Aspectos teóricos de no linealidad
óptica en un medio atómico
Por:
M.C. Chrystian Gutiérrez Parra
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el
grado de:
Doctor en Ciencias en la Especialidad de
Óptica
En el
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y
Electrónica
Director de Tesis:
Dr. Nikolai Korneev Zabello
Tonantzintla, Puebla.
En este trabajo de tesis se desarrollo un modelo matemático el cual nos permitió obtener, de manera teórica, todas las condiciones posibles bajo las cuales la no linealidad óptica resonante del vapor de rubidio puede ser aumentada, así como su respuesta característica de absorción y las mínimas configuraciones necesarias para obtener esta no linealidad. Reportamos los cálculos de las propiedades no lineales vectoriales del vapor de rubidio para la transición D2 del 87Rb. En el caso general, una combinación de campo magnético y
elipticidad es necesaria para obtener un aumento fuerte y optimo de la no linealidad.
Los cálculos del modelo teórico son basados en la solución directa para la evolución de la matriz de densidad en la línea D2 del 87Rb. El método usado produce una rápida solución de
la dinámica completa para la ecuación maestra de un átomo de rubidio multi-nivel con una buena exactitud. El algoritmo usado es de división de pasos, similar al usado para el modelado de propagación no lineal en medios con no linealidad tipo Kerr, en particular en fibras ópticas. Dicho algoritmo fue implementado en lenguaje C. Las soluciones obtenidas nos permiten observar aspectos como la modulación de fase cruzada, la auto-modulación de fase y la auto-rotación del plano de polarización.
Al realizar el análisis se encontraron los valores óptimos de intensidad, polarización y campo magnético que permitan aumentar los efectos no lineales sobre la luz que se propaga en una celda de vapor de rubidio. Se compararon los resultados con datos experimentales. Se encontraron configuraciones mínimas para la no linealidad, lo cual permite tener una mejor comprensión de la interacción atómica presente en el rubidio. Además se considero el efecto causado por un haz de bombeo adicional, logrando un mejoramiento en la no linealidad presente en el vapor de rubidio, al hacer el análisis de la relación entre la no linealidad y la absorción presente en el medio.
Abstract
In this dissertation, a mathematical model was developed to obtain, theoretically, all possible conditions under which resonant optical nonlinearity of the rubidium vapor can be increased. As well as its absorption characteristic response and minimum settings required to get this nonlinearity. We report calculations of vector nonlinear properties of the rubidium vapor for the D2 transition of 87Rb. In the general case, a combination of magnetic field and ellipticity
is necessary to obtain a strong and optimum increase of the nonlinearity.
Theoretical model calculations are based on direct solution for the evolution of the density matrix in the D2 line of 87Rb. The method used obtains a rapid solution of the master
equation for the rubidium atom multi – level dynamics with good accuracy. The algorithm used is of split step, similar at used for the modeling of nonlinear propagation in nonlinear media Kerr type. This algorithm was implemented in C language. The solutions obtained allow us observe aspects as cross-phase modulation, self-phase modulation and self-rotation of the plane of polarization.
Following the calculations performed, optimal values of intensity, polarization and magnetic field that can increase the nonlinear effects of light propagated in a rubidium vapor cell were found. The results were compared with experimental data. Minimum configurations for the nonlinearity were found, which enables a better understanding of this interaction atomic existent in rubidium. Also consider the effect produces by a pump beam additional, achieving an improvement into nonlinearity existent in the rubidium vapor, when analyzing the relation between nonlinearity and absorption present in the medium.
Dedico esta tesis con mucho cariño y amor a mi esposa Juana, por estar conmigo, por
Quisiera agradecer a mi esposa (mi Yani) y familia por su apoyo y paciencia en esta etapa de mi vida. La cual estuvo llena de cambios, metas y retos que me ayudaron a crecer como persona. Ahora tengo metas aun más grandes gracias a ustedes.
Agradezco a mi asesor el Dr. Nikolai Korneev por su paciencia, por sus consejos y valiosa guía en este trabajo.
A mis sinodales: Dr. E. Kuzin, Dra. Svetlana Mansurova, Dr. Víctor Vysloukh, Dr. Carlos Treviño, Dr. Blas Rodríguez, gracias por sus observaciones.
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (
CONACyT
) por otorgarme la beca, durante todo el desarrollo de mis estudios de posgrado, sin esto sería imposible concluir.Agradezco al Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (
INAOE
), por el cobijo y apoyo otorgado por sus instalaciones, para concluir con mi formación y todo el personal.A Irene, gracias por tu amistad, por tu apoyo, por las pláticas y por tantas cosas más.
Gracias a mis amigos de la uni: Argelia, Armando, Aline, Alfredo y Raúl por su apoyo y amistad.
En lo personal, agradezco a Rosaura, Valentín, Abraham Pacheco, Gisela y Mayra, unos grandes compañeros y amigos del INAOE. Pasamos mucho tiempo estudiando y divirtiéndonos también.
Agradezco a mis amigos Roberto Macín, Roberto Téllez y Marcelino Lozada, por su apoyo y los días de distracción viendo box, jugando futbol y platicando de todo un poco.
Sé que les debo muchos agradecimientos a muchas otras personas, y solo quiero decirles GRACIAS, MUCHAS GRACIAS.
Índice general
INTRODUCCIÓN ... 1
1. EFECTOS NO LINEALES ... 5
1.1AUTO-ACCIÓN DE LA LUZ EN MEDIOS NO LINEALES ... 6
1.1.1 Efecto Kerr óptico ... 6
1.1.2 Efectos Magneto-Ópticos ... 7
1.1.3 Rotación de Faraday ... 9
1.1.4 Auto-rotación ... 10
1.1.5 Auto-modulación de fase ... 11
1.2TRANSPARENCIA INDUCIDA ELECTROMAGNÉTICAMENTE ... 12
1.2.1 Luz lenta ... 12
1.2.2 Luz almacenada ... 13
1.2.3 Detección de fotones de alta eficiencia ... 13
1.3HOLOGRAFÍA DINÁMICA ... 15
1.4SQUEEZING ... 16
2. PROPIEDADES DEL RUBIDIO ... 18
2.1PROPIEDADES ATÓMICAS ... 19
2.2RUBIDIO 87 ... 19
2.2.1 Ancho de línea natural ... 20
2.2.2 Ensanchamiento Doppler ... 21
2.2.3 Perfil de Voigt ... 22
2.3EFECTOS MULTINIVEL ... 23
2.3.1 Los niveles de energía en el rubidio ... 24
2.3.2 Los niveles de estructura fina ... 27
2.3.3 Niveles hiperfinos ... 30
2.4TRANSICIONES ... 32
2.4.1 Efecto Zeeman ... 33
3. EL FORMALISMO MATEMÁTICO ... 35
3.1.3 Operador del momento angular ... 39
3.1.4 Teorema de Wigner - Eckart; la reducción del operador dipolar ... 41
3.1.5 La matriz de densidad ... 44
3.2INTERACCIONES Y LA EVOLUCIÓN DEL SISTEMA ... 46
3.2.1 Ecuación Maestra ... 46
3.2.2 Hamiltoniano con interacción hiperfina ... 47
3.2.3 Interacción con campos magnéticos estáticos ... 48
4. AUMENTO DE LA NO LINEALIDAD USANDO EL MECANISMO VECTORIAL ... 51
4.1MODELO MATEMÁTICO ... 52
4.2MATRIZ DE DENSIDAD ATÓMICA ... 54
4.3RESULTADOS DEL MODELADO NUMÉRICO ... 59
4.3.1 Configuración → , , ... 60
4.3.2 Configuración → , , ... 67
4.4COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS CON UN EXPERIMENTO ... 71
5. CONFIGURACIONES MÍNIMAS PARA OBSERVAR LA NO LINEALIDAD ... 77
5.1TRANSICIONES UNITARIAS ... 78
5.2CONFIGURACIONES MÍNIMAS ... 85
5.2.1 Configuración doble lambda ... 94
5.2.2 Configuración W ... 96
6. MEJORAMIENTO DE LA NO LINEALIDAD UTILIZANDO UN HAZ DE BOMBEO ADICIONAL ... 98
6.1RESULTADOS NUMÉRICOS ... 99
6.2COMPARACIÓN CON RESULTADOS EXPERIMENTALES ... 103
6.2.1 Auto-rotación ... 104
7. CONCLUSIONES ... 109
APÉNDICE A ... 111
APÉNDICE B ... 113
BIBLIOGRAFÍA ... 125
Introducción
El campo de la óptica no lineal explora cómo la interacción entre la luz y un medio modifica las características ópticas del medio. Sus temas abarcan diferentes tipos de efectos, como la generación de segundo armónico, efecto Kerr, así como una amplia variedad de efectos de auto-acción como la auto-modulación de fase o auto-rotación. Si bien el estudio de los efectos no lineales tiene una larga historia, en el campo de la óptica no lineal es relativamente joven. Desde la invención del láser, la óptica no lineal se ha convertido en una parte integral de comunicaciones ópticas, la detección óptica, la espectroscopia y la ciencia de información cuántica. Y con el estudio de la interacción de radiación-materia surgió como una rama activa de investigación.
