Procesamiento de Imágenes

(1)

1

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

G.L. Baume - 2011 Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes

(2)

1. Introducción

La tecnología digital moderna ha hecho posible la manipulación de señales multi-dimensionales.

El grado de manipulación permite hacer la siguiente clasificación:

Procesamiento

Imagen in Imagen out

Análisis

Imagen in Parámetros (números)

Entendimiento

Imagen in Pdescripción de alto nivel

Desde tierra HST (pre 1994) HST procesada HST (post 1994) http://web.njit.edu/~gary/202/Lecture6.html

3

1. Introducción

Campos de Aplicación

Existen infinidad de aplicaciones en ciencia, e ingeniería Solo unos pocos ejemplos pueden ser:

Sensores remotos: Imágenes terrestres obtenidas por satélites Astronomía: Imágenes obtenidas con telescopios o satélites Navegación (aerea, marítima, terrestre): Imágenes obtenidas

por radar, sonar o IR

Medicina: p.e. Imágenes por ultrasonido o por rayos X Biología: Imágenes obtenidas con microscopios

Ingeniería: p.e. Visión para computadoras, transmisión de datos Seguridad: p.e. Identificación de huellas digitales

etc, etc, etc...

(3)

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

5

ROI

2. Definiciones Básicas

Imagen:

Imagen analógica

Se define como una función real de dos variables reales

Ejemplo:

a(x,y), donde a es la amplitud (p.e. el brillo) de la imagen en las coordenadas x,y.

Pueden considerarse solo partes de esa función acotando el rango de las coordenadas originando las “regiones de interés” (ROI). Este concepto es útil cuando se tienen varios objetos en una imagen de manera de asociar un ROI con cada objeto.

(4)

Muestreo:

• Se divide la imagen analógica en N filas y M columnas.

• La intersección de una fila y una columna determina un “píxel”

• El valor asignado a dicho píxel es usualmente el promedio del valor de la función

a(x,y)dentro de ese píxel

Cuantización

• Se le asigna el valor entero más cercano a cada píxel

2. Definiciones Básicas

Imagen:

Imagen digital

Se define como una matriz de valores enteros

Ejemplo

La matriz A de N filas y M columnas donde cada elemento es a(i,j)

Una imagen digital se puede obtener de una imagen analógica por medio de dos procesos:

7

Procesamiento

Imagen in Imagen out

Técnicas (por ejemplo)

“Image enhancement” “Image restoration” “Edge detection” “Image Filtering”

“Image compression” y “Video processing”

2. Definiciones Básicas

(5)

γ

in out

c

I

=

2. Definiciones Básicas

Clases de procesamiento de imágenes

“Image enhancement” (mejora de imágenes):

Este proceso consiste en la transformación de las intensidades para el realzado de imágenes

Este proceso conduce a un cambio de brillo y/o contraste de una imagen

En este caso se alteran los valores de la matriz que representa la imagen (NO es solo un cambio de “stretch function”)

Por ejemplo:

Nota: El término “enhancement” suele utilizarse tambien como el concepto general de “procesamiento”

9

2. Definiciones Básicas

Clases de procesamiento de imágenes

“Image restoration”: Restauración de imágenes

“Image denoising”

Disminución del ruido de una imagen

“Image deblurring” Aclarado de imágenes

(6)

2. Definiciones Básicas

Clases de procesamiento de imágenes

“Edge detection”: Detección de bordes

“Image Filtering”: Filtrado de imágenes

Esta es una metodología del procesamiento de imágenes con la que se puede llevar a cabo alguno de los objetivos mencionados anteriormente (p.e.: restauración o detección de bordes)

El tipo de filtrado se puede clasificar como • Lineal – No lineal

• Dominio: espacial – frecuencia

11

2. Definiciones Básicas

Análisis

Imagen in Parámetros (números)

Valor medio

Desviacion estándar Moda, etc.

Tareas IRAF

imstatistic

imexamine

imhistogram

phot

(7)

Tecnicas y programas (por ejemplo)

“Image segmentation”

“FOCAS” 1981 (Faint Object Classification and Analisys System)

“Picture Processing Package” 1991 “Source Extractor” 1996

Entendimiento

Imagen in Pdescripción de alto nivel

Una chica con un sombrero mirando hacia un lado

2. Definiciones Básicas

13 Tabla indicando las posiciones de los objetos y discriminando si se trata de estrellas o galaxias

2. Definiciones Básicas

“Image segmentation” Segmentación de imágenes

Consiste en el reconocimiento de distintos elementos en una imagen

Ejemplo: La imagen presentada contiene tres (o cuatro)elementos

• Fondo • Mano • Rosquilla • Anillo ??

“Source Extractor” (1996): Herramienta para separar estrellas de galaxias en una imagen astronómica

(8)

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

15

H[ ]

f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]

[

δ

α

β

]

α

β

α

H

x

y

d

f

y

x

g

(

,

)

=

∫∫

∞

(

,

)

(

−

,

−

)

∞ −

[

]

H[k₁f₁(x, y) + k₂f₂(x, y)] = k₁H[f₁(x, y)] + k₂H[f₂(x, y)]

La función h(x,

α

,y,

β

)

es directamente la

“Point Spread Function”

(PSF) del sistema

Bajo las consideraciones hechas, ella posee toda la información

3. Filtrado de Imágenes

Conceptos Básicos

Se considera una imagen que es afectada por un sistema que se puede representar por un operador “H[ ]”

Si el operador “H[ ]” es lineal:

Entonces se puede aplicar superposición y la salida se puede expresar como:

si

h(x,

α

,y,

β

) es

la respuesta del sistema a

un impulso (centrado en α, β):

(9)

β

α

β

α

β

α

h

x

y

d

f

y

x

g

∫∫

∞ ∞ −

=

(

,

)

(

,

)

,

(

“Integral de Fredholm”

