Unidad 7: Funciones Elementales

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. UNIDAD 7 FUNCIONES ELEMENTALES 1. FUNCIONES POLINÓMICAS 1.1. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Son de la forma: f ( x ) = mx + n m → Pendiente. n → Ordenada en el origen. Gráfica: Recta que pasa por el punto (0, n ). Si m > 0 ⇒ Estrictamente creciente. Si m < 0 ⇒ Estrictamente decreciente. f(x) = mx+n. (0, n ). (0, n ). f(x) = mx+n. En ambos casos Dom( f ) = ℜ , Rec( f ) = ℜ . No está acotada ni superior ni inferiormente (siempre que m ≠ 0 ). Pendiente m → Indica el aumento o disminución de y cuando x aumenta una unidad. Recuerda que m =. y 2 − y1 siendo P ( x1 , y1 ) y Q( x2 , y 2 ) puntos de la recta. x2 − x1 Q y2 y 2 − y1 Además, P α m = tg α y1 x2 − x1 x1. x2. También, si m es conocida y P ( x1 , y1 ) es un punto de la recta, podemos obtener la ecuación de la recta en forma punto – pendiente:. y = m( x − x1 ) + y1 (o bien f ( x ) = m( x − x1 ) + y1 ) Dos funciones polinómicas de primer grado tienen gráficas paralelas si tienen la misma pendiente (si además coincide la ordenada en el origen, serán coincidentes). Recuerda: Si n = 0 ⇒ f ( x ) = mx Función lineal o de proporcionalidad directa.. Su gráfica es una recta que pasa por (0,0 ).. Si m ≠ 0; n ≠ 0 ⇒ f ( x ) = mx + n Función afín.. Si m = 0 ⇒ f ( x ) = n Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado).. Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por (0, n ).. (0, n ). f(x) = n. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1. En este caso:. Dom( f ) = ℜ Rec( f ) = {n}.. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Ejercicio 1: Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es − 13 y que pasa por el punto. P(− 1, 2 ) . Calcula la ecuación de una recta paralela a la anterior. Representa ambas rectas.. Ejercicio 2: Escribe la ecuación de la recta que: a) Pasa por P(1, 2 ) y Q (2,−1) .. b) Es paralela a y = 3 x + 1 y pasa por P (− 2, − 3) .. Ejercicio 3: Un transportista de mercancías de gran tonelaje cobra 250 € por usar el camión más 20 € por tonelada transportada. ¿Cuánto ha transportado por un viaje en el que ha cobrado 594 €? 1.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS O POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Son de la forma: f ( x ) = ax 2 + bx + c con a, b, c ∈ ℜ a ≠ 0 Dom( f ) = ℜ Gráfica: Parábola. Mayor valor de a → Más “estilizada” (cerrada) es la parábola. Recuerda: Si a > 0 ⇒ Convexa ( ∪ ). Si a < 0 ⇒ Cóncava ( ∩ ). Δ>0 Δ=0. Δ>0 Δ=0. Δ<0. Δ<0. Mínimo absoluto en el vértice No acotada superiormente Sí acotada inferiormente. Máximo absoluto en el vértice No acotada inferiormente Sí acotada superiormente. Ejemplo: Representa la función f ( x) = x − 2x − 3 . Estudia su dominio, recorrido, monotonía, extremos y acotación. Dom( f ) = ℜ 1º) Curvatura: a = 1 > 0 ⇒ Convexa ( ∪ ) f 2º) Puntos de corte con los ejes: 2. ⎧x = 3 ⇒ P(3, 0) ⎩x = −1 ⇒ Q(−1, 0) Eje OY: x = 0 ⇒ f (0) = −3 ⇒ R(0, − 3) 2 Eje OX: y = 0 ⇒ x − 2x − 3 = 0 ⇒ ⎨. 