Sincronización robusta de sistemas lagrangianos utilizando controladores discontinuos16892Robust synchronization of lagrangian systems using discontinuous controllers

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David Isaías Rosas Almeida

Y APROBADA PoR EL src-;u1EN†E coM1†É

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I.

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Dr. JoåqiíñA1vrezZGaIlegos H

Director del Comité

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' Dr. Yuri Orlov Kuchina

Miembro del Comité

Dr/Luis Aleïjz-fi1dro Måñrquez Martínez

Miembro del Comité

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Dr uan GeníaloFZ'ajas Ramírez

Miembro el Comité

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Dr. Alejandro ¡cardo Femat Flores

Miembrodel Comité

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Dr. Art“ÍÍ'o Velázquez Ventura

Coordinador del programa de posgrado en Electrónica y

Telecomunicaciones

Dr. Raúl Ramón Castro Escamilla

Director de Estudios de Posgrado

DE ENSENADA

*ev

¿PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS

EN ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES CON ORIENTACIÓN EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS UTILIZANDO CONTROLADORES DISCONTINUOS

TESIS

que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de DOCTOR EN CIENCIAS

Presenta:

DAVID I. ROSAS ALMEIDA

TELECOMUNICACIONES con orientación en INSTRUMENTACON Y CONTROL. Ensenada, Baja California. Diciembre del 2005.

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS UTILIZANDO CONTROLADORES DISCONTINUOS

Resumen aprobado por: _

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“If V/ .I

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Dr. Joq 'n Alvrez Gallegos Director de Tesis

Se proponen técnicas de sincronización de sistemas lagrangianos de n grados de libertad (nGDL) y sistemas que puedan representarse en forma normal. El objetivo de estas tecnicas es lograr una sincronización asintótica entre los sistemas involucrados, a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas acotadas. El diseño de las señales de acoplamiento se basa en tecnicas de control discontinuo.

Para resolver el problema de sincronización de sistemas que pueden ser llevados a una forma normal, bajo un esquema de interconexión maestro/esclavo, se utiliza la técnica de control por modos deslizantes de primer orden. Dependiendo del grado relativo de los sistemas maestro y esclavo, yde las transformaciones de coordenadas para obtener las formas normales, se pueden obtener diferentes tipos de sincronización.

Para los sistemas lagrangianos, una consideración adicional es que sólo se tiene acceso al vector de posiciones generalizadas; por lo tanto, el uso de un observador de estados es necesario. Con base en una retroalimentación discontinua se propone un observador robusto para sistemas lagrangianos que garantiza convergencia exponencial al estado de la planta a pesar de la existencia de incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Además, por medio de este observador es posible identificar los terminos de perturbación que afectan la planta, los cuales se pueden utilizar en un controlador para su compensación.

La sincronización de sistemas lagrangianos, tanto en el esquema maestro/esclavo como en configuraciones más generales, en donde pueden estar presentes acoplamientos unidireccionales y bidireccionales, se basa en eliminar términos no lineales y agregar términos proporcional y derivativo de los errores de sincronización, asi como un término discontinuo que genera un modo deslizante de segundo orden, el cual produce buenas propiedades de robustez en el sistema en lazo cerrado. En la realización de las señales de acoplamiento se utiliza el observador para estimar los vectores de velocidad y, en el caso de la sincronización de arreglos, estimar los términos no lineales y las perturbaciones para su compensación, logrando de esta forma la sincronización entre todos los sistemas.

TELECOMMUNICATIONSN whit orientation in INSTRUMENTATION AND CONTROL. Ensenada, Baja California, l\/lexico. December 2005. Y

ROBUST SYNCHRONIZATION OF LAGRANGIAN SYSTEMS USING DISCONTINUOUS CONTROLLERS

We propose several synchronization techniques for n degrees of freedom Lagrangian systems as well as systems that can be transformed in normal form. The objective is to produce asymptotic synchronization between all systems involved in spite of the existence of parametric uncertainties and bounded external disturbances. The design of the connection signals is based on techniques of discontinuous control.

Under the master/slave interconnection scheme, we use the first order sliding mode control technique to solve the problem of synchronization of systems that can be transformed to a normal form. Depending on the relative degree of the master and slave systems, and on the coordinate transformations used to obtain the normal forms, different types of synchronization can be obtained.

For ,Lagrangian systems, an additional consideration is that we have access only to the vector of generalized positions; therefore, the use of a state observer is necessary. Based on a discontinuous feedback term a robust observer for Lagrangian systems is proposed. This observer guarantees exponential convergence to the state of the plant in spite of the existence of parametric uncertainties and external disturbances. ln addition, it identifies the disturbance terms existing in the plant, which may be used in a controller to compensate them.

The synchronization of Lagrangian systems in the master/slave scheme as well as in other more complex configurations, where unidirectional and bidirectional connections can be present, is based on the elimination of nonlinear terms and the addition of proportional and derivative terms of the synchronization errors and a discontinuous term that produces second order sliding modes. ln the implementation of the coupling signals the obsen/er is used to estimate the velocity vectors and, in the case of arrays synchronization, to estimate the nonlinear and the disturbances terms for its compensation.

México mejor.

Al Dr. Joaquin Álvarez Gallegos, por su atinada dirección de este proyecto y sobre

todo, por sus valiosos consejos y amistad.

A los miembros del comité de tesis. Dr. Iouri Orlov, Dr. Luis Alejandro Márquez

Martinez, Dr. Juan Gonzalo Barajas Ramirez y Dr. Alejandro Femat Flores, por sus

valiosos comentarios y disponibilidad.

Al Dr. Leonid Fridman, por su valiosa colaboración en el desarrollo del observador

robusto para sistemas lagrangianos presentado en el capítulo tres.

Al Dr. Alexander Fradkov y colaboradores por sus valiosos comentarios para la

solución del problema de sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos y por

su hospitalidad en la ciudad de St. Petersburgo, Rusia.

Al Dr. Jaime Álvarez Gallegos por sus valiosos comentarios.

A la Facultad de Ingenieria de la Universidad Autónoma de Baja California, unidad

Mexicali.