β

α

β

α

β

α

h

x

y

d

f

y

x

g

∫∫

∞ ∞ −

−

=

(

,

)

(

,

)

,

(

“Integral de Convolución”

Invarianza al desplazamiento:

h(x,

α

,y,

β

) = h(x −

α

, y −

β

)

Expresiones válidas para un sistema lineal e invariante al

desplazamiento (“LSI System”)

∑

∞ −∞ =

−

=

l k

l

n

k

m

h

l

k

f

n

m

g

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

“Convolución Discreta”

3. Filtrado de Imágenes

La imagen resultante (g(x,y)) viene dada entonces por la denominada “Integral de Fredholm”

Considerando además que el operador “H[ ]” es “invariante al desplazamiento”, la integral anterior se transforma en una

“Integral de convolución”

17

**g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)**

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

H[ ]

LSI System

f(x,y) g(x,y)

Un “Sistema LSI” queda

totalmente caracterizado

por su respuesta al impulso

3. Filtrado de Imágenes

Entonces, un “Sistema LSI”

(“Linear-Shift-Invariant”) se puede describir en forma

simple como:

• Una convolución en el dominio espacial (x,y) o

• Una multiplicación en el dominio de Fourier (u,v)

El operador

H[]

se conoce normalmente

como “filtro” o “kernel”

(10)

H[ ]

LSI System f(x,y) g(x,y)

)

0 ,

0 (

)

,

(

)

,

(

H

v

u

H

v

u

OTF

=

)

0 ,

0 (

)

,

(

)

,

(

H

v

u

H

v

u

MTF

=

3. Filtrado de Imágenes

Sistema óptico LSI: En este caso particular, se definen las siguientes funciones:

• OTF:

“Optical Transfer function”

Es la función de transferencia normalizada

• MTF:

“Modulation Transfer function”

Es el módulo de la OTF 19

H[ ]

f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones

Algunas aplicaciones destacadas de la técnica de filtrado de imágenes son:

• Suavizado de Imágenes (“Smoothing”) • Detección de bordes (“Edge detection”) • Realce de detalles (“unsharp masking”) • Restauración de Imágenes (“Restoration”) G.L. Baume - 2011 Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes

(11)













=

1 ...

1

1 ...

1

1 )

,

(

₂

M

O

M

N

n

m

h

N = tamaño del filtro

Efectos:

Suaviza el ruido (“denoising”): En tamaño moderado, mejora la SNR Borronea los bordes

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones

1. Suavizado de Imágenes:

Filtro “Average” (Promedio):

Nota: Existe un problema al procesar los píxeles de los bordes. Esto se puede solucionar agregando valores ficticios “fuera” de la matriz original y puede hacerse según diversos criterios, por ejemplo:

Efecto espejo Valor medio Valor más cercano ₂₁

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones 1. Suavizado de Imágenes:

Filtro “Average” (Promedio):

Ejemplos

Imagen original N = 3 N = 7 Imagen original N = 3 N = 9 N = 35 N = 5 N = 15 22

(12)

2N = tamaño del filtro

N

n

m

N

n

m

Z

n

m

h

≤

−













₊

−

=

,

2 exp

1 )

,

(

₂ 2 2

σ

Imagen original σ = 80 σ = 15 σ = 230 σ = 30 σ = 5

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones 1. Suavizado de Imágenes: Filtro “Gaussiano”: 23 Efectos:

Similares al caso “Average”

Suaviza el ruido (“denoising”): En tamaño moderado, mejora la SNR Borronea los bordes

2 2 2 2 2

y

f

x

f

∂

+

∂

=

∇

0 4 -1 -1 0 -1 0 -1 0 -1 8 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -4 1 1 0 1 0 1 0 1 -8 1 1 1 1 1 1 1 Imagen

original Imagenfiltrada

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones

2. Detección de bordes:

Filtro “Laplaciano”: La expresión analítica es:

Mientras que las versiones discretas puede ser una de las siguientes:

(13)

3. Filtrado de Imágenes

Aplicaciones

3. Realce de detalles:

“Unsharp masking”:

Este filtrado consiste en una combinación de un filtrado gaussiano y la imagen original. La expresión del “kernel” es:













=

−

=

0 ...

0

1

0 ...

0

2 )

,

(

M

I

G

I

n

m

h

I = kernel identidad G = kernel gaussiano Imagen original Imagen luego de aplicar un filtro gaussiano Imagen luego de aplicar un filtro laplaciano Imagen luego de aplicar un “unsharp masking” 25

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

(14)

4. Restauración de Imágenes

Objetivo

Hallar cómo era una imagen original luego que ha sido degradada de alguna forma (por el sistema de observación)

Degradación

Se pueden distinguir dos fuentes:

• Borroneo (“blur”): Debido al movimiento relativo entre el detector y el objeto, turbulencia atmosférica, imágenes fuera de foco

• Ruido (“noise”): Debido a diversas causas como los granos en una fotografía o ruido electrónico (ruido Jhonson) y ruido de cuantización en sistemas digitales

27

4. Restauración de Imágenes

Beneficios

Obtener mayor resolución:

• Mejorar las posibilidades de identificación de objetos en una imagen: La reducción de la superposición de objetos permite la identificación mas sencilla de las características presentes en la imagen (para ello se necesitan SNRs elevadas) • Poder hacer un mejor análisis cuantitativo • Mejorar como luce una imagen

“Problema Inverso”: Esta es la forma en que se denomina en Matemáticas este tipo problema de reconstrucción el objetivo original

(15)

g(x,y) =H[f(x,y)] + n(x,y)

g(x,y): Iimagen observada

f(x,y): Imagen original (no degradada) H[ ]: Operador de la degradación

introducida por el sistema n(x,y): Ruido aditivo

Entre los posibles defectos que un sistema de imagen puede causar degradación se encuentran: • Desenfocado • Movimiento • No linealidad en el sensor • Ruido • Etc....

