UNIVERSIDAD DE QUINTANA ROO
División de Ciencias e Ingeniería
Ingeniería en Redes
Cuaderno de Ejercicios De
Circuitos Eléctricos
Dr. Homero Toral Cruz
Dr. Freddy Ignacio Chan Puc
M.C. Emmanuel Torres Montalvo
Documento aprobado en reunión de Academia de Redes 21 de Diciembre de 2011
CONTENIDO
1. Introducción ... 5
2. Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía ... 6
Ejercicio 2.1 ... 6 Ejercicio 2.2 ... 6 Ejercicio 2.3 ... 7 Ejercicio 2.4 ... 8 3. Ley de Ohm ... 10 Ejercicio 3.1 ... 10 Ejercicio 3.2 ... 11 Ejercicio 3.3 ... 12 Ejercicio 3.4 ... 14 Ejercicio 3.5 ... 14 Ejercicio 3.6 ... 15 Ejercicio 3.7 ... 15 4. Leyes de Kirchhoff ... 16 Ejercicio 4.1 ... 16 Ejercicio 4.2 ... 17 Ejercicio 4.3 ... 19 Ejercicio 4.4 ... 20 Ejercicio 4.5 ... 21 Ejercicio 4.6 ... 22 Ejercicio 4.7 ... 24 Ejercicio 4.8 ... 25 Ejercicio 4.9 ... 26 Ejercicio 4.10 ... 26
5. Divisores de voltaje y de corriente ... 28
Ejercicio 5.1 ... 28
Ejercicio 5.2 ... 29
3 Ejercicio 5.4 ... 30 Ejercicio 5.5 ... 31 Ejercicio 5.6 ... 32 Ejercicio 5.7 ... 34 Ejercicio 5.8 ... 35 Ejercicio 5.9 ... 36 Ejercicio 5.10 ... 36
6. Análisis de Mallas y Nodos... 38
Ejercicio 6.1 ... 38 Ejercicio 6.2 ... 39 Ejercicio 6.3 ... 40 Ejercicio 6.4 ... 42 Ejercicio 6.5 ... 44 Ejercicio 6.6 ... 45 Ejercicio 6.7 ... 46 Ejercicio 6.8 ... 47 Ejercicio 6.9 ... 50 Ejercicio 6.10 ... 51 7. Superposición ... 54 Ejercicio 7.1 ... 54 Ejercicio 7.2 ... 55 Ejercicio 7.3 ... 57 Ejercicio 7.4 ... 58 Ejercicio 7.5 ... 60 Ejercicio 7.6 ... 62 Ejercicio 7.7 ... 64
8. Teoremas de Thevenin y Norton ... 66
Ejercicio 8.1 ... 66
Ejercicio 8.2 ... 68
Ejercicio 8.3 ... 70
Ejercicio 8.4 ... 71
4 Ejercicio 8.6 ... 76 Ejercicio 8.7 ... 77 Ejercicio 8.8 ... 79 Ejercicio 8.9 ... 79 Ejercicio 8.10 ... 81 9. Circuitos RL, RC y RLC ... 83 Ejercicio 9-1 ... 83 Ejercicio 9-2 ... 84 Ejercicio 9-3 ... 85 Ejercicio 9-4 ... 87 Ejercicio 9-5 ... 88 Ejercicio 9-6 ... 91 Ejercicio 9-7 ... 92 10. Referencias ... 97
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1. Introducción
El análisis de circuitos no solo es fundamental para las áreas de ingeniería electrónica y eléctrica, los conceptos estudiados en este tópico tienen un amplio alcance en diversas áreas, tales como computación, redes, etc. En la actualidad este tema recibe menos atención en los planes de estudio que en el pasado, debido a diversas situaciones, que van desde la posibilidad de reducir el número total de horas de clase o incluso el aumento de asignaturas básicas [1].
El principal objetivo de este cuaderno de ejercicios es desarrollar habilidades a estudiantes de licenciatura en la solución de problemas, mediante un conjunto de ejercicios seleccionados cuidadosamente para lograr un mejor entendimiento de la parte conceptual y los diversos métodos de solución de problemas.
El presente cuaderno de ejercicios contiene una colección de problemas de los principales temas abordados en la asignatura de Circuitos Eléctricos, tales como:
x Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía x Ley de Ohm
x Leyes de Kirchhoff
x Divisores de voltaje y corriente x Análisis de Mallas y Nodos x Superposición
x Teoremas de Thévenin y Norton x Circuitos RL, RC, y RLC
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2. Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energía
Ejercicio 2.1
Obtenga el flujo de corriente en un elemento, cuando la carga que ha entrado al elemento es
q =12t C
En donde t es el tiempo en segundos. Solución
Recuerde que la unidad de carga es el coulomb, C. Debido a que la corriente está dada por la ecuación , entonces:
= 12 A Donde la unidad de corriente es el ampere, A.
Ejercicio 2.2
Calcule la carga que ha entrado a la terminal de un elemento, en el momento t cuando la corriente es
= Mt, t
Como se muestra en la Figura 1, siendo M constante. Suponga que la carga es cero cuando t=0 (q(0) = 0).
Figura 2.1 Rampa con pendiente M
Solución
De la ecuación se tiene
7
Ejercicio 2.3
Determine la carga que ha entrado a la terminal de un elemento desde t = 0 s hasta t = 3 s cuando la corrientes es como aparece en la Figura 2.2.
Figura 2.2 Señal de corriente para el ejercicio 2.3
Solución
De la Figura 2.2, (t) puede describirse como
Usando la ecuación , se tiene:
De otra manera, se observa que en la integración de de t = 0 a t = 3 s sólo es necesario calcular el área bajo la curva mostrada en la Figura 2.2.
Así, se tiene
8
Ejercicio 2.4
Calcule la carga q(t) y trace su gráfica cuando la corriente que entra a la terminal de un elemento es como se muestra en la Figura 2.3. Suponga que q(0) = 0
Figura 2.3 Señal de corriente para el ejercicio 2.4
Solución
De la Figura 2.3, puede describirse como
Usando la ecuación , se tiene:
q(t) =
Luego, cuando 0 t , se tiene
C Cuando tse obtiene
En la Figura 2.4 aparece la gráfica de q(t). Observe que q(t) es una función continua pese a que tiene una discontinuidad en t = 0.
9
Figura 2.4 Gráfica de q(t) para el ejercicio 2.4
Ejercicio 2.5
Una fuente de energía fuerza una corriente constante de 2 durante 10 para que fluya por una bombilla eléctrica. Si 2.3 se emiten en forma de luz y energía termina, calcule la caída de tensión en la bombilla.
Solución
La caída de tensión es
Ejercicio 2.6
Halle la potencia que se entrega a un elemento en si la corriente que entra a su terminal positiva es:
y la tensión es: a) b) Solución
a) La tensión es así, la potencia es:
10 b) Se encuentra la tensión y la potencia como
En ,
Ejercicio 2.7
¿Cuánta energía consume una bombilla eléctrica de 100 en dos horas? Solución
Esto es lo mismo que:
3. Ley de Ohm
Ejercicio 3.1
a) Determine la corriente y la potencia que absorbe el resistor de la Figura 3.1a. b) Encontrar los valores de en la red de la Figura 3.1b.
Figura 3.1 Circuitos para el ejercicio 3.1
Nȍ (a) 12 V Vs 4mA R (b) P = 80 mW + _
11 Solución
a)
Usando la ecuación , la corriente es:
La potencia que absorbe el resistor está dada por:
b)
Usando la relación de potencia, se tiene que:
El voltaje se puede obtener empleando la ley de Ohm
Ejercicio 3.2
En el circuito que se muestra en la Figura 3.2, calcule la corriente , la conductancia y la potencia .
