x 2-2 si x < 0 8. [ARAG] [SEP-B] Sea f(x) = 2x-1 si x 0. x+a a) Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) es continua en x = 0?

Texto completo

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1. [ANDA] [JUN-A] Sea la función f(x) = 2

x si x < 1 2

x si x  1 a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Calcula sus asíntotas.

c) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

2. [ANDA] [JUN-B] El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = -t2+12t-31 ; 4  t  7

a) Representa la gráfica de la función f.

b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste?

3. [ANDA] [SEP-A] El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f(t) = -4t2+60t-15 , 1  t  8.

a) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2? ¿Y para t = 4?

b) ¿Cuál será el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros?

4. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f(x) = 2x- x 2

2 si x  4 2x-8 si x > 4 . a) Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función.

b) Represéntala gráficamente e indica, a la vista de su gráfica su monotonía y sus extremos. 5. [ARAG] [JUN-A] Se considera la función f(x) = a·lnx+x3, siendo a un parámetro real.

a) Escriba el dominio de definición de f(x).

b) Compruebe si hay algún valor de a para el que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 1.

c) Para a = -3, calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f(x). d) Para a = 1 calcule lim

x+f(x) y limx0f(x).

6. [ARAG] [JUN-B] Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma B(x) = ax+b x, siendo x el número de unidadeds producidas y a, b parámetros reales.

a) Calcule, si existen, los valores de los parámetros a y b para que una producción de x = 100 proporcione un beneficio de 50 unidades monetarias y que además sea el máximo que se puede obtener.

b) Para a = -1 y b = 16, calcule las cantidades que se han de producir para que el beneficio aumente o disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión de f(x), si existen.

7. [ARAG] [SEP-A] Se considera la función f(x) = - x4

2 +5x3-18x2+28x+9.

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos. b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 1.

8. [ARAG] [SEP-B] Sea f(x) = x

2-2 si x < 0 2x-1

x+a si x  0 .

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) es continua en x = 0? b) Para a = 1

2 calcule los intervalos de crecimiento, decrecimiento, convavidad y convexidad de f(x). c) Para a = 2 compruebe si x = 1

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9. [ASTU] [JUN] Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad en base a los beneficios que espera obtener dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros) y x los beneficios esperados (en miles de euros): G(x) = 6+2x- x2 2 , 0  x  9 3+ 75x+5400 10x2 , x > 9 .

a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio? b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto.

c) Por muchos beneficios que espere, ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos de euros)?

10. [ASTU] [SEP] Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes al partido no alcanza el 20%. Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será al menos el 40% y que el porcentaje de votantes al partido dependerá del porcentaje de participación según esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y x el de participación):

P(x) = 0'00025x3+0'0454x2-2'4x+50 ; 40  x  100

a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según la función, ¿es posible que el dirigente no tenga que dimitir?

b) Dibuja la gráfica de la función.

11. [C-MA] [JUN] Si la relación funcional entre la superficie de un cuadro y su base viene dada por S = 150x-x2, siendo x la base en cm.

a) ¿Cuál es la superficie de un cuadro que tiene de base 25 cm?

b) ¿Qué dimensión ha de tener la base de un cuadro para tener una superficie máxima? c) ¿Cuál es esa superficie máxima?

12. [C-MA] [SEP] Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R en euros, viene dada por: R = -0,01x2+5x+2500, siendo x la cantidad que se invierte.

a) ¿Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros? b) ¿Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima? c) Calcula esa rentabilidad máxima.

13. [CANA] [JUN-A] Se quieree fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro.

a) ¿Qué medidas debe tener la caja? b) ¿Qué volumen tendrá?

14. [CANA] [SEP-A] Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/h, el consumo de litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/h, se puede aproximar por la función C(x) = 7.5-0.05x+0.00025x2.

a) ¿A qué velocidad se obtiene el consumo mínimo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo?

b) Realizar un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo [25,175] y determinar las velocidades que corresponden al consumo máximo.

15. [CANA] [SEP-A] Una empresa alquila coches por semana a 400 clientes por un precio de 360 € cada coche. Si por cada 20 € que aumenta el precio de alquiler pierde 10 clientes, ¿qué precio puede poner para que la ganancia sea máxima?

16. [CANA] [SEP-B] La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por f(x) = 0.00055x(300-x). Deducir de forma razonada:

a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es esa velocidad máxima? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo?

c) ¿A qué velocidad llega a la meta?

17. [CATA] [JUN] a) Calcule los puntos del gráfico de la curva y = x3–2x2+x+1 donde la recta tangente tiene pendiente - 1 3.

