Teoría del tema

Cap´ıtulo 0

Tri´

angulos en el plano. Semejanza.

Teorema de Thales.

“La felicidad del cuerpo se funda en la salud; la del entendimiento, en el saber.”

(Tales de Mileto

1

₎

“El n´

umero gobierna el Universo.”

(Pit´agoras de Samos

2

₎

“La geometr´ıa tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pit´agoras, y el otro el n´

ume-ro ´aureo. El primeume-ro puede compararse a una medida de oume-ro, y el segundo a una piedra

preciosa.”

(Kepler, Johannes

3

₎

“Si los tri´angulos hicieran un dios, har´ıan que tuviera tres lados.”

(Montesquieu, Charles Louis de Secondat

4

_{. Cartas persas)}

Lo primero que hay que decir es queeste tema no entra en los contenidos del presente curso, primero de bachillerato de ciencias, sino que es m´as propio de 4o

ESO en sus matem´aticas acad´emicas. De todos modos, decido a˜nadirlo ya que en el tema siguiente, dedicado a la trigonometr´ıa, vamos a hacer algunas consideraciones acerca de la semejanza de tri´angulos.

Ya centrados en el tema, comenzaremos por el concepto de pol´ıgono, eso s´ı, de manera muy breve. Continuaremos con el concepto de tri´angulo, viendo algunas propiedades y formas de clasificarlos. El tema acabar´a con el Teorema de Tales, la semejanza de tri´angulos y los criterios de semejanza. Resultando en conjunto un tema breve y de no excesiva dificultad.

Pero cuidado; efectivamente, esta unidad tiene una primera cara, muy intuitiva y conocida, que comprende el concepto de tri´angulo, per´ımetro, altura, superficie... y otra no tan conocida, que engloba a las principales propiedades de los tri´angulos. A medida que avance la unidad, los alumnos ver´an que la parte conocida es escasa en comparaci´on a la desconocida (relaci´on de semejanza en el plano, el teorema de Thales, teoremas del cateto y de la altura, y el teorema de Pit´agoras como consecuencia de ´estos...).

1

(624-546 a.d.C.). Fil´osofo y cient´ıfico griego (Mileto era una polis griega de la costa de Jonia, hoy en Turqu´ıa). Considerado uno de los siete sabios de Grecia, fue el iniciador de la escuela filos´ofica milesia a la que pertenecieron tambi´en Anaximandro y Anax´ımenes. En la antig¨uedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia.

2

(569-475 a.d.c). Fil´osofo y matem´atico griego considerado el primer matem´atico puro. Contribuy´o en el avance de la matem´atica hel´enica, la geometr´ıa y la aritm´etica, derivadas particularmente de las relaciones num´ericas, y aplicadas por ejemplo a la teor´ıa de pesos y medidas, a la teor´ıa de la m´usica o a la astronom´ıa. Es el fundador de la Hermandad Pitag´orica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, tambi´en se interes´o en medicina, cosmolog´ıa, filosof´ıa, ´etica y pol´ıtica, influyendo en pensadores posteriores.

3

(1571-1630). Matem´atico y astr´onomo alem´an, figura clave en la revoluci´on cient´ıficasiendo fundamentalmente conocido por sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas en su ´orbita alrededor del Sol.

4

(1689-1755). Cronista y pensador franc´es que vivi´o la ´epoca de laIlustraci´on_{. Entre otros aspectos se le recuerda por la articulaci´on de}

la teor´ıa de la separaci´on de poderes pol´ıticos (legislativo, ejecutivo y judicial), que se acepta en muchas constituciones en todo el mundo.

0.1.

Pol´ıgonos

Definici´

on 0.1 (pol´ıgono)

Un pol´ıgono es cualquier regi´on acotada, cerrada y convexa del plano

delimitada por trozos de recta. Cada uno de estos trozos de recta se llama

lado

o

arista

. El punto

de encuentro de cada dos aristas se llama

v´

ertice

. A veces, y cuando no haya confusi´on posible, al

hablar de pol´ıgono se hablar´a s´olo del borde del mismo, esto es, del conjunto de aristas y v´ertices.

Nota 0.1

Esto es, un pol´ıgono es una figura plana acotada compuesta de un interior y una frontera,

la cual es un conjunto conexo, cerrado y convexo compuesta de aristas y v´ertices, tal que mientras

las aristas son segmentos de recta, y como tales se encuentran acotadas por v´ertices, cada v´ertice

resulta de la intersecci´on de dos aristas. Un pol´ıgono delimita dos zonas muy diferenciadas separadas

por una frontera. A la parte acotada se le llama interior, a la no acotada se le llama exterior.

Nota 0.2

Aunque estamos dando por hecho que nuestros pol´ıgonos son convexos, o que si unimos con

un segmento dos puntos cualesquiera del interior del pol´ıgono, dicho segmento est´a completamente

contenido dentro del pol´ıgono, podr´ıamos encontrar pol´ıgonos no convexos. Si miramos la figura

adjunta, ´esta est´a repleta de pol´ıgonos. El bloque superior son pol´ıgonos convexos, o que verifican

la propiedad de que si unimos con un segmento dos puntos cualesquiera de su interior, el segmento

entero est´a contenido dentro del pol´ıgono.

Al bloque inferior no le pasa esto, y por ello no son

convexos. Obs´ervese como en todo caso las

poligo-nales, o los trozos de segmento que forman el

bor-de est´an cerradas, distingui´endose el interior bor-del

pol´ıgono (coloreado), y el exterior. Por otra, seg´

un

el n´

umero de lados de la poligonal, los pol´ıgonos

se agrupar´an en tri´angulos, cuadril´ateros,

pent´ago-nos, hex´agopent´ago-nos, hept´agopent´ago-nos, oct´ogonos...