12 Solución
La tensión en el resistor es la misma que la tensión de la fuente porque ambos están conectados al mismo par de terminales. Por lo tanto, la corriente es igual a
La conductancia es
Es posible calcular la potencia de diversas maneras utilizando las ecuaciones.
Ejercicio 3.3
En cada circuito de la Figura 3.3, se desconoce el valor de o el de . a) Calcule los valores de e .
13
Figura 3.3 Circuitos para el ejemplo 2.3
Solución
a) El voltaje en la Figura 3.3 (a) es una caída en la dirección de la corriente en el resistor. Por lo tanto:
La corriente en el resistor con una conductancia de 0.2 S en la Figura 3.3 (b) va en la dirección de la caída de voltaje a través del resistor. Así,
El voltaje en la Figura 3.3 (c) es una elevación de voltaje en la dirección de la corriente. Por lo tanto,
La corriente en el resistor de de la Figura 3.3 (d) va en la dirección de la elevación de voltaje a través del resistor. Por lo que
14
b) La potencia que disipan cada uno de los cuatro resistores es:
Ejercicio 3.4
Determine la corriente resultante de la aplicación de una batería de a través de una red con una resistencia de .
Figura 3.4 Circuito del ejercicio 3.4
Solución
Ejercicio 3.5
Calcule la resistencia de un foco de si se produce una corriente de a partir de un voltaje aplicado de
15
Solución
Ejercicio 3.6
Calcule la corriente por el resistor de de la Figura 3.5 si la caída de voltaje a través de él es de
Figura 3.5 Circuito del ejercicio 3.6
Solución
Ejercicio 3.7
Calcule el voltaje que debe aplicarse a través del acero para soldadura de la Figura 3.6 con el fin de establecer una corriente de por el acero si su resistencia interna es de .
Figura 3.6 Circuito del ejercicio 3.7
Solución
R
+
--->
I
2 k
R ȍ ---> + E-16
4. Leyes de Kirchhoff
Ejercicio 4.1
En el circuito de la Figura 4.1 se ha empleado la convención pasiva para asignar direcciones de referencia a los voltajes y corrientes en los resistores. Esto se hace para poder aplicar la ley de Ohm. Calcule cada corriente y cada voltaje cuando R1 = 8 , , y
. Además, determine la resistencia R2.
Figura 4.1 Circuito con dos fuentes de voltaje constantes
Solución
La suma de las corrientes que entran al nodo “a” está dada por:
Al usar la ley de Ohm para R3 se encuentra que
La ley de voltajes de Kirchhoff en la malla del lado izquierdo que contiene y y la fuente de -10 V, es
Por tanto,
Aplicando la ley de Ohm para el resistor R1
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Dado que ya se ha hallado A e A como se estableció originalmente, entonces
Ahora se puede calcular la resistencia R2 de
donde
Ejercicio 4.2
Determinar el valor de la corriente, en amperes, medido mediante el amperímetro en la Figura 4.2a.
Figura 4.2a Un circuito con una fuente dependiente y un amperímetro
Solución
Un amperímetro ideal es equivalente a un corto circuito. La corriente medida mediante el amperímetro es la corriente de corto circuito. La Figura 4.2b muestra el circuito después de reemplazar el amperímetro mediante el corto circuito equivalente.
Figura 4.2b El circuito equivalente después de reemplazar el amperímetro
18
El circuito se ha redibujado en la Figura 4.3 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuito consiste de una fuente de voltaje, una fuente de corriente dependiente, dos resistores y dos cortos circuitos. Uno de estos cortos circuitos es el elemento de control de la fuente de corriente
controlada por corriente (FCCC) y el otro es el modelo del amperímetro.
Figura 4.3 El circuito de la Figura 4.2 después de etiquetar los nodos y
algunas corrientes y voltajes de los elementos
Aplicando dos veces la ley de corriente de Kirchhoff (LKC), una vez en el nodo d y de nuevo en el nodo a, se ve que la corriente en la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 4 VRQ ambas iguales a . Estas corrientes se pueden identificar en la Figura 4.3. Aplicando de nuevo la LCK, en el nodo c, se ve que la corriente en el resistor de 2 HVLJXDOD . Esta corriente se etiqueta en la Figura 4.3.
Después la ley de Ohm nos dice que el voltaje a través del resistor de 4 HVLJXDOD y el voltaje a través del resistor de 2 HVLJXDOD . Ambos voltajes se etiquetan en la Figura 4.3.
Al aplicar la LCK en el nodo b da por resultado
Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria cerrada a-b-c-e-d-a da por resultado
19 Ejercicio 4.3
Determinar el valor del voltaje, en volts, medido mediante el voltímetro en la Figura 4.4a.
Figura 4.4a. Un circuito con una fuente dependiente y un voltímetro
Solución
Un voltímetro ideal es equivalente a un circuito abierto. El voltaje medido mediante el voltímetro es el voltaje a través del circuito abierto. La Figura 4.4b muestra el circuito después de
reemplazar el voltímetro por el circuito abierto equivalente.
Figura 4.4b. El circuito equivalente después de reemplazar el voltímetro
por un circuito abierto
El circuito se ha redibujado en la Figura 4.5 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuito consiste de una fuente de voltaje, una fuente de voltaje dependiente, dos resistores, un corto circuito y un circuito abierto. El corto circuito es el elemento de control de la fuente de voltaje controlada por corriente (FVCC) y el circuito abierto es un modelo del voltímetro.
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Figura 4.5 El circuito de la Figura 4.4b después de etiquetar los nodos y
algunas corrientes y voltajes de los elementos
Aplicando dos veces la LCK, una vez en el nodo d y de nuevo en el nodo a, se ve que la corriente en la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 8 VRQDPEDVLJXDOHVD . Estas corrientes se etiquetan en la Figura 4.5. Aplicando de nuevo la LCK, en el nodo c, se ve que la corriente en el resistor de 5 HVLJXDODODFRUULHQWHHQHOFLUFXLWRDELHUWRHVWRHVFHUR/DFRUULHQWHVH etiqueta en la Figura 4.5. La ley de Ohm nos dice que el voltaje a través del resistor de 5HV también igual a cero.
Después de aplicar la LVK a la trayectoria cerrada b-c-f-e-b da por resultado Al aplicar la LVK a la trayectoria cerrada a-b-e-d-a da por resultado
de esta manera
Por último
Ejercicio 4.4
Sume las corrientes en cada nodo del circuito que se muestra en la Figura 4.6. Observe que no hay punto de conexión en el centro del diagrama, en donde la rama de cruza la rama que contiene la fuente de corriente ideal .
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Figura 4.6 El circuito para el ejercicio 4.4
Solución
Al escribir las ecuaciones, usamos signo positivo para la corriente que deja un nodo. Las cuatro ecuaciones son x Nodo a x Nodo b x Nodo c x Nodo d Ejercicio 4.5
Sume los voltajes alrededor de cada trayectoria designada en el circuito que se indica en la Figura 4.7.
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Figura 4.7 El circuito para el ejercicio 4.5
Solución
Al escribir las ecuaciones empleamos un signo positivo para las caídas de voltaje. Las cuatro ecuaciones son x Trayectoria a – x Trayectoria b – x Trayectoria c x Trayectoria d – Ejercicio 4.6
Para el dispositivo que se muestra en la Figura 4.8 se midieron el voltaje y la corriente en las terminales, los valores de e se tabulan e la Tabla 4.1.
