PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE
SISTEMAS
Guía
de
Ejercicios
I1
Introducción
a
la
Economía
(S5)
INDICE
Derivadas ………..……… 3 Costos de Oportunidad y Ventajas Comparativas………. 5 Comentes ………. 5 Ejercicios ……….. 5 Equilibrio Parcial ……….. 8 Comentes ………. 8 Ejercicios ……….. 9 Teoría del Consumidor ……….……….. 11 Comentes ……….……… 11 Ejercicios Cortos ………18 Ejercicios Largos………28
Derivadas
1. Si tenemos una función con un solo argumento , entonces su derivada es . Si nuestra función es de dos argumentos, , , la derivada parcial con respecto a x es mantenemos constante . Además, si tenemos dos funciones y , entonces . En base a estas dos reglas, derive las siguientes funciones: a 2 R: 2 b R: c R: 0 d R: e , R: f , 4 R: g , 4 R: 4 h , R: 1
2. Si , entonces . Si , , . En base a esta
regla, derive las siguientes funciones: a R: 2 b 2 R: 2 3 6 c R: 10 d R: e R: f R: g R: h 1/ R: 4 4/ i , R: 4 j , R: 2 k , R: l , √ R: 4 m , 1 / R: 1
3. Regla de la Cadena: Sea una función compuesta, entonces . Sea , , , la derivada parcial con respecto a x es . Utilizando esta regla, derive las siguientes funciones utilizando o , según corresponda:
a ; 2 2 R: 2 ; 2 4 b ; 2 2 R: ; 2 2 c ; R: ; 2 2 2 d ; R: ; 2 2 2 e ; R: 4 ; f , ; , R: 2 ; g , ; , R: 2 ; h , ; √ , R: 2 ; 2 i , ; , R: 2 ; 2 j , ; , R: ;
Costos de Oportunidad y Ventajas Comparativas
Comentes
1. Un punto fuera de la FPP sólo es alcanzable si la economía se dota de mayor cantidad de factores productivos.
R: Falso. Una forma de desplazar la FPP hacia afuera es aumentando la cantidad de factores, pero también puede hacerse mediante una mejora tecnológica. Máquinas más eficientes pueden lograr una mayor cantidad de producto con la misma cantidad de insumos. Trabajo más calificado puede aumentar también el producto sin necesidad de modificar los factores.
2. ¿Por qué se dice que la frontera se relaciona directamente con el concepto de escasez económica?
R: La FPP es un modelo que puede interpretarse como una representación gráfica de los costos de oportunidad que tiene una sociedad de cuando decide utilizar sus insumos produciendo una cosa y no otra. El concepto de costo de oportunidad sólo tiene sentido cuando existe escasez, pues si existiesen recursos ilimitados, podríamos producir infinito de los productos, sin que la producción de ninguno nos limitara a producir otro.
3. El costo de oportunidad para Carlos de estudiar en la Universidad son los costos del arancel y de matrícula.
R: Falso. Los costos de oportunidad no son lo mismo que los costos económicos o contables. El arancel y la matrícula son los costos contables de estudiar, que se miden que dinero. Los costos de oportunidad no necesariamente son dinero: ellos son simplemente aquello a lo que se renuncia para obtener una cosa. Aquello a lo que se renuncia puede ser dinero, un objeto, un cierto esfuerzo, tiempo, gustos, etc. Es algo que tiene un valor objetivo o subjetivo.
4. Los costos económicos o contables son una forma de costos de oportunidad, pero no al revés.
R: Verdadero. Un costo de oportunidad es cualquier cosa valiosa a la que renunciamos para obtener algo, sea esto un objeto, tiempo, esfuerzo, etc. Cuando compramos algo, ciertamente debemos “renunciar” a una cierta cantidad de dinero, por lo que ese dinero, que es el costo contable de aquello que adquirimos, es también un costo de oportunidad.
Ejercicios
1. Suponga que en el país Chilenito sólo podemos producir Cobre y Celulosa, para lo que utilizamos como insumo capital maquinaria y trabajo. La siguiente tabla nos muestra las combinaciones de Cobre y Celulosa que podemos producir con la cantidad de capital y de trabajadores con la que contamos. Cobre Celulosa 5 0 4 5 3 9 2 12 1 14 0 15 a ¿Cuál es el costo de oportunidad de hacer 3 unidades de cobre en vez de 2?
R: Cuando producimos 2 unidades de cobre, podemos producir 12 de celulosa, mientras que si producimos 3 de cobre, sólo podemos producir 9 de celulosa. Esto quiere decir que el costo de oportunidad de producir la tercera unidad de cobre es de 3 unidades de celulosa. b ¿Qué problema enfrento si quiero producir 3 unidades de cobre y 10 de Celulosa? R: No es una combinación factible de productos. Los insumos que tenemos no nos alcanzan para producir esa cantidad. Debiéramos reducir la producción de Celulosa a 9, o producir 2 de Cobre y 12 de Celulosa. c ¿Qué problema enfrenta el país si produce 2 de Cobre y 10 de Celulosa?
R: En ese caso, el país está desaprovechando sus factores de producción o, lo que es lo mismo, produciendo de manera ineficiente.
d ¿Por qué este país podría encontrarse por debajo de su FPP?
R: Un país se encuentra por debajo de su FPP si produce de forma ineficiente menos producto de lo que podría generar . Esto podría verse motivado, en nuestro ejemplo, por una recesión económica. Cuando existe recesión, las empresas nacionales y extranjeras disminuyen su producción por temor a tener que venderla demasiado barato en el futuro
no exista demanda para todo lo producido . Si las empresas extranjeras disminuyen su producción, pueden disminuir sus importaciones de Cobre y Celulosa. En ese caso, este país exportaría menos de lo que puede exportar y parte del capital y del trabajo utilizado para producir ambos bienes quedaría inactivo. 2. En la siguiente tabla se muestran los costos que tienen dos países, “País 1” y “País 2”, para producir Kiwi y Toperoles. País 1 País 2 Kiwi 10 4 Toperoles 12 3 a ¿Qué país tiene ventajas absolutas en producir Kiwi? R: País 2. A éste le cuesta menos que al país 1 producir kiwi. b ¿Qué país tiene ventajas absolutas en producir Toperoles? R: País 2. También le cuesta menos producir Toperoles c Si cada país decide exportar uno de estos bienes, ¿Cuáles escogerán?
R: el País 1 escogerá exportar Kiwis, ya que su costo de producir Kiwis es menor al de producir Toperoles. El País 2, análogamente, escogerá exportar Toperoles.
d ¿Es eficiente la decisión que los países toman?
R: Sí lo es, ya que cada país se encuentra aprovechando sus Ventajas Comparativas exportando lo que para ellos es más barato de producir . Si la exportación aprovechara las Ventajas Absolutas, tendríamos que el País 2 exporta ambos productos, pero el país 1 ninguno. Esto no es un resultado “viable”, ya que el País 1 necesita exportar algo para poder importar otra cosa, de lo contrario no tendría el ingreso para pagar las importaciones.