Definici´

on 0.2 (Pol´ıgono regular)

Un pol´ıgono regular es aquel pol´ıgono convexo que posee todos

sus lados iguales en longitud, al igual que todos los ´angulos entre cada dos lados adyacentes.

Nota 0.3

Dentro de los pol´ıgonos regulares,

me-recen especial antenci´on los tri´angulos equil´ateros,

los cuadrados, los pent´agonos y los hex´agonos

re-gulares, al ser aquellos pol´ıgonos regulares que

po-seen menor n´

umero de lados; 3,4,5 y 6. De todos

ellos, los tri´angulos, los cuadrados y los hex´agonos

sirven para pavimentar una superficie de manera

regular (los tri´angulos is´osceles o los rect´angulos

tambi´en valen, pero no ofrecen la simetr´ıa de los

tri´angulos equil´ateros y los cuadrados).

0.2.

Tri´

angulos en el plano. Definiciones

0.2.1.

Tri´

angulos, suma de ´

angulos y clasificaciones.

Definici´

on 0.3 (Tri´

angulo)

Un tri´angulo es un pol´ıgono convexo compuesto por tres lados o

´angu-los. A los lados se les llama tambi´en aristas, y sus intersecciones, dos a dos, son los v´ertices.

Nota 0.4 (importante)

A la hora de trabajar con tri´angulos, se

efect´

ua el siguiente convenio en cuanto a notaci´on:

1. Los v´ertices se denotan con letras may´

usculas

A

,

B

y

C

.

2. El lado opuesto a cada v´ertice se etiqueta con la misma letra

que dicho v´ertice, pero en min´

uscula;

a

,

b

,

c

. Igualmente

pue-den se˜

nalarse mencionando los dos v´ertices que lo definen; esto

es:

a

=

BC

,

b

=

AC

, y

c

=

AB

. El orden de los dos v´ertices

no es importante.

3. El ´angulo interior a cada v´ertice se etiqueta con la misma letra

que dicho v´ertice y en may´

uscula, pero a˜

nadi´endole un gorro;

b

A

,

B

b

y

C

b

. Otra escritura alternativa para los ´angulos ser´ıa

α

=

A

b

,

β

=

B

b

,

γ

=

C

b

.

Proposici´

on 0.1

En todo tri´angulo la suma de sus tres ´angulos interiores es

180

◦

_.

Demostraci´on:

Consideremos un tri´angulo como el de la figura adjunta, de ladosa, b, c, v´ertices A, B y C, y ´angulos

respectivosAb,Bb yCb. Lo primero que hacemos es, sobre el v´ertice B, trazar una paralelab0 _{al ladob.}

A continuaci´on, observo los ´angulos que est´an sobre la

rectaAB, alrededor del v´ertice B:

1. Veo que el ´anguloBbno cambia, y que es el mismo,

al seguir perteneciendo al tri´angulo.

2. Veo que el ´angulocA0 _{es el mismo ´angulo queA}b_{, ya}

que el ladoABes com´un, ybyb0_{, que son los otros}

dos lados, son paralelos.

3. Finalmente, observo que el ´angulo cC0 _{es el mismo}

´

angulo que Cb, ya que ambos comparten el lado a,

y est´an comprendidos entre dos lados paralelosby

b0_{, si bien se apoyan en distintos v´ertices.}

Esto es, Ab= cA0_{, as´ı como C}b _=Cc0_{, ya digo que B}b _{no var´ıa, y por ello, la suma de los tres ´angulos del}

tri´angulo,Ab+Bb+Cb = Bb+Cc0_+Ac0_{, que es igual a dos rectos, o 180}◦_{, tal como se ve en la figura, esa}

semicircunferenciascentrada en el v´ertice B.

Nota 0.5

Este resultado es muy importante, ya que si en un tri´angulo uno de sus ´angulos es muy

grande, necesariamente los otros dos han de ser peque˜

nos. En esta unidad entendemos que los ´angulos

de los tri´angulos son todos positivos. En la siguiente, dedicada a la trigonometr´ıa, veremos que es

posible encontrarnos con ´angulos negativos. Sigamos hablando de los ´angulos:

Definici´

on 0.4 (tipos de ´

angulos)

Los ´angulos en el

plano pueden ser de tres tipos;

agudos

, o estrictamente

menores de

90

◦

_,

_rectos

_{, o iguales a}

₉₀

◦

_{, y}

_obtusos

_{, o}

estrictamente mayores de

90

◦

_{. Un tipo de ´angulos}

ob-tusos son los

llanos

, o aquellos que miden dos rectos

o

180

◦

_{. N´otese que los cuadrados y rect´angulos se}

com-ponen de cuatro ´angulos rectos. Los ´angulos rectos, en

vez de representarse en el dibujo con un trozo de arco,

suelen representarse con dos lados de un cuadrado.

Definici´

on 0.5 (clasificaci´

on de los tri´

angulos por sus ´

angulos)

A la hora de clasificar

tri´an-gulos, un criterio v´alido consiste en tener en cuenta sus ´antri´an-gulos, present´andose tres posibilidades:

Tri´

angulo acut´

angulo

o aquel que posee

todos sus ´angulos agudos.

Tri´

angulo rect´

angulo

o aquel que tiene un

´angulo recto, y los otros dos

necesaria-mente agudos.

Tri´

angulo obtus´

angulo

o aquel que tiene

un ´angulo obtuso, y los otros dos

nece-sariamente agudos.

Definici´

on 0.6 (clasificaci´

on de los tri´

angulos por sus lados)

A la hora de clasificar

tri´angu-los, otro criterio consiste en tener en cuenta la longitud de sus lados, present´andose tres posibilidades:

Tri´

angulo equil´

atero

o aquel que posee

sus tres lados iguales (al igual que sus

tres ´angulos).

