Centro de Investigaci ´
on Cient´ıfica y de Educaci ´
on Superior de
Ensenada, Baja California
MR
Maestr´ıa en Ciencias
en Electr ´
onica y Telecomunicaciones con orientaci ´
on en
Instrumentaci ´
on y Control.
Dise ˜
no y construcci ´
on de un mecanismo de cinco barras
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
Presenta:
Isa´ı Cabral Violante
Ensenada, Baja California, M ´exico
Isa´ı Cabral Violante
y aprobada por el siguiente Comit ´e
Dr. Jos ´e Ricardo Cuesta Garc´ıa
Codirector de tesis
Dr. Luis Alejandro M ´arquez Mart´ınez
Codirector de tesis
Dr. Joaqu´ın ´Alvarez Gallegos
M.C. Ricardo Francisco N ´u ˜nez P ´erez
Dr. Pedro Negrete Regagnon
Dr. Daniel Sauceda Carvajal
Coordinador del Programa de Posgrado en Electr ´onica y Telecomunicaciones
Dra. Rufina Hern ´andez Mart´ınez
Directora de Estudios de Posgrado
Isa´ı Cabral Violante © 2018
ii
Resumen de la tesis que presenta Isa´ı Cabral Violante como requisito parcial para la obtenci ´on del grado de Maestro en Ciencias en Electr ´onica y Telecomunicaciones con orientaci ´on en Instru-mentaci ´on y Control..
Dise ˜no y construcci ´on de un mecanismo de cinco barras
Resumen aprobado por:
Dr. Jos ´e Ricardo Cuesta Garc´ıa
Codirector de tesis
Dr. Luis Alejandro M ´arquez Mart´ınez
Codirector de tesis
En este trabajo se aborda el problema del modelado, dise ˜no, construcci ´on e identificaci ´on de un robot planar de cinco barras, para lo cual se realiza un an ´alisis de los modelos matem ´aticos de este tipo de mecanismo con la finalidad de encontrar tanto el modelo cinem ´atico como el modelo din ´amico del mismo. Adem ´as se obtiene una funci ´on para obtener el ´area de trabajo en funci ´on de las longitudes de los eslabones, de tal manera que se pueda utilizar como funci ´on de costo para optimizar y dise ˜nar los eslabones del mecanismo con una longitud tal que se obtenga un ´area de trabajo m ´axima. Se hace un estudio sobre las diferencias en la posici ´on del efector final en el plano ocasionadas por cada cambio medible en la posici ´on angular de los actuadores. Este estudio nos permite encontrar cual es la configuraci ´on m ´as conveniente para llegar a un punto determinado. Se realiza adem ´as la identificaci ´on de los par ´ametros del mecanismo, as´ı como una estimaci ´on de los par ´ametros de fricci ´on est ´atica m ´axima, fricci ´on de Coulomb y fricci ´on viscosa. Utilizando la respuesta del mecanismo al impulso, se var´ıan los coeficientes de fricci ´on de tal manera que el comportamiento del modelo sea lo m ´as cercano posible al del sistema f´ısico.
Abstract of the thesis presented by Isa´ı Cabral Violante as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Name of the Degree with orientation in ....
Design and building of a five-bar robot with movement on a horizontal plane
Abstract approved by:
Dr. Jos ´e Ricardo Cuesta Garc´ıa
Thesis Co-Director
Dr. Luis Alejandro M ´arquez Mart´ınez
Thesis Co-Director
This paper deals with the modeling, design, construction, and identification of a five-bar planar robot, for which an analysis of the mathematical models of this type of mechanisms is carried out to find both the kinematic model and the dynamic model of it. In addition, a function is obtained to get the work area according to the length of the links, in such a way that it can be used as a cost function to optimize and design the links of the mechanism with a length such that a maximum work area. Also a study was made about the differences in the position of the end effector in the plane caused by each measurable change in the angular position of the actuators. This study allows us to find what is the most convenient configuration to reach a given point. The identification of the parameters of the mechanism is also carried out, as well as an estimate to the parameters of ma-ximum static friction, Coulomb and viscous friction. Using the impulse response of the mechanism, the coefficients of friction are varied in such a way that the model is as close as possible to the physical system.
iv
Dedicatoria
Agradecimientos
A mi familia por brindarme el apoyo necesario para continuar estudiando y por ser el motor
para animarme a seguir super ´andome y seguir adelante en los momentos dif´ıciles de mi vida.
A los miembros de mi comit ´e por todo el apoyo que se me ha proporcionado durante este
tiempo. Al Doctor Jos ´e Ricardo Cuesta Garc´ıa y al Doctor Luis Alejandro M ´arquez por darme la
oportunidad de trabajar con ellos, por darme la direcci ´on y brindarme los consejos, apoyo y tiempo
necesarios para poder llevar a buen t ´ermino este trabajo. Tambi ´en quiero agradecer al Maestro
en Ciencias Ricardo Francisco N ´u ˜nez P ´erez por haberme dado una buena instrucci ´on y buenos
consejos en los momentos que lo necesitaba los cuales fueron de gran ayuda. Al Doctor Joaqu´ın
´
Alvarez Gallegos y al Doctor Pedro Negrete Regagnon por los consejos proporcionados durante
este periodo.
A todos aquellos maestros que invirtieron algo de su tiempo para compartir un poco de sus
conocimientos con nosotros y ayudarnos a tener las herramientas necesarias para realizar este
trabajo.
A mis compa ˜neros de generaci ´on que tuve la oportunidad de conocer durante este tiempo.
Por las buenas experiencias, porque siempre pudimos ser un grupo unido que pudo convivir y
pudimos apoyarnos en los momentos complicados. Quiero agradecer a mis compa ˜nos Rolando
D´ıaz Castillo, Manuel Alberto Liz ´arraga Liz ´arraga y Luis Antonio M´ızquez Corona por todo el apoyo
brindado y por ayudarme a encontrar un tema de tesis que fuera de mi inter ´es. Adem ´as, agradezco
a mis compa ˜neros Alan Arturo Calder ´on Velderrain, Heberto Molina Villamil, Luis ´Angel Reyes
Cruz y Mikhail Ramos Dom´ınguez por los consejos y apoyo moral ofrecido durante este tiempo.
Al Centro de Investigaci ´on Cient´ıfica y de Educaci ´on Superior de Ensenada por darme la
opor-tunidad de completar este grado de estudios y por brindar la infraestructura necesaria para que
esto fuera posible.
vi
Tabla de contenido
P ´agina
Resumen en espa ˜nol . . . ii
Resumen en ingl ´es . . . iii
Dedicatoria . . . iv
Agradecimientos . . . v
Lista de figuras . . . ix
Lista de tablas . . . xii
Cap´ıtulo 1. Introducci ´on 1.1. Notas hist ´oricas . . . 1
1.2. Estado del arte . . . 4
1.3. Planteamiento del proyecto . . . 6
1.4. Contenido de la tesis . . . 8
1.5. Objetivos . . . 9
1.5.1. Objetivo general . . . 9
1.5.2. Objetivos espec´ıficos . . . 9
Cap´ıtulo 2. Modelado 2.1. Introducci ´on . . . 11
2.2. Cinem ´atica directa . . . 11
2.3. Cinem ´atica inversa. . . 15
2.4. Modelo din ´amico . . . 17
2.4.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange . . . 18
2.4.2. C ´alculo de la energ´ıa cin ´etica . . . 19
2.4.3. Obteniendo el lagrangiano . . . 20
2.4.4. Ecuaciones de movimiento de Lagrange . . . 21
Cap´ıtulo 3. Dise ˜no mec ´anico 3.1. C ´alculo del espacio de trabajo . . . 29
3.2. Optimizaci ´on . . . 33
3.2.1. Optimizaci ´on unidimensional. . . 34
3.2.2. M ´etodo de Fibonacci . . . 35
3.2.3. Optimizaci ´on de espacio de trabajo. . . 37
3.3. An ´alisis de diferencias . . . 37
Cap´ıtulo 4. Identificaci ´on de par ´ametros 4.1. Obtenci ´on de par ´ametros . . . 41
4.2. Longitud . . . 42
4.3. Masa . . . 42
4.4. Distancia al centro de masa . . . 42
viii
Tabla de contenido (continuaci ´
on)
Cap´ıtulo 5. Modelado de fricci ´on
5.1. Fricci ´on est ´atica m ´axima . . . 46
5.2. Fricci ´on de Coulomb . . . 47
5.3. Fricci ´on viscosa . . . 48
5.4. Procedimiento para encontrar el coeficientefs. . . 49
5.5. Procedimiento para encontrar los par ´ametrosfcyfv . . . 50
5.6. Identificaci ´on de par ´ametros de fricci ´on. . . 54
Cap´ıtulo 6. Conclusiones y trabajo futuro 6.1. Conclusiones. . . 58
6.2. Trabajo futuro . . . 59
Literatura citada . . . 61
Lista de figuras
Figura P ´agina
1. Primer mecanismo paralelo patentado en 1931. (Figura tomada de Zhang, 2009). . 2
2. Hex ´apodo octaedro, construido en 1954. (Figura tomada de Zhang, 2009). . . 2
3. Plataforma de Stewart. (Figura tomada de Zhang, 2009). . . 3
4. La patente de Klaus Cappel como uso del hex ´apodo octaedro. (Figura tomada de Zhang, 2009). . . 4