Equilibrio Parcial
En el modelo de Equilibrio Parcial, nos introducimos de forma muy general al funcionamiento de los mercados. Identificamos una Oferta, una Demanda y un Equilibrio en que ambas coinciden. Revisamos además qué sucede con estos elementos ante distintos fenómenos económicos.
Comentes
1. La función de Demanda es la cantidad efectiva que se compra en el mercado.
R: Falso. La función de demanda nos indica cuánto estarían dispuestos a comprar los consumidores para distintos niveles de precios. La cantidad que efectivamente se transa en el mercado es la cantidad de equilibrio, en la que función de demanda y de oferta coinciden.
2. Para el 18 el precio de la carne aumenta, pero la gente demanda más. Esto quiere decir que la curva de demanda tiene pendiente positiva.
R: Falso. La Ley de Demanda nos dice que la demanda de un bien disminuye al aumentar su precio, por lo que la curva de demanda tiene pendiente negativa esto no sucede en los bienes Giffen, pero nadie ha sido capaz de encontrar un bien Giffen en la realidad . El hecho de que el precio de la carne aumente en esa fecha es precisamente porque es la demanda la que se expande. Gráficamente función de Demanda Inversa 3. El precio de Equilibrio es el precio que vacía los mercados.
R: Verdadero. El precio de equilibrio es aquél en el cual la cantidad demandada y la ofrecida coinciden. En este precio, los consumidores querrán demandar una cantidad y los productores, por su parte, estarán dispuestos a producir lo mismo: . De esta forma, el precio de equilibrio logra que no exista exceso de oferta ni exceso de demanda. P Q
Ejercicios
1. Si las curvas de oferta y demanda de un bien pueden representarse, respectivamente, por: 18 5 a Grafique ambas curvas señalando todos los puntos relevantes. R:b Calcule el precio de equilibrio. ¿Cuánto producto será transado en el mercado a ese precio? R: Obtenemos el precio de Equilibrio igualando la oferta y la demanda 18 5 3
Cuando el precio es 3, la cantidad transada será también 3 esto se obtiene reemplazando el precio de equilibrio en la oferta o en la demanda . 2. . Suponga que nos encontramos estudiando el mercado del tabaco y que, después de largas jornadas de investigación, concluimos que la oferta y la demanda de este mercado puede representarse mediante las siguientes funciones: 50 250 199 a Obtenga y grafique el equilibrio. R: En el equilibrio, oferta y demanda coinciden: Q P 1 ‐5 18 3.6
50 250 199
Despejamos el precio de equilibrio: 1. Dado este precio, la cantidad de consumidores demandan y firmas producen se obtiene reemplazando el precio en la demanda o en la oferta da lo mismo : 51
b Si durante el año persiste una gran sequía, ¿Qué espera usted que suceda con el equilibrio? Grafique.
R: Lo más evidente es que se volverá más caro producir tabaco, por lo que la oferta disminuirá a un mismo precio se produce menos, lo que equivale en el gráfico anterior a desplazar la curva de oferta hacia abajo . Si la sequía altera los nervios de la gente, puede que la demanda de tabaco aumente se desplaza la curva de demanda hacia la derecha . El efecto total dependerá de la magnitud de ambos efectos, pero cabe pensar que el primer efecto será mayor, por lo que el precio de equilibrio debiera aumentar y la cantidad disminuir. Q P 1 ‐199 51 1 10 1.26 Q P
Teoría del Consumidor
Nos adentramos, con la Teoría del Consumidor, a estudiar con mayor profundidad la demanda que revisamos muy someramente en el modelo de Equilibrio Parcial. ¿De dónde nace la demanda de un mercado? De las decisiones de consumo de cada persona. Estas decisiones de consumo son las que modelamos, en una primera instancia, en esta área de la Microeconomía, para luego revisar cómo esta decisión del individuo desemboca en un comportamiento agregado de todos los consumidores, representado por la curva de demanda del mercado.
Comentes
1. Cuando existe solución interior todos los bienes se consumen en cantidades estrictamente positivas , entonces la canasta que maximiza las utilidades del consumidor es aquella en que la curva de indiferencia tiene la misma pendiente que la restricción presupuestaria. R: Incierto. Existen muchas canastas posibles que satisfacen esta condición. Es más, en la mayoría de las funciones de utilidad que comúnmente estudiamos, todas las curvas de indiferencia tienen una canasta en la que la pendiente de la curva es la misma que la de la restricción presupuestaria. Gráficamente: Por lo mismo, la igualdad de las pendientes no es una condición suficiente. Además de ello, debe darse que se satisfaga la Ley de Walras, es decir, que el gasto total del consumidor sea igual a su ingreso, lo que equivale a que la recta presupuestaria sea tangente a la curva de indiferencia. En el ejemplo anterior, esto sucede sólo con la curva de color azul.2. La decisión de consumo de un individuo será sólo óptima si su recta presupuestaria es tangente a su curva de indiferencia.
R: Falso. A diferencia del comente anterior, aquí no nos estamos limitando a las soluciones interiores del problema del consumidor. Por lo mismo, debemos considerar otro tipo de preferencias como los sustitutos perfectos en que es posible encontrar soluciones esquina, donde el consumidor agota su ingreso en un solo bien y del otro no consume nada.
, ,
En esos casos, la recta presupuestaria no es tangente a la curva de indiferencia, pero el consumidor se encuentra de todas formas maximizando su utilidad. Ver gráfico
3. Si las preferencias de un consumidor son homotéticas, las curvas de Engel son líneas rectas.
R: Verdadero. Si tenemos preferencias homotéticas, los aumentos en el ingreso generan siempre aumentos de una misma proporción en la demanda. Esto equivale a decir que para cualquier nivel de ingreso, la relación de consumo de ambos bienes es constante. En consecuencia, la Curva de Engel es una recta con pendiente constante. Por ejemplo, para una función de utilidad Cobb‐Douglas U x , x x x , que es homotética, las demandas corresponden a x P, I I y x P, I I. Las Curvas de Engel de ambas demandas serán: 4. Si el ingreso de una persona aumenta, el consumo de todos los bienes debe aumentar. En caso contrario, no se satisfaría la Ley de Walras el consumidor no gastaría todo su ingreso .
R: Falso. Al aumentar el ingreso, el consumidor puede escoger canastas con más bienes, que antes no eran factibles dado su presupuesto. Esto no implica que aquellas canastas tengan más de ambos bienes. En efecto, puede estar consumiendo un bien inferior, el cual consumirá en menor cantidad al aumentar su ingreso. También puede estar consumiendo un bien neutro, cuyo consumo no se ve afectado por el ingreso. El consumo del otro bien podrá aumentar en una proporción mayor y de esa forma el ingreso será utilizado
completamente de todas formas. Además, destacamos también que para que se satisfaga la Ley de Walras, no podemos tener sólo bienes inferiores.