Los recientes avances en la tecnología óptica han hecho posible controlar las propiedades de un átomo individual a través de la luz láser, y por lo tanto, para crear nuevos medios de comunicación con propiedades ópticas únicas. Una celda con vapor atómico (con la presión muy por debajo de la de la atmósfera) puede superar a los mejores dispositivos de estado sólido, que se utilizan tradicionalmente en la óptica. Bajo la acción de varios campos de luz resonantes con diferentes transiciones atómicas las propiedades del vapor atómico pueden ser alteradas drásticamente. Un buen ejemplo de vapor atómico es el vapor de rubidio.
El vapor de rubidio cerca de la resonancia es un material ópticamente importante. Debido a la estructura atómica relativamente simple (un electrón de valencia) hay una gran cantidad de actividad experimental y teórica que utiliza este elemento. En lo particular, las líneas de transición D1 y D2 se encuentran bien caracterizadas. Se han llevado estudios de luz lenta,
espectroscopia no lineal, transparencia inducida electromagnéticamente, holografía dinámica y “squeezing” utilizando este elemento.
Aunque la cantidad de literatura sobre el rubidio es muy grande, la propagación no lineal de la luz en este material no era un tema de mucha actividad. Y en donde la descripción de este material está prácticamente limitada al modelo de dos niveles simple, que no es válido en la resonancia. Por otro lado, las estimaciones existentes y trabajos experimentales sugieren, que es exactamente cerca de la resonancia, donde uno puede esperar fuertes propiedades no lineales. Por lo que se hace de gran interés poder analizar estos efectos no lineales cuando trabajamos en las transiciones del rubidio, lo cual añade complejidad al estudio y a la vez puede añadir directrices útiles para los experimentos.
En general la descripción teórica de los fenómenos no lineales en un medio atómico, como el rubidio, se realiza usualmente considerando un modelo de dos niveles donde se tiene una no linealidad escalar tipo Kerr. Al considerar más de dos niveles en el átomo, los efectos de coherencia atómica que dependen fuertemente de la polarización de la luz, deben ser considerados y una descripción completa del fenómeno se hace más compleja. Para un estudio más completo se consideran los niveles Zeeman que aparecen cuando un campo magnético es aplicado. Ahora la no linealidad presente es una no linealidad resonante y difiere de la no linealidad tipo Kerr. Los resultados, de los cálculos realizados en este trabajo, muestran que para intensidades moderadas existen valores óptimos para los cuales los efectos no lineales pueden ser incrementados. Esto se logra mediante el ajuste de parámetros tales como el estado de polarización, la intensidad de la luz, el campo magnético y la geometría del haz (mio).
El estudio es complicado, porque la estructura hiperfina de rubidio incluye 24 o 36 niveles para distintos isótopos. Además es necesario utilizar el formalismo de la matriz densidad, que es una herramienta teórica establecida para el estudio de los fenómenos de interacción de la luz con un átomo de multinivel.
Al tener una base solida de la teoría que se tiene del rubidio esto hace atractiva la posibilidad de generar un modelo numérico que nos permita obtener datos y comprender fenómenos que se obtendrían de manera experimental, haciendo una comparación entre
ambos resultados, todo con el fin de estudiar los efectos no lineales que se presentan en estas líneas de transición.
Es por esto que en este trabajo de tesis se estudian las propiedades ópticas no lineales del rubidio cerca de la resonancia. Utilizamos un modelo matemático el cual nos permitió obtener, de manera teórica, las condiciones posibles bajo las cuales la no linealidad óptica resonante del vapor de rubidio puede ser aumentada. Reportamos los cálculos de las propiedades no lineales vectoriales del vapor de rubidio para la transición D2 del 87Rb. El
método usado produce una rápida solución de la dinámica completa para la ecuación maestra de un átomo de rubidio multi-nivel con una buena exactitud. En el caso general, una combinación de campo magnético y elipticidad es necesaria para obtener un aumento fuerte y optimo de la no linealidad. El análisis considera primero un haz de bombeo y después el efecto causado por dos haces. Se compararon los resultados obtenidos con datos experimentales.
El capitulo 1 trata de los efectos no lineales básicos que estudiaremos en esta tesis así como los efectos que utilizan los efectos no lineales como herramienta.
El capitulo 2 consiste en las propiedades del rubidio, los cuales incluyen ensanchamiento Doppler, efectos multinivel, estructura fina, estructura hiperfina y el efecto Zeeman.
El capitulo 3 manifiesta el formalismo matemático utilizado para llevar el estudio y
análisis teórico de esta tesis. Esto incluye la base tensor esférico, relaciones acopladas, expansión de la base, el Teorema de Wigner-Eckart, la matriz de densidad y el hamiltoniano involucrado. Todos estos elementos son utilizados para mostrar el acoplamiento de los niveles hiperfinos existentes, su evolución e interacción de la luz con el medio.
El capitulo 4 muestra los resultados del aumento de la no linealidad usando el mecanismo vectorial. Mostramos el modelo matemático considerado, la matriz de densidad, la
evolución del sistema y los resultados numéricos para después mostrar la comparación con los resultados experimentales.
El capitulo 5 consiste en mostrar las respuestas no lineales cuando tenemos algunas
configuraciones mínimas, es decir, donde intervienen la menor cantidad de niveles Zeeman. En este capítulo encontramos dos configuraciones (W y doble delta) que muestran respuesta no lineal aceptable.
El capitulo 6 muestra el mejoramiento de la no linealidad utilizando un haz de bombeo
adicional cuando esta co- y contra-propagándose dentro del medio. Aquí encontramos respuestas bastante interesantes.
Por último, el capitulo 7 da las conclusiones de este trabajo de investigación en donde mostramos las mejoras de la no linealidad así como el peso que tienen los niveles Zeeman en los efectos.
1.
Efectos
no
lineales
El enfoque principal de esta sección son los efectos no lineales (es decir, efectos en los cuales las propiedades ópticas del medio se modifican por la interacción con la luz). Se describe de manera reducida algunos de estos efectos, como lo son la no linealidad magneto-óptica en vapores atómicos, la relación entre la no linealidad magneto-óptica y una variedad de otros fenómenos y técnicas, tales como la rotación de Faraday, la transparencia inducida electromagnéticamente (EIT por sus siglas en ingles), efectos electro-ópticos no lineales, la auto-rotación, holografía dinámica y squeezing.
Desde la primera observación de los efectos no lineales, muchos materiales han sido investigados en relación con sus propiedades ópticas no lineales [1,2]. Los materiales no lineales se pueden encontrar en los gases y vapores, polímeros, cristales líquidos, solventes orgánicos, cristales, en resumen, en casi todo tipo de materiales.
Un medio dieléctrico lineal se caracteriza por una relación lineal entre la densidad de la polarización P y un campo eléctrico E incidente (de un haz de luz), de la forma , donde es la permitividad del vacío y es la susceptibilidad eléctrica del medio. Un medio dieléctrico no lineal, por otra parte, se caracteriza por una relación no lineal entre P y
E que puede depender de la simetría del medio. Por ejemplo:
(1.1)
En esta polarización no lineal, aparece una susceptibilidad de segundo orden o incluso mayor, y que es la que se toma en cuenta en diversos análisis que involucran efectos no lineales.