4. Restauración de imágenes

Modelos de degradación

Es necesario hacer un modelo de cómo fue degradada la imagen y utilizar un método inverso

Modelo: Si se supone que la imagen fue degradada por medio de un proceso lineal e invariante con el desplazamiento y además afectado por ruido, entonces se tiene el siguiente esquema:

29

H[ ]

f(x,y) g(x,y)

g(x,y) = H[f(x,y)]

**g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)**

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

4. Restauración de imágenes

Modelos de degradación

Modelo simplificado:

1. Suposiciones:

Se considera un modelo con las siguientes caracteríticas:

• sin ruido

• un “Sistema LSI”

(16)

**g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)**

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

Incógnitas Datos

4. Restauración de imágenes

Modelos de degradación

Modelo simplificado:

2. Respuesta al impulso:

h(x,y)

En general, es necesario estimar h(x,y) a partir de las imágenes de objetos a los que se les conoce las propiedades. Usualmente se estima la función transferencia del sistema que es la transformada de Fourier de la h(x,y) (_F[h(x,y)] = H(u,v))

En Astronomía, los objetos conocidos son las estrellas que se adoptan como objetos puntuales (delta de Dirac) y su imagen observada es directamente la PSF (h(x,y))

Proceso de Deconvolución: Se denominan así a los métodos utilizados para estimar la imagen original (f(x,y)) a partir de la imagen observada

(g(x,y)) teniendo una estimación de la PSF. 31

4. Restauración de imágenes

Métodos de deconvolución

Clasificación de los métodos: Los métodos se pueden clasificar de varias formas. Clasificación 1:

“No-blind deconvolution”: la función h(x,y) es cononocida “Blind deconvolution”: la función h(x,y) es descononocida

Clasificación 2:

Métodos lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que no dependen del modelado utilizado para el ruido de las observaciones (n(x,y))

Métodos no lineales: Se basan en funciones originales (f(x,y)) que explícitamente adoptan un modelo para el ruido (n(x,y))

(17)

Métodos no lineales

Richardson-Lucy (RL)

Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393; Lucy 1974, AJ 79, 745

Maximum Entropy (ME - MEM) Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520 Sigma-Clean (SC) Hogborn 1974, A&AS 15, 417 Clark 1980, A&A 83, 337 Keel 1991, PASP 103, 723 Deconvolución Regularizada Métodos lineales Fourier-Wiener (FW)

Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall

• Filtrado Inverso • Filtrado de Wiener

Iterative Least-Squares (ILS)

Katsaggelos 1991 en Digital Image Restoration, Springer

4. Restauración de imágenes

Métodos de deconvolución

Clasificación de los métodos:

Busko 1994, PASP 106, 1310

33

Problema Importante:

Dado que en la deconvolución se realiza un cociente, si H(u,v) posee ceros (o valores pequeños) el proceso puede provocar overflow durante su cómputo

)

,

(

)

,

(

1 )

,

(

G

u

v

u

H

v

u

F

_











=

G(u,v) = F(u,v) H(u,v)

f(x,y) =

_F

-1

_[F(u,v)]













=

)

,

(

1 )

,

(

v

u

H

v

u

Filtro

Filtro Inverso

4. Restauración de imágenes

1. Filtrado Inverso

En el modelo simplificado sin ruido planteado anteriormente se obtiene una simple multiplicación en el dominio de Fourier

Entonces, la forma directa de hallar la imagen original es:

Haciendo un cociente

Tomar la transformada inversa de Fourier El proceso entonces permite aparentemente

lograr “una recuperación perfecta de la señal buscada”

(18)









≤

>

=

δ

)

,

(

0 )

,

(

)

,

(

1 )

,

(

v

u

H

si

v

u

H

si

v

u

H

v

u

Filtro

Filtro Pseudo-inverso

δ = umbral pequeño

4. Restauración de imágenes

Solución: Una forma de evitar (o aminorar) el problema anterior es adoptar valores pequeños para el filtro cuando éste tiende a diverger

35 Filt ro inve rso Filtro Pseudo-inverso δ

4. Restauración de imágenes

Ejemplo: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” o de un “Filtro Pseudo-inverso” a una imagen borroneada

(19)

Filtrado Inverso Filtrado Pseudo-inverso

4. Restauración de imágenes

1. Filtrado Inverso Ejemplo:

• Se nota la presencia de patrones periódicos (lineas verticales) en ambos resultados

• Los patrones de ruido repetitivos son causados por picos en la función estimada para F(u,v)

37 Filtrado Inverso (f(x,y)) F(u,v) estimada (negativo) Pico a eliminar

F

-1 Transformada _{Inversa de} Fourier

F

-1 Supresión de los picos

4. Restauración de imágenes

1. Filtrado Inverso Ejemplo:

• Para solucionar este inconveniente, normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final

(20)

Otro problema:

Si se considera un caso más realista donde aparece el término del ruido y se aplica el procedimiento anterior, aparece un término adicional que puede ser dominante (normalmente a frecuencias elevadas)

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

ˆ

)

,

(

)

,

(

)

,

(

ˆ

v

u

H

v

u

N

v

u

F

v

u

F

v

u

H

v

u

G

v

u

F

+

=

G(u,v) = F(u,v) H(u,v) + N(u,v)

g(x,y) = f(x,y) h(x,y) + n(x,y)*

4. Restauración de imágenes

39

Filtro Inverso Limitado Radialmente











>

+

≤

+

=

R

v

u

si

R

v

u

si

v

u

H

v

u

Filtro

2 2 2 2

0 )

,

(

1 )

,

(

R = radio límite

Como justificaciones para este tipo de filtro se pueden mencionar que:

• La energía de las imágenes normalmente se concentra a bajas frecuencias

• La energía del ruido se halla aproximadamente distribuida sobre todas las frecuencias (“white noise”)