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Tabla 4.1Datos para el ejercicio 4.6
30 0
15 3
0 6
Figura 4.8 Dispositivo
a) Construya un modelo para el dispositivo que está en el interior de la caja.
b) Empleando el modelo del circuito, trate de predecir la potencia que entregara el aparato a un resistor de .
Solución
a) Después de graficar el voltaje como una función de corriente se obtiene la gráfica de la Figura 4.9 (a), donde .
Figura 4.9 (a) la gráfica de en función de para el dispositivo de la Figura 4.8. (b) El modelo de circuito resultante para el dispositivo de la Figura 4.8, conectado a un resistor de
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Necesitamos identificar los componentes de un modelo de circuito que produzca la misma relación entre el voltaje y la corriente. La ley del voltaje de Kirchhoff nos dice que las caídas de voltaje a través de dos componentes en serie se suman. De la ecuación, uno de los componentes produce una caída de sin importar la corriente. Este componente puede modelarse como una fuente ideal independiente de voltaje.
El otro componente produce una caída de voltaje positiva en la dirección de la corriente . Ya que la caída de voltaje es proporcional a la corriente, la ley de Ohm nos dice que este componente puede modelarse como un resistor ideal con un valor de . El modelo del circuito resultante se presenta en la Figura 4.9 (b) dentro del cuadro de líneas puntadas.
b) Ahora añadimos un resistor de al dispositivo de la Figura 4.9 (b) para completar el circuito. La ley de la corriente de Kirchhoff nos dice que la corriente en el resistor de es la misma corriente que en el resistor de . Empleando la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm, podemos escribir la ecuación de la caída de voltaje alrededor del circuito empezando en la fuente de voltaje y procediendo en el sentido de giro de las manecillas del reloj:
Resolviendo para , obtenemos
Debido a que este es el valor de la corriente que fluye en el resistor de , podemos usar la ecuación de la potencia para calcular la potencia entregada a este resistor:
Ejercicio 4.7
En referencia al circuito de la Figura 4.10a), halle las tensiones y
25 Solución
Para hallar y se aplica la ley de ohm y la ley de tensión de Kirchhoff. Supóngase que la corriente fluye a través del lazo como se muestra en la Figura 4.10b) con base a la ley de ohm,
La aplicación de la LTK alrededor del lazo produce
Al sustituir
o Æ
Al sustituir se origina finalmente
Ejercicio 4.8
Determine e en el circuito que aparece en la Figura 4.11 a).
Figura 4.11 Figura del problema 4.8
Solución
Se aplica la LVK a lo largo del lazo como se indica en la Figura 4.11 b). El resultado es
La aplicación de la ley de ohm al resistor de produce
26 Ejercicio 4.9
Hallar la corriente y la tensión en el circuito que aparece en la Figura 4.12
Figura 4.12 Figura de problema 4.9
Solución:
Al aplicar la LCK al nodo se obtiene
En cuando el resistor de 6ODOH\GHRKPGDFRPRUHVXOWDGR
Ejercicio 4.10
Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la Figura 4.13 a)
27 Solución
Se aplica la ley ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de ohm,
Puesto que la tensión y la corriente de cada resistor están relacionados por la ley de ohm como se indica, en realidad se están buscando tres cosas ( ) o ( ). En el nodo , la LCK da como resultado.
Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la Figura 4.13 b)
Se expresa esto en términos de e para obtener
o sea,
Al aplicar la LVK al lazo 2
Como era de esperar, ya que los dos resistores están en paralelo. Se expresa y en términos de e .
La sustitución de las ecuaciones y en la ecuación , produce
Despejando , se obtiene: . Con el valore de , se hacen las sustituciones correspondientes y se obtienen:
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5. Divisores de voltaje y de corriente
Ejercicio 5.1
Usando la regla divisora del voltaje, determine los voltajes para el circuito en serie de la Figura 5.1
Figura 5.1 Figura de problema 5.1
Solución R1 Nȍ R2 Nȍ R3 Nȍ V1 45 V V1 -+ V3 -V
-29 Ejercicio 5.2
Diseñe el divisor de voltaje de la figura 5.2 de modo que
Figura 5.2 Figura de problema 5.2
Solución
La resistencia total se define mediante
Dado que
30 Ejercicio 5.3
Encuentre la corriente para la red de la Figura 5.3.
Figura 5.3 Figura de problema 5.3
Solución
Existen dos opciones para despejar este problema. La primera es mediante el cálculo de la conductancia
y
Ejercicio 5.4
31
Figura 5.4 Figura de problema 5.4
Solución
Mediante la regla divisora de corriente,
Aplicando la Ley de la corriente de Kirchhoff,
o usando la regla divisora de corriente otra vez,
La corriente total que entra a las ramificaciones en paralelo debe ser igual a la que sale, por tanto,
Ejercicio 5.5
32
Figura 5.5 Figura de problema 5.5
Solución
Aplicando la regla divisora de corriente.
Ejercicio 5.6
Halle y en el circuito mostrado en la Figura 5.6 a). Calcule la potencia disipada en el resistor de 3
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Figura 5.6 a) Circuito original, b) Su circuito equivalente Solución
Los resistores de 6 y 3 HVWiQHQSDUDOHORDVtTXHVXUHVLVWHQFLDFRPELQDGDHV
En consecuencia, el circuito se reduce al mostrado en la Figura 5.6 b). Nótese que no se ve afectado por la combinación de los resistores, porque los resistores están en paralelo, y por lo tanto tienen la misma tensión . En la Figura 5.6 b) se puede obtener de dos maneras una de ellas es aplicar la ley de ohm para obtener
Y por lo tanto Otra manera es aplicar la división de tensión, ya que los 12 de la Figura 5.6 b) se dividen entre los resistores de 4 y 2 $Vt
De igual forma, puede obtenerse de dos maneras. Un método es aplicar la ley de ohm al resistor de 3GHOD)LJXUDa) ahora que se conoce asi,
Otro método es aplicar la división de corriente al circuito de la Figura 5.6 a) ahora que se conoce , escribiendo
34 La potencia disipada en el resistor de 3HV
Ejercicio 5.7
En referencia al circuito que se muestra en la Figura 5.7 a), determine: a) la tensión , b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c) la potencia absorbida por cada resistor.
Figura 5.7 a) Circuito original, b) Su circuito equivalente Solución
a) Los resistores de 6 y 12 HVWiQHQVHULHDVtTXHVXYDORUFRPELQDGRHVGH . de este modo, el circuito de la Figura 5.7 a) se transforma en el que se muestra en la Figura 5.7 b). Ahora se aplica la técnica de división de corriente para hallar e .
Adviértase que la tensión a lo largo de los resistores de 9 y 18 es el mismo y que , como se esperaba.
b) La potencia absorbida por la fuente es
35 La potencia absorbida por el resistor de 6HV
La potencia absorbida por el resistor de 9 es
O sea
Nótese que la potencia suministrada (5.4 ) es igual a la potencia absorbida ( ) esta es una manera de comprobar resultados.
Ejercicio 5.8
Determine en el circuito de la Figura 5.8 a.
Solución
Combinamos primero los resistores de y , sustituyéndolos por:
Puesto que aparece en los extremos de la combinación en paralelo, nuestra simplificación no ha perdido esta cantidad. Sin embargo, una simplificación adicional del circuito al sustituir la combinación en serie del resistor de por un nuevo resistor de produciría dicha situación. En consecuencia, procedemos aplicando sólo la división de tensión al circuito de la Figura 5.8 b.
36 Ejercicio 5.9
Escriba una expresión para la corriente que pasa por el resistor de en el circuito de la figura 5.9.