5. En el óptimo el consumidor gasta todo su ingreso Ley de Walras debido a que las preferencias son transitivas.
R: Falso. La transitividad nos asegura que las curvas de indiferencia no se cortan. Además, junto con el supuesto de completitud, nos aseguran que el consumidor es un agente económico “racional”. Esto nada tiene que ver con la Ley de Walras, la cual se cumple por el supuesto de monotonía, que nos dice que la Utilidad de un consumidor aumenta o al menos no disminuye si aumenta el consumo de un bien. Si aumenta el consumo de ambos bienes, entonces la Utilidad es siempre estrictamente mayor. Por eso, si el consumidor dejase ingreso libre para gastar, no se encontraría maximizando utilidad, ya que todavía podría adquirir unidades adicionales de los bienes y obtener así una utilidad mayor.
6. Si dos bienes son sustitutos perfectos y el precio del bien 1 aumenta, necesariamente el consumidor escogerá consumir sólo del bien 2.
R: Incierto. El comente será verdadero sólo si en la situación inicial, antes de que aumentara el precio, el individuo consumía de los dos bienes solución interior . Por ejemplo, si la TMS es ‐1, habrá solución interior si . Si aumenta, entonces el consumidor destinará todo su ingreso a consumir . No obstante, puede ser que en la situación inicial , por lo que, si el aumento de es pequeño, se mantendrá aún que . En ese caso, el consumidor no dejará de consumir ya que, aunque ahora es más caro, sigue siendo más barato que . 7. A mí la canasta me reporta, según el modelo, una utilidad de 4, mientras que a ti una utilidad de 5. A ti te gusta más esta canasta. R: Falso. La representación de las preferencias por medio de funciones de utilidad no nos permite comparar utilidad entre personas. Sólo utilizamos estas funciones para darle un orden numérico a las preferencias modeladas de un consumidor. Además, como visto en clases, el número que nos arroja la función de utilidad carece de interpretación, sólo nos importa si ese número es mayor o menor al que nos arrojan otras canastas. En resumen, la función de utilidad tiene carácter ordinal, no cardinal y no es comparable entre consumidores.
8. Como suponemos que más es preferido a menos, las curvas de indiferencia son estrictamente convexas.
R: La propiedad “más es preferible a menos” nos indica que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. El supuesto de monotonía no nos señala nada respecto de la forma de las curvas.
9. La tasa marginal de sustitución es igual a la razón de cantidades consumidas de los bienes.
R: Incierto. La TMS representa la relación a la que el consumidor está dispuesto a sustituir los bienes, no la relación a la que los consume. No obstante, en algunas funciones de utilidad, la TMS depende directamente de la razón de ambos bienes / por ejemplo la Cobb‐Douglas , pero eso trata sobre preferencias particulares. 10. Explique por qué las curvas de indiferencia convexas significan que “se prefieren las canastas medias a los extremos”. Grafique
R: Cuando las curvas de indiferencia son estrictamente convexas, la TMS es negativa y creciente. Que sea creciente quiere decir que, mientras más tengo, por ejemplo, de , más estoy dispuesta a ceder de este bien para obtener una unidad adicional de . Situándonos en este mismo ejemplo, si el consumidor consume inicialmente mucho de , querrá ceder muchas unidades de este bien por un adicional. Por lo mismo, si pudiese consumir una canasta que tenga, por ejemplo, uno menos de pero uno más de la cual sería una canasta de consumo más intermedio que la original estaría mejor en una curva de indiferencia más alta , ya que originalmente estaba dispuesto a ceder mucho más que una unidad de por una de . Cuando las curvas de indiferencia son rectas o no estrictamente convexas sustitutos perfectos entonces estará indiferente en ambos casos. Pero nunca se encontrará peor. Gráficamente.
11. Un consumidor racional puede tener preferencias representadas por curvas de indiferencia de pendiente positiva
R: Verdadero. Decimos que un consumidor es racional cuando sus preferencias son completas y transitivas. La monotonía, que es el supuesto que no se está cumpliendo en este ejemplo, no es un supuesto necesario para ello. 1 1
12. En los carretes, la gente siempre prefiere consumir o mucho trago destilado pisco, ron o mucho fermentado vino, cerveza . Es de sabiduría popular que si se mezcla fermentado con destilado la resaca será invivible. ¿Qué curva de indiferencia podría representar estas preferencias?
R: Curvas cóncavas. Sabemos que, por convexidad, se prefieren las canastas de consumo medio a las de consumos extremos de un bien. En este caso, esto no se cumple, pues, dados los precios los mantenemos fijos existen dos canastas óptimas al mismo tiempo y son “soluciones esquina”. Gráficamente 13. Si una canasta está compuesta de bienes y no de “males”, entonces ambas utilidades marginales son decrecientes. R: Falso. Los “bienes” se caracterizan por tener Utilidad Marginal positiva una unidad más de consumo aumenta la Utilidad total , mientras que los males tienen Utilidad Marginal negativa. No es necesario que las Utilidades Marginales sean decrecientes. La Utilidad Marginal decreciente es más bien una regularidad empírica mientras más los consumimos, menor es la utilidad adicional que nos reporta, aunque siempre es positiva , pero matemáticamente no es necesario en el modelo de Teoría del Consumidor que vimos en clases.
14. Los supuestos de racionalidad del consumidor implican que se cumple la Ley de Walras el consumidor gastará todo su ingreso
R: Falso. La Ley de Walras se satisface por el supuesto de monotonía, ya que si el gasto fuese menor al ingreso, el consumidor podría aún obtener mayor utilidad consumiendo un poco más de ambos bienes con el dinero que le sobra.
15. Si las preferencias son monótonas, entonces las Utilidades Marginales son positivas.
R: Verdadero. Por el supuesto de monotonía, al aumentar la cantidad consumida de un bien, la nueva canasta debe ser al menos tan preferida preferida estricta o indiferente , por lo que la utilidad también debe ser mayor o igual. Es decir, bajo monotonía la función de utilidad es creciente o, lo que es lo mismo, la Utilidad Marginal es positiva. 16. Si aumentamos los precios y el ingreso en una misma proporción, las demandas finales no cambian. R: Verdadero. Esto sucede porque la restricción presupuestaria queda intacta. Supongamos que precios e ingresos aumentan en un %. La nueva restricción resulta: 1 1 1 Esta restricción es la misma que
17. Existe una única función de utilidad que puede representar las preferencias de un consumidor.
R: Falso. Siempre podemos aplicar una transformación a la función de utilidad original, obteniendo una función diferente pero que representa las mismas preferencias el orden de preferencia de las canastas no cambia .
18. Si sube el precio de un bien y el otro se mantiene constante, el consumidor necesariamente se encontrará peor que antes con menor utilidad .