4. Restauración de imágenes

Solución: Una forma de evitar el problema anterior es hacer el filtrado solo en una parte limitada del “plano

u-v”, o sea utilizar un filtro acotado

solo a las frecuendias bajas

(21)

Imagen original Imagen borroneada (observada) Filtrado Inverso

4. Restauración de imágenes

Ejemplo: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso” a una imagen borroneada

41

Imagen borroneada (observada)

Filtrado Inverso Limitado Radialmente

R = 40 R = 70 R = 85

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 1: Resultado obtenidos a partir de la aplicación de un “Filtro Inverso Limitado Radialmente” a una imagen borroneada

(22)

4. Restauración de imágenes

1. Filtrado Inverso Ejemplo 2: 43 Imagen de una estrella aislada observada con problemas de tracking Imagen de una estrella doble observada con problemas de tracking Imagen de la estrella doble restaurada a partir de la imagen de una estrella aislada

(

2

)

2

)

,

(

ˆ

)

,

(

x

y

f

x

y

f

E

e

=

−

4. Restauración de imágenes

2. Filtrado de Wiener

En éste método se considera tanto a la imagen como al ruido como procesos aleatorios

Se trata de encontrar, entonces, una “función

estimadora de

f(x,y)

” (

f^(x,y)

) de manera de

minimizar el error medio cuadrático Consideraciones:

• El ruido (

n(x,y)

) y la imagen (

f(x,y)

) no se

hallan correlacionadas

• Alguno de los dos posee valor medio nulo

• Los niveles de intensidad de la imagen estimada (

f^(x,y)

) son funciones lineales de los

niveles de intensidad de la imagen degradada (

g(x,y)

)

(23)

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( * ) , ( ˆ 2 G u v v u S v u H v u S v u S v u H v u F n f f + = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( ˆ 2 2 v u G v u S v u S v u H v u H v u H v u F f n             + =

Filtro de Wiener

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( 2 2 v u S v u S v u H v u H v u H v u Filtro f n + = 1 / SNR2

4. Restauración de imágenes

La función

f^

viene dada por las

expresiones de la derecha, donde aparecen:

• Distribución espectral de energía de

la señal:

S

_f

(u,v) = |F(u,v)|

2

• Distribución espectral de energía del

ruido

S

_n

(u,v) = |N(u,v)|

2 45

Filtro de Wiener

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( 2 2 v u S v u S v u H v u H v u H v u Filtro f n + = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( ˆ 2 2 v u G K v u H v u H v u H v u F         + =

4. Restauración de imágenes

2. Filtrado de Wiener Propiedades:

• Si el ruido es nulo (

S

_n

(u,v) = 0

), el

“filtro de Wiener” se reduce al “filtro inverso” estudiado antes

• El espectro de potencia del ruido es constante si se trata de ruido blanco (

“white noise”

)

Si no se conocen muy bien los parámetros del ruido, se puede introducir el

“término K”

. Este se considera como

un parámetro libre que se ajusta interactivamente para obtener el mejor resultado, aunque generalmente es mejor estimar la

SNR

como función de

u

y

v

(24)

Imagen borroneada (observada) Filtro Inverso Filtro Inverso Limitado Radialmente (R = 70) Filtro de Wiener

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen borroneada 47 Imagen observada PSF Imagen recuperada (Wiener)

Se nota que la imagen recuperada posee mejor resolución pero existen

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 2: Aplicación a una

observación astronómica

(25)

Denoising Wiener Filter

) , ( ) , ( ) , ( 1 1 ) , ( v u S v u S v u S K v u Filtro n f f + = + =

4. Restauración de imágenes

“Denoising Wiener filter”:

Este es un caso particular del “Filtro de Wiener” con el que solo intenta eliminar el ruido y no el borroneado de la imagen

Este surge considerando H(u,v) = 1 en la expresión general

49

Denoising Wiener Filter

) , ( ) , ( ) , ( 1 1 ) , ( v u S v u S v u S K v u Filtro n f f + = + =













=

)

,

(

1 )

,

(

v

u

H

v

u

Filtro

Filtro Inverso









≤

>

=

δ

)

,

(

0 )

,

(

)

,

(

1 )

,

(

v

u

H

si

v

u

H

si

v

u

H

v

u

Filtro

Filtro Pseudo-inverso

δ = umbral pequeño

Filtro Inverso Limitado Radialmente











>

+

≤

+

=

R

v

u

si

R

v

u

si

v

u

H

v

u

Filtro

2 2 2 2

0 )

,

(

1 )

,

(

R = radio límite

Filtro de Wiener

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( 2 2 v u S v u S v u H v u H v u H v u Filtro f n + =

4. Restauración de imágenes

Resumen de Filtros Fourier-Wiener

(26)

convolve: Convolve a list of 1 or 2-D images with a rectangular filter fmedian: Quantize and box median filter a list of 1D or 2D images fmode: Quantize and box modal filter a list of 1D or 2D images frmedian: Quantize and ring median filter a list of 1D or 2D images frmode: Quantize and ring modal filter a list of 1D or 2D images gauss: Convolve a list of 1 or 2-D images with an elliptical Gaussian gradient: Convolve a list of 1 or 2-D images with a gradient operator laplace: Laplacian filter a list of 1 or 2-D images

median: Median box filter a list of 1D or 2D images mode: Modal box filter a list of 1D or 2D images rmedian: Ring median filter a list of 1D or 2D images rmode: Ring modal filter a list of 1D or 2D images

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Paquete images.imfilter:

Este paquete posee una variedad de filtros:

51

Paquete stsdas.analysis.restore:

forward: Calcula la transformada de Fourier de una imagen

inverse: Calcula la trasnformada inversa de Fourier de una imagen

wiener: Aplica un un filtro de Fourier a una imagen para realizar la deconvolución.

