Lógica - FCE
TRABAJO PRACTICO NUMERO TRES
Primera parte
(A) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos.
1. ∀x (Qx → Rxc), ¬Rac / Qa .
Solución: No es un razonamiento válido pues se obtiene un árbol abierto a partir de las premisas etiquetadas con V y de la conclusión etiquetada con F, de modo que la
conclusión no es derivable en T a partir de las premisas. V∀x(Qx → Rx)
V¬Rac FQa √VQa → Rac √VQc → Rcc
/ \ FQa VRac
/ \ x FQc VRcc 2. ∀x(¬ Px→ Qx&Sx) / ∀x(Px ∨ Qx) .
3. ∃x∀z(Px&Rx → Qxz) / ∃x(Px → ∀zQxz) 4. ∀y(Py → Qy), ∃z(¬Pz → ∃xQx) / ∃xQx. 5. ∃z(Sz → Pz), ∃zSz / ∃yPy
(B) Determine mediante el sistema T si los siguientes enunciados son leyes lógicas. 1. ∀x(Px ∨ (Px→Qa))
Solución: El enunciado es ley lógica, pues el árbol obtenido a partir de etiquetarlo con F es cerrado, de modo que es un teorema de T.
√F∀x(Px ∨ (Px→Qa)) √F(Pb ∨ (Pb→Qa))
FPb √F(Pb→Qa)
2. ∀x(Px → ∀y(Rxy ∨ Py))
3. ∀x(∀y(Rxy&¬Sy) → (Px → ∃yRxy)) 4. ∃x∀y(Rxy&Ryx) → ∀yRyy.
5. ∀x(((Px → Qx) → Px) → Px)). 6. ¬∃x∀ySxy → ¬Scc
(C) Determine si los siguientes conjuntos de enunciados son consistentes. 1. {∃xQx, ∃z ¬Qz}.
Solución: el conjunto es consistente pues el árbol formado a partir de sus enunciados componentes etiquetados con V resulta abierto.
√V∃xQx √V∃z ¬Qz
VQa VQb 2. {∃x∀ySxy, ∃x∀y¬Sxy}
3. {¬∃x Rxx, ∃x∃y(Rxy ∨ Ryx)}. 4. {∀x∃ySxy, ∃zSzz}.
(E) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos. En caso de que sean inválidos construya una valuación que constituya un contraejemplo. (Hága lo mismo con el ejercicio (A), en el caso de que haya razonamientos inválidos.)
1. ∀x(Px∨Qx) / ∀xQx.
Solución: No es un razonamiento válido pues el árbol formado a partir de las premisas etiquetadas con V y la conclusión etiquetada con F es abierto, de modo que la conclusión no es derivable en T a partir de las premisas.
V∀x(Px∨Qx) √F∀xQx.
FQa √V Pa∨Qa
/ \ VPa VQa
x Valuación: I(Pa)=v, I(Qa)=f.
2. ∃x(¬Px ∨ Qx) / ∃xPx → ∃xQx.
4. ∃x∀ySxy / ∀x ∃y¬(Ty&¬Sxy). 5. ∀x(Px → Qx) / ¬∀x(Px&Sx) ∨ ∃xQx.
(F) Determine si los siguientes conjuntos de enunciados son consistentes o inconsistentes. En caso de que sean consistentes construya una valuación.
1. { ∃x∀yRxy, ∃x¬Rxx}
Solución: El conjunto es consistente, pues el árbol generado a partir de sus miembros etiquetados con V es abierto.
√V∃x∀yRxy √V∃x¬Rxx
V∀yRay √V¬Rbb FRbb VRaa VRab
La valuación queda definida como: I(Rab)=v, I (Raa)=v, I (Rbb)=f. (I (Rba)=v o I(Rba)=f.).