5. Primer simulador de vuelo basado en un hex ´apodo octaedro, construido a mediados de los 1960. (Figura tomada de Zhang, 2009). . . 4
6. Mecanismo de 5 barras comercializado por Quanser. . . 6
7. Esquema del emulador industrial ECP-220. . . 6
8. Esquema del emulador industrial ECP-220. . . 7
9. Acoplado de eslabones en el emulador industrial ECP-220. . . 8
10. Esquema general de un mecanismo planar de 5 barras. . . 12
11. Dos diferentes configuraciones que puede presentar el mecanismo. . . 14
12. Divisi ´on del mecanismo para an ´alisis de cinem ´atica inversa. . . 15
13. Cadena de eslabones 1 y 2. . . 16
14. Cadena de eslabones 3 y 4. . . 17
15. Sistema libre, restricciones y sistema restringido. (Figura tomada de Ghorbel y Gu-nawardana, 1997). . . 22
16. Area de trabajo para una configuraci ´on de un mecanismo de 5 barras . . . .´ 30
17. Puntos principales para el c ´alculo del dados a partir deθ1yθ2 . . . 31
18. Puntos principales para el c ´alculo del ´area de trabajo dados a partir deθ3 yθ4 . . . 31
x
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
20. Caso particular de b ´usqueda de valor ´optimo. . . 35
21. Selecci ´on de puntos de evaluaci ´on . . . 36
22. Diferencias para las diferentes posiciones deq1 yq4. . . 39
23. Diferencias en el planoxy para el movimiento deq4 . . . 39
24. Cuatro diferentes configuraciones que hacen que el efector final del mecanismo llegue al punto (0.2,0.45). . . 40
25. Diferencias en∆4xpara cada configuraci ´on. . . 40
26. Acoplado de eslabones en el emulador industrial ECP-220. . . 41
27. Distancias al centro de masa que se desean calcular. . . 43
28. Divisi ´on de ´areas del eslab ´on 1 para calcular el centro de masa. . . 43
29. Momento de inercia . . . 45
30. Fuerzas que intervienen en un bloque sobre una superficie. . . 47
31. Diferentes posiciones del mecanismo utilizadas para identificar par ´ametros de fric-ci ´on est ´atica m ´axima. . . 50
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
33. Experimento vs simulaci ´on cuando ambos eslabones comienzan en 0 radianes,
aplicando un par de 1[N·m]al eslab ´on 1 durante 0.01 segundos. . . 56
34. Acoplado de eslabones en el emulador industrial ECP-220. . . 59
A.1. Plano del eslab ´on 1. . . 63
A.2. Plano del eslab ´on 2. . . 64
A.3. Plano del eslab ´on 3. . . 64
A.4. Plano del eslab ´on 4. . . 65
xii
Lista de tablas
Tabla P ´agina
1. C ´alculos de ´areas y centros de gravedad en la componentexde cada parte
del eslab ´on 1. . . 44
2. C ´alculo de los par ´ametros de fricci ´on est ´atica m ´axima para diferentes confi-guraciones. . . 50
3. C ´alculo de los par ´ametros de fricci ´on de Coulomb y fricci ´on viscosa para diferentes posiciones. . . 54
4. Par ´ametros de fricci ´on est ´atica m ´axima, fricci ´on de Coulomb y fricci ´on visco-sa utilizados en cada posici ´on para aproximar la respuesta del modelo din ´ami-co a la respuesta experimental. . . 56
5. Par ´ametros del mecanismo. . . 57
6. Par ´ametros de fricci ´on del mecanismo. . . 57
Cap´ıtulo 1.
Introducci ´
on
1.1. Notas hist ´oricas
De acuerdo a (Sciavicco y Siciliano, 2012), la rob ´otica est ´a relacionada con el estudio de
las m ´aquinas que pueden reemplazar a los humanos en la ejecuci ´on de tareas. Desde tiempos
antiguos, el hombre ha estado interesado en construir m ´aquinas que imiten sus movimientos y
que interact ´uen con el medio ambiente de una manera lo m ´as aut ´onoma posible. En (Sciavicco
y Siciliano, 2012) se pueden encontrar diferentes ejemplos hist ´oricos de m ´aquinas creadas por
el hombre para imitar sus movimientos desde tiempos de la antigua Grecia. Sin embargo, no ha
sido sino hasta tiempos recientes que la rob ´otica ha tenido un avance tan significativo que se ha
logrado realizar tareas que hasta hace apenas algunas d ´ecadas parec´ıan pertenecer a la
cien-cia ficci ´on. Los robots han ido reemplazando a los humanos en la realizaci ´on de diversas tareas,
siendo la industria el ´area m ´as beneficiada en esto, ya que se han ido incorporando cada vez m ´as
robots logrando hacer tareas con mayor exactitud y velocidad.
De acuerdo a (Sciavicco y Siciliano, 2012), los robots pueden ser clasificados por su
estructu-ra en dos categor´ıas: aquellos que tienen una base fija, llamadosrobots manipuladoresy aquellos
que tienen una base m ´ovil (robots m ´oviles). La estructura mec ´anica de un robot manipulador
con-siste en una secuencia de eslabones interconectados por medio de articulaciones (uniones). La
estructura fundamental de un robot manipulador es la cadena serial o abierta. Desde un punto
de vista topol ´ogico, una cadena cinem ´atica es abierta cuando hay solamente una secuencia de
eslabones conectando los extremos de la cadena. Por otro lado, un robot manipulador contiene
una estructura cinem ´atica cerrada cuando una secuencia de eslabones forman un lazo cerrado.
Durante este trabajo estaremos refiri ´endonos a los robots de estructura cinem ´atica cerrada. La
movilidad del manipulador se asegura por la presencia de uniones. La articulaci ´on entre dos
esla-bones consecutivos se puede dar por medio de diferentes tipos de uniones (prism ´atica, cil´ındrica,
esf ´erica, etc.). Esto nos asegura que el robot tenga grados de libertad (GDL).
En general, los manipuladores de estructura abierta ofrecen ciertas ventajas como el acceso a
espacios de trabajo m ´as grandes que los mecanismos de estructura cerrada, en cambio los
me-canismos de estructura cerrada ofrecen mayor fuerza y precisi ´on adem ´as de permitir que los
actuadores est ´en fijos a la base del mecanismo, lo cual minimiza la inercia de los eslabones y
2
De acuerdo a (Zhang, 2009), uno de las primeras aplicaciones de las que se tiene registro de
un mecanismo paralelo es la dise ˜nada por James E. Gwinnett y estaba pensada para la industria
del entretenimiento, Gwinnett patent ´o su dise ˜no en 1931 aunque en realidad nunca se llev ´o a
cabo. En la figura 1 se muestra el dise ˜no realizado por Gwinnett.
Figura 1.Primer mecanismo paralelo patentado en 1931. (Figura tomada de Zhang, 2009).
En 1947, Eric Gough dise ˜n ´o un nuevo robot paralelo llamado el hex ´apodo octaedro el cual se
muestra en la figura 2. Este robot era utilizado para hacer pruebas a llantas para descubrir sus
propiedades cuando son sujetas a diferentes cargas.
En 1965 D.Stewart public ´o un art´ıculo describiendo una plataforma de 6 grados de libertad la
cual es llamada ”plataforma de Stewart”. ´Esta es un mecanismo paralelo con algunas similitudes
al hex ´apodo octaedro. La figura 3 es un esquema de la plataforma de Stewart, quien hizo su
dise ˜no buscando simular condiciones de vuelo, de forma segura, para el entrenamiento de pilotos
de helic ´optero, pero adem ´as, (Stewart, 1965) propone otros posibles usos, tales como: (a) un
veh´ıculo representando un cuerpo en el espacio sometido a todas las fuerzas que se pudieran
presentar durante de su viaje, (b) como representaci ´on de una plataforma mantenida estacionaria
en el espacio montada en un barco que est ´e sometido a los movimientos aleatorios del mar y (c)
como cualquier veh´ıculo que est ´a siendo controlado por un ser humano.
Figura 3.Plataforma de Stewart. (Figura tomada de Zhang, 2009).
Seg ´un (Zhang, 2009), en 1962 Klaus Cappel, del Franklin Institute Research Laboratories en
Philadelphia, propuso utilizar el hex ´apodo octaedro de Gough como un simulador de movimiento
como se muestra en la figura 4. Cappel obtuvo la patente (US patent No. 3,295,224) por su
di-se ˜no en 1967 y fue posteriormente construido como di-se muestra en la figura 5. Adem ´as, Cappel
dise ˜n ´o varios sistemas basados en robots paralelos para pruebas de vibraci ´on. Eric Gough, D.
4
Figura 4.La patente de Klaus Cappel como uso del hex ´apodo octaedro. (Figura tomada de Zhang, 2009).
Figura 5.Primer simulador de vuelo basado en un hex ´apodo octaedro, construido a mediados de los 1960. (Figura tomada de Zhang, 2009).
En fechas recientes, los robots manipuladores paralelos han ganado inter ´es en diversas
in-dustrias tales como la ´optica de precisi ´on (Cashet al., 2005), nano manipulaci ´on (Chung y Choi,
2004), (Li y Xu, 2006) y cirug´ıa m ´edica, (Li y Xu, 2005).
