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CAMBIOS SENCILLOS DE SISTEMA DE REFERENCIA
En nuestro estudio de la Geometría hemos escrito ecuaciones para rectas cualesquiera del plano y para circunferencias cualesquiera. Sin embargo, al enfrentarnos a elipses, hipérbolas y parábolas hemos realizado importantes restricciones: el centro o el vértice debe estar en el origen y el eje principal (el que contiene los focos) debe ser el de abscisas. ¿No podemos por tanto escribir ecuaciones de cónicas como las de la figura siguiente?
Las técnicas de cambio de Sistema de Referencia nos permiten resolver este problema. Por así decirlo: No son las cónicas las que están "giradas" o "trasladadas" respecto de los ejes de referencia, sino que son los ejes de referencia los que se encuentran "girados" o "trasladados" respecto a los ejes y centro de la cónica.
4.1 Traslación
En la figura observamos un fragmento del Plano Euclídeo en el que se ha destacado un punto, al que llamaremos P.
No podemos nombrarlo mediante 2 coordenadas hasta que no fijemos un Sistema de Referencia.
Normalmente asumimos que el Sistema está prefijado. Cuando decimos, por ejemplo, A=(7,-2) está ímplicita la frase "respecto al sistema de referencia prefijado"; de la misma forma que cuando preguntamos por el nombre de un objeto ímplicitamente nos referimos a "su nombre en castellano".
Cuando trabajamos con dos Sistemas de Referencia simultáneamente es necesario especificar a cuál de ellos nos referimos al dar las coordenadas de un punto. Suele escribirse: P = (5,3)O=(2,1)O'
Notamos sin embargo que no es difícil crear un «diccionario O - O' / O' - O» que permita relacionar las observaciones efectuadas desde ambos sistemas. Basta observar las coordenadas con que O sitúa a O' En el ejemplo se tiene O' = (3,2)O. Por tanto podemos escribir:
Puede pensarse también que un mismo observador se traslada de O a O', y compara los datos medidos desde ambos puntos. La diferencia con la situación en la que hay dos observadores simultáneos es, a efectos matemáticos, meramente psicológica.
En general, si O' = (a,b)O la relación entre ambos sistemas coordenados vendrá dada por las ecuaciones:
Que son las Ecuaciones de Cambio de Coordenadas (por traslación).
Ejemplo: uso de la traslación para escribir la ecuación de una circunferencia.
Imaginemos que solo sabemos escribir ecuaciones de circunferencias centradas en el origen.
Es decir, conocido su radio, R, la ecuación es x2 + y2 = R2.
Sin embargo, queremos escribir la ecuación de la circunferencia de la figura, cuyo centro es (3,2).
No está centrada en los ejes dados, pero siempre puedo olvidarme de estos ejes y colocar un sistema de referencia que resulte más conveniente. En la siguiente figura
aparecen los nuevos ejes x', y'. P
y'
x'
y
x
O'
O
2 1
3 2
3 5
P=(5,3)
P=(2,1)
x' = x - 3 y' = y - 2
x = x’ + 3 y = y’ + 2
x' = x - a y' = y - b
x = x’ + a y = y’ + b
2 = 5 - 3 1 = 3 - 2
5 = 2 + 3 3 = 1 + 2
2
La circunferencia está centrada respecto a estos nuevos ejes, así que puedo escribir simplemente x' 2
+ y' 2 = R2.
Desde luego esta no es la respuesta definitiva. Pero ahora basta sustituir x' e y' utilizando las Ecuaciones de Cambio de Coordenadas. Se obtiene (x - 3)2 + (y -
2)2 = R2.
Ecuación que coincide con la que podríamos haber escrito directamente, puesto que de hecho sí que sabemos escribir ecuaciones de circunferencias cualesquiera.
Podemos aplicar la técnica del ejemplo a cualquier cónica, y de hecho a cualquier figura plana de la cual conozcamos su ecuación una vez la figura se traslada al origen de coordenadas.
En la figura aparecen las cónicas trasladadas a un nuevo centro de coordenadas C = (x0,y0)O. A partir de las ecuaciones ya estudiadas para cónicas centradas en el origen podemos deducir sus ecuaciones canónicas, que escribimos debajo.
Estas ecuaciones pueden escribirse y encontrarse en forma expandida, como veremos en los ejemplos.