Tri´

angulo is´

osceles

o aquel que tiene s´olo

dos lados

b

iguales, y la base

a

desigual.

La altura es eje de simetr´ıa.

Tri´

angulo escaleno

o aquel que tiene los

tres lados desiguales.

0.2.2.

Elementos de los tri´

angulos

En la ´

ultima clasificaci´on nos ha aparecido el concepto de altura. Ligados a los tri´angulos van

toda una serie de definiciones (altura, base, per´ımetro...), todas ellas muy intuitivas y que igual se

recuerdan de cursos anteriores. En el punto

??

veremos m´as, si bien s´olo para aquellos alumnos que

deseen ampliar contenidos.

Definici´

on 0.7 (v´

ertice de un tri´

angulo)

Dado un tri´angulo, un v´ertice es cada una de las

in-tersecciones de dos de sus tres aristas. Esto es, un v´ertice es cada uno de los ‘picos’ del tri´angulo.

Definici´

on 0.8 (per´ımetro de un tri´

angulo)

Se llama per´ımetro de un tri´angulo a la suma de

sus tres lados o aristas. Es una cantidad lineal estrictamente positiva.

Ejemplo 0.1

Un tri´angulo de lados 3, 4 y 5

cm

tiene un per´ımetro o contorno de 3 + 4 + 5 = 12

cm

.

Definici´

on 0.9 (superficie de un tri´

angulo)

Se llama superficie de un tri´angulo al ´area interior

encerrada por sus lados o aristas. Es una cantidad cuadr´atica estrictamente positiva. Existen varias

formas de calcularla.

Definici´

on 0.10 (base de un tri´

angulo)

Este es un

concepto mas bien visual; cada tri´angulo posee tres

la-dos o aristas; si situamos el tri´angulo de modo que uno

de sus lados sea horizontal en el papel, en una

superfi-cie... parece que el tri´angulo est´a apoyado o descansando

en dicha l´ınea horizontal, y a dicho lado se le llama

ba-se. Todo tri´angulo podr´ıa llegar a tener tres bases,

cual-quiera de sus lados, si bien al mismo tiempo s´olo puede

tener una. Se suele designar por

b

siempre que no haya

confusi´on con el correspondiente lado del tri´angulo.

Definici´

on 0.11 (altura de un tri´

angulo)

La altura de un tri´angulo est´a muy relacionada con el

concepto de base, si bien es mas general, ya que un tri´angulo s´ı puede tener tres alturas al mismo

tiempo. Una altura es el segmento que une de forma perpendicular cada lado con el v´ertice opuesto,

esto es, la distancia m´ınima de cada lado al v´ertice opuesto. Se suele designar por

h

.

Definici´

on 0.12 (catetos e hipotenusa)

En un tri´angulo

t´angulo, cada uno de los dos lados que comparten el ´angulo

rec-to, o sea, que se cortan de manera perpendicular, se llama

cateto

.

Al lado restante, aquel que es opuesto al ´angulo recto, se le llama

hipotenusa

.

Proposici´

on 0.2

Sea un tri´angulo del que se conoce una base

b

y altura

h

. Su superficie es

S

=

bh

2

.

Demostraci´on:

Tomemos el tri´angulo, su baseby su alturah. Esta altura divide al tri´angulo en dos tri´angulos rect´angulos

m´as peque˜nos, de superficies S1 y S2. Es evidente que el ´area que buscamos, el ´area del tri´angulo, es

precisamenteS1+S2.

Consideremos ahora un rect´angulo de alturah y baseb, de modo que la base del mismo coincida con la

base del tri´angulo. Es evidente que la superficie de dicho rect´angulo es S=b·h, base por altura.

Ahora bien, el ´area de nuestro tri´angulo es precisamente la

mi-tad del ´area de dicho rect´angulo, ya que ´este se divide en cuatro

tri´angulos rect´angulos de superficiesS3,S1,S2yS4. Teniendo en

cuenta que S3 =S1 yS2 =S4, al ser tri´angulos rect´angulos con

la misma base y altura que comparten de diagonal los otros dos

lados del tri´angulo inicial, s´e que la superficie del rect´angulo es

S= 2S1+ 2S2= 2(S1+S2), que era igual ab·h, como se

estable-ci´o antes. Por ello, 2(S1+S2) =b·h, de donde S1+S2 =

b·h

2 .

Teniendo en cuenta que S1+S2 es el ´area de nuestro tri´angulo,

ya est´a demostrado.

Ejemplo 0.2

Un tri´angulo de base 8

cm

y altura 4

cm

tiene superficie

S

=

bh

2

=

8

·

4

2

=

32

2

= 16

cm

2

_.

Nota 0.6

N´otese que la superficie no se da en cent´ımetros, sino en cent´ımetros cuadrados, al ser la

superficie una magnitud cuadr´atica.

0.3.

El Teorema de Thales. Semejanza de tri´

angulos.

0.3.1.

El teorema de Thales.

El anterior punto se dedic´o a conocer qu´e era un tri´angulo y algunos de sus elementos. Veamos

a continuacion sus propiedades. De nuevo, algunas ser´an intuitivas, otras no. A partir de ahora,

enunciaremos sin demostrar el teorema de Thales, en general, y a partir de ´el demostraremos todos

los resultados que usemos.