• Los filtros posibles son: - inverse (alpha = 0) - wiener (alpha = 1) - geometric (alpha = 0.5) - Parametric

• La tarea permite diversos modelos para estimar los espectros

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Paquete stsdas.analysis.fourier:

(27)

Wiener task: Filter implementation

The most general filter implementation may be written as: F(u,v) = G(u,v) * (I(u,v) ** alpha) * (W(u,v) ** (1.-alpha)) Where:

F(u,v) = the estimated image Fourier transform, G(u,v) = the input, degraded image Fourier transform, I(u,v) = the inverse filter function,

W(u,v) = the Wiener filter function, and alpha = a parameter.

(u,v is spatial frequency)

For alpha=0 we have the standard Wiener filter, and for alpha=1. the standard inverse filter. By varying alpha between 0. and 1. we may emphasize the relative effect of each filter. The so-called geometric mean filter is obtained setting alpha=0.5. This geometric mean filter was introduced [1] as an attempt to de-emphasize the low-frequency dominance of the Wiener filter, while avoiding the early singularity of the inverse filter.

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

53

Wiener task: Filter implementation

The inverse filter is simply: H*(u,v)

I(u,v) = ---(abs(H(u,v)))**2 and the Wiener filter is:

H*(u,v)

W(u,v) = ---(abs(H(u,v)))**2 + (Pn(u,v) / Pg(u,v)) Where:

H(u,v) = the PSF Fourier transform, H*(u,v) = the PSF complex conjugate, Pn(u,v) = the noise power spectrum, and

Pg(u,v) = the original, undegraded image, power spectrum

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

(28)

Métodos no lineales

Richardson-Lucy (RL)

Richardson 1972, Opt. Eng. 29, 393; Lucy 1974, AJ 79, 745

Maximum Entropy (ME - MEM) Wu 1993, ASP Conf. Ser. 52, 520 Sigma-Clean (SC) Hogborn 1974, A&AS 15, 417 Clark 1980, A&A 83, 337 Keel 1991, PASP 103, 723 Deconvolución Regularizada Métodos lineales Fourier-Wiener (FW)

Andrews & Hunt 1977 en Digital Image Restoration, Prentice-Hall

• Filtrado Inverso • Filtrado de Wiener

Iterative Least-Squares (ILS)

Katsaggelos 1991 en Digital Image Restoration, Springer

4. Restauración de imágenes

Métodos de deconvolución

Clasificación de los métodos:

Busko 1994, PASP 106, 1310 55

∑

=

j j j i i

h

f

g

_, j h j j i = ∀

∑

_, 1

Convolución

Discreta

Donde: h_ij= PSF discreta f_i= imagen original

4. Restauración de imágenes

3. Método de Richardson-Lucy (RL)

El algoritmo de Richardson-Lucy corresponde al caso MLE en el que se realiza una estimación de

“maximun a posteriori” adoptando “a priori” una

distribución uniforme P(f)

Se parte del planteo de la convolución en el caso discreto como una sumatoria

(29)

∑

=

+ i j i t i i t j t j

h

g

f

( 1) ( ) ₍ ₎ _,

ˆ

∑

= k k i t k t i f h gˆ() () _, Donde: Normalmente la iteración se inicia considerando: f_j(0)_{= constante}

4. Restauración de imágenes

Si se hace un análisis estadístico suponiendo que el ruido sigue una distribución de Poisson, se encuentra que la imagen original f_i “más probable” (“Maximum Likelihood Solution”) dada la imagen observada g_i y conocida la PSF h_ij viene dada resolviendo la ecuación iterativa presentada a la derecha

Nota: Hay versiones que tienen en cuenta además las características del detector (ruido de Poisson + gaussiano; ver Snyder 1990, The Restoration of HST

Images and Spectra)

57

Imagen recuperada (Richardson-Lucy)

Super-resolución: Se conoce así a los

casos en los que es posible recuperar información de frecuencias más elevadas que la frecuencia de corte impuesta por el sistema de medida Imagen

observada

PSF

Se nota que en la resolución es muy buena (“super-resolución”) que permite reconocer un cuarto componente

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 1:

(30)

Imagen recuperada (Richardson-Lucy) Imagen recuperada (Wiener)

Existen valores negativos

(no físicos) Se obtienen todos valores positivos y mejor resolución

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 1: Comparación de los resultados obtenidos a partir de la aplicación de diferentes filtros a una imagen observada

59 Imagen original Imagen borroneada (“Diffraction limited”) SNR = 2500 SNR = 250 SNR = 25 PSF El método trabaja mejor para SNRs

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferentes SNRs

(31)

El método sufre de amplificación de ruido No existe una forma clara de cuando terminar

de iterar. Iteraciones 200 26 500 1000 2000 5000 SNR = 250

4. Restauración de imágenes

Ejemplo 2: Resultados obtenidos para diferente cantidad de iteraciones a partir de una dada SNR

61 Imagen original R-L

4. Restauración de imágenes

3. Método de Richardson-Lucy (RL) Ejemplo 3:

Resultados obtenidos al aplicar el método a una imagen de Saturno obtenida con la WF/PC cámara del HST antes de la reparación

En la imagen restaurada se distinguen mucho mejor los detalles atmosféricos y los bordes de los anillos

(32)

SNR = 2500

2000 iteraciones

4. Restauración de imágenes

3. Método de Richardson-Lucy (RL) Propiedades del método:

Resultados positivos:

Dado que los datos observacionales (g_i) son positivos en el caso de Poisson, la forma del algoritmo garantiza que la solución es siempre positiva (o cero) en cada píxel.