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b) Determine la recta tangente en dichos puntos. 18. [CATA] [JUN] La función f(x) = 90x+100

x+5 indica el número de minutos que se aconseja caminar diariamente en función del número x de semanas que han pasado desde que se empezó un programa de mantenimiento.

a) Según dicho programa de mantenimiento, ¿a partir de qué semana se debe caminar más de una hora?

b) Haga un gráfico aproximado de la función y explique su crecimiento. ¿Aproximadamente cuánto tiempo tendría que dedicar a caminar diariamente una persona que lleva mucho tiempo siguiendo el programa?

19. [CATA] [SEP] La curva de ecuación y = 3x2–1 y la recta y = 4x+b son tangentes. a) Determine el punto de tangencia.

b) Determine b.

20. [CATA] [SEP] Si un juguete se vende a 130 €, lo compran 1000 personas. Por cada euro que aumenta el precio, disminuye en 50, respectivamente, el número de compradores.

a) Haga un gráfico del número de juguetes que se venden en función del precio de venta y dé la fórmula que lo expresa. b) El precio de coste de un juguete es de 80 €. Calcule el precio p, que da un beneficio total máximo.

c) Halle el número de juguetes que se venden si el precio es p y calcule el beneficio máximo.

21. [EXTR] [JUN-A] La caldera para la calefacción de cierto edificio de oficinas funciona desde las 9 hasta las 14  horas. A las 12 horas se obtiene el consumo mínimo, siendo dicho consumo mínimo de 15 litros de combustible. Admitiendo que el consumo de combustible de esa caldera viene dado, como función de la hora del día, a través de la expresión: C(t) = (t-A)2+B, 9  t  14, se pide:

a) Determinar, justificando la respuesta, A y B. b) Representar la función obtenida.

22. [EXTR] [JUN-B] El consumo de agua, en metros cúbicos mensuales, de una empresa varía durante el primer semestre del año (de enero a junio) de acuerdo con la función:

C(t) = 8t3 - 84t2 + 240t, 0  t  6. Se  pide:

a) ¿En qué meses de este primer semestre se producen los consumos máximo y mínimo? b) Determinar el valor de dichos consumos máximo y mínimo.

c) Determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento del consumo de estos seis meses. Justificar la respuestas.

23. [EXTR] [SEP-A] Se ha comprobado que el rendimiento, entre el 0% y el 100%, de cierta máquina agrícola, durante un tiempo de funcionamiento de 20 horas, queda bien descrito a traves de la función: f(t) = At(B-t), 0  t  20.

a) Determinar las constantes A y B sabiendo que el rendimiento máximo del 100% se alcanza a las 10 horas de funcionamiento. Justificar la respuesta.

b) Representar la función obtenida.

24. [EXTR] [SEP-B] Una empresa ha estimado que al cabo de 10 años de funcionamiento el balance de sus ingresos y gastos (en miles de euros), en función de los años transcurridos, ha sido el siguiente:

Ingresos: I(t) = -2t2 + 48t ; 0  t  10. Gastos: t2 - 12t + 130 ; 0  t  10. Se pide, justificando las respuestas:

a) Los gastos iniciales de la empresa.

b) Los ingresos a los 3 años de funcionamiento.

c) Los beneficios netos en función del número de años transcurridos. d) ¿En qué años fueron máximos dichos beneficios?

e) ¿Cuál fue el valor de éstos beneficios máximos? 25. [MADR] [JUN-A] La función B(x) = -x2+9x-16

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el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo.

26. [MADR] [SEP-B] Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x2 x2-9. a) Hallar sus asíntotas.

b) Calcular sus máximos y mínimos relativos, si existen. 27. [MURC] [JUN] Dada la función f(x) = x

x+1, se pide: a) Calcular su dominio y asíntotas.

b) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Hacer su representación gráfica aproximada.

28. [MURC] [JUN] Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura ymárgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel.

29. [MURC] [JUN] Dibuja la parábola f(x) = x2-5x+8.

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes? b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P(1,2).

30. [MURC] [SEP] Dada la función y = x

x2-1, se pide: a) Hallar el dominio y las asíntotas

b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Hacer una representación gráfica aproximada.

31. [MURC] [SEP] Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x+y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determinar el punto (a,b) al que corresponde un área máxima.

32. [MURC] [SEP] Dibuja la parábola f(x) = x2-6x+8.

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto P(2,0). 33. [RIOJ] [JUN] Calcula y simplifica la derivada de la función f(x) = x+1

x2+1 34. [RIOJ] [JUN] Sea la función f(x) = 1+ 1

x 2

.

a) Determina sus asíntotas, máximos, mínimos y puntos de inflexión. b) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2. c) Represéntala gráficamente.