R: Incierto. Esto depende de la sustituibilidad que tengan los bienes según las preferencias del consumidor. Si los bienes son sustitutos perfectos, el consumidor podrá dejar de consumir el bien más caro y destinar todo su ingreso al más barato. Con ello su utilidad no cambiaría. Si, en cambio, los bienes no se sustituyen perfectamente, entonces un aumento en el precio de un bien genera dos efectos. El primero de ellos es el efecto sustitución. Si los bienes pueden sustituirse en alguna medida, entonces al aumentar el precio del bien 1 el consumidor podrá disminuir su consumo de y aumentar su consumo de , con lo que mantendrá su gasto constante. No obstante, aunque el gasto se mantiene constante, el Efecto Ingreso hace que, al aumentar el precio de un bien, disminuya el “poder adquisitivo” del consumidor con la misma plata puede comprar menos bienes , por lo que la utilidad disminuiría.
19. Cuando baja el precio de un bien, el consumidor siempre puede aumentar su nivel de utilidad excepto cuando tiene preferencias de complementos perfectos. Esto sucede porque, para estar mejor con estas preferencias, el consumidor necesita que el precio de ambos bienes disminuya al mismo tiempo.
R: Falso. Las preferencias de complementos perfectos se caracterizan porque los vienen no son sustituibles uno por el otro se deben consumir ambos juntos en una proporción fija . No obstante, el hecho de que no se pueda sustituir el bien más caro por el más barato, no quiere decir que el consumidor no pueda aumentar su nivel de utilidad cuando disminuye un precio. Recuerden que, además del Efecto Sustitución, existe el Efecto Ingreso. Si disminuye el precio de un bien, aumenta el poder de compra del consumidor para un mismo ingreso con la misma plata puede comprar más bienes . Luego, al disminuir el precio de un bien, el ingreso que queda disponible puede utilizarse para aumentar el consumo de los dos bienes al mismo tiempo.
20. Los bienes necesarios tienen una curva de Engel con pendiente negativa, ya que, al aumentar el ingreso, la persona deja de necesitarlos.
R: Falso. Los bienes necesarios son bienes normales. Su consumo aumenta cuando aumenta el ingreso, por lo que la curva de Engel tiene pendiente positiva. No obstante, estos bienes se caracterizan porque su consumo aumenta en una proporción menor que el ingreso, llegando a estancarse su consumo en el límite, cuando aumentamos mucho el ingreso. Esto implica que la curva de Engel es de pendiente positiva pero cóncava. 21. Los bienes de lujo son los que sólo se pueden comprar a partir de cierto ingreso. R: Falso. En estricto rigor, llamamos bienes de lujo a aquéllos cuyo consumo aumenta más que proporcionalmente con el ingreso. Es decir, cuando el ingreso es bajo se consumen muy poco, mientras que cuando el ingreso es alto, se consumen mucho.
22. Los viene inferiores debieron ser bienes normales para un nivel de ingreso menor.
R: Verdadero. Los bienes inferiores no pueden haber sido siempre inferiores. Podemos demostrarlo diciendo que, cuando el ingreso es 0, el consumo debe ser necesariamente 0. Luego, si desde un comienzo fuesen bienes inferiores, al aumentar un poco el ingreso el consumo debiera disminuir inmediatamente, con lo que tendríamos un consumo negativo del bien, lo que es imposible.
23. La Ecuación de Euler o Condición de Optimalidad, nos dice que un consumidor escogerá la canasta en la que las Utilidades Marginales de ambos bienes sea la misma.
R: Falso. Según la Ecuación de Euler, la canasta óptima es aquella en que la Utilidad Marginal por peso gastado de cada bien es la misma. 24. Un aumento en el precio de la parafina debe ser indiferente para la gente que utiliza en el invierno calefacción a gas.
R: Incierto. El gas y la parafina se pueden considerar como sustitutos cercanos, ya que cumplen una misma función en la calefacción de un hogar. Por lo mismo, si sube mucho la parafina, la gente puede preferir utilizar estufas a gas, disminuyendo así el consumo de
parafina. No obstante, la respuesta depende de las preferencias de cada consumidor, ya pueden existir demandas de parafina muy inelásticas, cuando la gente prefiere este medio de calefacción independientemente de los precios de otros medios.
25. La Ley de Demanda nos dice que la demanda de un bien disminuye cuando aumenta su precio. Luego, si esto se cumple y el precio del bien no cambia, la demanda no debería cambiar.
R: Falso. No sólo el precio del mismo bien modifica la demanda del mercado. Puede que haya disminuido el precio de un bien sustituto, por lo que la demanda disminuye, o que aumente el ingreso de la gente.
26. Un aumento en el precio del endulzante probablemente aumente la demanda por azúcar.
R: Verdadero. El endulzante y el azúcar son para mucha gente bienes sustitutos no perfectamente pero sí en una medida importante . Por lo mismo, si el endulzante se vuelve más caro, muchos preferirán utilizar azúcar en su reemplazo. Pero, aunque es probable que esto suceda, no necesariamente todos los consumidores sustituirán el endulzante por el azúcar ya que depende de las preferencias personales. Además, si el endulzante fuese inicialmente muy barato en comparación con el azúcar caso hipotético , un aumento en su precio podría no provocar un cambio muy significativo en la demanda del producto.
27. Cuando varía el precio de un bien, el efecto ingreso es siempre en la misma dirección que el efecto sustitución.
R: Falso. El Efecto Sustitución es siempre negativo sustituimos el bien cuyo precio ha subido por el otro, por lo que disminuimos el consumo del bien afectado o igual a cero en el caso de los complementos perfectos . El Efecto Ingreso, en cambio, tendrá distinto signo si el bien cuyo precio sube es normal o inferior. Si el bien es normal, al aumentar un precio el consumo disminuirá, ya que disminuye el poder adquisitivo. Esto implica que en bienes normales el Efecto Ingreso es negativo también. No obstante, si el bien es inferior, al disminuir el poder adquisitivo aumenta la demanda, por lo que el Efecto Ingreso será positivo.
28. El problema del consumidor consiste en maximizar la utilidad
R: Falso. El individuo no puede maximizar su utilidad ya que esta siempre crece con el consumo de los bienes. Esto implica que la función de utilidad no tiene una cota superior y, por tanto, no tiene máximo: crece hasta el infinito por el supuesto de monotonía. El consumidor, lo que escogerá será la canasta factible que puede pagar que le reporte la mayor utilidad.
1. Demostrar que .
R: Por definición, la curva de indiferencia representa la combinación de bienes que dejan al individuo indiferente, es decir, que dejan constante su utilidad. Utilizando esta definición, si reemplazamos , entonces , . Si derivamos a ambos lados obtenemos la demostración.
0 Despejamos y queda demostrado lo pedido.
2. Demuestre que si aplica una transformación a la función de Utilidad, la TMS no cambia. Dé ejemplos de transformaciones posibles.
R: Si aplicamos la transformación, entonces nos queda una nueva función de Utilidad de la forma , , . Obtenemos la TMS de aplicando Regla de la Cadena: Ejemplos de transformaciones crecientes son 4 , ln , √ , , .
3. Suponga que un bien es consumido sólo por tres personas y las tres tienen la siguiente función de demanda 10 , donde es el precio de mercado del bien. Demuestra que la elasticidad precio de cada demanda individual es la misma que la elasticidad de la demanda del mercado de este bien. ¿A qué cree usted que se debe esto?