Proposici´

on 0.3 (Teorema de Thales)

Sean

r

,

s

y

t

tres

rectas paralelas que cortan a otras dos en los puntos

A

,

B

y

C

de una, y en los puntos

A

0

_,

_B

0

_y

_C

0

_{de la otra. Entonces, los}

segmentos que determinan en ellas son proporcionales, esto

es:

AB

BC

=

A

0

_B

0

B

0

_C

0

Rec´ıprocamente, si los segmentos

AB

y

BC

son

proporciona-les a

A

0

_B

0

_y

_B

0

_C

0

_{, y las rectas}

_r

_y

_s

_{son paralelas, entonces}

la recta

t

es paralela a ellas

Demostraci´on:

La demostraci´on del Teorema de Thales es muy sencilla, si bien se basa en contenidos de continuidad,

siendo una demostraci´on tanto de tipo geom´etrico como anal´ıtico. No la veremos.

Nota 0.7

En las condiciones del Teorema de Thales,

AB

BC

=

A

0

_B

0

B

0

_C

0

es equivalente a

AB

A

0

_B

0

=

BC

B

0

_C

0

Proposici´

on 0.4 (Consecuencia del Th. de Thales)

Sean

s

y

t

dos rectas paralelas que cortan a otras dos rectas secantes en

A

en los

puntos

B

y

C

de una, y en los puntos

B

0

_y

_C

0

_{de la otra. Entonces,}

los segmentos que determinan en ellas son proporcionales, esto es:

AB

BC

=

AB

0

B

0

_C

0

o bien

AB

AB

0

=

BC

B

0

_C

0

Rec´ıprocamente, si los segmentos

AB

y

BC

son proporcionales a

A

0

_B

0

y

B

0

_C

0

_{, entonces las rectas}

_s

_y

_t

_{son paralelas.}

Demostraci´on:

Para la demostraci´on basta considerar una recta ficticiarparalela asyten el puntoA, y aplicar el Teorema

de Thales. Por cierto, teorema que tambi´en es cierto aunque las dos rectas sin nombre sean paralelas.

Nota 0.8 (Muy importante)

En el marco en el que nos vamos a mover, relacionado con los

tri´angulos, es m´as interesante la consecuencia al Teorema de Thales que el propio Teorema, ya

que podemos hacer la siguiente reescritura; n´otese que vamos a cambiar la notaci´on de v´ertices:

Proposici´

on 0.5

Sea el tri´angulo de v´ertices

A

,

B

y

C

. Sean

B

0

_y

C

0

_{dos puntos en los lados}

_AB

_y

_AC

_{. Entonces se verifica que si el}

segmento

B

0

_C

0

_{es paralelo al lado}

_BC

_{, entonces los segmentos}

_AB

0

_y

B

0

_B

_{son proporcionales a}

_AC

0

_y

_C

0

_C

_{, esto es:}

AB

0

B

0

_B

=

AC

0

C

0

_C

Rec´ıprocamente, si los segmentos

AB

0

_y

_B

0

_B

_{son proporcionales a}

_AC

0

y

C

0

_C

_{, entonces los segmentos}

_BC

_y

_B

0

_C

0

_{son paralelos.}

Demostraci´on:

Para la demostraci´on basta considerar los ladosB0 _yC0 _{como un trozo de recta paralela a la rectaBC, y}

Nota 0.9

No se pide que el alumno memorice todas las relaciones,

tan s´olo cuando puede aplicarse una de ellas, y a partir de all´ı, sepa

deducir las dem´as. Por cierto, aqu´ı tenemos la foto de una

escultu-ra de Thales de Mileto;

matem´atico y astr´onomo griego (nacido el

624aC, muerto el 546aC), tradicionalmente considerado como uno

de los siete sabios de Grecia. Se dice que viaj´o por Egipto, donde

aprendi´o geometr´ıa, y donde midi´o la altura de las pir´amides a

par-tir de su sombra; en todo caso se le ha tenido siempre por astr´onomo

y ge´ometra pr´actico, atribuy´endosele algunos descubrimientos

ma-tem´aticos como el teorema que lleva su nombre. Quiz´a la referencia

m´as exacta de su vida sea la predicci´on del eclipse que tuvo lugar

el a˜

no 585 antes de Cristo, lo que le vali´o gran renombre y fama

.

Sigamos

Ejemplo 0.3

Calcular

x

en el tri´angulo

ABC

de la figura, sobre

el cual se han tomado otros puntos

B

0

_y

_C

0

_{de modo que el}

seg-mento

BC

es paralelo a

B

0

_C

0

_{, y tenemos las distintas longitudes}

AB

0

_{= 12}

_cm

_,

_B

0

_B

_{= 4}

_cm

_,

_AC

0

_{= 11}

_cm

_.

Sobre el tri´angulo ABC se han tomado los puntos B0 _{en el lado AB y C}0 _{en el lado AC. Como BC es}

paralelo aB0_C0_{, estamos en las condiciones del Teorema de Thales para tri´angulos (proposicion 0.5), y por}

ello, de AB

0

B0_B =

AC0

C0_C tenemos que

12

4 =

11

x, de donde 12x= 44, y por ello x=

44

11 '3

0_7.

0.3.2.

Semejanza de tri´

angulos

A continuaci´on vamos a entrar de lleno en el concepto de semejanza, en particular en la

seme-janza de tri´angulos. Es importante que sepamos establecer condiciones para que dos tri´angulos sean

semejantes, ya que los tri´angulos nos abren el acceso a otros pol´ıgonos, ya que todo pol´ıgono es

triangularizable, o uni´on disjunta de varios tri´angulos. Por ello, el conocer cu´ando dos tri´angulos

seon semejantes nos permitir´a saber cuando dos figuras, en general, lo son.