Figura 5.9 Circuito del ejercicio 5.9 Solución
La corriente total que fluye en la combinación de y se calcula mediante:
y por tanto la corriente deseada está dada por la división de corriente:
Ejercicio 5.10
37
a) calcule el valor sin carga de en el circuito que se muestra. b) calcule cuando es .
c) ¿Cuánta potencia se disipa en el resistor de si las terminales de carga se ponen en corto circuito accidentalmente?
d) ¿Cuál es la máxima potencia disipada en el resistor de ?
Solución
a)
b)
c)
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6. Análisis de Mallas y Nodos
Ejercicio 6.1
Recurra al análisis de malla para determinar las tres corrientes de malla en el circuito de la figura 6.1.
Figura 6.1 Circuito del ejercicio 6.1 Solución
Las tres corrientes de malla requeridas se asignan como se indica en la figura 4.14, y aplicamos de manera metódica la LVK en torno a cada malla:
Simplificando
39 Ejercicio 6.2
a) Use el método de voltajes de nodos para análisis de circuitos para calcular la corriente de las ramas e del circuito que muestra la figura 6.2.
Figura 6.2 Circuito del ejercicio 6.2
b) Calcule la potencia asociada con cada fuente, y especifique si la fuente está entregando o absorbiendo potencia.
Figura 6.3 El circuito mostrado en la figura 6.2 con un nodo de referencia y voltaje de nodo desconocido
Solución
a) Empecemos notando que el circuito tiene dos nodos esenciales; por lo que necesitamos escribir una sola expresión de voltaje de nodo. Seleccionando el nodo inferior como el nodo de referencia y definimos el voltaje del nodo desconocido como . La figura 6.3 ilustra estas decisiones. La suma de las corrientes que salen del nodo genera la ecuación de voltaje de nodo.
40 Por lo tanto
b) La potencia asociada con la fuente de es La potencia asociada con la fuente de es
Verifiquemos estos cálculos notando que la potencia total entregada es de . La potencia total absorbida por tres resistores o bien, como calculamos y como debe ser.
Ejercicio 6.3
Obtenga los valores para las tensiones desconocidas en los diversos elementos simples de la figura 6.4.
Figura 6.4 Circuito del ejercicio 6.3 Solución
Como primer paso, volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que sólo hay tres nodos (se deja de tarea al estudiante hacerlo). Después de esto asociamos un voltaje a cada nodo, pero debemos recordad que cada uno debe definirse como si existiera entre dos nodos de una red. Por ellos seleccionamos un nodo de referencia, y determinamos luego una tensión entre cada nodo restante y el nodo de referencia. Por consiguiente, advertimos de nuevo que habrá sólo
tensiones definidas en un circuito de nodos.
Otra pequeña simplificación en las ecuaciones resultantes se obtiene si el nodo conectado al mayor número de ramas se identifica como el nodo de referencia. Si hay un nodo de conexión a tierra, a menudo resulta más conveniente elegirlo como el nodo de referencia; con mucha frecuencia, el nodo de conexión a tierra aparece como un hilo de conexión común a través de la
41
parte inferior de un diagrama de circuito. Para este ejemplo, elegimos el nodo 3 como el nodo de referencia.
La tensión del nodo 1 en relación con el nodo de referencia se define como , y se define como la tensión del nodo 2 con respecto al nodo de referencia. Ambas tensiones son suficientes, puesto que la tensión entre cualquier otro par de nodos puede determinarse en términos de ellos. Por ejemplo, la tensión del nodo 1 con respecto al nodo 2 es .
Aplicaremos ahora la a los nodos 1 y 2. Realizamos esto igualando la corriente total que sale del nodo a través de varios resistores con la corriente de fuente total que entra al nodo. De tal manera que:
o
En el nodo 2 obtenemos:
o
Las ecuaciones y son las dos deseadas con dos incógnitas, y además resolver con facilidad. Los resultados son:
y
A partir de esto, se determina de manera directa la tensión en el resistor de :
42 Ejercicio 6.4
Determine las tensiones de nodo en el circuito de la figura 4.3a.
Figura 6.5 Circuito del ejercicio 6.4 Solución
Hay cuatro nodos en este circuito. Eligiendo el nodo inferior como nuestra referencia. Volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que sólo hay cuatro nodos (se deja de tarea al estudiante hacerlo). Se definen tres tensiones desconocidas , y (una para cada nodo, excepto para el nodo de referencia). Todas las fuentes de corriente y los resistores tienen valores designados, los cuales se marcan sobre el esquema.
Este problema es bastante apropiado para la técnica del análisis nodal, ya que es factible escribir tres ecuaciones independientes en términos de las fuentes de corriente y de la corriente a través de cada resistor.
Empezamos escribiendo una ecuación para el nodo 1:
o
Advierta que en un esfuerzo por ser congruentes, ubicamos todas las fuentes de corriente (que se definen como si fluyeran hacia el nodo 1) en el lado izquierdo, y todas las corrientes que fluyen fuera del nodo 1 a través de los resistores del lado derecho. Esto resulta benéfico al expresar todas nuestras ecuaciones de una forma similar, lo que ayuda en la verificación de errores. En el nodo 2:
43 o
Y, en el nodo 3:
o, de manera más simple:
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Siempre y cuando éstas sean independientes, lo anterior es suficiente para determinar las tres tensiones.
Las ecuaciones a la se resuelven mediante la eliminación sucesiva de variables, el método de matrices o por medio de la regla de Cramer y los determinantes. Empleando el último método, tenemos:
de manera similar:
y
Una forma de verificar parte de nuestra solución consiste en resolver las tres ecuaciones mediante otra técnica. Más allá de eso, ¿es posible determinar si las tensiones son valores “razonables”? Tenemos una corriente máxima posible de
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en cualquier punto del circuito. El resistor más grande es de , de modo que no esperamos ninguna magnitud de tensión superior a:
Ejercicio 6.5
Determine la corriente que pasa por cada resistor en el circuito de la figura 6.6 a.
Figura 6.6Circuito del ejercicio 6.5 Solución
Del mismo modo que procedimos en el circuito de un solo lazo, empezamos definiendo una corriente a través de una de las ramas. Vamos a denominar a la corriente que circula hacia la derecha a través del resistor de . Aplicaremos la alrededor de cada una de las dos mallas; y las dos ecuaciones resultantes son suficientes para determinar las dos corrientes desconocidas. Definimos después una segunda corriente , que fluye hacia la derecha en el resistor de . Podríamos también denominar como a la corriente que fluye hacia abajo por la rama central, pero resulta evidente, a partir de la , que puede expresarse en términos de las dos corrientes supuestas antes como . Las corrientes supuestas se muestran en la figura 6.5 b. Siguiendo el método de solución para el circuito de un lazo, aplicamos ahora la a la malla del lado izquierdo:
o
Aplicando la en la malla del lado derecho: o
Las ecuaciones y son independientes; no es posible deducir una a partir de la otra. Hay dos ecuaciones y dos incógnitas, y la solución se obtiene sin ninguna dificultad:
45 Ejercicio 6.6
Repita el problema del ejercicio 6.5 mediante la técnica del análisis de malla para determinar e en el circuito de la figura 6.7.
Figura 6.7El mismo circuito que en el ejercicio 6.5, pero visto de una manera diferente Solución
Si marcamos como la malla 1 a la del lado izquierdo de nuestro problema, entonces es factible establecer una corriente de malla que circula en la misma dirección que las manecillas de reloj, alrededor de dicha malla. Una corriente de malla se indica por una flecha curva que casi se cierra sobre sí misma y se dibuja dentro de la malla apropiada, como en la figura 6.7. La corriente de malla se establece en la malla restante, otra vez en la dirección de las manecillas de reloj. Si bien las direcciones son arbitrarias, siempre elegiremos las corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj debido a que una cierta simetría de minimización de errores se produce en las ecuaciones en tal caso.