R: La elasticidad precio de la demanda individual está definida por , . Pero 1, así es que , .
Para obtener la Elasticidad de la demanda del mercado, primero agregamos las tres demandas individuales basta con sumarlas porque son iguales :
30 3
Luego 3, con lo que la Elasticidad resulta ,
Este resultado se debe a que la elasticidad es una medida de cambio porcentual. La elasticidad precio mide el cambio porcentual que genera en la demanda un aumento de 1% en el precio. Ya que la demanda de los consumidores es idéntica, el efecto sobre la demanda de mercado será idéntico al efecto sobre la demanda de cada uno.
4. Demuestra que cuando todos los pecios aumentan en un porcentaje , es lo mismo que el ingreso disminuya en un porcentaje R: La restricción presupuestaria original es Si y aumentan en %, la nueva restricción resulta:
1 1 Si dividimos a ambos lados por 1 : 1 Pero 1 1 1 De lo que se concluye lo pedido.
5. Ángela desea armar una cinemateca en su casa y piensa partir comprando sus películas favoritas. A ella le gustan mucho las películas de Román Polansky y de Quentin Tarantino y para adquirir algunas de ellas cuenta con un presupuesto de $100. Luego de cotizar en distintas partes, concluye que las películas de Polansky le costarán $10, mientras que las de Tarantino le costarán $15.
a ¿Cuántas películas de Polansky podrá comprar si no compra ninguna de Tarantino? ¿Cuántas de Tarantino si no compra ninguna de Polansky?
R: Con 0, la restricción presupuestaria queda . Despejamos y reemplazamos valores, llegando a 10. Es decir, podrá comprar 10 películas de Polansky si no compra ninguna de Tarantino.
Con 0, la restricción resulta . Despejamos y reemplazamos valores, llegando a 6.66. Pero las películas son bienes discretos, así que sólo podrá comprar 6 películas de Tarantino si no compra ninguna de Polansky.
b Suponga que las películas son bienes continuos. Grafique la recta presupuestaria, señalando todos sus puntos relevantes. c Si los precios aumentan en un 10%, ¿en cuánto habría que aumentar el ingreso para que la recta no se mueva? R: También en un 10%.
El lado izquierdo de la restricción presupuestaría quedaría, luego del aumento de los precios, 1.1 1.1 . Si aumentamos también el ingreso en un 10$, la restricción total quedaría: 1.1 1.1 1.1 Que es exactamente lo mismo que 6. Aunque fome, necesario. Complete la siguiente tabla: , TMS 10 15 6.66 10
R: , TMS 2 3 ‐2/3 1 1 1 1 1 1 1 2√ 2 2 1 2 1 1 1 1
7. ¿Qué función de utilidad representaría mejor las siguientes preferencias? Justifique y grafique sus curvas de indiferencia.
a No me importa el precio de o de , siempre consumiré el doble de que de
R: El individuo nos indica que no está dispuesto a sustituir ambos bienes, ya que siempre los consumirá en la misma proporción, independiente de los precios. Como no existe ningún grado de sustitución, estas preferencias son de complementos perfectos. Ya que la proporción en que se consumen es de 2:1, la función adecuada sería , min 2 , 1 2
b Entre y siempre escojo sólo el más barato.
R: Estas preferencias son de sustitutos perfectos, ya que el consumidor sustituye completamente su consumo del más caro por el más barato, consumiendo cero del más caro en esos casos solución esquina . Además, se puede deducir que la relación a la que ambos se sustituyen es igual a 1, por lo que la función de utilidad adecuada sería , . En este caso, las curvas de indiferencia son paralelas a la restricción presupuestaria.
c No me importa el precio de y , pues sólo consumiré .
R: En este caso, el consumo de no le reporta ninguna utilidad al individuo. Unas preferencias de este tipo pueden representarse, por ejemplo, por , . Las curvas de indiferencia no serían de esta forma: 8. Demuestre que, por transitividad y monotonía, las curvas de indiferencia no se cortan. R: Podemos demostrar esto por contradicción. Supongamos que las curvas se cortan como en el gráfico: Como las canastas “estrella” y “sol” están en la misma curva de indiferencia:
Como las canastas “estrella” y “felicidad” están en la misma curva de indiferencia: Pero la canasta “sol” tiene más de los dos bienes que la canasta “felicidad”, luego: Pero, por transitividad:
Como llegamos a contradicción, no podemos suponer entonces que las curvas se cortan. Luego, no se cortan. 9. Si , , a ¿Cómo se interpretan los parámetros que acompañan a y ? R: Estos parámetros nos muestran la relación en la que los bienes deben consumirse para brindar el individuo un nivel de utilidad y sin que con ello derroche parte de su ingreso. Es decir, por cada unidades de , el individuo deberá consumir unidades de . Si consume más que eso, estará derrochando ingresos. Si consume menos, no logrará obtener el máximo nivel de utilidad posible para .
b Calcule las demandas para 3, 2 , 1 , 2 e 24
R: Sabemos que para estas preferencias no podemos utilizar la ecuación de Euler para determinan la condición de optimalidad del consumo. Por eso, lo resolvemos analíticamente: 3 2 2 3 Reemplazamos en la restricción presupuestaria: 2 3 2 24 72 8 9 6 10. La familia Rodríguez cuenta con un presupuesto mensual de $20.000, el cual destina a pagar el alimento y la cuenta del celular . La unidad de alimento les cuesta $500
500 y para sobrevivir un mes completo deben comprar por lo menos 10 unidades.
a Escriba la restricción presupuestaria de la familia si la compañía decide no cobrarle nada a la familia por el uso de los celulares. ¿Cuánto consumirá de alimento en este caso?
R: De la información que se nos entrega, deducimos que las 10 unidades de alimento son un gasto fijo de la familia y que además 0 . Con ello, la restricción presupuestaria puede representar de la siguiente forma:
ó
15.000
Con $15.000 que les quedan disponibles, la familia podrá pagar 30 unidades más de alimento, es decir, consumirán en total 40 unidades. b Suponga que la compañía al mes siguiente se arrepiente y decide cobrarles una suma fija de $10.000 por el uso de los celulares, independiente de cuánto hablen. ¿Cómo será la nueva restricción presupuestaria y la demanda pro alimento?
R: Los $10.000 son también un gasto fijo, por lo que, al igual que antes, podemos descontarlos del ingreso:
5.000
Por tanto, la familia podrá costear 10 unidades más de alimento, consumiendo en total 20 al mes.
c ¿Qué pasa si, además de los $10.000 por el uso de los celulares, la compañía decide cobrar $100 por cada minuto hablado?
