DOCUMENTO Nº 2. DESIGUALDADES E INTERVALOS

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL CHOCÓ “DIEGO LUIS CORDOBA FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

PROGREAMA: BIOLOGIA CON ENFASIS EN RECURSOS NATURALES

NIVEL: IA-IB JORNADA: MAÑANA

PREPARADO POR: RAFAEL SANABRIA TAPIAS

DOCUMENTO Nº 2. DESIGUALDADES E INTERVALOS

LA RECTA REAL: el conjunto de los números reales se puede representar mediante los puntos de una recta horizontal, Que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único número real. Al número real correspondiente a un punto particular de la

recta se le denomina coordenada del punto.

INTERVALOS: es un subconjunto de la recta real. Clases de intervalos

Nombre Notación

de interv

Notación de conjunto

Grafica en la recta real

Intervalo abierto

(a, b) { x ∈R / a ¿x ¿b}

Intervalo cerrado

[a, b] { x ∈R / a ≤x ≤ b}

Intervalo semiabierto a la izquierd

(a, b] { x ∈R / a ¿x ≤ b}

Intervalo semiabierto a la derecha

[a, b) { x ∈R / a ≤x ¿b}

Intervalos al infinito

(-∞, a] { x ∈R / x ≤ a }

(-∞, a) { x ∈R / x ¿a }

(b, ∞) { x ∈R / x ¿ }

[b, ∞) { x ∈R / x ≥ b }

(-∞, ∞) { x ∈R }

Ejemplo

Dado el intervalo (-3, 2]

a) Representarlo en la recta numérica. b) Expresarlo en notación d conjunto.

c) Nombrar 8 números que pertenezcan a este intervalo. Solución

a)

b) { x ∈ R / -3¿ x ≤ 2 }

c) -2, −₂3, −₄5, 0, 1,

_√

_√

Ejercicios 1. Completa la tabla:

Notación de intervalo

Notación de conjunto Grafica sobre la recta real

(-3, 5]

{x ∈ R// x¿5, o , x>8}

[-∞, 7)

{x ∈ R/-2 ≤ x ¿7}

(-2, 4)

{x ∈ R/ x ¿ -3, y, x¿ -6 }

OPERACIONES CON INTERVALOS

Como los intervalos son subconjuntos del conjunto de los números reales, entonces las operaciones unión, intersección y diferencia también están definidas en dichos subconjuntos.

Por ejemplo, los intervalos (-6, 0] ∪ (3, ∞) corresponde a todos los números reales entre -6 y

0, así como los números reales mayores que 3.

UNIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS, A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B.

La unión entre los conjuntos A y B se nota: A∪B.

La unión entre los conjuntos A y B se determina por comprensión así:

A ∪ B= {x/x ∈A ,V , x∈B} Ejemplo:

Sean: A = {1, 2, 3, 7} B = {6, 7, 8, 9} A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 6, 8, 9}

NOTA: Los elementos repetidos de la unión entre conjuntos se escriben solamente una vez. REPRESENTACION GRAFICA: Para representar gráficamente la unión entre los conjuntos A y B, se procede así:

Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo con la relación que haya entre ellos.

Se sombrea, con líneas, la región de la gráfica en donde se encuentran ubicados los elementos de A o de B, o se pintan con colores diferentes así: A y B son disyuntos U A y B tienen elementos comunes U

A

⊆

⊆

A

B B

A

PROPIEDADES DE LAUNION DE CONJUNTOS

En la unión de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:

1. A U B = B U A. Esto es para cualquier par de conjuntos A y B, la unión es conmutativa. 2. (A U B ) U C= A U (B U C).Esto es, para cualquier conjunto A; B; C la uniones

asociativa.

3. A U Ø = A, para todo A. 4. A U U = U, para todo A.

INTERSECCION DE CONJUNTOS

La intersección entre dos conjuntos, A y B, es el conjunto formado por todos los elementos comunes entre los conjuntos A y B.

