CAPITULO
VIII
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1
Introducción
El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado
o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía
de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las
pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento
gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.
El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales
hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es
que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad
y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es
uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento
gradualmente variado.
La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los
estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a
continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).
La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente
La pérdida de carga en una sección es la misma que
correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma
velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.
etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un
movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.
Las principales son las siguientes
i)
La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un
flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación
del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser
pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el
tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.
Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia
de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo
En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal
como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de
corriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleración
normales a la dirección de la corriente.
Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección
de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la
línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a
la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En
el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.
P'
P
N
M
Flujo convexo
M
Flujo cóncavo
P'
P
N
M
N
P
Flujo uniforme
ii)
El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica
definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no
es un ‘‘canal prismático’’.
iii)
El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del
tirante.
iv)
La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis
es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la
velocidad media varía.
v)
La pendiente del canal es pequeña, de modo que
a)
La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo
del canal.
b)
No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidad
da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,
eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente
para velocidades mayores de 6 m/s.
En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un
punto de la corriente.
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.
Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado
y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o
normalmente al fondo.
vi)
El factor de sección
Z
y el factor de capacidad
K
, que se definen a continuación, son
funciones exponenciales del tirante.
y cos
θ
y cos
θ
y
θ
El factor de sección
Z
se define de la siguiente manera
d
A
Z
=
(8-1)
siendo
d
=
A
T
, de acá que el factor de sección pueda también expresarse así
T
A
Z
3=
(8-2)
A
es el área de la sección transversal y
T
es el ancho superficial.
Para la definición del factor de capacidad
K
hay que recordar que en el cálculo del
movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes
Y X
S
CR
V
=
(8-3)
Y XS
CAR
Q
=
(8-4)
Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente
S
es 1/2. Luego,
2 1S
CAR
Q
=
X(8-5)
K
Se denomina
K
, factor de capacidad, a la expresión
CAR
X. En consecuencia,
X
CAR
K
=
(8-6)
Como
K
es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la
capacidad de conducción de la sección transversal. De las últimas expresiones se deduce
inmediatamente que
2 1KS
Q
=
(8-7)
Luego,
2 1S
Q
K
=
(8-8)
2 1
CAR
K
=
(8-9)
Si se utiliza la ecuación de Manning,
n
AR
K
3 2=
(8-10)
8.2
Definiciones fundamentales
Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,
rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se
denomina normal (
y
n).
En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y,
por lo tanto, la velocidad media de la corriente).
Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la
corriente se eleva y, por lo tanto, se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace
mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento
gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su
tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de
remanso, (Figura 8.3).
Podría ser también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la
energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas
arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una
corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la
Figura 8.3.
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida
y
Eje Hidráulico
Vertedero
Corriente peraltada
y
>
y
y
Corriente deprimida
y < y
y
ny
ny
c n nHay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.
Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes
peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,
entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.
Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras
definiciones.
Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.
En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,
en un torrente es menor.
Figura 8.4 Ríos y torrentes
En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de
la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones
de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.
Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes
suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes
los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.
A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes
fuertes se les denomina tipo S, del ingles steep.
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes
Pendiente suave (tipo M)
y
>
y
Pendiente fuerte (tipo S)
y
<
y
c
y
y
n n c n c ny
y
cy
Río (
y
>
y )
y
Torrente (
y < y
)
y
c cy
c cSon pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y son pendientes
fuertes los que dan torrentes.
Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un
lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.
Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),
puede escurrir un río o un torrente.
La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento
crítico en movimiento uniforme.
Zonas
En función de las posiciones relativas (magnitud) que tienen el tirante crítico
y
c, el normal
n
y
, así como el del movimiento gradualmente variado
y
, se distingue tres zonas
Zona 1
n cy
y
y
y
>
>
Zona 2
c n n cy
y
y
y
y
y
<
<
<
<
Zona 3
n cy
y
y
y
<
<
8.3
Ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado
Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,
que se presenta en un canal prismático con gasto constante
Q
, tal como se aprecia en la
Figura 8.6. La energía total
H
es
z
y
g
V
H
=
+
+
2
2(8-11)
Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo
es pequeña.
El tirante del movimiento gradualmente variado
y
es mayor
que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.
El tirante del movimiento gradualmente variado
y
está
comprendido entre el crítico y el normal.