La densidad de polarización 〈 〉 es un producto del momento dipolar individual p (el cual es inducido por el campo eléctrico aplicado E) y la densidad de número del momento dipolar N.
Al considerar los efectos no lineales [3], hay que distinguir entre efectos resonantes (donde la frecuencia óptica esta en resonancia con una transición electrónica en el material), no resonantes, e intrínsecos (dados por características propias del material óptico) y extrínsecos (características de acoplamiento y/o interacción) [4,5].
1.1Auto‐accióndelaluzenmediosnolineales
La auto-interacción de haces láser en un medio es uno de los fenómenos más interesantes en la óptica no lineal, dicho fenómeno es debido a cambios en las propiedades del medio las cuales son inducidas por una radiación incidente. Algunos ejemplos de estos fenómenos son el auto-enfoque y el auto-desenfoque en un haz de luz, la auto-rotación del plano de polarización, la auto-modulación de fase, entre otros [6,7]. Si la luz que se utiliza para estudiar la rotación magneto-óptica no lineal es elípticamente polarizada, una rotación óptica adicional puede ocurrir debido a la auto rotación no lineal [8-12]. Este efecto está determinado únicamente por la elípticidad del campo electromagnético de la luz y existe sin algún campo magnético externo. La auto-rotación surge cuando el campo de luz polarizada elípticamente hace que el medio atómico adquiera birrefringencia circular provocando la rotación óptica. Hay varios mecanismos físicos que pueden conducir a la auto-rotación en los medios atómicos. Este efecto puede ser causado por la no linealidad tipo Kerr en sólidos y líquidos [13,14], por bombeo óptico y cambios en el efecto Stark AC en el vapor atómico [15-21] y otros mecanismos.
1.1.1EfectoKerróptico
El efecto Kerr es un efecto óptico no lineal, el cual consiste es un cambio en el índice de refracción de un material en respuesta a un campo eléctrico aplicado, este campo eléctrico
se puede deber a un haz de luz láser. Cuando el índice de refracción para un haz de luz de alta intensidad se modifica se obtiene la siguiente expresión:
∆ (1.2)
siendo n2 el índice de refracción no lineal y la intensidad óptica I. El valor n2 de un medio
se puede medir por ejemplo, con la técnica de z-scan. Hay que tener en cuenta que en adición al efecto Kerr (una no linealidad puramente electrónica), la electrostricción puede contribuir significativamente al valor del índice no lineal [22,23]. El campo eléctrico de la luz causa variaciones de densidad que a su vez influyen en el índice de refracción.
Los cambios del índice de refracción, que dependen del tiempo y frecuencia, conducen a la auto-modulación de fase. Para lograr la modulación de fase cruzada es necesario tener diferentes haces de luz que se superponen. Para algunos haces muy intensos (con un mismo estado de polarización) el índice de refracción efectivo llega a ser más grande que lo que la ecuación 1.2 indica.
A intensidades ópticas extremadamente altas, puede que no haya un aumento adicional del índice de refracción en proporción a la intensidad, pero si puede existir una saturación e incluso una disminución sustancial del índice de refracción [24]. Esto puede entenderse como un efecto de ionización multifotónica que conduce a pérdidas inducidas, las cuales están relacionadas con los cambios de fase adicionales a través de las relaciones Kramers-Kronig [25,26].
1.1.2EfectosMagneto‐Ópticos
Los efectos magneto-ópticos aparecen cuando la luz interactúa con un medio en presencia de un campo magnético. Esos efectos han sido estudiados y usados desde los principios de la física moderna y han tenido un profundo impacto en su desarrollo. Los más prominentes efectos magneto-ópticos son el efecto Faraday y el efecto Voigt, que son debidos a que la
rotación del plano de polarización de la luz se propaga a través de un medio colocado en un campo magnético longitudinal o transversal, respectivamente.
La magneto-óptica juega un papel importante en el estudio de la dispersión de luz resonante en la dirección de la luz incidente (dispersión frontal, DF) cuya detección es normalmente obstaculizada experimentalmente por la presencia de un fuerte haz de luz incidente que tiene propiedades idénticas (frecuencia, polarización, dirección de propagación) a la luz dispersada hacia adelante.
Los efectos magneto-ópticos se pueden utilizar para proporcionar información espectroscópica útil. Por ejemplo, dada una conocida densidad atómica y una longitud de la muestra, una medición de la rotación de Faraday para una transición dada se puede utilizar para determinar la fuerza de oscilador f para dicha transición. Por otro lado, cuando f es conocida, la rotación de Faraday puede ser utilizada para determinar la densidad del vapor. Vliegen et al. [27] encontraron que las mediciones de rotación de Faraday de metales
alcalinos con altas densidades ~10 10 están libres de ciertos efectos
sistemáticos asociados con la medición de la absorción. Un ejemplo de una aplicación de rotación magneto-óptica para espectroscopia molecular es el trabajo de Aubel and Hause [28] quienes, usando una celda multi-pasos, demostraron que el espectro de rotación magneto-óptico de medios no lineales era más fácil de interpretar que el espectro de absorción. También, debido a su alta sensitividad, el método de rotación magneto-óptica puede ser aplicado en el estudio de transiciones débiles, como transiciones dipolares magnéticas con pequeños momentos magnéticos de transición [29].
Cuando un campo magnético se aplica a un medio gaseoso, el cual es atravesado por un haz láser, varios efectos magneto-ópticos no lineales se pueden observar mediante el control de la intensidad del láser o la luz de fluorescencia emitida lateralmente desde el tubo láser. Estos efectos incluyen los efectos Hanle no lineales y efectos de cruce de nivel y también un efecto de coherencia específico, conocido como modo de cruce. El modo de cruce se produce cuando la frecuencia de separación entre dos modos láser coincide con el desdoblamiento Zeeman de un par de subniveles magnéticos. Los dos subniveles, son
entonces, dirigidos de forma coherente por los dos modos de láser, resultando en una resonancia característica en la dependencia magnética de la potencia de salida [30-33].
Podríamos seguir hablando y describiendo la gran cantidad de efectos magneto-ópticos lineales y no lineales que se han investigado y desarrollado al paso de los años, pero ese no es el objetivo de esta tesis. Por otro lado, estos efectos despiertan un gran interés por lo que es ampliamente recomendable revisar el artículo de Budker et al. [34], el cual es una referencia obligada y muy completa acerca de los efectos magneto-ópticos no lineales en átomos.
1.1.3RotacióndeFaraday
El efecto de rotación de Faraday demuestra la interacción entre la luz y un campo magnético. El efecto describe cómo el plano de polarización de la luz puede cambiar y también muestra que esta alteración es proporcional a la intensidad del componente del campo magnético en la dirección de propagación de la onda luminosa.
Para poder determinar el grado de giro del plano de polarización en diferentes materiales se emplea la siguiente formula
(1.3)
Donde β es el ángulo de rotación (en radianes), B es el flujo de densidad magnética en la dirección de propagación, d es la longitud del camino óptico. V es la constante de Verdet del material. Este valor es una constante empírica que muestra la proporcionalidad entre el campo y la rotación del plano de polarización para varios materiales. Un valor positivo de esta constante indica que el giro del plano será levógiro (contrario a las agujas del reloj), y por el contrario un valor negativo indica un giro dextrógiro (sentido de las agujas del reloj). Para las placas comerciales que son usadas en rotadores de polarización Faraday y en
Aunque este efecto es en principio lineal, cuando consideramos los niveles Zeeman, existentes en el vapor atómico, el efecto causado por la interacción entre estos niveles y el campo magnético altera de manera no lineal a la rotación del plano de polarización.
Figura 1.1 Los efectos de Faraday y Voigt. En el efecto Faraday la luz, después de pasar a través de un
polarizador lineal, entra en un medio sometido a un campo magnético longitudinal ∥ ( 0). Los
componentes de la luz polarizados circularmente izquierda y derecha (igual en amplitud para luz polarizada linealmente) adquieren diferentes cambios de fase, lo que lleva a la rotación óptica. Una diferencia en la absorción entre los dos componentes induce elipticidad a la salida de la luz. La intensidad de la luz transmitida con una polarización particular se detecta en función de la orientación del analizador en relación con el polarizador. La orientación del analizador varía con el tipo de experimento que se realiza. En los experimentos de dispersión, el analizador se cruza con el polarizador de entrada, de modo que sólo la luz con polarización ortogonal se detecta. En el arreglo ''polarímetro balanceado'', un divisor de haz de polarización se
orienta a /4 a la entrada del polarizador se utiliza como un analizador. En este caso, la señal diferencial
normalizada entre los dos canales del analizador depende de la rotación de la polarización de la luz mientras que es insensible a la elipticidad inducida. El efecto Voigt es similar, excepto que en lugar de un campo
magnético longitudinal, un campo transversal ( ∥ 0) se aplica. Aquí la rotación óptica y la elipticidad
inducida son debidas a la diferencia de absorción y el cambio de fase de los componentes ortogonales linealmente polarizados de la luz de entrada.
