Acerca del tratamiento de la Razón de cambio
Lic. Luis Hurtado Mondoñedo1
Introducción
Uno de los tipos de problemas que son frecuentes presentar en las sesiones de clase son los de enunciado verbal. Estos corresponden, por lo general, a problemas de “aplicación” que describen una situación de la vida real sobre la que tenemos algo por resolver. La experiencia docente indica que este es el tipo de problemas que la mayoría de los alumnos no llega a responder correctamente. La dificultad radica en que el proceso para resolver problemas de enunciado verbal empieza con la comprensión del lenguaje natural empleado y continúa con la interpretación y operación con el lenguaje matemático. Esto es similar a una traducción, donde si bien debemos detectar el significado de determinadas palabras claves, lo más importante es el contexto en el cual se usan las mismas. Uno de los temas de mayor importancia en el curso de análisis matemático de los estudios generales universitarios es el de la derivada de una función y, relacionadas con éste, el de las razones de cambio.
La interpretación de la derivada como una razón de cambio, no siempre es tratada de la misma forma. A diferencia de la educación básica, por lo general, en los estudios universitarios no se hace uso de un solo libro de texto. Es frecuente recomendar una bibliografía del curso donde los estudiantes pueden complementar los temas tratados en las sesiones de clase. El enfoque de los temas tratados en los textos y su redacción deben ser tomados en cuenta al momento de proponer los materiales del curso.
La derivada como razón de cambio
) t (
s 1 y en t por 2 s(t2). La comparación del cambio de la posición ) t ( s ) t ( s
s = 2 − 1
Δ debido al cambio del tiempo Δt =t2 −t1 nos proporciona un promedio de la velocidad del Punto. De esta forma la velocidad promedio es entendida como la razón promedio de cambio de la posición s con respecto al tiempo t , lo que se representa como
t s
Δ Δ
.
En la medida que el intervalo [t1,t2] se acorte, es decir cuando Δt→0, la velocidad promedio se convertiría en instantánea. Podemos decir que la
velocidad instantánea es la razón instantánea de cambio de la posición s con respecto al tiempo t , lo que operativamente se expresa por el siguiente límite
t s lim 0 t Δ Δ →
Δ . La velocidad promedio se mide en un intervalo de tiempo y la
velocidad instantánea se define para un punto determinado en el tiempo. Esta última es una especie de instantánea de lo que está ocurriendo en un instante determinado (Budnick, 1990).
Dado que Δt =t2 −t1 se desprende que t2 =t1+Δt, por lo que el cambio de la posición se puede expresar como Δs =s(t1+Δt)−s(t1) y el límite como
t ) t ( s ) t t ( s
lim 1 1
0 t Δ − Δ + →
Δ . Lo que corresponde a la derivada de la función posición
) t (
s cuando t=t1. De esta forma la razón instantánea de cambio de la posición s con respecto al tiempo t está dada por s ('t).
Extensión del concepto razón de cambio
Si bien es natural pensar en el cambio en términos de dependencia respecto del tiempo, como la posición y la velocidad de un móvil, no es necesario ser tan restrictivo (Thomas y Finney, 1998) también podemos estudiar razones de cambio con respecto a variables que no sean tiempo (Swokowsky, 1987). De acuerdo a esto, si y=f(x), entonces la razón promedio de cambio de y con respecto a x está dada por
x y
Δ Δ
mientras que la razón instantánea de cambio
de y con respecto a x , por f ('x).
la derivada. La derivada f ('a) es la razón instantánea de cambio de y=f(x) con respecto a x cuando x =a.
Expresiones que refieren a la derivada
Como se puede ver existe una clara diferencia operacional entre razón promedio de cambio y razón instantánea de cambio. Del mismo modo semánticamente también existe una diferencia. En una se utiliza el término
promedio y en la otra el término instantánea. Correspondiendo a esta última la interpretación como una derivada. En ocasiones se emplean otras expresiones para referirse a estas. Así para la razón instantánea de cambio (Stewart, 2001¸ Draper y Klingman, 1976) encontramos las expresiones como la razón de cambio instantánea (Venero 2007; Thomas y Finney, 1998; Hoffman y Bradley, 1996; Swokowsky, 1987; Hasser, LaSalle y Sullivan, 1986), tasa de cambio instantánea (Arya y Lardner, 1992), tasa instantánea de cambio (Haeussler, Paul y Wood, 2008; Budnick, 1990), velocidades de cambio instantáneas
(Venero, 2007), intensidad de cambio instantánea (Leithold, 1988) y rapidez instantánea de variación (Granwille, 1996).