2. {∀x ∀y(Rxy → ¬Ryx), ∃x∀yRxy}
3. {∃z∀x (Rzx → ¬Tx), ∀xTx, ∃x∀y¬Rxy }. 4. {∀x ∀y(Py → Qxy), ¬∀x(Px → ∃yQxy)} 5. {¬∀xPx→∀xQx, ∃x¬Qx, ∃x(Qx&Px)} 6. {∀x¬Rxx, ∀x∀y(Rxy ∨ Ryx)}.
(G) En cada uno de los casos que se presentan a continuación, se dan dos grupos de enunciados de LPO, y se debe determinar para cada enunciado del grupo II: (a) que se infieren del grupo I, (b) determinar específicamente de cuál (cuales) enunciado
(enunciados) del grupo I se infiere. Esto implica: tomar cada enunciado del grupo II, negarlo, adjuntarlo a los del grupo I y efectúe una derivación en T ( es decir, construya en cada caso el árbol, que debe ser cerrado).
Caso 1. Grupo I: 1. ∀x(Rxc → Sx & Tc). 2. Sa → ¬Qa.
3. ∀Ray Grupo II: 1. Rac ∨ Qc. 2. Sa. 3. ¬∀xQx
El enunciado 1 del grupo II se infiere del enunciado 3 del grupo I.
V∀x(Rxc → Sx & Tc). VSa→ ¬Qa.
V∀Ray √F(Rac ∨ Qc)
FRac FQc VRaa VRac
x
El enunciado 2 del grupo II se infiere de los enunciados 1 y 3 del grupo I.
V∀x(Rxc→Sx&Tc). VSa→ ¬Qa.
V∀Ray FSa √VRac→Sa&Tc
VRcc→Sc&Tc / \
FRac √VSa&Tc
x VSa
VTc x
El enunciado 3 del grupo II se infiere de los enunciados 1, 2 y 3 del grupo I
V∀x(Rxc→Sx&Tc). √VSa→¬Qa
V∀Ray √F¬ ∀xQx
V∀xQx VQa VQc / \ FSa V¬Qa √VRac→Sa&Tc FQa
2 VRcc→Sc&Tc x
/ \
FRac √VSa&Tc VRaa VSa VRac VTc x x Caso 2. Grupo I:
1. Pa ∨ ∃xQx. 2. ∀x∀yRxy. 3. Rab → ¬∀xQx. Grupo II:
2. Rab & ∃xPx.
3. ∃x(Pa ∨ Qx).
Caso 3. (véase caso 2 del ejercicio H del TP 2) Grupo I 1. ∀x (Px → Sx & Tx).
2. ¬∃z(Qz & ¬Uz). 3. Qa & Qb.
4. ∀x(Px → ¬∃y(Qy & Rxy)). 5. Pc.
Grupo II 1. Sc. 2. Ua & Ub. 3. ∃x (Px & Tx).
Caso 4. (véase caso 3 del ejercicio H del TP 2) Grupo I: 1. ∀z(Pz&Sz → Raz).
2. ∀x(Qx&Tx → Rbx). 3. ∀y(Uy → Rcy). 4. ∀x(Ux → Tx). 5. (Pd&Qd) & Td. 6. Te & Ue. Grupo II:
1. ∃x(Ux & Tx). 2. Rce.
3. Rbd. 4. Td & Te. Caso 5. Grupo I:
1. ∃x(Rxa & Sa). 2. ∀x(Sx → Txa). 3. Sb & ¬Tca. Grupo II:
1. ∃y(Tya & Sy).
2. ∃xRxa. 3. ¬Sc.
4. ¬∀z(Sz & Tza).
Ejercicios adicionales
(H) Demuestre mediante el sistema T de árboles lógicos la validez de los razonamientos que aparecen en el Trabajo Práctico Número Dos.
(J) Demuestre mediante el sistema T de árboles lógicos que los conjuntos de enunciados del ejercicio (D) del Trabajo Práctico Número Dos son inconsistentes.