B´asicamente, el ser semejantes significa tener la misma forma, aunque no el mismo tama˜

no. Por

ejemplo; un cuadrado de arista 6

cm

es semejante a otro cuadrado de arista 20

cm

; de hecho, si

pudi´eramos encoger el segundo, o agrandar el primero, de modo que mantuvieran sus proporciones,

uno encajar´ıa perfectamente en el otro. Ahora bien, por m´as que jugaramos con el tama˜

no, un

cuadrado nunca ser´ıa semejante a un tri´angulo o a un c´ırculo. Por cierto, los c´ırculos son todos

semejantes entre s´ı, mientras los tri´angulos podr´an serlo o no. Una vez vista la definici´on intuitiva,

veamos la rigurosa, la matem´atica:

Definici´

on 0.13 (tri´

angulos semejantes)

Dos tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{se dicen semejantes, lo que se denotar´a}

_ABC

_∼

_A

0

_B

0

_C

0

_{, cuando}

se verifican simult´aneamente las dos condiciones siguientes:

1. Tienen todos sus lados proporcionales;

a

a

0

=

b

b

0

=

c

c

0

2. Todos sus ´angulos son iguales 2 a 2;

A

b

=

A

b

0

_,

_B

b

₌

c

_B

0

_y

_C

b

₌

c

_C

0

Nota 0.10

Ya tenemos la definici´on de tri´angulos semejantes, y sobre estas l´ıneas hemos visto una

imagen que nos ayude a conocer el concepto de semejanza, el poseer la misma forma, sin importar el

tama˜

no, as´ı de simple. A partir de ahora tenemos dos objetivos... dar ejemplos de tri´angulos

seme-jantes, y unos criterios m´as sencillos para establecer que dos tri´angulos efectivamente son semejantes.

Lema 0.6

Sea la igualdad

x

y

=

x

−

A

y

−

B

. De ella se deduce que

x

y

=

A

B

.

Demostraci´on: Sea x y = x−A

y−B; deshaciendo dicha igualdad de fracciones (o sea, multiplicando en cruz) se tiene que

x(y−B) =y(x−A), esto es,xy−xB=yx−yA, o sea (el factorxyse repite en ambos miembros, as´ı que

es prescindible), −xB=−yA, o lo que es lo mismoxB=yA, que puede escribirse, como una igualdad de

fracciones, como: x

y = A B.

Proposici´

on 0.7

Dos tri´angulos en posici´on de Thales (esto es,

seg´

un las condiciones que se establecen en la anterior proposici´on

0.5, donde el tri´angulo

AB

0

_C

0

_{se define sobre el tri´angulo}

_ABC

siempre que el nuevo lado

B

0

_C

0

_{sea paralelo al lado}

_BC

_{) son}

seme-jantes.

Demostraci´on:

Consideremos el tri´anguloABC, consideremos un puntoB0 _sobre

ABy un puntoC0_{sobreAC, de modo queB}0_C0_{sea paralelo aBC.}

Consideremos los tri´angulosABC yAB0_C0_{. N´otese que A=A}0

Es evidente que Ab= cA0_{, ya que de hecho son el mismo ´angulo.}

Igualmente,Bb=Bc0 _yCb₌c_C0_{, ya que como se ha dicho,B}0_C0 _es

paralelo aBC. Ello prueba la igualdad de ´angulos.

Probemos ahora la proporcionalidad de lados. Como estamos con dos tri´angulosABCyAB0_C0_{en posici´on}

de Thales, se verifica la proposici´on 0.5, y por ello AB

AC = AB0

AC0, o sea

AB AB0 =

AC

AC0, que equivale a

c c0 =

b b0.

Queda probar que la igualdad anterior es igual a a

a0, para lo cual vamos a volver a aplicar la proposici´on

0.5, pero desde otro v´ertice.

En efecto, consideremos ahora un punto C00_{sobre el ladoBC de}

modo que el segmento C0_C00_{sea paralelo a AB. N´otese, al ser el}

cuadril´atero CC0_B0_{B un paralelogramo (los lados son paralelos}

dos a dos), que coinciden las parejas de longitudesB0_B=C0_C00_y

B0_C0 _=BC00_{. Si ahora consideramos el tri´anguloABC, el v´ertice}

C, y los ladosAB yC0_C00_{, tenemos otro tri´angulo en posici´on de}

Thales, en el cual se verifica que:

CA CB =

CC0

CC00 =

AC−AC0

CB−BC00

(#)

=⇒ CA

CB = AC0

BC00 =

AC0

B0_C0

Donde en el paso (#) hemos aplicado el lema 0.6, y ello acaba la demostraci´on, ya que CA

CB =

AC0

B0_C0

equivale a b

a = b0

a0, o sea, a

b b0 =

a

a0, y como ya ten´ıa que

b b0 =

c

c0, se prueba la igualdad de razones entre

lados a

a0 =

b b0 =

a a0.

Nota 0.11

La proposici´on anterior establece una interpretaci´on geom´etrica de cu´ando dos tri´angulos

son semejantes; dado un tri´angulo

ABC

, todos aquellos tri´angulos que comparten v´ertice

A

, y lados

AB

0

_y

_BC

0

_{, donde}

_B

0

_C

0

_{es paralela a}

_BC

_{, son semejantes.}

Nota 0.12

La proposici´on anterior es muy interesante, pero no es siempre f´acil de aplicar, ya que

realmente hay que probar, dados dos tri´angulos, que coinciden las parejas de ´angulos,

A

b

=

A

b

0

_,

_B

b

₌

c

_B

0

y

C

b

=

C

c

0

_{, as´ı como las relaciones entre lados}

_a/a

0

₌

_b/b

0

₌

_c/c

0

_{. A continuaci´on vamos a enunciar,}

sin probar, tres resultados que permitan establecer la semejanza de tri´angulos con condiciones menos

restrictivas, y que se conocen como los

‘3 criterios de semejanza de tri´angulos’

.

0.3.3.

Criterios de semejanza de tri´

angulos.

Proposici´

on 0.8 (primer criterio de semejanza.)

