∈N∗,

siendo N∗ = N ∪ {0}.

En efecto dados_{i, j ∈ N}∗se tiene que,xi· xj _{= x}i+j _{∈ Kx}i+j _con_xi+j _{∈ B.}

En la categor´ıa de las álgebras de Lie podemos presentar como ejemplos de álgebras con bases multiplicativas a las álgebras de Lie semisimples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de caracter´ıstica 0, a las L∗-álgebras semisimples separables [57], a las álgebras split de Lie semisimples localmente finitas [58], a las álgebras de Heisenberg [53], a las álgebras torcidas de Heisenberg [1] o a las álgebras split de Lie consideradas en [15, §3].

Ejemplo 2.6. Un álgebra de Lie de Heisenberg, es un álgebra de dimensión 2n + 1, con base

B= {p1, . . . , pn, q1, . . . , qn, z}

verificando que el corchete de Lie de dos elementos de la base es

[pi, qi] = z

para todoi ∈ {1, . . . , n} y 0 en caso contrario. Est´a claro que B es una base multiplicativa.

Ejemplo 2.7. El ´algebra lineal especial de Lie de orden 2 sobre los n´umeros complejos, esto es sl2(C), admite una base multiplicativa B = {e1, e2, e3} con

e1= 0 1 0 0 ! , e2 = 0 0 1 0 ! y e3 = 1 0 0 −1 ! .

En efecto, teniendo en cuenta que se define el producto como

(27)

paraX, Y ∈ sl2(C), se tiene que

[e1, e2] = −[e2, e1] = e3

[e1, e3] = −[e3, e1] = −2e1

[e2, e3] = −[e3, e2] = 2e2

y en caso contrarioei, ej = θ siendo θ la matriz nula

En la categor´ıa de las álgebras de Leibniz los ejemplos de muchas de las clases de álge-bras de Leibniz que han sido descritas en la literatura, han sido realizados mediante la presentación de una tabla de multiplicación del álgebra en términos de una base multipli-cativa, convirtiéndose en ejemplos de álgebras que admiten una base multiplicativa.

Por ejemplo, éste es el caso de las clases de las álgebras filiformes (complejas) de Leib-niz de dimensión finita naturalmente graduadas y de las álgebras filiformes de LeibLeib-niz n-dimensionales graduadas de longitud n − 1 (véase [4]), de la categor´ıa de las álgebras 0-filiformes de Leibniz de dimensión finita, de las álgebras filiformes no-split de Leibniz graduadas de dimensión finita, de la clase de las álgebras resolubles de Leibniz de dimen-sión cuatro con un nilradical r´ıgido de dimendimen-sión tres (véase [40]) y algunas de las álgebras resolubles de Leibniz de dimensión cuatro (véase [37]), de la familia de las álgebras (com-plejas) de Leibniz de dimensión finita con cociente Lie sl2(ver [52]), entre otros.

Observando la tabla de multiplicacion del ´algebra no-Lie de Malcev A0, (´algebra de

dimensión siete sobre su centroide), en [56, §6] tenemos otro ejemplo de álgebra con ba-se multiplicativa. En [50] encontramos ejemplos de hom-álgebras de Jordan que admiten bases multiplicativas.

En la categor´ıa de ´algebras de Zinbiel tenemos, por ejemplo, que cualquier ´algebra com-pleja nul-filiforme de Zinbiel admite una base multiplicativa (ver [2]).

A continuaci´on se muestra la estrategia llevada a cabo y c´omo se organiza este cap´ıtulo.

En la Sección 2.2, inspirándonos en las técnicas de conexión en el soporte desarrolladas para las álgebras split en [20, 33, 34], introduciremos técnicas de conexión en el conjunto de ´ındices I de la base multiplicativa, obteniendo as´ı una poderosa herramienta para el estudio de este tipo de álgebras.

El problema con el que nos encontraremos es que para dotar a I de una conexión ne-cesitamos que éste tenga algún tipo de estructura o en su caso una operación que permita

(28)

relacionar los ´ındices. Para solucionarlo deberemos dotarlo de una estructura externa que, sin modificar las propiedades del álgebra, nos permita trabajar con ella. Dicha estructura se basa en la introducción de una serie de elementos y la definición de una serie de apli-caciones que permiten recuperar el producto entre los elementos de la base, permitiendo establecer una operación entre sus ´ındices.

Haciendo uso de estas técnicas de conexión, podremos introducir una relación de equiva-lencia entre los ´ındices de la base que nos permitirá agrupar los subespacios generados por cada elemento de la base en subespacios vectoriales asociados a cada clase de equivalencia, a los cuales denotaremos A[i]para cada i ∈ I.

Para finalizar esta sección, mostraremos cómo cualquier álgebra A que admita una base multiplicativa descompone de la forma

A= M

[i]∈I/∼

A_[i]

siendo cada A[i]un ideal bien definido de A que admite tambi´en una base multiplicativa.

En la Sección 2.3 caracterizaremos la minimalidad de A en términos de la base multipli-cativa y se mostrará que en el caso en que la base sea ?-multiplimultipli-cativa, la descomposición anterior de A es mediante la familia de sus ideales minimales.

2.2 Conexiones en el conjunto de ´ındices. Descomposiciones

A lo largo de este cap´ıtulo B = {ei}i∈I denotar´a la base multiplicativa de un ´algebra A

yP(I) el conjunto de las partes I.

Comenzaremos esta sección desarrollando técnicas de conexión sobre los elementos del conjunto de ´ındices I, lo cual se convertirá en la herramienta principal de todo nuestro estudio.