R: En este caso, tenemos todavía los dos gastos fijos 10 unidades de alimentos y $10.000 por el uso de los celulares de la familia , pero cada unidad de ahora cuesta 100. La nueva restricción será 5.000 500 100 5.000 5 50
d ¿Cómo modelaría la restricción presupuestaria si la compañía decide cobrarles un cobro fijo de $12.000 permitiéndole a la familia realizar llamadas gratis y cobrándoles luego $100 por llamada adicional? R: En este caso tendríamos un gasto fijo total de $17.000, por lo que el ingreso disponible se reduce a $3.000. En base a esto, podemos modelar la restricción como sigue: 500 100 3.000 100 500 3.000 100 11. La función de utilidad de Cristóforo es , √
a Si 9, cuánto debe ser para que la utilidad de Cristófolo sea U 3?
R: Debemos obtener primero la curva de indiferencia, la que nos señala cuáles son las combinaciones posibles de y que reportan a Cristóforo una utilidad de 3.
3 9/
Luego, si 9, debe ser 1, de modo que nos situemos en la curva de nivel de la función de utilidad cuando ésta es igual a 3. b ¿Cuál es la pendiente de la curva de indiferencia en el punto , 9,1 ? Obtenga la TMS de sustitución de las dos formas que usted conoce y compare resultados R: Derivando la curva de indiferencia 9,1 9 1 9 Con las Utilidades Marginales 9,1 9,1 9,1 0.5 0.5 1 9
12. Si un consumidor tiene la siguiente función de utilidad Cobb‐Douglas , . Muestre que el consumidor gasta siempre la misma proporción del ingreso en cada bien.
R: Las demandas de la función Cobb‐Douglas ya las hemos derivado, son , y , . Pero estas demandas las podemos escribir así:
1
La parte izquierda de ambas ecuaciones nos muestran el gasto que realiza el individuo en cada bien. El lado derecho nos muestra que el consumidor siempre gastará el % de su Ingreso en y el 1 % en . Esta es una propiedad particular de la función Cobb‐ Douglas. 13. En un cierto mercado, la curva de demanda total está dada por 10 a ¿cuál es la Elasticidad Precio de esta Demanda si P 5? R: La Elasticidad Precio se define como , . Pero 1. Luego , 1 10
Luego, cuando P 5 la Elasticidad Precio de la Demanda es ‐1 elasticidad unitaria
b ¿Cómo cambia la elasticidad en valor absoluto a lo largo de la curva de demanda? Grafique.
R: La Elasticidad Precio que obtuvimos es decreciente en P, o creciente en valor absoluto. Mientras menor es el precio, menor es la elasticidad en valor absoluto. En el límite, cuando 0, , 0. Además, para el precio máximo 10 cuando 0 la gente no demanda porque el precio es demasiado alto. Ese precio en ese caso es 10 ,
, ∞, ya que el denominador de la elasticidad se va a cero. Para graficar, obtenemos la función de demanda inversa 10 c ¿Por qué sucede esto si la pendiente de la curva es la misma en todos los puntos?
R: Esto sucede porque lo que varía es la tasa . Cuando es muy grande, por ejemplo 10 , una disminución de un 1% en el precio es, en cantidades, una disminución muy grande de 10 a 9.9 . Por lo mismo, la demanda en este caso reacciona bruscamente y la elasticidad tiende a infinito la elasticidad es justamente la reacción de la demanda frente a un cambio en el precio . Cuando el precio es algo menor, por ejemplo 8, una disminución de un 1% implica que el precio baja, ya no en 0.1 sino en 0.08. Como el cambio en el precio es menor que cuando 10, la reacción de la demanda también será menor en este caso , 4 . Cuando el precio se encuentra en un nivel
medio, 5, una disminución de un 1% implica una disminución en 0.05 de 5 a 4.95 que es todavía menor. De hecho, es en este caso cuando tendremos una elasticidad unitaria , 1. Cuando el precio es bajo al precio medio, 2, la disminución de un 1% implica una disminución en el precio de 0.02, frente a lo cual la demanda reacciona todavía menos , 0.25 . En el límite, cuando 0, un precio menor no es posible, por lo que tampoco es posible una reacción de la demanda. Entonces , 0. Q 1 , 0 , ∞ , 1 , 1 , 1
4. Esta semana el precio de la bencina aumentara de 600 a 606 pesos. Los estudiosos del tema dijeron que esto haría variar la demanda desde 300 litros por segundo a 299.7. ¿Puede usted, con esta información, deducir cuál es la pendiente de la función de demanda de la bencina?
R: Tomamos la definición de elasticidad precio: , . Sabemos que el precio ha aumentado en un 1% y que, por ello, la demanda ha disminuido en un 0.1%. Esto nos indica que , 0.1. Además, en la situación inicial 2. Por tanto , 0.1 2 , de lo que despejamos 0.05 .
Ejercicios Largos
1. Suponga , : a Obtenga la TMS R: Sabemos que demostrado en Ejercicio Corto 1Podemos resolverlo de las dos formas, pero la más rápida es obteniendo las Utilidades Marginales aplicando la Regla de la Cadena: 1 1 Luego,
b Obtenga la Ecuación de Euler o condición de optimalidad e interprétela. R: La Ecuación de Euler es: La Ecuación de Euler nos muestra cuál es la relación óptima de consumo de los dos bienes, dados los precios del mercado. Esta optimalidad está determinada por la igualdad de las pendientes de la curva de indiferencia y la recta presupuestaria, respectivamente. La explicación de ello es la siguiente: dado que el individuo busca lograr la mayor cantidad posible de utilidad en el consumo que escoge, la canasta óptima estará dada por aquella en que la curva de indiferencia correspondiente se encuentre lo más distante posible del
origen, sin que el gasto implicado en el consumo de esa canasta sobrepase al ingreso del consumidor. La curva de indiferencia más alta que posee una canasta factible el ingreso alcanza para comprarla es aquella para la cual la recta presupuestaria es tangente. Por tanto, en esa canasta el consumidor agota el total de su ingreso, satisfaciéndose con ello la Ley de Walras.
Por último, la Ecuación de Euler se puede también interpretar económicamente de otras dos formas relevantes: una de ellas es que la canasta óptima se caracteriza porque la valoración subjetiva relativa de los bienes que la componen coincide con la valoración relativa que el mercado asigna a estos . La otra, es que el consumidor escogerá la canasta en la que la Utilidad Marginal por peso gastado de cada bien sea la misma. Esto se hace evidente al reescribir la ecuación de la siguiente forma .
c Explique cómo obtendría las demandas. Justifique sus pasos.
R: Para ello despejamos de la Ecuación de Euler cualquiera de los bienes, el que nos resulte más cómodo y reemplazamos en la restricción presupuestaria suponiendo que se cumple la Ley de Walras. Esto lo hacemos porque la Ecuación de Euler sólo nos entrega una “relación” óptima de consumo de los bienes, dados los precios. No nos puede indicar cuál será la demanda final porque, como visto en el Comente 1, infinitas canastas pueden cumplir esta misma relación de consumo. Por lo mismo, debemos situar esta relación óptima de consumo en la recta presupuestaria específica que enfrenta el individuo, de modo que la canasta óptima agote el total del ingreso del consumidor.
d ¿Qué espera que suceda con las demandas si en vez de maximizar ,
, maximizamos , ?