Ya no contamos con una corriente o una flecha de corriente que se muestre de manera directa sobre cada rama del circuito. La corriente a través de cualquier rama debe determinarse al considerar las corrientes de malla que fluyen en cada malla en la que aparece dicha rama. Esto no es difícil, debido a que ninguna rama puede aparecer en más de dos mallas. Por ejemplo, el resistor aparece en ambas mallas, y la corriente que fluye hacia abajo a través de él es . El resistor sólo aparece en la malla 1, y la corriente que fluye hacia la derecha en esa rama es igual a la corriente de malla .
Para la malla de la izquierda:
46
Así que estas dos ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones y .
Ejercicio 6.7
Use el método de voltaje de nodo para calcular la potencia disipada en el resistor de del circuito que se muestra en la figura 4.10.
Figura 6.8Circuito del ejercicio 6.7 Solución
Empecemos notando que el circuito tiene 3 nodos esenciales. Por lo que necesitamos dos ecuaciones de voltaje de nodo para describir el circuito. Cuatro ramas terminan en el nodo inferior, así que lo elegimos como nodo de referencia. Se definen dos voltajes de nodo desconocidos. Sumando las corrientes que salen del nodo se obtienen la ecuación
Sumando las corrientes que deja el nodo 2 se obtiene
Tal como están escritas, estas dos ecuaciones de voltaje de nodo contienen tres incógnitas, a saber, e . Para eliminar debemos expresar esta corriente en de control en términos de los voltajes de nodo, o bien,
47
Sustituyendo esta relación en la ecuación para nodo se simplifican las ecuaciones de voltaje de nodo a
Resolviendo para v1 y para v2 se obtiene
(0.75)
Y Entonces,
48
Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a).
Figura 6.9a) Circuito original, b) circuito para análisis Solución
Considérese la figura 6.9 b) donde el circuito de la figura 6.9 a) se ha preparado para el análisis nodal. Nótese como se han seleccionado las corrientes para la aplicación de la LCK. Excepto por las ramas con fuentes de corriente, la rotulación de las corrientes es arbitraria, pero coherente. (Por coherente entenderemos que si, por ejemplo, se supone que entra en un resistor de 4SRU el lado izquierdo, debe salir de ese resistor por el lado derecho.) Se selecciona el nodo de referencia y se determinan las tensiones de nodo .
Al multiplicar cada término de esta última ecuación por 4 se obtiene
O sea
En el nodo 2 se hace lo mismo y se obtiene
49 O sea
Ahora hay dos ecuaciones simultáneas. Se pueden resolver con cualquier método para obtener los valores de
Método 1: si se aplica la técnica de eliminación
La sustitución de produce
Método 2: si se aplica la regla de Cramer
La determinante de la matriz es
Ahora se obtienen de esta forma:
Lo que da el mismo resultado que con el método de eliminación.
Si se necesitan las corrientes se pueden calcular fácilmente a partir de los valores de las tensiones de nodo.
50
El hecho de que sea negativa indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la supuesta.
Ejercicio 6.9
Considérese el circuito de la figura 6.10. Se seleccionó el nodo inferior como nodo de referencia, puesto que muchos elementos se conectan a éste. Las resistencias son marcadas según sus conductancias.
Figura 6.10Circuito del ejercicio 6.9 Solución
Puesto que hay tres nodos que no son de referencia, y se obtendrán tres ecuaciones con tres incógnitas de voltaje de nodo. El nodo , notamos que la suma de conductancias es , el negativo del nodo de conexión de conductancia al nodo es , y la corriente neta de fuente que entra al nodo es . Por consiguiente, la primera ecuación de nodo es
(8)
De manera similar, en los nodos y , obtenemos
(9a) (9b)
Podemos resolver (8) y (9) para los voltajes de nodo utilizando cualquiera de una variedad de métodos para resolver ecuaciones simultaneas. Tres de estos métodos son la inversión de matrices, la regla de Cramer y la eliminación Gaussiana. Seleccionando la regla de Cramer, primero obténgase el determinante de la matriz coeficiente, dada por
7 A 3S 17 A 1S 3S 2S 1S 4S v1 v2 i v3
51
(10)
Para determinar , se sustituye la primera columna de la matriz coeficiente por el vector de constantes en el lado derecho de (8)-(9), calcúlese su determinante, y divídase por el determinante de la matriz coeficiente que ya se obtuvo.
, se obtiene remplazando la segunda, y , remplazando la tercera columna de la matriz coeficiente y calculando como se hizo anteriormente, obteniéndose y .
Ahora que hemos descompuesto el circuito obteniendo los voltajes de nodo, podemos obtener fácilmente cualquier otro voltaje o corriente. Por ejemplo, si deseamos obtener la corriente en el elemento , esto está dado por
Nótese que la matriz coeficiente que aparece en (10) es simétrica. Esto proviene del hecho de que la conductancia entre los nodos y , es la misma que hay entre los nodos e . La simetría simplifica aún más la escritura de las ecuaciones de nodo. En tanto que la simetría sea cierta como regla general para todos los circuitos que no contienen fuentes dependientes, la simetría de la matriz coeficiente no puede considerarse como dada en ese caso, como lo veremos en el ejemplo siguiente.
Ejercicio 6.10
Considérese el circuito de la figura 6.11, que contiene fuentes de corriente dependientes. Comenzaremos escribiendo las ecuaciones de nodo exactamente como si las fuentes fueran independientes.
52
Figura 6.11Circuito del ejercicio 6.10 Solución
En el nodo 1,
Y en el nodo 2,
Luego expresamos las variables de control para las fuentes dependientes y en estas ecuaciones, en términos de los voltajes del nodo.
Por la ley de Ohm,
Y por inspección
Sustituyendo las últimas dos ecuaciones en las dos previas,
Estas dos ecuaciones con dos incógnitas pueden ser resueltas por la regla de Cramer, la inversión de matrices o la eliminación de Gauss, como se desee. Seleccionando la inversión de matrices, primero la reescribimos como
5 A ȍ ȍ ȍ ȍ i v1 + v - v2 2v
53
El determinante de la matriz coeficiente es y la inversa es
Luego
A partir de este ejemplo vemos que la presencia de fuentes dependientes destruye la simetría de la matriz coeficiente y que en tales circuitos los elementos de esta matriz ya no pueden ser interpretados simplemente como sumas de conductancias, puesto que también contribuyen las fuentes dependientes. Por otra parte, la presencia de fuentes dependientes no complica significativamente el análisis nodal, requiriendo solamente un paso adicional de sustitución, reemplazando variables de control por voltajes de nodo.
54
7. Superposición
Ejercicio 7.1
En el circuito de la figura 7.1a, utilice la superposición para escribir una expresión para la corriente de rama desconocida .
Figura 7.1a)Circuito con dos fuentes independientes para las cuales se desea la corriente de rama ; b) el mismo circuito con la fuente de corriente en circuito abierto; c) el circuito original con la fuente de tensión
en cortocircuito Solución
Primero igualamos a cero la fuente de corriente y volvemos a dibujar el circuito, como se ilustra en la figura 7.1b. La parte de debida a la fuente de tensión se ha denominado para evitar confusiones; además, se calcula sin ninguna dificultad su valor, que es de .