El motivo por el cual se hace necesario desarrollar este tipo de técnicas es que nuestro interés es fundamentar los resultados de nuestro estudio, en las propiedades del conjunto de ´ındices. El problema es que dicho conjunto puede no tener ninguna estructura definida, lo cual hace bastante complicado su estudio. Es por ello que se necesita dotar de una relación entre los ´ındices que se basará en la conexión que desarrollaremos en la presente sección.

(29)

2.2 Conexiones en el conjunto de ´ındices. Descomposiciones

En primer lugar, para cada i ∈ I se introduce una nueva variable ¯i /∈ I, denotando por

I = {¯i : i ∈ I}

al conjunto formado por todos estos nuevos elementos.

Para poder establecer una relación entre los elementos del conjunto de ´ındices I es ne-cesario establecer una operación entre ellos. Para ello, se construirá una operación que recupera, en cierto sentido, la multiplicación entre los elementos de la base B, ya que se basa en la forma en que éstos operan.

Además, como veremos a continuación, el papel que juegan los nuevos elementos ¯i en dicha operación es de gran necesidad, ya que éstos permiten recuperar aquellos elementos del conjunto de ´ındices que operados entre s´ı daban como resultado el ´ındice i.

La operaci´on

? : I × (I ˙∪ I) −→P(I), viene definida como sigue:

• Para i, j ∈ I i ? j = ∅ si 0 = eiej {k} si 0 6= eiej ∈ Kek • Para i ∈ I y ¯j ∈ I i ? ¯j = {a ∈ I : 0 6= eaej ∈ Kei} ∪ {b ∈ I : 0 6= ejeb ∈ Kei}.

El resultado que se muestra a continuación prueba una de las propiedades de la operación ? que será fundamental en el desarrollo de nuestro estudio.

Lema 2.1. Dados i, j, k ∈ I entonces i ∈ j ? k ∪ k ? j si y s´olo si j ∈ i ? ¯k.

Demostraci´on. 1. Supongamos primero que i ∈ j ? k ∪ k ? j. Entonces tenemos dos opciones:

Si j ? k = {i} entonces 0 6= ej? ek∈ Keien tal caso se tiene que

(30)

Si k ? j = {i} entonces 0 6= ek? ej ∈ Keiy por tanto

j ∈ {a ∈ I : 0 6= ek? ea∈ Kei} ⊂ i ? ¯k.

En cualquier caso j ∈ i ? ¯k concluyendo la demostraci´on de la implicaci´on directa.

2. Supongamos que j ∈ i ? ¯k para demostrar la implicación contraria. Por la construcción de la operación ? se tiene que

j ∈ i ? ¯k = {a ∈ I : 0 6= eaek∈ Kei} ∪ {b ∈ I : 0 6= ekeb ∈ Kei}.

Por tanto 0 6= ejek∈ Kei ´o o 0 6= ekej ∈ Kei, implicando {i} = j ? k ´o {i} = k ? j.

Luego i ∈ j ? k ∪ k ? j concluyendo as´ı la demostraci´on.

Ahora, a partir de la operaci´on ? se define la aplicaci´on

φ :P(I) × (I ˙∪ I) −→ P(I), como sigue:

• φ(∅, i) = ∅ para todo i ∈ I ˙∪ I.

• Para cada ∅ 6= U ∈P(I) e i ∈ I

φ(U, i) = [

a∈U

(a ? i ∪ i ? a).

• Para cada ∅ 6= U ∈P(I) e i ∈ I

φ(U, i) = [

a∈U

(a ? i).

Nota2. Observemos que dados i, j ∈ I se tiene que φ({i}, j) = φ({j}, i).

A partir de este momento, dado ¯i ∈ I, denotaremos (¯i) := i. Adem´as para cada U ⊂ I ˙∪ I se denota U = {¯i : i ∈ U }.

(31)

Demostraci´on. 1. Supongamos que i ∈ φ({j}, k). Entonces

i ∈ j ? k ∪ k ? j,

por lo que aplicando el Lema 2.1 se tiene que

j ∈ i ? ¯k ⊂ φ({i}, ¯k).

2. Supongamos que por el contrario j ∈ φ({i}, ¯k) entonces por la definici´on de φ se tiene que j ∈ i ? ¯k, de donde aplicando el rec´ıproco del Lema 2.1 se obtiene que

i ∈ j ? k ∪ k ? j ⊂ φ({j}, k),

como dese´abamos.

Lema 2.2. Dados U ∈P(I) y j ∈ I ˙∪ I entonces i ∈ φ(U, j) si y s´olo si φ({i}, ¯j)∩U 6= ∅. Demostraci´on. 1. Supongamos en primer lugar que i ∈ φ(U, j).

Si j ∈ I, por construcci´on de φ, existe k ∈ U tal que i ∈ k ? j ∪ j ? k. Aplicando el Lema 2.1 se tiene que k ∈ i ? ¯j ⊂ φ({i}, ¯j).

De igual forma si j ∈ I, existe k ∈ U tal que i ∈ k ? j. Aplicando ahora el rec´ıproco del Lema 2.1, teniendo en cuenta que (¯j) = j, se tiene que k ∈ i ? ¯j ∪ ¯j ? i ⊂ φ({i}, ¯j).

En cualquier caso concluimos que existe k ∈ U tal que k ∈ φ({i}, ¯j). Luego

k ∈ φ({i}, ¯j) ∩ U 6= ∅.

2. Supongamos ahora que existe k ∈ φ({i}, ¯j) ∩ U 6= ∅.

Si j ∈ I, puesto que k ∈ φ({i}, ¯j), aplicando el rec´ıproco del Corolario 2.1 se tiene que i ∈ φ({k}, j).