C

INTRODUCCIÓN

I. II. III. IV PRELIMINARES IVIATEMÁTICOS l_l I_2 I_3 I.4 I_5

Existencia y unicidad de soluciones _ _ Estabilidad en el sentido de Lyapunov _ _ Estabilidad de sistemas perturbados _ _ _ _ Sincronización de sistemas dinámicos _ _ _ _ _ _ Sistemas lagrangianos de nGDL y suspropiedades _

`/

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS CON UNA ENTRADA Y UNA SALIDA POR MEDIO DE MODOS DESLIZANTE-S

II.l II_2 II_3 lI.4

DISEÑO DE UN OBSERVADOR ROBUSTO PARA SISTEMAS

Planteamiento del problema _ _ _ _ _ _ _ Diseño de la señal acoplante _ _ _ _ _ _ _ _ Sincronización de sistemas lineales por tramos _ Discusión de resultados _ _ _ _ _ _ _ _ _

LAGRANGIANOS DE 11GDL III. l IIl.2 III.3 III_4 III_5 III.6

Estabilidad de una clase de sistemas de segundo orden con estructura variable. _ . _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Diseño del observador de estado _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Identificación de parámetros ypeiturbaciones. _ _ _ _ _ _ _ _ Diseño deunobservador para un péndulo simple _ _ _ _ _ _

Estructura de control con identificación de perturbaciones para sistemas lagrangianos. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Discusión de resultados _ _ _ _ _

SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE SISTEMAS LAGRANGIANOS BAJO EL ESQUEMA MAESTRO/ESCLAVO

IV_1 IV.2 IV_3 IV_4 IV_5

Sincronización robusta de salida de sistemas planos de fase _ Sincronización robusta de dos sistemas lagrangianos de nGDL Sincronización de mecanismos de nGDL con articulaciones

traslacionales _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Aplicación a mecanismos de nGDL con articulaciones

rotacionales bajo una acción de control _ _ _ _ _ _ _ Discusión de resultados _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

V. SINCRONIZACIÓN ROBUSTA DE DE ARREGLOS DE SISTEMAS LAGRANGIANOS

v_i

v_z

vs

v_4

V_5

Planteamiento del problema _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Definiciones preliminares y notación _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de IGDL Sincronización de arreglos de sistemas lagrangianos de nGDL Discusión de resultados _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

VI. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES

VI_1 Trabajoafuturo..__________

LITERATURA CITADA

Página

94 101 114 120 121

122 123 124 125 144 148

150 152

Figura V Pagina l 2 3 4 5 6 7 8 9 110 ll 12 13 14 15 16 17

Soluciones que cruzan la superficie S. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Condiciones para la existencia de un modo deslizante sobre S. _ Diagrama a bloques del esquema de sincronización controlada unidireccional o maestro/esclavo. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplo de una configuración bidireccional de sincronización controlada._______.____._________ Sistema masa resoite amortiguador. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa-resorte-amortiguador. Comportamiento de ambos sistemas antes y después de aplicar la señal acoplante La señal acoplante se aplica en t-5 seg. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados numéricos de la sincronización de un péndulo simple y un sistema masa~resorte -mortiguadoic Errores de

Figura Pagina 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Comportamiento del decremento de las funciones de Lyapunov con respecto al tiempo. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el obsrvador para c i=0_ Observador clásico de Luenberger _ _ _ Resultados numéricos. Comportamiento de la planta y el observadorparac;=10_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados numéricos. Comportamiento de los errores entre la plantayel observador para c«=]O_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perturbación senoidal y su estimación. _ _ _ _ _ _ _ _ _ Perturbación en forma de señal cuadrada y su estimación. _ _ _ Perturbación en forma de señal diente de sierra y su estimación. EstimacióndeA,,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c _@ =0 (observador clásico). _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados experimentales. Comportamiento de la planta y el observador para c 3 :I 0 (observador propuesto). _ _ _ _ _ _ Resultados experimentales. Error angular entre la planta y el observador para c a=] 0 (observador propuesto). _ _ _ _ _ _ Perturbación intrínseca en el sistema mecanico. _ _ _ _ _ Identificación de una perturbación del tipo senoidal_ _ _ _ _ _ Identificación de una perturbación con la forma de una señal cuadrada________.______._______ Diagrama a bloques de la estructura de control con

identiiicación de perturbaciones _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a) Salida de la planta x, y referencia q,., b) error entre la posición real y observada, c) error entre la velocidad real y observada. _ a) Perturbación y y salida del tiltro xf, b) señal de control. _ _ Desempeño del sistema en lazo cerrado sin compensar las perturbaciones_________.____.___ Comportamiento del sistema en lazo cerrado después de

Figura Página 40 41 42 43 44 A 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

Resultados experimentales de la sincronización de dos péndulos. Error de sincronización y señal acoplante cuando el par aplicado al esclavo es cero y el par en el maestro es aplicado manualmente. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Esquema de la sincronización de dos manipuladores de dos grados de libertad. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Posiciones angulares de los mecanismos y velocidades estimadas antes y después de aplicar la señal acoplante_ _ _ _ _ Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal acoplante________________._____ Señales acoplantes_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Esquema de un manipulador caitesiano _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Errores de sincronización antes y después de aplicar la señal de acoplamiento. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Ejemplo de una gráfica de conexiones para cuatro sistemas y un sistema de referencia. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Gráfica de conexiones para la sincronización de tres péndulos. _ Comportamiento del sistema de referencia. _ _ _ _ _ _ _ _ _ Comportamiento de los sistemas antes y después de aplicar las señales de acoplamiento dadas por (1 18). _ _ _ _ _ _ _ _ _ Gráfica de conexiones en donde se han eliminado algunas conexiones entre los sistemas Ei _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados para la configuración de la figura 51 _ _ _ _ Configuración cadena abierta _ _ _ _ _ _ _ _

Resultados de la configuración de la figura 53 _ _ _ _ _ _ _ _ Configuración cadena cerrada. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Configuración en donde se obtiene sincronización entre los sistemas 21 a pesar de que no hay conexión con el sistema de referenciaZ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Resultados de la configuración de la figura 56 _

Configuración maestro/esclavo. _ _ _ _ _ _ Resultados de la configuración de la figura 58 _

La palabra sincronización tiene origen griego (aófy Xpóz/oç) y signiñca coincidencia de hechos o fenómenos en el tiempo, correlación o correspondencia en tiempo entre dos o más sistemas dinámicos (Arkady, 2003; Bleklnnan ct al., 1997; Boccaletti et. al.,

2002). -,«

En muchos sistemas de la naturaleza y sistemas construidos por el hombre la sín-cronízación es un fenómeno natural; por ejemplo, la sincronización de dos relojes de péndulo sujetos a una barra flexible (Blekhman, 1988), o la sincronización de la rotación de la luna con su movimiento orbital, de manera que la luna siempre presenta el mismo lado hacia la tierra (Arkady, 2003). El fenómeno de sincronización produce que un

con-junto de sistemas con interconexiones pueda realizar una función o tarea común. Esta

caracter1'stica puede ser de mucha utilidad, y en algunos casos necesaria, en sistemas hechos por el hombre; por ejemplo en generadores de potencia, arreglos de mecanis-mos con aplicaciones industriales como pintura, ensamble y transporte. Sin embargo, en muchos de estos sistemas el fenómeno de sincronización no se presenta en forma natural, por lo que se deben agregar interconexiones artificiales o un sistema adicional cuyo objetivo sea generar senales de acoplamiento o control para obtener sincronización entre los sistemas.