A continuación igualamos a cero la fuente de tensión de la figura 7.1a y de nuevo dibujamos el circuito, como en la figura 7.1c. La aplicación rutinaria de la división de corriente nos permite determinar que (la parte de debida a la fuente de corriente de ) es igual a:
Ahora es factible calcular la corriente completa como la suma de las dos componentes individuales:
Otra manera de examinar este ejemplo es que la fuente de y la fuente de se encuentran cada una efectuando un trabajo sobre el circuito, originado una corriente total que fluye por el resistor de . Sin embargo, la contribución de la fuente de a no depende de la
55
contribución de la fuente de , y viceversa. Por ejemplo, si duplicamos la salida de la fuente de hasta , contribuirá ahora con a la corriente total que fluye por el resistor de . Sin embargo, la fuente de seguirá contribuyendo con sólo a , para una nueva corriente total de:
Ejercicio 7.2
Consultando el circuito de la figura 7.2a, determine la corriente positiva máxima a la cual la fuente puede ajustarse, antes de que cualquier resistor supere su valor nominal de potencia y se sobrecaliente.
Figura 7.2a) Circuito con dos resistores con valor nominal de 1»:FDGDXQRb) Circuito con solamente la fuente de 6V activa, c) Circuito con la fuente activa
Solución
Cada resistor se especifica hasta un máximo de . Si el circuito permite que se exceda este valor (al forzar demasiada corriente a través de cualquier resistor), ocurrirá un calentamiento excesivo, lo que quizás provoque un accidente. La fuente de no puede cambiarse, por lo que estamos buscando una ecuación que incluya a y a la corriente máxima a través de cada resistor.
Con base en su valor nominal de potencia de , la corriente máxima que el resistor de tolera es:
y, de modo similar, la corriente que circula por el resistor de debe ser menor
que .
56
Se aplica el análisis nodal o el de malla para la solución de este problema, aunque la superposición quizá nos dé una visión un poco diferente puesto que estamos interesados principalmente en el efecto de la fuente de corriente.
Mediante la superposición, se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 7.2b y encontramos que la fuente de aporta una corriente de:
al resistor de y puesto que el resistor de está en serie,
Por lo tanto, la fuente de que actúa sola no origina ningún problema de sobrecalentamiento en cualquiera de los resistores.
Reconociendo al divisor de corriente de la figura 7.2c, observamos que se sumará a , pero tiene una dirección opuesta a . En consecuencia, contribuye con seguridad hasta
A la corriente del resistor de , y hasta
a la corriente del resistor de .
El resistor de impone la siguiente restricción sobre :
y el resistor de requiere que:
Si se considera primero el resistor de , vemos que está limitada a:
57
Para satisfacer ambas restricciones, debe ser menor que . Si se incrementa el valor, el resistor de se sobrecalentará mucho antes de que lo haga el resistor de . Una manera en particular útil para evaluar nuestra solución consiste en efectuar un análisis de barrido de cd en PSpice, como se describe en el ejemplo siguiente. Sin embargo, una cuestión interesante es si habríamos esperado que el resistor de 64 se sobrecalentara primero.
Originalmente encontramos que el resistor de tiene una corriente máxima más pequeña, por lo que podría ser razonable esperar que limitara a . Sin embargo, debido a que se opone a la corriente enviada por la fuente de a través del resistor de , pero se suma a la contribución de la fuente de a la corriente que circula por el resistor de , resulta que trabaja de otra forma: es el resistor de el que fija el límite sobre
.
Ejercicio 7.3
En el circuito de la figura 7.3a, utilice el principio de la superposición para determinar el valor de .
Figura 7.3a) Ejemplo de circuito con dos fuentes independientes y una dependiente, para la que se desea la corriente de rama , b) Circuito con la fuente de 3A en circuito abierto, c) Circuito original con la fuente
58 Solución
Ponemos primero en circuito abierto la fuente de (Figura 7.3b). La ecuación de una malla es:
por lo que:
A continuación, ponemos en cortocircuito la fuente de (Figura 7.3c) y escribimos la ecuación de un nodo:
y relacionamos la cantidad controladora de la fuente dependiente para :
Encontramos:
y, por lo tanto:
Observe que al volver a dibujar cada subcircuito, siempre hemos tenido cuidado de usar algún tipo de notación para indicar que no estamos trabajando con las variables originales. Esto evita la aparición de errores bastante desastrosos cuando sumamos los resultados individuales.
Ejercicio 7.4
Emplee el principio de superposición para calcular para el circuito que se muestra en la figura 7.4.
59
Figura 7.5El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 5A desactivada
Figura 7.6El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 10v desactivada Solución
Empezamos encontrando el componente de que resulta de la fuente de . La figura 7.5 muestra el circuito. Con la fuente de desactivada, debe ser igual a . Por lo tanto, debe ser cero, la rama que contiene las dos fuentes dependientes está abierta, y
Cuando la fuente de se desactiva, el circuito se reduce al que se señala en la figura 7.6. Hemos añadido un nodo de referencia y las designaciones de los nodos , , y para apoyar la discusión, sumando las corrientes que salen del nodo se obtiene
60 Sumando las corrientes que salen del nodo , tenemos
O
Ahora usamos
Para calcular el valor para . Por lo tanto, O De la ecuación del nodo ,
O
El valor de es la suma de y o .
Ejercicio 7.5
Figura 7.7aCircuito del ejercicio 7.5:componente a
Vg1 ȍ
ȍ
61
Figura 7.7bCircuito del ejercicio 7.5:componente b Solución
Primero eliminamos las fuentes de corriente, lo que origina el circuito modificado de la figura 7.7a, y determinamos e . Este es el problema de la componente y e son los componentes de las respuestas e debidas a la fuente . Este es un circuito de una sola vuelta, y
Pero luego eliminamos la fuente de voltaje, lo cual provoca el problema de la componente que aparece en la figura 7.7b. Por división de corrientes,
Por el principio de superposición, cada respuesta es la suma de las componentes de las respuestas, o
Ciertamente, estos resultados concuerdan con los cálculos anteriores.
ig2 ȍ
ȍ
62 Ejercicio 7.6
Figura 7.8Circuito del ejercicio 7.6
Figura 7.9(a) Componente a; (b) Componente b; (c) Componente c
2A ȍ ȍ ȍ 18V a b c d ȍ ȍ ȍ 2A a b,d c + va -ȍ ȍ ȍ 18V a,c b d ȍ ȍ ȍ -vb + -vc + (b) (c)
63 Solución
Obtengamos el voltaje en el circuito con tres fuentes independientes que aparece en la figura 7.8. Utilizando la superposición, obtendremos los componentes de provenientes separadamente de cada fuente, refiriéndonos a la fuente como fuente a, a la fuente como fuente b y a la fuente como fuente c.
En la figura 7.9a, aparece el problema de la componente a, en donde se han eliminado las fuentes b y c. eliminando la fuente une a los nodos b y d para formar un solo nodo. Se ha dibujado el circuito para mostrar esto. El equivalente paralelo de las resistencias y es , y puede obtenerse mediante una división de voltajes:
En la figura 7.9b se muestra el problema de la componente b. eliminando la fuente ha hecho que se unan los nodos y tal y como aparece en la figura. Nuevamente, luego de sustituir las resistencias y , por su equivalente paralelo , puede obtenerse por emisión de voltajes.
El problema de la componente c (figura 7.9c), tiene tres resistencias en paralelo.
Por superposición, el valor de es la suma de sus componentes:
Nótese que hemos resuelto un conjunto de problemas de circuitos simples en lugar de un problema original que, de no ser por la superposición, habría requerido ecuaciones simultáneas.
64 Ejercicio 7.7
Figura 7.10Circuito del ejercicio 7.7
Figura 7.11(a) Componente a; (b) Componente b Solución
Este ejercicio ilustra el uso adecuado de la superposición cuando debe calcularse la potencia, y también su uso cuando existe en el circuito una fuente dependiente. Deseamos obtener el voltaje y la potencia disipada por la resistencia , en el circuito 7.10. Para obtener , utilizaremos la superposición. Únicamente las fuentes independientes generan componentes, por lo que las descompondremos en dos problemas de componentes y , como aparece en la figura 7.11. Para la componente , eliminaremos la fuente de corriente. La figura 7.11a es un circuito de una sola vuelta con la ecuación LVK
ȍ ȍ 6A 2i1 + v -ȍ ȍ 6A 2ia1 + va -ȍ ȍ 2ib1 + vb -ib1 (a) (b)
65
En el problema de la componente b, eliminando la fuente de voltaje, LCK en el nodo superior produce una corriente hacia abajo a través de la rama media de . Por consiguiente, LVK alrededor de la vuelta izquierda es
, y
Luego, por superposición de voltajes componentes,
También necesitamos la potencia que pasa a través de la resistencia de . Puesto que conocemos su voltaje ,
Nótese que obtuvimos por superposición, y utilizamos el voltaje total después de la superposición de componentes de voltaje para calcular la potencia. De haber calculado la potencia que pasa por la resistencia en los problemas de componentes separadamente, y hubiéramos tratado de superponerlos, esto nos habría dado un resultado distinto y erróneo, puesto que la suma de las potencias componentes , no es la misma que la potencia debida a la suma de las componentes . Aun en circuitos lineales, la potencia no se superpone, y esto ocurre únicamente con el voltaje y la corriente.
66
8. Teoremas de Thevenin y Norton
Ejercicio 8.1
Encuentre el circuito equivalente de Thevenin en el circuito mostrado en la figura 8.1, a la izquierda de las terminales Después, encuentre la corriente a través de .
Figura 8.1Circuito del ejercicio 8.1 Solución
Encontramos apagando la fuente de tensión de (reemplazándola con un corto circuito) y la fuente de corriente de (sustituyéndola por un circuito abierto). El circuito se convierte en que se muestra en la figura 8.2 Así,
Figura 8.2 a)Circuito del ejercicio 8.1
32V ȍ
ȍ ȍ
2A RL
67
Figura 8.2 b)Circuito del ejercicio 8.1
Para encontrar , considere el circuito de la figura 8.2 Aplicando el análisis de malla a los dos lazos, obtenemos
Resolviendo para obtenemos
Alternativamente, es aun más fácil usar el análisis nodal. Ignoramos la resistencia de puesto que ninguna corriente fluye a través de ella. En el nodo superior, la LCK da
O
Como se obtuvo antes. También podríamos usar la transferencia de fuente para encontrar El circuito equivalente de Thevenin se muestra en la figura 8.3. La corriente a través de es
Cuando Cuando Cuando ȍ ȍ ȍ a b VTH 32V 3 A i1 i2
68
Figura 8.3Circuito equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.1 Ejercicio 8.2
Encuentre el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 8.4.
Figura 8.4Circuito del ejercicio 8.2 Solución
Este circuito contiene una fuente dependiente, a diferencia del circuito del ejercicio anterior. Para encontrar igualamos la fuente independiente a cero, pero dejamos la fuente dependiente sola. Debido a la presencia de la fuente dependiente, sin embargo, excitamos la red con una fuente de tensión conectada a las terminales como se indica en la figura 8.5 Podríamos hacer que para facilitar el cálculo, puesto que el circuito es lineal. Nuestra meta es encontrar la corriente a través de las terminales, y después obtener (Alternativamente, insertaríamos una fuente de corriente de calcular la tensión correspondiente y obtener
69
Figura 8.5 a)Circuito del ejercicio 8.2
Figura 8.5 b)Circuito del ejercicio 8.2
Al aplicar el análisis de malla al lazo 1 en el circuito de la figura 8.5 resulta en
Pero por consiguiente,
Para los lazos 2 y 3, al aplicar LVK se obtiene
La resolución de estas ecuaciones da
2V ȍ ȍ ȍ ȍ 3 A a b Voc i1 i2 i3 Vx +
-70 Pero Por lo tanto,
Para obtener encontramos en el circuito de la figura 8.5 Aplicando el análisis de malla, obtenemos
O
Pero La solución de estas ecuaciones lleva a Así,
El equivalente de Thevenin es el que se muestra en la figura 8.6.
Figura 8.6Circuito equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.2 Ejercicio 8.3
Determine el equivalente de Thevenin para el circuito de la figura 8.7
Figura 8.7 a)Circuito del ejercicio 8.3
20V ȍ
b Voc
71
Figura 8.7 b)Circuito del ejercicio 8.3 Solución
Puesto que el circuito de la figura 8.7 no tiene ninguna fuente independiente, para encontrar es mejor aplicar una fuente de corriente , en las terminales como se muestra en la figura 8.7 . La aplicación del análisis nodal da
Pero,
Por tanto
Así,
El valor negativo de la resistencia nos dice que, según la convención de la señal pasiva, el circuito en la figura 8.7 está proporcionando potencia. Por supuesto, las resistencias en la figura 8.7 no pueden proporcionar potencia (absorben potencia); es la fuente dependiente la que proporciona la potencia. Este es un ejemplo de cómo pudiera usarse una fuente dependiente y resistencias para simular la resistencia negativa.
Ejercicio 8.4
72
Figura 8.8Circuito del ejercicio 8.4 Solución
Encontramos de la misma manera que calculamos en el circuito equivalente de Thevenin. Iguale las fuentes independientes a cero. Esto propicia el circuito de la figura 8.9 , desde el cual calculamos . Así,
Para encontrar cortocircuitamos las terminales como se muestra en la figura 8.9 Ignoramos la resistencia de porque el corto circuito. Aplicando el análisis de malla, obtenemos
De estas ecuaciones, obtenemos
2 A 12V ȍ ȍ ȍ b ȍ
73
Figura 8.9 a)Circuito del ejercicio 8.4
Figura 8.9 b)Circuito del ejercicio 8.4
Figura 8.9 c)Circuito del ejercicio 8.4
Alternativamente, podríamos determinar de obtenemos como la tensión en un circuito abierto en las terminales del circuito de la figura 8.9 Usando el análisis de malla, obtenemos ȍ ȍ ȍ b ȍ 2A ȍ 12V ȍ ȍ b VTH=VOC i1 i2 ȍ
74 Y
Por consiguiente,
Como se obtuvo previamente, . Así, el circuito equivalente de Norton es el que se muestra en la figura 8.10.
Figura 8.10Circuito equivalente de Norton para el ejercicio 8.4 Ejercicio 8.5
Aplicando el teorema de Norton, encuentre y para el circuito de la figura 8.11 en las terminales .
Figura 8.11Circuito del ejercicio 8.5
2A ȍ
75
Figura 8.12 a)Circuito del ejercicio 8.5
Figura 8.12 b)Circuito del ejercicio 8.5 Solución
Para encontrar igualamos la fuente de tensión independiente a cero y conectamos una fuente de tensión de (o cualquier tensión no especificada ) a las terminales. Obtenemos el circuito de la figura 8.12 Ignoramos la resistencia de porque está en corto circuito. También debido al corto circuito, la resistencia de , la tensión y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. De esta forma, En el nodo
y
Para encontrar , ponemos en corto circuito las terminales y encontramos la corriente como se indica en la figura 8.12 Note en esta figura que la resistencia de , la fuente de
76
tensión de la resistencia de y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. Por lo tanto,
En el nodo , LCK da
Así,
Ejercicio 8.6
Calcule el circuito equivalente de Thevenin a la izquierda de las terminales en el circuito de la figura 8.13.
Figura 8.13Circuito del ejercicio 8.6
Figura 8.14Circuito de Figura 8.13 con las terminales en corto circuito Solución
Primero, se necesita determinar el voltaje de circuito abierto . Advirtiendo que la fuente de corriente es común a dos mallas, se crea una supermalla que incluye y se describe una ecuación de la LVK recorriendo la supermalla. Nótese también que la corriente por el resistor de 3 Ohms es cero. La LVK en torno a la periferia es
77 Por consiguiente,
Para determinar la corriente de corto circuito se establece un corto circuito a través de , como se muestra en la figura 8.14. Dado que , la fuente de corriente se hace cero (es decir, se reemplaza por un circuito abierto). Entonces, si se aplica la LVK en la periferia de la supermalla, se tiene
Por tanto, la resistencia de Thevenin es
Ejercicio 8.7
Considérese el circuito 5.5-15, que no tiene fuentes independientes. Se desea determinar su circuito equivalente de Thevenin.
Figura 8.15Circuito del ejercicio 8.7
Figura 8.16Circuito de la figura 8.15 con una fuente de 1 A conectada en las terminales a-b Solución
Para ello, se determinara y en las terminales .
Puesto que el circuito no tiene fuentes independientes, cuando las terminales están abiertas. Entonces, . De igual manera, se ve que .
78
Queda por determinar . Dado que e , no se puede calcular partiendo de . Entonces, procede a conectar una fuente de corriente de en las terminales , como se muestra en la figura 8.16. Una vez determinado , la resistencia de Thevenin es
Al plantear la LCK en y tomando como referencia, se obtiene
Para el resistor de
Y, en consecuencia, se tiene
O
La resistencia de Thevenin es , o bien
79 Ejercicio 8.8
Determine el equivalente de Norton para el circuito de la figura 8.17.
Figura 8.17Circuito del ejercicio 8.8 Solución
En vista de que el circuito sólo contiene una fuente independiente, la podemos desactivar y calcular RN por un corto circuito se tiene un resistor de 6 kHQSDUDOHORFRQ NN
k(Q consecuencia
Para determinar se ponen en corto las terminales de salida, estando activada la fuente de voltaje como se ve en la figura 8.18.
Figura 8.18Corto circuito conectado a las terminales de salida de la Figura 8.178 Al plantear la LCK en el nodo a se obtiene
o sea
Así que el equivalente de Norton tiene e .
Ejercicio 8.9
80
Figura 8.19Circuito del ejercicio 8.9 Solución
Primero, se determina la corriente para el estado de corto circuito de la figura 8.20.
Figura 8.20Corto circuito conectado a las terminales a-b del circuito de la figura 8.19. Las resistencias en ohms
Al aplicar LCK en a, se obtiene
Nótese que no pasa corriente alguna por el resistor de 12 SXHVWRTXHHVWiHQSDUDOHORFRQXQ corto circuito. Además, debido al corto circuito, la fuente de 24 V hace que aparezcan 24 V a través del resistor de 4 3RUWDQWR
Ahora se determina la resistencia equivalente , desactivando las fuentes de los circuitos como se muestra en la figura 8.21.
81
Figura 8.21Circuito de la figura 8.20 con sus fuentes desactivadas. La fuente de voltaje se convierte en un corto circuito y la fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto. Resistencias en ohms
Obviamente, ohms. Así, se obtiene el circuito equivalente de Norton que aparece en la figura 8.22.
Figura 8.22Circuito Equivalente de Norton Ejercicio 8.10
Determine el equivalente de Norton a la izquierda de las terminales a-b en el circuito de la figura 8.23.
Figura 8.23El circuito del ejercicio 8.10. Las resistencias en ohms Solución
Primero hace falta determinar la corriente de corto circuito, Para ello se usa la figura 8.24. Nótese que cuando las terminales están en corto circuito.
82
Figura 8.24Circuito de la figura 8.23 con un corto circuito en las terminales a-b. Las resistencias en ohms Entonces
por tanto, para la parte derecha del circuito
Ahora, para obtener se necesita que de la figura 8.23, donde es la corriente en la primera malla (izquierda). Si se escribe la ecuación de la corriente de malla se tiene
Además, en la malla derecha del circuito de la figura 8.23 se ve que
Por tanto
Al sustituir en la ecuación de la primera malla
Por consiguiente, y
El circuito equivalente de Norton se muestra en la figura 8.25.
83
9. Circuitos RL, RC y RLC
Ejercicio 9-1
En la figura 9.1, sea . Halle e para
Figura 9.1Circuito del ejercicio 9.1
Figura 9.2Circuito equivalente de la Figura 9.1 Solución
Primero se debe hacer el circuito de la figura 9.1 se ajuste a un circuito estándar (Figura 9.2). Se encuentra la resistencia equivalente o resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor. El objetivo es siempre obtener primero la tensión del capacitor . Con base en ella se puede determinar e .
Los resistores de y enserie pueden combinarse para producir un resistor de . Este resistor de en paralelo con el resistor de puede combinarse para que la resistencia equivalente sea
Así, el circuito equivalente es el que presenta en la figura 9.2. La constante de tiempo es
84
Con base en la figura 9.1, se puede aplicar el divisor de tensión para obtener ; así,
Por último,
Ejercicio 9-2
El interruptor del circuito de la figura 9.3 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en . Halle para . Calcule la energía inicial almacenada en el capacitor.
Figura 9.3Circuito del ejercicio 9.2
Figura 9.4 a) t<0, b)t>0
85 Solución
Para , el interruptor está cerrado; el capacitor es un circuito abierto para cd, como se representa en la figura 9.4a). Al aplicar la división de tensión,
Como la tensión a lo largo de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, está a , o sea
Para , el interruptor esta abierto, y se tiene el circuito que se muestra en la figura 9.4b). (Nótese que el circuito de esta ultima figura es sin fuente; la fuente independiente de la figura 9.3 es necesario para proporcionar o la energía inicial en el capacitor.) Los resistores en serie de y dan por resultado
La constante de tiempo es
Así, la tensión a lo largo del capacitor para es
O sea
La energía almacenada en el capacitor es
Ejercicio 9-3
Encuentre las expresiones matemáticas para el comportamiento de los transitorios de
para el circuito de la figura 9.5 cuando el interruptor se mueve a la posición 1. Grafique las
86
Figura 9.5Circuito del ejercicio 9.3 Solucion
a.
Mediante la ecuación,
Mediante la ecuación,
87 Las curvas aparecen en la figura 9.6
Figura 9.6 Curvas Ejercicio 9-4
El interruptor del circuito de la figura 9.7 ha estado cerrado mucho tiempo, en , el interruptor se abre. Calcule para
Figura 9.7Circuito del ejercicio 9.4 Solución
Cuando , el interruptor está cerrado y el inductor actúa como corto circuito para la cd. El resistor de se pone en cortocircuito; el circuito resultante se presenta en la figura 9.8a). Para obtener en esta última figura, se combina los resistores de y en paralelo para obtener
88
Se obtiene de en la figura 9.8a) aplicando la división de corriente y se escribe
Dado que la corriente a través del inductor no puede cambiar instantáneamente,
Cuando , el interruptor está abierto y la fuente de tensión se desconecta. Ahora se tiene el circuito RL sin fuente de la figura 9.8b). Al combinar los resistores se tiene
La constante de tiempo es
En consecuencia
Figura 9.8 a) t<0, b)t>0
Ejercicio 9-5