De igual forma si j ∈ I, puesto que k ∈ φ({i}, ¯j), por el Corolario 2.1 y teniendo en cuenta que (¯j) = j obtenemos que i ∈ φ({k}, j).

En cualquier caso se verifica que i ∈ φ({k}, j). Puesto que k ∈ U entonces i ∈ φ(U, ¯j), concluyendo as´ı la demostraci´on

(32)

Definici´on 2.2. Sean i, j ∈ I tal que i 6= j. Decimos que i est´a conectado con j si existe una familia{i1, . . . , in} ⊂ I ˙∪ I con n ≥ 2 que satisface las siguientes condiciones:

1. i1= i. 2. φ({i1}, i2) 6= ∅, φ(φ({i1}, i2), i3) 6= ∅, .. . φ(φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in−2), in−1) 6= ∅. 3. j ∈ φ(φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in−1), in).

Llamaremosconexión de i a j a la familia {i1, i2. . . , in−1, in} y se asumirá que i está

conectado consigo mismo.

Observemos que, aunque en un primer vistazo pueda parecer lo contrario, el concepto de conexión hace honor a su propio nombre. De hecho, si lo representamos en forma de grafo (donde las aristas son elementos de I ˙∪ I y los nodos conjuntos de ´ındices, tenemos que una conexión {i1, . . . , in+1} entre i y j no es más que un camino

i n0 n1 a1 n₂ a₂ n_n−1 j n_n a_n

formado por n aristas a1 = i2, a2 = i3, . . . , an= in+1, que conecta al nodo n0= {i}, que

contiene a i, con el nodo nn = φ(nn−1, an) que contiene al ´ındice j, pasando por n − 1

nodos n1 = φ(n0, a1), n2= φ(n1, a2), . . . , nn−1= φ(nn−2, an−1).

En el siguiente resultado se aprecia la importancia que adquieren los elementos de I ya que es fundamental para poder simetrizar la conexi´on definida en la Definici´on 2.2

Lema 2.3. Sea {i1, i2, . . . , in−1, im} ⊂ I, con n > 2, cualquier conexi´on de alg´un i a

alg´un j con i, j ∈ I e i 6= j. Entonces el conjunto {j, ¯in, ¯in−1, . . . ,¯i3, ¯i2} es una conexi´on

dej a i.

Demostración. Realizaremos la demostración por inducción sobre n.

Para n = 2 se tiene que si {i1, i2} es una conexi´on de i a j, por la Definici´on 2.2 entonces

i1 = i y adem´as

(33)

Aplicando el Corolario 2.1 se tiene que entonces i ∈ φ({j},¯i2). Por tanto, el conjunto

{j,¯i2} verifica las condiciones de la Definici´on 2.2 y, en consecuencia, se trata de una

conexi´on de j a i.

Supongamos ahora que la hipótesis se cumple para un cierto n ≥ 2, es decir que cual-quier conexión con n elementos {i1, i2, . . . , in−1, in} cumple las hipótesis del Lema.

Vea-mos que entonces éstas también se verifican para la conexión

{i₁, i2, . . . , in, in+1}

de n + 1 elementos de i ∈ I a j ∈ I con i 6= j. Por la Definici´on 2.2 se tiene que

j ∈ φ(φ(φ(. . . φ({i}, i2) . . . ), in), in+1).

De aqu´ı, denotando por U := φ(φ(φ(. . . φ({i}, i2) . . . ), in) y aplicando el Lema 2.2, se

tiene que

φ({j}, ¯in+1) ∩ Un6= ∅.

Entonces podemos tomar

k ∈ φ({j}, ¯in+1) ∩ U

y por tanto

k ∈ φ({j}, ¯in+1). (2.1)

Por otro lado tenemos que k ∈ U , es decir k ∈ φ(φ(. . . φ({i}, i1) . . . ), in). Por tanto

podemos asegurar que

{i1, i2, . . . , in}

es una conexi´on de i a k.

Aplicando la hip´otesis de inducci´on, se tiene que

{k,¯i_n, ¯in−1, . . . ,¯i3, ¯i2}

es una conexi´on de k a i. Lo cual implica que

φ(φ(. . . φ({k}, ¯in) . . . ), ¯im) 6= ∅

para todo m ∈ {2, . . . , n}.

As´ı, como consecuencia de la Ecuaci´on (2.1) obtenemos que

(34)

para todo m ∈ {2, . . . , n + 1}.

Adem´as, teniendo en cuenta que i ∈ φ(. . . φ(φ({k},¯in) . . . ), ¯i2) y la Ecuaci´on (2.1)

llegamos la última condición de la Definición 2.2,

i ∈ φ(φ(. . . φ(φ({j}, ¯in+1), ¯in) . . . ), ¯i2).

As´ı pues queda demostrado que el conjunto

{j,¯i_n+1, ¯in, . . . ,¯i3, ¯i2}

verifica todas las condiciones de la Definici´on 2.2 y por tanto se trata de una conexi´on que va de j a i.

Teniendo en cuenta el Lema 2.3, podemos afirmar el siguiente resultado.

Proposición 2.1. La relación de conexión (∼) en I definida por i ∼ j si y sólo si i está conectado conj es una relación de equivalencia.

Demostración. Por la propia definición de conexión (Definición 2.2) se tiene que ∼ es re-flexiva. Además por el Lema 2.3 se tiene que ∼ es simétrica. Basta con ver que es transitiva para poder concluir la demostración.