La intersección entre dos conjuntos, A y B, se determina por comprensión así:

A ∩ B= {x/x ∈A ,, x∈B} Ejemplo:

Sean: A = {1, 2, 3, 7} B = {6, 7, 8, 9} A ∩ B= {7}

REPRESENTACION GRAFICA:

Para representar gráficamente la intersección entre los conjuntos A y B, se procede así:

Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo con la relación que haya entre ellos.

0. A ∩ B

2. 4. 8. 7. 9. 6. 3.

Se sombrea, con líneas, la región de la gráfica en donde se encuentran ubicados los elementos comunes de A y de B, o se pintan con colores diferentes así:

A y B son disyuntos U A y B tienen elementos comunes

A ∩ B = Ø A ∩ B = Lo rojo

A

⊆

⊆

A ∩ B = Lo rojo A ∩ B = Lo rojo

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

En la intersección de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:

1. A ∩ B = B ∩ A. Esto es para cualquier par de conjuntos A y B, la intersección es conmutativa.

2. (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).Esto es, para cualquier conjunto A; B; C la intersección es asociativa.

3. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C). Es decir, la intersección es distributiva con respecto a la

unión.

4. A U (B∩ C) = (A U B) ∩ (A U C). Es decir, la unión es distributiva con respecto a la intersección.

5. A ∩ Ø = Ø, para todo A. 6. A ∩ U = A, para todo A.S

EJERCICIOS

A B

B

A

A

1. Dados los conjuntos

A = {X ∈ R / X ¿ 5}

B = {X ∈ R / -5 ≤ X ¿ 9}

C = {X ∈ R / 21 2 ¿ X }

D = {X ∈ R / X ¿ -2, y, X ¿ 9}

E = {x/x es un número digito par menor que 5}

Representa cada operación sobre la recta numérica y calcula en notación de conjunto y de intervalos la solución:

a) A ∪ B

b) C ∩ D

c) E ∩ A

d) B ∪ C

e) B ∩ C

f) (B ∪ A) ∩ C

g) C ∩ A ∩ D h) (E ∩ B) ∪ C i) (A ∪ B) ∩ (D ∪ C) j) (A ∩ C) ∪ (B ∩ E) k) (E ∪ B) ∩ (A ∪ C) l) (D ∩ C ) ∪ (A ∩ E)

2. Describe el intervalo que corresponde a los rangos de la medida de los ángulos positivos que se pueden definir en:

a) Menos de una vuelta completa. b) Menos de media vuelta.

c) Menos de dos vueltas completas.

3. La relación de la medida de la temperatura en grados Celsius © y en grados Fahrenheit

(F) está dada por F = 9

5C + 32. Ó C =

5(F−32)

9

a) Determinar el intervalo que corresponde en la escala Fahrenheit a la temperatura de

una ciudad que varía entre -10℃ y 35℃.

b) Determinar el intervalo que corresponde en la escala Celsius a la temperatura que

varía entre -7℉ y 31℉.

INECUACIONES O DESIGUALDADES

 Es una desigualdad en donde intervienen una o más variables,

 son expresiones algebraicas relacionadas con los signos: mayor (¿), menor (¿),

mayor o igual (≥), o menor o igual (≤).

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Sean a, b y c números reales, se cumple que:

1. si a ¿ b y b ¿ c, entonces a ¿ c

2. si a ¿ b entonces a ± c ¿ b ± c: si a ambos miembros de una desigualdad le

3. si a ¿ b y c ¿ 0, entonces ac ¿ bc y a c ¿

b

c: si a ambos miembros de una

desigualdad la multiplicamos o la dividimos por una misma cantidad positiva (¿ 0)

la desigualdad persiste.

4. si a ¿ b y c ¿ 0, entonces ac ¿ bc y a c ¿

b

c: si a ambos miembros de una

desigualdad la multiplicamos o la dividimos por una misma cantidad negativa (¿ 0)

la desigualdad cambia de sentido.

Las propiedades se cumplen en forma similar para: mayor (¿), mayor o igual (≥), y menor o

igual (≤).