Conservación de la energía:

La energía es preservada tanto en escala global como local

Amplificación del ruido:

Este tipo de técnica (“maximum likelihood”) sufre del problema de “amplificación del ruido”, por lo que el algorítmo funciona mejor cuanto mayor es la SNR

63

SNR = 2500

2000 iteraciones

4. Restauración de imágenes

3. Método de Richardson-Lucy (RL) Propiedades del método:

Determinación dificil del final de las iteraciones:

• Luego de gran cantidad de iteraciones, las diferencias obtenidad son pequeñas y muy probablemente debidas al efecto de “amplificación del ruido”

• Las iteraciones se detienen cuando se alcanza un resultado “aceptable”. Aunque existe una variedad de criterios para definir exactamente cuando se considera “aceptable” un resultado (ver Bi & Borner 1994, A&AS 108, 409)

(33)

Entropía: No existe una única definición para esta función y depende de como se realize la implementación del método. Entre las funciones más utilizadas se encuentran las presentadas a la derecha

( )

∑

=

i i

f

H

₁

ln

( )

∑

−

=

i i i

f

H

₂

ln

Entropía utilizada usualmente en radio Entropía utilizada usualmente en óptico

( )

∑

+

−

=

i i i i i i

z

f

H

ln

3 Entropía utilizada usualmente en rayos X (zi= eficiencia de detección)

4. Restauración de imágenes

4. Maximum Entropy (ME - MEM)

Este método se basa en maximizar una función de la imagen observada denominada “Entropía”

65

4. Restauración de imágenes

4. Maximum Entropy (ME - MEM) Propiedades del método:

La resolución obtenida depende de la SNR, aunque es posible alcanzar “super-resolución” de hasta un orden de magnitud

El resultado posee un “bias”, ya que el ruido resultante posee una media no nula. Sin embargo, éste “bias” es mucho menor que el ruido cuando la SNR >> 1

MEM manipula mejor el ruido de Poisson y evita ondulaciones con valores negativos

MEM es una aproximación muy flexible al problema de deconvolución lo que permite tratar con datos heterogéneos y provee una herramienta poderosa para trabajar con mosaicos

(34)

Imagen original

MEM

4. Restauración de imágenes

4. Maximum Entropy (ME - MEM) Ejemplo 1:

Observaciones del objeto 3C 273 en rayos X con el satélite Einstein (Willingale 1981, MNRAS 194, 359)

La deconvolución con MEM revela más claramente la presencia del jet en rayos X y que se corresponde con lo observado en el óptico

67

Imagen original

MEM

4. Restauración de imágenes

4. Maximum Entropy (ME - MEM) Ejemplo 2:

Resultados obtenidos al aplicar el método a una imagen de Saturno obtenida con la WF/PC cámara del HST antes de la reparación

En la imagen restaurada se distinguen mucho mejor los detalles atmosféricos y los bordes de los anillos

(35)

4. Restauración de imágenes

5. Sigma-Clean (SC)

Ésta técnica es utilizada frecuentemente en radioastronomía y se considera que el objeto se halla compuesto por un conjunto de fuentes puntuales

69 El procedimiento consta de los siguientes pasos:

• Localizar la intensidad máxima en la imagen a procesar (“dirty image”)

• Sustraer una fracción (ε = “loop gain”) de su intensidad estimada con un modelo

de PSF (

“dirty beam”

).

Usualmente: ε = 0.01 para fuentes extendidas y ε = 0.1 o mayor para fuentes puntuales

• Repetir el proceso hasta alcanzar un valor mínimo de SNR (criterio de convergencia) obteniendo una imagen residuo (“residual map”)

• La imagen mejorada (

“clean image”

) viene dada por la convolución de la posición

de todos los máximos (δ-dirac) con una PSF ideal (“clean beam”) y adicionándole el residuo (

“residual map”

)

Nota: El “clean beam” es usualmente una gaussiana y es necesario para evitar componentes de alta frecuencia no reales en la imagen final

Imagen

original Imagendegradada

MEM (-I ln I) MEM (I1/2) MEM (-ln I) SC

4. Restauración de imágenes

Comparación entre MEM y SC

MEM es más rápido que CLEAN en el caso de imágenes grandes (con mas de

10

6

_pixeles

₎

(36)

4. Restauración de imágenes

Consideraciones Generales

Salvo FW, el resto de los algorítmos son iterativos y es necesario imponerles algún criterio de convergencia. Solo SC posee éste criterio implícito en el método. En los otros casos el criterio usual se basa en la comparación de los resultados obtenidos con la imagen de referencia

En el caso de FW, el filtrado se caracteriza porque los resultados presentan “ruido periódico” (patrones de ruido repetitivos) que son causados por picos en la función F(u,v). Para solucionar esto,

normalmente se procede a suprimir esos picos antes de efectuar la transformada inversa para obtener el resultado final

71

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Paquete stsdas.analysis.restore:

lucy: Restore an image using the Lucy-Richardson method algorithm.

original data

image_n+1 = image_n --- * reflect(PSF) image_n * PSF

where: * = convolution operator reflect(PSF) = PSF(-x,-y)

(37)

4. Restauración de imágenes

Ejemplo

Localización en el infrarrojo medio de una fuente coincidente con el agujero negro Sagittarius A utilizando técnicas de deconvolución (Stolovy et al. 1996 ApJ 470 L45)

73

R-L

Detalle del recuadro aplicando diferentes métodos de deconvolución

4. Restauración de imágenes

El punto de vista Bayesiano

Hipótesis de Bayes:

Los distintos métodos no lineales puedes considerarse como diferentes variantes de un planteo más general identificados por la igualdad de Bayes

En este marco, La imagen más problable

f(xy)

,

dada una medida

g(x,y)

, se obtiene con las

siguientes consideraciones: • Maximizando

P(f/g)

• Adoptando una

P(g/f)

dada por un modelo de

formación de la imagen

• Y, si es posible, con un conocimiento “a

priori”

P(f)

de las características de la imagen

original (p.e.: fuentes puntuales o variación suave de la intensidad)

74

)

(

)

(

)

|

(

)

|

(

g

P

f

P

f

g

P

g

f

P

=

⋅

P(f|g): Probabilidad “a posteriori” P(f): Probabiliddad “a priori” P(g|f): Probabilidad condicional P(g): Probabilidad marginal