Sean i, j, k ∈ I tales que i ∼ j y j ∼ k. Entonces existe una conexi´on {i1, . . . , in} ⊂

I ˙∪ I de i a j y otra conexi´on {j1, . . . , jm} ∈ I ˙∪ I de j en k que verifican las condiciones

de la Definici´on 2.2.

Comprobemos {i1. . . , in, j2, . . . , jm} es una conexi´on de i en k.

Por un lado tenemos que se verifica que i1 = i y que

φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), ip) 6= ∅ (2.2)

para p ∈ {2, . . . , n}.

Adem´as, para el caso p = n se tiene que j ∈ φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in). As´ı, si

denotamos

U := φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in),

se tiene que j1 = j ∈ U .

Esto implica que

φ(φ(. . . φ({j1}, j2), . . . ), jq) ⊂ φ(φ(. . . φ(U, j2), . . . ), jq)

(35)

Como por la Definici´on 2.2 φ(φ(. . . φ({j1}, j2), . . . ), jq) 6= ∅ entonces

φ(φ(. . . φ(U, j2), . . . ), jq) 6= ∅

y por tanto

φ(φ(. . . φ(φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in), j2), . . . ), jq) 6= ∅ (2.3)

para q ∈ {2, . . . , m}. Por otro lado, se tiene que

k ∈ φ(φ(. . . φ({j1}, j2), . . . ), jm) ⊂ φ(φ(. . . φ(U, j2), . . . ), jm),

por lo que

k ∈ φ(φ(. . . φ(φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in), j2), . . . ), jm). (2.4)

As´ı, teniendo en cuenta las Ecuaciones (2.2-2.4), concluimos que {i1. . . , in, j2, . . . , jm}

es una conexi´on de i a k.

Luego ∼ es transitiva y, por tanto, de equivalencia.

Una vez probado que la relaci´on de conexi´on es de equivalencia, podemos considerar el conjunto cociente

I/ ∼= {[i] : i ∈ I},

donde [i] = {j ∈ I : i ∼ j} es la clase de equivalencia de i ∈ I.

As´ı, para cada [i] ∈ I/ ∼ denotaremos

A_[i] =M

j∈[i]

Kej.

Observemos que puesto que B = {ei}i∈I es una base de A entonces

A=M

i∈I

Kei

y por tanto, podemos escribir

A= M

[i]∈I/∼

A_[i]. (2.5)

(36)

Demostraci´on. Supongamos que A[i]A[j]6= 0. Observemos que entonces

0 6= A[i]A[j]=

X

(a,b)∈[i]×[j]

(Kea)(Keb).

Supongamos que para ciertos a ∈ [i] y b ∈ [j] se cumple que 0 6= (Kea)(Keb). Tomando

0 6= x ∈ (Kea)(Keb) se tiene que es de la forma

x = (αea)(βeb)

para cierto 0 6= α ∈ K y cierto 0 6= β ∈ K.

Si denotamos γ := αβ, podemos escribir x = γ(eaeb). As´ı, teniendo en cuenta que

x 6= 0, se deduce que necesariamente

eaeb 6= 0.

Por tanto, por la Definici´on 2.1 podemos asegurar que existe c ∈ I tal que

0 6= eaeb∈ Kec (2.6)

y por tanto que c ∈ a ? b ⊂ φ({a}, b).

As´ı pues, el conjunto {a, b} es una conexi´on de a hasta c, por lo que aplicando la propie-dad transitiva se tiene que i ∼ a ∼ c, es decir [i] = [c]. En consecuencia

0 6= eaeb ∈ A[i]

y, por tanto A[i]A[j]⊂ A[i].

Adem´as, por la Ecuaci´on (2.6) se tiene que

c ∈ a ? b ⊂ φ({b}, a).

As´ı, el conjunto {b, a} es una conexi´on de b hasta c por lo que aplicando la propiedad transitiva se tiene que j ∼ b ∼ c, es decir [j] = [c].

Por tanto, se concluye que [i] = [j].

Definición 2.3. Sea A un álgebra con base multiplicativa B. Se dice que una subálgebra H de A tiene base multiplicativa BH heredada de B si BH ⊂ B.

Definici´on 2.4. Un ideal de un ´algebra A es un subespacio vectorial I de A que satisface IA+ AI ⊂ I.

(37)

Proposici´on 2.2. Para cada i ∈ I se tiene que el subespacio A_[i]es un ideal de A con base multiplicativa B_[i] = {ej}j∈[i]heredada de la de A.

Demostraci´on. Sea i ∈ I. Teniendo en cuenta el Lema 2.4 se tiene que dado [j] ∈ I/ ∼ se satisface que si 0 6= A[i]A[j]entonces

A_[i]A_[j] ⊂ A_[i]

y, si 0 6= A[j]A[i], entonces [i] = [j] obteniendo

A_[j]A_[i]= A[i]A[i] ⊂ A[i].

As´ı, teniendo en cuenta la Ecuaci´on (2.5), se tiene que

A_[i]A+ AA[i] ⊂ _X [j]∈I/∼ A_[i]A_[j] + _X [k]∈I/∼ A_[k]A_[i] . Por tanto,

A_[i]A+ AA_[i] ⊂ A_[i]+ A_[i] = A_[i].

Luego A[i]es un ideal de A.

Finalmente, es claro que B[i]= {ej}j∈[i]es base de A[i]y que, como [i] ⊂ I, claramente

B_[i] ⊂ B. Luego B[i]es una base multiplicativa de A[i]heredada de B = {ek}k∈I.

A partir de ahora, dado [i] ∈ I/ ∼ denotaremos por B_[i] = {ej}j∈[i]a la base

multipli-cativa de A[i] heredada de B.