Sean

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{dos tri´angulos que verifiquen tener dos parejas de ´angulos}

iguales, por ejemplo que

A

b

=

A

b

0

_y

_B

b

₌

_B

c

0

_{. Entonces}

_ABC

_y

_A

0

_B

0

_C

0

_son

semejantes. El rec´ıproco es cierto.

Demostraci´on:

La demostraci´on directa no se hace, pero obs´ervese que de la igualdad

de dos parejas de ´angulos se deduce necesariamente la igualdad de la

tercera pareja de ´angulos, Cb =cC0_{, ya que A}b_+Bb_+Cb _{= 180}◦_{, tal como}

se estableci´o en la proposici´on 0.1. Por ello,Cb = 180◦_−Ab_−Bb _{= 180}◦₋

c

A0_−Bc0 _=Cc0_{, donde en la ´ultima igualdad se han aplicado las relaciones}

b

A=Ac0 _yBb _=Bc0_{. Respecto el rec´ıproco, es evidente; si los dos tri´angulos}

son semejantes seg´un la definici´on 0.13, tienen iguales dos a dos todos sus

´

angulos, en particular dos de ellos.

Ejemplo 0.4

Sea

ABC

un tri´angulo con ´angulos

A

b

= 36

◦

_y

_B

b

_{= 50}

◦

_{. Sea}

_A

0

_B

0

_C

0

_{un tri´angulo con}

´angulos

A

b

0

_{= 50}

◦

_y

c

_C

0

_{= 36}

◦

_{. ¿Son semejantes?}

La respuesta es afirmativa, si bien en ambos tri´angulos los v´ertices hom´ologos no tienen ´angulos hom´ologos;

esto es, no se tiene por ejemplo que Ab = Ac0 _{= 36}◦_{, sino lo que se tiene m´as bien es A}b _{= C}c0 _{= 36}◦_,

b

B =Ac0 _{= 50}◦_{, y consecuentemente C}b _=Bc0 _{= 94}◦ _{(ya que 180−36−50 = 94). Digamos que aquel que}

etiquet´o los v´ertices no lo hizo bien, pero el hecho es que tenemos dos tri´angulos que tienen iguales, dos

a dos (aunque mal etiquetados), sus tres ´angulos, y por ello, seg´un el primer criterio de semejanza son

iguales.

Ejemplo 0.5

Sea

ABC

un tri´angulo con ´angulos

A

b

= 30

◦

_y

_B

b

_{= 80}

◦

_{. Sea}

_A

0

_B

0

_C

0

_{un tri´angulo con}

´angulos

A

b

0

_{= 30}

◦

_y

c

_B

0

_{= 90}

◦

_{. ¿Son semejantes?}

La respuesta es negativa. En este caso s´ı tenemos que Ab=cA0 _{= 30}◦_{, de donde para probar la semejanza}

tan s´olo necesitar´ıamos encontrar otra pareja de ´angulos igual (lo que tambi´en llevar´ıa consigo la igualdad

de la tercera). Ahora bien, Bb 6= Bc0_{; es cierto que pudieran estar cruzados los v´ertices hom´ologos, tal}

como pas´o en el ejemplo anterior... pero va a ser que no. Si calculamos Cb = 180−30−80 = 70◦_{, y}

c

C0_{= 180−30−90 = 60}◦_{vemos que no hay otra pareja de ´angulos que coincidan, y como ello es necesario}

(esto se debe a la afirmaci´on‘el rec´ıproco es cierto’de la proposici´on 0.8; si los tri´angulos son semejantes

tiene que haber una pareja de ´angulos que coincida), al no haber pareja de ´angulos coincidentes, no puede

haber semejanza.

Corolario 0.9

Sean

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{dos tri´angulos rect´angulos en los}

respectivos ´angulos

A

b

y

A

b

0

_{. Si adem´as}

_B

b

₌

c

_B

0

_{. Entonces}

_ABC

_y

_A

0

_B

0

_C

0

son semejantes. El rec´ıproco tambi´en es cierto.

Demostraci´on:

Esta s´ı se hace. Si tenemos dos tri´angulos rect´angulos en AbyAc0_{, es que}

b

A =cA0 _{= 90}◦_{. Como adem´as B}b _=Bc0_{, ya tenemos dos parejas de ´}

angu-los iguales, y por ello estamos en las condiciones del primer criterio de

semejanza, y por ello ambos tri´angulos son semejantes.

Ejemplo 0.6

Sea

ABC

un tri´angulo rect´angulo en

A

, del que se conoce

B

b

= 60

◦

_{. Sea}

_A

0

_B

0

_C

0

_un

tri´angulo rect´angulo en

A

0

_{, del que se conoce}

c

_B

0

_{= 30}

◦

_{. ¿Son semejantes?}

Por supuesto que s´ı. Como ambos tri´angulos son rect´angulos, ya tenemos una pareja de ´angulos iguales,

b

A = cA0 _{= 90}◦_{. Para probar la semejanza de tri´angulos s´olo hace falta encontrar otra pareja de ´angulos}

iguales; en este casoCc0 _{= 180−90−30 = 60}◦_{, que coincide conB}b_{, y por ello ya tenemos las dos parejas}

de ´angulos igualesAb=cA0 _yBb₌c_C0_{, pudiendo aplicar la proposici´on 0.8 o primer criterio de semejanza.}

S´ı, podr´ıa haber aplicado directamente el corolario 0.9, que trata de tri´angulos rect´angulos, y haber probado

s´olo una igualdad m´as de ´angulos, Bb =cC0 _{= 60}◦_{. Se ha hecho dos veces para que se comprenda que la}

Proposici´

on 0.10 (segundo criterio de semejanza.)

Sean

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{dos tri´angulos con una pareja de ´angulos iguales}

_A

b

₌

_A

b

0

_{y una}

relaci´on de igualdad entre las longitudes de los lados que poseen al

ci-tado v´ertice,

AB

A

0

_B

0

=

AC

A

0

_C

0

. Entonces los tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_son

semejantes. El rec´ıproco tambi´en es cierto.