1.1.4Auto‐rotación
Si la luz que se utiliza para estudiar la rotación magneto-óptica no lineal es elípticamente polarizada, la rotación óptica adicional (presente en la ausencia de un campo magnético) puede ocurrir debido a la auto-rotación no lineal. La auto-rotación (también conocida como SR por Self-rotation) surge cuando el campo de luz polarizado elípticamente hace que el medio atómico adquiera la birrefringencia circular, causando la rotación óptica. Hay varios
mecanismos físicos que pueden conducir a la SR en medios atómicos. Estos se discuten en detalle en la ref. [35]. La rotación óptica puede ser causada por la birrefringencia circular, ya sea creando una diferencia en las poblaciones atómicas (debido al bombeo óptico) o debido a las energías de los subniveles Zeeman. A altas intensidades, la conversión de orientación a alineación puede generar alineamientos atómicos, no a lo largo de los ejes de la polarización de la luz sino en otra dirección, lo que lleva a la rotación óptica debido a un dicroísmo lineal.
La auto-rotación puede jugar un papel importante en la polarización de salida de los láseres y en la espectroscopia de polarización de alta resolución. La auto-rotación en vapores alcalinos ha sido estudiada experimentalmente en [36-38].
1.1.5Auto‐modulacióndefase
A altas intensidades el índice de refracción de un medio comienza a mostrar una dependencia con la intensidad, de acuerdo con:
(1.4)
Para un pulso, debido a la variación temporal de la intensidad, el índice de refracción también varía con el tiempo, lo que significa que diferentes partes del pulso experimentan diferentes respuestas del medio [39]. La variación en el índice de refracción causa un cambio de fase en el pulso de manera auto-inducida, que se incrementa con la distancia de propagación de acuerdo a la ecuación:
(1.5)
donde el desplazamiento de fase no lineal dependiente de la intensidad se
pulso viene dada por la derivada de la fase temporal, la frecuencia también muestra una intensidad que es dependiente del tiempo de acuerdo con la ecuación:
(1.6)
Por tanto, es evidente que los nuevos componentes de frecuencia se generan de igual manera en proporción a la propagación del pulso en el medio. Este fenómeno se conoce como auto-modulación de fase (también lo podemos encontrar como SPM por Self-phase modulation), que es conocida como la contraparte temporal para el efecto Kerr óptico.
1.2TransparenciaInducidaElectromagnéticamente
La Transparencia Inducida Electromagnéticamente (EIT), es un efecto donde se reduce la absorción de un medio (haciéndolo transparente) cerca de la frecuencia de resonancia usando un haz débil y un campo de acoplamiento fuerte. La anchura espectral de la absorción reducida, o transparencia, puede ser extremadamente estrecha y se limita en gran medida por los parámetros experimentales.
1.2.1Luzlenta
Existe una modificación de la dispersión asociada con la modificación de la absorción de un medio por la EIT. Esta modificación de la dispersión en el medio puede conducir a cambios significativos en la velocidad de grupo del medio. En el caso de la EIT esto generalmente conduce a una reducción significativa en la velocidad de grupo de un pulso de sondeo. Sin embargo usando la absorción inducida electromagnéticamente, se puede obtener superluminiscencia e incluso una velocidad de grupo negativa. El artículo de Milonni [40], se refiere al campo completo de la modificación de la velocidad de grupo de la luz. Las primeras mediciones de la "luz lenta" por Kasapi et al. [41] y Schmidt et al. [42], lograron velocidades de grupo de c/165 en vapor de plomo y c/3000 en vapor de cesio respectivamente.
1.2.2Luzalmacenada
El siguiente paso lógico era almacenar dichos pulsos ópticos dentro del medio de " luz lenta". Esto permitiría la propagación de pulsos de luz que se almacenan como excitaciones atómicas dentro de un medio el cual, en principio, podría ser recuperado un tiempo después. Estas excitaciones atómicas son conocidas como "polaritones de estado oscuro" [43], y que ofrecen el potencial para ser utilizado como una memoria cuántica de fotones [44]. El artículo publicado por Lukin [45], cubre el ámbito de la captura y la manipulación de los estados de los fotones, con particular interés en la aplicación para la información cuántica.
El almacenamiento de pulsos de luz se consiguió al mismo tiempo por Liu et al. [46] y por Phillips et al. [47]. Liu observó el almacenamiento de un pulso de luz por 1 ms en una nube de sodio, en la transición D1, a una temperatura de 0.9 μK. Donde la EIT se utilizo para
disminuir el pulso de luz. Mientras que Phillips realizó sus mediciones de pulsos de luz almacenados en vapor de Rb, en la transición D1, a una temperatura de 343 a 363 K.
1.2.3Deteccióndefotonesdealtaeficiencia
Independientemente Imamoglu, [48], y James y Kwiat, [49], propusieron métodos similares para detectores ópticos de alta eficiencia con una resolución de número de fotones.
Imamoglu propuso un esquema que involucra a cuatro niveles. Los niveles | 〉 y | 〉 están conectados a través de un campo de sondeo. Los niveles | 〉 y | 〉 se conectan a través del campo de bombeo y juntos estos tres niveles forman un sistema Λ. Inicialmente, tanto el campo de sondeo y el bombeo se encienden. Un instante después el campo del bombeo se apaga adiabáticamente. El campo de sondeo se almacena del lado izquierdo del esquema como una excitación atómica del estado | 〉 (figura 1.2). Un haz de detección es activado, el cual es resonante con | 〉 y un cuarto estado | 〉. La emisión espontánea desde | 〉 hacia | 〉 se registra, revelando el número de átomos en el estado | 〉, y por lo tanto el número de fotones almacenados desde el sondeo.
Figura 1.2 Esquema propuesto por Imamoglu. Diagrama de niveles de energía de los átomos usado en la transferencia de estados cuánticos y los estados selectivos de detección fluorescente.
Figura 1.3 diagrama ilustrativo de la transición atómica prevista para el procedimiento de foto-detección de
tres etapas propuesto por James y Kwiat. La etapa (a) es el bombeo óptico al nivel |1〉; la etapa (b) es la
absorción del fotón con la ayuda de un pulso "escolta" clásico; etapa (c) es la detección de cualquier átomo en el estado |2〉.
El esquema propuesto por James y Kwiat también implica cuatro estados diferentes. Un campo de bombeo es resonante con |2〉| y |3〉. La emisión espontánea se produce desde el
estado |3〉 hacia el estado |1〉. Una vez que la población ha sido bombeada hacia |1〉, el campo de fotones (a ser medido) es dirigido a través del medio junto con un pulso fuerte. El campo de fotones es descentrado de la transición |1〉 a |3〉 y el pulso fuerte es descentrado de la transición |2〉 a |3〉 con el fin de que una resonancia Raman de dos fotones se dé entre |1〉 y |2〉. Por último un cuarto haz es puesto en resonancia con la transición de |2〉 a |4〉. |5〉 es tal que sólo puede decaer espontáneamente hacia |2〉, y lo hace en una escala de tiempo muy corto. La luz dispersada de la emisión espontánea es detectada, esto corresponde a el numero de átomos en el bombeo dentro del estado |2〉 usando la transición Raman, y por lo tanto el numero de fotones en el campo de fotones incidente original.
1.3Holografíadinámica
La holografía es una técnica que permite obtener imágenes tridimensionales (hologramas). Esto implica el uso de un láser, los efectos de interferencia y difracción, la grabación de intensidad de la luz y la iluminación adecuada para la grabación. Los cambios de imagen, como la posición y la orientación del sistema de visualización, cambian de la misma manera como si el objeto estuviera aún presente, lo que hace que la imagen parezca tridimensional.