De acuerdo a lo anterior, parecería existir una preferencia por la expresión
razón de cambio instantánea. En ella el término instantánea funciona como modificador directo del núcleo razón, al igual que en la expresión razón instantánea de cambio. Luego, ambas expresiones deben ser entendidas del mismo modo. Algo similar ocurre en las expresiones tasa de cambio instantánea y tasa instantánea de cambio. La primera corresponde a
instantaneous rate of change, expresión que se emplea en el idioma Inglés. El sustantivo rate es entendido como tasa, el cual significa relación entre dos magnitudes. Una magnitud es todo aquello que puede ser medido y por tanto representado por números. El término razón significa cociente de dos números, o en general, de dos cantidades comparables entre sí. Luego, en este contexto podemos tomar el término tasa en el mismo sentido que el término
razón. Es frecuente encontrar la expresión razón de cambio sin especificar si se trata de promedio o instantánea. En el lenguaje natural solemos abreviar expresiones, sobre todo cuando ellas son de uso extensivo en un determinado contexto. Por lo general, se suele omitir la palabra “instantánea” en la expresión razón instantánea de cambio y referirse a ella solo como razón de cambio (Haeussler, Paul y Wood, 2008; Thomas y Finney, 1998; Granwille, 1996).
Velocidad y Rapidez
tiempo t, entonces es cuando se emplea la denominación de velocidad de cambio de f(t) respecto al tiempo t en el instante to, que viene a que viene a ser
) t ('
f o ”. De acuerdo con esto, dada una variable y, la velocidad de cambio de y o rapidez de cambio de y está dada por la derivada de y con respecto al tiempo
dt dy .
Ayres (1968) considera que, dada una variable x en función del tiempo t , la
tasa de variación de x en relación al tiempo está dada por dt
dx. Aquí el
término tasa se toma en el sentido de velocidad o rapidez. Arya y Lardner (1992) por lo general emplean el término tasa para referirse a las derivadas con respecto al tiempo, en los otros casos emplean el término derivada. Esto debido a que el sentido del sustantivo rate (tasa) está asociado con speed
(velocidad). En Swokowsky (1989) se emplea el término tasa como sinónimo de
razón y el término variación como sinónimo de cambio y la expresión tasa de variación es frecuentemente remarcada entre paréntesis como razón de cambio. Aquí la velocidad es definida como la tasa de variación de s con (t) respecto al tiempo (su rapidez de variación) y se señala que si x e y son funciones derivables del tiempo, y se encuentran relacionadas por medio de una ecuación – por ejemplo F(x,y)=0 – las razones de cambio respecto al tiempo
dt dx y
dt
dy son llamadas rapideces de variación relacionadas.
Tratamiento de la razón de Cambio
En esta parte comentamos brevemente el tratamiento de este tema en cuatro de los seis libros recomendados en la bibliografía del curso de Análisis Matemático correspondiente al ciclo 2009-I de una universidad peruana.
Texto 1
ARYA, J. y LARDNER, R. (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía 3ra. ed. México, PRENTICE HALL.
No se emplea la expresión razón de cambio sino tasa de cambio. Se distingue entre tasa de cambio promedio y tasa de cambio instantánea. Señala que la tasa de cambio instantánea de una función es un caso de lo que llamamos
derivada de una función. Para introducir el concepto de la derivada, se apoya del concepto de velocidad instantánea de un móvil. Define
t s
Δ Δ
Texto 2
HAEUSSLER, PAUL y WOOD (2008). Matemáticas para Administración y Economía. 12 va. ed. México, PEARSON Prentice Hall.
Partiendo del estudio de la función posición de un objeto f , se señala que el (t) concepto razón de cambio de s con respecto a t se puede extender a cualquier función y=f(x). En sus definiciones llama a
x ) x ( f ) x x ( f x y Δ − Δ + = Δ
Δ como tasa
promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo de x a x+Δx, y
x y lim dx dy 0 x Δ Δ = →
Δ como tasa instantánea de cambio de y con respecto a x . En
este texto el término tasa es usado como sinónimo de razón y se señala que por conveniencia a la razón de cambio instantánea se le llama simplemente
razón de cambio. En los ejercicios cuando pregunta por la rapidez precisa de la variable dependiente y la independiente.