1997), este es el enfoque que se toma en este trabajo. De aqui en adelante al hablar de sincronización se debe entender como sincronización controlada.

En este sentido, varias técnicas de control han sido utilizadas en el diseño de señales de acoplamiento; algimas de ellas son la retroalimentación lineal de estados (Guo y Wallace, 2002; Sarasola et. al., 2003), el método del gradiente de velocidad (Fradkov y Markov, 1997), tecnicas de control adaptable (Dong y Mills, 2002; Femat Flores ct. al., 2000), control Hoc (Johan et. al., 1997) y control por modos deslizantes (Moez, 2004;

Tao y Hui, 2002).

Los tipos de acoplamiento entre los sistemas juegan un papel muy importante en el problema de sincronización. Dos tipos de acoplamiento son el unidireccional o maes-tro/ esclavo y el bidireccional. En el primero, un sistema, denominado maestro, impone su dinamica al resto de los sistemas denominados esclavos. En el segundo, la sín-cronización es el resultado de la interacción de todos los sistemas involucrados ya que la dinamica de cada sistema influye en los demas. Ambos tipos de acoplamiento pueden estar presentes en arreglos de sistemas; algunos trabajos sobre este tema son los

siguien-tes: Chai y C-hua, 1995; Gang et. al., 1995; Chai, 2001; Rodriguez Angeles y Nijmeijer, 2004; Koichi et. al., 1993; Teasushi y Guanron, 2001; Cfhai, 2002 y Chai, 2000.

En algunas aplicaciones, como la sincronización de sistemas caóticos en la conligu-ración maestro/ esclavo, el problema de sincronización también puede verse como un problema de diseño de un observador. En este enfoque se tiene la libertad de diseñar el sistema esclavo como un observador del sistema maestro y de esta forma lograr que los sistemas se sincronicen. Algunos trabajos importantes sobre esta forma de ver la sincronización son: Fradlcov et. al., 2000; Giovanni et. al., 2003; Giuseppe y Saverio, 1999; Nijmeijer e Iven, 1997 y Asad y Edwin, 2000.

acuerdo al número de estados sincronizados se clasifica en sincronización completa y en sincronización parcial, si todas las variables de estado o sólo un subconjunto de ellas se sincroniza. De acuerdo a la relación que existe entre los estados, la sincronización

puede ser idéntica, de fase o aproximada, dependiendo de la función que relacione dichos

estados. Al caso general se le llama sincronización generalizada.

El problema de sincronización esta íiitiniamente relacionado con el problema de

es-tabilidad (Yonghong et. al. 2003), (Chai y Chua, 1994), (Reggie y Rulkov, 1997),

(Makoto y Chua, 2002); por lo tanto, los problemas existentes también estan relaciona-dos con problemas de estabilidad.

La sincronización de sistemas dinámicos tiene muchas aplicaciones, una de ellas es la sincronización de sistemas caóticos (Boccaletti et. al., 2001), (Pecora y Carroll, 1990), (Tang et. al., 1993). La sincronización de sistemas caóticos se puede utilizar en el desarrollo de sistemas de comunicaciones privadas, algunos trabajos sobre este tema

son: Andrievsky y Fradlcov, 2001; Carroll, 1995; Herve et. al., 1993; Kevin et. al., 1993

y Gregory y Bajarshi, 1999.

Otra aplicación muy importante, que es el tema de estudio de esta tesis, es la sincronización de sistemas mecanicos. Hoy en día, los desarrollos tecnológicos y los requerimientos en eficiencia y calidad en procesos de producción han resultado en el desarrollo de sistemas muy complejos formados por arreglos de robots manipuladores y mecanismos en general. En la practica, muchos de estos sistemas trabajan bajo un esquema cooperativo o coordinado; en ambos casos la sincronización debe estar

pre-sente. Algunas de las aplicaciones de estos sistemas son en ensamble, pintura, doblado,

2001.

Una cantidad importante de trabajos sobre sincronización de sistemas dinamicos, incluyendo la sincronización de mecanismos, asumen que los sistemas son idénticos y que no existen incertidumbres parametricas ni perturbaciones externas. Algunas de las tecnicas de control usadas en el diseño de señales acoplantes bajo estas condiciones son la retroalimentación lineal de estados para la sincronización de sistemas caóticos (Sarasola et. al., 2003), (Guo y Ñ/Vallace, 2002) y controladores del tipo PID para la sincronización de mecanismos (Rodríguez Angeles, 2002). Otra hipótesis importante es que se tiene acceso completo a los vectores de estado de todos los sistemas.

Actualmente existen varias propuestas para resolver elproblema de sincronización ba'o situaciones mas realesJ ara cla.scs articulares de sistemas al 'unas de estas ro-› P

puestas son las siguientes. Para resolver el problema de incertidumbres parametricas

se han utilizado controladores adaptivos, los cuales tratan de estimar los valores reales

de los parametros de los sistemas y de esta forma aplicar la señal de control adecuada

para obtener sincronización. Algunas propuestas estan reportadas en: Femat Flores et.

al., 2000; Dong '.\/lills, 2002 y Fradkov y M-arkov, 1997.

El problema de perturbaciones externas ha sido atacado con técnicas de control robusto; para sistemas de tipo Lur”e se ha utilizado control Hoc, (Johan et. al., 1997)

para sistemas cuyo modelo tiene forma de cadena de integradores se ha aplicado control por modos deslizantes (Tao y Hui, 2002), (Moez, 2004). Sin embargo, estos problemas no han sido resueltos para muchas clases de sistemas.

pequeños o tolerables.

El objetivo de este trabajo de tesis es proponer técnicas de diseño de señales de acoplamiento que permitan la sincronización de sistemas mecanicos, a pesar de la exis-tencia de perturbaciones externas e incertidumbres parametricas; eri este sentido la sincronización sera robusta. El modelo de los mecanismos que se usa a lo largo del trabajo es el lagrangiano, debido a que presenta un conjunto de propiedades ventajosas para el analisis de estabilidad y para el diseño de las señales dc acoplamiento. Ademas, al utilizar este modelo, los resultados se pueden aplicar a sistemas de otra naturaleza (no mecanicos) que puedan ser representados por un modelo lagrangiano.