1.2. Estado del arte
Recientemente, se han realizado diferentes trabajos sobre el estudio del mecanismo de 5
barras, con el fin de obtener un modelo din ´amico que incluya las restricciones del sistema.
Fat-hi Ghorbel es uno de los que m ´as ha aportado en la investigaci ´on sobre este tema. En 1994,
como se puede ver en (Ghorbel et al., 1994), la universidad Rice de Houston Texas, realiz ´o un
modelo reducido para mecanismos con restricciones en t ´erminos de coordenadas generalizadas,
con una aplicaci ´on para un robot de 5 barras. El modelo obtenido en este trabajo sugiere que la
aplicables a mecanismos de estructura cerrada como robots paralelos. En 1997, en el art´ıculo
(Ghorbel y Gunawardana, 1997), el mismo Ghorbel, junto con Ruvinda Gunawardana,
desarrolla-ron un controlador PD garantizando estabilidad asint ´otica en el sentido de Lyapunov, presentando
tanto simulaciones como resultados experimentales para ilustrar la aplicaci ´on del controlador PD.
La aportaci ´on de Fathi Ghorbel ha sido de gran utilidad para el desarrollo de trabajos
poste-riores en mecanismos de estructura cerrada. El modelo din ´amico propuesto por Ghorbel sigue
siendo utilizado para este tipo de mecanismos. En 2004, F. X. Wu, W. J. Zhang, Q. Li, P. R.
Ou-yang, y Z. X. Zhou, publicaron el art´ıculo (Ouyanget al., 2004) basados en el modelo din ´amico de
Ghorbel, y propusieron un algoritmo de control para seguimiento de trayectoria para un robot de
5 barras h´ıbrido (que est ´a controlado por un motor de velocidad constante y un servomotor), y se
mostr ´o que el sistema h´ıbrido es estable. Se realizaron simulaciones para verificar el controlador.
En 2008, Djana Ilia y Rosario Sinatra realizaron un estudio sobre el balanceo din ´amico de un
mecanismo de 5 barras como se muestra en (Ilia y Sinatra, 2009). En este estudio ellos hacen un
an ´alisis del modelo cinem ´atico de este tipo de mecanismos. Dicho trabajo se utilizar ´a como base
para obtener el modelo cinem ´atico de nuestro mecanismo.
Micah Harvey realiza en la Universidad de Alabama en Huntsville, en 2015, una tesis, la cual se
muestra en (Harvey, 2015), comparando diferentes controladores como PD, PID, y un controlador
por modos deslizantes, en un mecanismo de 5 barras. En su trabajo, Harvey compara el error
de los diferentes controladores, as´ı como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el estado
estacionario.
Existen algunos mecanismos de cinco barras que han sido comercializados con diferentes
fi-nes. En la fiugra 6 se presenta un mecanismo de 5 barras comercializado por la empresa Quanser,
6
Figura 6.Mecanismo de 5 barras comercializado por Quanser.
Los trabajos mencionados anteriormente se centran principalmente en la obtenci ´on del modelo
din ´amico as´ı como en el estudio de diferentes controladores para este tipo de mecanismos, sin
embargo, estos parten de un mecanismo ya construido con anterioridad. En este trabajo se aborda
el problema del dise ˜no del mecanismo a partir de la optimizaci ´on del ´area de trabajo, tomando en
cuenta las restricciones dadas por el equipo ECP-220 en el cual se acoplar ´a el mecanismo.
1.3. Planteamiento del proyecto
Este trabajo est ´a basado en el emulador industrial ECP-220, cuyo esquema se muestra en la
figura 7. En la fiugra 8 se observa una fotograf´ıa del mismo.
Pared
Motor
0.08m
0.017m 0.029m
0.0115m 0.0115m
0.0245m
0.041m
0.305
m
0.53m
Pared
Figura 8.Esquema del emulador industrial ECP-220.
Este equipo est ´a equipado con dos motores y dos sensores de posici ´on angular de 16,000
cuentas por revoluci ´on acoplados a cada motor, adem ´as el equipo se encuentra listo para
comu-nicarse y ser controlado a trav ´es de una computadora. Se pretende utilizar el emulador industrial
como base, aprovechando sus caracter´ısticas, para que se le pueda acoplar el mecanismo de 5
barras como se muestra en la figura 9 y ´este pueda ser controlado. Para esto, ser ´a necesario
realizar el dise ˜no de los eslabones de tal manera que cumplan con las restricciones f´ısicas que
presenta el equipo. El reto es realizar un dise ˜no en el cual el equipo est ´e protegido, es decir, que
los eslabones no golpeen el equipo y que los motores puedan girar libremente sin ning ´un tipo de
8
Figura 9.Acoplado de eslabones en el emulador industrial ECP-220.
1.4. Contenido de la tesis
En el presente cap´ıtulo, se presenta el planteamiento del proyecto, con qu ´e se cuenta como
punto de partida y qu ´e es lo que se quiere llegar a realizar. Se mostrar ´an tambi ´en la motivaci ´on
del proyecto y los objetivos que se desean cumplir.
En el segundo cap´ıtulo, se obtendr ´an los modelos matem ´aticos que describen el sistema,
co-menzando por el modelo cinem ´atico directo e inverso. Finalmente, se obtendr ´a el modelo din
´ami-co.
En el tercer cap´ıtulo, se abordar ´a el tema del dise ˜no mec ´anico del equipo, en el cual se
presen-tar ´a una forma anal´ıtica para encontrar el ´area de trabajo del equipo en funci ´on de la longitud de
los eslabones. Dicha funci ´on nos servir ´a durante este mismo cap´ıtulo para, mediante un m ´etodo
de optimizaci ´on, obtener las longitudes de los eslabones tales que se obtenga un ´area m ´axima
respetando las restricciones propias del equipo. Finalmente dentro de este cap´ıtulo se realizar ´a un
an ´alisis de la precisi ´on del equipo.
En el cuarto cap´ıtulo, se dar ´an a conocer los m ´etodos utilizados para obtener los par ´ametros
del modelo din ´amico tales como longitud, masa, distancia al centro de masa y momento de inercia.
utilizados para obtener los par ´ametros de fricci ´on est ´atica m ´axima, fricci ´on viscosa y fricci ´on de
Coulomb.
Finalmente en el sexto cap´ıtulo se mostrar ´an las conclusiones a las que se llegaron despu ´es
de realizar los experimentos, y se har ´an algunas propuestas de trabajo futuro.
1.5. Objetivos
Hasta ahora se ha visto que el estudio de los mecanismos de estructura cerrada ha ido
ga-nando inter ´es debido a sus caracter´ısticas de buena precisi ´on y fuerza, adem ´as el an ´alisis de la
din ´amica de estos mecanismos resulta de gran inter ´es en el ´ambito acad ´emico debido a las
res-tricciones que presentan este tipo de estructuras.
1.5.1. Objetivo general
El objetivo general es dise ˜nar y construir un mecanismo de cinco barras con movimiento
so-bre un plano horizontal, teniendo como base el emulador industrial ECP-220 y aprovechando sus
caracter´ısticas para acoplar el mecanismo en el mismo. Se dise ˜nar ´a el mecanismo de tal manera
que se maximice el ´area de trabajo, respetando las restricciones propias dadas por el ECP-220.
De esta manera, se obtendr ´a un mecanismo completamente actuado a un bajo costo. Este
meca-nismo, en su conjunto, podr ´a ser utilizado para futuros estudios y aplicaciones de inter ´es.
1.5.2. Objetivos espec´ıficos
Con el fin de cumplir con el objetivo general anteriormente mencionado, se plantean los
si-guientes objetivos espec´ıficos:
Modelado. Se buscar ´a obtener el modelo cinem ´atico directo e inverso del mecanismo. Esto
con el fin de tener un an ´alisis de los movimientos en el plano que puede presentar el efector
final, en funci ´on de la posici ´on angular de los motores. Adem ´as, se pretende obtener el
modelo din ´amico del sistema, el cual podr ´a ser utilizado para realizar las simulaciones que
10
Obtenci ´on y optimizaci ´on de ´area de trabajo. Conociendo el modelo cinem ´atico del sistema
ser ´a de gran inter ´es conocer todos los puntos a los cuales puede llegar el efector final ( ´area
de trabajo). Por esta raz ´on se buscar ´a encontrar una funci ´on anal´ıtica para obtener el ´area
de trabajo en funci ´on de la longitud de los eslabones. Una vez que se obtenga la funci ´on
anal´ıtica, se utilizar ´a un m ´etodo de optimizaci ´on que nos ayude a maximizar el ´area de
trabajo, de tal manera que la longitud de los eslabones sea decidida buscando la mayor ´area
de trabajo posible.
Dise ˜no de piezas mec ´anicas. Una vez obtenidas las longitudes ´optimas de los eslabones,
se realizar ´a el dise ˜no mec ´anico de los mismos, utilizando un software de CAD. Adem ´as se
har ´an simulaciones de esfuerzos para asegurarse de que el mecanismo estar ´a fabricado
con el material correcto y sea lo suficientemente resistente.