Demostraci´on:

La demostraci´on directa, al igual que la demostraci´on del primer criterio

de semejanza de tri´angulos, no se hace, si bien es una demostraci´on f´acil de

realizar. La demostraci´on del rec´ıproco es evidente; si los dos tri´angulos son

semejantes, se verifican todas las condiciones que establece la definici´on

0.13, dos de las cuales son las que habr´ıa que probar ahora.

Ejemplo 0.7

Se tienen dos tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{. Del primero se conoce}

_A

b

_{= 60}

◦

_{y que las dos}

aristas adyacentes,

AB

y

AC

, miden respectivamente 4 y 6

cm

. Del segundo se conoce

A

b

0

_{= 60}

◦

_y

que las dos aristas adyacentes,

A

0

_B

0

_y

_A

0

_C

0

_{, miden respectivamente 6 y 9}

_cm

_{. ¿Son semejantes?}

Razonemos. Respecto los ´angulos, sin la trigonometr´ıa (que a´un no se ha visto) no podemos saber c´omo

son los otros dos ´angulos de cada tri´angulo, as´ı que conform´emonos con que sabemos Ab = cA0 _{= 60}◦_{, y}

olvid´emonos del primer criterio de semejanza y su corolario, que requieren el conocimiento de dos parejas

de ´angulos, y no s´olo una.

Intent´emoslo con el segundo criterio de semejanza, que requiere, adem´as de Ab= cA0_{, que se verifique la}

relaci´on AB

A0_B0 =

AC

A0_C0, lo cual es evidente, ya que

4

6 =

6

9 = 0

0_{6666· · ·. Y por ello, s´ı hay semejanza.}

Ejemplo 0.8

Se tienen dos tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{. Del primero se conoce}

_A

b

_{= 50}

◦

_{y que tenemos}

las longitudes

AB

= 12

cm

,

BC

= 8

cm

. Del segundo se conoce

A

b

0

_{= 50}

◦

_{y que tenemos las longitudes}

A

0

_B

0

_{= 6}

_cm

_,

_B

0

_C

0

_{= 4}

_cm

_{. ¿Son semejantes?}

Pues por el momento nos vamos a quedar con la duda. De nuevo, nos olvidamos del primer criterio

de semejanza, nos quedamos con Ab = Ac0_{, e intentamos aplicar el segundo. S´olo nos falta probar una}

proporcionalidad de lados... y aqu´ı est´a el problema; es cierto que AB

A0_B0 =

BC

B0_C0 = 2, pero el problema es

que esta relaci´on no se pide; la que se pide es AB

A0_B0 =

AC

A0_C0, y claro est´a, deACyA

0_C0 _{no sabemos nada}

sin la trigonometr´ıa, as´ı que de dicha relaci´on, tampoco. Sencillamente... no lo sabemos... todav´ıa.

Mucho cuidado... _{si estamos tentados de decir que si AC y A}0_C0 _{fueran proporcionales, s´ı existir´ıa}

semejanza, ello no es necesariamente cierto. En efecto, tendr´ıamos tres parejas de lados proporcionales, pero

al principio se dijoAb= 50◦_{; pudiera ser que al establecer el ladoACresulte queA}b_{deba ser obligatoriamente}

60◦_{, que es distinto al datoA}b_{dado inicialmente, por lo que de la proporcionalidad deACyA}0_C0_{no se deduce}

necesariamente la semejanza, al existir un dato inicial que debe ser compatible con el nuevo tri´angulo, y

en general no existir´a compatibilidad. N´otese que en el siguiente resultado se habla de la proporcionalidad

de lados, pero no se dice nada de cu´anto ha de medir un cierto ´angulo. Cuando veamos la proposici´on??

lo comprenderemos mejor.

Proposici´

on 0.11 (tercer criterio de semejanza.)

Sean

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{dos tri´angulos que dos a dos, tienen iguales las razones entre sus}

lados, esto es,

AB

A

0

_B

0

=

AC

A

0

_C

0

=

BC

B

0

_C

0

. Entonces los dos tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{son semejantes. El rec´ıproco tambi´en es cierto.}

Demostraci´on:

De nuevo, la demostraci´on directa, al igual que la demostraci´on del primer

criterio de semejanza de tri´angulos, no se hace, siendo tan s´olo un poco

m´as dif´ıcil que la del segundo criterio de semejanza. La demostraci´on del

rec´ıproco vuelve a ser evidente; si los dos tri´angulos son semejantes, se

verifican todas las condiciones que establece la definici´on 0.13, dos de las

Ejemplo 0.9

Se tienen dos tri´angulos

ABC

y

A

0

_B

0

_C

0

_{. Del primero se conocen las longitudes de}

todas sus aristas, medidas en cent´ımetros,

AB

= 12,

AC

= 10,

BC

= 8. Del segundo se conocen las

longitudes de sus aristas, medidas en metros,

A

0

_B

0

_{= 18,}

_A

0

_C

0

_{= 15 y}

_B

0

_C

0

_{= 12. ¿Son semejantes?}

Pues ahora s´ı est´a claro, y la respuesta es afirmativa, ya que se verifica AB

A0_B0 =

AC A0_C0 =

BC B0_C0 =

2

300, y

por ello, por el tercer criterio de semejanza, se da la semejanza de los dos tri´angulos. Respecto el que las

aristas est´en medidas en metros o cent´ımetros no influye demasiado, salvo que la constante ser´a m´as grande

o m´as peque˜na (estamos comparando un tri´angulos que mide cent´ımetros con otro que mide metros), pero

seguir´a siendo constante.