Texto 3
HOFFMANN, L. y BRADLEY, G. (1996). Cálculo aplicado a Administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales. 5 ta. ed. Santafé de Bogotá, Mc GRAW HILL.
En este texto, dada una variable y que es una función de otra variable x , se define la razón media de cambio de y con respecto a x como el cociente de las diferencias x ) x ( f ) x x ( f x en cambio y en cambio Δ − Δ +
= . A medida que el intervalo se acorta, es decir cuando xΔ se aproxima a cero, se indica que “la razón media de cambio se acerca a lo que intuitivamente se denomina razón de cambio instantánea de y con respecto a x y el cociente de las diferencias se aproxima
a la derivada f ('x) o
dx
dy ” (p. 108).
Se habla de razón de cambio instantánea, pero al definirla operativamente solo se menciona razón de cambio obviando la palabra instantánea. Define: Razón de cambio dx dy ) x (' f =
= . En este texto también se considera tasa como sinónimo de razón y en los problemas se puede encontrar distintas formas de formular lo pedido.
Texto 4
BUDNICK, F. (1990). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 3 era. ed. México, Mc GRAW HILL.
que se produce en x , de la notación x y
Δ
Δ que representa la
tasa promedio de
cambio. Se señala que “la derivada es una expresión que representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente cuando se opera un cambio en la variable independiente” (p.583). Tomando como ejemplo la velocidad se indica que mientras la velocidad promedio se mide en un intervalo de tiempo, la velocidad instantánea se define para un punto determinado en el tiempo. Enunciados de problemas
Si los problemas incluidos en los materiales del curso o en las evaluaciones no están redactados en el sentido que fueron trabajados en clase, entonces esto podría dificultar la comprensión del problema. Una de las condiciones para un aprendizaje significativo es que el material debe mostrar una sólida y lógica estructura. Debe ser coherente, claro y organizado. Esto incluye tanto las separatas teóricas como las asesorías, prácticas dirigidas, calificadas y exámenes.
A continuación se presenta una parte de los enunciados – la parte donde se expresa lo pedido - de algunos problemas propuestos en los materiales del curso de Análisis Matemático del ciclo 2009-I de la universidad señalada anteriormente.
E1. Encontrar la razón instantánea de cambio de la Utilidad con respecto al tiempo.
E2. ¿Con que razón cambia el tiempo con respecto al número de trabajadores?
E3. ¿Con que razón varía el número de trabajadores con respecto al número de unidades producidas?
E4. Determinar la rapidez de cambio del precio. E5. Hallar la rapidez de cambio del ingreso. E6. Calcular la rapidez de cambio del Costo. E7. ¿A qué velocidad está cambiando el precio?
E8. ¿Cuál es la rapidez de cambio del precio con respecto a t? E9. ¿Cuál es la rapidez de cambio del ingreso con respecto a t? E10. ¿Cuál es la rapidez de cambio del precio con respecto a x?
utilidad y con t el tiempo, el enunciado E1 se traduce en lenguaje matemático por
dt dU.
Al preguntar ¿con que razón cambia el …? se pregunta por la razón de cambio del … Luego en E2, se nos pide la razón de cambio del tiempo con respecto al número de trabajadores. Según lo descrito anteriormente esto se interpreta como la razón instantánea de cambio del tiempo con respecto al número de trabajadores, es decir por la derivada del tiempo con respecto al número de trabajadores. Si representamos con t el tiempo y con n el número de trabajadores, el enunciado E2 se traduce en lenguaje matemático por
dn dt .
En E3 se pregunta ¿con que razón varía el …? que es equivalente a preguntar
¿con que razón cambia el …?, o lo que es lo mismo por la razón de cambio del
… Luego, se nos pide la razón de cambio del número de trabajadores con respecto al número de unidades producidas. Lo que hemos convenido en interpretar como la derivada del número de trabajadores con respecto al número de unidades producidas. Si representamos con n el número de
trabajadores y con q el número de unidades producidas, el enunciado E3 se traduce en lenguaje matemático por
dq dn .