Una vez demostrada la Proposici´on 2.2 podemos introducir el siguiente resultado.

Teorema 2.1. Sea A un ´algebra arbitraria con base multiplicativa B. Entonces A descom-pone como la suma directa

A= M

[i]∈I/∼

A_[i]

siendo cada A_[i] un ideal de A que admite una base multiplicativa B_[i] heredada de B satisfaciendo

A_[i]A_[j]= 0

(38)

Demostraci´on. De la Ecuaci´on (2.5) obtenemos que A descompone como

A= M

[i]∈I/∼

A_[i].

Adem´as la Proposici´on 2.2 nos asegura que, en efecto, cada A[i] es un ideal de A con

base multiplicativa B[i]heredada de B.

Finalmente, aplicando el rec´ıproco del Lema 2.4 se tiene que dados i, j ∈ I tales que [i] 6= [j] entonces A[i]A[j]= 0.

El teorema anterior nos proporciona una descomposici´on que nos acerca al objetivo de este cap´ıtulo. De hecho, falta por establecer las condiciones que nos permitan asegurar la simplicidad de los elementos que intervienen en dicha descomposici´on.

Corolario 2.2. Si A es simple entonces todos los elementos de I est´an conectados.

Demostraci´on. Supongamos que A es simple. Dados i, j ∈ I, se tiene que 0 6= A[i] y

0 6= A[j]son ideales de A.

Que A sea simple implica que A[i]= A y que A[j]= A. Por tanto

A_[i]= A_[j].

En consecuencia [i] = [j], lo que significa que i ∼ j como quer´ıamos demostrar.

Una de las caracter´ısticas más importantes de los resultados desarrollados en esta sección es que son válidos para todo tipo de álgebras. De hecho en ningún momento se están usando identidades de ningún tipo.

Además, el resultado anterior nos permite realizar un primer acercamiento a nuestro próximo objetivo: caracterizar la minimalidad de los ideales que intervienen en la descom-posición del Teorema 2.1.

Nota3. Recordemos que por la definición clásica de minimalidad, un ideal es minimal si no contiene ideales propios, es decir si sus únicos ideales son 0 y él mismo. O lo que es equivalente, si es simple.

Sin embargo, como veremos en la siguiente sección redefiniremos la definición clásica de minimalidad en función de los ideales con base multiplicativa heredada, ya que ésto permite relacionar dicho concepto con el conjunto de ´ındices de los elementos de la base.

(39)

2.3 Componentes minimales

En esta sección trataremos de caracterizar la minimalidad de los ideales que componen la descomposición de A dada en el Teorema 2.1, en términos de las propiedades de la conexión en el conjunto de ´ındices I. Una vez dada dicha caracterización trataremos de encontrar las condiciones bajo las cuales los ideales que intervienen en la descomposición se ajustan a dicha caracterización.

En primer lugar, vamos a comenzar redefiniendo el concepto de minimalidad como sigue. Definición 2.5. Un álgebra arbitraria A que admite una base multiplicativa B se llama minimal si su único ideal no nulo que admite una base multiplicativa heredada de B es A.

Ahora introduciremos el concepto de base ?-multiplicativa en el marco de las álgebras asociativas con base multiplicativa, de forma similar al de multiplicidad cerrada para las álgebras asociativas graduadas o las álgebras split de Leibniz, Poisson y Lie color (véase [19, 20, 33, 34] para ver estas nociones y ejemplos).

Definici´on 2.6. Un ´algebra arbitraria A admite una base ?-multiplicativa B = {ei}i∈I

si es multiplicativa y dados i, j ∈ I tales que i ∈ j ? ¯k para alg´un k ∈ I entonces ei ∈ ejA∪ Aej.

Como veremos a continuación, pese a que pueda parecer lo contrario, esta propiedad es bastante común. De hecho, no es dif´ıcil encontrar ejemplos de álgebras con base ?-multiplicativa.

Ejemplo 2.8. Si consideramos el ´algebra resultante de dotar a R3con el producto vectorial usual× se tiene que la base can´onica

B= {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

se trata de una base?-multiplicativa. Ve´amoslo. Si llamamos e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1) tenemos que e1 = e2× e3 = −e3× e2 (2.7) e2 = e3× e1 = −e1× e3 (2.8) e3 = e1× e2 = −e2× e1 (2.9)

(40)

y queeiei= (0, 0, 0) para todo 1 ≤ i ≤ 3.

Luego B es multiplicativa. Adem´as tenemos que:

• Por las Ecuaciones (2.8) y (2.9) 1 ∈ 2 ? ¯3 = 3 ? ¯2 y por la Ecuaci´on (2.7)

e1= e2× R3∪ R3× e2 y e1= e3× R3∪ R3× e3.

e2= e1× R3∪ R3× e1 y e2= e3× R3∪ R3× e3.

e3= e1× R3∪ R3× e1 y e3= e2× R3∪ R3× e2.

De donde puede asegurarse que la b´ase can´onica de R3con el producto vectorial es una base?-multiplicativa.

No es dif´ıcil demostrar que una base multiplicativa B de un ´algebra A es ?-multiplicativa si y s´olo si se verifica que, para cada ei, ej, ek∈ B y 0 6= α ∈ K tales que

eiej = αek

entonces han de existir ek0, e_k00 ∈ B tales que e_k0e_j = βe_i o e_je_k0 = βe_i para cierto

0 6= β ∈ K y, por otro lado, eiek00 = γe_j o e_k00e_i = γe_j para cierto 0 6= γ ∈ K.