En la holografía estática la grabación, el desarrollo y la reconstrucción se producen de forma secuencial, y se produce un holograma permanente. Pero también existen materiales holográficos que no necesitan el proceso de desarrollo y pueden grabar un holograma en un tiempo muy corto. Esto permite utilizar la holografía para realizar algunas operaciones sencillas de forma totalmente óptica. Ejemplos de las aplicaciones de este tipo de hologramas en tiempo real incluyen las memorias ópticas, procesamiento de imágenes y la computación óptica.
Los materiales más comunes para la holografía dinámica son los cristales fotorrefractivos, pero en los semiconductores o heteroestructuras de semiconductores (tales como pozos cuánticos), vapores y gases atómicos, los plasmas e incluso líquidos, también es posible generar hologramas.
El vapor de rubidio (Rb) como un material holográfico tiene propiedades excepcionales. Las rejillas pueden ser escritas en el rubidio con láseres sintonizables, el tiempo de escritura puede ser estimado de acuerdo al tiempo de vida del Rb, así como más características [50]. Las celdas de rubidio no son caras y tienen una excelente calidad óptica y una sección transversal grande. Aunque por otro lado, para su utilización es necesario tener una exacta longitud de onda sintonizada, calentar la muestra y controlar el campo magnético.
En este campo se tienen diferentes mecanismos de grabado. Uno que es basado en escritura de la rejilla por absorción. Otro mecanismo basado en la rotación de Faraday y su posible aplicación que resultan en hologramas de fase con una alta eficiencia de difracción.
1.4Squeezing
El “squeezing” es la reducción de la variancia del ruido de un campo óptico por debajo del límite de ruido cuántico en una de las variables conjugadas ∆ ∆ ∆ ∆ . Los estados comprimidos (o squeezed states) de un campo óptico son estados no clásicos cuyo ruido de cuadratura de campo es dependiente de la fase. Las primeras investigaciones teóricas [51] y experimentales [52,53] fueron en la década de los 80’s, estos estados despertaron el interés de estudio ya que eran una forma de superar las restricciones de precisión del ruido de disparo en las mediciones ópticas [54,55] y mejoraban la capacidad de los canales de comunicación [56]. Además el interés en la luz comprimida se disparo por los recientes avances en el campo de la información y comunicación cuántica. En este contexto, estos estados son vistos principalmente como un medio de generar entrelazamiento en cuadratura [57], un recurso valioso que se puede aplicar para teleportación cuántica [58], la computación [59], la criptografía [60] y la manipulación de estados cuánticos atómicos [61]. También se han elaborado protocolos de corrección de errores [62,63] y purificación del entrelazamiento [64], estableciendo entrelazamiento de variables continuas como uno de las más prometedoras herramientas para la tecnología de la información cuántica.
Un número de técnicas para la producción de estados comprimidos de luz se han desarrollado, usando, por ejemplo mezcla de cuatro ondas en vapor atómico [65], el efecto Kerr en átomos fríos [66] o fibras ópticas [67,68] y amplificadores paramétricos ópticos [53]. Todos estos métodos requieren configuraciones bastante complicadas que no se puede reducir fácilmente, impidiendo efectivamente su aplicación práctica para los propósitos de información cuántica.
En los artículos de Ries [69] y Mikhailov[70] se presentan esquemas sencillos para generar estos estados comprimidos, La generación de luz comprimida resonante, a través de la mezcla no lineal de un haz láser de bombeo linealmente polarizado con el vacío ortogonal, en una celda de vapor de rubidio, ofrece una alternativa interesante. En estos trabajos se hace uso de un fenómeno conocido como modulación de fase cruzada comprimida [71], la cual se puede entender de la siguiente forma: si la luz linealmente polarizada se propaga a través de un medio no lineal en el que la luz elíptica se somete a la auto-rotación de la polarización, el modo vacío ortogonal se comprime. La auto-rotación y el efecto comprimido asociado están presentes en cualquier medio tipo Kerr, pero son especialmente fuertes en vapores atómicos debido a su gran no linealidad óptica cerca de la resonancia.
El mecanismo básico para la compresión del vacío en una sola configuración de bombeo linealmente polarizado es la de auto-rotación de la polarización [72], la cual describe la rotación no lineal de la polarización de la luz elípticamente polarizada que pasa a través de un medio que posee una no linealidad tipo Kerr . Para una pequeña elipticidad de entrada 0 , el ángulo de auto-rotación (proporcional a la dispersión no lineal) se puede escribir como 0 , donde L es la longitud del medio no lineal y es el parámetro de auto-rotación, que para un medio atómico es una función de las intensidades de entrada y de saturación I y Isat, el coeficiente de absorción saturado, así como la desintonización de
la transición atómica. En el régimen cuántico, y para un bombeo linealmente polarizado, la rotación elíptica no lineal acopla el bombeo a las fluctuaciones del campo cuántico polarizado ortogonalmente, dando lugar a una amplificación o reducción de las fluctuaciones del campo del vacío sensible a la fase [73], y en consecuencia, a efectos de anti-squeezing o de squeezing.
2.
Propiedades
del
Rubidio
Muchos experimentos de física atómica utilizan alcalinos, los más utilizados son el cesio, rubidio, sodio y litio. Esto se debe a las fuertes líneas D de estos átomos que son fácilmente accesibles con láseres sintonizables y ofrecen sub-transiciones cerradas adecuadas para el enfriamiento láser. El Rubidio fue descubierto en 1861 por los químicos alemanes Robert Bunsen (1811-1899) y Gustav Kirchhoff (1824-1887). Tiene un punto de fusión de 39°C y un punto de ebullición de 688°C. Su densidad es de 1.532 / gramos por centímetro cúbico. El Rubidio natural es una mezcla de dos isótopos 87Rb y 85Rb que se produce en una relación de 2.6:1 del 85Rb (72.2%) al 87Rb (27.8%). A temperatura ambiente, la presión del vapor es del orden de varios 10 , lo cual es conveniente para experimentos de espectroscopia y atrapamiento de átomos.
Figura 2.1 Modelo atómico del rubidio
Los metales alcalinos forman el Grupo 1 de la tabla periódica1. Los metales alcalinos son litio (Li), sodio (Na), potasio (K ), rubidio (Rb), cesio (Cs), y francio (Fr) , que son de color plateado (el cesio tiene un tinte dorado), blandos, son metales de baja densidad, con bajas temperaturas de fusión y de ebullición. Todos ellos tienen un electrón en su órbita más
1
El hidrogeno, el cual es el primer miembro del grupo 1, no tiene un comportamiento similar al resto de los
elementos del grupo y no es considerado un metal alcalino. Salvo en inusuales condiciones, alta presión y bajas temperaturas, el hidrogeno se convierte en metálico en términos de su comportamiento físico.
externa, por lo que el estado energéticamente preferido para lograr una órbita llena de electrones es perder este electrón para formar un solo ion positivo cargado. Debido a su único electrón en la órbita externa, estos elementos son altamente reactivos, haciéndolos imposibles de existir en forma elemental en la naturaleza. Propiedades físicas importantes del Rubidio, siendo este un metal alcalino, se resumen en el Apéndice A.
2.1Propiedadesatómicas
Los metales alcalinos ocupan una posición central en el estudio experimental de la física atómica. Una combinación de dos factores ha contribuido a esta importante área. Por un lado, la estructura atómica sencilla, parecida a la del hidrógeno que tiene un solo electrón en un orbital s, proporciona un fácil manejo del modelo para predicciones cualitativas y para cálculos matemáticos aceptables. La existencia del spin nuclear distinto de cero y la estructura hiperfina resultante definitivamente complica la situación, pero esto es rara vez una complicación no deseada. Por otra parte, se ha sabido por mucho tiempo que los metales alcalinos, cuando se calientan en una flama, muestran colores característicos bien definidos en la flama. Esto implica obviamente que, fácilmente, existen transiciones ópticas accesibles en metales alcalinos. Con la llegada de los diodo láser, las fuentes de luz disponibles se volvieron más accesibles, también se convirtieron en fuentes sintonizables, estables, monocromáticas, con la polarización bien definida y de una alta eficiencia. Hoy en día, el diodo láser es un medio del cual dependen los relojes atómicos, magnetómetros, BECs (Bose-Einstein condensation), así como técnicas de bombeo-sondeo o de no demolición cuántica aplicados en metales alcalinos [74-77].