R: Las demandas serán las mismas, ya que la TMS no cambia. Podemos interpretar la función U como una transformación de la función U’ que no modifica las preferencias del consumidor representadas en la función original. Ver Ejercicio Corto 2 e ¿Qué sucede si hacemos tender a 1? R: La función de utilidad se transforma en una de sustitutos perfectos. lim
2. Para la función , :
a ¿Qué tipo de preferencias representa esta función? ¿Qué particularidad tienen esas preferencias?
R: Las preferencias son de sustitutos perfectos. Cuando un consumidor considera dos bienes como sustitutos perfectos, quiere decir que, para él, ambos bienes son exactamente iguales. Lo que le importa, en ese caso, es la cantidad total de bienes que consume, no cuánto consume de cada uno. b Obtener la TMS y explicar el resultado. R: Luego, . La TMS no depende de la razón de bienes, es constante. Esto se debe a que, en preferencias de sustitutos perfectos, el consumidor está dispuesto a sustituir ambos bienes a una tasa constante, independientemente de la cantidad que ya se encuentre consumiendo de cada bien. Esta es una particularidad de los sustitutos perfectos, ya que las preferencias estrictamente convexas se caracterizan porque el consumidor estará dispuesto a ceder más de un bien mientras más se encuentre consumiendo de éste, con el objeto de obtener una unidad adicional del bien que consume menos.
c ¿Qué debe suceder para que el individuo consuma cantidades positivas de ambos bienes solución interior
R: Si se satisface la ecuación de Euler tendremos infinitas soluciones interiores. Esto sucede cuando O equivalentemente cuando d Obtener las Demandas y fundamentar la respuesta
R: Como tenemos una función de utilidad de sustitutos perfectos, la utilidad no necesariamente se maximiza si existe tangencia entre la recta presupuestaria y curva de indiferencia. Esto implica que hay dos soluciones de esquina posibles además de las infinitas soluciones interiores, dependiendo de la razón de precios del mercado. , 0, 0 ⁄ , ⁄ ,
Si , diremos que el bien 2 es relativamente más barato, por lo que el consumidor sustituirá totalmente por , consumiendo en consecuencia 0.
Si tenemos infinitas soluciones interiores, ya que la recta presupuestaria es idéntica a la curva de indiferencia. Si , entonces será el bien 1 el que se haya vuelto relativamente más barato, por lo que el consumidor decidirá destinar el total de su ingreso a comprar este bien. Para el bien 2, la demanda será, análogamente, , 0, 0 ⁄ , ⁄ ,
3. En la comuna de Las Condesinas, los vecinos deben pagar $38.000 mensualmente para regar las áreas verdes comunes y mantener en buen estado el pavimento I 38.000 . Por una unidad de “área verde bien cuidada” , la municipalidad debe pagar $2.000 2000 , mientras que por una unidad de “pavimento bien cuidado” , paga $1.000 1000 . Si todos los vecinos tienen las mismas preferencias por las áreas verdes y el pavimento, representadas por , , entonces:
a ¿Qué sucede si 0? ¿Qué sucede si 0? Compare e interprete ambos casos
R: Si 0, los vecinos obtienen utilidad cero, mientras que esto no sucede si 0. Podemos interpretar esto diciendo que el pavimento en buen estado es un bien “de vida o muerte” para los vecinos, que no pueden vivir tranquilos si existen “eventos” en las calles. Las áreas verdes bien cuidadas les reportan utilidad 0 , ya que sacan a los hijos y los perros a pasear, pero pueden vivir sin ellas. b Obtenga la ecuación de Euler. R: La TMS de cada vecino es: 1 Luego, la Ecuación de Euler es 1 c Obtenga las Demandas R: Despejamos 1 . Luego reemplazamos en la restricción presupuestaria: 1 , 2
, , Si reemplazamos esta demanda óptima en 1 , obtendremos , , 2 2 Reemplazamos valores: 36000 4000 9 40000 2000 20
d ¿Son y bienes normales? R: Las pendientes de las curvas de Engel son 0 y 0. Con respecto al ingreso, ambos bienes son normales, ya que son crecientes en ingreso. e ¿Las preferencias de estos bienes son homotéticas? Dibuje la curva de Engel de ambas demandas. R: pendientes no dependen del ingreso, por lo que la curva de Engel es una línea recta, lo que implica que las preferencias son homotéticas. Ambas curvas son muy planas, pero la del bien 1 es más plana que la del bien dos porque tiene pendiente menor.
f Suponga ahora que la municipalidad ha decidido subsidiar a los vecinos el 50% del precio de mantenimiento de las áreas verdes, por lo que ahora 1000. ¿Qué pasa con la recta presupuestaria de los vecinos? Explique y Grafique.
R: Al disminuir uno de los precios de la recta presupuestaria, ésta se abre por un costado hacia afuera, disminuyendo su pendiente. g Obtenga las nuevas demandas. ¿Qué ha sucedido con ellas? Explique. R: Las nuevas demandas las obtenemos simplemente reemplazando los nuevos precios en las funciones de demanda generales. , 2 37000 2000 18.5 , 2 39000 2000 19.5
La demanda del bien 1 ha aumentado considerablemente, mientras que la del bien 2 ha disminuido pero en una pequeña medida. Esto se debe a que la disminución de generó una sustitución del bien 2 por el 1, ya que el 1 se ha vuelto relativamente más barato
Efecto Sustitución . h Calcule la Utilidad de los vecinos antes y después del subsidio. ¿Qué ha sucedido con ellas? Explique. R: En el caso inicial, las utilidades son 9 20 20 200, mientras que después del subsidio, las utilidades son 18.5 19.5 19.5 380.25. La utilidad de los vecinos ha aumentado mucho, lo que nos muestra que, además de un Efecto Sustitución, ha habido un Efecto Ingreso, ya que al disminuir el precio ha aumentado la cantidad de bienes 1 y 2 que los vecinos pueden comprar si hubiese sólo sustitución nos estaríamos trasladando a otro punto de la misma curva de indiferencia, o, equivalentemente, no cambiaría la utilidad de los consumidores . Esto les ha permitido alcanzar una curva de indiferencia más alta. i Obtenga el Efecto Total que generó en las demandas el subsidio
El Efecto Total Efecto Sustitución Efecto Ingreso se obtiene simplemente mediante la diferencia en las demandas.
∆ 9.5 ∆ 0.5
j Obtenga las Curvas de Indiferencia y grafique el escenario previo y posterior a la aplicación del subsidio.
Para graficar, nos conviene primero obtener la curva de indiferencia para conocer su forma.