35. [RIOJ] [SEP] ¿Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f'(1) = 0, f''(1) < 0, f'(3) = 0 y f''(3) > 0? 36. [RIOJ] [SEP] La suma de tres números positivos es 60. El primero, el doble del segundo y el triple del tercero suman 120. Halla

los números que cumplen estas condiciones de manera que su producto sea máximo. 37. [RIOJ] [SEP] Dada la función g(x) = x2-x4,

a) Obtén la ecuación de la recta tangente en el punto (1,0).

b) Calcula sus extremos (máximos y mínimos), puntos de inflexión e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Represéntala gráficamente.

(5)

38. [VALE] [JUN-A] Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen dados por la función f(x) = -0,1x2+2,5x-10 , cuando se venden x toneladas de producto. Se pide:

a) Calcular la cantidad de toneladas que se ha de vender para obtener el beneficio máximo y calcular éste. Justificar que es máximo.

b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas.

c) ¿Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo beneficio y justificar que es máximo. 39. [VALE] [JUN-B] Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado un

estudio que determina que si la tarifa fuera de 36 € podrían conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número de contratos previsto anteriormente se incrementaría en 150. Se pide:

a) Expresar el ingreso total previsto como una función de una variable. Explicar el significado de la variable utilizada.

b) ¿Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máximo? ¿Cuál es éste y con cuántos abonados se conseguiría? Justificar que el ingreso obtenido realmente es máximo.

40. [VALE] [SEP-A] En unos almacenes se tienen 2000 Kg. de alimentos perecederos que se pueden vender a 3 €el Kg., pero si se venden más tarde, el precio aumenta en 0,1 € el Kg. cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 Kg. de ellos. ¿Cuáles son estos ingresos máximos? ¿Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar que es máximo.

Soluciones 1. a) Con: . Der: - {1} b) y = 0 c) y = - 1 2x+2 2. a) 1 3 5 7 1 3 5 X Y

b) 5 millones a los 6 años; 1 m a los 4 años 3. a) 89, 161 b) 5

2,210 c) 5 y 10 años 4. a) Con: . Der: - {4} b) 1 2 3 4 5 1 3 -1 -3 X Y

Crec: (-,2)(4,+); max: 2; min: 4 5. a) (0,+) b) 6 c) crec: (1,+); min: 1 d) +, - 6. a) -1

2, 10 b) crec: (0,64) 7. a) crec: -,72 ;

min: 7

2 b) conv: (2,3); p.i: 2, 3 c) y = 5x+ 372 8. a) 12 b) crec: (0,+); conv: (-,0) c) no 9. a) disc. en 9 b) crec: (0,2) c) si 10. a) crec: (40,82); no dimite si x >82 b)

20 40 60 80 110 10 30 50 -10 X Y 11. a) 3125 b) 75 c) 5625 12. -2500; 250; 3125 13. a) 222, 444, 334 b) 32'92 14. a) 100; 15 b) crec: (100,175]; max: 25, 175 15. 570 16. a) 150; 12'375 b) crec: (0,150) c) 11 17. a) 2 3,2927 b) y = - 13x+ 3527 18. a) 7 b) 20 60 100 20 60 100 X Y ; 90 min 19. 2 3, 13 ; -73 20. a) 20 60 100 140 X Y b) 115 c) 1750; 61250 21. 12, 15; 5 15 -5 5 15 25 X Y

22. a) max: 2; min: 5 b) 2'8; 100 c) crec: (0,2)(5,6) 23. a) 1, 20 24. a) 130000 b) 414000 c) -3t2+60t-130 d) 10 e)

170000 25. 4; 1000 26. a) x = -3, x = 3, y = 1 b) max: 0 27. a) -{1}; x = -1; y = 1 b) creciente c) 1 2 3 -1 -3 1 3 -2 X Y 28. 5, 10 29. a) (3,2) b) no 30. a) -{-1,1}; x = -1, x = 1, y = 0 b) decreciente c) 1 2 -1 1 2 -2 X Y 31. (2,4) 32. a) (3,-1) b) y = -2x+4 33. f'(x) = -x2-2x+1 x2+1 2

34. a) x=0, y=1; min: -1; p.i: -3

(6)

1 2 -1 1 2 3 X Y

35. max: 1; min: 3 36. 20, 20, 20 37. a) y = -2x+2 b) max:  2

2 ; min: 0; p.i:  6 6 ; crec: -,- 22  0, 22 c) -1 1 2 1 -2 -3 X Y 38. a) 5625; 12'5 b) 5 c) 500; 10 39. a) -150x2+600x+172800 b) 34, 5100, 173400 40. dentro de 5 días; 1750, 3'50; 6125

Figure

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