Ejemplos:
a) Calcula la ecuación de una elipse cuyo eje focal es paralelo al de abscisas, centrada en (-1,5) y con semiejes de longitudes 4 y 8.
Se tiene: a = 8, b = 4, x0 = -1, y0 = 5. Por tanto la ecuación es 1 16
2 ) 5 ( 64
2 ) 1 (
y
x
Multiplicando por 64: (x+1)2 + 4(y-5)2 = 64
Desarrollando los cuadrados y reordenando: x2 + 4y2 +2x - 40y + 37 = 0. y
x
x' y'
2
3
1 ) (
) (
2 2
2 2
0
0
b y y
a x x
1 ) (
) (
2 2
2 2
0 0
b y y
a x
b) Calcula el centro y los elementos de la hipérbola 4x2 - 9y2 - 8x + 36y - 68 = 0.
Deberemos reducir la ecuación a forma canónica y comparar con la fórmula. Para llevar esto a cabo seguiremos el procedimiento de completar cuadrados.
Reordenando y agrupando por variables: (4x2 - 8x) - (9y2 - 36y) - 68 = 0.
Sacamos factor común en cada paréntesis para dejar las variables cuadráticas con coeficiente igual a 1: 4(x2 -2x) - 9(y2 - 4y) - 68 = 0.
Añadimos dentro de cada paréntesis la cantidad necesaria para completar el cuadrado perfecto, compensándolos al final: 4(x2 -2x+1) - 9(y2 - 4y+4) - 68 -4
+36 = 0.
Factorizamos los cuadrados perfectos y escribimos el término independiente a la derecha:
4(x-1)2 - 9(y-2)2 = 36.
Dividimos entre el término independiente:
Una vez obtenida la ecuación canónica resulta claro que C=(1,2), a = 3, b = 2, c =
13.
4.2 Intercambio de ejes. Giros 900, 1800 y -900
En la figura aparecen dos observadores situados en el mismo punto O = O'. Sin embargo el observador' obtiene sus ejes de referencia x' e y' aplicando un giro de 900 en sentido antihorario a los ejes x e y del primer observador.
Ambos observan al famoso punto P y anotan sus coordenadas respecto a sus Sistemas de
Referencia.
Podemos escribir pues que P = (3,2)O= (2,-3)O'
Nos damos cuenta de que en particular el cuadrante que para O resulta el I es el IV para O', el II para O es el I para O'...
Así mismo observamos que si O y O' comparan la orientación de sus ejes, el semieje positivos de las x, x(+), resulta coincidir con el semieje negativo de las y', a la vez que y(+)
coincide con x'(+).
Con todo esto, estamos convencidos que el alumno aceptará sin necesidad de más argumentos la validez del siguiente «diccionario O - O' / O' - O»
Que son las ecuaciones de cambio de coordenadas (por giro de 900)
1 4
) 2 ( 9
) 1
( 2 2
y
x
2 P
y
x O
3
P=(3,2)
x'
O '
2
P
y'
3
P=(2
,-3)
I
IV
Ejemplo: Escribir la ecuación canónica de la cónica representada:
Vemos que el eje focal coincide con el eje de las y, puesto que en una elipse el eje focal siempre es el mayor. Para saber escribir la ecuación necesitamos precisamente unos ejes x' e y' como los de O'. Una vez situados la ecuación es:
Si utilizamos las ecuaciones de cambio de coordenadas, obtenemos:
Puesto que los cuadrados cancelan cualquier signo (-). Alternativamente:
O bien, multiplicando por 9: 9x2 + y2 - 9 = 0.
Siguiendo el anterior procedimiento en general podemos escribir las ecuacionescanónicas
de cualquier elipse o hipérbola cuyo eje principal (que es el que contiene los focos) coincida con le eje y.
Bajo la figura aparecen las ecuaciones correspondientes
Nota:
En el caso de la elipse, a, el semieje focal, siempre es mayor que b. Esto permite decidir a partir de la forma canónica de una elipse si esta presenta eje focal horizontal o vertical.