Identificaci ´on de par ´ametros. Una vez que se haya fabricado el mecanismo, se tendr ´a
co-mo objetivo identificar los par ´ametros que nos ayudar ´an a que el co-modelo din ´amico sea lo
m ´as cercano posible al mecanismo f´ısico. Se deber ´an identificar par ´ametros como masa,
longitud, distancia al centro de masa y momento de inercia de cada eslab ´on, as´ı como los
par ´ametros de fricci ´on est ´atica m ´axima, fricci ´on viscosa y fricci ´on de Coulomb.
Experimentos. Finalmente se realizar ´an algunos experimentos con el equipo, en los cuales,
se aplicar ´an diferentes pares a los actuadores y se har ´an comparaciones entre las
Cap´ıtulo 2.
Modelado
2.1. Introducci ´on
En el cap´ıtulo anterior se dio un panorama general del proyecto, los objetivos que se tienen,
el equipo con el que se cuenta, adem ´as de una aproximaci ´on hist ´orica a los usos que se les ha
dado a los mecanismos de este tipo. En este cap´ıtulo se definir ´an los modelos matem ´aticos que
describen el mecanismo. Se comenzar ´a obteniendo el modelo cinem ´atico directo e inverso y
pos-teriormente se obtendr ´a el modelo din ´amico de nuestro sistema. Es importante conocer el modelo
matem ´atico del sistema primeramente ya que, al conocerlo, podremos utilizarlo para tomar
mejo-res decisiones a la hora de dise ˜nar las partes mec ´anicas del equipo.
2.2. Cinem ´atica directa
El problema de la cinem ´atica directa consiste en encontrar la posici ´on y orientaci ´on del efector
final con referencia al origen, dada la posici ´on y orientaci ´on de todas las uniones y los valores de
todos los par ´ametros geom ´etricos de los eslabones (Siciliano y Khatib, 2016).
La importancia de conocer el modelo cinem ´atico directo radica en que podemos, para nuestro
caso, obtener la posici ´on del efector final en el plano. En la figura 10 se muestra el diagrama del
mecanismo de cinco barras del cual partiremos para encontrar el modelo cinem ´atico, dondeli con
i= 1, ...,5representa la longitud del eslab ´oni- ´esimo,qirepresenta la posici ´on angular del eslab ´on
i- ´esimo medido a partir del eje horizontal en sentido lev ´ogiro, el puntoEes la uni ´on entre los
esla-bones 2 y 3, y se tomar ´a como la posici ´on del efector final. La uni ´on entre el eslab ´on 1 y el eslab ´on
5 ser ´a el origen en el planoxy. Por las caracter´ısticas f´ısicas del equipo ECP-220, el ´anguloq5 es
fijo y conocido, adem ´as se puede medir la posici ´on angular de los eslabonesl1yl4, por lo tanto el
objetivo del modelo cinem ´atico directo es encontrar la posici ´on en el plano del efector finalE en
funci ´on de las longitudes l1,l2,l3,l4,l5y los ´angulosq1,q4yq5. En el diagrama de la figura 10 se
observa que hay dos formas de llegar a la posici ´on del efector finalE(q1, q4) = (Ex, Ey)partiendo
desde el origen. Una forma es tomando el camino de los eslabones 1 y 2, la otra forma es a trav ´es
del camino de los eslabones 5, 4 y 3. Tomando en cuenta esto, de acuerdo a (Ilia y Sinatra, 2009),
se proponen las siguientes ecuaciones para determinar la posici ´on deE en el plano.
12
Figura 10.Esquema general de un mecanismo planar de 5 barras.
Ey =l1sen(q1) +l2sen(q2) =l5sen(q5) +l4sen(q4) +l3sen(q3), (2)
donde (1) y (2) corresponden a las coordenadas deE con respecto al ejexyy, respectivamente.
Dado que se conoce la longitud de los eslabones y los ´angulosq1,q4 yq5, si se obtienen los
´angulosq2yq3 se puede obtener la posici ´on en el plano deE utilizando las ecuaciones (1) y (2).
Comenzaremos obteniendoq3. Podemos despejarsen(q2)ycos(q2)de las ecuaciones (2) y (1),
respectivamente, obteniendo:
sen(q2) =
l5sen(q5) +l4sen(q4) +l3sen(q3)−l1sen(q1)
l2
, (3)
cos(q2) =
l5cos(q5) +l4cos(q4) +l3cos(q3)−l1cos(q1)
l2
. (4)
Elevando al cuadrado (3) y (4) y sustituy ´endolo en la identidadsen2(q2) + cos2(q2) = 1
obtene-mos la siguiente ecuaci ´on que ya no est ´a en funci ´on deq2,
donde:
B = 1
l2
(2l5l3sen(q5)−2l3l1sen(q1) + 2l4l3sen(q4)),
C = 1
l2
(2l5l3cos(q5)−2l4l3cos(q4)−2l3l1cos(q4)),
D = 1
l2
−l25−l24−l32−l21−2l5l4sen(q5) sen(q4)−2l5l4cos(q5) cos(q4)
+2l5l1sen (q1) sen(q5) + 2l5l1cos(q1) cos(q5) + 2l4l1sen(q1) sen(q4)
+2l4l1cos(q1) cos(q4)) + 1.
Con el fin de obtener q3, se convertir ´a la ecuaci ´on (5) en una ecuaci ´on cuadr ´atica. Para esto
considere el siguiente cambio de variable e identidad trigonom ´etrica.
T = tan q3
2
,tan2 q3
2
= 1−cos(q3) 1 + cos(q3)
, (6)
con lo que obtenemos:
T2 = 1−cos(q3) 1 + cos(q3)
,
y despejandoq3se obtiene:
cos(q3) =
1−T2
1 +T2, (7)
Se puede obtenersen(q3)en funci ´on deT sustituyendo (6) y (7) en la identidadtan q23
= sen(q3)
cos(q3)+1,
con lo cual se obtiene:
sen(q3) =
2T
1 +T2, (8)
Sustituyendo (7) y (8) en (5), obtenemos
(D+C)T2−2BT + (D−C) = 0. (9)
La ecuaci ´on (9) queda en una forma cuadr ´atica por lo que las soluciones deT son:
T = B±
√
B2+C2−D2
C+D . (10)
De esta forma, por el cambio de variable dado en (6), el ´anguloq3 est ´a dado por
q3 = 2 atan
B±√B2+C2−D2
C+D
!
14
dondeB, C yDest ´an definidos en (5). Ya que se ha obtenidoq3 es posible obtenerq2 a partir de
(3).
Finalmente, una vez que se conocen todas las posiciones angulares, la posici ´on deE en el
plano se calcula sustituyendo todas las posiciones angulares en (1) y (2).
Observaci ´on: en (11) se observa que existen dos posibles valores para q3, dependiendo del
signo:
q3+= 2 atan B+
√
B2+C2−D2
C+D
!
, (12)
y
q3−= 2 atan B−
√
B2+C2−D2
C+D
!
. (13)
Estos dos valores representan las dos posibles configuraciones que se tienen para el mecanismo
para un valor deq1 yq4 dados. En la figura 11 se muestran las dos configuraciones posibles, las
l´ıneas continuas muestran la configuraci ´on para el caso dado en (12) y las l´ıneas discontinuas
muestran la configuraci ´on para el caso dado en (13).
Figura 11.Dos diferentes configuraciones que puede presentar el mecanismo.
En nuestro caso, para encontrar la cinem ´atica directa de nuestro mecanismo, se utilizar ´a
siem-pre el valor de la ecuaci ´on (12), esto debido a que las dimensiones que se calcular ´an en el
si-guiente cap´ıtulo, no permiten pasar de una configuraci ´on a otra, por lo tanto si comenzamos con
2.3. Cinem ´atica inversa.
El problema de la cinem ´atica inversa para una cadena de eslabones, es encontrar los valores
de las posiciones de las uniones dada la posici ´on y orientaci ´on del efector final relativo al origen
as´ı como los valores de todos los par ´ametros geom ´etricos de cada eslab ´on (Siciliano y Khatib,
2016).
En el caso del mecanismo de cinco barras, el modelo cinem ´atico inverso ser ´a de gran utilidad
en caso de querer controlar la posici ´on del efector final en el plano, de tal forma que podamos
encontrar las posiciones angulares de los eslabones actuados 1 y 4 requeridas para que el efector
final llegue a la posici ´on deseada en el plano.
Para obtener el modelo cinem ´atico inverso para el mecanismo de 5 barras de la figura 12, se
emplear ´a la estrategia de separar el mecanismo en dos partes. En la figura 12 se observa que hay
dos caminos posibles para llegar aE partiendo del origen. Una forma es por medio de la cadena
de eslabones 1 y 2 que en la figura se muestra como los eslabones con l´ınea continua, y otra
forma de llegar aE es a trav ´es de la cadena de eslabones5,4y3, que en la figura12se muestra
con l´ınea discontinua. Primeramente, se analizar ´a la cadena de eslabones1y 2para obtener la
posici ´on angular del eslab ´on1y posteriormente se analizar ´a la cadena de eslabones5,4y 3 para
determinar la posici ´on angular del eslab ´on4.
Figura 12.Divisi ´on del mecanismo para an ´alisis de cinem ´atica inversa.