NOTA: las desigualdades pueden ser lineales o cuadráticas (para el presente curso)

Resolver una inecuación es hallar los valores de la variable que hacen cierta la desigualdad. Al conjunto de dichos valores se le llama conjunto solución.

Desigualdades lineales de una variable.

Una desigualdad lineal de una variable, tal como x, es una desigualdad en la que aparecen dos tipos de términos: términos que son múltiplos de la variable x y términos constantes.

Si el símbolo de la desigualdad es ¿ o ¿ la desigualdad es estricta; si el símbolo es ≥ o ≤, se

dice que es débil.

Ejemplo N° 1.

Resolver las siguientes desigualdades: X + 5 ¿ 7 – x

Solución

X + 5 ¿ 7 –x transponiendo términos

X + x ¿ 7 – 5 reduciendo términos semejantes

2x ¿ 2 despejando la incógnita

X ¿ 2

2 simplificando

X ¿ 1

Conjunto solución:

Ejemplo

Ejemplo N° 2. Resolver las siguientes desigualdades: 2 ¿ x+6

2 ¿ 5

Solución

2 ¿ x+6

2 ¿ 5 multiplicando por 2 tenemos

4 ¿ x + 6 ¿ 10 restándole 6 a toda la expresión tenemos

4 -6 ¿ x + 6 -6 ¿ 10 – 6 operando queda

-2 ¿ x ¿ 4

Conjunto solución:

(-2, 4) / { x ∈ R /-2 ¿ x ¿ 4}

DESIGUALDADES DOBLES. Son todas aquellas de la forma: a ⊲ _b ⊲ _c

Cuando el ejercicio se presenta como en el caso anterior que solo tiene variable en b

se puede trabajar en forma directa, pero si el ejercicio tiene variable en dos o tres expresiones: a, b y c. se recomienda formar dos desigualdades sencillas así: I. a ⊲ _b

II. b ⊲ _c

y la solución general es la unión de la solución del caso I y el caso II

Solución caso I U solución caso II

Ejemplo N° 3: 3x – 5 ¿ 1 + x ¿ 2x – 3 Solución:

Formamos las dos desigualdades así:

I. 3x – 5 ¿ 1 + x

II. 1 + x ¿ 2x – 3

Solución caso I

3x – 5 ¿ 1 + x le restamos a ambos miembros x y le sumamos 5 a ambos miembros y nos

3x - x – 5 + 5¿ 1 + 5 + x - x: así cancelamos los 5 en el miembro izquierdo y las x en el miembro de la derecha, quedando finalmente la expresión así:

3x - x ¿ 1 + 5: reduciendo términos semejantes nos queda

2 x ¿ 6: dividiendo ambos miembros entre 2 nos queda

2x

2 ⊲

6

2 _{: simplificando nos queda}

x ¿ 3: luego le hallamos la solución en forma de intervalo, en forma de conjunto y

solución grafica así:

Solución en forma de intervalo

(−∞

3

)

Solución en forma de conjunto:{ x ∈ _{R / x ¿ 3}}

Solución en forma gráfica:

Solución caso II

1 + x ¿ 2x – 3: le restamos a ambos miembros 2x y 1; y nos queda:

1 -1 + x - 2x¿ 2x – 2x – 3 – 1:así cancelamos los 1 en el miembro de la izquierda y las

2x en el miembro de la derecha, quedando finalmente la expresión así:

x - 2x¿ – 3 – 1: reduciendo términos semejantes nos queda

-x ¿ - 4: dividiendo ambos miembros entre - 1 nos queda (debemos cambiar sentido de

la desigualdad por qué - 1¿ 0)

−x

−1 ⊳

−4

−1 _{: simplificando nos queda}

x ⊳ 4 _{: Luego le hallamos la solución en forma de intervalo, en forma de conjunto}

y solución grafica así:

Solución en forma de intervalo

(

4

∞)

Solución en forma de conjunto:{ x ∈ _{R /} x ⊳ 4 _}

Solución en forma gráfica:

La solución general de la desigualdad 3x – 5 ¿ 1 + x ¿ 2x – 3 es:

Solución en forma de intervalo

(−∞

3

)

¿

(

4

∞)

Solución en forma de conjunto:{ x ∈ _{R / x} ¿ _3}

¿

Solución en forma gráfica:

EJERCICIOS

Resuelva las siguientes desigualdades.