De hecho, esto muestra que, aunque el concepto de ?-multiplicidad pueda parecer poco intuitivo, la idea que lo sustenta es la de poder “despejar”, es decir que si un elemento de la base ei es producto (o un m´ultiplo escalar del producto) de otros dos ej y ek, entonces

existen elementos en la base, que al ser operados con ei permiten recuperar los operandos

ej y ek.

Algunos ejemplos de álgebras que admiten una base ?-multiplicativa son el álgebra (aso-ciativa) de matrices (Ejemplo 2.9), álgebras semisimples como las álgebras de Lie de di-mensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de caracter´ıstica 0 (Ejemplo 2.10), las L∗-álgebras separables o las álgebras de Lie split localmente finitas, las ágebras de Lie split consideradas en [15, §3] o el álgebra de Malcev A0(ver Sección 2.1).

(41)

Ejemplo 2.9. Considerando el Ejemplo 2.3 puede verse c´omo la base que en ´el se asigna aMn(R) es una base ?-multiplicativa ya que dados i, j, k ∈ {1, . . . , n} tales que

(i, j) ∈ (i, k) ? (j, k)

entoncesEi,j ∈ Ei,kEk,j ⊂ Ei,kMn(K) ∪ Mn(K)Ei,k.

Es importante destacar que, fijado(i, j) tal que (i, j) ∈ (a1, a2) ? (b1, b2) para ciertos

1 ≤ a1, a2, b1, b2 ≤ n ´unicamente podemos establecer la relaci´on marcada puesto que

Ei,jEb1,b2 = Ea1,a2 = θ

sib16= j.

Por tanto, se hace necesario queb1 = j y adem´as (puesto que el producto es ´unico)

entoncesa1= i y a2 = b2 = k. En consecuencia es innecesario considerar cualquier otro

supuesto.

Ejemplo 2.10. Recordando el Ejemplo 2.7 puede verse c´omo la base que en ´el se asigna a sl2(C) es una base ?-multiplicativa.

Teniendo en cuenta que el resultado de multiplicar dos elementos de la base es

[e1, e2] = −[e2, e1] = e3 (2.10)

[e1, e3] = −[e3, e1] = −2e1 (2.11)

[e2, e3] = −[e3, e2] = 2e2 (2.12)

y la matriz nula (θ) en caso contrario, tenemos que:

e1 =

1

2[e3, e1].

En consecuenciae1∈ [e3, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e3] y e1 ∈ [e1, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e1].

e2 =

1

2[e2, e3].

As´ı, e2 ∈ [e3, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e3] y e2∈ [e2, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e2].

(42)

Por tanto,e3 ∈ [e1, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e1] y e2 ∈ [e1, sl2(C)] ∪ [sl2(C), e2].

Lema 2.5. Sea A un ´algebra arbitraria con base ?-multiplicativa B = {ei}i∈I e I un

ideal de A con base?-multiplicativa BI= {ei}i∈II heredada de B conII⊂ I. Dada una

conexi´on {i1, i2, . . . , in−1, in} de i ∈ IIaj ∈ I entonces para cualquier

k ∈ φ(φ(. . . φ({i1}, i2) . . . ), in)

se verifica que0 6= ek ∈ I.

Demostraci´on. Vamos a demostrar por inducci´on sobre n que dada {i1, i2, . . . , in−1, in}

una conexi´on de i ∈ IIa j ∈ I entonces para cualquier

k ∈ φ(φ(. . . φ({i1}, i2) . . . ), in)

se tiene que

0 6= ek∈ I.

En primer lugar observemos que

0 6= ei ∈ I. (2.13)

Para el caso n = 2 se tiene que k ∈ φ({i1}, i2) con i1= i.

• Si i2 ∈ I entonces k ∈ i ? i2∪ i2? i. Por definici´on de ? se obtiene ek ∈ eiA∪ Aei.

• Si i2 ∈ I entonces k ∈ i ? i2. En tal caso, por ?-multiplicidad se tiene que ek ∈

eiA∪ Aei.

En cualquier caso ek∈ eiA∪ Aeipor lo que teniendo en cuenta la Ecuaci´on (2.13) y que

I es ideal se tiene que

ek ∈ eiA∪ Aei ⊂ I.

Supongamos que las hipótesis se cumplen para cierto n ≥ 2 es decir para cualquier conexión {i1, i2, . . . , in−1, in} de i a cualquier l ∈ I. Consideremos entonces una conexión

{i1, i2, . . . , in, in+1}

de i a j. Denotando U := φ(φ(. . . φ({i1}, i2) . . . ), in) se tiene que por hip´otesis de

induc-ci´on, dado x ∈ U entonces

(43)

Teniendo en cuenta que k ∈ φ(φ(φ(. . . φ({i1}, i2) . . . ), in), in+1) es equivalente a

k ∈ φ(U, in+1),

tenemos que para cierto x ∈ U :

• Si in+1 ∈ I entonces k ∈ x ? in+1 ∪ in+1 ? x. Por definici´on de ? se obtiene

ek ∈ exA∪ Aex.

• Si in+1 ∈ I entonces k ∈ x ? in+1. En tal caso, por ?-multiplicidad se tiene que

ek ∈ exA∪ Aex.

En cualquier caso ek ∈ exA∪ Aex por lo que teniendo en cuenta la Ecuaci´on (2.13) y

que I es ideal concluimos que

ek ∈ exA∪ Aex⊂ I

como quer´ıamos demostrar.

Una vez probado el Lema 2.5 podemos demostrar el siguiente resultado que nos permite caracterizar la minimalidad de un ´algebra arbitraria A con base multiplicativa a partir de las propiedades de la relaci´on que se ha establecido en el conjunto que indexa los elementos de dicha base.