Analizando solamente la cadena de eslabones 1 y 2, como se mencion ´o anteriormente,
16
plano del efector finalE, as´ı como la longitud de los eslabonesl1 yl2. El objetivo para este paso
es encontrar la posici ´on angularq1 que hace que el efector final llegue a su posici ´on. En la figura
13 se muestran las dos diferentes configuraciones que existen para queEllegue a su posici ´on en
el plano. Se ilustra entonces que hay dos soluciones posibles para obtenerq1. Para el c ´alculo de
Figura 13.Cadena de eslabones 1 y 2.
las posibles soluciones deq1 y de acuerdo a la figura 4, podemos calcularωyαcomo sigue:
ω= arctan
Ex
Ey
, α = arcos
l22−c2−l12 −2l1c
y c=
q
E2 x+Ey2,
donde el ´anguloαse obtiene a partir de la ley de los cosenos.
Una vez obtenidosω yαpodemos obtener el ´angulo de inter ´esq1 dado por:
q1=ω±α.
Es importante tener en cuenta que el c ´alculo puede variar dependiendo del cuadrante donde
se encuentre el efector final, ya se observ ´o c ´omo calcular la posici ´on angular q1 en el primer
cuadrante, para el segundo cuadrante el proceso es pr ´acticamente el mismo. En la figura 14
se observa el caso cuando el efector final se encuentra en el segundo cuadrante. Para nuestro
mecanismo, el efector final solamente puede posicionarse en el primer y segundo cuadrante, por
lo que en este trabajo solamente se analizar ´an estos dos cuadrantes.
Figura 14.Cadena de eslabones 3 y 4.
configuraci ´on anterior. As´ı, podemos calcularq1 como:
q1 =π−(ω±α).
Una vez obtenida la posici ´on angularq1 podemos obtener la posici ´on angularq4 de una manera
muy similar simplemente haciendo un cambio de coordenadas en funci ´on de o4 = (o4x, o4y).,
dondeo4es la uni ´on actuada del eslab ´on 4.
Se realiza el cambio de coordenadas:x˜=Ex−o4xyy˜=Ey−o4y. De esta forma, el ´anguloq4
est ´a dado porq4 =ω4±α4, dondeω4= arctan
˜ y ˜ x
,c˜=px˜2+ ˜y2yα
4= arcos
l2 3−c˜2−l24
−2l4˜c
.
De esta manera quedan definidas las posiciones angularesq1 yq4 en funci ´on de una posici ´on
deE en el plano.
2.4. Modelo din ´amico
De acuerdo con (Barrientoset al., 1997) la din ´amica de un robot se ocupa de la relaci ´on entre
las fuerzas que act ´uan sobre un cuerpo y el movimiento que en ´el se origina. Por lo tanto, el
modelo din ´amico de un robot tiene por objetivo conocer la relaci ´on entre el movimiento del robot
y las fuerzas implicadas en el mismo. Esta relaci ´on se obtiene mediante el modelo din ´amico que
relaciona matem ´aticamente:
1. La localizaci ´on del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de
localizaci ´on de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleraci ´on.
18
3. Los par ´ametros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos.
Para encontrar el modelo din ´amico del mecanismo de 5 barras, se utilizaron las ecuaciones de
movimiento de Lagrange las cuales se describen a continuaci ´on.
2.4.1. Ecuaciones de movimiento de Lagrange
La energ´ıa totalEde un robot manipulador dengrados de libertad es la suma de sus energ´ıas
cin ´eticaKy potencialU (Kelly y Santib ´a ˜nez, 2003):
E(q(t),q˙(t)) =K(q(t),q˙(t)) +U(q(t)),
dondeq(t) = [q1(t), . . . ., qn(t)]T.
Por otra parte, el lagrangianoL(q,q˙)de un robot manipulador dengrados de libertad, est ´a
da-do por la diferencia entre su energ´ıa cin ´eticaKy su energ´ıa potencialU(Kelly y Santib ´a ˜nez, 2003),
i.e.
L(q(t),q˙(t)) =K(q(t),q˙(t))−U(q(t)).
Se considera que la energ´ıa potencial U se debe a fuerzas conservativas como la fuerza de
gravedad y a fuerzas de resortes. De acuerdo a (Kelly y Santib ´a ˜nez, 2003), las ecuaciones de
movimiento de Lagrange para un manipulador dengrados de libertad, est ´an dadas por
d dt
∂L(q,q˙)
∂q˙i
−∂L(q,q˙) ∂qi
=τi, i= 1, . . . , n (14)
donde τi son las fuerzas y pares ejercidos externamente en cada articulaci ´on. Para utilizar las
ecuaciones de Lagrange para el modelado din ´amico de manipuladores se realizan las siguientes
etapas:
1. C ´alculo de la energ´ıa cin ´etica:K(q(t),q˙(t)).
2. C ´alculo de la energ´ıa potencial:U(q(t)).
3. C ´alculo del lagrangiano:L(q,q˙).
Se puede ver el modelo matem ´atico de un sistema lagrangiano dengrados de libertad como:
M(q)¨q+C(q,q˙) ˙q+Dq˙+G(q) +ξ(t,q,¨ q, q˙ ) =τ , (15)
dondeq∈Rnes el vector de posiciones generalizadas,M(q)es la matriz de inercia,C(q,q˙)es la
matriz de fuerzas centr´ıfugas y de Coriolis,Des una matriz diagonal definida positiva que contiene
los coeficientes de fricci ´on viscosa de cada articulaci ´on,G(q)es el vector de pares gravitacionales,
τ es el vector de pares de entrada que se considera acotado. Finalmente,ξ(t,q,¨ q, q˙ )es un vector
que contiene los t ´erminos producidos por incertidumbres param ´etricas y perturbaciones externas
y se considera acotado (Rosas Almeida, 2005).
Para obtener el modelo din ´amico del mecanismo de 5 barras, se utilizar ´an las ecuaciones de
Lagrange. Para esto, se usar ´a la estrategia de analizar las dos cadenas de eslabones por
se-parado. En la figura 10 se muestra el mecanismo cerrado. Se obtendr ´a primeramente el modelo
dado por los eslabones 1 y 2 y posteriormente se obtendr ´a el modelo dado por los eslabones 3 y
4. Finalmente se deben considerar las fuerzas de restricci ´on dadas por la uni ´on que existe entre
ambas cadenas de eslabones.
2.4.2. C ´alculo de la energ´ıa cin ´etica
SeaKi(q,q˙)La energ´ıa cin ´etica asociada al eslab ´oni, la cual incluye los movimientos
rotacio-nales y translaciorotacio-nales. Para el c ´alculo de la energ´ıa cin ´etica primeramente se define la posici ´on
en el plano del centro de masa del eslab ´on 2.
x2 =l1cos(q1) +λ2cos(q2), (16)
y2=l1sen(q1) +λ2sen(q2). (17)
donde,lnse refiere a la longitud del eslab ´on n,qnse refiere a la posici ´on angular del eslab ´on n
con respecto al eje horizontalxyλnes la distancia al centro de masa del eslab ´onn.
Si se derivan las ecuaciones (16) y (17) con respecto al tiempo, se obtienen las componentes
20
esto es posible determinar la rapidez del centro de masa del eslab ´on 2:
v22 = x˙22+ ˙y22, (18) ˙
x2 = −q˙1l1sen(q1)−q˙2λ2sen(q2), (19)
˙
y2 = q˙1l1cos(q1) + ˙q2λ2cos(q2), (20)
elevando al cuadrado (19) y (20), y sustituyendo en (18) se obtiene
v22 =l12q˙12+ 2 ˙q1q˙2l1λ2(sen(q1) sen(q2) + cos(q1) cos(q2)) + ˙q22λ22, (21)
con esto podemos encontrar la energ´ıa cin ´etica de cada eslab ´on dada por:
K1(q,q˙) =
1 2(m1λ
2
1q˙21+I1q˙12) (22)
K2(q,q˙) =
1 2(m2v
2
2+I2q˙22) (23)
Para el mecanismo formado por los eslabones 1 y 2 se obtiene la energ´ıa cin ´etica de la suma de
las ecuaciones (22) y (23) quedando de la siguiente manera:
K(q,q˙) =1 2(m1λ
2
1q˙12+I1q˙21+m2v22+I2q˙22).