(K) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos. En el caso de que sean inválidos construya una valuación que constituya un contraejemplo.
1. ∀x(Sx→Qx), ∃x(Px&Qx) / ∀x(Sx→ ¬ Px) 2. ∀x(Pxb → Pab), ¬Pab / ¬∀xPxb
3. ∃x¬Rx, ∀z(Pz∨Qz → Rz) / ∀yQy.
(L) Demuestre mediante el sistema T de árboles la validez de las reglas del sistema N de deducción natural. Comience con las reglas que no incluyen supuestos. Para las reglas de negación y la regla (⊥) haga uso de la ley de equivalencia ⊥ ↔ A&¬A. Para las reglas con supuestos, las subderivaciones deben verse como árboles cerrados. Por ejemplo, para demostrar la regla (I→) debe partir del supuesto de que se genera un árbol cerrrado a partir de A / B y de allí mostrar que entonces el árbol formado a partir de A → B es también cerrrado.
(M) Muestre la equivalencia entre el sistema N de Deducción Natural y el sistema T de árboles. Esto significa demostrar dos cosas : (a) un razonamiento es válido ( o una
derivación es correcta ) en N si y sólo si es válido ( es correcta ) en T , (b) un enunciado es teorema en N si y sólo si es teorema en T .
Ideas para la demostración : Las reglas de T que no contienen bifurcaciones deben verse como diferentes derivaciones en N con diferentes conclusiones . Las reglas de T que contienen bifurcaciones deben verse como derivaciones en N “patas para arriba” , cambiando los enunciados afirmados por negados y viceversa.
(N) Sobre la base de definir la disyunción exclusiva como AwB =df A&¬B ∨ ¬A&B, formule reglas de árboles para esta conectiva.
(0) Resuelva los ejercicios de (A), (B) y (C) mediante el sistema TN que emplea fórmulas
sin etiquetar.
Segunda parte
(A) Determine mediante el método de los árboles, sistema T* para LE, si los siguientes razonamientos de la lógica de enunciados son válidos o inválidos. En caso de que sean inválidos construya una valuación booleana que sea un contraejemplo:
1. p → ¬q, q / p
Solución: es inválido, pues da lugar a un árbol abierto. √p → ¬q
/ \ ¬p ¬q
x
La valuación booleana generada por la rama abierta es: V(p)=f, V(q)=v. 2. p↔q, ¬(p∨q) / p&q.
3. p → ¬q, r→ ¬s, p∨r / ¬(q&s). 4. p∨q, p→r, q→s, p→ ¬q / s→q & r→p
(B) Determine mediante árboles lógicos si los siguientes enunciados son tautologías contradicciones o contingencias.
1. p ∨ (p → q).
Solución: El árbol formado a partir de la negación del enunciado es cerrado. Luego el enunciado es una tautología.
√¬(p ∨ (p → q)) ¬p √¬(p→q)
p ¬q
x 2. (p→q) ↔ (¬p∨q) .
3. ¬(p∨ ¬p → q&¬ q) . 4. ¬(¬ p→q) → ¬ p . 5. (p∨q) & (¬ p&r) → q . 6. ¬(¬p&p) & ¬(p& ¬ p) . 7. ¬(¬(q→p) & (q∨r) ) . 8. (¬ p& ¬q) ∨ (q∨ ¬ p) .
(C) Construya (a) la forma normal conjuntiva y (b) la forma normal disyuntiva de los enunciados siguientes.
1. ¬(s → (t&¬s)). Solución:
(a) la forma normal conjuntiva, obtenida mediante árboles duales, es: s & (¬t∨¬s), siendo el árbol dual correspondiente el siguiente:
/ \ s √¬(t&¬s)
¬t √¬¬s
s
(b) La forma normal disyuntiva, obtenida mediante árboles, es: ¬t&s ∨ s., y el árbol es el siguiente:
√¬(s → (t&¬s)). s
√¬(t&¬s) / \ ¬t √¬¬s
s 2. (p↔q) ∨ t .