Una cóndición adicional en los sistemas es que sólo se tiene acceso al vector de posicionesWgerieralizadas, por lo que el problema completo se puede describir como la obtención de sincronización idéntica robusta de salida entre sistemas lagrangianos.

A continuación se presenta un resumen de los resultados obtenidos.

para la realización de la señal acoplante se requiere la medición del estado completo. En caso de no tenerlo se buscara diseñar un observador de estado.

Como es evidente en la propuesta anterior, uno de los principales problemas en la realización de controladores basados en retroalimentación de estados es que comúnmente no se dispone del vector de estado completo. Este problema se puede resolver usando observadores de estado; estos sistemas tienen la finalidad de estimar las variables de estado necesarias para la realización del controlador. En el capítulo 3 se presenta una nueva metodología para el diseño de un observador robusto para sistemas lagrangianos de nGDL. El observador se basa en el esquema de Luenberger para sistemas no lineales, al que se agrega un término discontinuo en la retroalimentación, lo que produce un sistema con estructura variable en el espacio del error; debido a esto, el analisis de estabilidad se basa en los resultados presentados en Branicky, (1998), en donde se presenta un analisis de estabilidad en sistemas con estructura variable en donde cada estructura tiene al origen como punto de equilibrio. En la primera sección del capítulo 3 se presenta una extensión de este resultado a sistemas con estructura variable en donde las estructuras no tienen al origen como equilibrio y adernás existen perturbaciones no desvanescentes, este resultado es muy importante y se utiliza a lo largo de todo el

documento.

Con base en el analisis de estabilidad para una clase de sistemas con estructura variable y el observador para sistemas lagrangianos presentados en el capítilo 3, en el capítulo 4 se presenta una tecnica para sincronizar sistemas lagrangianos con el mismo número' de grados de libertad bajo el esquema de interconexión maestro/ esclavo. Se considera que los sistemas pueden tener perturbaciones externas acotadas e incertidum-bres paramétricas que, para este tipo de sistemas, producen terminos que satisfacen las condiciones de acoplamiento (Kelly y Santibañez, 2003), (Sciavicco y Siciliano, 2000). El objetivo es diseñar las señales de acoplamiento para lograr que el estado de los sis-temas esclavos se sincronicen con el estado del sistema maestro en forma asintótica, a pesar de la existencia de perturbaciones acotadas -no desvanescentes. La solución que se propone se basa en el diseño de una señal de acoplamiento que compensa algunos termi-nos no deseados y agrega termitermi-nos proporcional, derivativo y discontinuo con respecto a la diferencia entre las salidas de los sistemas, el término discontinuo proporciona buenas propiedades de robustez al sistema en lazo cerrado.

Como se mencionó anteriormente, la sincronización de arreglos de sistemas tiene muchas' aplicaciones en la creación de sistemas cooperativos. En el capítulo 5 se hace

la extensión de la técnica de sincronización presentada en el capítulo -1, que fue

Preliminares matemáticos

Una gran variedad de sistemas físicos pueden ser descritos por la ecuación diferencial ordinaria

á::ƒ(t›$iu)i

donde 1: E ílìn es el vector de estado con condición inicial az: (to) = 1:20, ¿is E dar/dt, u G É.-lt” es el vector de control y f : ÉR >< FR" >< 93'" -› 9?” es, en general, un campo vectorial no lineal. Bajo una elección del vector de control como u = u (t, xr) el sistema (1) puede ser reescrito en la forma

9

±-fee

<2>

Si f no depende explícitamente de t, el sistema (2) se le llama autónomo, de otro modo es no autónomo.

I.1

Existencia y unicidad de soluciones

existencia y unicidad de soluciones en el sentido usual y la definición de solución en el sentido de Filippov para sistemas discontinuos.

Teorema 1 (Existencia y unicidad de solución local)(Khalil, 2002) Sea f (t,;r)

una función continua por tramos en t y que satisface la condición de Lipschitz

llffilflf) -f(f›'y)H S Ll|¢f~'~'yH

(3)

V at, y G B = G Éïìn | < r}, V t G [t0,t1]. Entonces existe alguna 5 > 0

tal que la ecuación de estado ct = f (t,:v) con ac (to) = .ro tiene solucion única sobre

[7Í0,1Í0 d- Ó] .

Teorema 2 (Existencia y unicidad de solución global) (Khalil, 2002) Sea f{t,:13)

una función continua por tramos en t que satisface V at, y G 3%", V t G [tO,t1].

Entoncesla ecuación de estado = ƒ (t,:v) con cz: (tg) = :U0 tiene solución única sobre jtg, tj] .

Ahora se presenta la definición de solución en ei sentido de Filippov para el sistema (2); esta definición es más general porque considera al campo vectorial f continuo o

discontinuo (Filippov, 1998).

Considere el sistema (2), donde ƒ es continuo por tramos en un dominio G; 1: E 3?” es el vector de estado y M es un conjunto (de medida cero) de puntos de discontinuidad de la función f .

de la inclusión diferencial

fb G F (t, I),

(4)

esto es, una función vectorial :1: absolutamente continua definida en un intervalo o un segmento I para el cual :ii (t) G F (t, fc) casi en todo punto de I.

De gran interés son los métodos para la definición de F (t,n:) en los puntos de discontinuidad de la función f bajo los cuales la inclusión diferencial (4) puede ser utilizada para una descripción aproximada de la dinamica de un sistema físico.

La siguente definición es aplicable, en particular, a sistemas con retardo asi' como a algunos sistemas con fricción de Coulomb (Filippov, 1998).

`/

Definición 3 (Definición del convemo más simple) Para cada punto (t,:19) G G

el conjunto F (t, ar) es el conjunto confuexo cerrado más pequeño que contenga todos los valores límite de la función vectorial f (t, :n*) para (t, a*) V@ JW, t = cte. F

Una solución de (2) es una solución de la inclusión con F (t, 1:) así construida.

En los puntos donde la función f es continua el conjunto F (t, Lc) consiste del

punto f (t, , y la solución satisface la ecuación en el sentido usual. Si el punto (t, E M el conjunto F (t, 11:) es un segmento, polígono o un poliedro.

Considere el caso donde la función ƒ (t, cc) es discontinua en una superficie suave S dada por la ecuación it = 0. La superficie S divide al espacio :r en los dominios G* y GT Para un tiempo t constante y para el punto az* aproxirnandose al punto az' 6 S desde los dominios G* y G_, la función f (t, tiene los valores límite

lim f (t,a:*) = ff (t,a:),

av* EG" 2:*-›:z:

11m+f<±,w*> = ft

f* G* F

\__

\

//

«

//' G

/

Figura 1: Soluciones que cruzan la superficie S.