2.4.3. Obteniendo el lagrangiano
El lagrangiano de un robot manipulador es la diferencia entre su energ´ıa cin ´etica K y su
energ´ıa potencialU. En el caso que se est ´a tratando en este trabajo, no se tiene energ´ıa potencial
U, debido a que se trata de un robot planar donde la gravedad no ejerce ninguna fuerza sobre el
mecanismo. Por lo tanto, basta con encontrar la energ´ıa cin ´etica para obtener el lagrangiano del
robot planar, el cual se puede expresar como:
L= 1 2 m1λ
2
1q˙21+I1q˙12+m2
l21q˙12+ 2 ˙q1q˙2l1λ2(cos(q1−q2)) + ˙q22λ22
+I2q˙22
. (24)
2.4.4. Ecuaciones de movimiento de Lagrange
Las ecuaciones de movimiento de Lagrange para un robot manipulador est ´an dadas por (14),
por lo que de (24) obtenemos:
∂L ∂q˙1
= l1m2λ2q˙2cos(q1−q2) +l12m2q˙1+m1λ21q˙1+I1q˙1, (25)
d dt
∂L ∂q˙1
= l21m2q¨1+m1λ21q¨1+I1q¨1+l1m2λ2cos(q1−q2) ¨q2
−l1m2λ2sen(q1−q2)( ˙q1−q˙2) ˙q2, (26)
∂L ∂q1
= −λ2l1m2q˙1q˙2sen(q1−q2), (27)
∂L ∂q˙2
= l1m2λ2q˙1cos(q1−q2) +m2λ22q˙2+I2q˙2, (28)
d dt
∂L ∂q˙2
= λ2m2q¨2+I2q¨2+λ2m2l1cos(q1−q2)¨q1−λ2m2l1sen(q1−q2)( ˙q1−q˙2) ˙q1 (29)
∂L ∂q2
= λ2l1m2q˙1q˙2sen(q1−q2), (30)
sustituyendo (25-30) en (14), las ecuaciones de movimiento nos quedan:
τ11 = l21m2q¨1+m1λ21q¨1+I1q¨1+l1m2λ2cos(q1−q2) ¨q2+λ2l1m2q˙22sen(q1−q2), (31)
τ12 = λ22m2q¨2+I2q¨2+λ2m2l1cos(q1−q2)¨q1−λ2l1m2q˙12sen(q1−q2). (32)
Finalmente, de (31) y (32) se puede escribir la ecuaci ´on de movimiento de los eslabones 1 y 2
como
τ1(t) =
α1 θ1
θ1 β1
q¨12+
0 γ1
σ1 0
q˙12, (33)
donde:
α1 =l12m2+m1λ21+I1, θ1 =l1m2λ2cos(q1−q2), β1 =λ22m2+I2,
γ1 =λ2l1m2sen(q1−q2) ˙q2, σ1 =−λ2l1m2sen(q1−q2) ˙q1, q12= (q1, q2)T.
Para el modelo din ´amico de la cadena de eslabones dada por los eslabones 3 y 4, se
em-plea un procedimiento similar al anteriormente descrito, quedando las siguientes ecuaciones de
movimiento.
τ4 = l24m3q¨4+m4λ24q¨4+I4q¨4+l4m3λ3cos(q4−q3) ¨q3+λ3l4m3q˙32sen(q4−q3), (34)
22
De (34) y (35) se escribe la ecuaci ´on de movimiento:
τ2(t) =
β2 θ2
θ2 α2
q¨34+
0 γ2
σ2 0
q˙34, (36)
donde:α2=l42m3+m4λ24+I4, θ2 =l4m3λ3cos(q4−q3), β2 =λ23m3+I3,
γ2 =−λ3l4m3sen(q4−q3) ˙q4, σ2 =λ3l4m3sen(q4−q3) ˙q3, q12= (q3, q4)T.
Hasta aqu´ı se ha obtenido el modelo din ´amico de cada cadena de eslabones por separado.
Debido a que el mecanismo de cinco barras es un mecanismo cerrado, debemos tomar en cuenta
las fuerzas de restricci ´on existentes debido a la uni ´on de las dos cadenas de eslabones. De
acuer-do a (Ghorbel y Gunawardana, 1997), un mecanismo de cadena cerrada, al cual nos referiremos
como el sistema con restriccionesΣ, se puede visualizar como un sistema abiertoΣ0 al cual se le
ha aplicado una restricci ´onR, como se muestra en la figura 15. El sistema abiertoΣ0 es descrito
por:
Figura 15.Sistema libre, restricciones y sistema restringido. (Figura tomada de Ghorbel y Gunawardana, 1997).
Σ0 :M0(q0)¨q0+C0(q0,q˙0) ˙q0+g0(q0) = 0, (37)
M0(q0)∈Rn0×n0
es la matriz de inercia,C0(q0,q˙0) ˙q0 ∈Rn0
, representa la matriz de fuerzas
centr´ıfu-gas y de Coriolis yg0(q0) ∈ Rn
0
es el vector de gravedad. Las restricciones aplicadas al sistema
libre est ´an representadas por(n0−n)restricciones independientes, escleron ´omicas y holon ´omicas
dadas por la ecuaci ´on
R:φ(q0) = 0, (38)
dondeφ(q0)es al menos dos veces continuamente diferenciable. Con la introducci ´on de las
restric-ciones en la ecuaci ´on (38) las coordenadas generalizadasq0 est ´an restringidas a un subespacio
deΩ0, es decir,q0 ∈U0 donde
U0 ,{q0 ∈Ω0 :φ(q0) = 0} ⊂Ω0. (39)
De (Greenwood, 1977), sabemos que el sistema libreΣ0 que se da en la ecuaci ´on (37), con las
restricciones del sistemaRen la ecuaci ´on (38), tienengrados de libertad, por lo tanto, existe un
conjunto m´ınimo dencoordenadas generalizadas independientes q ∈Ω ⊂Rntal que el sistema
puede ser escrito en t ´erminos deqcomo sigue:
Σ :M(q)¨q+C(q,q˙) ˙q+g(q) = 0, (40)
dondeM(q)∈Rn×nes la matriz de inercia,C(q,q˙) ˙q ∈
Rnes el vector de fuerzas centr´ıfugas y de
Coriolis yg(q)∈Rnes el vector de gravedad. En el caso que estamos tratando, podemos escoger
que las coordenadas generalizadas coincidan con las variables de las uniones actuadas, con lo
cual, las ecuaciones de movimiento descritas en (40) se pueden escribir como,
Σ :M(q)¨q+C(q,q˙) ˙q+g(q) =u, (41)
dondeu∈Rnes el vector de fuerzas generalizadas aplicado. Utilizando la informaci ´on que se ha
dado hasta el momento, el sistema libreΣ0 y las restriccionesR, se puede desarrollar un modelo
de acuerdo a (Ghorbelet al., 1994), como se describe a continuaci ´on.
Las coordenadas q0 con las que inicialmente se describe al sistema libre, como se ve en la
ecuaci ´on (37), son en general f ´acilmente visibles. Por ejemplo, pueden representar los ´angulos
y desplazamientos de un eslab ´on, las coordenadas cartesianas de su centro de gravedad, o su
orientaci ´on. Las coordenadas independientesqcon las que se describe el sistema restringido de
24
veces continuamente diferenciable
α:U0→U ⊂Rn
q0→q=α(q0).
(42)
La parametrizaci ´on en la ecuaci ´on (42), usualmente es sencilla de obtener expl´ıcitamente. Por
ejemplo, y ya que el sistema restringidoΣtiene ngrados de libertad, podemos simplemente
es-coger los n componentes apropiados del vector q0. En general, podr´ıamos preferir escoger los
componentes deq0 que correspondan a las variables de las uniones actuadas debido a que son
estas articulaciones las que podemos controlar y medir con mayor facilidad. En este caso,
pode-mos escribirq =Aq0 dondeA es una matriz operadora constante con la cual se seleccionan los
componentes necesarios deq0.
Utilizando la ecuaci ´on de restricciones de (38), y la parametrizaci ´on de la ecuaci ´on (42), podemos
escribir,
φ(q0)
α(q0) = 0 q
, (43)
y adem ´as definimos,
ψ(q0),
φ(q0)
α(q0)
. (44)
Relacionando las ecuaciones (43) y (44), definimos
¯
ψ(q0, q),
φ(q0)
α(q0) − 0 q
. (45)
Notar que
∂ψ¯ ∂q0 =
∂ψ
∂q0. (46)
Ahora se define el conjunto
V0,
q0 ∈U0 :det
∂ψ(q0)
∂q0
6
= 0
⊂U0. (47)
Decimos que el sistema es una configuraci ´on singular cuando q0 es un elemento deU0 pero no
es un elemento deV0. Se sigue queV0 es el espacio de trabajo en las coordenadasq0 donde el
sistema restringido satisface las restricciones y adem ´as no es una configuraci ´on singular.
de-be satisfacer las restricciones y no dede-be estar permanentemente en una configuraci ´on singular.
Consecuentemente, V0 6= 0 en general. Si este no es el caso, el sistema debe ser redise ˜nado
mec ´anicamente. Por lo tanto, es razonable suponer queV0 contiene regiones no vac´ıas, las
cua-les no est ´an necesariamente conectadas”.
Para cualquier punto dado q∗0 ∈ V0, sea ψ¯(q0∗, q∗) = 0. Usando el teorema de la funci ´on
impl´ıci-ta descrito por (Taylor y Mann, 1972), se puede concluir que existe una vecindadζq0 ∗ deq
0
∗, y una
vecindadζq∗ deq∗0,tal que, para cualquierq ∈ζq∗, existe unaq 0 ∈ζ
q0
∗ ´unica, tal que,
q0=σ(q). (48)
Adem ´as,
˙
q0 =ρ(q0) ˙q, (49)
donde
ρ(q0) =ψ−q01(q0)
0(n0−n)×n
In×n
. (50)
La ecuaci ´on (50) se da de la derivada de (43), a saber,
ψq0(q0) ˙q0 =
0(n0−n)×n
In×n
q.˙ (51)
Finalmente, las ecuaciones de movimiento del sistema restringido expresado en t ´erminos de
las coordenadas generalizadasq ∈ Ωcomo se muestra en la ecuaci ´on (41), se obtienen
combi-nando
M(q0)¨q+C(q0,q˙0) ˙q=τ; q˙0 =ρ(q0) ˙q; q0 =σ(q), (52)
donde:
M(q0) = ρ(q0)TM0(q0)ρ(q0), (53)
C(q0,q˙0) = ρ(q0)TC0(q0,q˙0)ρ(q0) +ρ(q0)TM0(q0) ˙ρ(q0,q˙0), (54)
26
q= [q1 q4]T ; q0 = [q1 q2 q3 q4]T,
˙
q= [ ˙q1 q˙4]T ; q˙0= [ ˙q1 q˙2 q˙3 q˙4] T
.