3º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convexa). −b 2 ⎛ −b ⎞ = = 1; yv = f ⎜ ⎟ = f (1) = −4 ⇒ V (1, − 4) 2a 2 ⎝ 2a ⎠ Estr. decreciente en (− ∞,1); Estr. creciente en (1, + ∞ ). xv =. Rec( f ) = [− 4, + ∞ ). Acotada inferiormente (N=-4), pero no superiormente. Ejercicio 1: La altura, en metros, de una pelota de tenis que es lanzada hacia arriba viene 2 dada por la función h(t ) = 24.5t − 4.9 t . a) ¿Qué altura tiene a los 2 segundos? b) ¿Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? d) ¿Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? e) Representa la trayectoria que describe la pelota. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Ejercicio 2: El consumo de un vehículo en función de la velocidad en kilómetros por hora, por cada 100 kilómetros recorridos, viene dado por la expresión C( x) = 0.001x 2 − 0.12 x + 10 . a) ¿A qué velocidad el consumo es menor? b) ¿Entre qué velocidades el consumo no supera los 8 litros? c) Representa gráficamente la función C(x) . 1.3. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR Función polinómica de grado n:. f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0. con ai ∈ ℜ. an ≠ 0.. Propiedades: • Dom( f ) = ℜ , Rec( f ) depende de cada función. • Continua en ℜ. • A lo sumo corta n veces al eje de abscisas. El resto de propiedades son específicas de cada función y se estudiarán en siguientes unidades. Ejemplos de gráficas:. Si a n > 0. f. Si a n < 0. f. n par. n impar. f. n par. f. n impar. 2. EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN En bastantes ocasiones las Ciencias Sociales y las Ciencias Experimentales precisan obtener una función que describa el comportamiento de cierto fenómeno del que solo se conocen algunas parejas de valores.. (10, 11) (5, ?) ¿f(5)?. f. (2, 7 ). x0 = 2. (16, 8). (7, 6). 5. x1 = 7. ¿Cómo obtenemos f(5)?. x3 = 16. x2 = 10. Objetivo: Encontrar una función que, pasando por esos puntos de la gráfica, se aproxime a la función real. A esa función se la llama función de interpolación.. La función de interpolación nos permite calcular, de modo aproximado, el valor de f (a ) para cualquier valor a . Si a ∈ [x0 , xn ] ⇒ decimos que estamos interpolando el valor a y que f (a ) se ha obtenido por interpolación. Si a ∉ [x0 , xn ] ⇒ decimos que estamos extrapolando el valor a y que f (a ) se ha obtenido por extrapolación. Nos vamos a limitar al caso de la interpolación polinómica (la función interpoladora es un polinomio) lineal y cuadrática. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. 2.1. INTERPOLACIÓN LINEAL P(x) f (8) = 5. f (x). De una función conocemos solo dos de sus puntos (2, 3) y (8, 5), es decir: f(2)=3. ¿f (3)?. f(8)=5. ¿Qué valor toma la función en x = 3 ?. P (3) f (2) =3. Vamos a APROXIMAR la función f(x) mediante una función lineal (recta):. P( x ) = mx + n. 2. 3. que coincida con f en esos puntos conocidos.. 8. A este proceso se la llama interpolación lineal y al polinomio P se le llama polinomio de interpolación lineal. Como P ( x ) = mx + n , entonces Por tanto. P(2) = 3⎫ 2m + n = 3⎫ m = 1 / 3 ⎬⇒ ⎬⇒ P(8) = 5 ⎭ 8m + n = 5⎭ n = 7 / 3. 