Por ejemplo: 1
4 9
2 2
y
x
tiene eje focal horizontal,
mientras que 1
16 3
2 2
y
x
lo tiene vertical
1 1
' 9
'2 2
y
x
1 1 9
2 2
x
y
1 9 1
2 2
y
x
1 2 2
2 2
a y
b x
1 2 2
2 2
b x
, 1 4 9
2 2
y
x
1
25
16
2 2
y
x
, 1 4 9
2 2
x
y 1
25 16
2 2
x
y
En el caso de la hipérbola puede darse que b > a o que a > b tanto si la hipérbola es horizontal como si es vertical. Cuál de las dos orientaciones se dé depende de la variable cuadrática a la que antecede el signo menos en la forma canónica. Por ejemplo
tienen eje principal horizontal, mientras que lo tienen vertical
El caso de la parábola, que no tiene la simetría de elipse e hipérbola, presenta más posibilidades.
Los giros pueden ser de 900, 1800 y -90o, como ilustran las figuras de la página siguiente. El problema se resuelve de manera análoga, encontrándose relaciones entre sistemas de referencia que se hayan girados unos respecto a otros las cantidades de grados
mencionadas:
Aplicando dichos cambios de coordenadas se obtienen las ecuaciones que escribimos bajo las figuras:
Siendo p en todos los casos el parámetro de la parábola = d(foco, directriz) x = -x'
y = -y', para el giro de 1800
x = y'
y = -x', para el giro de -900
4.3 Resumen de fórmulas de Elipse, Hipérbola y Parábola
Por supuesto los métodos de traslación y rotación de ejes pueden aplicarse uno a continuación del otro para obtener ecuaciones canónicas de cónicas con eje principal vertical y cuyo centro no es el origen.
La siguiente tabla de ecuaciones canónicas se escribe a modo de resumen y para facilitar una visión global del alumno. NO pretende ser memorizada. Razónense las fórmulas según los procedimientos expuestos.
CÓNICA EJE PRINCIPAL FÓRMULA
Elipse
Horizontal ( ) ( 2 ) 1
2
2 2
0
0
b y y a
x x
Vertical ( ) ( 2 ) 1
2
2 2
0
0
a y y b
x x
Hipérbola
Horizontal ( ) ( 2 ) 1
2
2 2
0
0
b y y a
x x
Vertical ( ) ( 2 ) 1
2
2 2
0
0
b x x a
y y
PARÁBOLA
EJE Y ORIENTACIÓN FÓRMULA
x(+) (y-y0)2 = 2p(x-x
0)
y(+) (x-x0)2 = 2p(y-y
0)
x(-) (y-y0)2 = -2p(x-x0)
Ejemplos: Establece el tipo de cónica y su orientación. Calcula sus elementos.
a) x2 + 2x +4y -7 = 0
Se trata de una parábola con eje vertical, porque la variable y no aparece al cuadrado. Por tanto transformaré la ecuación en busca de la forma canónica (x-x0)2 = 2p(y-y0)
x2 + 2x = -4y +7 agrupando la parte de la variable cuadrática a la izquierda
x2 + 2x +1 = -4y +8 = 0 completando el cuadrado y compensando en el otro lado
(x+1)2 = -4(y-2) factorizando ambos miembros.
Una vez en forma canónica se observa que la orientación del eje es negativa, que el parámetro es p=2, y que por tanto la mediatriz tiene ecuación y = 1. Su centro es C =(-1,2).
b) 20x2 + 12 y2 -20x -24y - 43= 0
Se trata de una elipse, pues los coeficientes de x2 e y2 son ambos positivos.
Buscamos por tanto la forma canónica de una elipse.
(20x2 -20x) + (12 y2 -24y) - 43= 0 agrupando variables
20(x2 -x) + 12(y2 -2y) - 43= 0 dejando coeficiente 1 en las variables
cuadráticas
20[x2 -2(1/2)x + 1/4] + 12(y2 -2y +1) - 43 -5 -12= 0 completando cuadrados y
compensando
20[x -(1/2)]2 + 12(y-1)2 = 60 factorizando los cuadrados y aislando el término
indep.
dividiendo entre 60.
Así obtenemos la ecuación canónica, de la que podemos deducir:
La elipse tiene eje principal vertical, puesto que 5 > 3. a = 5, b = 3, c = (52 - 32) = 4
C = (1/2,1)
F=(0,4)+ (1/2,1) = (1/2,5) ; F'=(0,-4) + (1/2,1)=(1/2,-3); A=(0,5) + (1/2,1)=(1/2,6) ; A'=(0,-5) + (1/2,1)=(1/2,-4); B=(-3,0) + (1/2,1)=(-5/2,1) ; B'=(3,0) + (1/2,1)=(7/2,1).
1
5
)
1
(
3
2
1
2 2