(38)

4. Restauración de imágenes

El punto de vista Bayesiano

Métodos:

Los métodos de decovolución se clasifican entonces, en relación con la forma en que ellos maximizan P(f/g), así se tienen:

• MAP = “Maximum a posteriori”: Se maximiza P(g|f) P(f)

• MLE = “Maximum likelihood estimator”: Es MAP considerando P(f)=cte. Solo se maximiza P(g|f)

• MEM = “Maximum entropy method”: Es MAP con P(f) dado por la “hipótesis de máxima entropía” (= mínima incerteza de datos)

• “Regularization method”: Es MAP pero con determinadas restricciones sobre P(f)

)

(

)

(

)

|

(

)

|

(

g

P

f

P

f

g

P

g

f

P

=

⋅

P(f|g): Probabilidad “a posteriori” P(f): Probabiliddad “a priori” P(g|f): Probabilidad condicional P(g): Probabilidad marginal (constante de normalización) 75

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

(39)

5. Combinación de Imágenes

Introducción

Es usual adquirir varias imágenes de un mismo objeto. Esto se puede deber a diversas causas:

• El objeto es muy extenso y no puede ser cubierto por el FOV del sistema de observación utilizado • El objeto es muy debil y requiere un tiempo de

integración extremadamente elevado (mas alla del permitido por el sistema de observación para una única observación)

• Facilitar la eliminación de alguna clase de ruido (p.e.: remover efectos de los rayos cósmicos) o de algún defecto del detector (p.e.: píxeles y/o columnas en mal estado)

En esta situación es necesario obtener una única imagen a partir de la combinación de varias imágenes

77 x’

y’

To Measure the Sky Chromey 2010

5. Combinación de Imágenes

Alineación simple: Solo translación

Para poder realizar la combinación, las imágenes deben hallarse “alineadas”, o sea todas ellas deben tener el mismo objeto puntual (estrella) localizado en las mismas coordenadas

El proceso más simple de alineación consiste en una translación de todas las imágenes tomando como referencia objetos en común en las distintas imágenes. Este proceso solo es válido si se verifica que:

las distintas imágenes fueron adquiridas con el mismo “sistema de observación” (igual escala) en forma sucesiva (no existe rotación)

el desplazamiento entre imágenes y/o el FOV no es elevado (se puede aproximar la esfera celeste a un plano tangente)

El instrumental no produce deformación

78

(40)

5. Combinación de Imágenes

Tipos de combinaciones

El objetivo final de la combinación puede ser producir:

• “Overlap”:

Imagen mejorada de la zona en común de las distintas imágenes individuales. En este caso es necesario recortar las partes en común (generar una matriz más pequeña) y luego realizar la combinación

• “Mosaic”:

Imagen que cubre una zona más amplia que las imágenes originales

En este caso es necesario generar una matriz más grande y realizar la combinación asignando un valor constante artificial para la zona en la que no existen datos. Usualmente se utiiza un valor negativo (p.e.: -9999)

79

5. Combinación de Imágenes

Alineaciones complicadas:

Transformaciones geométricas

El caso más general de alineación de imágenes NO consiste solo en una translación debiendo aplicarse otras transformaciones adicionales como son:

• Magnificación: Las diferentes imágenes no poseen la misma escala debido a que fueron obtenidas con distintos insturmentos.

• Rotación: Esta puede surgir aún utilizando el mismo instrumental, ya que el mismo puede tener una alineación diferente para distintas observaciones. Puede deberse también a defectos en la alineación polar del telescopio (montura ecuatorial) o en el trabajo del rotador de campo (montura altazimutal)

• Distorsión: Estas pueden ser originadas tanto por

(41)

5. Combinación de Imágenes

Alineaciones complicadas: Transformaciones geométricas

Para poder hacer la combinalción es necesario obtener para cada imagen una

transformación geométrica (

f

_iy

g

_i) entre las coordenadas de cada imagen (

x

_i,

y

_i)

y un sistema de coordenadas final o “coordenadas estándard” ((((

η, ξ

)))). Estas últimas pueden ser

α; δ, ∆α; ∆δ

(respecto a alguna coordenada de referencia) o simplemente los valores en píxeles de alguna de las imágenes originales

81

)

,

(

)

,

(

η

ξ

η

ξ

i i i i

g

y

f

x

=

(

x

₁

,

y

₁

)

(

x

₂

,

y

₂

)

(

x

₃

,

y

₃

)

(

x

₄

,

y

₄

)

ξξξξ

η

5. Combinación de Imágenes

Alineaciones complicadas:

Transformaciones geométricas

Para determinar dichas transformaciones:

• Se adoptan funciones (

f

y

g

) adecuadas al

tipo de transformación que se desea efectuar con una cierta cantidad de parámetros libres (

N

)

• Se determinan las coordenadas en ambos sistemas de coordenadas (individual y estándard) de un conjunto de

M

objetos

(

M ≥ N

)

• Se determinan los valores de los parámetros libres en base al ajuste por mínimos cuadrados

• Se aplican las transformaciones a toda la imagen a alinear

Nota importante: NO todas las transformaciones

conservan el flujo de una imagen

82

)

,

(

)

,

(

η

ξ

η

ξ

g

y

f

x

=

Transformaciones genéricas y x

M

sen

cos

y

M

sen

cos

x

)

(

)

(

θ

ξ

θ

η

θ

η

θ

ξ

−

+

∆

=

+

∆

=

η

ξ

η

ξ

y y y x x x

c

b

a

y

c

b

a

x

+

=

+

=

Transformaciones lineales: Translación (

∆

x

,

∆

y

) Rotación (

θ

) Magnificación (

M

_x,

M

_y)

(42)

5. Combinación de Imágenes

“Dither = Shift-and-stare”