1. 3 + 5x ¿ 11

2. 3 – 2y ≥ 7

3. 2x – 11 ≤ 5x + 6

4. 5x + 7 ¿ 31 – 3x

5. 3(2x – 1) ¿ 4 + 5(x – 1)

6. X + 4

3 ¿

7. 1

4 (2x – 1) – x ¿ x 6 -

1 3

8. 3

2 (x + 4)≥ 2 - 1

5 (1 – 4x)

9. y+1

4 - y

3 ¿ 1 + 2y−1

6

10.5 – 0.3r ¿ 2.1 + 0.5(r – 1) 11.1.2(2t – 3) ≤ 2.3(t – 1)

12.2(1.5x – 2.1) + 1.7 ≥ 2(2.4x – 3.5)

13.5 ¿ 2x + 7 ¿ 13

14.4 ≥ 1−3x 4 ≥ 1 15.(x + 3)2_{¿ (x – 2)}2

16.(2x + 3)(3x – 1) ≤ (6x + 1)(x – 2)

17.(3x – 1)(2x + 3) ¿ (2x + 1)(3x + 2)

18.(3x + 1)(x – 2) ¿ (x – 3)(3x + 4)

19.2x + 1 ¿ 3 – x ¿ 2x + 5 20.4 – 2x ¿ x – 2 ¿ 2x – 4 21.3x + 7 ¿ 5 – 2x ≥ 13 – 6x 22.2x – 3 ¿ 1 + x ¿ 3x – 1 23.3x – 5 ¿ 1 + x ¿ 2x – 3 24.5x – 7 ≥ 3x + 1 ≥ 6x - 11

Desigualdades cuadráticas de una variable.

Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad que tiene

términos proporcionales a x y a x2 _{y términos constantes. Las formas estándares de una}

desigualdad cuadrática son:

ax2 _{+ bx + c ¿ 0 ( o bien ¿ 0 ) o bien ax}2 _{+ bx + c ≥ 0 ( o bien ≤ 0)}

En donde a, b y c son constantes determinadas (a ≠ 0)

Ejemplo N° 1. Resolver las siguientes desigualdades: X2 _{+ 5x ≥ 6}

Solución

X2 _{+ 5x ≥ 6 retándole 6 a ambos miembro tenemos}

X2 _{+ 5x - 6 ≥ 6 – 6}

X2 _{+ 5x - 6 ≥ 0 factorizando queda}

(x + 6)(x – 1) ≥ 0 como el producto (x + 6)(x – 1) es mayor o igual que cero, se dan dos

casos.

 Caso I. (x + 6) ≥ 0 ˄ (x – 1) ≥ 0

X + 6 ≥ 0

X + 6 -6 ≥ 0 - 6

x – 1 ≥ 0

x – 1 + 1 ≥ 0 + 1

X ≥ - 6

La solución para el caso I es la intersección de los dos intervalos [-6, ∞) ∩ [1, ∞) = [1, ∞)

 Caso II. (x + 6) ≤ 0 ˄ (x – 1) ≤ 0

x + 6 ≤ 0 x – 1 ≤ 0

x + 6 - 6 ≤ 0 - 6 x – 1 + 1 ≤ 0 + 1

x ≤ - 6 x ≤ 1

la solución para el caso II es la intersección de los dos intervalos

(- ∞, - 6] ∩ (- ∞, 1] = (- ∞, - 6]

La solución de la inecuación es la unión de las soluciones del caso I y el caso II Solución general: [1, ∞) ∪ (- ∞, - 6] = ( - ∞, - 6] ∪ [1, ∞)

Ejemplo N° 2. (X+2)(3−X) (X+1)(X2+1) ≥ 0 SOLUCION

Es importante tener en cuenta que en la expresión (X+2)(3−X)

(X+1)(X2+1) ≥ 0 (X+1¿(X2+1)≠ 0

Como el producto es mayor que cero se presentan dos casos

CASO I.