Entonces el conjunto F (t, cc) puede representarse geometricamente como un segmento

lineal uniendo los puntos finales de los vectores ƒ” (t, zo) y fi' (t, . ' g

Si para t 1 < t < t-3 este segmento cae a un lado del plano P tangente a la superficie S en el punto sc, la solución para este tiempo t pasa de un lado de la superficie S al otro verfigura 1).

Si este segmento intersecta al plano P, el punto de intersección es el punto final de un vector fo (t, 2:) que determina la velocidad de movimiento ic : fo (t, cu) a lo largo de la superficie S en el espacio ar (ver figura 2). Esto significa que la función ar (t) que satisface la ecuación

zi: = fo (t,a:)

es una solución de la ecuación (2) en virtud de la definición Si fo 72 f+, fo çé f_, a tal solución se le llama modo deslizante.

G+

f

Q*

/

f

Figura 2: Condiciones para la existencia de un modo deslizante sobre S.

Los conceptos de estabilidad, que a continuación se establecen, son definidos con respecto a estos puntos de equilibrio.

1.2

Estabilidad en el sentido de Lyapunov

Considere que el sistema (2) tiene como equilibrio al origen me = O E fit”.

Definición 4 (Qu, 1.998) El punto de equilibrio :ce = 0 de es:

1. Estable al tiempo to si, para cada 6 > 0, existe una constante 6 > O que puede depender de to y e tal que

lIf12(to)H< <5(t<›,@) => Hffiítlll S 2,*/f 2

fo-Es uniformemente estable en [t0, oo) si, para cada e > O, el valor de 6 es

2. Inestable si no es estable.

Definición 5 (Qu, 1998)El punto de equilibrio :ce = O se dice ser atractivo al tiempo

tg si, para alguna 6 > O y cada e > 0, existe un intervalo de tiempo finito T (tg, 6, e) tal

que

Ha: (tg)H < 6 ==> § e Vt 2 tg +T(tg,å,e).

Es uniformemente atractivo en [tg,oo) si para todo 5, que satisface O < e < 5, el intervalo de tiempo finito es independiente del tiempo inicial tg.

1

Definición 6 (Estabilidad asintótica) (Qu, 1998) Un punto de equilibrio me = 0 es asintóticamente estable al tiempo tg si es estable al tiempo tg y si es atractivo, o equivalentemente si existe alguna 6 > O tal que < (5 implica que :c(t) -› 0 cuando

t -r› oo. Es uniforme asintoticamente estable en [tg, oo) este es uniformemente estable en itg, oc), y si : 0 es uniformemente atractivo.

Definición 7 (Estabilidad exponencial) (Qu, 19,98) El punto de equilibrio :re A O al tiempo tg es exponencialmente atractivo si, para alguna 6 > 0 eatisten constantes o¿(ö)>0 3/fi>O talque

II-T (fiolll < 5 => ||ffl(f)|l S

<1(ö)@¬3“`“”l-Es exponencialmente estable si, para alguna 6 > O existen dos numeros estrictamente

positivos oz ey ,B tal que

@¬B(H°)-I.2.1 Método directo de Lyapunov

Uno de los metodos mas usados para probar si un punto de equilibrio es estable en el sentido de Lyapunov es el llamado metodo directo de Lyapunov que a continuación se presenta (Khalil, 2002).

Definición 8 Una función continua 7 : R* -› bt* es una función de clase ik si ^/ (0) = U

y si es estrictamente monótona creciente. Se dice que es de clase ko@ si ^/ -+ oo cuando p -› oo.

Definición 9 Una función l/(t,a:) : åfì >< iii” -› ÉR se le llama localmente definida

positiva si efciste una función de clase lt, ^/1 : §ft¬'" -› §lì+, tal que para alguna vecindad del-,origen Q C iii” se cumple que

^/1(lifl1(ff)||)šV(tiflf)›

V(f›ffi)

€9><§R+-La funcion l/(t,a:) se dice localmente decreciente si eaiste una función de clase ls,

12 : 3%* -› iii* tal que, para alguna vecindad del origen Q C 3?” se satisface

V(t;1U) S^/2(|lߢ(f)ll)=

\'/(tir)

€9><fR+-La palabra “localmente” es reemplazada por “globalmente” si Q : §R“. €9><fR+-La función V (t, sc) es radialmente no acotado si^/1 es una función de clase kw.

Definición 10 Una función V(t,a: : §R >< iii" -› ÉR es una función candidata de Lpapunov si es continuamente diferenciable y si

1. Para concluir estabilidad, V (t,:c (t)) es definida positiva.

2. Para concluir estabilidad asintótica o estabilidad eítponencial, V (t,;r es

3. Para concluir estabilidad global, V (t, cc es globalmente definida positiva y ra-dialmente no acotada.

4. Para concluir estabilidad asintótica uniforme y global 0 estabilidad exponencial global, V (t,:z: es globalmente definida positiva, globalmente decreciente y ra-dialmente no acotado.

Teorema 11 Considere la ecuación diferencial ordinaria tal que, para cualquier

conjunto acotado 1? C iii” la función f mapea D >< §lì+ a conjuntos acotados en dt”. Sea V (t, at) una función candidata de Lyapunov en alguna vecindad del origen Q C Élì”.

Suponga que la derivada temporal de V (t, sc a lo largo de la solución de tiene la propiedad que, para toda (t, at G §R+ >< Q se tiene que

V (M (fl) S -^/3 (Hs (f)il),

donde '¬/3 es continua y no negativa, con 73 = O. Entonces el equilibrio :re del sistema tiene las siguientes propiedades de estabilidad?

1. Es global o localmente uniformemente estable si *ys es semidefinida positiva.

2. Es uniforme y asintoiicamente estable en forma global o local si ^/3 es definida positiva.

3. Es exponencialmente estable en forma local o global si ^/3 (t) 2 /\V (t, para

alguna constante à > 0 o si = /\,- para i = l,2,3 y algunas constantes positivas /\,¿.

I.3

Estabilidad de sistemas perturbados

Considere el sistema con perturbaciones denotadas por § (t,

:ì;=ƒ(t,:r)+§(t,cc),

donde f 1 [O, oo] >< D -› 3?” y .§ : lO, oo) >< D -› íí-E" son funciones continuas por tramos en t y localmente Lipschitz en as en [0, >< D, y D C ÉR" es un dominio que contiene el origen cn = 0. Se considera al sistema /\C1\_./ como una perturbación del sistema nominal

i::ƒ(t,:u). (6)

›'/

En situaciones típicas no se conoce con exactitud el término ff (t, as) , pero sí se conoce algo de él, como por ejemplo una cota superior de (zi, a2) _

A ui se corisideraran ert urbaciones C ue se ueden escribir corrio un término a.di'tivo'7

*›or eem lo las incertidumbres cue no cambian el orden del sistema siem re_{.l » _ P} ueden

ser representadas en esta forma (Khalil, 2002).