Esta es una técnica observacional que consiste en tomar sucesivas imágenes de un mismo campo moviendo levemente el telescopio entre ellas de una forma sistemática. De esta forma es posible alinear y

combinar dichas imágenes y:

Minimizando la cantidad de objetos saturados

Eliminando el ruido producido por rayos cósmicos y/o defectos del detector

83 Limpieza de rayos cósmicos mediante la combinación de 12 imágenes de un campo obtenido con la WFPC2 del HST. En cada imagen el telescopio poseía un “poiting” levemente diferente. La imagen de la izquierda es una de las imágenes individuales mientras que la de la derecha es la imagen combinada

http://www.adass.org/adass/proceedings/adass99/O6-02/ Detalles:

Fruchter et al. 1997, Proceedings of the 1997 HST Calibration Workshop

Gonzaga et al. 1998, The Drizzling Cookbook, STScI Instrument Science Report WFPC2 98-04 http://www.stsci.edu/hst/wfpc2/analysis/wfpc2_patterns.html

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Algunos ejemplos

Tarea imexamine: Permite determinar la posición precisa de las coordenadas de objetos comunes en distintas imágenes

Paquete images.imgeom: Posee tareas que permiten realizar transformaciones básicas sobre imágenes

imshift: Shift a list of 1-D or 2-D images magnify: Magnify a list of 1-D or 2-D images rotate: Rotate and shift a list of 2-D images imlintran: Linearly transform a list of 2-D images

(43)

imalign: Align and register 2-D images using a reference pixel list

geomap: Compute geometric transforms using matched coordinate lists geotran: Transform 1-D or 2-D images using various mappinng transforms wcsmap: Compute geometric transforms using the image wcs

wregister: Transform 1-D or 2-D images using the image wcs

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Algunos ejemplos Paquete immatch: Posee tareas que permiten:

Alinear diferentes imágenes

Realizar sobre ellas transformaciones más sofisticadas

85

imcombine: Combine images pixel-by-pixel using various algorithms

4. Restauración de imágenes

Herramientas IRAF:

Algunos ejemplos Paquete immatch:

Además posee la tarea base que permite combinar imágenes utilizando diversos algoritmos:

86 Paquete stsdas.toolbox.imgtools

imcalc: Perform general arithmetic operations on images

Ejemplo: Esta tarea es util para generar mosaicos implementando una

operación lógica que permita seleccionar las diferentes imágenes que conforman la imagen final una vez que cada una ha siso transformada

(44)

Procesamiento de Imágenes

1. Introducción

2. Definiciones Básicas

3. Filtrado de Imágenes

4. Restauración de Imágenes

5. Combinación de Imágenes

6. Imágenes color

87

6. Imágenes color

Introducción

Las imágenes astronómicas consisten en diferentes niveles de intensidad

• En principio, dichos niveles se representan como diferentes niveles de

grises (a traves de una “stretch function”)

• Aunque dichos niveles tambien pueden representarse por sucesivos colores No obstante, usualmente existe información

del color en una imagen. Ella se encuentra

indicada por el filtro en el que se realizó la observación

Niveles de intensidad como niveles de grises

Niveles de intensidad como

(45)

6. Imágenes color

Representación del color:

Existen dos modelos para representar una imagen en color:

Modelo aditivo (RGB model): Consiste en un conjunto de tres imágenes en las que cada pixel representa el brillo de los colores Rojo, Verde y Azul. Este modelo se utiliza en el despliegue de imágenes

Modelo sustractivo (CMYK model): Consiste en un conjunto de cuatro imágenes en las que cada pixel representa el nivel de oscuridad de los colores Cian, Magnenta, Amarillo y Negro. Este modelo se utiliza en la impresión de imágenes

RGB model

CMYK model

89

Imagen color construida utilizando varias imágenes en diferentes filtros (desde ultravioleta al infrarrojo). Es necesario hacer combinaciones intermedias para generar solo tres imágenes y luego aplicar el procedimiento de los tres filtros

http://www.spacetelescope.org/projects /fits_liberator/improc/

6. Imágenes color

Representación del color:

Orden Cromático: Usualmente se utiliza el

“RGB model” a partir de tres imágenes adquiridas en tres filtros diferentes de forma que:

R: corresponde al filtro de mayor

λ

G: corresponde al filtro de

λ

intermedia

B: corresponde al filtro de menor

λ

Aunque esta no es una regla rígida, sobretodo si se buscan efectos estéticos Nota: Si solo se disponen de imágenes en solo dos filtros, ellas se adoptan como las de los extremos y se genera la del medio como el promedio de las otras dos

(46)

Imagen en colores represntativos: Imagen de un par de cúmulos inmersos obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes J, H, K (datos VVV; Baume et al. 2010)

Imagen en colores “mejorados”: Imagen color en la que se le ha asignado el color azul al filtro Ha (en lugar del clasico color rojo), o sea en orden NO cromático

http://www.spacetelescope.org/projects /fits_liberator/improc/

6. Imágenes color

Ejemplos 91 AS002a AS002b AS002c AS002d G.L. Baume - 2011 Astronomía Observacional: Procesamiento de Imágenes

AS002c (substraido) AS002c γ = 0.31

6. Imágenes color

Ejemplos Imagen en colores represntativos: Imagen de un conjunto de asociaciones de la galaxia NGC 300 obtenida como combinación en orden cromático de tres imágenes

F435W (B), F555W (V),

F814W (I) (datos ACS/HST;

(47)

6. Imágenes color

Herramientas:

IRAF: Paquete dataio

DS9 y ALADIN: Además de sus funciones específicas, ambos programas permiten la creación de imágenes color. En particular ALADIN permite generar imágenes color en

formato FITS (NAXIS = 3) conservando el sistema de coordenadas

93 export: Crea una imagen de salida en diversos formatos a

partir de una o varias imágenes de entrada. En particular, permite crear imágenes color en base a sus tres componentes RGB