3. ¬(t →(s→ p∨¬t )) . 4. t ∨ (s→(r→p)) .
5. ¬(p&s) ∨ (s→(s→p ) ) . 6. ¬(p&q) ∨ (q→p) . 7. (p & (q∨r)) → ¬(s&p) . 8. ((p→q) → r&q) → (r&q) . 9. ¬(p↔q ) & (r→t) .
10. (p→q) & ((q→ s) ∨ r&¬s) .
(D) Construya (a) la forma normal conjuntiva y (b) la forma normal disyuntiva de los enunciados que aparecen en el ejercicio (B).
(E) Aplique el método de resolución para determinar la validez de (a) los razonamientos que siguen a continuación , (b) los razonamientos del ejercicio (A), previa transformación de los enunciados en cláusulas en ambos casos.
1. p → q, ¬q / ¬p. Solución:
√1) ¬p ∨ q. 2) ¬q 3) p.
5) ┴ de 3) y 4). 2. p→r, q→r, p∨q / r. 3. ¬p∨¬q, r→p, r→q / ¬r. 4. p → (q → r) / q→(p→r).
(F) Con ayuda de la definición de valuación booleana, pueden caracterizarse las conectivas de la lógica de enunciados por medio de matrices o tablas de doble entrada, que para cada conectiva indican todos los posibles valores que adopta el enunciado con esa conectiva como símbolo principal sobre la base de los valores de sus subfórmulas inmediatas. Por ejemplo, en el caso de la conjunción se obtiene la tabla
p q p&q
v v v
v f f
f v f
f f f.
Construya las tablas correspondientes a las restantes conectivas ∨, →, ↔ y ¬.
Tercera parte
Dadas las siguientes teorías default, expresadas en lenguaje ordinario, construya los escenarios respectivos para justificar los enunciados que se indican en cada caso. Esto implica: (a) simbolizar las teorías en LPO, (b) chequear consistencia de los candidatos a escenarios mediante el sistema T, (c) derivar en 8el sistema N o en el T el enunciado a justificar a partir del escenario correspondiente.
1. Hipótesis: Los mamíferos son vivíparos. Los ornitorrincos son ovíparos.
Hechos: Todos los ornitorrincos son mamíferos. Ningún ovíparo es vivíparo. Pipo es un ornitorrinco.
Enunciados a justificar: (i) Pipo es ovíparo, (ii) Pipo es vivíparo. Solución:
(a) código de traducción: Px: x es mamífero, Qx: x es vivíparo, Rx: x es ornitorrinco, Sx: x es ovíparo, a: Pipo.
Hipótesis: {Px → Qx, Rx → Sx}
Hechos: {∀x(Rx → Px), ∀x(Sx → ¬Qx), Ra} Enunciados a justificar: (i) Sa, (ii) Qa.
(b) Escenario para (i) : {Ra → Sa, Ra → Pa, Sa → ¬Qa, Ra} √Ra → Sa
√Sa → ¬Qa Ra / \ ¬Ra Sa
x / \ ¬Ra Pa x / \ ¬Sa ¬Qa
x
El árbol es abierto, de modo que el conjunto de enunciados es consistente. Escenario para (ii): {Pa → Qa, Ra →Pa, Sa → ¬Qa, Ra}
√Pa → Qa √Ra → Pa √Sa → ¬Qa
Ra / \ ¬Ra Pa x / \ ¬Sa ¬Qa / \ / \ ¬Pa Qa ¬Pa Qa x x x Derivación en N para (i):
1) - Ra → Sa 2) - Ra
3) Sa MP 1 y 2.
Derivación en N para (ii): 1) - Pa → Qa
2) - Ra → Pa 3) - Ra
4) Pa MP 2 y 3.
5) Qa MP 1 y 4.