I.3.1 Estabilidad de sistemas con perturbaciones desvanescentes

Se dice que una perturbación es desvanescente si §(t, 0) = 0. Suponga que :ce = 0 es un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal (6), y sea V (15, una función de Lyapunov que satisface

(W112 s v<r,x>sc21\ww|2,

m

%ͧ+É_Íff<›f,w> s ~c3n«i|'%

ei

para todo (t, at) G [O, oo] >< D y para algunas constantes positivas cl, cg, cg, y c4. Suponga que el término de perturbación .§ (if, rr) satisface el acotamiento de crecimiento lineal

Hg í o ,Vi 2 O, Vw G D, (10)

donde o es una constante positiva que satisface

U < 5

(11)

C4

Se tiene el siguiente resultado (Khalil, 2002).

Lema 12 Sea ma : O un punto de equilibrio arponefacialmente estable del sistema no-minal (6). Sea V (t, una función de Lyapfanov para el sistema nominal que satisface las co-ndic-iones (7) a (9) en [0,_ oo) >< 'D. Suponga que el término de perturbación § lt,

satisface (10) y (ll Entonces, el origen es un punto de equilibrio asitatóticamente

estable del sistema pertilrliado (5 Además, si todas las condiciones se satisfacen en

forma global, e-mïoiices el origen es globalmente asimóticafraente estable.

1.3.2 Estabilidad de sistemas con perturbaciones no

desvanes-centes

Ahora se aborda el caso mas general cuando no se sabe si ¿(120) = O. Bajo estas condiciones es posible que el origen xa : 0 ya no sea un equilibrio del sistema perturbado (5). Lo mejor que se puede esperar es que la solución 9: (t) permanezca en una vecindad del origen, si la perturbación es pequeña en algún sentido.

Lema 13 Sea :ce = 0 un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema no-minal (6 Sea V (t, m) una función de Lyapunov del sistema nono-minal que satisface (7) a (9) en lO, oo) >< D, donde D = G §ì'“ |< r} . Suponga que el término de pefrtiurbación

satisface '

ur ae|l É 6 <

_{4 C2}

<12>

pam toda t 2 O, toda m G "D, 3/ alguna constante positiva bl < 1. Entonces, para toda

< -\/cl/cgi", la solución fc del sistema perturbado (5) satisface

ll@ (fill S 1<@><Pl~^/(If -fo)l llfl1(1fo)ll =

Wo S ff S to +T,

y /

Ilwbìl 5 b,

vr 2 fo +T,

para algún tiempo finito T, donde

k- =

(1 r Úlfls' ¬/:_-"§C*2__,

;,_a

-C37 C16.

I.4

Sincronización de sistemas dinámicos

En esta sección se presenta una definición del fenómeno de sincronización en diferen-tes escenarios, que tiene como base las definiciones de sincronización presentadas en

(Blekhman et. al., 1997) y (Boccaletti et. al., 2002).

definidos por

donde 50,- G it? es el vector de estado de cada sistema. Para cada El se define un conjunto de salidas y,; = lil G 3%”, i = 1, ..., lc, donde li, : it? -› âiìm.

Considere ahora una funcional C

F(f›i/i(-)»---,in(-))-Definición 14 Se dice que los sistemas E1, ..., Ei, bajo condiciones iniciales 9:-1(0)

,__ . , :tk (0) , estan sincronizados con respecto a la funcional l¬ si

ff.

Püiyl (')›^-'ryk

es cálida para toda t E T, donde T es el intervalo de tiempo en donde se dcfine el sistema.

7 Se dice -que los sistemas E1, . . . ,Eb bajo condiciones iniciales 11:1 (O) , . . . ,ask , estan apro:cimada'm,ente sincronizcados con respecto a la funcional l¬ si e.riste una

constante s > O tal que `

l1¬(i,:y1(-) =- -¬ia(-))1 S S

para toda t E T.

Los sistemas E1, . . . , Ek, bajo condiciones iniciales al (0) , _ _ _ , mk (0) , están

asinto-ticamente sincronizados con respecto a la funcional l` si

,11_p¿1O1¬<±,i1 o , . . . si <->> = 0.

a este caso se hara referencia como sincronización natural. Un caso mas interesante es la sincronización de sistemas interconectados en donde los sistemas pueden ser repre~ sentados como

dí ~

Ei:¿gg:f¿(Ú,ClZ`¿)-l-_]Li¿<b,fiC1,...,íL`k),

La definición 14 sobre sincronización natural de le sistemas se aplica identicamente para definir la sincronización de este nuevo conjunto de sistemas.

Ahora se considera que los le sistemas estan descritos por ecuaciones diferenciales con un vector de entrada de dimensión finita, n : ii (t) G W”, es decir

ClflͿ ~ _

É; <'/'Eí1t)JFf'¿(t1'1"l>"'imlfauíii Z:

El problema de la sincronización controlada con respecto a la funcional l¬ es encon-trar una entrada de control -ri, corrio una función de retroalimentación dc los estados cel, , rn, tal que las condiciones de sincronización dada por dicha funcion-al sean satisfechas.

La forma mas simple de retroalimentación es la retroalimentación estatica de estado, donde la ecuación del controlador tiene la siguiente forma

n:u(t,:z:1,...,m¡¢), (15)

para alguna función fa : šlì >< §lì'§", . . . ,šlïjf -› åììm. Una forma mas general es la retroali-mentación dinamica de estados

dio

E

Ubf) = Mami,---,fa>w),

(17)

conu›€šR”,W:§lì><§R*f><...x§Tì};><§lì“”-›W,ii:?R><§IiE§*><...><âR}§><%“ì'“-›§)“ì7"“. Ahora se pueden definir todos los casos de sincronización antes mencionados en la definición 14 en su versión de sincronización controlada.

La sincronización controlada es relevante sólo en los casos cuando la sincronización natural no se presenta y la inclusión de una retroalimentación dinamica o estatica del estado es necesaria para lograr la sincronización después de un transitorio, o bien si se desea una convergencia más rapida al estado de sincronización.

_,.

En muchos problemas la información completa del estado de los sistemas no esta disponible y sólo algunas variables de salida estan disponibles para su uso en la ley

de control. El problema de sincronización por retroalimentación de salida puede ser

formulada corrio encontrar un controlador en la forma de retroalimentación estatica o dinamica de la salida tal que el objetivo de sincronización se satisfaga.