Teorema 2.2. Sea A un ´algebra arbitraria con base ?-multiplicativa B = {ei}i∈I.

Enton-ces A es minimal si y s´olo si todos los elementos del conjunto de ´ındiEnton-ces est´an conectados.

Demostraci´on. La primera implicaci´on es similar al Corolario 2.2. En este caso si supone-mos que A es minimal, dados i, j ∈ I los 0 6= A[i] y 0 6= A[j]son ideales que admiten una

base multiplicativa heredada de B y adem´as

A_[i]= A = A_[j]

quedando entonces que i ∼ j.

Para probar la implicaci´on contraria consideraremos un ideal no nulo I de A que admita una base multiplicativa heredada de B. Podemos escribir

I= M

j∈II

Kej

(44)

Fijemos un cierto i ∈ II, por hip´otesis todos los elementos de I est´an conectados por lo

que dado cualquier j ∈ I existe una conexi´on

{i₁, i2, . . . , in−1, in}

de i a j.

As´ı, por la tercera condici´on de la Definici´on 2.2 se tiene que

j ∈ φ(φ(. . . φ({i1}, i2), . . . ), in)

de donde teniendo en cuenta el Lema 2.5, se obtiene

0 6= ej ⊂ I.

Por tanto, queda demostrado que

A=M

j∈I

Kej ⊂ I

y en consecuencia que el ´unico ideal no nulo de A que admite una base multiplicativa heredada de B es el propio A, concluyendo que A es minimal.

El inter´es que presenta esta caracterizaci´on es que, puesto que toda la estrategia se ha basado en el estudio del conjunto de ´ındices, facilita en gran medida el estudio ya que pueden aplicarse los conceptos introducidos y los resultados obtenidos, que dependen de I, para trabajar con el concepto de minimalidad.

De este modo, una vez obtenida la caracterización de la minimalidad estamos en la si-tuación idónea para buscar las condiciones que debemos exigir a un álgebra con base mul-tiplicativa para que los componentes que intervienen en la descomposición aportada por el Teorema 2.1 se ajusten a las caracter´ısticas exigidas por dicha caracterización y por tanto sean minimales.

Teorema 2.3. Sea A un ´algebra arbitraria con base ?-multiplicativa B = {ei}i∈I.

Enton-ces

A=M

k

Ik

es la suma directa de la familia de sus ideales minimales admitiendo cada uno de ellos una base?-multiplicativa heredada de B.

(45)

Demostraci´on. Por el Teorema 2.1 tenemos que

A= M

[i]∈I/∼

A_[i]

es la suma directa de los ideales A[i]que admiten una base ?-multiplicativa B[i] = {ej}j∈[i]

heredada de B.

Falta comprobar que, efectivamente, cada A_[i]es minimal. Para ello trataremos de aplicar el Teorema 2.2 a cada A[i]. Comprobemos entonces que A[i]verifica las hip´otesis de dicho

teorema.

Observemos que la única hipótesis que necesitamos verificar es que todos los elementos del conjunto [i] están [i]-conectados, es decir conectados mediante elementos de [i].

Probemos por inducci´on sobre n, con n ≥ 2, que dada una conexi´on {j1, j2, . . . , jn−1, jn}

entre dos elementos cualesquiera j, k ∈ [i] entonces

{j1, j2, . . . , jn−1, jn} ⊂ [i] ˙∪ [i].

Para n = 2 se tiene que k ∈ φ({j1}, j2) con j1 = j ∈ [i]. Tenemos entonces que:

• Si j2 ∈ I entonces por la Nota 2 podemos escribir k ∈ φ({j2}, j) y por el Corolario

2.1 se obtiene que

j2 ∈ φ({k}, ¯j)

y por tanto {k, ¯j} es una conexi´on de k a j2. Esto implica, por transitividad, que

i ∼ k ∼ j2y en consecuencia que j2∈ [i]. Luego

{j₁, j2} ⊂ [i] ˙∪ [i].

• Si j2 ∈ I entonces, puesto que k ∈ φ({j}, j2), por el Corolario 2.1 se tiene que

j ∈ φ({k}, ¯j2)

con ¯j2 ∈ I. Teniendo esto en cuenta, por la Nota 2 se tiene que j ∈ φ({¯j2}, k).

Aplicando nuevamente el Corolario 2.1 obtenemos

¯

j2 ∈ φ({j}, k)

y por tanto {j, k} es una conexi´on de j a ¯j2. Esto implica, por transitividad, que

i ∼ j ∼ ¯j2. As´ı, ¯j2 ∈ [i] y en consecuencia j2 ∈ [i]. Luego

(46)

Supongamos que la hip´otesis se verifica para un cierto n ≥ 2. Sea entonces

{j1, j2, . . . , jn, jn+1}

una conexión de j a k. Entonces por hipótesis de inducción, {j1, j2, . . . , jn−1, jn} es una

conexi´on de j a cierto l ∈ I que verifica que

{j₁, j2, . . . , jn−1, jn} ⊂ [i] ˙∪ [i].

Denotando U := φ(φ(. . . φ({j1}, j2) . . . ), jn) se tiene que el Lema 2.5 nos asegura que

0 6= ex∈ A[i]para todo x ∈ U . Esto implica que si x ∈ U entonces

x ∈ [i]. (2.15)

Para demostrar que {j1, j2, . . . , jn, jn+1} ⊂ [i] ˙∪ [i] basta con demostrar que jn+1 ∈

[i] ˙∪ [i]. Por la Definici´on 2.2 se tiene que

k ∈ φ(U, jn+1).