Para nuestro mecanismo, a partir del m ´etodo de las ecuaciones de Lagrange, el cual se
obtuvo en la secci ´on 2.4.4, se obtuvieron las matrices de inercia y de fuerzas centr´ıfugas y de
Coriolis, de cada cadena de eslabones por separado. De acuerdo a (Ouyanget al., 2004) esto se
puede escribir como,
M0(q0) =
α1 θ1 0 0
θ1 β1 0 0
0 0 β2 θ2
0 0 θ2 α2
, (55)
C0(q0,q˙0) =
0 γ1 0 0
σ1 0 0 0
0 0 0 γ2
0 0 σ2 0
. (56)
Para encontrarρ(q0)se consideran las ecuaciones de restricci ´on descritas en (1) y (2):
ξ(q) = ξ1 ξ2 = 0 0
, (57)
donde:
ξ1 =l1cos(q1) +l2cos(q2)−l5cos(q5)−l4cos(q4)−l3cos(q3),
ξ2=l1sen(q1) +l2sen(q2)−l5sen(q5)−l4sen(q4)−l3sen(q3).
La parametrizaci ´onη(q0) = q presenta una transformaci ´on de q0 = [q1 q2 q3 q4]T a q = [q1 q4]T y
est ´a dada por:
η(q0) =
1 0 0 0
0 0 0 1
q
Definimos entonces de acuerdo a (44):
ψ(q0),
ξ(q0)
η(q0)
,
diferenciando (57) con respecto aq0 y tomando en cuenta (58) obtenemos:
ψq0(q0),
∂ψ ∂q0 =
−l1sen(q1) −l2sen(q2) l3sen(q3) l4sen(q4)
l1cos(q1) l2cos(q2) −l3cos(q3) −l4cos(q4)
1 0 0 0
0 0 0 1
. (59)
Finalmenteρ(q0)se obtiene de acuerdo a lo visto en (50) de la siguiente manera:
ρ(q0) =ψ−q01(q0) 0 0 0 0 1 0 0 1 . (60)
Para encontrarρ˙(q0,q˙0):
˙
ρ(q0,q˙0) =−ψ−q01(q0) ˙ψ(q0,q˙0)ρ(q0), (61)
donde:
˙
ψ(q0,q˙0) =
−l1cos(q1) ˙q1 −l2cos(q2) ˙q2 l3cos(q3) ˙q3 l4cos(q4) ˙q4
−l1sen(q1) ˙q1 −l2sen(q2) ˙q2 l3sen(q3) ˙q3 l4sen(q4) ˙q4
0 0 0 0
0 0 0 0
. (62)
A trav ´es del modelo cinem ´atico directo, se obtieneq0 = σ(q). Como se vio en la secci ´on 2.2,
se pueden encontrar los ´angulosq2 yq3 en funci ´on deq1 y q4. Recordando las ecuaciones (3) y
(11) se puede obtenerq0 =σ(q)utilizando:
q3 = 2 atan
B±√B2+C2−D2
C+D
!
, (63)
q2 = asen
l5sen(q5) +l4sen(q4) +l3sen(q3)−l1sen(q1)
l2
28
donde:
B = 1
l2
(2l5l3sen(q5)−2l3l1sen(q1) + 2l4l3sen(q4)),
C = 1
l2
(2l5l3cos(q5)−2l4l3cos(q4)−2l3l1cos(q4)),
D = 1
l2
−l25−l24−l32−l21−2l5l4sen(q5) sen(q4)−2l5l4cos(q5) cos(q4)
+2l5l1sen (q1) sen(q5) + 2l5l1cos(q1) cos(q5) + 2l4l1sen(q1) sen(q4)
+2l4l1cos(q1) cos(q4)) + 1.
De esta forma, obtenemos todas las ecuaciones necesarias para desarrollar el modelo din ´amico
del equipo. Para poder simularlo, tomando en cuenta que podemos medirq, comenzamos
calcu-landoq0 =σ(q), como se muestra en (63-64). Posteriormente obtenemosM0(q0)yC0(q0,q˙0)de (55)
y (56). De igual formaψq0(q0)lo obtenemos como se muestra en (59). Con esto, podemos obtener
ρ(q0) a partir de (60). Ya que obtuvimos ρ(q0), a partir de (52), podemos obtenerq˙0 =ρ(q0) ˙q. Una
vez hecho esto, se obtieneρ˙(q0,q˙0), a partir de (61) y (62), con lo cual tenemos todo lo necesario
para encontrarM(q0)yC(q0,q˙0) a partir de (53) y (54). As´ı tenemos completo el modelo dado por
la ecuaci ´on (52).
En cap´ıtulos posteriores, estos modelos ser ´an de gran utilidad para poder hacer simulaciones
Cap´ıtulo 3.
Dise ˜
no mec ´anico
Hasta ahora se ha encontrado el modelo cinem ´atico y din ´amico del mecanismo de 5 barras;
sin embargo todo ha sido hecho de forma general pues a ´un no se conocen los par ´ametros del
sistema. En este cap´ıtulo se abordar ´a el tema del dise ˜no f´ısico del equipo, se ver ´an los pasos
que se siguieron para decidir las dimensiones de los eslabones y finalmente c ´omo afectan estas
longitudes a la precisi ´on del mecanismo.
3.1. C ´alculo del espacio de trabajo
De acuerdo a (Siciliano y Khatib, 2016), el espacio de trabajo de un robot manipulador puede
definirse como el volumen barrido por el efector final, mientras el manipulador ejecuta todos sus
movimientos posibles. El espacio de trabajo se determina por la geometr´ıa del manipulador y los
l´ımites de movimiento de las uniones
El hecho de poder encontrar una funci ´on anal´ıtica para determinar el espacio de trabajo en
funci ´on de la longitud de los eslabones (l1, l2, l3, l4, l5), nos resultar ´a muy ´util debido a que se
podr ´a utilizar ´esta como funci ´on de costo para obtener las dimensiones de cada eslab ´on de tal
manera que se obtenga un espacio de trabajo m ´aximo. En la Figura 16, el ´area sombreada ilustra
el espacio de trabajo para ciertas longitudes de eslabones para un mecanismo de 5 barras.
A continuaci ´on se describir ´a c ´omo obtener el espacio de trabajo de manera geom ´etrica. Para
esto, tome en cuenta las siguientes definiciones que se ilustran en la Figura 16.
c1 = {(x, y)∈R2: (x−o4x)2+ (y−o4y)2= (l3+l4)2}
c2 = {(x, y)∈R2: (x−o1x)2+ (y−o1y)2= (l2−l1)2}
c3 = {(x, y)∈R2: (x−o1x)2+ (y−o1y)2= (l2+l1)2}
c4 = {(x, y)∈R2: (x−o4x)2+ (y−o4y)2= (l3−l4)2}
Para asegurar que los eslabones 1 y 4 puedan rotar completamente, se deben considerar las
siguientes condiciones descritas en (Ouyanget al., 2004):
1. Se debe cumplir la desigualdad:Lmax+Lmin1+Lmin2≤Lm+Ln,
esla-30
Figura 16.Area de trabajo para una configuraci ´on de un mecanismo de 5 barras´
bones m ´as cortos del mecanismo de 5 barras, Lm yLn son las longitudes de los otros dos
eslabones, yLmax≥Lm≥Ln≥Lmin2 ≥Lmin1.
2. De los dos eslabones que se unen en el efector final, uno debe ser ya seaLmax,Lm oLn.
Si las condiciones anteriores se cumplen, entonces las circunferenciasc1,c2,c3 y c4 tienen ocho
intersecciones, las cuales limitan dos ´areas de trabajo posibles que se muestran sombreadas en la
Figura 16. De estas ocho intersecciones, habr ´a cuatro que ser ´an de nuestro inter ´es, esto debido a
que, para la configuraci ´on de eslabones que tiene nuestro mecanismo, nunca ser ´a posible que el
eslab ´on final llegue a las dos ´areas sombreadas, por lo que el mecanismo trabajar ´a siempre en el
´area sombreada que se muestra en la parte superior de la Figura 16. En la Figura 17 se muestra
con m ´as claridad el espacio de trabajo del mecanismo de la Figura 16 y los puntos de inter ´es
mencionados anteriormente. El primer paso para encontrar el espacio de trabajo es encontrar las
coordenadas de estos cuatro puntos, denotados porP1,P2,P3 yP4.