En los enunciados E4, E5 y E6 tenemos en común la expresión rapidez de cambio. En E4 se nos pide la rapidez de cambio del precio, en E5 del ingreso y en E6 del Costo. A la expresión rapidez de cambio se le da el mismo significado que razón de cambio es decir se trata de una derivada. Pero se diferencia de ella en que solo se especifica una variable, aquella variable que se va a derivar. No se especifica con respecto a que variable se hará la derivación. Sin embargo sabemos bien que siempre se derivada con respecto a alguna variable, y cuando se habla de rapidez esta variable es el tiempo. Luego cuando en E4 se pide la rapidez de cambio del precio, se está pidiendo la derivada del precio con respecto al tiempo. De este modo, si representamos con p el precio, con I el ingreso, con C el costo y con t el tiempo, los enunciados E4, E5 y E6 se traducen como
dt dp,
dt dI y
dt
dC, respectivamente.
En E7 se pregunta ¿A qué velocidad está cambiando el precio? Tomando
velocidad del mismo modo que rapidez, se nos pide la rapidez de cambio del precio. Similar que en E4.
En los enunciados E8 y E9, al igual que en los tres anteriores se nos pide la
derivada con respecto al tiempo. Es aquí donde se presenta la redundancia. Si representamos con p el precio, con I el ingreso y con t el tiempo, los enunciados E8 y E9 se traducen como
dt dp
y dt
dI, respectivamente.
En E10 tenemos ¿Cuál es la rapidez de cambio del precio con respecto a x? En el contexto del problema de donde se tomó este enunciado la variable x representaba algo distinto al tiempo t . Si en las sesiones de clase se hace la precisión que rapidez de cambio significa derivada con respecto al tiempo, entonces encontramos una contradicción en este enunciado, dado que x no representa al tiempo. Si en las sesiones de clase no se hace dicha precisión, entonces los anteriores enunciados E4, E5, E6 y E7 - del mismo material - carecerían de sentido.
Cuestión final
Si bien la matemática es una ciencia exacta y utiliza un lenguaje simbólico y preciso, la forma en que ella es comunicada depende del lenguaje natural en que se apoya. Lo que incluye sus usos y convenciones. El tratamiento de un objeto matemático puede variar de un texto a otro, lo que incluye tanto la nomenclatura empleada como la forma de definirlo. La interpretación de la derivada como una razón de cambio es una muestra de ello. Aunque es legitimo que los distintos autores, al interpretar la derivada, utilicen distintos términos - como razón, tasa o velocidad -, no parece conveniente que en los enunciados de los problemas propuestos por el docente del curso se haga uso de todos ellos. Menos aún si ellos no son considerados del mismo modo en todos los problemas.
Referencias bibliográficas
ARYA, J. y LARDNER, R. (1992). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía 3ra. ed. México, PRENTICE HALL.
AYRES, F. (1968). Cálculo Diferencial e Integral. Río de Janeiro, AO LIVRO TECNICO.
BUDNICK, F. (1990). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 3 era. ed. México, Mc GRAW HILL.
DEMIDOVICH, B y cols. (1984). Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Moscú, Editorial MIR.
DRAPER, J. y KLINGMAN, J. (1976). Matemáticas para administración y economía. México, HARLA.
GRANVILLE, W. (1996). Cálculo Diferencial e Integral. México, LIMUSA Noriega Editores.
HASSER, LASALLE y SULLIVAN (1986). Análisis matemático volumen 1. México, Editorial TRILLAS.
HOFFMANN, L. y BRADLEY, G. (1996). Cálculo aplicado a Administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales. 5 ta. ed. Santafé de Bogotá, Mc GRAW HILL.
LEITHOLD, L. (1988). Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. México, HARLA.
PISKUNOV, N. (1983). Cálculo diferencial e integral, tomo I. Moscú, Editorial MIR.
STEWART, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas 4ta. ed. México, Thomson Learning.
SWOKOWSKY, E. (1989). Cálculo con geometría analítica. 2 da. ed. México, Grupo Editorial Iberoamérica.
SWOKOWSKY, E. (1987). Introducción al cálculo con geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica.
THOMAS, G. y FINNEY, R. (1998). Cálculo de una variable, 9na. ed. México, PEARSON.