El tirante del movimiento gradualmente variado
y
es menor
que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
2 g
2V
y
H
(1) (2)z
dx
S
E Línea de energía Superficie libreS
Wθ
0S
Fondox
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado
La variación de esta energía a lo largo del canal es
dx
dH
, siendo
x
la ordenada en la dirección
de la corriente. Derivando la energía total
H
con respecto a
x
se tiene
dx
z
y
g
V
d
dx
dH
+
+
=
2
2(8-12)
La pendiente
S
0del fondo se define como el seno del ángulo
θ
.
La pendiente
S
Ede la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de
Manning.
La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si
asciende en la dirección del flujo. La variación de energía
∆
H
es siempre negativa en la
dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variación
de la elevación del fondo
∆
z
puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6,
∆
z
es negativa.
Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de
escurrimiento, se tendrá que
dx
dz
S
0=
sen
θ
=
−
3 4 2 2 2 2
R
n
V
R
C
V
dx
dH
S
E=
−
=
−
=
−
Luego,
ES
S
dx
y
g
V
d
−
=
−
+
0 22
( 8-12a)
Pero
+
y
g
V
2
2es la energía específica
E
(ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,
E
S
S
dx
dE
−
=
0(8-13)
Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que
2
1 F
dy
dE
=
−
Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
2 0
1 F
S
S
dx
dy
E−
−
=
(8-14)
que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.
Como el cuadrado del número de Froude es
3 2 2
gA
T
Q
F
=
(8-15)
se tiene que,
3 2 01
gA
T
Q
S
S
dx
dy
E−
−
=
(8-16)
Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de
capacidad (
K
) y el factor de sección (
Z
).
Según la definición de factor de capacidad
2 1 E
S
Q
K
=
para cualquier sección del M. G. V.
2 1
0
S
Q
K
n=
para el movimiento uniforme
Luego,
2 0
=
K
K
S
S
E nSegún la definición de factor de sección
T
A
Z
3
=
para cualquier sección
g
Q
Z
c=
para condiciones críticas
Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas
el número de Froude es igual a 1, por lo tanto
T
A
g
gd
V
c=
c=
;
T
A
g
A
Q
V
c=
=
T
A
g
A
Q
=
2 2;
2 3 2 cZ
T
A
g
Q
=
=
Luego,
3 2 2gA
T
Q
Z
Z
c=
2 2 0
1
1
−
−
=
Z
Z
K
K
S
dx
dy
c n(8-17)
que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado.
Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación
de la superficie libre con respecto al fondo del canal.
Aplicación a una sección rectangular muy ancha
Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene
n
y
n
AR
K
n n 3 5 3 2=
=
(para condiciones normales)
n
y
n
AR
K
3 5 3 2=
=
(para cualquier sección del M. G. V.)
3
2
c c
c
A
d
y
Z
=
=
(para flujo crítico)
2
3
y
d
A
Z
=
=
(para cualquier sección del M. G. V.)
Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene
3 3 10 0
1
1
−
−
=
y
y
y
y
S
dx
dy
c n(8-18)
que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)
en movimiento gradualmente variado.
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento
gradualmente variado sería
3 3 0
1
1
−
−
=
y
y
y
y
S
dx
dy
c n(8-19)
Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor
(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.
La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así
2 2 0
1
1
−
−
=
c nQ
Q
Q
Q
S
dx
dy
(8-20)
siendo
Q
el gasto del movimiento gradualmente variado,
Q
nes el gasto para un flujo normal
cuyo tirante
y
fuese igual al del movimiento gradualmente variado,
Q
ces el gasto crítico
para una profundidad
y
.
Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente
ecuación
d
gA
Q
R
A
C
Q
S
dx
dy
2 2 2 2 2 01
−
−
=
(8-21)
siendo
d
el tirante hidráulico
T
A
Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la
ecuación del movimiento gradualmente variado es
3 2 3 2 0
1
gA
b
Q
dx
db
gA
y
Q
S
S
dx
dy
Eα
α
−
+
−
=
(8-22)
Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos
dx
g
V
d
dx
dy
S
S
E
+
+
−
=
−
2
2 0α
(1)
Pero,
( )
dx
dA
A
g
Q
dx
dA
g
Q
dx
gA
Q
d
dx
g
V
d
3 2 2 2 2 2 22
2
2
2
2
− −−
=
=
=
+
−
=
dx
db
y
dx
dy
b
gA
Q
3 2Reemplazando en (1)
+
−
+
−
=
−
dx
db
y
dx
dy
b
gA
Q
dx
dy
S
S
E 3 2 0α
De donde,
3 2 3 2 01
gA
b
Q
dx
db
gA
y
Q
S
S
dx
dy
Eα
α
−
+
−
=
que es la expresión buscada.