Para 1, 1, luego la curva de indiferencia es . De aquí obtenemos:
y
Claramente la pendiente de esta función es negativa disminuye con . Pero además es convexa, ya que la segunda derivada es positiva. Entonces graficamos. 4. Las preferencias de Raimundo por el futbol y el básquetbol pueden representarse por la siguiente función de utilidad: , √ . a Obtenga una expresión para las curvas de indiferencia y grafíquelas
R: Fijemos una expresión general para la utilidad: , . Entonces √ . Despejamos y obtenemos una expresión general para las curvas de indiferencia. / Ya que esta función es una caso particular de la Cobb‐Douglas, en que 1/2, sabemos que estas curvas de indiferencia tienen pendiente negativa y son estrictamente convexas. Luego, podemos graficarlas como sigue, 2 1 20 19.5 9 18.5 38 19 38
b Obtenga e interprete la pendiente de la curva de indiferencia
La pendiente de la curva de indiferencia es lo que llamamos la Tasa Marginal de Sustitución. La TMS nos muestra la relación a la que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por otro en cada punto de la curva de indiferencia. Ésta es siempre negativa, lo que nos indica que para obtener una unidad marginal adicional de un bien debemos “renunciar” a unidades del otro bien. Pero además, en esta función la pendiente es creciente cada vez menos negativa , o, equivalentemente, es creciente en valor absoluto. Esto nos muestra que, mientras más consumimos de un bien, más estamos dispuestas a ceder de éste por obtener una unidad marginal adicional del otro. Por ejemplo, si consumimos mucho , la pendiente de la curva se hace cada vez más cercana a cero, lo que nos muestra que para obtener una unidad marginal adicional de estoy dispuesto a ceder muy poco de esta es la interpretación de . Si damos vuelta el gráfico y obtenemos la curva de indiferencia como , entonces, al consumir mucho de , ∞, lo que interpretamos al revés: por una unidad adicional de el consumidor pretende renunciar a mucho de . En este caso, la TMS es: Podemos obtenerla también directamente de la curva de indiferencia ver Ejercicio Corto 1 . Para ello, derivamos la curva: Esta expresión, aunque luce distinta a la que ya derivamos, es exactamente la misma. Basta con reemplazar nuevamente la curva de indiferencia / . 1
c Encuentre otra función de utilidad que represente las preferencias de Raimundo
R: Existen muchas funciones posibles. Una de ellas es . De hecho, podemos interpretar √ como una transformación de que no modifica el orden de las preferencias. Otra función posible sería . Esto equivale a elevar a 4 la función
. d Obtenga las demandas de y R: Primero obtenemos la Ecuación de Euler. Despejamos . Reemplazamos esto en la restricción presupuestaria.
, 2 Pero , luego , e Obtenga la Elasticidad Precio , ¿Qué información obtiene de ellas? R: La Elasticidad Precio se define como , . Para el bien 1: . Luego , 2 2 2 2 1 Para el bien 2: . Luego , 2 2 2 2 1
Lo primero que podemos decir es que tanto como son bienes ordinarios satisfacen la Ley de Demanda , puesto que sus elasticidades precio son negativas aumenta el precio y disminuye la demanda . Ademas, ambos son bienes un elasticidad precio unitaria, lo que nos indica que ante un cambio de un 1% en sus precios, las demandas de ambos bienes reaccionan variando en el mismo 1%. f Obtenga la Elasticidad Ingreso , de ambas demandas. ¿Qué información obtiene de ellas? R: La Elasticidad Ingreso se define como , . Para el bien 1: . Luego , 1 2 2 1 Para el bien 2: . Luego , 1 2 2 1 Ambos bienes son normales, ya que sus demandas aumentan cuando aumenta el ingreso del consumidor. Además, las elasticidades son también unitarias, lo que muestra que las demandas aumentan en la misma proporción que el ingreso.
5. Suponga que cuatro personas en el mundo Pedro, Juan, Diego y Lucas compran los completos de “La Pica’ del Tío Lucho”. Suponga también que todos tienen los mismos ingresos y que sus funciones de demanda por los completos del lugar son: , 3 2 , 0.2 0.5√ , 2 2 , 2 3
Donde es el precio de los completos y el precio del churrasco en La Pica’ del Tío Lucho y A, B, C y D son constantes.
a ¿Cómo se comportan estas demandas en relación al ingreso?
R: Para Pedro y Juan, los completos son un bien normal, pero para Juan son también un bien necesario, ya que su demanda por completos aumenta menos que proporcionalmente con su ingreso de hecho, la curva de Engel es cóncava porque la segunda derivada parcial de la función de demanda con respecto al ingreso es negativa: 0 . Pedro, en cambio, tiene preferencias homotéticas respecto de los completos, pues cuando el ingreso aumenta, la demanda aumenta siempre en una misma proporción.
Para Diego y Lucas, en cambio, los completos de esta Pica’ son bienes inferiores: al aumentar el ingreso, su demanda disminuye.
b ¿Satisfacen la Ley de Demanda?
R: La Ley de Demanda nos dice que ésta disminuye cuando aumenta el precio del bien. En los cuatro casos, esto se cumple, ya que las demandas son decrecientes en el precio. Por tanto todas ellas satisfacen esta Ley.
c ¿El completo y los churrascos son sustitutos o complementos?
R: Para Pedro, Juan y Lucas los churrascos y completos son sustitutos no perfectos , pero a Diego le gusta comer ambas cosas juntas, por lo que él considera que son complementos. En este caso, además, son complementos perfectos, ya que el precio de ambos bienes influye de igual forma sobre la demanda. De hecho, si reescribimos la demanda de diego como 2 , podemos deducir que lo que a Diego le importa es el precio de ambos bienes juntos, puesto que nunca comprará uno sin el otro.
d Suponga ahora que tanto el precio de los churrascos como el ingreso de los cuatro clientes es constante. ¿Cómo reescribiría sus funciones de demanda? R: Podemos partir por reescribir las ecuaciones de la siguiente forma, expresando como a una variable z cualquiera que no varía en el tiempo está fija :
3 2 0.2 0.5 2 2 2 3
Como y ahora son constantes, podemos redefinir: 2 0.2 0.5 2 3
Por tanto, las nuevas demandas, con precios del churrasco e ingresos fijos, se pueden expresar como demandas lineales simples: 3 2 2 e ¿Cuál es la Elasticidad Precio de cada Demanda, si 6, 2, 8 y 8? R: La elasticidad precio corresponde a , . Para Pedro, 3, luego , Para Juan, 1, luego , Para Diego 2, luego , Para Lucas 2, luego , f ¿Cuál es la función de demanda total de La del Tío Lucho, para los mismos valores de A, B, C y D?
R: Si 2 Pedro no compra. Si 2 Juan no compra. Si 4 Diego no compra. Si 4 Lucas no compra. Luego, la demanda total se puede desglosar en: , 2 , 2 4 0, 4 Pero: 24 8 16 4 Luego 24 8 , 2 16 4 , 2 4 0, 4 g Grafique la Demanda de Mercado con todos sus puntos relevantes 6. Suponga una función de demanda de mercado 24 8 a ¿Cuál es la Elasticidad Precio de la demanda del mercado? R: 8, luego , b Obtenga la función de demanda inversa. R: Muy sencillo. Simplemente damos vuelta la función 24 4 2 8 ‐8 ‐4