1 7 1 7 10 10 P(x ) = x + ⇒ P(3) = ⋅ 3 + = ⇒ f (3) ≈ . 3 3 3 3 3 3. ↑ POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN LINEAL. Si en lugar de aproximar un valor x0 ∈ [a, b], x0 está fuera de [a, b] , entonces se llama extrapolación. Ejemplo 1: En una Universidad, el año 1992 se matricularon 10400 alumnos y el año 1997, 13200. Estimar, aproximadamente, cuantos se matricularon el año 1994 y en el año 2000. Solución:. P( x ) = mx + n ⇒. P(1992) = 10400⎫ 1992m + n = 10400⎫ m = 560 ⎬⇒ ⎬⇒ P(1997) = 13200⎭ 1997m + n = 13200⎭ n = −1105120. Por tanto:. P(x) = 560x − 1105120 ⇒. P(1994) = 560⋅1994− 1105120 = 11520 P(2000) = 560⋅ 2000−1105120 = 14880. alumnos. aproximadamente. Ejemplo 2: El número de trasplantes de riñón efectuados en España en el año 1984 fue de 836, y en el año 1986 fue de 1182. Usando la interpolación lineal, determina el número aproximado de trasplantes que se efectuaron en el año 1985 y en el año 1983. Solución:. P( x ) = mx + n ⇒. P(1984) = 836 ⎫ 1984m + n = 836 ⎫ m = 173 ⎬⇒ ⎬⇒ P(1986) = 1182⎭ 1986m + n = 1182⎭ n = −342 396. Por tanto P ( x ) = 173 x − 342 396 ⇒. P(1985) = 173 ⋅1985 − 342 396 = 1 009 . P(1983) = 173 ⋅1983 − 342 396 = 663. En el año 1985 se efectuaron, aproximadamente, 1009 trasplantes de riñón y en el año 1983 se efectuaron 663. Ejemplo 3: Se obtienen los siguientes datos de una oficina del INEM: Inflación % Paro % Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. 1.9 4.4. 3.6 3.7 Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Halla la tasa de paro en un momento en el que la tasa de inflación es del 3%. Solución:. P(1.9 ) = 4.4 ⎫ 1.9m + n = 4.4 ⎫ m = −0.412 ⎬⇒ ⎬⇒ P(3.6 ) = 3.7⎭ 3.6m + n = 3.7 ⎭ n = 5.182. P( x ) = mx + n ⇒. Por tanto P ( x ) = −0.412 x + 5.182 ⇒ P(3) = 3.946% aproximadamente. 2.2. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. En este caso conocemos tres puntos. B( x1 , y1 ). C ( x2 , y 2 ) f (x ). A( x0 , y0 ). A( x0 , y0 ) , B ( x1 , y1 ) y C ( x2 , y 2 ) de la gráfica de f , es decir, f ( x0 ) = y0 , f ( x1 ) = y1 y f ( x2 ) = y 2 .. Se va a interpolar mediante una parábola cuya expresión algebraica será una función cuadrática:. P( x ). P( x ) = ax 2 + bx + c llamada polinomio de interpolación cuadrática.. Las función f(x) y su función interpoladora P(x), coincidirán en los tres puntos conocidos.. P ( x0 ) = y 0 ⎫ ⎪ En este caso surgirá un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: P ( x1 ) = y1 ⎬ P ( x2 ) = y 2 ⎪⎭ Ejemplo 1: Calcula la función de interpolación cuadrática correspondiente a los valores de la tabla: x y. 1 4. 3 9. 5 18. y calcula su valor cuando x = 4 .. Solución:. P(1) = 4 ⎫ a + b + c = 4 ⎫ a = 1/ 2 ⎪ ⎪ P( x ) = ax 2 + bx + c ⇒ P(3) = 9 ⎬ ⇒ 9a + 3b + c = 9 ⎬ ⇒ b = 1 / 2 P(5) = 18⎪⎭ 25a + 5b + c = 18⎪⎭ c = 3. 1 1 1 1 Por tanto P(x ) = x 2 + x + 3 ⇒ P(4) = ⋅ 4 2 + ⋅ 4 + 3 = 13 ⇒ f (4 ) ≈ 13. 2 2 2 2 Ejemplo 2: Una saltadora de altura tiene las siguientes marcas dependiendo de los años de entrenamiento: Años de entrenamiento Marca (cm). 1 169. 2 181. 3 ?. 4 199. Determina su marca aproximada a los 3 años de entrenamiento.. Solución:. P(1) = 169 ⎫ a + b + c = 169 ⎫ a = −1 ⎪ ⎪ P(x ) = ax + bx + c ⇒ P(2 ) = 181⎬ ⇒ 4a + 2b + c = 181 ⎬ ⇒ b = 15 P(4 ) = 199⎪⎭ 16a + 4b + c = 199⎪⎭ c = 155 2. Por tanto P( x ) = − x 2 + 15 x + 155 ⇒ P(3) = −32 + 15 ⋅ 3 + 155 = 191cm ⇒ f (3) ≈ 191cm. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. 3. FUNCIONES RACIONALES Son de la forma:. f (x ) =. P( x ) con P ( x ) , Q( x ) funciones polinómicas. Q( x ). Dom( f ) = ℜ \ {x ∈ ℜ / Q(x ) = 0} . Ejemplos:. a) f ( x ) =. x3 − 1 x2 − 4. b) g ( x ) =. 1 x +1 2. f g. Dom ( g ) = ℜ ; Rec ( g ) = (0, 1]. Dom( f ) = ℜ \ {− 2, 2} ; Rec ( f ) = ℜ Sus propiedades son diferentes para cada función.. CASO PARTICULAR: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son de la forma:. f (x ) =. k con k ∈ ℜ k ≠ 0. x. Gráfica: Hipérbola equilátera. Ejemplos:. a) f ( x ) =. 1 x. b) g ( x ) =. 2 x. c) h( x ) = g. f. −1 x h. Observa: Si k > 0 ⇒ Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante. Si k < 0 ⇒ Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante. Propiedades: • Dom( f ) = ℜ \ {0}, Rec( f ) = ℜ \ {0}.. • Si k > 0 ⇒ Estrictamente decreciente en (− ∞,0) ∪ (0,+∞) . • • • • •. Si k < 0 ⇒ Estrictamente creciente en (− ∞,0 ) ∪ (0,+∞ ) . No tiene extremos absolutos ni relativos. No está acotada ni superior ni inferiormente. Impar (simetría respecto al origen). y = 0 es una asíntota horizontal. x = 0 es una asíntota vertical.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. • Puntos de la gráfica:. f (1) = k ⇒ P(1, k ) f (k ) = 1 ⇒ Q(k , 1) f (− 1) = −k ⇒ R(− 1, − k ) f (− k ) = −1 ⇒ S (− k , − 1). Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. También tienen como gráfica una hipérbola las funciones racionales del tipo: ax + b Dom( f ) = ℜ \ {− d / c} Asíntota vertical: x = − d / c f (x ) = cx + d Rec( f ) = ℜ \ {a / c} Asíntota horizontal: y = a / c Sin embargo tendremos en cuenta algunos casos como el ejemplo b). Ejemplos:. a) f ( x ) =. 3x − 5 x−2 Dom( f ) = ℜ \ {2}. f. Rec( f ) = ℜ \ {3} Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 3 .. Estrictamente decreciente en: (− ∞, 2 ) ∪ (2,+∞ ) . No acotada ni superior ni inferiormente. No presenta extremos absolutos ni relativos. No es impar.. b) Dada la función g ( x ) =. 3x − 6 x−2. ¿su gráfica es una hipérbola? ¿Por qué?. 4. FUNCIONES IRRACIONALES Son de la forma:. f ( x ) = n g ( x ) con g ( x ) polinómica o racional. Si n es par ⇒ Dom( f ) = { x ∈ Dom( g ) / g ( x ) ≥ 0}. Si n es impar ⇒ Dom( f ) = Dom( g ) Ejemplos: a) f ( x ) = x f(x). x Dom( f ) = ℜ 0+ = [0, + ∞ ) 0 0. 1 1. 4 2. 9 3. b) g ( x ) = 3 x + 1 x g(x). 16 4. -9 -2. -2 -1. Dom( g ) = ℜ -1 0. 0 1. f. g. Rec( f ) = ℜ 0+ = [0, + ∞ ). Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7 2. Rec( g ) = ℜ. 7. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. 5. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Están definidas por varias expresiones algebraicas. Ejemplo 1: Representa estas funciones definidas a trozos.. ⎧ x ⎪ a) f ( x ) = ⎨ − 2 ⎪− x + 2 ⎩ x -1 1. si x < 1. f ( x) = x. si 1 ≤ x < 4 si x ≥ 4. f(x) = x -1 1. f ( x ) = −2 1. x 1 4. f(x) = -2 -2 -2. x 4 6. f(x) = - x +2 -2 -4. Rec( f ) = (− ∞, 1). x 0 4. g(x) = 1 1 1. g ( x) = x 2 + 2 x + 1. si x ≤ 0 si 0 < x < 4 si x ≥ 4 x 4 6. g ( x) = 1. g ( x) = x − 3 4 Dom(g ) = ℜ. 0. g(x) = x -3 1 3. g. Primer trozo: Arco de parábola 1º) Curvatura: a = 1 > 0 ⇒ Convexa ( ∪ ) 2º) Puntos de corte con los ejes: 2 Eje OX: y = 0 ⇒ x + 2x +1 = 0 ⇒ x = −1⇒ P(−1, 0) (⇒ Coincide con el vértice).. Rec (g ) = [0, + ∞ ). Eje OY: x = 0 ⇒ g(0) = 1 ⇒ Q(0, 1) (Fin arco parábola). 3º) Vértice:. xv =. Dom( f ) = ℜ. 4. f. ⎧x 2 + 2x + 1 ⎪ 1 b) g ( x ) = ⎨ ⎪ x−3 ⎩. f ( x) = − x + 2. −b − 2 ⎛ −b ⎞ = = −1; yv = g⎜ ⎟ = g(−1) = 0 ⇒ V (−1, 0) 2a 2 ⎝ 2a ⎠. ⎧ x +1 ⎪ c) h( x ) = ⎨ x 2 − 2 x + 1 ⎪ 4 ⎩. si x ∈ [− 3,0 ). h. si x ∈ [0, 3] si x ∈ (3, 7 ). Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica y estudia su dominio y recorrido.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(9) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Ejemplo 2: La siguiente gráfica representa el consumo eléctrico (en miles de KWh) de un restaurante en función de la hora del día. Determina su expresión analítica.. Solución:. ⎧ 1 si 0< x<8 ⎪ 8 x +1 ⎪ x−4 si 8 ≤ x ≤ 14 ⎪ f (x ) = ⎨ si 14 < x < 20 ⎪ 10 7 ⎪− x + 43 si 20 ≤ x < 24 ⎩⎪ 4 OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS a) Función parte entera. Dom(E)= ℜ ; Rec(E)= Z. E(x). ⎧... ⎪− 3 ⎪ ⎪− 2 ⎪ ⎪− 1 ⎪ E ( x ) = ⎨0 ⎪1 ⎪ ⎪2 ⎪3 ⎪ ⎪⎩.... Función parte entera E(x). b) Función parte decimal. si − 3 ≤ x < − 2 si − 2 ≤ x < − 1 si − 1 ≤ x < 0 si. 0 ≤ x <1. si. 1≤ x < 2. si. 2≤ x<3. si. 3≤ x<4. [. Dom(D)= ℜ ; Rec(D)= 0, 1) Periódica con T = 1 ⎧ ... ⎪x + 2 ⎪ ⎪x +1 ⎪ D (x) = ⎨ x ⎪x −1 ⎪ ⎪x − 2 ⎪ ... ⎩. D(x) = x-E(x). c) Función signo. si − 2 ≤ x < − 1 si − 1 ≤ x < 0 si. 0 ≤ x <1. si. 1≤ x < 2. si. 2 ≤ x < 3. Dom(Sig)= ℜ ; Rec(Sig)= {− 1, 0,1} Sig(x ). ⎧− 1 ⎪ Sig ( x ) = ⎨ 0 ⎪ 1 ⎩. si. x<0. si. x=0. si. x>0. 6. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se define la función valor absoluto como la función definida a trozos: f(x)=|x|. ⎧− x si x < 0 f (x ) = x = ⎨ ⎩ x si x ≥ 0. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 9. Dom( f ) = ℜ Rec( f ) = [0, + ∞ ). Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Ejemplo 1: Representa y expresa como función definida a trozos: a) f (x ) = 2 x − 4. Se representa: y = 2 x − 4 .. f(x)= |2x-4|. x 0 3. y=2x -4 -4 2. Corte con eje OX: (si no se ha obtenido en la tabla) y = 0 ⇒ 2 x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ P (2,0 ) Como función a trozos queda:. ⎧− 2 x + 4 si x < 2 f (x ) = ⎨ ⎩ 2 x − 4 si x ≥ 2. Dom ( f ) = ℜ; Rec( f ) = [0, + ∞ ) b) f ( x ) = x 2 − 5 x + 4. Se representa y = x 2 − 5 x + 4. 1º) Curvatura: a = 1 > 0 ⇒ Convexa ( ∪ ) 2º) Puntos de corte con los ejes: Eje OX:. f(x)= |x2-5x+4|. ⎧x = 1 ⇒ P(1, 0) y = 0 ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 ⇒ ⎨ ⎩x = 4 ⇒Q(4, 0) Eje OY: x = 0 ⇒ R(0, 4). 3º) Vértice:. xv = Dom ( f ) = ℜ; Rec( f ) = [0, + ∞ ). −b 5 = = 2.5; yv = 2.52 −5⋅ 2.5 + 4 = −2.25 2a 2 ⇒V (2.5, − 2.25). ⎧ x 2 − 5x + 4. Como función a trozos queda: f ( x ) = ⎨. si x ≤ 1 ó. ⎩− x + 5 x − 4. c) f (x ) = − x 2 + 4 x + 5. x≥4. si 1 < x < 4. 2. f(x)= |-x2+4x+5|. Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráfica.. 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Son de la forma:. f (x ) = a x. con a ∈ ℜ;. a > 0 y a ≠1. Ejemplos:. a) f ( x ) = 2 x f(x) g(x). -2 1/4 1/9. x. y g (x ) = 3 -1 1/2 1/3. 0 1 1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ⎛1⎞ b) f ( x ) = ⎜ ⎟ ⎝2⎠. x. 1 2 3. 2 4 9. 3. x. 8 27. f(x) g(x). 10. -2 4 9. x. y -1 2 3. ⎛1⎞ g (x ) = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 0 1 1. 1 1/2 1/3. x. 2 1/4 1/9. 3 1/8 1/27. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. g(x)=3x. a>1. f(x)=2x. f(x)=(1/2)x. g(x)=(1/3)x. 0<a<1. x. ⎛1⎞ Fíjate: Las gráficas de f ( x ) = a x y g ( x ) = ⎜ ⎟ son simétricas respecto al eje OY. ⎝a⎠ f. g(x) = (1/2)x. Propiedades: •. Dom( f ) = ℜ ,. f(x) = 2x. Rec( f ) = (0, + ∞ ) .. • Su gráfica pasa por los puntos:. P(0, 1) , es decir, f (0) = a o = 1.. Q(1, a ) , es decir, f (1) = a1 = a.. R (− 1, 1 / a ) , es decir, f (− 1) = a −1 = 1 / a. • Convexa en ℜ. • No tiene extremos absolutos ni relativos. • Está acotada inferiormente por N=0, pero no está acotada superiormente. • Si a > 1 es estrictamente creciente en ℜ.. Si 0 < a < 1 es estrictamente decreciente en ℜ.. • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en ℜ. • y = 0 es una asíntota horizontal.. Una función exponencial muy especial:. f(x ) = ex. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. f ( x ) = e x ← Función exponencial de base “e” Recuerda que: e = 2.7182818... Pasa por: P(0, 1) ; Q(1, e ) ; R(− 1, 1 / e ) .. 11. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. 8. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Son de la forma:. f ( x ) = log a x. con a ∈ ℜ;. Ejemplos: a) f ( x ) = log 2 x y g ( x ) = log 3 x. a > 0 y a ≠1 b) f ( x ) = log 1 x y g ( x ) = log 1 x 2. 3. x f(x). 1 0. 2 1. 4 2. 8 3. 1/2 -1. 1/4 -2. x f(x). 1 0. 2 -1. 4 -2. 8 -3. 1/2 1. 1/4 2. x g(x). 1 0. 3 1. 9 2. 27 3. 1/3 -1. 1/9 -2. x g(x). 1 0. 3 -1. 9 -2. 27 -3. 1/3 1. 1/9 2. f(x)=log2 x. a>1. 0<a<1. g(x)=log3 x. g(x)=log1/3 x f(x)=log1/2 x. Fíjate: Las gráficas de f ( x ) = log a x y g ( x ) = log 1 x son simétricas respecto al eje OX. a. g(x)=log2 x. f(x)=log1/2 x. Propiedades: •. Dom( f ) = (0, + ∞ ) ,. Re c( f ) = ℜ .. • Su gráfica pasa por los puntos:. P(1, 0 ) , es decir, f (1) = log a 1 = 0. Q(a, 1) , es decir, f (a ) = log a a = 1. R (1 / a, − 1) , es decir, f (1 / a ) = log a 1 / a = −1. • No tiene extremos absolutos ni relativos. • No está acotada, ni superior ni inferiormente. • Si a > 1 es estrictamente creciente y cóncava en (0, + ∞ ) .. Si 0 < a < 1 es estrictamente decreciente y convexa en (0, + ∞ ) . • Su gráfica no presenta simetrías. • Es “continua” en (0, + ∞ ) . • x = 0 es una asíntota vertical. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 12. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Observación: f ( x ) = a x y g ( x ) = log a x son funciones inversas. Por tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.. f. f. a>1. 0<a<1 g = f -1. g = f -1. Una función logarítmica muy especial:. f ( x ) = ln x ← Función logaritmo neperiano Recuerda que: ln x = log e x. f(x)=ln x. Pasa por: P(1, 0 ) ; Q(e, 1) ; R(1 / e, − 1). 9. FUNCIONES CIRCULARES O TRIGONOMÉTRICAS 9.1. FUNCIÓN SENO π. Dado un ángulo x, se define su seno,. 2. •P. 1. π. sen (x) =Valor de la ordenada del punto P sen (x). 0. x. Variando el ángulo x, el punto P se mueve por la esfera unidad. A cada ángulo le corresponde una determinada ordenada comprendida entre -1 y 1.. 2π. Obtenemos así la función seno: f ( x ) = sen ( x) 3π 2. Si obtenemos una tabla de valores: x f(x). 0 0. π /4. π /2. 2/2. 1. 3 π /4. π. 2/2. 0. 3 π /2 -1. 2π 0. f(x)=sen x. Propiedades f(x) = sen x: • Dom ( f ) = ℜ; Re c ( f ) = [− 1, 1] . • Periódica con T = 2π rad. • Monotonía y curvatura en 0, 2π ) . Estr. creciente en: (0, π / 2) ∪ (3π / 2, 2π ) Estr. decreciente en: (π / 2, 3π / 2). [. Convexa en: (π , 2π ). •. •. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. Cóncava en: (0, π ) Máximo absoluto y relativo en: x = π / 2 con valor f (π / 2) = 1 Mínimo absoluto y relativo en: x = 3π / 2 con valor f (3π / 2) = −1 Función impar, continua y acotada. M=1; N=-1.. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(14) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. 9.2. FUNCIÓN COSENO π. Dado un ángulo x, se define su coseno,. 2. •P. 1. π. cos (x) =Valor de la abscisa del punto P. 0. x cos (x). Variando el ángulo x, el punto P se mueve por la esfera unidad. A cada ángulo le corresponde una determinada abscisa comprendida entre -1 y 1.. 2π. Obtenemos así la función coseno: f ( x ) = cos ( x) 3π 2. Si obtenemos una tabla de valores: 0 1. x f(x)=cos (x). π /4. π /2. 2/2. 0. π. 3 π /4 - 2/2. -1. 3 π /2 0. 2π 1. f(x)=cos x Esta función f ( x ) = cos x es periódica de periodo T = 2π. Obtén el resto de propiedades como en la función seno. 9.3. FUNCIÓN TANGENTE π. 2. 1. π. Dado un ángulo x, se define su tangente,. P •. tg (x). tg ( x ) =. sen (x). 0 2π. sen x cos x. Variando el ángulo x, el punto P se mueve por la esfera unidad. A cada ángulo le corresponde una determinada tangente salvo en algunos casos singulares.. cos (x). Obtenemos así la función tangente: f ( x ) = tg x. 3π 2. Si obtenemos una tabla de valores: x f(x)=tg(x). 0 0. π /4 1. π /2 ∃/. 3 π /4 -1. π 0. 5 π /4 3 π /2 7 π /4 1 -1 ∃/. 2π 0. Propiedades f(x) =tg x:. ⎧π ⎫ + kπ / k ∈ Ζ ⎬ ⎩2 ⎭. • Dom( f ) = ℜ \ ⎨ • Rec( f ) = ℜ .. • Periódica con T = π rad. Estudia el resto de sus propiedades.. f(x)=tg x. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 14. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(15) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Análogamente se pueden obtener las gráficas de la funciones cosecante, secante y cotangente: 1 1 f ( x ) = cosec x = f ( x ) = sec x = sen x cos x f. f. f ( x ) = cotg x =. cos x 1 o también f ( x ) = cotg x = tg x sen x f. Observa las gráficas anteriores y estudia sus propiedades.. 10. ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES 10.1. TRASLACIONES VERTICALES. ⎧k > 0 ⇒ Traslación vertical de k unidades en la gráfica ⎪ de f en sentido positivo (“hacia arriba”). ⎪ f (x ) + k ⇒ ⎨ ⎪k < 0 ⇒ Traslación vertical de k unidades en la gráfica ⎪⎩ de f en sentido negativo (“hacia abajo”). Ejemplos: a) Observa las gráficas de la derecha obtenidas al trasladar la función f(x). g(x) = f(x) + 4 g(x) = f (x) + 4 Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba.. h(x) = f (x) − 2 Traslación vertical de dos unidades hacia abajo.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. f(x) h(x) = f(x) - 2. 15. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(16) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. b) Observa ahora estas gráficas obtenidas por traslación de la función f(x) = sen x.. g(x) = f (x) + 2 ⇒ g(x) = sen x + 2 → Traslación vertical de dos unidades hacia arriba. h(x) = f (x) − 3 ⇒ h(x) = sen x − 3 → Traslación vertical de tres unidades hacia abajo. g(x) = sen x + 2 f(x) = sen x. h(x) = sen x - 3. 10.2. TRASLACIONES HORIZONTALES. ⎧k > 0 ⇒ ⎪ ⎪ f (x + k ) ⇒ ⎨ ⎪k < 0 ⇒ ⎪⎩. Traslación horizontal de k unidades en la gráfica de f en sentido negativo (“hacia la izquierda” ). Traslación horizontal de k unidades en la gráfica de f en sentido positivo (“hacia la derecha”).. Ejemplos: a) Presta atención a estas gráficas obtenidas por traslación horizontal de f(x) .. g(x) = f (x − 2) → Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha.. h(x) = f (x + 4) → Traslación horizontal de cuatro unidades hacia la izquierda.. f(x). h(x) = f ( x+4). g(x) = f (x - 2). b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la función f(x) = sen x. g(x) = f (x + π / 2) ⇒ g(x) = sen(x + π / 2) → Traslación horizontal de π/2 unidades hacia la izquierda. h(x ) = f ( x − π ) ⇒ h( x ) = sen ( x − π ) → Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 16. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

(17) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS I. Observa: g( x) = sen ( x + π / 2) = cos x. g(x) = sen (x + π/2 ). h(x) = sen (x-π). f(x) = sen x. 10.3. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES f ( x + k1 ) + k 2 → Traslación horizontal de k1 unidades (hacia la izquierda si k1 > 0 o hacia. la derecha si k1 < 0 ) , junto con otra traslación vertical de k 2 unidades (hacia arriba si k 2 > 0 o hacia abajo si k 2 < 0 ). Ejemplo: Representar g (x ) = ( x − 2 ) + 4 a partir de la función f ( x ) = x 2 . 2. ⎧Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha. ⎩ Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba.. g(x) = f (x − 2) + 4 → ⎨ f (x). f (x-2) + 4. f (x-2). 10.4. SIMETRÍAS a) Funciones opuestas: Representación de – f(x) a partir de f(x) f(x). f(x) y - f(x) son simétricas respecto al eje OX.. - f(x). b) Representación de f(-x) a partir de f(x) f(-x). f(x). f(x) y f(-x) son simétricas respecto al eje OY.. Fíjate: Si f es par, coincidirán ambas gráficas.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 17. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 7: Funciones Elementales.

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