Teniendo esto en cuenta sabemos que existe x ∈ U tal que si jn+1∈ I entonces

k ∈ x ? jn+1∪ jn+1? x = φ({x}, jn+1)

y si jn+1 ∈ I entonces

k ∈ x ? jn+1= φ({x}, jn+1).

En cualquier caso k ∈ φ({x}, jn+1).

• Si jn+1 ∈ I entonces por la Nota 2 podemos escribir k ∈ φ({jn+1}, x) y por el

Corolario 2.1 se obtiene que

jn+1∈ φ({k}, ¯x)

y por tanto {k, ¯x} es una conexi´on de k a jn+1. Esto implica, por transitividad, que

i ∼ k ∼ jn+1y en consecuencia que jn+1∈ [i]. Luego

{j1, j2, . . . , jn, jn+1} ⊂ [i] ˙∪ [i].

• Si jn+1 ∈ I entonces, puesto que k ∈ φ({x}, jn+1), por el Corolario 2.1 se tiene

que

(47)

con ¯jn+1∈ I. Teniendo esto en cuenta, por la Nota 2 se tiene que x ∈ φ({¯jn+1}, k).

Aplicando nuevamente el Corolario 2.1 obtenemos

¯

jn+1∈ φ({x}, k)

y por tanto {x, k} es una conexi´on de x a ¯jn+1. Teniendo en cuenta la Ecuaci´on

(2.15) y por la transitividad de ∼, se deduce que i ∼ x ∼ ¯jn+1. As´ı, ¯jn+1∈ [i] y en

consecuencia jn+1∈ [i]. Luego

{j1, j2, . . . , jn, jn+1} ⊂ [i] ˙∪ [i].

As´ı, dado [i] ∈ I/ ∼ tenemos que A[i] cumple todas las hip´otesis del Teorema 2.2, de

donde podemos afirmar que A[i]es minimal, concluyendo as´ı que la descomposici´on

A= M

[i]∈I/∼

A_[i]

verifica las hip´otesis del teorema.

(48)

(49)

CAPITULO

3

Sistemas triples con bases

multiplicativas

3.1 Introducci´on y definiciones previas

En el cap´ıtulo anterior vimos que es posible estudiar la estructura de un ´algebra que admite una base multiplicativa B = {ei}i∈I trabajando ´unica y exclusivamente con el

conjunto de ´ındices de dicha base.

En el presente cap´ıtulo estudiaremos si los resultados obtenidos en el Cap´ıtulo 2 pueden extenderse para el caso de los sistemas triples con base multiplicativa.

A lo largo de este cap´ıtulo denotaremos por T un sistema triple arbitrario en el sentido de que no se establece ninguna restricción en la dimensión de T o de su cuerpo base K, ni se supone ningún tipo de identidad sobre el producto triple (asociatividad, Lie, Jordan, etc.). Esto es, T es un espacio vectorial sobre K dotado de una aplicación trilineal

T × T × T → T (x, y, z) 7→ hx, y, zi

llamada el producto triple de T .

Definici´on 3.1. Se dice que una base B = {ei}i∈I de T es multiplicativa si para cada

i, j, k ∈ I se tiene que o bien hei, ej, eki = 0 o bien 0 6= hei, ej, eki ∈ Kerpara un (´unico)

(50)

La definición de base multiplicativa ofrecida en la Definición 3.1 para el marco de los sistemas triples es algo más general que la que se considera normalmente para el caso de las álgebras ([7, 13, 14, 46]). De esta forma se extiende el concepto de base multiplicativa considerado en el Cap´ıtulo 2.

Ejemplo 3.1. Consideremos el espacio vectorial de las matricesMn×m(K), donde el

pro-ducto triple est´a dado por

hA, B, Ci := (ABt)C

(siendoBtla matriz traspuesta deB). Entonces, si consideramos la base est´andar B = {Ei,j: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} tenemos que

hE_a,b, Ec,d, Ee,fi =

(

Ea,f sib = d y c = e

0 en caso contrario

Luego B= {Ei,j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base multiplicativa deMn×m(K).

Como veremos en la presente sección, podemos encontrar con suma facilidad ejemplos de sistemas triples. De hecho, podemos encontrar tantos sistemas triples como álgebras hay y, por ende, tantos sistemas triples con base multiplicativa como álgebras con base multiplicativa hay.

Dada un álgebra A, con el producto denotado por yuxtaposición, podemos dotar el espa-cio vectorial subyacente de A con una estructura de sistema triple TAmediante la definición

del triple producto como hx, y, zi := (xy)z. Se dice entonces que TAes el sistema triple

asociado a A. En efecto, como se comentaba en el p´arrafo anterior, si A admite una base multiplicativa (en el sentido de la Definici´on 2.1), esto es, una base B = {ei}i∈I tal que

para cada i, j ∈ I se tiene que o bien eiej = 0 o 0 6= eiej ∈ Kek para alg´un r ∈ I,

entonces la base B sigue siendo una base multiplicativa para el sistema triple TA.

De este modo, podemos encontrar sistemas triples asociativos, de Lie, alternativos, de Lie, de Jordan, de Leibniz, etc. que admiten base multiplicativa. De hecho, pueden en-contrarse, como bien mencionamos anteriormente, de tantos tipos como ´algebras con base multiplicativa haya. Bastar´ıa con echar un vistazo a los ejemplos del Cap´ıtulo 2 y conside-rar sus sistemas triples asociados.

Este hecho, junto con el uso, cada vez más extendido, de la tabla de multiplicación de los elementos de una base fijada para describir el producto de un álgebra, hacen que