El origen del eslab ´on 1 se denotar ´a comoo1 = (o1x, o1y) ∈R2, y se denotar ´ao4 = (o4x, o4y)∈
R2 al origen del eslab ´on 4
Para calcular los puntosPi = (Pix, Piy) ∈R2parai= 1, ...,4, se analizar ´an las intersecciones
Figura 17.Puntos principales para el c ´alculo del dados a partir deθ1yθ2
Figura 18.Puntos principales para el c ´alculo del ´area de trabajo dados a partir deθ3yθ4
definenci:
(Pix−o1x)2+ (Piy−o1y)2=rb2, (65)
(Pix−o4x)2+ (Piy−o4y)2=ra2. (66)
Debe tomarse en cuenta que parai= 1entoncesra= (l2−l1)yrb= (l3+l4); parai= 2entonces
ra= (l2−l1)yrb = (l3−l4); parai= 3entoncesra= (l2+l1)yrb = (l3+l4); parai= 4entonces
ra= (l2+l1)yrb= (l3−l4). Conociendo esto, podemos expandir (65) y (66) como sigue,
32
Pix2 −2o4xPix+o24x+Piy2 −2o4yPiy+o42y−r2b = 0, (68)
igualando (67) y (68) se calculaPiy,
Piy=
r2a−r2b +o24x+o24y−o21x−o21y −2(o1y−o4y)
−(o1x−o4x)P1x
(o1y−o4y)
. (69)
Proponemos:
b= r
2
a−r2b +o24x+o24y−o21x−o21y
−2(o1y−o4y)
, (70)
m= (o1x−o4x) (o1y−o4y)
, (71)
de tal manera que podemos escribir,
Piy=b−mP ix. (72)
SustituyendoP1y en (67) se obtiene una ecuaci ´on cuadr ´atica, por lo que se puede encontrarP1x
como:
Pix=
2(o1x) +m(b−o1y)±
q
4(o1x+m(b−o1y))2−4(m+ 1)(o12x+b2−2o1yb+o21y−ra2)
2(m+ 1) .
(73)
Finalmente, se puede encontrar Piy sustituyendo Pix en (72). Una vez encontrados los puntos
P1, P2, P3, P4, es posible encontrar el ´area de trabajo geom ´etricamente encontrando las ´areas de
los tri ´angulos y de los segmentos circulares que se muestran en la Figura 19. En esta figura,
existe un tri ´angulo t1 = 4P1P2P3 formado porP1, P2, P3 y otro tri ´angulo t2 = 4P2P3P4 formado
porP2, P3, P4. Mediante la f ´ormula de Her ´on, es posible calcular el ´area de los tri ´angulost1 yt2.
Las ´areas de los tri ´angulos t1 y t2 se calculan como sigue. At1 =
p
P(P −l1)(P−l2)(P −l3),
At2=
p
Q(Q−l2)(Q−l4)(Q−l5),
donde:
P = (d1,2+d1,3+d2,3)/2, Q= (d2,3+d2,4+d3,4)/2 y di,j=
q
(Pix−Pjx)2+ (Piy−Pjy)2.Para
obtener el ´area de los segmentos circulares, primeramente se calculan los ´angulosθ1,θ2, θ3,θ4
los cuales se muestran en las Figuras 17 y 18. Para hacer este c ´alculo realizamos lo siguiente.
θ1 =
acos
o4x−P3x
l3+l4
−acoso4x−P1x
l3+l4
, θ2 =
acos
o1x−P1x
l2−l1
−acoso1x−P2x
l2−l1
Figura 19.Areas que se necesita calcular para encontrar el espacio de trabajo.´
θ3 =
acos
o1x−P3x
l1+l2
−acoso1x−P4x
l1+l2
, θ4 =
acos
o4x−P2x
l3−l4
−acoso4x−P4x
l3−l4
.
Una vez obtenidos los ´angulos, es posible calcular las ´areas de los segmentos circulares s1,
s2,s3 ys4 como sigue:
As1 = (l3+l4)
2
2 (θ1−sen(θ1)) As2=
(l2−l1)2
2 (θ2−sen(θ2))
As3 = (l1+l2)
2
2 (θ3−sen(θ3)) As4 =
(l3−l4)2
2 (θ4−sen(θ4))
Finalmente, para calcular el ´area de trabajoA(l1, l2, l3, l4, l5), se suman las ´areas calculadas
anteriormente:
A(l1, l2, l3, l4) =As1−As2+As3−As4+At1+At2. (74)
De esta forma se obtuvo el ´area de trabajo en funci ´on de las dimensiones de los eslabones y
esto ser ´a nuestra funci ´on de costo para optimizar. En la figura A.5 del ap ´endice, se muestra una
car ´atula del programa utilizado para simular el ´area de trabajo en funci ´on de la longitud de los
eslabones. A continuaci ´on se abordar ´a el tema de la optimizaci ´on del espacio de trabajo para el
mecanismo de 5 barras utilizando esta funci ´on.
3.2. Optimizaci ´on
Una vez obtenida la funci ´on de costoA(l1, l2, l3, l4, l5) dada en (74), se utilizar ´a esta funci ´on
34
el algoritmo de optimizaci ´on se tomar ´an en cuenta restricciones que aseguren que los eslabones
no golpear ´an el resto del equipo.
3.2.1. Optimizaci ´on unidimensional.
De acuerdo a (Chong y Zak, 2013), la optimizaci ´on unidimensional nos permite determinar el
m´ınimo o m ´aximo de una funci ´onf : R → Ren un intervalo cerrado [a0, b0].Existen diferentes
m ´etodos de optimizaci ´on los cuales consisten en evaluar la funci ´on objetivo en diferentes puntos
dentro del intervalo[ao, b0]. La meta es ir estrechando el intervalo progresivamente hasta que el
m´ınimo quede encajonado con la suficiente precisi ´on.
Considerando una funci ´onf de una variable y el intervalo[a0, b0].Si se eval ´ua f solamente
en un punto intermedio del intervalo, no es posible estrechar el intervalo donde sabemos que
est ´a localizado el m´ınimox∗∈[a0, b0]. Se tiene que evaluarf en dos puntos intermedios como se
ilustra en la Figura 20 dondea1 yb1 son los puntos intermedios donde se eval ´ua para encontrar
un intervalo m ´as estrecho donde se encuentra el m´ınimox∗. Los puntos intermedios se escogen
de tal forma que la reducci ´on en el intervalo sea sim ´etrica:
a1−a0 =b0−b1=ρ(b0−a0)
donde:
ρ < 1
2.
Posteriormente se eval ´uaf en los puntos intermedios. Si f(a1) < f(b1), entonces el m´ınimo x∗
debe estar en el rango[a0, b1].Por el otro lado, sif(a1)≥f(b1),entonces el m´ınimo se localiza en
el intervalo[a1, b0].
Conociendo el nuevo intervalo reducido donde se encuentra el m´ınimox∗, se puede repetir el
proceso y encontrar otros dos puntos nuevos[a2, b2]utilizando el mismo valor deρ < 12 como se
hizo anteriormente, y este proceso ser ´a repetido en varias iteraciones hasta que el m´ınimo quede
Figura 20.Caso particular de b ´usqueda de valor ´optimo.
3.2.2. M ´etodo de Fibonacci
La idea del m ´etodo de Fibonacci es reducir el n ´umero de iteraciones necesarias para encontrar
el m´ınimo. Esto se puede hacer encontrando un valor deρ tal que nos permita hacer las
evalua-ciones de forma eficiente. El m ´etodo de Fibonacci ofrece una forma inteligente para escoger el
valor deρen cada iteraci ´on de tal forma que el n ´umero de iteraciones se reduzca.
La meta es seleccionar valores sucesivos de ρk,0 ≤ ρk ≤ 1/2, tales que s ´olo una nueva
evaluaci ´on de la funci ´on sea requerida en cada etapa. En la Figura 21 podemos ver que se puede
escogerρktal que:
ρk+1(1−ρk) = 1−2ρk (75)
Despejando se obtiene:
ρk+1= 1− ρk
1−ρk
Suponiendo que se nos da una secuencia ρ1, ρ2,...,ρn que satisface las condiciones dadas en la ecuaci ´on (75) y se usa esta ecuaci ´on en nuestro algoritmo de optimizaci ´on. Despu ´es de N
iteraciones del algoritmo el rango de incertidumbre es reducido por un factor de (1−ρ1)(1− ρ2)· · ·(1−ρn).
Dependiendo de la secuenciaρ1,ρ2,... se tiene un factor de reducci ´on diferente. Esto nos da un problema de optimizaci ´on con restricciones ya que podr´ıamos preguntarnos qu ´e secuencia de
36
Figura 21.Selecci ´on de puntos de evaluaci ´on
siguiente forma:
Minimizar:
(1−ρ1)(1−ρ2). . .(1−ρn), (76)
con las restricciones:
ρk−1= 1−
ρk
1−ρk, k= 1, . . . , n−1, (77)
0≤ρk ≤ 1
2, k= 1, . . . , n. (78)
Teniendo en cuenta queFk+1=Fk+Fk−1, la soluci ´on para el problema dado por las ecuaciones
(76), (77) y (78) es:
ρ1 = 1− Fn Fn+1
,
ρ2 = 1−Fn−1 Fn
,
.. .
ρk = 1−Fn−k+1 Fn−k+2
,
.. .
ρn = 1−F1 F2
,