(X+2)(3−X)≥ 0 ˄ (X+1¿(X2+1)¿ 0

En cada una de las inecuaciones dadas en este caso se presentan, a su vez, dos casos más así:

Caso 1.1.

{(X+2)≥ 0 ˄ (3−X)≥ 0 } ˅ {(X+2)≤ 0 ˄ (3−X)≤ 0 }

X ≥ - 2 ˄ 3 ≥ x ˅ x≤ - 2 ˄ 3 – 3 – X ≤ 0 – 3 - X ≤ - 3

(- 1)(- X) ≥ (- 3)(- 1)

X ≥ 3

-2 0 3 -2 0 3

Solución caso 1.1:

[−

2,3

]

¿

φ

[−

2,3

]

Caso 1.2.

{

(

x

+

1

)

(

)

(

x

+

1

)

(

)

La expresión x2 _{+1 siempre es mayor que cero, luego, la solución en}

x2 _{+ 1 ⊳ 0 es}

(−∞

,

∞ )

φ

{

(

x

+

1

)

(

)

(

x

+

1

)

(

)

x≥−1 x⊲−1

[−

1

,

∞ )∩(−∞

,

∞ )=[−

1

,

∞ )

(−∞

,

−

1

)∩

φ

=

φ

0 0

Solución del caso 1.2.

[−

1

,

∞)∪

φ

=[−

1

,

∞ )

La solución para el caso I es la intersección de la solución del caso 1.1.y la solución del caso 1.2.

[−

2,3

]

¿

[−

1

,

∞)

[−

1,3

]

En conclusión, la solución del caso I es el intervalo

[−

1,3

]

CASO II (X+2)(3−X) ¿ _{0 ˄ (X+1¿(X}2₊₁₎ ¿ ₀

Realizando un proceso similar al realizado en el caso I, se obtienen las soluciones de los casos 2.1. y 2.2.

Solución caso 2.1.

(−∞

,

−

2

]

¿

(

3

,

∞)

Solución caso 2.2.

(−∞

,

−

1

]

La solución para el caso II es la intersección de la solución del caso 2.1.y la solución del caso 2.2.

Solución caso 2 {

(−∞

,

−

2

]

¿

(

3

,

∞)

¿

(−∞

,

−

1

]

(−∞

,

−

2

]

En conclusión los valores para los cuales la expresión (X+2)(3−X)

(X+1)(X2+1) ≥ 0 se satisface o se hace verdadera se encuentra en la unión de los intervalos solución de los casos I y II

Solución general:

(−∞

,

−

2

]

¿

[−

1,3

]

EJERCICIOS

Resuelva las siguientes desigualdades.

3. (2x – 5)(x + 3) ≥ 0

4. (3x – 1)(x + 2) ¿ 0

5. X2 _{– 7x + 12 ≤ 0}

6. 9x ¿ x2 + 14 7. X(x + 1) ¿ 2 8. X(x – 2) ≥ 3

9. Y(2y + 1) ¿ 6

10.3y2_{≥ 4 – 11y}

11.(x + 2)(x – 3) ¿ 2 – x

12.(2x + 1)(x – 3) ¿ 9 + (x + 1)(x – 4)

13.X2_{≥ 4}

14.9x2_{¿ 16}

15.X2 _{+ 3 ¿ 0}

16.X2 _{+ 1 ≤ 0}

17.X2 _{– 6x + 9 ≤ 0}

18.X2 _{+ 4 ≤ 4x}

19.X2 _{+ 2x + 1}

¿ 0 20.X2 _{+ 9 ≥ 6x}

21.X2 _{+ 13¿ 6x}

22.X2 _{+ 7 ¿ 4x}

23.(x – 2)2 _{+ 5 ≥ 0}

24.X2 _{+ 2x + 4 ¿ 0}

25.(2x + 3)(x – 3) ¿ (x – 1)(3x + 2)