Ó. " ø s o \ I \ I\/laestro 4I___ 1-Q' ,o 0 I

Í_{I \}1\

s__ Q."-u \ \ \ " Xrn `~ *Q `u Xs

`- Controlador U

l l esc uema de sincronización controlada unidireccional

Figura 3: Diagrama a bloques c e J 1 o maestro-esclavo. 'P

I I

.-4-o' _-u_u

X1 -an--un--_--.¢-ø 0.-..-ø D.. x O I \ I Q QU'-.Q Sistema 1 U1

\` J \

` 'f \`

¡_ 'o `

4; 0 2 0 0 ~ U2 Q Q \ __¦Q¢ '-Ú__.` ' \

1 r `

X2

X _ _,,Io₀

Í I

'¢'_n_'0 s

ontrol 1 '

I

va"

1.5

Sistemas lagrangianos de nGDL y sus

propiedades

El modelo matemático de im sistema lagrangiano de n grados dc' libertad (nGDL) es

el siguiente

M(i)i+C'(q,q`)i+Di+G(q)+ë(Yf,i,i,i):T

(13)

donde q E 3?” es el vector de posiciones generalizadas, M (q) es la matriz de inercia, C (q, tj) es la matriz centrífuga y de Coriolis, D es una matriz diagonal definida positiva que contiene los coeficientes de fricción viscosa de cada articulación, G (q) es el vector de pares gravitacionales, r es el vector de pares de entrada que se considera acotado tal que produce un comportamiento acotado. Finalmente, § t,tj, tj, q) es un vector que contiene los términos producidos por incertidumbres parametricas y perturbaciones externas y

se considera acotado; H@ (t, tj, Q, É ./0- S _

Para mecanismos provistos únicamente dc articulaciones rotacionales, que son una clase importante de sistemas lagrangianos, las matrices y vectores que forman el modelo (18) tienen las siguientes propiedades (Kelly y Santibañez, 2003), (Sciavicco y Siciliano,

2002).

o Matriz de inercia ll/Í (q)

l. il/I (q) es una matriz definida positiva de n >< n cuyos elementos sólo dependen de q. Su inversa ll/["1 (q) existe y es definida positiva.

2. La energía cinética del sistema se define como

1 .T .

(J-3. Existe una constante

/\max S ¡B G gen'

4. Existe una constante kjw > O tal que

||M(fl1)sll S ¡ffs lli/H

para todo .r,y E dt”.

Matriz centrífuga y de Coriolis C' (q, Q)

_/.

1. La matriz C (q, tj) puede ser no única, pero el vector C (q, cj) 9? es único.

2. C' (q,O) = 0 para todo vector q G ÉR".

3. Para todo vector q, zr, y, z G “Ji” y escalar ci, se tiene que

C(aw)r = C'(a'y)-vi

C' (q, ,Z -1- oct) 3,/ : C' (q, y + QC' (q, 1:) fr,/.

4. Existe una constante KC, > O tal que

|lC'(f1,fI2)i/H S Ka Hflfll llsll

para todo q, ac, y G êfì".

5. Existen constantes kg, y leg, tales que

para todo vector U, sc, y, z, -w E §R“.

6. Para una forma particular de la matriz C (q, tj), esta se relaciona con la

matriz de inercia Â/I (q) por la expresión

H Efvf <q> - <f<q,q>] fc = 0,

y a,c1en1ás

M (Q) = C011 fi) +

C(<1,<z)T-Vector de pares gravítacionales G (q)

1. El vector G (q) es Lipschitz, es decir, existe una. constante kg > 0 tal que

HG@ r G (3/)H S kg HIP _ UH

pam. todo 2:, y E åfì”.

2. Exste una const-mite k' tal que

|\G(q)H S Äf'

para todo q G §R“.

Dinámica residual h, (15, e,

La dinámica residual h (t, e, se define de la siguiente manera

h(Yf›@›ë) = [M(f1)-M(fJ-@)]¿i+[0(q,fi)"0(q~@,á-è)]fí+

G(q)~G(q~€)-El vector de dinámica residual depende de e, é, así como de q, q' y ¿j que se suponen acotadas.

1. Existen constantes km y k:;r,_2 mayores que cero tal que la norma de la dinárníca

residual cumple con

Hf1('¿›@= ëìil S kfL1|i¿*\l+ km |!f (@)|i

para todo e, é E 3%”, donde f (e) es la función tangente hiperbólìca vectorial

definida como

T file) : i ta11h(e1) tanh(en) J

-Line-alidad en parámetros

l. Para todo u, fu, w G §R“

Â/I -u + C' (q,w)¶1,› + 9 (Q) = <Í› (q, u>v,~w) 0 + /¬1(q,u,u_,-LU) i

donde le (q, u, v, es un vector de fn >< 1, <I> q,u._ 1,', -rw) es una niatriz de n >< m y el vector 9 E 3%” depende exclusivainente de los paráinetros del mecanisrno.

Sincronización robusta de sistemas

con una entrada y una salida por

medio de modos deslizantes

Una de las tecnicas de control que muestran buenas características de robustez a varia-ciones paramétricas así como a perturbavaria-ciones externas es la tecnica de control por modos deslizantes, la cual se ha utilizado en la sincronización de sistem><as caóticos.

Uno de los trabajos mas representativos en este tema es (Tao y Hui, 2002), en donde

se presenta una solución para la sincronización, bajo el esquema maestro/ esclavo, de dos sistemas caóticos del mismo orden y con perturbaciones acotadas que cumplen las condiciones de acoplamiento. Una condición adicional es que el sistema que describe la

dinamica del error pueda ser llevado a una forma de cadena de integradores y sea de fase mínima.

En este capítulo se presenta una generalización de los resultados presentados en (Tao y Hui, 2002). Se propone una tecnica para sincronizar dos sistemas no lineales con una entrada y una salida bajo la configuración maestro/ esclavo.

La generalización es en los siguientes aspectos. Primero, los sistemas no necesitan ser idénticos, incluso pueden ser de diferente orden, pero su grado relativo debe estar bien deiinido y el grado relativo del sistema maestro (rm) debe ser mayor o igual al grado relativo del sistema esclavo (rs) _

Segundo, se trabaja en el espacio de coordenadas normales y se muestra que se sincronizan los primeros 1", estados normalizados. De esta manera, eventualmente, se obtendrá una sincronización generalizada parcial. - ,

Tercero, el esquema de control es robusto con respecto a incertidumbres parametricas y perturbaciones acotadas acopladas.

Cuarto, la técnica de sincronización también puede aplicznse, con algunas

restric-ciones adicionales, a la sincronización de sistemas lineales por partes.

El desempeño de la técnica de sincronización que se propone se ilustra a traves de

ejemplos numéricos y experimentales.