Nota 0.13 (important´ısima)

En la definici´on 0.13 se establecieron las condiciones que deb´ıan

seguir dos tri´angulos llamados semejantes. Con los criterios anteriores de semejanza, se hace m´as

sencillo comprobar cu´ando dos tri´angulos son semejantes; basta que tengan dos datos iguales; donde

estos datos pueden ser dos ´angulos (primer criterio), un ´angulo y una raz´on de lados (segundo

criterio), o dos razones de lados (tercer criterio).

0.3.4.

Teoremas de la altura, del cateto y de Pit´

agoras.

Con el teorema de Thales hemos obtenido una herramienta util´ısima para estudiar los tri´angulos,

como es el concepto de semejanza, que permite establecer cu´ando dos tri´angulos son iguales, salvo

tama˜

no y posici´on, y nada m´as. En este punto vamos a sacarle algo m´as de partido a las consecuencias

del Teorema de Thales, probando un par de resultados relacionados con los tri´angulos rect´angulos,

en particular el teorema de Pit´agoras.

Proposici´

on 0.12 (teorema del cateto)

Sea

ABC

un

tri´angulo rect´angulo en

A

. Sea

H

la proyecci´on ortogonal del

punto

A

sobre el lado

BC

(esto es,

AH

es la altura asociada

al v´ertice

A

). Entonces se verifica la igualdad de longitudes

AB

2

₌

_BC

_·

_BH

_.

Demostraci´on:

Consideremos el tri´angulo rect´anguloABC, consideremos el puntoH, y el lado

AH. Si contemplamos los dos tri´angulosABC yABH, ambos son rect´angulos

en AyH respectivamente, y adem´as poseen un ´angulo agudoBb com´un.

Por el corolario 0.9, ambos tri´angulosABC yABH son semejantes, por lo que

en particular (se recomienda dibujar ambos tri´angulos simult´aneamente, con el

´

angulo recto y el agudo com´un en un mismo lugar, y comparar dos a dos los

lados que resultan) se tiene que AB

BH =

BC

AB, de dondeAB

2_{=BC·BH, como}

se pretend´ıa probar.

Proposici´

on 0.13 (teorema de la altura)

Sea

ABC

un

tri´angulo rect´angulo en

A

. Sea

H

la proyecci´on ortogonal del

punto

A

sobre el lado

BC

(esto es,

AH

es la altura asociada

al v´ertice

A

). Entonces se verifica la igualdad de longitudes

AH

2

₌

_BH

_·

_CH

_.

Demostraci´on:

Consideremos el tri´angulo rect´angulo ABC, consideremos el punto H, y

el ladoAH. Si contemplamos los dos tri´angulos ACH yABH, ambos son

tri´angulos semejantes aABC, al ser rect´angulos enH y compartir cada uno

un ´angulo agudo conABC. Al ser ambos semejantes aABC, son semejantes

entre s´ı (v´ease la nota 0.14). Al serACH yABH semejantes, por el corolario

0.9 se tiene que AH

CH =

BH

AH, de dondeAH

2_{=BH·CH, como se pretend´ıa}

Nota 0.14

Para probar el resultado anterior se ha utilizado que la semejanza es una relaci´on de

equivalencia, esto es, que verifica las propiedades (todas elementales):

Reflexiva; todo tri´angulo es equivalente a s´ı mismo.

Sim´etrica; si el tri´angulo

ABC

es semejante al tri´angulo

A

0

_B

0

_C

0

_{, entonces}

_A

0

_B

0

_C

0

_{es semejante}

a

ABC

.

Transitiva; si un tri´angulo es semejante a un segundo, y ´este a un tercero, entonces el primero

es semejante al tercero.

Proposici´

on 0.14 (Teorema de Pit´

agoras)

Sea

ABC

un

tri´angulo rect´angulo en

A

, esto es,

AB

y

AC

son catetos y

BC

la hipotenusa. Entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de los catetos;

BC

2

₌

_AB

2

₊

_AC

2

_.

Demostraci´on:

Por el teorema del cateto, proposici´on 0.12,AB2_=BC·BH.

Igualmente, por el teorema del cateto,AC2_=BC·CH

  AB

2_+AC2_{=BC·BH+BC·CH}

Sacando factor com´unBC,AB2+AC2=BC(BH+CH) =BC·BC =BC2, como se quer´ıa demostrar.

N´otese que se ha utilizado queBC=CH+BH.

Nota 0.15

Aunque hemos enunciado y demostrado el teorema de Pit´agoras tras el teorema de la

altura, no hemos utilizado a este teorema para nada. En realidad, como consecuencia del teorema de

Thales, el teorema de Pit´agoras s´olo es consecuencia del teorema del cateto.

Nota 0.16

El teorema de Pit´agoras tiene muchas m´as demostraciones de tipo geom´etrico y anal´ıtico.

La demostraci´on anterior es interesante ya que est´a dentro de nuestro marco de trabajo, al proceder

de un resultado (teorema del cateto) que se prueba a partir de la semejanza de tri´angulos. Veamos

en la imagen inferior algunos esbozos de demostraciones de tipo geom´etrico.

Nota 0.17

Es conocido de tiempos de los griegos que las ternas Pitag´oricas enteras vienen dadas

por la f´ormula (2

ab, a

2

₋

_b

2

_{, a}

2

₊

_b

2

_{) para}

_{a > b}

_{dos n´}

_{umeros naturales. Por ejemplo, para}

_a

_{= 2 y}

b

= 1 se obtiene (2

·

2

·

1

,

2

2

₋

₁

2

_,

₂

2

_{+ 1}

2

_{) = (4}

_,

₃

_,

_{5), y efectivamente 4}

2

_{+ 3}

2

_{= 5}

2

_{. Otro ejemplo,}