2. Hipótesis: Las playas del Atlántico Sur no son de aguas cálidas. Las playas de Brasil son de aguas cálidas.
Hechos. Todas las playas al sur de Porto Alegre son playas del Atlántico Sur. Cassino es una playa de Brasil. Cassino es una playa al sur de Porto Alegre.
Enunciados a justificar: (i) Cassino es una playa de aguas cálidas. (ii) Cassino no es una playa de aguas cálidas.
3. Hipótesis: Los bancos pequeños son menos solventes que cualquier banco grande. Los bancos nacionales son menos solventes que los bancos extranjeros.
Enunciados a justificar: (i) Banco Agrario es menos solvente que Superbank. (ii)
Superbank es menos solvente que Banco Agrario. (iii) Banco Sarmiento es menos solvente que Banco Agrario.
4. Hipótesis: Las regiones con clima cálido son aptas para el cultivo del arroz. Las regiones con clima húmedo son aptas para el cultivo del arroz.
Hechos: Ninguna región con clima seco es apta para el cultivo del arroz.
Santiago del Estero es una región con clima seco y cálido. Corrientes es una región con clima húmedo y cálido. Santa Cruz es una región con clima seco y frío.
Enunciados a justificar: (i) Corrientes es una región apta para el cultivo del arroz. (ii) Santiago del Estero no es apta para el cultivo del arroz.
5. Hipótesis: Los hoteles de cuatro estrellas tienen habitaciones espaciosas. Los hoteles céntricos no tienen habitaciones espaciosas.
Hechos: El Savoy es un hotel de cuatro estrellas. El Palace es un hotel céntrico de cuatro estrellas.
Enunciados a justificar: (ii) El Savoy tiene habitaciones espaciosas. (ii) El Palace tiene habitaciones espaciosas. (iii) El Palace no tiene habitaciones espaciosas.
Cuarta parte
(A) Realice el ejercicio 4.3 de JEFFREY (1986) p. 101
(B) Realice los ejercicios 7.3 a 7.20 de JEFFREY (1986) pp. 174-176. (C) Realice los siguientes ejercicios de JEFFREY (1986 ) pp. 122-124 : 5.6. (referido a sistemas axiomáticos de lógica ) ;
5.7 ( referido a transitividad de la implicación semántica ) ; 5.8. (demostración de compacidad de la implicación semántica); 5.9. (demostración del teorema de deducción).
(D) El método de resolución puede extenderse al lenguaje de predicados, si se agregan las siguientes dos reglas: (1) ∀x A[x] / A[a] y (2) ∃x A[x] / A[c] , siendo c una constante nueva, y si se aplican las leyes de equivalencia de cuantores. Sobre esta base, resuelva los razonamientos del ejercicio (A) de la Primera parte.
(E) Muestre que el resolvente de dos cláusulas de Horn con cabeza es una cláusula de Horn.
(G) Realice el ejercicio 7.21 (forma normal prenexa) de JEFFREY (1986) p. 176.
(H) Reduzca los siguientes enunciados del lenguaje de predicados a forma normal prenexa. (1) ∀x (Px → ∀y (Rxy → ¬∀z Syz)).
(2) ∃y (Py → ( ∃xPx → Qy)).
(3) ∀y ((∀x(Px → Rxy) → (∃x Px → ∃z Ryz)) (4) ∀y (∃xRxy → (Px → ¬ ∃zRxz)).
(5) ∃x∀yRxy → ∃xPx. (6) ∃xPx → ∀x∃yRxy.
(7) ∀x∀y(Rxy→∃z(Rxz&Ryz)) & ∀x ∀y(Rxy→ ¬Ryx). (8) (∃x∀yRxy → ∃x(Qx&Px)) & ∀xSx.
(9) ∀z(∃y∀x(Px → Qx) → Pz). (10) ∀x(Px→Qx) → (∃x Px→∃xQx).
