Análisis de la factibilidad del diseño de algoritmos auto-estabilizantes para el conjunto independiente fuerte con peso máximo en uniciclosFeasibility analysis of the design of self-stabilizing algorithms for the maximum weighted independent set problem i

(1)

Superior de Ensenada, Baja California

MR

Maestr´ıa en Ciencias

en Ciencias de la Computaci ´

on

An ´alisis de la factibilidad del dise ˜

no de algoritmos

auto-estabilizantes para el conjunto independiente fuerte con

peso m ´aximo en uniciclos

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias

Presenta: David Zhou Tan

(2)

David Zhou Tan

y aprobada por el siguiente Comit ´e

Dr. Jos ´e Alberto Fern ´andez Zepeda

Codirector del Comit ´e

Dr. Joel Antonio Trejo S ´anchez

Codirector del Comit ´e

Dr. Carlos Alberto Brizuela Rodr´ıguez

Dr. Ricardo Arturo Ch ´avez P ´erez

Dr. Jes ´us Favela Vara

Coordinador del Posgrado en Ciencias de la Computaci ´on

Dra. Rufina Hern ´andez Mart´ınez

Directora de Estudios de Posgrado

(3)

Resumen de la tesis que presentaDavid Zhou Tan como requisito parcial para la obten-ci ´on del grado de Maestro en Cienobten-cias en Cienobten-cias de la Computaobten-ci ´on.

An álisis de la factibilidad del dise ño de algoritmos auto-estabilizantes para el conjunto independiente fuerte con peso m áximo en uniciclos

Resumen aprobado por:

Dr. Jos ´e Alberto Fern ´andez Zepeda

Codirector de Tesis

Dr. Joel Antonio Trejo S ´anchez

Codirector de Tesis

En este trabajo se estudia el problema de encontrar el conjunto independiente fuer-te (2-packing) con peso m áximo, que suele aparecer en problemas de exclusi ón mutua, calendarizaci ón, etiquetado de mapas, entre otros. Este problema en grafos generales es NP-dif´ıcil, pero para grafos restringidos como el árbol, el uniciclo y el cactus, se han encontrado soluciones eficientes. En esta investigaci ón se trabaja en los casos del cactus y del uniciclo. Para el cactus se propone un algoritmo secuencial basado en un algoritmo reciente en la literatura que resuelve el mismo problema pero en cactus sin peso, y se implementa en un lenguaje de programaci ón orientado a objetos (Java). Para el uniciclo se dise ña un algoritmo auto-estabilizante basado en la implementaci ón anterior. Adem ás se plantean los pasos para generalizar este último para que funcione en un cactus. Los algoritmos auto-estabilizantes se utilizan en sistemas distribuidos donde se necesita ase-gurar estabilidad sin necesidad de que haya interacci ón humana, incluso cuando ocurren fallos transitorios, tales como cortes de energ´ıa y p érdidas de memoria.

(4)

Abstract of the thesis presented byDavid Zhou Tan as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Computer Science.

Feasibility analysis of the design of self-stabilizing algorithms for the maximum weighted independent set problem in unicycles

Abstract approved by:

Dr. Jos ´e Alberto Fern ´andez Zepeda

Thesis Co-Director

Dr. Joel Antonio Trejo S ´anchez

Thesis Co-Director

In this thesis we study the problem of finding the strong independent set (2-packing) with maximum weight, usually appearing in problems of mutual exclusion, tasks schedu-ling, map labeschedu-ling, among others. The 2-packing problem in general graphs is NP-hard, but in restricted graphs such as trees, unicycles and cacti, efficient solutions have been found. In this research we work on cacti and unicycles. For the cacti, we propose a sequential algorithm based on a recent algorithm in the literature that solves the same problem in unweighted cacti. This new algorithm is implemented in a object oriented programming languaje (Java). For the unicycles we design a self-stabilizing algorithm based on the previous implementation. Also, we present the steps to generalize it for the cacti. Self-stabilizing algorithms are used in distribuited systems where it is necessary to ensure stability without human interaction, even when transient faults occur, such as energy cuts and memory leaks.

(5)

Dedicatoria

(6)

Agradecimientos

A mis directores de tesis: el Dr. Jos ´e Alberto Fern ´andez Zepeda y el Dr. Joel Antonio

Trejo S ´anchez, por el conocimiento y asesor´ıa durante todo este tiempo.

A los miembros de mi comit ´e: el Dr. Carlos Alberto Brizuela Rodr´ıguez y el Dr. Ricardo

Arturo Ch ávez P érez, por sus observaciones y su valiosa retroalimentaci ón durante el

desarrollo de la tesis.

A mis compa ˜neros de generaci ´on. Gracias por compartir tantas experiencias y apoyo

mutuo en estos dos a ˜nos.

A mis compa ˜neros del Laboratorio de Algoritmos, por los momentos de pl ´atica y

diver-si ´on, as´ı como los de seriedad y trabajo.

A los compa ˜neros del Departamento de Computaci ´on, por tantos momentos

excep-cionales.

A mi familia y amigos, por estar siempre conmigo.

Al Centro de Investigaci ´on Cient´ıfica y de Educaci ´on Superior de Ensenada.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo

(7)

Tabla de contenido

P ´agina

Resumen en espa ˜nol ii

Resumen en ingl ´es iii

Dedicatoria iv

Agradecimientos v

Lista de figuras viii

Lista de tablas ix

1. Introducci ´on 1

1.1. Auto-estabilizaci ´on . . . 1

1.2. Conjuntos independientes . . . 2

1.2.1. Aplicaci ´on de los conjuntos independientes . . . 4

1.3. Antecedentes . . . 5

1.4. Objetivo general . . . 8

1.4.1. Objetivos espec´ıficos . . . 8

1.5. Organizaci ´on de la tesis . . . 8

2. 2-packing con peso m ´aximo en cactus 9 2.1. Esquema general del algoritmoF . . . 9

2.2. Pseudoc ´odigos . . . 10

2.3. Creaci ´on del ´arbol de bloques . . . 10

2.4. Inicializaci ´on de las tablas . . . 13

2.5. Procesar cliqu ´e . . . 14

2.6. Procesar ciclo . . . 15

2.6.1. Maximum-2-Pack-Tree . . . 15

2.6.2. Adapt-For-Unicycle . . . 16

2.6.3. Correct-Conflict . . . 16

2.6.4. Soluci ´on del ciclo . . . 19

2.7. Soluci ´on global . . . 19

2.8. Contribuci ´on al algoritmo . . . 19

2.8.1. Adaptaciones . . . 19

2.9. Implementaci ´on . . . 20

2.10. Pruebas . . . 21

2.10.1. Correcciones . . . 23

3. Algoritmo auto-estabilizante 24 3.1. Elecci ´on de l´ıder . . . 25

3.2. Identificaci ´on de puentes . . . 25

3.3. Maximum-2-Packing-SetZ . . . 26

3.3.1. Variables . . . 26

3.3.2. Funciones . . . 28

3.3.3. Reglas . . . 30

(8)

Tabla de contenido (continuaci ´

on)

3.4.1. Procesamiento de cliqu ´es . . . 33

3.4.2. Numeraci ´on del ciclo . . . 36

3.4.3. Procesamiento del ciclo . . . 37

3.4.3.1. Maximum 2-packing tree . . . 37

3.4.3.2. Adapt for unicycle . . . 38

3.5. Demostraci ´on . . . 50

3.6. Correcci ´on de errores . . . 61

3.7. Cerradura . . . 62

3.8. An ´alisis de complejidad . . . 63

3.8.1. Espacio . . . 63

3.8.2. Tiempo . . . 64

3.8.3. Recuperaci ´on de errores . . . 64

3.9. Generalizaci ´on a cactus . . . 65

4. Conclusiones 66 4.1. Limitaciones . . . 66

4.2. Trabajo futuro . . . 67

Literatura citada 69

A. Pseudoc ´odigos del algoritmo F 71

B. Funciones del algoritmoZ 78

(9)

Lista de figuras

Figura P ´agina

1. Ejemplo de aplicaci ´on de los conjuntos independientes. . . 5

2. Diagrama general del algoritmoF. . . 9

3. Transformaci ´on de cactus a ´arbol de bloques. . . 11

4. Ejemplo de numeraci ´on de los v ´ertices en un ciclo. . . 12

5. Ejemplo de una tablaTvi,j. . . 14

6. Los 5 diferentes conflictos, seg ´un el algoritmoF. . . 17

7. Ejemplo de correcci ´on de conflicto. . . 18

8. Ejemplo de la creaci ´on de un cactus aleatorio. . . 22

9. Ejemplo de las tablas de cliqu ´es. . . 27

10. Ejemplo de orden de bloques. . . 33

11. Ejemplo de procesamiento de cliqu ´es. . . 35

12. Ejemplo de secuencia del M2PT. . . 40

13. Casos general y especiales de corregir conflicto. . . 42

14. Ejemplo de correcci ´on de conflictos. . . 45

(10)

Lista de tablas

Tabla P ´agina

(11)

Cap´ıtulo 1.