II. 1

Planteamiento del problema

Considere un sistema maestro dado por

¿tm : fm _l_ gm (íE1'rz)U1'r1. (mm) wm›

ym : hm ($m)1

campos vectoriales Lipschitz, um G 3? es una señal de entrada que puede utilizarse para estabilizar el sistema, wm G L0@ es una perturbación, ym G Élì es la salida del sistema, y ¡zm : §R"†"' ¬› ål-'E es una función Ck que define la salida.

Similarmente se define un sistema esclavo

¿És : fs _l_ gs (Us 'JF' 7)) "l'iUs ws:

ys : hs (ms) :

donde :cs G ëlfìm es el vector de estado, ys E ìlì es la salida, fu G .SR es la señal acoplante que sera diseñada, el resto de los términos se definen en forma similar a los del sistema

maestro (19). '

Consideración 1. Se asume que el sistema maestro _/19) tiene compofrtamriento acotado.

Por otro lado, suponga que el sistema maestro tiene grado relativo -rm y que

LpmLÍ”f«,,,/1›†L(flfm) = 0

para O S 11 < rm - 1, donde rm § nm y para cualquier mm G §“ì""*. Entonces existe un cambio de coordenadas para el sistema (19) Tm (aïm) = (zm (zum) ,nm G ÉRW >< §l“ì””"“"m tal que pueda ser escrito en la siguiente forma (Isidori, 1994)

Éiimf-Z,¿_¡_17m, 1,...,7"m- 1,

Z'I"m='m : (pm (ta Zm177m)›

donde

z,;,m = Lf'¡;1hm(:cm), 1 S 1,' S rm,

fi)-m'(±› zm) = bm (zm, nm.) + am (zm, Um) um + ¢m(Zmwf1m)1vm,

bm (Zmfilm) : Liilïhm ›

am (zm, wm) = LaLÍ,l-1':ƒ1hm (wm),

__ -rm - 1

Cm (Z/'rrz,: *_ Lpm,Lf,n (mm)

Y mm : Trzl (zma '

También considere que el' sistema esclavo tiene grado relativo 1", y que

L,,,L},n, (ff,-_,) = 0

para O § fi < ví, - 1, donde ›-rs § ns y para todo fr, G íl1`:`“*`. Entonces existe un cambio de coordenadas T, = (z, ,ns G llìifi >< §lt`”S_'“ tal que el sistema (20) puede ser reescrito en la forma

É,,;,_,. = .Z¿+1,_,, í=_l, ...,7"S f 1, (22)

¿TMS : (I), (t, zmns) -I- Q., (t, 2,., 178) fu,

es = qi (±,.ZS,m),

donde

f Z'i,.s : Lïsïlhs (mala 1 S S T5;

(Ds Ga 2:8: 775) : bs (za: Ús) + as (ZM 77.9) U5 + C-9 (Z-9177.9) wãi

aquí as bs y es tienen la misma forma que am bm y cm del sistema maestro.

Ahora se define el criterio de sincronización como

¿lim (Ii) - zm, = 0 V emm, l § i § rs, (23)

entonces, el problema que se analiza es el diseño de la señal acoplante U tal que el criterio de sincronización sea satisfecho.

Nota 1. Se mostrará que una condición necesaria para alcanzar el objetivo de sincronfizacfión es que rm 2 rs.

Nota 2. Note que este objetivo trata con una sz`ncron'L'zación geøieralizada debido a la transformación a la forma normal, -y sólo se sfincronvlzan las vafriables z,-ym =

._1 _ . _

Lšfm bm (mm) con z,-,S _ L-kh, (ms), para 1 § 1 5 r,,.

Consideración' 2. Ambos sf¿st'emas (maestro 'y esclavo) son de fase mínima.

af

.-II.2

Diseno de la serial acoplante

Para resolver el problema establecido previamente, defina los errores de sincronización

€¿=Z7;,m-Z7;,S, ('Ã:l_,...,7“S).

La dinamica de estas variables de error está determinada por el siguiente sistema

€¿=€¿+1, ('L=l,...,T`_.;_].),

donde § es un termino cuya forma depende del grado relativo del sistema maestro; esto es, si rm = rs entonces § = ¿Dm (t,zm); de otro modo, si rm > rs, entonces ft) : zmhm. Note que si rm < r,, entonces no es posible diseñar la señal acoplante o que sincronice las primeras rm coordenadas normales de ambos sistemas. De esta manera, una condición necesaria para resolver este problema es que rm 2 rs, y se

sincronizaran .úriicamente los primeros rs estados de los sistemas maestro y esclavo en su forma normal.

Ahora se diseña la señal acoplante fu en base a la tecnica de control por modos cleslizantes.

Considere una superficie de discontinuidad definida. por

'Vs

S = Z«¬,/,@,- = 0,

(25)

11:1

donde ^/, G Élì, 12 : 1, . . . ,rs son constantes. Por otro lado, se define a la señal acoplante

de la siffuiente manera*Vo

Q/ UZ' ¡._.._(TQ5_/'\Co

U (t, zm, e) : F (t, zm, e ) , ('26)

donde F : ãïì >< §R'""¬~ >< ålfìff -+ ålì es una función suave por partes, sign(-) es la función signo que se define de la siguiente manera

1, :n>0

Siefl(flfi)=

[1,11, ;›;=o

--1, :c:<0

II.2.1

Diseño de la superficie deslizante

La superficie de discontinuidad debe ser diseñada tal que, cuando las trayectorias están sobre esta superficie, éstas deben dirigirse al origen.

Una manera de definir el comportamiento del sistema (24) cuando sus trayectorias están en la superficie S = O es a través de la tecnica de control equivalente. El control equivalente veq puede verse como un control promedio (Utkin, 1978), (Utkin, 1992), y se puede encontrar a través de la ecuación É = 0 que, de las ecuaciones (24) y (25),

torna la forma

TS ,

S' = 2 ^/.L-_1e¿ ¬'- ^/,sí - "y,,5©S (t, zm - e) - ^/,Egg (t, zm - e) ve@ = O.

'i=2

Si 1/,ra = l, el control equivalente está dado por

ra

A/-¿_1e'¿ + g FJ (ps (tv 3171 _ 9)

_ fl; í 1:2

.eq

fis (1Í,:m - e) 1

una condición es que ãs (t, zm - çé 0 para todo t 2 O y todo zm - e. Sustituyendo mg Gn (24) se tiene

é¿=e.¿+1, (f¿=l,...,rs-1) (27)

¿ri : _ 2 “fi-1% ¢=2

Las últimas rs - 1 ecuaciones forman un sistema lineal desacoplado de el, con la

forma