2.2Rubidio87
El isótopo natural del 87Rb es un metal alcalino y tiene un electrón en su órbita n=5. Dos transiciones importantes en este isotopo son la transición 5 / → 5 / , o D1, y la
transición 5 / → 5 / , o D2. El ancho de línea espectral de los láseres utilizados son lo
del 87Rb. Una gran cantidad de datos están disponibles [78] para las líneas D del 87Rb que se utilizan en los cálculos que llevaremos a cabo.
Tabla 2.1 Valores de diferentes parámetros que presentan los dos isotopos del Rubidio
Propiedades Símbolo Valor del 87Rb Valor del 85Rb
Masa Atomica
Spin nuclear
Longitud de onda de la línea D2
Ancho de línea natural
Intensidad de saturación
Factor de Landé, estado base D2
Factor de Landé, estado excitado D2
M I λ Γ Isat ga gb 86.909 u 3/2 780.241 nm
2π*6.065 Mhz
1.6 mW/cm2
1/2
2/3
84.991 u
5/2
780.241 nm
2π*6.065 Mhz
1.6 mW/cm2
1/3
½
2.2.1Anchodelíneanatural
Cuando se excita un átomo el electrón excitado tiene un tiempo de vida finito relacionado con el coeficiente A de Einstein. Este tiempo de vida finito conduce a un ensanchamiento del perfil de línea de la transición atómica de acuerdo con el principio de incertidumbre de tiempo y energía,
∆ ∆ (2.1)
Utilizando un enfoque de la mecánica cuántica [79] la relación entre la absorción y la de-sintonización de la resonancia se encuentra como:
Δ (2.2)
dónde ∆ ≡ es la de-sintonización de la resonancia y el valor de Γ 1/ . Esto se llama un perfil de línea Lorentziano y se normalizó para tener un área igual a uno. La anchura completa en la mitad del máximo (FWHM por sus siglas en ingles) es:
Γ (2.3)
y también se le conoce como el ancho de línea natural. Si los átomos son suficientemente enfriados el ancho de línea natural será el factor dominante para este ensanchamiento.
2.2.2EnsanchamientoDoppler
El perfil de línea natural de la transición atómica se amplía o ensancha porque los átomos en movimiento experimentan diferentes frecuencias efectivas de luz. En situaciones de temperatura ambiente, el ensanchamiento Doppler es mucho más grande que el ensanchamiento natural. Sin embargo, cuando los átomos son suficientemente enfriados el ensanchamiento Doppler puede ser disminuido a tal grado que puede ser despreciable. En caso de que el ensanchamiento Doppler no pueda ser ignorado, este efecto se extiende a resultados previos que se hayan obtenido. Por ejemplo, Geo-Banacloche et al., agregaron el efecto de ensanchamiento Doppler a la susceptibilidad compleja que veremos a continuación de manera resumida [80].
La luz incidente produce un desplazamiento en los átomos relacionado con la expresión dada , en el primer orden de . Para incluir los efectos de ensanchamiento Doppler,
Geo-Banacloche modifica la ecuación de susceptibilidad compleja mediante el establecimiento de la relación → 1 / para encontrar la nueva susceptibilidad
(2.4)
donde es la cantidad de átomos en cierto rango de velocidades. Tomando en cuenta la distribución de velocidades
√ (2.5)
donde y es la densidad total de átomos.
2.2.3 Perfil de Voigt
En espectroscopia, el perfil de Voigt es un perfil de la línea resultante de la convolución de dos mecanismos de ensanchamiento, uno de los cuales produce un perfil gaussiano (debido al ensanchamiento Doppler) y el otro produce un perfil de Lorentz (ensanchamiento natural). Los perfiles de Voigt son comunes en muchas ramas de la espectroscopía y difracción. Esto es debido a que los espectros de absorción y transmisión característicos de ciertos elementos presentan este tipo de perfil.
El perfil de Voigt es entonces una convolución de un perfil de Lorentz y un perfil gaussiano:
; , ; ; ′ (2.6)
donde x es la frecuencia de la línea central, ; es el perfil gaussiano que tiene la forma:
;
≡
/√ (2.7)
; ≡ (2.8)
2.3Efectosmultinivel
Los átomos reales tienen múltiples niveles de energía superior e inferior que añaden complejidad al modelo de dos niveles. En el Rubidio pueden llegar a aparecer dos niveles base y cuatro excitados. Las transiciones entre dos niveles más bajos y cuatro niveles superiores agregan características llamadas resonancias cruzadas y un proceso llamado bombeo óptico. La resonancia cruzada produce absorciones adicionales que surgen a causa de varios niveles superiores o inferiores que están lo suficientemente cerca, en niveles de energía, haciendo que sus perfiles de ensanchamiento Doppler se traslapen. El bombeo óptico se produce cuando el nivel excitado decae espontáneamente a más de un nivel inferior. Esto puede agotar considerablemente ciertas poblaciones en el estado base.
El bombeo óptico del rubidio se puede modelar en términos del átomo de 3 niveles en configuración tipo lambda (Λ), donde los dos niveles más bajos están separados por una energía que es mucho más grande que un ensanchamiento Doppler (fig. 2.2)
Asuma que el haz láser es resonante con los átomos en sólo uno de los niveles más bajos, pero que los átomos en el nivel excitado decaen espontáneamente a algún nivel más bajo. Entonces, cada vez que un átomo en el nivel más bajo "resonante" es promovido o bombeado por el láser hacia un nivel excitado, en alguna fracción del tiempo el átomo decaerá al nivel más bajo "no resonante".
Figura 2.2 Sistema ideal de 3 niveles en configuración lambda Λ
Una vez en el nivel inferior no resonante, el átomo ya no interactúa con el campo del láser y así ya no puede contribuir a la absorción. El análisis de las poblaciones en los niveles entonces requiere un modelo donde los átomos, fuera de la interacción del haz láser, interactúen de manera aleatoria dentro de algún volumen para así reemplazar las poblaciones de los niveles bajos resonantes. Dependiendo de la intensidad del láser y la geometría del haz, las poblaciones de los niveles bajos pueden ser alteradas significativamente por bombeo óptico.
Al igual que con las variaciones de población derivadas de la emisión y absorción estimulada, el bombeo óptico también depende de la frecuencia del láser y velocidades del átomo. El bombeo óptico se debe al haz de bombeo que puede agotar drásticamente los átomos en estado base resonante.
2.3.1Losnivelesdeenergíaenelrubidio
El desdoblamiento hiperfino de las líneas espectrales atómicas es tan pequeño que el ensanchamiento Doppler normalmente hace que sea imposible de resolver o distinguir esas
líneas. En principio, los cálculos de la mecánica cuántica pueden predecir con precisión los niveles de energía y funciones de onda de átomos multi-electrón.
El tratamiento crudo de los niveles de energía en los átomos multi-electrón se llama aproximación de campo central (CFA por central field aproximation). En esta aproximación, el momento magnético nuclear y del electrón son ignorados y los electrones atómicos se asume que interactúan, no entre sí, sino con un campo eléctrico radial efectivo resultante de la distribución de carga media desde el núcleo y todos los otros electrones en el átomo.
Resolviendo para los niveles de energía en la CFA, conduce a una configuración atómica en que cada electrón es descrito por los siguientes números cuánticos:
1. El número cuántico principal n (toma valores de 1,2,…) caracteriza la dependencia radial de la función de onda.
2. El número cuántico del momento angular orbital l (los valores permitidos van de 0 a n-1)
que caracteriza la dependencia angular de la función de onda y la magnitud del momento
angular orbital l de un electrón individual.2
3. El número cuántico magnético ml (los valores permitidos son de –l a l) caracteriza la
dependencia angular de la función de onda y la proyección de l en un eje de cuantización
elegido3
4. El número cuántico de spin electrónico s (solamente valores permitido igual a 1/2) que caracteriza la magnitud intrínseca o el momento angular del spin s de un solo electrón.