Introducci ´

on

1.1 Auto-estabilizaci ´on

En el entorno de los sistemas distribuidos, se busca que el sistema mantenga un es-tado estable, es decir, evitar que se realicen pasos no permitidos que desestabilicen el entorno global. Si los miembros de un sistema distribuido tienen acceso a una memoria compartida, alcanzar el estado estable es sencillo. Pero cuando cada nodo solamente puede utilizar informaci ´on local, ya sea del mismo nodo o de los nodos vecinos, el proble-ma se complica.

Un sistema distribuido se puede modelar como un grafo G = (V, E), donde V es el conjunto de v ´ertices, los cuales representan a cada uno de los nodos en el sistema, yE

es el conjunto de aristas, que representan conexiones entre pares de v értices, es decir, si dos nodos tienen comunicaci ón directa en el sistema. Se le conoce como vecindario abierto de un v értice i al conjunto de v értices con arista incidente a i (Goddard et al., 2008). Si a este vecindario se agrega el v érticei, entonces se convierte en elvecindario cerradodei. En este trabajo, cada v értice solamente tiene acceso a la informaci ón dentro de su vecindario cerrado.

Se definen a los privilegios (Dijkstra, 1974) como las funciones booleanas de los esta-dos de los v értices y sus vecinos. Si alguna de estas funciones es verdadera, se dice que el v értice se encuentra privilegiado. Un calendarizador central es quien escoge uno de los v értices privilegiados, y en su turno, dicho v értice puede realizar un movimiento o cambio. Estas funciones y cambios tienen la forma: si (condici ón) entonces (movimiento), y en ocasiones se les llamanreglas. Un sistema es auto-estabilizante si, independientemen-te del estado inicial que adopindependientemen-te, puede alcanzar un estado estable en un tiempo finito a trav és de los turnos elegidos por el calendarizador. A esta propiedad se le conoce como

(12)

para alcanzar un estado estable.

Existen diferentes tipos de calendarizadores (Tixeuil, 2010) adem ás del central. Uno de ellos es el s´ıncrono, en el cual todos los v értices privilegiados realizan un movimiento en el mismo instante. Otro tipo de calendarizador m ás general es el distribuido, el cual puede elegir cualquier cantidad de v értices privilegiados para mover en un instante. Si se elige uno solo, entonces es un calendarizador central; y si se eligen todos, es uno s´ıncrono. Por lo tanto, un calendarizador distribuido es mucho m ás general que los otros.

El tiempo de ejecuci ón de los algoritmos auto-estabilizantes se mide de forma diferen-te a los algoritmos secuenciales. En los algoritmos secuenciales el tiempo de ejecuci ón es la cantidad m áxima de operaciones que se necesitan realizar para proporcionar una soluci ón, mientras que en los algoritmos auto-estabilizantes es la m áxima cantidad de reglas que tienen que ejecutarse (movimientos) para llegar a un estado estable (Mjelde, 2004). Otra forma de calcular el tiempo de ejecuci ón en algoritmos auto-estabilizantes es mediante las rondas. Una ronda es una secuencia de ejecuci ón m´ınima para que cada v értice privilegiado se ejecute al menos una vez.

Los algoritmos auto-estabilizantes (Dolev, 2000) se utilizan principalmente en sistemas aut ónomos grandes, donde es dif´ıcil predecir cu ándo o c ómo ocurrir án fallas transitorias. Por ejemplo, en veh´ıculos aut ónomos no es posible saber cu ándo ocurrir á una falla que altere el sistema, por lo que debe estar preparado para estabilizarse por s´ı mismo antes de reanudar sus actividades.

1.2 Conjuntos independientes

El problema del conjunto independiente se define como sigue: dado un grafo G = (V, E), se dice que I ⊆ V es un conjunto independiente de Gsi no hay dos v ´ertices en

(13)

el de encontrar uno maximal se encuentra en la clase P, por lo que es mucho m ás f ácil resolver el último. Adem ás, no es posible encontrar un algoritmo de aproximaci ón de factor constante al problema del conjunto independiente m áximo a menos de que P = NP (Arora

et al., 1998).

Una versi ´on m ´as general del problema anterior es el de encontrar el conjunto k -packing (Meir y Moon, 1975). Se dice que S ⊆ V es un conjunto k-packing de un grafo

G= (V, E)si la distancia, medida en aristas, entre cada par de v ´ertices enSes mayor ak. En este sentido, el problema de encontrar el conjunto independiente es equivalente a en-contrar el conjunto1-packing. Este trabajo se enfoca en encontrar el conjunto2-packing.

Un problema muy relacionado con los conjuntos independientes son los conjuntos do-minantes. Dado un grafoG= (V, E), se dice queD⊆V es un conjunto dominante si para todo v értice deV no inclu´ıdo enD, es adyacente a un v értice enD. Encontrar el conjunto dominante de menor cardinalidad es un problema NP-Completo (Garey y Johnson, 1990). Al igual que los conjuntos independientes, tambi én existen los conjuntos dominantes mi-nimales, que son los conjuntos dominantes tales que no existe alg ún subconjunto propio de ellos que tambi én sea dominante. La relaci ón con los conjuntos independientes es que todo conjunto independiente maximal es un conjunto dominante minimal.

Otro problema similar a los conjuntos independientes es el cubrimiento de v értices. Un cubrimiento de v értices de un grafoG= (V, E)es un subconjuntoC ⊆V, tal que toda aristae∈E es incidente a al menos un v értice enC. Encontrar el subconjunto de menor tama ño es un problema NP-Dif´ıcil (Karp, 1972). Los v értices que no se encuentran en un cubrimiento de v értices forman un conjunto independiente.

(14)

En el caso del problema de cubrimiento de v értices con peso, tambi én se le asignan pesos a los v értices del grafo, y el problema consiste en encontrar el subconjunto de v értices que cubra todas las aristas, pero cuya suma de pesos sea la menor. Para este problema se han propuesto soluciones con programaci ón lineal, utilizando el esquema primal dual para aproximar el resultado óptimo (Cormenet al., 2009), (Vazirani, 2001).

1.2.1. Aplicaci ´on de los conjuntos independientes

Una posible aplicaci ón de los conjuntos independientes es la siguiente. Suponga que en una universidad se est á realizando un evento tipo olimpiada, donde cada estudiante se puede inscribir y participar en uno o m ás deportes. Una vez inscritos los estudiantes, el comit é organizador calendariza los juegos o eventos de cada deporte, cuidando que no se programen dos juegos al mismo tiempo si existe alg ún estudiante que participe en ambos. Sin embargo, hay una hora en la que varios cazatalentos llegar án a visualizar a los estudiantes con mayor potencial, por lo que la universidad quiere programar la mayor cantidad de eventos a dicha hora.

Este problema se puede modelar como un grafoG= (V, E), donde cada v ´erticev ∈V

representa a un evento, y cada aristae∈Econecta dos v értices si existe alg ún estudiante que participa en los eventos representados por ambos v értices. Si dos v értices comparten una arista, esos eventos contienen al menos un estudiante en com ún y no se pueden programar al mismo tiempo, por lo que el 1-packing m áximo representa la mayor cantidad de eventos que se pueden programar sin que se violen las restricciones anteriores.

Por ejemplo, en la Tabla 1 se presenta el caso de cinco estudiantes y los deportes en los que participan. En la Figura 1a se muestra el grafo de estas relaciones. El v ´ertice A

tiene una arista a B porque Pedro participa en 100m y 200m, as´ı comoB se conecta a

(15)

100m (A) 200m (B) Salto de longitud (C)

Lanzamiento de bala (D)

Pedro X X

Jimena X

Juan X

Rodrigo X X

Karen X

Tabla 1: Tabla de participaci ´on de los estudiantes.

A

B C

D

(a)

A

B C

D

(b)

4

8 2

1

(c)

Figura 1: El v ´erticeAcorresponde al evento de 100 metros,Ba 200 metros,Ca salto de longitud yD

a lanzamiento de bala. (a) grafo con la representaci ón de los eventos y participaci ón de estudiantes, (b) los v értices coloreados representan el conjunto 1-packing m áximo, y (c) los v értices coloreados representan el conjunto 1-packing con peso m áximo.

Este problema se puede extender al conjunto 1-packing con peso m áximo si se le asignan pesos a los v értices, dependiendo de la cantidad de cazatalentos que existan de cada tipo de deporte. En la Figura 1(c) se muestra el caso cuando hay un cazatalen-tos de lanzamiento de bala, cuatro de 100 metros, ocho de 200 metros y dos de salto de altura. En este caso el conjunto 1-packing con peso m áximo es el conjunto con los eventos de 200 metros y lanzamiento de bala, con un peso total de nueve. Note que el conjunto 1-packing con peso m áximo no necesariamente es el conjunto 1-packing con mayor cardinalidad. Los pesos asignados a cada evento pudieran ser otros, por ejemplo, la importancia o popularidad del deporte, o cualquier otro criterio.

1.3 Antecedentes

(16)

conjunto 2-packing. La idea general del algoritmo es meter o sacar v értices del conjunto 2-packing dependiendo de los vecinos, que el tama ño de algunos grupos dentro del algo-ritmo nunca incrementan, y que éstos decrezcan paulatinamente con una cantidad finita de movimientos entre cada decremento. El algoritmo utiliza el calendarizador adversario central, y la complejidad espacial es de orden logar´ıtmica en relaci ón con el tama ño de los v értices, ya que requieren utilizar apuntadores a los v értices vecinos.

Para el conjunto k-packing maximal, Manne y Mjelde (2006) dise ñaron un algoritmo auto-estabilizante, utilizando tambi én identificadores únicos ordenables y el calendariza-dor adversario. Cada v értice tiene dos variables locales: la distancia y el identificacalendariza-dor del v értice m ás cercano perteneciente al conjuntok-packing, y la distancia y el identificador al segundo v értice m ás cercano en el conjuntok-packing. Usando una funci ón de soporte, se pueden calcular los valores adecuados de cada uno de los valores anteriores, con-vergiendo a un estado estable en tiempo exponencial. Aunque su idea no parece que se pueda expandir a redes an ónimas (donde los v értices no tienen identificadores únicos), comienzan a explorar la compensaci ón de la complejidad del tiempo contra el espacio.

A ún para el problema del conjunto k-packing maximal, Goddard et al. (2008) hacen uso de ladistancia-k. A diferencia de los anteriores que utilizan informaci ón de un v értice y de sus vecinos inmediatos, en este caso se puede conocer la informaci ón de todos los v értices a una distanciak. Esta informaci ón se guarda en forma de grafo en cada v értice, as´ı como dos variables locales muy similares a las de Gairing. La idea de este algoritmo es realizar conversiones desde un conocimiento de distanciak a uno de distanciak/2, y luego a k/4, y as´ı sucesivamente. De esta manera, se puede llegar hasta la distancia 1, el cual es el esquema general del problema a tratar. Este algoritmo funciona en tiempo polinomial, ya que cada transformaci ón tiene un costo polinomial en convertir de un mo-delo de distancia a otro. Pero su desventaja es que el espacio requerido en cada v értice para almacenar la informaci ón de sus vecinos a distanciak es del orden nO(logk)_{, donde}

n es la cantidad de v értices. En dicho art´ıculo, ya existe una compensaci ón de tiempo y espacio: se sacrifica almacenamiento de los v értices para que el algoritmo funcione de manera m ás r ápida.

(17)

todos los v értices privilegiados en el mismo momento, aunque tambi én realiza un an álisis con cualquier calendarizador, como el distribuido. Utilizando reglas sencillas con infor-maci ón sobre los v értices m ás cercanos dentro del conjunto 2-packing, logra encontrar estabilidad enO(mn)movimientos para cualquier calendarizador, y O(n2₎_{rondas para el} calendarizador s´ıncrono, donde n y m son la cantidad de v értices y aristas, respectiva-mente. Este algoritmo auto-estabilizante funciona solamente con identificadores únicos ordenables. La complejidad espacial es de orden logar´ıtmico.

Trejo-S ánchez y Fern ández-Zepeda (2012) presentan un algoritmo para encontrar el conjunto 2-packing maximal en un grafo tipo cactus. El grafo tipo cactus es aquel en que cada arista a lo m ás puede pertenecer a un ciclo. Su algoritmo hace uso de la elecci ón de l´ıder para los grupos de v értices dentro del grafo y de un retraso para poder actualizar los vecinos de un v értice antes de cambiarlo, ya que el calendarizador utilizado es el s´ıncrono. Este algoritmo corre en O(D) rondas, donde D es el di ámetro del cactus. El espacio requerido es de orden logar´ıtmico.

Ding et al.(2014) presentan un algoritmo con convergencia segura para encontrar el conjunto 2-packing maximal, el cual asegura que la estabilidad no se pierde durante el intervalo de convergencia. En su algoritmo se encuentra un conjunto 2-packing en tres rondas (utiliza el calendarizador s´ıncrono), pero no necesariamente maximal. Despu ´es de O(n) rondas, encuentra un conjunto 2-packing maximal, sin romper la estabilidad en ning ´un momento.

Para el caso del k-packing m áximo, Mjelde (2004) propone un algoritmo basado en programaci ón din ámica que resuelve este problema en árboles en tiempo lineal. Tambi én dise ña un algoritmo auto-estabilizante para el mismo problema, el cual se ejecuta en

O(n3₎_{movimientos. Estos algoritmos pueden modificarse para generar la soluci ón a una} variante con pesos en los v értices, y el tiempo de ejecuci ón se mantiene.

(18)

1.4 Objetivo general

El objetivo general de este trabajo es analizar la factibilidad de dise ˜nar algoritmos auto-estabilizantes para resolver el problema del conjunto independiente fuerte con peso m ´aximo en uniciclos en tiempo polinomial.

1.4.1. Objetivos espec´ıficos

1. Analizar y dise ˜nar un algoritmo secuencial para resolver en tiempo polinomial el problema del conjunto independiente fuerte con peso m ´aximo en grafos cactus.

2. Implementar el algoritmo anterior en un lenguaje de programaci ´on.

3. Dise ˜nar un algoritmo auto-estabilizante para resolver el problema en uniciclos en tiempo polinomial o justificar su dificultad.

1.5 Organizaci ´on de la tesis

(19)

Cap´ıtulo 2.

2-packing con peso m ´aximo en cactus

A partir de este cap´ıtulo se har ´a referencia al algoritmo MAXIMUM-2-PACK-CACTUS

presentado en (Flores-Lamas et al., 2018) comoF, y al algoritmo con las adaptaciones para encontrar el conjunto 2-packing con peso m áximo en cactus comoG. A continuaci ón se presenta un esquema del funcionamiento y una breve descripci ón de cada uno de los pasos del algoritmoF. M ás adelante se explica con detalle cada uno de ellos.

El algoritmoF toma como entrada un grafo cactusG= (V, E), dondeV es un conjunto de v ´ertices yE es un conjunto de aristas de la formae= (x, y), dondex, y ∈V. Adem ´as, el grafo G es un cactus, es decir, cumple la propiedad de que cada par de ciclos en G

comparten a lo m ´as un v ´ertice.

2.1 Esquema general del algoritmo F

Figura 2: Diagrama general del algoritmoF.N es la cantidad de bloques generados en el ´arbol de bloques.

(20)

Para cada uno de los bloquesBi,icomenzando desde 0hastaN −1, se inicializan

las tablas del bloque, y se procesa como cliqu é o como ciclo, dependiendo del tipo de bloque que sea (ver Figura 2). Cada uno de los v érticesvde un bloque tiene una tabla, en la que se guarda la mejor configuraci ón hastav, es decir, la mejor soluci ón si solamente existieran v y sus v értices descendientes. Como el algoritmo funciona utilizando programaci ón din ámica, la tabla tiene informaci ón de hasta distancia tres dev, lo que permite combinar soluciones actuales con las óptimas hasta ese punto.

• Si el bloque es un cliqu é de tama ño dos, se procesan las tablas del v értice m ás alejado de la ra´ız y despu és del v értice restante, en ese orden. El valor de las celdas de la tabla dependen de los bloques descendientes concurrentes a cada v értice.

• Si el bloque no es cliqu é de tama ño dos, entonces es un ciclo, por lo que se realiza un procedimiento para calcular el mejor árbol posible, removiendo una a una las aristas del ciclo, y verificando que no haya conflictos al regresar la arista removida a su lugar.

Al terminar de procesar el bloque N −1 o bloque ra´ız, la soluci ´on al problema del conjunto 2-packing en el cactus se encuentra en el v ´ertice ra´ız del bloqueBN−1.

2.2 Pseudoc ´odigos

El algoritmoFse compone de 11 rutinas opseudoc ódigos(ver Ap éndice A). Cada uno de ellos contiene una rutina que realiza una tarea espec´ıfica en el algoritmo. Durante este trabajo se referencian dichos pseudoc ódigos y rutinas para la explicaci ón del algoritmo

G, as´ı como para el algoritmo auto-estabilizante, ya que muchas de las acciones son

semejantes. A continuaci ´on se detallan cada uno de los procesos mencionados.

2.3 Creaci ´on del ´arbol de bloques

(21)

corresponde a un bloque, y dos v értices est án unidos por una arista si los dos bloques correspondientes comparten un v értice en G. Por ello, cada v értice puede aparecer en dos o m ás bloques (ver Figura 3(c)).

(a) GrafoG (b) Bloques deG

(c) Grafo de bloquesG0 (d) ´Arbol de bloquesTB

Figura 3: Creaci ón del árbol de bloques. (a) el grafo original; (b) se identifican los bloques, en rojo aparece el nombre que se les asigna, que es igual al orden en que fueron encontrados; (c) la creaci ón del grafo de bloques; (d) el árbol de bloques donde se ve en azul la numeraci ón de cada bloque.

Se escoge un bloque arbitrario BLy se genera un ´arbol de bloques TB enraizado en

(22)

enG0, donde el primer bloque recorrido esB0, el siguienteB1, etc., y la ra´ız del ´arbol de bloques esBN−1, dondeN es el n ´umero total de bloques (Figura 3(d)).

En cada bloqueBi se asigna un v ´ertice ra´ız. Este v ´ertice es el que se comparte con el

bloque padre deBi parai < N−1. Parai=N−1(el bloque ra´ız), el v ´ertice ra´ız es el que

tiene el identificador menor. Por ejemplo, en la Figura 3(b), el bloque BL6 se encuentra conformado por los v értices 5y 9, BL4 por los v értices 5 y 6, y BL9 por los v értices 5 y

3. En la Figura 3(d), BL4 (B6) es el padre de BL6 (B5), por lo que el v értice ra´ız de BL6 (B5) es el v értice que tienen en com ún, en este caso, el v értice5. Asimismo,BL9 (B7) es padre de BL4 (B6), por lo que el v értice en com ún entre ambos bloques es5, el cual es el v értice ra´ız deBL4 (B6).

Tambi én dentro de cada bloque se numeran los v értices. Para un cliqu é, el v értice ra´ız tiene numeraci ón0, y 1para el v értice restante; estos v értices reciben el nombre de superior e inferior, respectivamente. Para un ciclo con k v értices, éstos se numeran en sucesi ón comenzando en0con el v értice ra´ız. Al vecino de la ra´ız en el ciclo con menor identificador se le asigna 1, y en esa direcci ón se contin úa hasta terminar con el otro vecino de ciclo del v értice ra´ız, el de identificador mayor, que se numerak−1. La Figura 4 contiene un ejemplo de esta numeraci ón.

5

3

vertex number= 0

2

vertex number = 1

7

vertex number= 2

9

vertex number= 3

6

vertex number = 4

(23)

2.4 Inicializaci ´on de las tablas

Existe una tabla auxiliar para cada v értice de cada bloque, de cuatro renglones y tres columnas para la ra´ız del bloque, y de tres renglones y dos columnas para los v értices restantes. La nomenclaturaTvi,j[r][c]indica la celda en el rengl ónry columnacen la tabla

del v értice con numeraci ónj dentro del bloquei, y en ella se mantiene la mejor soluci ón posible hasta dicho v értice. Cada celda contiene tres campos, llamadoskey,setydist. El primero indica la cardinalidad de la soluci ón guardada, el segundo contiene el conjunto de v értices de dicha soluci ón, y el tercero la distancia m´ınima desde vi,j hacia el v értice

m ´as cercano contenido en la soluci ´on.

En la celda Tvi,j[r][c], r corresponde al rengl ´on, que indica que la soluci ´on contenida

se encuentra a una distancia de al menosr aristas del v ´ertice vi,j. Por ejemplo, si r = 2,

los v értices contenidos en la soluci ón de la celda est án a distancia dos o m ás de vi,j.

En cambio,ccorresponde a la columna de la tabla, que indica los descendientes que se toman en cuenta para la soluci ´on. La columna 0 considera al v ´ertice vi,j y a todos los

bloques descendientes devi,j. La columna1considera al v ´ertice vi,j, a todos los bloques

descendientes devi,j, as´ı como a los v ´ertices descendientes de vi,j en el bloqueiy sus

bloques descendientes. Finalmente, la columna2, que es exclusiva de las ra´ıces de los bloques, considera la mejor soluci ´on del bloque i y todos los bloques descendientes a

´este. En la Figura 5 se muestra un ejemplo de estas columnas y renglones.

(24)

vi,j+2

vi,j+1 vi,j

a b c

d

Bi

(a) Fragmento de grafo

0 1

0 {2,(c, d),1) {3,(a, c, d),1}

1 {2,(c, d),1) {3,(a, c, d),1}

2 {1,(d),2) {2,(a, d),2}

(b) TablaT del v ´erticevi,j

Figura 5: Ejemplo extra´ıdo de (Flores-Lamaset al., 2018); (a) en l´ıneas punteadas se encuentran los subgrafos considerados para las columnas 0 de cada v ´ertice en el cicloBi; (b) para el v ´erticevi,j, su

columna 0 considera avi,j,b,cyd, mientras que su columna1contiene avi,j+1,a, yvi,j+2 tambi ´en,

as´ı como a sus descendientes.

numeraci ´on menor, por lo que se asegura que sus tablas est ´en llenas en este momento.

2.5 Procesar cliqu ´e

El procedimiento PROCESS-CLIQUE-BLOCK (ver Pseudoc ódigo 3 del Ap éndice A) se encarga de procesar las columnas1de las tablas de los v értices de un cliqu é, as´ı como la columna2del v értice ra´ız.

La columna 1 del v értice inferior es id éntica a la columna 0, ya que éste no tiene descendientes en el bloque. La columna1del v értice superior se calcula combinando su columna0y la columna 1del v értice inferior, de tal manera que las soluciones de ambas celdas no incurran en conflicto, es decir, que los v értices mantengan una distancia m´ınima de tres entre ellos.

(25)

2.6 Procesar ciclo

El procedimiento PROCESS-CYCLIC-BLOCK (ver Pseudoc ´odigo 7 del Ap ´endice A) se

encarga de procesar las columnas1de las tablas de los v ´ertices de un ciclo, as´ı como la columna2del v ´ertice ra´ız.

Seak la cantidad de v értices en el ciclo actuali; este n úmero es igual a la cantidad de aristas en dicho bloque. Se enumeran las aristas de la siguiente manera: la arista entre los v értices vi,j y vi,j+1 es la aristaj, y la arista entre los v érticesvi,k−1 y vi,0 es la arista

k−1.

Para llenar las tablas, es necesario realizar el procedimiento MAXIMUM-2-PACK-TREE

(ver Pseudoc ódigo 4 del Ap éndice A), el cual calcula el conjunto 2-packing para un árbol. Si se omite la existencia de una de las aristas, el ciclo se puede considerar como un árbol, y es posible utilizar el procedimiento mencionado. Sin embargo, este procedimiento puede encontrar una soluci ón inv álida para el ciclo, ya que al reconsiderar la arista omitida puede existir un par de v értices que se encuentren a distancia menor a tres. Lo anterior se arregla con otro procedimiento llamado CORRECT-CONFLICT(ver Pseudoc ódigo 9 del Ap éndice A), el cual se detalla m ás adelante. Entonces, aplicar este m étodo a cada una de las aristas, y de todas las soluciones encontradas se conserva la mejor, encontrando as´ı la mejor soluci ón al ciclo.

2.6.1. Maximum-2-Pack-Tree

Seah la arista que se omite durante este proceso. Al quitar esta arista, se puede ver al ciclo como un árbol con dos ramas, donde la ra´ız es el v értice0, y la rama “izquierda” comprende desde el v értice1al v érticeh, y la rama “derecha” desde el v érticek−1hasta el v értice h + 1. Las excepciones son cuando h = 0, donde solamente existe la rama derecha, yh = k−1donde solamente existe la rama izquierda. Enfoque su atenci ón en el caso0< h < k−1, donde existen dos ramas.

(26)

un v értice sin descendientes dentro del mismo bloque. Esta hoja se puede considerar de la misma manera que al v értice inferior de un cliqu é, por lo que calcular la columna 1

se realiza de manera similar, copiando la columna 0. Los dem ás v értices de las ramas, llamados v értices internos, se pueden considerar como los v értices superiores de un cliqu é, por lo que la columna1tambi én se calcula de forma parecida: utilizando su propia columna0y la columna1de su descendiente en el bloque. Cabe resaltar que si el v értice interno i se encuentra en la rama izquierda, su descendiente es i+ 1, y es i−1 si se encuentra en la rama derecha.

Finalmente, el v értice ra´ız calcula la mejor soluci ón combinando ambas ramas y su propia columna0. Ahora, si se reconsideran los casos h= 0 yh = k−1donde s ólo hay una rama, la ra´ız simplemente combina la rama existente y su columna0.

2.6.2. Adapt-For-Unicycle

El procedimiento ADAPT-FOR-UNICYCLE(ver Pseudoc ódigo 8 del Ap éndice A) verifica si la soluci ón encontrada por la ra´ız contiene v értices a distancia menor a tres entre ellos al considerar la aristah. Existen cinco tipos de conflictos, los cuales se muestran en la Figura 6.

Si existe alguno de estos casos, se utiliza la siguiente rutina, CORRECT-CONFLICT.

2.6.3. Correct-Conflict

(27)

vf

vg

vh

v0_f

v0_g

v0h

h Bi

(a) X1

vf

vg

vh

v0_f

v0_g

v0h

h Bi

(b) X2

vf

vg

vh

v0f

v0_g

v0_h

h Bi

(c) X3

vf

vg

vh

v0f

v0_g

v0_h

h Bi

(d) X4

vf

vg

vh

v0f

v0_g

v0_h

h Bi

(e) X5

Figura 6: Los 5 diferentes conflictos, seg ´un el algoritmoF.

vez que ambos casos se hayan resuelto, la mejor soluci ón de ambas ramas se propone como soluci ón a la recursi ón anterior. La Figura 7 muestra un ejemplo de este proceso.

(28)

vf

vg

vh

v0_f

v0_g

v0h

h Bi

(a) ConflictoX1

vf

vg

vh

v0_f

v0_g

v0h

h Bi

(b) Sub ´arbol 1

vf

vg

vh

v0_f

v0_g

v0h

h Bi

(c) Sub ´arbol 2

vf

vg

vh

v0f

v0g

v0_h

h Bi

(d) Soluci ´on sub ´arbol 1

vf

vg

vh

v0f

v0g

v0_h

h Bi

(e) Soluci ´on sub ´arbol 2, con conflictoX3

Figura 7: Ejemplo de correcci ´on de conflicto.

(29)

2.6.4. Soluci ´on del ciclo

Una vez aplicado el procedimiento MAXIMUM-2-PACK-TREE a cada una de las aristas

del ciclo, as´ı como sus respectivas correcciones de conflicto, se tienenk soluciones dis-tintas almacenadas en la ra´ız del ciclo, cada una con cuatro renglones. Para cada uno de los renglones r, se calcula la mejor soluci ón de todas y se guarda en la columna 2 del rengl ónr, como la mejor soluci ón hasta el ciclo actual, a distanciar de la ra´ız.

Esta columna2es la que se utiliza en el procedimiento de inicializaci ´on de tablas del padre del ciclo, en caso de existir.

2.7 Soluci ´on global

Al terminar de procesar todos los bloques, el v értice ra´ız del último bloque o bloque ra´ız contiene en su columna 2 del rengl ón 0 la mejor soluci ón encontrada en el cactus. Esta soluci ón representa un conjunto 2-packing m áximo en este grafo. La última rutina del algoritmo F es distribuir la soluci ón, que le indica a todos los v értices su estado dentro de la mejor soluci ón, ésto es, si son parte del conjunto 2-packing o no.

2.8 Contribuci ´on al algoritmo

Al algoritmo F se le hicieron algunas modificaciones, algunas de ellas como correc-ciones que necesitaba para funcionar correctamente, y otras como adaptacorrec-ciones para resolver el problema del conjunto 2-packing con peso m ´aximo. Las adaptaciones se men-cionan a continuaci ´on:

2.8.1. Adaptaciones

El Pseudoc ´odigo 2 (ver ap ´endice A), INITIALIZE-BLOCK-TABLES, inicializa las tablas

de los bloques a una configuraci ón predeterminada, dependiendo de los bloques descendientes a cada v értice. Si el grafo de entrada tiene asignados pesos a los v értices, se puede cambiar en la l´ınea 19 al1por el peso del v érticevi,j, por lo que

(30)

El campo conjunto de cada una de las celdas de las tablas contiene una lista de los v értices que se encuentran en la soluci ón para dicha celda. Esta lista se trans-mite de una celda a otra, por lo que realizar operaciones con las celdas puede ser costoso, y adem ás utilizar memoria adicional. Una alternativa es tener un n úmero constante de apuntadores para cada celda, que indiquen las celdas de las cuales se obtuvo la soluci ón, as´ı como una variable booleana que indique si el v értice ac-tual se encuentra contenido dentro de la soluci ón. Esto permite reducir el orden del espacio de almacenamiento de O(n)aO(1). Para obtener la soluci ón actual es ne-cesario recorrer todos los v értices a trav és de los apuntadores, pero esta operaci ón solamente se realiza en la rutina ADAPT-FOR-UNICYCLE, y los únicos v értices que se necesitan son los que se encuentran dentro del ciclo, por lo que el n úmero de operaciones es O(k), donde k es la cantidad de v értices del ciclo. Este trabajo adi-cional no afecta el tiempo de ejecuci ón, ya que esta rutina se ejecuta una vez por cada ejecuci ón de MAXIMUM-2-PACK-TREE, el cual tambi én esO(k).

2.9 Implementaci ´on

Al algoritmoF con las adaptaciones anteriores se le denomina G. Este último se im-plement ó en el lenguaje de programaci ón Java. Se utiliz ó como base una versi ón m´ınima construida por el autor, de la cual se rescataron las estructuras para almacenar los gra-fos, los v értices y las aristas, as´ı como los m étodos de lectura de archivos y el formato de almacenamiento de archivos de entrada y soluciones. Tambi én se incluy ó un m étodo para resolver el problema del conjunto 2-packing m áximo con b úsqueda exhaustiva, es decir, revisando todas las soluciones posibles y rescatando la mejor de ellas. Este proce-dimiento realizaO(2n·n3)operaciones donde n es la cantidad de v értices del grafo, por lo que s ólo es adecuado para valores peque ños den.

(31)

2.10 Pruebas

Se realizaron pruebas para verificar que el algoritmo funcionara de manera correcta. Para ello, se program ´o un algoritmo generador de cactus aleatorio, que crea los grafos pegando “pedazos” de grafo de la siguiente manera:

Se escoge n, la cantidad de v ´ertices que tendr ´a el cactus. Se crea un arreglo Ade

n elementos, numerados de1an.

Se genera un arregloW denenteros positivos, los pesos de los v értices. El elemen-to en la posici ón icorresponde al peso del v értice i, suponiendo que los v értices se numeran de1an. Cada uno de los pesos se genera aleatoriamente, con distribuci ón uniforme e independiente de los dem ás, en un intervalo entre 1y20.

Se particiona el arregloAenkdistintos segmentos, cada segmento con al menos un elemento. Cada segmento representa a un “pedazo”. Para cada pedazo se realizan las siguientes operaciones, en el orden de izquierda a derecha dentro del arreglo:

• A cada pedazo se le asigna un bit aleatoriamente y con la misma probabilidad. Si el bit es 0, entonces el pedazo es un ciclo del tama ño del segmento m ás uno, de lo contrario es una cadena del tama ño del segmento. La excepci ón a esta operaci ón es cuando el pedazo solamente contiene un elemento, y s ólo puede ser una cadena, ya que no puede formar un ciclo.

• Si el pedazo no es el primero, entonces se asigna i como el identificador del primer v ´ertice del pedazo. Se elige arbitrariamente un entero k en el intervalo cerrado[1, i−1]. El enterokindica el identificador del v ´ertice al que se adhiere el pedazo actual.

(32)

valor entre1 e i−1 = 4, en este caso k = 3, por lo que el ciclo se adjunta al v ´ertice3

(Figura 8(c)). Note que el ciclo contiene a todos los v értices del segmento actual y el v értice al que se adhieren. Por último, el tercer segmento obtiene un bit1, por lo que es una cadena de tres v értices que se adjunta al v értice5(Figura 8(d)).

W [7,1,3,2,1,9,10,6,4,10]

A [1,2,3,4] [5,6,7] [8,9,10]

Bit 1 0 1

i - 5 8

k - 3 5

(a) Variables y valores asignados

1 2 3 4

(b) Primer pedazo

1 2 3 4

5 6

7

(c) Segundo pedazo

1 2 3 4

5 6

7 8

9 10

(d) Tercer pedazo

Figura 8: Ejemplo de la creaci ´on de un cactus aleatorio.

(33)

2.10.1. Correcciones

En el Pseudoc ´odigo 8, que contiene la rutina ADAPT-FOR-UNICYCLE, se revisa que

la soluci ón encontrada en el rengl ón 0 de la ra´ız est é libre de conflicto, pero esto se debe realizar para todos los renglones, comenzando desde el rengl ón 3. Por lo tanto, la rutina completa debe estar en un ciclo desde r= 3→0.

En el Pseudoc ´odigo 9, CORRECT-CONFLICT, se remueve cada uno de los dos v

érti-ces conflictivos, uno a la vez, y la mejor soluci ón de ambos se regresa. Si el v értice conflictivo no est á dentro del árbol, es decir, esvhov0h(conflictosX1yX2), primero se debe remover del rengl ón 1 y se compara con el rengl ón 2, y despu és se rea-liza la misma operaci ón pero con el rengl ón 0, comparando con el rengl ón 1. Esta operaci ón asegura que se remueva el v értice conflictivo y agregue su padre, como forma derecorrer la soluci ón una unidad.

(34)

Cap´ıtulo 3.

Algoritmo auto-estabilizante

En este cap´ıtulo se detalla el algoritmo auto-estabilizanteZ propuesto para encontrar un conjunto 2-packing con peso m áximo en uniciclos. Un uniciclo es un grafo conectado con n aristas, donde n es la cantidad de v értices, es decir, es un árbol con una arista adicional que forma exactamente un ciclo. La entrada al algoritmo Z es un uniciclo G = (V, E), con las caracter´ısticas mencionadas.

El algoritmo Z se basa en el algoritmo G. El algoritmo Z se dise ˜n ´o para simular los pasos que se siguen en G, por lo que se necesitan hacer algunas adaptaciones en el enfoque auto-estabilizante. La estrategia general que sigueZ es la siguiente:

Se elige un v értice l´ıder y se crea un árbol de expansi ón con ra´ız en el l´ıder.

Se identifican las aristas puente del grafo, para saber si una arista es parte de un ciclo o forma un cliqu ´e.

Se numeran los v ´ertices de ciclo de manera similar aG.

A partir del ´arbol enraizado, se calculan las tablas de los v ´ertices de la siguiente manera:

• Si el v értice es una hoja, es un v értice inferior en un cliqu é, y se calcula la tabla del bloque al que pertenece.

• Si el v értice no es hoja y tiene hijos, es un v értice superior de un conjunto de cliqu és, y se calculan las tablas de dichos bloques.

◦ Si dicho v értice tiene padre con arista puente, entonces tambi én es v értice inferior de otro cliqu é, y se calcula la tabla de dicho bloque.

• Si el v ´ertice es parte de un ciclo, se calculan las tablas de los diferentes ´arboles que se obtienen al remover cada una de las aristas del ciclo.

(35)

3.1 Elecci ´on de l´ıder

La elecci ón de l´ıder y la creaci ón del árbol de expansi ón se realiza utilizando el algo-ritmo de elecci ón de l´ıder de Datta et al. (2011b). Cada v értice tiene una variable l´ıder, que indica al posible v értice ra´ız, y ésta se actualiza a lo largo del algoritmo utilizando las reglas propuestas. Al principio, cada v értice actualiza su variable l´ıder con el identifi-cador del v értice con menor identifiidentifi-cador en todo su vecindario cerrado, que podr´ıa ser él mismo. Este proceso se repite progresivamente con algunas variantes, y al final del algoritmo, todos los v értices terminan con el mismo l´ıder.

Este algoritmo de elecci ón de l´ıder tiene como entrada un grafo arbitrario conectado, y la salida es un árbol enraizado, donde cada v érticev conoce el identificador de la ra´ız, adem ás de tener un apuntador hacia su padre en dicho árbol (v.parent). Como rutina adicional al algoritmo, se realiza un paso al final que permite a cada v értice tener una lista de sus v értices hijo. La cantidad de movimientos realizados por el algoritmo son

O(n2)y la cantidad de rondas esO(n), dondenes la cantidad de v ´ertices del grafo.

Las reglas que utiliza este algoritmo tienen prioridad 1, lo que implica que si un v értice se encuentra habilitado por alguna regla de este algoritmo y alguna otra regla de otro algoritmo, ejecutar á la primera. Esto evita que se ejecute el algoritmo posterior con infor-maci ón err ónea.

3.2 Identificaci ´on de puentes

El algoritmo utilizado para identificar puentes es el de Karaata y Chaudhuri (1999), cuya estrategia general es utilizar las aristas que no forman parte del árbol de expansi ón, ya que éstas forzosamente forman ciclos. Al encontrar dos v értices unidos por dichas aristas, se propaga la informaci ón de ambos hacia sus padres mediante sus conjuntos

S, donde se contienen los v értices en el ciclo, de tal manera que la misma informaci ón coincide en el ancestro com ún m ás bajo de ambos. As´ı, al final del algoritmo, dos v értices

uyv se conectan por una arista puente si y solo si uno es padre del otro, y sus conjuntos

(36)

Este algoritmo de identificaci ón de puentes tiene como entrada un grafo con un árbol de expansi ón enraizado en alg ún v érticer, y como salida, para cada v értice, un conjunto

S. Aunque los puentes no se identifican directamente, es posible realizar un post procesa-miento que indique si alguna arista es puente o no sin realizar las operaciones anteriores. Si alg ún v értice contiene al menos una arista incidente que no es puente, entonces forma parte del ciclo, y se asigna una variable booleana en el v értice llamadacycle vertexcon valor verdadero, de lo contrario se le da un valor falso. Tambi én se supone que existe una funci ón llamadais bridge(u, v), que regresa un valor verdadero si la arista del v érticeual v érticev es un puente, y falso de lo contrario. Una vez realizado este procedimiento, se tiene av.children como una lista de v értices hijos de v tal que la arista que los conecta es un puente, as´ı como una listav.cycle neighbors con los ids de los v értices con arista puente haciav. La cantidad de movimientos requeridos esO(dn), y la cantidad de rondas que necesita el algoritmo es O(d), donde d es el di ámetro del componente biconectado m ás grande del grafo. En este casod=O(n).

Las reglas de este algoritmo tienen prioridad 2, por lo que se ejecutan siempre y cuando no haya reglas habilitadas al mismo tiempo del algoritmo de elecci ´on de l´ıder.

3.3 Maximum-2-Packing-SetZ

3.3.1. Variables

Para la ejecuci ón del algoritmoZ, se necesitan algunas variables para cada v érticev, las cuales se describen a continuaci ón:

v.error: Variable booleana que indica si existe alg ´un error en las tablas de v, o en alguno de los hijos de v.

v.children: Arreglo de tama ˜no r con apuntadores hacia los r hijos de v con arista puente.

v.table children {id}: Tabla auxiliar del v értice superior del cliqu é conformado por los v érticesv yid, dondeides el identificador de uno de sus hijos. El v érticev tiene

(37)

v.last child completed: Entero que indica el ´ındice de la ´ultima tablav.table children id

llenada porv.

v.table up: Tabla auxiliar del v értice inferior del cliqu é formado por los v érticesv y

v.parent.

v.completed: Variable booleana que indica si el v érticev ya est á procesado, es decir, ya tiene la soluci ón de acuerdo a los v értices adyacentes.

v.solution: Apuntador a la celda de la soluci ´on contemplada por el algoritmo.

Nota: los v értices pueden ser v értice superior de varios cliqu és y v értice inferior de otro cliqu é distinto. La Figura 9 ilustra cinco v értices, tres de ellos hoja(c, d, e). El v értice

bes v értice superior de tres cliqu és distintos (b-c,b-d,b-e), y v értice inferior de otro cliqu é (a-b), donde el v érticea es v értice superior.

a

a.table up

a.table children b

b

b.table up

b.table children c

b.table children d

b.table children e

c

c.table up

d

d.table up

e

e.table up

Figura 9: Ejemplo de las tablas de cliqu ´es.