8.4
Discusión de la ecuación del eje hidráulico
El signo de
dx
dy
en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características
del eje hidráulico. Así,
Si
>
0
dx
dy
,
entonces el tirante
y
aumenta
en la dirección de la corriente.
La superficie libre se levanta.
Esta condición se da en los
ríos peraltados y en los
torrentes deprimidos.
S
0y
La superficie libre se levanta ( )
>
0
dx
dy
S
WSi
<
0
dx
dy
,
entonces el tirante
y
disminuye en la dirección de
la corriente. La superficie libre
desciende. Se da en los ríos
deprimidos y en los torrentes
peraltados.
Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos
casos especiales.
¿Qué ocurre cuando el tirante
y
del movimiento gradualmente variado se hace
igual al tirante crítico?
Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que
Z
=
Z
c, por lo tanto en la ecuación
diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces
→
dx
dy
infinito
lo que implicaría que para
y
=
y
cel eje hidráulico debería ser vertical, tal como se aprecia en
la Figura 8.7.
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con
y
=
y
cEsto significa que en las proximidades del tirante crítico (
y
=
y
c) el eje hidráulico tiene una
gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado
de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar, por lo tanto, una distribución
hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida
para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las
inmediaciones de
y
=
y
c.
S
0y
La superficie libre desciende ( )
dx
dy
0
WS
y
y
cy = y
c¿Qué ocurre cuando el tirante se acerca a cero?
En el caso más general el valor de
dx
dy
se hace indeterminado.
Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que
se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para
y
=
0
se obtiene que
→
dx
dy
infinito,
lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio, si hubiéramos usado la
fórmula de Chezy (8-19) se tendría que
3 3 0 c n
y
y
S
dx
dy
=
lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.
¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?
Entonces
=
0
dx
dy
lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,
de un movimiento uniforme
(
S
0=
S
W)
.
¿Qué ocurre si el tirante
y
crece indefinidamente?
Entonces,
0
S
dx
dy
→
o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.
8.5
Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del
primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,
algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.
La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17
es
2 2 0
1
1
−
−
=
Z
Z
K
K
S
dx
dy
c nEn esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades
Numerador y denominador positivos
Numerador y denominador negativos
Numerador positivo y denominador negativo
Numerador negativo y denominador positivo
Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de
cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variado, que son los siguientes
-
Río peraltado en pendiente suave (M1)
-
Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
-
Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
-
Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
-
Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
-
Río deprimido en pendiente suave (M2)
PRIMERA POSIBILIDAD
0
>
dx
dy
Numerador y denominador positivos
Como el numerador es positivo esto significa que
0
1
2 2>
−
K
K
nlo que necesariamente implica
K
>
K
n. Es decir, que el tirante es mayor que el tirante
normal (
y
>
y
n).
Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.
0
>
dx
dy
0
<
dx
dy
Como el denominador también es positivo, esto significa que
0
1
2 2>
−
Z
Z
cLo que necesariamente implica
Z
>
Z
c(
y
>
y
c). Se trata por lo tanto de un río. Esta es
también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se
tiene un río.
Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.
Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos
primeros casos del movimiento gradualmente variado.
Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
peraltada el tirante es mayor que
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Por lo tanto,
c
n
y
y
y
>
>
Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en
la ZONA 1.
Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.
Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que
corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán
menores.
Esta curva es la más conocida y estudiada, pues se presenta frecuentemente. Usualmente
se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta
y
=
y
n,
de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.
Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay
una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento
en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.
Río peraltado en pendiente suave
M1
y
y
cCaso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
peraltada el tirante es mayor que
el normal y por ser pendiente
fuerte el tirante normal es menor
que el crítico. Luego,
n
c
y
y
y
>
>
Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima
del tirante crítico y del normal (ZONA 1).
Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de
y
=
y
c, que la
realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas
abajo. Es una curva convexa.
Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o
compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente
es fuerte. Esta curva es de longitud limitada.
Prosiguiendo con la discusión tenemos que
SEGUNDA POSIBILIDAD
0
>
dx
dy
Numerador y denominador negativos
Como el numerador es negativo esto implica que
0
1
2 2<
−
K
K
nlo que nos conduce a
K
n>
K
(
y
n>
y
). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.
Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.
Como el denominador también es negativo se tiene que
0
1
2 2<
−
Z
Z
cRío peraltado en pendiente fuerte
y
y
cy
nS1
SALTO
Lo que implica
Z
c>
Z
. Es decir, que el tirante es menor que el crítico (
y
<
y
c). Se trata por
lo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el
denominador sea negativo se trata de un torrente.
Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por
cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos
casos de movimiento gradualmente variado.
Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
corriente deprimida el tirante es
menor que el normal y por ser
pendiente suave el tirante normal
es mayor que el crítico. Luego,
y
y
y
n>
c>
Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la
ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.
Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.
Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un
estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en
realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel
y
nque está determinado por las
condiciones de aguas abajo.
Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
Por tratarse de un torrente el
tirante del movimiento
gradualmente variado es menor
que el crítico y por tratarse de una
corriente deprimida el tirante es
menor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
es menor que el crítico, Por lo
tanto,
Torrente deprimido en pendiente suave
M3
ny
y
cSALTO
y
Torrente deprimido en pendiente fuerte
S3
y
ny
cy
y
y
y
c>
n>
Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy
poco frecuente.
Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,
que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de
muy fuerte a fuerte.
Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en
la dirección del escurrimiento, lo que implica la condición
<
0
dx
dy
TERCERA POSIBILIDAD
0
<
dx
dy
Numerador positivo y denominador negativo
Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada
y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.
Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente
fuerte.
Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente
Corriente peraltada
y
>
y
nTorrente
y
<
y
cNo hay solución posible
Pendiente suave
y
>
y
cPor lo tanto, no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de
signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.
Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
corriente peraltada el tirante es
mayor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
es menor que el crítico. Luego,
Torrente peraltado en pendiente fuerte
y
ny
cS2
n
c
y
y
y
>
>
Como el tirante
y
es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en
la ZONA 2.
La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una
curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.
Nótese que al corresponder este caso a
<
0
dx
dy
la superficie libre desciende en la dirección
del escurrimiento.
El eje hidráulico debe ser normal a
y
=
y
c. Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un
cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.
CUARTA POSIBILIDAD
0
<
dx
dy
Numerador negativo y denominador positivo
El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.
Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente
suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.
Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
deprimida el tirante es menor que
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Luego,
c
n
y
y
y
>
>
Como el tirante
y
es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.
Es una curva convexa del tipo M2.
Río deprimido en pendiente suave
y
ny
cM2
El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a
c
y
y
=
. El eje hidráulico es asintótico a
y
=
y
n.
Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un
cambio de pendiente, etc.
Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.
Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.
Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del
movimiento gradualmente variado.
En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación
TABLA 8.1
RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS CASOS DEL
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
+
0
NUMERADOR DENOMINADOR CORRIENTE PERALTADA MOVIMIENTO UNIFORME CORRIENTE DEPRIMIDARIO CRISIS TORRENTE
Movimiento gradualmente variado
Pendiente Suave
c ny
y
>
ny
y
>
RIO PERALTADO
M1 (CONCAVA)
>
0
dx
dy
c
n
y
y
y
>
>
RIO DEPRIMIDO
M2 (CONVEXA)
<
0
dx
dy
c
y
y
<
TORRENTE DEPRIMIDO
M3 (CÓNCAVA)
>
0
dx
dy
c
y
y
>
RIO PERALTADO
S1
(CONVEXA)
>
0
dx
dy
n
c
y
y
y
>
>
TORRENTE PERALTADO
S2
(CONCAVA)
<
0
dx
dy
n
y
y
<
TORRENTE DEPRIMIDO
S3
(CONVEXA)
>
0
dx
dy
y
ny
c CASO 6 CASO 1 CASO 3Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema
⎞
⎛
dy
< 0
y
ny
c CASO 5 CASO 2 CASO 4Pendiente fuerte
n cy
y
>
y
ny
c 2 ny
1 1 0S
S
02M1
P
Río uniforme
que empieza en el
punto P
S > >
c 1 0S
S
02y
8.6
Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión
de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados
exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las
otras características permanecen constantes.
Los seis casos generales son
-
De pendiente suave a pendiente más suave
-
De pendiente suave a pendiente menos suave
-
De pendiente suave a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente suave
Los cuatro casos especiales son
-
De pendiente suave a pendiente crítica
-
De pendiente crítica a pendiente suave
-
De pendiente crítica a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente crítica
1. De pendiente suave a pendiente más suave
Sean
1 ny
e
2 ny
los tirantes
normales en cada uno de los dos
tramos.
En el primer tramo, por ser
pendiente suave,
y
n>
y
c1
.
En el segundo tramo, por ser
pendiente suave también se
cumple que
y
n>
y
c2
El tirante normal del segundo
tramo es mayor porque su
pendiente es menor que la del
primero. Por lo tanto,
1
2 n
n
y
El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo
M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.
2. De pendiente suave a pendiente menos suave
Por consideraciones similares a
las anteriores se tiene que
1
2 n
n
y
y
<
En ambos tramos se cumple que
c n
y
y
>
1(pendiente suave)
c ny
y
>
2(pendiente menos
suave)
Como
2 ny
está más cerca de
y
cque
1n
y
, se dice que la pendiente es menos suave.
El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P
empieza un río uniforme.
3. De pendiente suave a pendiente fuerte
En el tramo de aguas arriba hay
un río que al aproximarse al
cambio de pendiente se deprime
(M2) y tiende a acercarse
normalmente a
y
=
y
c, como un
río deprimido en pendiente suave.
Inmediatamente aguas abajo del
cambio de pendiente el torrente
se peralta (S2), arrancando
normalmente a
y
=
y
ccomo un
torrente peraltado en pendiente
fuerte.
y
ny
c 2 ny
1 1 0S
S
02M2
P
Río uniforme
S < <
2 0S
S
c 01y
cy
y
ny
c 2 ny
1 1 0S
S
02S < <
S
cS
01y
cM2
S2
2 0(río deprimido en
pendiente suave)
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
SUAVE FUERTE
y
y >
n 1 cy < y
2 n c4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.
5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.
El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente
más fuerte que la de aguas arriba.
6. De pendiente fuerte a pendiente suave
Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto
y
ny
c 2 ny
1 1 0S
S
02S > >
S
S
c 02y
cS2
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
y
y <
n1 cy < y
n2 cP
1 0 ny >
1y
n2FUERTE
MAS FUERTE
y
n1y
cy
2 nS > >
S
1 0S
c 01S
2 0S
2 0 P S3y
FUERTE MENOS FUERTE
y <
1 n cy <
n2y
c ny <
1y
n2 Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo.Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba.
hidráulico hay dos tirantes conjugados:
y
1<
y
2(al respecto se puede ver la ecuación 7-90).
En el presente caso de cambio de pendiente,
1 n
y
es el tirante
y
1del salto.
Para el tirante
y
1(
1 n
y
) existe un tirante conjugado
y
2que puede ser igual, mayor o menor
que
y
n2.
Si
y
2<
y
n2el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas
arriba.
Si
y
2>
y
n2entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.
Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.
7. De pendiente suave a pendiente crítica
El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre
el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con
y
=
y
c.
En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.
y
n 1y
2 n cy
y
c c FUERTE SUAVE 1 ny < y
y >
2 n 1 ny
2 c ny > y
01S >
0 2S
S
0 2 1 0S
y
n1S < S
1 0 0 1S
cS
cy
SUAVE CRITICAy >
1 n cy =
n2y
c cy
M2y = y
c n2Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido en
pendiente suave y fuerte.
9. De pendiente crítica a pendiente fuerte
Se compara al cambio de pendiente fuerte a más fuerte
10. De pendiente fuerte a pendiente crítica
Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido
en pendiente suave y fuerte.
8.7
Curva de remanso
Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento
y = y
n1y
CRITICA SUAVEy =
1 n cy >
n2y
c cS
c 1 0S
n2y
y
cy >
n2y
n1y = y
n1 c n 2y
y
cS2
CRITICA
FUERTE
y = y
n2 cy
y
n1 cFUERTE
CRITICA
gradualmente variado (M. G. V.). El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la
solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud
de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la
curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa
como sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del
escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición
de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir
que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente
variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).
No siempre es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento
gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,
indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.
Para la obtención de la curva de remanso presentaremos, siguiendo a Ven Te Chow, tres
métodos
-
Integración gráfica
-
Aproximaciones sucesivas
-
Integración directa
Método de la integración gráfica
Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial
del movimiento gradualmente variado.
Examinemos la siguiente figura
Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que
Eje hidráulico (M. G. V.)
y
1y
2y
x
1x
x
0
dy
dy
dx
dx
x
x
x
y y x x∫
∫
=
=
−
=
2 1 2 1 1 2Nótese que
dy
dx
es igual a la inversa del primer miembro de la ecuación general del M. G. V..
Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento
gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es
posible.
Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se
conoce el valor de
y
en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se
presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a
continuación.
i)
Suponer un valor para el tirante
ii)
Calcular el valor correspondiente de
dx
dy
a partir de la ecuación general del M. G. V..
iii)
Calcular
dy
dx
, que es la inversa del valor anterior..
iv)
Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de
y
(tirantes
supuestos) y los valores obtenidos para
dy
dx
.
El valor de
x
es el área achurada comprendida entre la curva, el eje
y
, y las ordenadas
1
dy
dx
2dx
dy
y
y
1 2y
x
dx
dy
Eje hidráulico (M. G. V.)
dy
dx
correspondientes a los valores de
y
. Luego,
Area
dy
dy
dx
x
y y∫
=
=
2 1Al medir esta área se tiene el valor de
x
.
v)
Finalmente se obtendrá una curva de este tipo
dx
dy
y
∆
A
1 2∆
A
∆
A
3De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de
∆
A
.
Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla
d y d x
y A P R K Z ∆A x d y
d x
Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de
y
, el área, perímetro,
radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su
inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de
x
. Los
valores acumulados de
∆
A
dan la longitud
x
de la curva de remanso.
Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,
considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.
En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud
∆
x
en el que
aparecen las secciones 1 y 2.
1
α
g
2
V
1 2S
E WS
2V
2 g
2 2α
h =
f 1y
y
2S
0S
0∆
x
S
E∆
x
∆
x
z
1 2z
Plano de referenciaFigura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso
Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
x
S
g
V
y
g
V
y
x
S
∆
+
+
=
+
+
E∆
2
2
2 2 2 2 2 1 1 1 0α
α
de donde,
(
S
S
)
E
E
E
x
−
E=
−
=
∆
∆
0 2 1y por lo tanto,
ES
S
E
x
−
∆
=
∆
0El valor de
S
Ese puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de
Manning
3 4 2 2
R
V
n
S
E=
Para un tramo (de longitud
∆
x
) el valor de
S
Ees el promedio de los respectivos valores de
E
S
al principio y al final del tramo. A continuación se presentan las situaciones típicas de
cálculo.Si se trata de la entrega a un lago, el cálculo se puede empezar por la sección
extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según el
caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos).
Figura 8.9
Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
y
maxdeterminado por la condición de entrega al lago.
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
miny
determinado por la grada.
Si se trata de un canal que termina en una grada, para hacer el cálculo asignaremos valores
al tirante
y
de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal.
Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular lo siguiente
M. G. V.
ny
Lago
maxy
y
ny
y
minx = 0
y = y
minM. G. V.
y
A
:
Area (en función de la geometría de la sección)
R
:
Radio hidráulico
R
=
A
P
V
:
Velocidad media
V
=
Q
A
Vh
:
Energía de velocidad
g
V
h
V2
2=
E
:
Energía específica
g
V
y
2
2+
E
∆
:
Diferencia de energía específica
entre dos secciones
∆
E
=
E
2−
E
1ó (
E
1−
E
2)
E
S
:
Pendiente de la línea de energía
en esa sección
2 3 2
=
R
Vn
S
E ES
:
Pendiente media de la línea de energía
para un tramo dado
2
2 1 E E ES
S
S
=
+
x
∆
:
Distancia
ES
S
E
x
−
∆
=
∆
0Acumulando los valores de
∆
x
se obtiene la distancia desde el origen escogido.
Metodo de la integración directa
En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente
gradualmente variado (8-17) es
2 2 01
1
−
−
=
Z
Z
K
K
S
dx
dy
c nPara la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento
de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado
del factor de capacidad
K
(ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir
N
y
c
K
2=
1(8-23)
1