2
Operador del momento angular como l satisface la ecuación de eigenvalores de la forma Ψ 1 Ψ
3
5. El número cuántico de proyección del spin ms (valores permitidos ±1/2) caracteriza la proyección de s en un eje de cuantización elegido.
Tabla 2.2 Relación de los números cuánticos y su interpretación
Niveles de energía N Subniveles L Orbitales M Maximo de electrones en el
nivel 2n2 1 l=0 s 1 0 2e 2
2 l=0 s
l=1 p
1 0 3 -1,0,+1
2e
6e 8
3
l=0 s l=1 p l=2 d
1 0 3 -1,0,+1 5 -2,-1,0,+1,+2
2e 6e
10e 18
4
l=0 s l=1 p l=2 d l=3 f
1 0 3 -1,0,+1 5 -2,-1,0,+1,+2 7 -3,-2,-1,0,+1,+2,+3
2e 6e 10e
18e 32
El átomo de rubidio (Rb) tiene el número atómico 37. En su configuración más baja (estado fundamental) tiene un electrón en su última orbita y se describe con la notación 1s22s22p63s23p63d104s24p65s. Los números enteros de 1 a 5 especifican los números cuánticos principales n. Las letras s, p, y d especifican el número cuántico del momento
angular orbital l como 0, 1, y 2, respectivamente. Los superíndices indican el número de
electrones con esos valores de n y l.
En la configuración del estado base del Rb se dice que están llenas sus orbitas hasta el orbital 4p y hay un solo electrón de valencia (u óptico) en su orbital 5s. La siguiente configuración de energía más alta, que es la 5p, tiene al electrón de valencia 5s ascendido a
su orbital, mientras que se mantiene sin cambio la descripción de los 36 electrones restantes.
Figura 2.3 Representación grafica de las orbitas en un electrón de manera general [81]
2.3.2Losnivelesdeestructurafina
En el contexto de la física atómica, los átomos alcalinos se caracterizan por su estructura fina e hiperfina. La estructura fina surge del acoplamiento spin-órbita, produciendo un
momento angular electrónico total , con | |, … , . Los
metales alcalinos tienen un solo electrón en una órbita exterior s, haciendo / su estado
base, donde n es el número cuántico principal y la notación espectroscópica, 2S +1LJ, se
utiliza para la designación de estados. Las transiciones ópticas más prominentes de los alcalinos son desde el estado base hasta los estados excitados / y / . Estas son
/ → / y D2 a la transición / → / . Las líneas D1 y D2 son
resolvibles por láser para la mayoría de los alcalinos, por lo tanto, se tratan por separado.
Básicamente, dentro de una configuración electrónica, puede haber varios niveles de energía con estructura fina difiriendo en la energía asociada con la atracción de Coulomb y las interacciones spin-órbita. La interacción Coulombiana es asociada con la energía potencial electrostática normal, / , que hay entre cada par de electrones y entre cada electrón y el núcleo. (La mayoría, pero no todas las energías de interacciones de Coulomb son incluidas en la configuración de energía). La interacción spin-órbita es asociada con la energía de interacción, -μ·B, del momento dipolar magnético μ de cada electrón en el campo magnético interno B del átomo. La forma y la fuerza de estas dos interacciones en el rubidio son tales que los niveles de energía se describen con mayor precisión en el esquema de acoplamiento L-S o acoplamiento Russell-Saunders. El acoplamiento L-S presenta nuevos números cuánticos de momento angular L, S, y J, como se describen a continuación.
L es el número cuántico que describe la magnitud del momento angular orbital total, que es la suma del momento angular orbital de cada electrón:
∑ ℓ (2.9)
S es el número cuántico que describe la magnitud del momento angular total del spin electrónico, que es la suma del momento angular del spin de cada electrón:
∑ (2.10)
J es el número cuántico que describe la magnitud del momento electrónico total, que es la suma del orbital total y el momento angular del spin total:
Los valores de L, S y J son especificados en una notación de (2S+1)LJ inventada por los
primeros espectroscopistas. Las letras S, P y D (al igual que con las letras s, p y d para los electrones individuales) se utilizan para L y corresponden a L=0, 1 y 2, respectivamente. El valor de (2S+1) es llamado la multiplicidad y por lo tanto es 1 para S=0 y se le llama singlete, 2 para S=1/2 (doblete), 3 para S=1 (triplete), etc. El valor de J (con valores permitidos de | | a | |) se anota como subíndice al valor de L.
Figura 2.4 La estructura básica de niveles de energía de un átomo con electrones (a la izquierda). Estados ligados tienen energía negativa y son cuantizados, con diferentes cantidades permitidas de momento angular para cada nivel de energía. Para la primera aproximación, para todos los diferentes estados de momento angular tienen la misma energía para un número determinado de energía n. La estructura fina (a la izquierda en zoom) toma el spin del electrón en cuenta conduciendo a una pequeña división de los niveles con el momento angular orbital. Hay dos momentos angulares a considerar, el orbital y el spin. La nueva notación es 2S+1L
J, donde S es el spin electrónico (1/2 para un electrón), L es el momento angular orbital (S, P, D, etc.), y J=L+S es el momento angular total. La Estructura hiperfina (en el zoom de la derecha) Añadiendo el spin
del núcleo se divide aún más los niveles. Aquí tenemos un primer plano de los niveles 2p, dividido en 2P
1/2 y 2P
3/2 para la corrección de estructura fina. Estos niveles de estructura fina se dividen de acuerdo con el
momento angular total de F=I+J. Este ejemplo ilustra la división para 87Rb, que tiene I=3/2. El nivel 2S
1/2
también se divide, en la misma manera que 2P
1/2.
La suma de ℓ o sobre todos los electrones en cualquier orbital lleno es siempre cero. Así, para la configuración del Rb con un solo electrón de valencia, sólo hay un valor
permitido para L y S: sólo el valor de ℓ y para ese electrón. En su configuración de estado base (5s), el Rb es descrito por L=0 y S=1/2. El único valor posible para J es entonces 1/2 y el estado de estructura fina sería etiquetado como 2S1/2. La siguiente
configuración más grande (5p) es descrita por L=1 y S=1/2. En esta configuración hay dos valores permitidos de J: 1/2 y 3/2 y estos dos estados de estructura fina están etiquetados como 2P1/2 y 2P3/2 (Fig.2.4).
2.3.3Niveleshiperfinos
La estructura hiperfina surge de la interacción del electrón y el spin nuclear de los metales
alcalinos, produciendo el momento angular total , con | |, … , . Para
los alcalinos más pesados, los desdoblamientos hiperfinos son lo suficientemente grandes para ser observados por los láseres de banda estrecha; mientras que para los más ligeros, la temperatura tiene que ser disminuida significativamente. Una técnica selectiva, tal como la espectroscopia de saturación, también puede ser utilizada para tomar ventaja de la estructura hiperfina en un medio con ensanchamiento Doppler. El hamiltoniano que describe la interacción hiperfina y los desdoblamientos de niveles de energía resultantes se dan en las siguientes secciones.
De manera más extensa, dentro de cada nivel de estructura fina puede haber un conjunto aún más fino de niveles, llamados niveles hiperfinos, que difieren en la orientación de energía (de nuevo, un tipo de energía ⋅ ) asociados con el momento magnético nuclear en el campo magnético del átomo. El momento magnético nuclear es mucho más pequeño que el momento magnético del electrón y esta es la razón por los que los desdoblamientos hiperfinos son tan pequeños.
El momento magnético nuclear es proporcional al momento angular del spin I del núcleo, cuya magnitud es descrita por el número cuántico I. Los valores permitidos para I dependen de la estructura nuclear y varían con el isótopo.
Los niveles de energía hiperfinos dependen del momento angular total F del átomo: la suma del momento angular total del electrón J y el momento angular del spin nuclear I:
(2.12)
La magnitud de F se caracteriza por el número cuántico F con valores permitidos de | | a | |. Cada estado con un valor diferente de F tendrá una energía diferente debido a la interacción del momento magnético nuclear y el campo interno del átomo. No existe una notación especial para el etiquetado de los estados hiperfinos y F se etiqueta generalmente de manera explícita en los diagramas de niveles de energía.