Las siguientes variables son de utilidad s ólo para los v értices que pertenezcan a alg ún ciclo:

(38)

v.cycle error {h}: Variable booleana que indica si existe alg ´un error en la tabla del ciclo en la recursi ´on h. Nota: el valor dehesO(n).

v.cycle number: Entero que indica la numeraci ´on, a nivel del bloque, del v ´ertice v

dentro del ciclo al que pertenece.

v.numeration error: Variable booleana que indica si existe alg ún error en la nume-raci ón del v értice v en el ciclo.

v.cycle successor: Apuntador hacia el sucesor dev en el ciclo.

v.cycle antecessor: Apuntador hacia el antecesor dev en el ciclo.

v.current tree: Entero que indica la arista h que se est á removiendo actualmente en el ciclo para crear el árbol de expansi ón durante la ejecuci ón del procedimiento MAXIMUM-2-PACKING-TREE.

v.current h: Expresi ón compuesta para indicar la recurrencia que se est á calculando al corregir los conflictos del árbol de expansi ón durante el procedimiento ADAPT -FOR-UNICYCLE.

v.table cycle {h}: Tabla auxiliar del v érticeven el árbol de expansi ón en la recurren-ciahde correcci ón de conflictos.

v.{h} vg, v.{h} vf, v.{h} vh: Identificadores de los v ´ertices vg, vf yvh de la recu-rrenciahde correcci ´on de conflictos, como indica la Figura 6.

v.{h} v0g, v.{h} v0f, v.{h} v0h: Identificadores de los v ´ertices v0g, v0f y v0h de la recurrenciahde correcci ´on de conflictos, como indica la Figura 6.

v.{h} conf lict: Entero del0 al5 que indica el identificador del conflicto que se pre-sent ´o en la recurrencia h de correcci ´on de conflicto. El valor0 indica sin conflicto, del1al5son los mismos presentados en la Figura 6.

3.3.2. Funciones

(39)

una de ellas se encuentra en el Ap ´endice B.

error(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si un v ´ertice v se encuentra en estado de error; falso de lo contrario.

cycle error(v, h): Funci ón que devuelve el valor verdadero si el v érticev del árbol h

de ciclo se encuentra en estado de error.

is cycle root(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si el v ´ertice v es ra´ız del ciclo; falso de lo contrario.

is leaf(v): Funci ón que devuelve el valor verdadero si el v érticev es una hoja en el árbol de expansi ón; falso de lo contrario.

table completed(v.table): devuelve el valor verdadero si una tabla del v értice v se encuentra llenada correctamente, de acuerdo a las tablas de los v értices de los que depende dicha tabla; falso de otra manera. Las instrucciones de esta funci ón se omiten por la cantidad de condiciones con las que cuenta, ya que para cada tipo de tabla es una condici ón distinta.

table enabled(v): Funci ón que devuelve el valor verdadero si el v érticev puede llenar alguna tabla de v értice superior de cliqu é.

children blocks completed(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si todos los bloques hijo de v ya terminaron de calcular sus tablas; falso de otra manera.

correct numeration(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si el v ´ertice v se encuentra numerado correctamente en el ciclo; falso de otra manera.

antecessor correct(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si el v ´erticev tiene un antecesor en el ciclo correctamente numerado; falso de otra manera.

conf lictive vertices correct(v, h): Funci ón que regresa el valor verdadero si para el v értice v se encuentran correctamente indicados los identificadores de los v értices

(40)

check conf lict lef t(v, h): Funci ón que revisa si existe conflicto entre alguno de los v értices vf,vgyvhcon alguno de los v értices v0f,v0g yv0hdel v értice adyacente al otro lado de la arista removida h. Regresa un entero del1al 5si existe alg ún error, conforme al algoritmoG; regresa0en caso de que no exista error.

check conf lict right(v, h): Funci ón que revisa si existe conflicto entre alguno de los v értices v0f,v0g yv0hcon alguno de los v érticesvf,vgyvhdel v értice adyacente al otro lado de la arista removida h. Regresa un entero del1al 5si existe alg ún error, conforme al algoritmoG; regresa0en caso de que no exista error.

vertex conf lict(v, h): Funci ón que regresa el n úmero del conflicto, dependiendo de la ubicaci ón dev en el árbol.

special case(v, h, conf lict): Funci ´on que revisa si existe un caso especial al corregir el conflicto, en cuyo caso devuelve el valor verdadero; falso de lo contrario.

has to deactivate(v, h, conf lict): Funci ón que devuelve el valor verdadero si el v érti-ce v debe desactivar alg ún v értice dependiendo del conflicto y lah actual; falso de lo contrario.

vertex deactivated(v, h, conf lict): Funci ón que devuelve el valor verdadero si el v érti-cev ya se desactiv ó en el conflicto yhactual; falso de lo contrario.

conf lict correct(v): Funci ´on que devuelve el valor verdadero si el v ´ertice v se en-cuentra habilitado para calcular la tabla de su conflicto correspondiente; falso de lo contrario.

3.3.3. Reglas

(41)

Regla E. Regla de error: permite detectar errores de las tablas y de numeraci ón de los v értices de ciclo, y restablece variables para su correcci ón. Considera los casos para errores en el ciclo, que propaga el error en el ciclo en caso de que exista; el caso de errores en las tablas, que propaga el error en alguno de los hijos del v érticev; y error en la numeraci ón, en caso de que el v értice no se encuentre correctamente numerado.

Regla PC. Regla para procesar cliqu é: calcula las tablas de los v értices inferior y superior de cliqu és. Considera los casos cuando el v értice es una hoja, donde se calcula la tablatable up; cuando el v értice es un v értice inferior de cliqu é y no es hoja, donde se calcula la tabla table up; y cuando es v értice superior de cliqu é, donde se calculan las tablastable children {id}.

Regla NC. Regla de numeraci ón de ciclo: asigna la numeraci ón a los v értices que forman parte del ciclo. Considera el caso cuando el v értice es la ra´ız del ciclo, donde se le asigna el n úmero0y se asignan el sucesor y antecesor del ciclo; y el caso de los dem ás v értices del ciclo, donde se asigna la numeraci ón correspondiente, el sucesor y antecesor del ciclo.

Regla IC. Regla de inicializaci ón de ciclo: calcula la primera columna de los v értices de ciclo, de forma similar a los v értices de cliqu és.

Regla M2PT. Regla del MAXIMUM-2-PACKING-TREE: calcula la columna1de los v érti-ces de ciclo, para los distintos árboles de expansi ón al omitir una arista. Considera los casos cuandov es la hoja de la rama izquierda (cuando h =v.cycle number); cuando es la hoja de la rama derecha (h = v.cycle number −1); cuando es un v értice interno de la rama izquierda (h > v.cycle number); y cuando es v értice interno de la rama derecha (h < v.cycle number−1)

Regla PR. Regla de procesamiento de ra´ız: combina las soluciones de ambas ramas del árbol de expansi ón de la rutina MAXIMUM-2-PACKING-TREEy calcula la columna1del v értice ra´ız del ciclo.

(42)

rama izquierda y cuando se encuentra en la rama derecha. En ambos casos se propaga la soluci ´on encontrada en la ra´ız hacia las hojas para revisar si existe conflicto.

Regla AVC. Regla de asignaci ón de v értices conflictivos: asigna los v értices conflicti-vosvf,vg,vh,v0f,v0g yv0hcorrespondientes ah.

Regla AC. Regla de asignaci ´on de conflicto: asigna el conflicto correspondiente a las hojas de las ramas. Considera los casos para la hoja izquierda y para la hoja derecha, de acuerdo a la Figura 6.

Regla DV. Regla de desactivaci ón de v értice: desactiva uno de los v értices conflictivos para encontrar una soluci ón al conflicto.

Regla CC. Regla de correcci ón de conflicto: calcula las columnas 1 de los v értices de ambas ramas de manera similar a las regla M2P T, pero revisando los conflictos. Considera los casos cuando el v érticev es la hoja izquierda; cuando es la hoja derecha; cuando es un v értice interno de la rama izquierda; y cuando es un v értice interno de la rama derecha.

Regla PRC. Regla de procesamiento de ra´ız con conflicto: combina las soluciones de ambas ramas dependiendo del conflicto encontrado, de forma similar a la regla P R. Considera el caso cuando no existe conflicto; cuando existe un conflicto de caso general; cuando existe el conflicto especial1; y cuando existe el conflicto especial 2 (ver secci ´on 3.4.3.2).

Regla S. Regla de soluci ón: propaga la soluci ón encontrada por la ra´ız del árbol de expansi ón del grafo original a los dem ás v értices y les indica si son parte del conjunto 2-packing. Considera el caso cuando el v értice v es la ra´ız del árbol de expansi ón del grafo original y cuando no lo es.

3.4 Explicaci ´on del algoritmo Z

(43)

este procedimiento se omite, aprovechando las caracter´ısticas del grafo obtenido a partir de los algoritmos de elecci ´on de l´ıder y de identificaci ´on de puentes:

Utilizando las aristas puente, se sabe si la arista es parte de un ciclo o de un cliqu ´e. De esta forma todos los bloques (el ciclo y los cliqu ´es) ya se encuentran definidos.

La numeraci ón de los bloques del grafo sirve para indicar el orden en que se proce-san. La numeraci ón ya est á impl´ıcita, dependiendo de c ómo se tengan almacenados los hijos dentro de un v értice. Por ejemplo, suponiendo que el v értice 7tiene a sus hijos ordenados como 9,1,4en la Figura 10(a), el cliqu é de los v értices7-9se tiene que procesar primero, despu és el cliqu é 7-1, y despu és el cliqu é 7-4, y por último el cliqu é 5-7. En la Figura 10(b) se muestra la equivalencia del grafo anterior en un grafo de bloques.

5

7

9 1 4

(a)

5

7

4 7

1

7

9

(b)

Figura 10: Ejemplo de orden de bloques.

3.4.1. Procesamiento de cliqu ´es

(44)

a

a.table up

a.table children b

a.last children completed= 0

b

b

b.table up

b.table children c

b.table children d

(45)

a

a.table up

a.table children b

b

b

b.table up

b.table children c

b.table children d

b.table children e

c

c.table up

d

d.table up

e

e.table up (j)

Figura 11: Ejemplo de procesamiento de cliqu ´es.

La regla P C contempla tres casos: en el primer caso se encarga de las tablas de los v értices hoja, y se calculan todas las columnas con la configuraci ón nula que se presenta enG. El segundo caso calcula las tablas de los v értices inferiores no hoja, con instruccio-nes similares a las mostradas en el Pseudoc ódigo 2 (ver Ap éndice A). En ambos casos, las tablas que se calculan sonv.table up. El tercer caso calcula las tablas de los v értices superiores, una tabla a la vez, de todas las que forman parte dev.table children {id}. Uti-liza la funci óntable enabled, que permite saber si la última tabla ya se ha calculado para continuar con la siguiente.

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tablab.table children c con el tercer caso de la regla P C, ya que su primer hijo ya llen ó su tabla table up. De 11c) a 11(d) se llena e.table up con el primer caso de la regla P C. La tablab.table children dno se puede llenar porqued.table upa ún no se ha llenado. De 11(d) a 11(e) se llena d.table up con el primer caso de la regla P C. De 11(e) a 11(f) ya es posible llenarb.table children d, lo cual se hace con el tercer caso de la reglaP C. De 11(f) a 11(g) se llena de manera similarb.table children e. En 11(h) ya est án llenas todas las tablas de b como v értice superior de cliqu é, por lo que se llena su tabla de v értice inferior en el cliqu é a-b, la tabla b.table up, con el segundo caso de la regla P C. En 11(i) se llena la tabla a.table children bcon el tercer caso de la regla P C. Por último, en 11(j) se llenaa.table upcon el segundo caso de la regla P C.

3.4.2. Numeraci ´on del ciclo

Los v értices que se encuentran en el ciclo deben estar numerados para poder calcular las tablas de los distintos árboles. Esta numeraci ón se realiza de manera similar al men-cionado en G, asignando un entero no negativo a la variable cycle number cada uno de los v értices, comenzando en cero para la ra´ız del ciclo, e incrementando hacia el lado del vecino del ciclo con el menor identificador, terminando con el otro vecino.

La ra´ız del ciclo se encuentra con la funci ón is cycle root(v). Un v értice es ra´ız del ciclo si pertenece a un ciclo, y la arista a su padre es un puente (es el v értice de mayor altura en el árbol) o si no tiene padre, en cuyo caso tal v értice tambi én es la ra´ız del árbol de expansi ón del grafo original.

La numeraci ón se realiza con la regla N C, que contempla dos casos. El primer caso numera al v értice ra´ız del ciclo, mientras que el segundo caso numera a los restantes. Estos dos casos utilizan la funci óncorrect numeration, que verifica que un v értice se en-cuentre correctamente numerado; el segundo caso utiliza una funci ón adicional llamada

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3.4.3. Procesamiento del ciclo

Las columnas0de los v ´ertices pertenecientes al ciclo se calculan usando la reglaIC, la cual es muy parecida al segundo caso de la reglaP C, pero adaptada para v ´ertices de ciclo.

Como se menciona enG, el algoritmo remueve cada arista del ciclo una a la vez, ge-nerando un árbol, y calculando la mejor soluci ón de dicho árbol. Despu és se verifica que no existan conflictos al conectar el árbol, en cuyo caso se resuelve recorriendo los v érti-ces. El algoritmoZ funciona de una manera similar. Los diferentes árboles se calculan de manera secuencial, es decir, primero cuando se remueve la primera arista, se corrigen los errores en caso de que existan, se calcula la mejor soluci ón, y despu és prosigue a remover la segunda arista y repetir el proceso hasta la última arista.

3.4.3.1. Maximum 2-packing tree

Seahel ´ındice de la arista que se remueve, siendo0la arista entre la ra´ız del ciclo y el v értice con numeraci ón1en el ciclo, la arista1entre los v értices1y2, y as´ı sucesivamente hasta terminar con la aristak−1 entre el último v értice y la ra´ız del ciclo, dondek es el n úmero de v értices en el ciclo. Cuando se remueve la arista h, se llama rama izquierda

a los v értices 0,1,2, ..., h, con sus respectivas aristas intermedias, y rama derecha a los v érticesh+ 1, h+ 2, ..., k−1,0, tambi én incluyendo las aristas entre dichos v értices.

El c álculo del árbol, al remover la aristah, se realiza con la reglaM2P T, mientras que la reglaP R procesa al v értice ra´ız para combinar las soluciones de ambas ramas.

La reglaM2P T contempla cuatro casos. El primer caso realiza el c álculo de los v érti-ces internos de la rama izquierda; el segundo caso proérti-cesa el v értice hoja de la rama izquierda; el tercer caso procesa el v értice hoja de la rama derecha; el cuarto caso reali-za el c álculo de los v értices internos de la rama derecha.

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Una vez que todos los v értices, excepto la ra´ız, hayan calculado su columna 1, es el turno del último v értice de procesar ambas ramas. Esta operaci ón se realiza con la regla

P R, calculando el mejor ´arbol con operaciones similares a las del Pseudoc ´odigo 5 deF.

En la Figura 12 se muestra el proceso para un ciclo con seis v értices y removiendo la arista h = 3. Para facilitar la explicaci ón, los n úmeros dentro de los v értices indican la numeraci ónvertex number dentro del ciclo, no son los identificadores de los v értices. Se supone que la columna0de cada v értice ya se calcul ó, as´ı como las tablas de todos los dem ás v értices descendientes de ellos. Un v értice coloreado verde indica que ya se calcul ó su tabla en la columna 1, un v értice amarillo indica que est á habilitado para calcularse, y un v értice rojo indica que no est á habilitado por ninguna regla del c álculo del mejor árbol y no se ha procesado. Cuando un v értice est á amarillo, se indica la regla que lo habilita, con un n úmero que indica el caso. El orden en que se procesan los v értices en este caso es:4,3,2,1,5,0, pero es posible cualquier otro orden donde se procesen los v értices de las hojas hacia arriba.

3.4.3.2. Adapt for unicycle

Una vez calculado el mejor árbol, se debe asegurar que no exista conflicto al colocar la aristahde vuelta al ciclo. La mejor soluci ón hasta el momento se encuentra en la ra´ız, por lo que se debe de distribuir a los v értices restantes del ciclo, para que los v értices incidentes a la arista h puedan identificar si existe conflicto. Como se menciona en G, la rutina de adaptar para el uniciclo puede tener algunos niveles de recursi ón, pero la cantidad siempre es de orden constante O(1) para cada arista h removida. En el caso del algoritmoZ es necesario tener una tabla en cada v értice por cada nivel de recursi ón con el fin de mantener la informaci ón requerida para calcular la soluci ón. Dichas tablas utilizan una nomenclatura especial, la cual se explica a continuaci ón:

Las tablas del mejor árbol hasta el momento, propagadas por la ra´ız del ciclo hacia los dem ás v értices sin conocimiento de haber conflicto o no, se denotan con termi-naci ón “ rx”, donde xes un entero del0al 3. Por ejemplo, cuando se calculah = 3