Hay dos isótopos naturales del Rb: 72% de abundancia del 87Rb con I=3/2 y 28% de abundancia del 85Rb con I=5/2. Para ambos isótopos, esto conduce a dos niveles hiperfinos
dentro de los niveles de estructura fina 2S1/2 y 2P1/2 y cuatro
niveles hiperfinos dentro del nivel de estructura fina 2P3/2 , , ,
ver Fig.2.5.
Tabla 2.3 Constantes hiperfinas A y B (en MHz) para los tres estados de estructura fina más bajos en los dos isotopos del Rb
Iso Fss A B
85Rb
2S
1/2 1011.91 --
2P
1/2 120.72 --
2P
3/2 25.01 25.88
87Rb
2S
1/2 3417.34 --
2P
1/2 406.2 --
2P
3/2 84.8 12.52
Las energías de los niveles hiperfinos pueden expresarse en términos de dos constantes hiperfinas A y B por la fórmula de Casimir
⁄ (2.13)
Donde 1 1 1 (Si cualquiera de , el término que
contiene B debe ser omitido)
Figura 2.5 Estructura hiperfina, agregando el spin del núcleo que divide aún más los niveles. Aquí tenemos un primer plano de los niveles 2p, dividido en 2P
1/2 y 2P3/2 por la corrección de estructura fina. Estos niveles de estructura fina se dividen de acuerdo con el momento angular total de F=I+J. Este ejemplo ilustra la división para 87Rb, que tiene I=3/2. El nivel 2S
1/2 también se divide, en la misma manera que 2P1/2.
2.4Transiciones
Las transiciones 2S1/2 a 2P1/2 están alrededor de 795 nm, mientras que la transición 2S1/2 a 2P
3/2 esta alrededor de 780 nm. Las transiciones dipolares siguen la regla de selección
Así, en cada isótopo, las transiciones permitidas desde 2S1/2 a 2P3/2 caen dentro de dos
grupos de tres, con cada grupo marcado por F de los estados 2S1/2. Debido a que el
desdoblamiento hiperfino entre los dos niveles inferiores 2S1/2 es grande en comparación
con el desdoblamiento hiperfino entre los cuatro niveles superiores de 2P3/2, los grupos
estarán bien separados uno del otro. Dentro de cada grupo, las tres posibles transiciones pueden ser etiquetadas por F para el estado 2P3/2. Estas tres transiciones serán más
estrechamente espaciadas en energía.
2.4.1EfectoZeeman
Cuando aplicamos un campo magnético externo al rubidio, se dividen aún más cada uno de los niveles de F existentes, de acuerdo a su número de proyección m (Ver Figura 2.6). Esto quiere decir que la energía de el sistema (átomo mas campo magnético) es diferente para diferentes orientaciones del átomo, lo cual es una afirmación perfectamente razonable. Este desdoblamiento se conoce como el efecto Zeeman. La física fundamental del efecto Zeeman es esencialmente la misma que en los desdoblamientos finos e hiperfinos en que los tres son debido al acoplamiento entre los campos magnéticos y momentos magnéticos. La diferencia es que el efecto Zeeman es debido a un campo magnético externo que se aplica en el laboratorio, mientras que el desdoblamiento fino e hiperfino son debidos a campos magnéticos intrínsecos que se producen en el interior del átomo mismo.
Si el campo magnético es relativamente débil, el desdoblamiento Zeeman está dado por una sencilla expresión.
(2.14)
Aquí, es la energía Zeeman, la diferencia de energía entre el estado con número de proyección m y el nivel hiperfino imperturbable. La fuerza del campo magnético es B, es el magnetón de Bohr y la constante de acoplamiento es conocido como el factor g de
Landé. Este factor g no es el mismo que el factor g del electrón desnudo, y es diferente para cada nivel hiperfino.
(2.15)
y
1
(2.16)El desdoblamiento de estructura fina es muy pequeño en comparación con el espaciamiento entre los niveles excitados 1s, 2s, etc., y el desdoblamiento hiperfino es aun mucho más pequeño. El desdoblamiento Zeeman, sin embargo, puede ser posiblemente tan grande como el desdoblamiento hiperfino, o incluso más grande, si se aplica un campo magnético lo suficientemente fuerte.
Figura 2.6 Niveles de energia para 85Rb y 87Rb (no a escala). Note que el desdoblamiento hiperfino son
alrededor de un orden de magnitud más grande en el nivel base 2S
1/2 en comparación con el nivel excitado
2P 3/2 [82]
3.
El
formalismo
matemático
En el contexto de nuestro trabajo, cuando el resultado de los experimentos está muy influenciado por la orientación relativa de las cantidades cuánticas y físicas macroscópicas implicadas, la separación de la dinámica de la geometría facilita en gran medida tanto las predicciones teóricas, como el análisis de los resultados al momento de compararlos con los resultados prácticos. Aquí presentamos las herramientas matemáticas para llevar a cabo esta tarea. La mayor parte de la siguiente descripción se basa en las referencias [83-88], con la ref. [83] siendo la más dominante e importante.
3.1Basetensoresférico
Para pequeños campos magnéticos, la estructura hiperfina de los metales alcalinos es fácil de observar, en particular en el estado fundamental. Nosotros, por lo tanto, definimos la base del tensor esférico | , 〉 como:
, , ∑ 1 | , 〉〈 , | (3.1)
∑ 1 √2 1 ′ | , 〉〈 , | (3.2)
donde la otra notación utilizada para el coeficiente de Clebsch-Gordan es seleccionada de forma que se relaciona como una regla nemotécnica para los símbolos de Wigner 3J utilizados con mayor frecuencia:
1 √2 1 ′
La relación inversa se convierte rápidamente en algo muy importante para los cálculos que implican secuencias de aplicaciones del operador en estados atómicos y viene dado por:
| , 〉 〈 , | ∑ 1 , , ′ (3.4)
∑ 1 √2 1 , , ′ (3.5)
Los tensores básicos esféricos son ortonormales en el sentido de:
, , , , ′ (3.6)
con la conjugación hermitiana siendo obtenida a través de:
, , 1 , , (3.7)
3.1.1Relacionesacopladas(F)adesacopladas(I,J)
A veces es útil transformar desde el acoplamiento, es decir, desde la representación del momento angular total (F) a la constituyente, representación desacoplada (I J), o viceversa. Dado que los operadores multipolares , , ′ corresponden esencialmente a cuatro
momentos angulares (dos casos de I y J) que se acoplan a un total L con una proyección en ̂ de M, la transformación implicará un símbolo 9J:
, , ∑ ′ ′ ′
′
, , , (3.8)
donde 2 1 y … . . … . , implica que j y j’ han sido acoplados a un momento
angular total L con una proyección en ̂ de M. La relación inversa es una consecuencia de las propiedades de ortogonalidad de los símbolos 9J y está dada por:
, , , ∑ , , ′ (3.9)
Los siguientes son dos casos importantes y especiales:
, ∑ , ; , , (3.10)
, ∑ , ; ′ , , ′ (3.11)
donde el coeficiente de Racah, , está relacionado con el símbolo 6J a través de4:
; 1 (3.12)
3.1.2Expansióndelabasedeltensoresférico
Cualquier operador que actúa sobre un determinado multiplete hiperfino , puede ser escrito en la base del tensor esférico como:
∑ , , , , , ′
, (3.13)
donde , , ∙ , , ′ . Los vectores espaciales son expresados en
términos de vectores unitarios en coordenadas esféricas como:
∑ 1 ⋅ (3.14)
4 Los símbolos usados como argumentos pueden servir como una regla nemotécnica. Note, también, que la
≡ √
≡
√
(3.15)
Con ∗ 1 que es satisfecho ortogonalmente por ∗⋅ , . Los
tensores espaciales, como el tensor de susceptibilidad dieléctrico del vapor o el tensor de polarización de la luz, se expresan de manera análoga en términos de bases diádicas definidas como:
, ∑ ∗ 1 , ,, , (3.16)
Con la relación inversa siendo:
∑ , , ,, , (3.17)
La unidad diádica es:
1 ∑ ∗ √3
, (3.18)
Las bases diádicas son ortogonales, como ya habíamos mostrado:
, : , ≡ ∑ , ∗ ∙ , ∙ ∗ ∙ , ∙ 1 , , (3.19)
y la conjugación compleja es definida como , ∗
1 , . Finalmente el
producto cruzado entre los 2 vectores puede escribirse como:
