Notas de Geometría Diferencial con aplicaciones. Antonio Valdés

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aplicaciones

Antonio Vald´es

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Indice general

1. Introducci´on al Sage 5

1.1. Instalaci´on . . . 5

1.2. Primeros pasos con Sage . . . 6

1.2.1. Sage como una calculadora . . . 6

1.2.2. Sage como int´erprete de Python . . . 7

1.2.3. C´alculo diferencial y manipulaci´on de expresiones . . . 8

1.2.4. Resolviendo ecuaciones . . . 10

1.2.5. C´alculo diferencial . . . 12

1.2.6. Representaci´on gr´afica de funciones . . . 13

1.2.7. ´Algebra lineal . . . 14

2. Curvas parametrizadas 19 2.1. Ejemplos de curvas planas . . . 20

2.1.1. Circunferencia . . . 22

2.1.2. Curvas polin´omicas . . . 23

2.2. Curvas de B´ezier . . . 24

2.2.1. Afinidades . . . 24

2.2.2. Combinaciones baric´entricas . . . 26

2.2.3. Algoritmo de Jarvis para el c´alculo de la envoltura convexa 29 2.2.4. Polinomios de Bernstein . . . 30

2.2.5. Curvas de B´ezier . . . 31

2.2.6. El algoritmo de De Casteljau . . . 33

2.3. Las c´onicas como curvas racionales . . . 34

3. Curvas regulares. Curvatura. 39 3.1. Curvas regulares. Longitud de arco. . . 39

3.2. Definici´on de curvatura . . . 49

3.2.1. Curvatura de una curva plana . . . 50

3.2.2. Curvatura de una curva no parametrizada por la longitud de arco 52 3.2.3. Invariancia de la curvatura . . . 54

3.2.4. Circunferencia osculadora . . . 55 3

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3.3. Envolvente de una familia de curvas planas parametrizadas . . 58

3.4. Ecuaciones impl´ıcitas de curvas en el plano . . . 61

3.4.1. C´onicas degeneradas . . . 65

3.4.2. Curvatura de una curva definida impl´ıcitamente . . . . 67

4. Ecuaciones de Frenet 69 4.1. Otra interpretaci´on de la curvatura de una curva plana . . . . 69

4.2. Ecuaciones de Frenet planas . . . 71

4.3. El teorema fundamental de la teor´ıa de curvas planas . . . 73

4.4. Curvas espaciales. Plano osculador . . . 76

4.5. Binormal. F´ormulas de Frenet y consecuencias. . . 78

4.6. Forma can´onica local de una curva . . . 80

5. Superficies 83 5.1. Superficies de B´ezier . . . 83

5.2. Superficies parametrizadas regulares . . . 86

5.2.1. El plano tangente es el que mejor aproxima la superficie en el punto 86 5.3. Ejemplos de superficies . . . 88

5.3.1. Grafos . . . 88

5.3.2. Superficies de rotaci´on . . . 88

5.4. Rotaciones y cuaterniones . . . 89

5.5. Curvas sobre superficies. Geod´esicas . . . 92

5.5.1. Geod´esicas . . . 93

6. Las formas fundamentales 97 6.1. Primera forma fundamental . . . 97

6.1.1. Longitudes de curvas . . . 97

6.1.2. ´Angulos . . . 98

6.1.3. ´Areas . . . 99

6.2. La segunda forma fundamental . . . 99

6.2.1. Curvatura normal y curvatura geod´esica . . . 102

6.2.2. Secciones normales . . . 103

6.2.3. Diagonalizaci´on de la segunda forma fundamental . . . 104

6.2.4. C´alculos expl´ıcitos . . . 105

6.3. L´ıneas de curvatura y l´ıneas asint´oticas . . . 107

6.4. Una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura de Gauss . . . . 109

6.5. El teorema egregio de Gauss . . . 111 Esta obra se difunde bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual 3.0. Puede leer las condiciones de la licencia en

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Introducci´

on al Sage

Esta es una breve introducción al Sage en la que sólo se tratarán aspectos del mismo que son relevantes para nuestro curso. Sage es realmente inmenso, cosa que se puede comprobar hojeando los miles de páginas de los que consta el manual de referencia http://www.sagemath.org/doc/reference/, que es el instrumento esencial para encontrar la parte de Sage relevante para las matemáticas que te interesen en cada momento. También existe mucha información en la red, as´ı que a menudo podrás encontrar lo que necesites haciendo una búsqueda en Google (en inglés, preferiblemente) a la que añadas el término “sagemath”.

1.1. Instalaci´

on

Sage est´a ya instalado en los ordenadores del laboratorio. Cuando el or-denador arranca, hay que elegir “Ubuntu” para que arranque el sistema y, una vez estemos dentro, basta con hacer doble click en el icono de Sage que aparece en el escritorio.

La forma más sencilla de utilizar Sage fuera del laboratorio es hacerse una cuenta en https://cloud.sagemath.com/. Es un servicio experimental gratuito para el cual es necesario un acceso a internet. Es una opción adecua-da para hacer cálculos sencillos, pero probablemente no lo sea para cálculos de coste computacional alto.

Si se quiere instalar Sage en tu propio ordenador, la mejor opción es instalar una distribución de GNU/Linux. Si quieres instalar GNU/Linux se recomienda empezar instalando Ubuntu. Si el ordenador es muy antiguo, es posible instalar versiones más ligeras como por ejemplo Xubuntu. Las instrucciones para instalar Ubuntu se pueden encontrar en

http://www.ubuntu.com/download/desktop/install-desktop-latest. 5

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Una vez instalado GNU/Linux, se puede descargar Sage de

http://www.sagemath.org/download-linux.html. La instalaci´on es muy sencilla: basta con descomprimir el fichero y ejecutar el fichero sage.

Es posible también hacer un Live USB para arrancar Sage (instrucciones aqu´ı, sin embargo hay que saber que con el Live USB se tiene una versión de Sage algo más antigua aunque probablemente suficiente para nuestros propósitos), instalar Sage en MacOS o usar una máquina virtual para hacer que Sage corra en Windows. Instrucciones detalladas se pueden encontrar en http://www.sagemath.org/doc/installation/.

1.2. Primeros pasos con Sage

Se recomienda encarecidamente hacer el tutorial de Sage, que está en cual-quier instalación local o en la URL http://www.sagemath.org/doc/tutorial/. Es importante saber que se puede obtener ayuda sobre cualquier función, método o constante escribiendo su nombre seguido de un signo de interroga-ción. Por ejemplo:

sage: matrix?

devolverá la página de ayuda del constructor de matrices. Si se tiene un objeto (por ejemplo, foo) y un método met, se puede obtener la ayuda co-rrespondiente haciendo

sage: foo.met?

Finalmente, es muy útil usar el tabulador (quizá después de haber escrito algunas letras) para completar las posibles funciones de las que sage dis-pone. También, una vez definido un objeto, escribiendo foo. y pulsando el tabulador, veremos todos los métodos que son aplicables a foo.

Sage se puede utilizar en la consola o en modo “Hoja de cálculo”, usando un navegador. Para abrir el navegador basta con dar la instrucción notebook() desde Sage o arrancarlo como sage -n. También es posible hacer scripts en Python que usen Sage y escribir programas en Sage. Aunque esta introduc-ción está enfocada principalmente a la consola, en general se recomienda utilizar Sage en el navegador.

1.2.1. Sage como una calculadora

Con Sage se pueden hacer operaciones como en una calculadora. sage: 1+1

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2 sage: 3^20

3486784401

Sage procurar´a, en la medida de lo posible, mantenerse en aritm´etica exacta. Por ejemplo:

sage: 5/3 + 2/5

31 15

Si deseamos soluciones aproximadas, podemos obtenerlas por ejemplo usando la funci´on numerical approximation, que se puede abreviar sim-plemente por n: sage: cos(pi/5) 1 4 √ 5 + 1 4 sage: n(cos(pi/5), digits=2)

0,81

1.2.2. Sage como int´

erprete de Python

Sage utiliza el lenguage Python, de forma que todo lo que se puede hacer en Python se puede hacer en Sage. Por ejemplo, calculemos la suma de los cuadrados de los naturales menores que 1000 que no son m´ultiplos de 3 ni de 7:

sage: sum(x**2 for x in range(1000) if x%3!=0 and x%7!=0)

190046194

Sin embargo, en Sage podemos escribir x^2 en lugar de x**2, si lo deseamos. En Sage se pueden escribir programas en Python, con el cuidado habitual de seguir las reglas de indentaci´on:

(8)

sage: def slowFib(n):

... if n == 0: return 0

... elif n == 1: return 1

... else: return slowFib(n-1) + slowFib(n-2)

sage: slowFib(10)

55

1.2.3. C´

alculo diferencial y manipulaci´

on de

expresio-nes

En nuestra asignatura nos interesan especialmente las capacidades de cálculo simbólico del Sage. Para utilizar variables simbólicas, es necesario definirlas previamente:

sage: var(’x y’)

(x, y)

sage: A = 1 + 1 / (x + 1/y)^2 + 3*x*y / (1 + y^2); Podemos simplificarla:

sage: A.simplify_full()

(x2_{+ 1)y}4_{+ (3 x}3_{+ 2 x)y}3_{+ (7 x}2_{+ 2)y}2_{+ 5 xy + 1}

x2_y4_{+ 2 xy}3_{+ (x}2_{+ 1)y}2_{+ 2 xy + 1}

En ocasiones, es preferible factorizar para obtener expresiones m´as simples: sage: A.simplify_full().factor()

3 x3_y3_{+ x}2_y4_{+ 7 x}2_y2_{+ 2 xy}3_{+ y}4_{+ 5 xy + 2 y}2_{+ 1}

(xy + 1)2(y2_{+ 1)}

En muchas ocasiones, el método simplify va a ser menos adecuado para no-sotros que simplify full, que aplica una sucesión de simplificaciones sobre la expresión. Para saber exactamente qué simplificaciones se hacen, puedes acceder a la ayuda haciendo

(9)

sage: f.simplify_full?

Para evaluar la expresi´on en x = 2, y = 3 hay varias opciones, por ejemplo: sage: A(x=2, y=3)

731 245

Se puede usar tambi´en el m´etodo subs, que permite hacer sustituciones. Una de las posibilidades es que su argumento sea un diccionario. Para ilustrarlo, hagamos por ejemplo un cambio a coordenadas polares:

sage: var(’t’)

t sage: A.subs({x:cos(t), y:sin(t)})

3 cos (t) sin (t) sin (t)2+ 1 + 1 1 sin(t)+ cos (t) 2 + 1

Veamos c´omo obtener el numerador y denominador de una expresi´on: sage: A = x*y/(1+x^2+y^2)

sage: A.numerator()

xy sage: A.denominator()

x2+ y2+ 1

Se puede acceder a las distintas partes de una expresión mediante el método operands, mientras que operator nos devuelve la función que une las partes: sage: A.operands() 1 x2_{+ y}2_{+ 1}, x, y

(10)

sage: A.operator() <function operator.mul>

Con esta informaci´on, se puede recuperar la expresi´on original: sage: reduce(A.operator(), A.operands())

xy x2_{+ y}2_{+ 1}

Recordemos que reduce(f, lista es una función de Python que aplica la función f a los dos primeros elementos de la lista, después el resultado al tercero y as´ı sucesivamente hasta que se obtiene un único valor:

sage: reduce(lambda x, y: x*y, range(1,20)) #El resultado es 1*2*...*19

121645100408832000

Hemos usado una λ-función, lambda x: x.simplify full(), que es una forma práctica y breve de Python (heredada de Lisp) para definir una función “al vuelo”.

1.2.4. Resolviendo ecuaciones

En Sage utilizaremos el s´ımbolo == para definir ecuaciones: sage: eq1 = x + y + 1 == 0 #Ejemplo de ecuaci´on sage: eq2 = 3*x -5 == 4*y

Podemos usar la funci´on solve para resolver el sistema: sage: solve([eq1, eq2], [x, y])

x = 1 7 , y = −8 7

Si queremos utilizar cómodamente las soluciones, resulta práctico utilizar un diccionario como solución:

sage: solu = solve([eq1, eq2], [x, y], solution_dict=True) sage: solu

(11)

x : 1 7, y : − 8 7

sage: solu = solu[0]

sage: bool(3*solu[x] - 5 == 4*solu[y]) True

Encontremos los cortes de una elipse y una recta:

sage: solve([x^2 + 3*y^2 == 1, x - y - 1 == 0], [x, y]) x = 1 2 , y = −1₂ , [x = 1, y = 0]

Cuando no es posible encontrar soluciones exactas, podemos intentar en-contrar una soluci´on aproximada:

sage: f = x^5 - 4*x^3 + 1 sage: solve(f, x)

0 = x5

− 4 x3+ 1

Intentar resolverlo exactamente no aporta ninguna solución. Sin embargo un dibujo de la función nos muestra que una de las soluciones está entre 0 y 1:

sage: plot(f, -2, 2) -2 -1 1 2 -4 -2 2 4 6

(12)

Pidamos a Sage que encuentre esa soluci´on: sage: find_root(f, 0, 1)

0,6541750137 Comprobemos que la soluci´on es correcta:

sage: r = find_root(f, 0, 1) sage: f(x=r)

1,52655665886 × 10−16

No hay que obtener la impresión incorrecta de que Sage (ni ningún otro procedimiento) puede resolverlo todo: los sistemas de ecuaciones no linea-les en varias variablinea-les pueden ser enormemente complicados de tratar, aún numéricamente.

1.2.5. C´

alculo diferencial

El m´etodo diff permite calcular derivadas de cualquier orden: sage: f = x*y / (1 + y + x^2) sage: f.diff(x, 2, y, 3) 288 x3 (x2_{+ y + 1)}5 − 480 x3_y (x2_{+ y + 1)}6 − 108 x (x2_{+ y + 1)}4 + 144 xy (x2_{+ y + 1)}5

Nótese que hemos derivado haciendo actuar el método diff sobre la expresión f. También podr´ıamos haber usado diff como una función. Sin embargo, no todo método tiene su equivalente como función ni viceversa. En la mayor parte de las ocasiones, haciendo uso de que en Python todo es un objeto, usaremos métodos para manipularlos. Calculemos ahora R1

x=0

R1

y=0f dydx:

sage: f.integrate(x, 0, 1).integrate(y, 0, 1)

−3

4 log (3) + log (2) + 1 4

En ocasiones no es posible calcular integrales de forma exacta. Se puede hacer entonces una integraci´on simb´olica:

(13)

sage: f = sin(x)/x sage: f.integrate(x, 0, 1) Z 1 0 sin (x) x dx sage: f.nintegrate(x, 0, 1) 0,946083070367, 1,05036320793 × 10−14_{, 21, 0}

La soluci´on de la integral es 0,946083070367, el error estimado es 1,05036320793× 10−14_{, se han hecho 21 evaluaciones de la funci´on a integrar y el ´}_{ultimo 0}

significa que no se han encontrado errores en la evaluaci´on.

1.2.6. Representaci´

on gr´

afica de funciones

En Sage es sencillo hacer representaciones gr´aficas: plot(sin(1/x), (x, 0, pi)) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0.5 1

Veamos ahora c´omo dibujar el grafo de una funci´on f : R2 _{→ R:}

var(’x y’)

f = x*y / (1 + x^2 + y^2)

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A lo largo del curso estaremos interesados en hacer dibujos de curvas parametrizadas y también de superficies. Veamos, por ejemplo, una repre-sentación gráfica de una hélice:

sage: var(’t’)

sage: parametric_plot3d([cos(t), sin(t), t], (t, -2*pi, 2*pi),\ thickness=5)

N´otese que hemos usado “\” para romper una l´ınea demasiado larga y con-tinuar en la siguiente.

El superponer varios dibujos es también fácil. Aprovechemos para intro-ducir gráficas definidas mediante ecuaciones impl´ıcitas:

dib_elipse = implicit_plot(x^2 + 3*y^2 == 1, (x, -2, 2), (y, -1, 1)) dib_recta = implicit_plot(x - y - 1 == 0, (x, -2, 2), (y, -1, 1),\

color=’red’) dib_recta + dib_elipse -2 -1 0 1 2 -1 -0.5 0 0.5 1

1.2.7. Algebra lineal

´

Veamos c´omo definir vectores y calcular productos escalares y vectoriales: sage: U = vector([-1, 2, 0])

sage: V = vector([3, 1, -5])

(15)

−1

sage: U.norm() #norma del vector

√ 5

sage: U.cross_product(V) #producto vectorial (−10, −5, −7)

En nuestro curso necesitaremos llevar a cabo algunas operaciones senci-llas con matrices: multiplicarlas, invertirlas, calcular determinantes, rangos y autovectores. Veamos algunos ejemplos:

sage: var(’a b c d’) (a, b, c, d) sage: M = matrix([[a, b], [c, d]]) sage: M a b c d sage: M.det() −bc + ad sage: M.inverse() 1 a− bc a2(bc a−d) b a(bc a−d) c a(bc a−d) − 1 bc a−d !

No es posible hacer una simplificación completa de una matriz aplicando di-rectamente el método .simplify full(). Sin embargo, podemos simplificar aplicando el método a las coordenadas de la matriz:

sage: invM = M.inverse()

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− d bc−ad b bc−ad c bc−ad − a bc−ad

Ha sido necesario volver a llamar al constructor matrix porque map devuelve una lista, no una matriz.

Veamos un ejemplo de c´alculo de autovectores y autovalores. Primero construyamos una matriz que tenga autovalores sencillos:

sage: P = matrix([[1, -1, 1], [1, 1, 1], [0, 1, 1]]) sage: D = matrix([[-1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 0]]) sage: M = P*D*P.inverse() sage: M   1 −2 1 −1 0 1 −1 1 0   sage: M.characteristic_polynomial(’x’) x3_{− x}2_{− 2x} sage: M.eigenvalues() [2, 0, −1] sage: M.eigenvectors_right() [(2, [(1, −1, −1)] , 1) , (0, [(1, 1, 1)] , 1) , (−1, [(1, 1, 0)] , 1)]

Naturalmente, la ´_{ultima respuesta significa que el vector (1, −1, −1) es un} autovector de M por la derecha correspondiente al autovalor 2 y con multi-plicidad 1, etc.

Todos los ejercicios de este cap´ıtulo deben ser resueltos utilizando Sage:

Ejercicio 1. Calc´ulese el numerador y el denominador de

x x2_{+ 1} −

3 x − 5.

Ejercicio 2. Obt´engase una lista con todos los n´umeros no primos menores o iguales que 1000.

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Ejercicio 3. Dib´_{ujense las rectas 2x − y − 1 = 0, x + y = 2 junto con su} punto de corte.

Ejercicio 4. _{Resu´elvase el sistema de ecuaciones 2x − y + z = 3y + 2z = 0,}

proporcionando un vector unitario que genere la recta de soluciones.

Ejercicio 5. Factor´ıcese el polinomio p(x) = x4_{− 2x}3_{− 15x}2_{− 4x + 20.}

Ejercicio 6. _{Encu´entrense todas las soluciones de la ecuaci´on cos(x) − x}2+ 1 = 0.

Ejercicio 7. Calc´ulese el gradiente de la funci´on f (x, y) = _x22xy

+y2.

Ejercicio 8. Calc´ulese la integral de la funci´on f (x) = x sin(x2_).

Ejercicio 9. Dib´ujese la funci´on f (x) = sin(x) junto con su recta tangente en x = π/4.

Ejercicio 10. Dada la matrix

A =   1 −1 3 0 −2 0 1 1 ₋₁  

calc´_{ulense las soluciones de la ecuaci´on AX = b, siendo b = (2, 1, −1)}⊤_.

Calc´ulese tambi´en la inversa de A, su polinomio caracter´ıstico y sus

(18)

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Curvas parametrizadas

Comenzaremos adoptando la siguiente idea intuitiva de curva plana: es el conjunto de puntos del plano recorrido por un punto que se mueve en el tiempo. Esto implica que las coordenadas del punto móvil x(t) = (x(t), y(t)) deben ser funciones x = x(t), y = y(t) de la variable temporal. Dado que las técnicas que usaremos para estudiar dichas curvas usarán herramientas del cálculo diferencial, exigiremos que las coordenadas sean funciones diferencia-bles con tantas derivadas como sea necesario.

La velocidad de la curva es el vector dx_dt = (dx_dt,dy_dt). N´otese que conociendo la velocidad v = v(t) de la curva y su posici´on x0 en un instante t = t0, es

posible recuperar la misma:

x(t) = x0+

Z t

t0

v(t)dt. (2.1)

Ejercicio 11. _{Una curva x = x(t) tiene por velocidad v(t) = (− sin t, cos t).}

Calc´ulense sus ecuaciones y dib´ujese.

Ejercicio 12. Calc´ulense las ecuaciones de las curvas cuya velocidad est´a da-da por v(t) = (−a sin t, b cos t) siendo a, b > 0.

Ejercicio 13. La curva x(t) = (t2 _{+ 3t + 1, 2t}2 _{− t − 5) es una par´abola.}

Encu´entrese su ecuaci´on impl´ıcita.

Ejercicio 14. Demuéstrese que una curva espacial cuyas componentes sean polinomios de grado ≤ 2 está contenida en un plano. (Indicación: el espacio de polinomios de grado ≤ 2 tiene dimensión tres, y los tres polinomios, junto con el polinomio constante 1 son cuatro polinomios).

Ejercicio 15. — Demu´estrese que, si x(t) e y(t) son dos polinomios de grado dos tales que {x(t), y(t), 1} son linealmente independientes, entonces

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la curva es una par´abola (Indicaci´on: hay un cambio af´ın de coordenadas que

transforma la curva original en (t, t2_{), que es manifiestamente una par´abola.}

Para encontrarlo basta con escribir los polinomios en t´erminos de la base can´onica.)

Ejercicio 16. Demu´estrese que una curva espacial cuyas componentes son polinomios independientes de grado ≤ 2 es una par´abola. ¿Y si son depen-dientes?

Ejercicio 17. _{De una curva x = x(t) se sabe que x(0,5) = (1, −1) y su}

velocidad es v(t) = (t, e−t2

). Calc´ulese x(1) con dos d´ıgitos de precisi´on.

2.1. Ejemplos de curvas planas

Antes de comenzar el estudio te´orico de las curvas, es conveniente disponer de ejemplos suficientes que muestren su inter´es.

Un punto

Existe la posibilidad de que el movimiento del punto tenga velocidad nula, es decir, v(t) = 0 = (0, 0). En ese caso la integral de la ecuaci´on (2.1) es nula y por tanto

x(t) = x0.

Rectas

Cuando un punto se desplaza con velocidad constante, v(t) = v0 entonces

Z t

t0

v₀dt = v0(t − t0),

as´ı que la curva resultante es la recta x(t) = x0+

Z t

t0

v(t)dt = x0+ v0(t − t0).

En coordenadas, si x0 = (x0, y0) y v0 = (u, v), resulta

(

x(t) = x0+ u(t − t0)

y(t) = y0+ v(t − t0)

(21)

Ejercicio 18. Escr´ıbase una curva parametrizada que recorra una recta pero

a velocidad no constante. Dib´ujese, usando Sage.

Ejercicio 19. Demuéstrese que los puntos de una curva están contenidos en una recta, es decir, satisfacen una ecuación lineal del tipo ax + by + c = 0, si

y s´olo si su velocidad v(t) es de la forma v(t) = f (t)v0 para alguna funci´on

diferenciable f (t) y un vector constante v0.

La aceleraci´on de una curva es el vector a(t) = dv

dt = d2_x

dt2.

También emplearemos la notación funcional según la cual x′(t) = dx dt x′′(t) = d 2_x dt2, y as´ı sucesivamente.

Ejercicio 20. Demuéstrese que una curva x = x(t) con velocidad nunca nu-la es una recta si y sólo si su aceleración es proporcional a su velocidad (se entiende que los coeficientes de proporcionalidad son funciones de la variable temporal). ¿Es este resultado razonable, intuitivamente? Sugerencia: Para demostrar que la condición es necesaria, puede utilizarse el ejercicio

ante-rior. Para la suficiencia, la ecuaci´on diferencial x′′_{(t) = λ(t)x}′_{(t) es f´acil de}

resolver.

Ejercicio 21. Demu´estrese que la funci´on

f (t) = (

e−1/t2

si t 6= 0

0 si t = 0

es diferenciable (de clase infinito). Indicación: demuéstrese por inducción que las derivadas de f son de la forma

f(n)(t) = ( Rn(t)e−1/t 2 si t 6= 0 0 si t = 0,

(22)

Ejercicio 22. Usando la función definida en el ejercicio anterior, escr´ıbase la parametrización de una curva diferenciable que esté contenida en el eje

OX si t < 0 y en el eje OY si t > 0. ¿Es su aceleraci´on proporcional a su

velocidad? ¿Contradice esto el ejercicio 20?

Ejercicio 23. Supongamos que todas las rectas tangentes a una curva cuya velocidad es nunca nula pasan por un punto fijo. Demu´estrese que la curva

est´a contenida en una recta. (Indicaci´on: Si llamamos al punto x0, tendremos

que x(t) + λ(t)x′_{(t) = x}

0 para cierta funci´on λ. Der´ıvese esta relaci´on y

util´ıcese el ejercicio 20.

Ejercicio 24. Dar un ejemplo que muestre que el resultado del ejercicio an-terior no es cierto si suponemos que la velocidad de la curva puede anularse.

2.1.1. Circunferencia

Una circunferencia de centro p0 = (x0, y0) y radio r puede parametrizarse

como

x(t) = p0+ r(cos t, sin t).

Ejercicio 25. Demu´estrese que los puntos de esta curva distan r del centro.

Dibujemos la circunferencia con centro (1, 2) y radio 3: t = var(’t’)

x0, y0 = 1, 2 r = 3

p = parametric_plot((x0 + r * cos(t), y0 + r*sin(t)), (t, 0 ,2 * pi)) p.set_aspect_ratio(1) -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5

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2.1.2. Curvas polin´

omicas

Una clase especialmente importante de curvas son las curvas polinómicas, es decir, tales que x(t) e y(t) son polinomios en la variable t, digamos de grado ≤ n. Tienen la ventaja de que su cálculo es muy rápido y están controladas por n + 1 parámetros. Sin embargo, la relación entre sus coeficientes y la curva final es dif´ıcil de controlar. Consideremos una curva Pn

i=0viti, siendo

vipuntos de R2. El siguiente dibujo muestra un ejemplo de la curva resultante

con el pol´ıgono formado por los puntos vi.

m = 3

v = [vector([-2, 2]), vector([0, 1]), vector([1, 2]),vector([2, 1])]

curva = sum(v[i]*t^i for i in range(m + 1))

curva_plot = parametric_plot(curva, (t, 0, 1), color = ’green’) v_plot = line([v[i].list() for i in range(m + 1)],

marker = ’o’, color = ’red’) dib = curva_plot + v_plot

dib.set_aspect_ratio(1) -2 -1 0 1 2 1 2 3 4 5 6

Una razón que explica la mala relación entre la curva y el pol´ıgono dado por sus coeficientes es que no es geométrica: si consideramos una afinidad f : R2 _{→ R}2_{, es decir, una aplicación de la forma f (x) = Ax + b, siendo A}

una matriz 2 × 2 y b un punto de R2, resulta que f n X i=0 viti ! 6= n X i=0 f (vi)ti,

(24)

salvo para valores excepcionales de t. Con palabras, no coincide la transfor-mada de la curva con la curva definida por el pol´ıgono transformado.

Ejercicio 26. Demu´estrese, con un ejemplo, que no es cierto que la cur-va transformada mediante una afinidad coincida con la curcur-va asociada al pol´ıgono transformado. ¿Cu´ales son las curvas que tienen esta propiedad

pa-ra toda afinidad?

Para entender la razón por la que las curvas polinómicas escritas en la base estándar tienen un mal comportamiento, debemos recordar lo que son las combinaciones afines (también llamadas baricéntricas) de puntos.

2.2. Curvas de B´

ezier

Para definir y entender las curvas de B´ezier, es necesario introducir algu-nos conceptos de geometr´ıa af´ın.

2.2.1. Afinidades

Las transformaciones afines del plano son de la forma f (x) = Ax + b,

siendo

A =a00 a01 a10 a11

una matriz no singular, i.e., det A 6= 0 y b=b0

b1

representa una traslaci´on.

Algunos casos particularmente importantes de afinidades son los siguien-tes:

Traslaciones

Cuando A = Id, la afinidad se reduce a f (x) = x + b, y se llama traslaci´on de vector b.

(25)

Isometr´ıas

En el caso de que la matriz A sea ortogonal, es decir, AA⊤ _{= Id, la}

afi-nidad se llama isometr´ıa. Isometr´ıa significa “igual medida”, porque dichas transformaciones preservan las distancias, es decir, para cualesquiera puntos x, y se tiene que

d(f (x), f (y)) = d(x, y).

Veamos que el que una afinidad preserve las distancias es equivalente a que la matriz A sea ortogonal. Para ello observemos que

d(x, y)2 _{= kx − yk}2 _{= (x − y)}⊤_{(x − y) = (x − y)}⊤_Id_{(x − y),} _(2.2)

mientras que

d(f (x), f (y))2 _{= kAx + b − (Ay + b)k}2 = (Ax − Ay)⊤(Ax − Ay) = (x − y)⊤A⊤A_{(x − y).}

(2.3)

Concluimos por tanto que las expresiones en (2.2) y (2.3) son iguales para todo x, y si y solo si

A⊤A= Id, (2.4)

es decir, A es una matriz ortogonal.

Ejercicio 27. Demuéstrese esta última afirmación. Indicación: hágase y =

0. Las derivadas parciales de segundo orden respecto a x de ambas expresiones

deben ser iguales y determinan los coeficientes de las matrices.

Tomando determinantes en (2.4), vemos que |A|2 = 1, con lo que |A| = ±1.

Ejercicio 28. Demu´estrese con un ejemplo que no toda matriz con determi-nante ±1 tiene por qu´e ser una matriz ortogonal.

Las isometr´ıas cuya matriz A tienen determinante +1 se llaman

movi-mientos.

Ejercicio 29. Demu´estrese que un movimiento plano tiene una matriz de la forma

A=cos θ − sin θ sin θ cos θ

.

(26)

Ejercicio 30. Demu´estrese que una isometr´ıa plana que no es un movimien-to tiene una matriz de la forma

A =cos θ sin θ sin θ − cos θ

.

Ejercicio 31. Calc´ulense todos los movimientos que transforman el segmento

[(1, 1), (1, −1)] en el segmento [(1, 1/√2), (√2 + 1, 0)].

2.2.2. Combinaciones baric´

entricas

Las combinaciones lineales usuales no son compatibles con las afinidades debido esencialmente a la existencia de traslaciones. En efecto, consideremos puntos x, y y escalares λ, µ ∈ R. Sea f la traslaci´on de vector b. Entonces

f (λx + µy) = λx + µy + b, mientras que

λf (x) + µf (y) = λx + µy + (λ + µ)b.

Si queremos que ambos resultados sean iguales para cualquier traslaci´on, debemos exigir que

λ + µ = 1.

De forma m´as general, dados puntos xi y escalares λi ∈ R, i = 0, . . . , m,

tales quePm

i=0λi = 1, diremos que m

X

i=0

λixi

es la combinaci´on baric´entrica de los puntos xi con pesos λi.

Ejercicio 32. Demu´estrese que las afinidades respetan las combinaciones afines de puntos, es decir,

f m X i=0 λixi ! = m X i=0 λif (xi) si f es una afinidad y m X i=0 λi = 1.

Ejercicio 33. Demu´estrese que las afinidades transforman rectas en rectas.

Ejercicio 34. Dada la afinidad

f (x) = 1 −1 0 1 x+1 2 ,

(27)

Convexidad

El segmento determinado por los puntos x y y est´a dado por [x, y] := {x + µ−→xy _{: µ ∈ [0, 1]}.}

Puesto que −xy→_{= y − x, es}

x+ µ−xy→_{= (1 − µ)x + µy.}

Ejercicio 35. Demu´estrese que el segmento [x, y] es el conjunto de combi-naciones baric´entricas λx + µy con λ + µ = 1 y λ, µ ≥ 0.

Los pesos λ, µ fijan en qu´e proporci´on divide el punto p = λx + µy al segmento [x, y]. En efecto, si escribimos

p= x + µ−xy,→ o, equivalentemente

−→

xp= µ−xy→= µ(−xp→+ −py),→ de donde se obtiene que

−→

xp= µ

1 − µ−→py= µ λ−→py.

Llamaremos a la cantidad µ/λ raz´on simple de los puntos x, p y y y la denotaremos como (x, p, y). Esto a veces se denota de la siguiente forma:

−→

xp: −py→= µ : λ.

Ejercicio 36. Demu´estrese que las afinidades preservan la raz´on simple, es decir, si f es una afinidad y x, p, y son puntos alineados, entonces

(x, p, y) = (f (x), f (y), f (p)).

Ejercicio 37. Dados los puntos x = (1, 1)⊤ _{y y = (2, −1)}⊤_{, encu´entrese un}

punto p cuya raz´on simple (x, p, y) = t, siendo t ∈ R.

Ejercicio 38. Demuéstrese con un ejemplo que las afinidades no preservan ni distancias, ni ángulos, ni áreas.

Ejercicio 39. Diremos que los puntos p0, . . . , pn forman una referencia af´ın

de Rn _{si los vectores p}

0p1, . . . , p0pn forman una base de Rn. Demu´estrese

que, en este caso, cualquier punto p se escribe de forma ´unica como una

combinaci´on baric´entrica p =Pn

(28)

Ejercicio 40. _{Demu´estrese que los puntos (0, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

son una referencia af´ın y calc´ulese las coordenadas baric´entricas del punto

(x, y, z).

Ejercicio 41. Prográmese en Sage una función que dibuje el segmento [x, y] y, dada una razón simple r dibuje el punto correspondiente p y los segmentos

[x, p] y [p, y]. Sugerencia: ´usese la funci´on @interact para poder modificar interactivamente el valor de r.

Ejercicio 42. Progr´amese en Sage una funci´on que dibuje el segmento [x, y] y, dado un escalar λ dibuje el punto correspondiente p = λx + µy, λ + µ = 1.

Sugerencia: ´usese la funci´on @interact para poder modificar

interactivamen-te el valor de λ.

Veamos ahora cómo interpretar una combinación af´ın de tres puntos, λx + µy + νz, λ + µ + ν = 1. Escribiendo la combinación de la siguiente forma: λx + µy + νz = λx + (µ + ν) µ µ + νy+ ν µ + νz , (2.5)

vemos que el punto resultante se puede escribir como combinaci´on af´ın de dos puntos, por una parte el punto x y un punto de la recta yz.

Veamos a continuación que el conjunto de combinaciones baricéntricas de tres puntos x, y, z con coeficientes no negativos coinciden con el triángulo cerradoxyz△ . Sea una combinación baricéntrica, λx + µy + νz, λ + µ + ν = 1 y λ, µ, ν ≥ 0. En primer lugar, notemos que si es µ + ν = 0, al ser λ, µ ≥ 0 entonces λ = µ = 0 y la combinación simplemente es el punto x. Supongamos pues que que µ+ν 6= 0. Entonces los coeficientes de µ+νµ y+

ν

µ+νzson tambi´en

positivos y sabemos que esto significa que dicho punto está en el segmento [y, z]. Como además el coeficiente λ ≥ 0 entonces el punto λx + µy + νz está en el triángulo cerradoxyz.△

Para demostrar el otro contenido, basta con observar que xyz△ se puede escribir como uni´on de los segmentos [x, p] con p ∈ [y, z].

Ejercicio 43.Usando Sage, dib´ujese el tri´anguloxyz△ y el punto λx+µy+νz,

λ+µ+ν = 1. Usando @interact, perm´ıtase mover los coeficientes y observar

el resultado. Expl´ıquese, seg´un el signo de los coeficientes, d´onde debe hallarse

el punto respecto al tri´angulo.

Un conjunto S se dira convexo si para cualesquiera x, y ∈ S, se tiene que [x, y] ⊂ S. Dado un conjunto S ⊂ Rn_{, definimos la envoltura convexa de S,}

(29)

Ejercicio 44. _{Dado S ⊂ R}n_{, se tiene que} hull(S) = ( _m X i=0 λixi : λi ≥ 0, xi ∈ S, m X i=0 λi = 1, m ∈ N ) .

Indicación: Demuéstrese que el conjunto dado por el lado derecho de la igual-dad contiene a S, es convexo y que está contenido en cualquier conjunto

convexo que contenga a S. Para esto ´ultimo, se puede hacer un argumento

inductivo basado en (2.5).

Ejercicio 45. Dib´ujese una aproximaci´on a la envoltura convexa de un

con-junto finito dibujando un n´umero suficientemente grande de puntos de la

misma. ¿Se obtienen as´ı buenos resultados? ¿Qu´e problemas puede tener es-te m´etodo?

2.2.3. Algoritmo de Jarvis para el c´

alculo de la

envol-tura convexa

Terminemos viendo un algoritmo sencillo, aunque no el más eficiente, para calcular la envoltura convexa de un conjunto finito S de puntos en el plano. Por simplicidad, supondremos que los puntos están situados en posición general, en el sentido de que no hay tres puntos de S alineados. La idea consiste en comenzar el cálculo de la envoltura convexa con un punto p0 ∈ S con la menor abscisa posible. A continuación consideramos todos

los segmentos de la forma p0p con p ∈ S, hasta que encontramos uno,

p₁, con la propiedad de que p0p1 deja a todos los otros puntos de S a su

derecha. Incorporamos p1a la frontera de la envoltura convexa y repetimos el

procedimiento con ´el y as´ı sucesivamente hasta alcanzar un punto pm = p0,

en cuyo caso hemos terminado.

N´otese que para decidir si un punto z est´a a la izquierda del segmento [x, y] basta con ver si los vectores {−→xy, −xz→_{} forman una base positivamente} orientada, es decir, si su determinante es positivo.

Ejercicio 46. Implem´entese, usando Sage, el algoritmo de Jarvis.

Ejercicio 47. ¿Sabr´ıas implementar el algoritmo si los puntos no est´an ne-cesariamente en posici´on general?

Dado que por cada punto de la frontera de la envoltura convexa hemos de hacer un número constante de operaciones por cada punto de S que no es él mismo, el coste del algoritmo de Jarvis es O(kn), siendo n el número de puntos de S y k el número de puntos de ∂ hull S.

(30)

Algorithm 1Algoritmo de Jarvis para el c´alculo de la envoltura convexa Input: Un conjunto finito S de puntos del plano en posici´on general. Output: El pol´ıgono frontera de hull S, ∂ hull S, dada como una lista

orde-nada de puntos.

p0 ← punto de S con menor abscisa.

p_inic _{← p}₀

Inicializa ∂ hull S con p0.

repeat

Para cada p ∈ S

if p _{6= p}inic and [pinic, p] deja a los dem´as puntos de S a su derecha

then

A˜nade p a la lista de puntos de ∂ hull S pinic← p

end if until p= p0

2.2.4. Polinomios de Bernstein

Una forma de mejorar la relaci´on entre curva y pol´ıgono ser´ıa sustituir la base de polinomios {1, t, . . . , tn_{} por otra base {P}n

0(t), . . . , Pnn(t)} que

satis-faga la condici´on

X

i

P_in(t) = 1,

de forma que la curva esté dada por una combinación baricéntrica de puntos del pol´ıgono de control. La forma más sencilla de hacer esto es escribir

1 = (t + (1 − t))n

y desarrollar esta identidad mediante el binomio de Newton. Resulta as´ı 1 =n 0 tn+n 1 tn−1_{(1 − t) +}n 2 tn−2_{(1 − t)}2_{+ · · ·}n n (1 − t)n. Este desarrollo sugiere definir los polinomios

B_in(t) =n i

ti_{(1 − t)}n−i,

que se llaman polinomios de Bernstein. Obviamente se trata de n + 1 polino-mios de grado n, de forma que ser´a suficiente comprobar que son linealmente independientes para ver que forman una base.

(31)

Ejercicio 48. Dib´_{ujense los polinomios de Bernstein con t ∈ [0, 1] para}

n = 1, . . . , 10.

Ejercicio 49. Demu´estrese que los polinomios de Bernstein se pueden de-terminar recursivamente mediante las f´ormulas

B_in_{(t) = (1 − t)B}_in−1(t) + tB_i−1n−1(t), B₀0(t) = 1.

Indicación: Recuérdese que los coeficientes binomiales satisfacen la relación recursiva n i =n − 1 i +n − 1 i − 1 . Ejercicio 50. Calcúlese el máximo de Bn

i (t) con t ∈ [0, 1].

Ejercicio 51. Demuéstrese que los polinomios de Bernstein de grado n son linealmente independientes y, por tanto, forman una base. Indicación: Obsérvese que la matriz de sus coeficientes respecto a la base canónica tiene forma triangular.

2.2.5. Curvas de B´

ezier

Estamos ya en condiciones de introducir las curvas de Bézier. Dado que los polinomios de Bérnstein son una base, cualquier curva polinómica x = x(t) se podrá escribir como

x(t) =

n

X

i=0

biBin(t).

Una curva polin´omica escrita de esta forma y parametrizada con t ∈ [0, 1] se llama curva de B´ezier y los coeficientes (ordenados) bi se llaman pol´ıgono

de control de la curva. Veamos un ejemplo de curva de B´ezier junto con el

pol´ıgono de control correspondiente:

B(n, i, t) = binomial(n, i) * t^i * (1 - t)^(n - i)

b = [vector([-2, 2]), vector([0, 1]), vector([1, 2]),vector([2, 1])] m = len(b) - 1

curva = sum(b[i]*B(m,i,t) for i in range(m + 1))

curva_plot = parametric_plot(curva, (t, 0, 1), color = ’green’) b_plot = line([b[i].list() for i in range(m + 1)], marker = ’o’,

color = ’red’)

dib = curva_plot + b_plot dib.set_aspect_ratio(1)

(32)

-2 -1 0 1 2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Ejercicio 52. Demu´estrese que una curva de B´ezier satisface x(0) = b0, x(1) =

bn.

Ejercicio 53. Demu´estrese que las curvas de B´ezier son invariantes bajo transformaciones afines, es decir,

f n X i=0 biBin(t) ! = n X i=0 f (bi)Bni(t)

si f es una transformaci´on af´ın.

Ejercicio 54. Demu´estrese que una curva de B´ezier x(t) = Pn

i=0biBin(t)

permanece dentro de la envoltura convexa del pol´ıgono de control si t ∈ [0, 1].

Ejercicio 55. Simetr´ıa de las curvas de B´ezier: pru´ebese que la imagen de

una curva de B´ezier con pol´ıgono de control {b0, . . . , bn} coincide con la de

la curva que tiene el pol´ıgono de control invertido, es decir, {bn, . . . , b0}.

Ejercicio 56. Invariancia por combinaciones afines: dadas curvas de B´ezier

con pol´ıgonos de control {bi} y {ci}, que llamaremos b(t) y c(t),

respectiva-mente, entonces la curva que tiene pol´ıgono de control {αbi + βci}, siendo

α + β = 1, est´a dada por αb(t) + βc(t).

Ejercicio 57. Los polinomios de Bernstein satisfacen la identidad

m X j=0 j mB m j (t) = t.

Es decir, las coordenadas de t en la base de polinomios de Bernstein son

{j/m}. Demu´estrese esto.

Ejercicio 58. Demuéstrese que si los vértices del pol´ıgono de control de una curva de Bézier se situan uniformemente distribuidos en el segmento [p, q], es decir, bj = 1 −_mj p+ j mq,

entonces la curva de B´ezier es la recta que une p con q parametrizada de forma natural.

(33)

Ejercicio 59. Demu´estrese que las derivadas de los polinomios de Bernstein satisfacen la relaci´on d dtB n i (t) = n Bi−1n−1(t) − Bin−1(t) .

Ejercicio 60. La derivada de una curva de B´ezier b(t) = Pn

i=0biBin(t)

viene dada mediante la f´ormula

b′(t) = n−1 X i=0 n∆biBin−1(t), donde ∆bi = bi+1− bi.

Ejercicio 61. Demu´estrese que una curva de B´ezier es tangente al pol´ıgono de control en los extremos del mismo.

Ejercicio 62. Calc´ulese la curva de B´ezier cuyo pol´ıgono de control es

(1, 2, 0), (0, −1, 1), (3, 0, 1), (1, −1, 2), (0, 1, 5).

Ejercicio 63. Escr´ıbase la curva x(t) = (t3_{− 2t + 1, 4t − 7) con t ∈ [0, 1]}

como una curva de B´ezier.

Ejercicio 64. Escr´ıbase la curva x(t) = (t2_{+ 5t − 1, 4t}2_{− 1) con t ∈ [−3, 2]}

como una curva de Bézier. (Indicación: compóngase la curva con una trans-formación af´ın que lleve el intervalo [−3, 2] en el [0, 1]).

Ejercicio 65. Escr´ıbase la curva de Bézier del ejercicio anterior como una curva de Bézier de grado tres, es decir, con un pol´ıgono de control de cuatro vértices.

2.2.6. El algoritmo de De Casteljau

Veamos en esta sección un método alternativo para generar curvas de Bézier. Aunque computacionalmente es menos eficaz que la forma de Berns-tein, es un procedimiento geométrico más sugerente. Se trata, básicamente, de hacer una interpolación lineal iterada de los vértices del pol´ıgono de con-trol.

Ejercicio 66. Demu´estrese que la curva resultante del algoritmo de De

Cas-teljau coincide con la curva de Bézier correspondiente. Indicación: úsese

in-ducci´on y el ejercicio (49).

Ejercicio 67. Usando la funci´on animate de Sage, implem´entese el algorit-mo de De Casteljau.

Ejercicio 68. Calc´ulense las curvas de B´ezier de grado 3 que en sus extremos

(34)

Algorithm 2Algoritmo de De Casteljau

Input: _{El pol´ıgono de control {b}0, . . . , bn} de la curva y t ∈ R.

Output: La curva de B´ezier asociada b = b(t). b0_i(t) = bi. for _{r = 1 → n do} for _{i = 1 → n − r do} br_i_{(t) = (1 − t)b}r−1_i (t) + tbr−1_i+1(t) end for end for return b(t) = bn 0(t).

2.3. Las c´

onicas como curvas racionales

Las curvas polin´omicas no son suficientes para obtener algunos tipos de curvas importantes, como por ejemplo las c´onicas.

Ejercicio 69. Demu´estrese que no existe ninguna curva polin´omica no

cons-tante cuya imagen se encuentre contenida en la circunferencia x2_{+ y}2 _{= 1.}

(Indicación: si x(t), y(t) son polinomios, ¿qué sucede con el término de grado

m´as alto de x(t)2_{+ y(t)}2_{− 1?)}

Una curva racional es la afinizaci´on de una curva polin´omica proyectiva. Es decir, si

x(t) = (p(t) : q(t) : r(t)) es una curva polin´omica proyectiva, entonces

x(t) = p(t) r(t),

q(t) r(t)

es la correspondiente curva racional af´ın (correspondiente a la afinizaci´on que supone que z = 0 es la recta del infinito). Las curvas racionales no aumentan excesivamente el coste computacional y permiten dibujar c´onicas.

Para parametrizar una c´onica, que suponemos no degenerada, tomemos un punto x0 = (x0, y0) de la misma y consideremos el haz de rectas de base

x₀. Para ello tomemos dos rectas r0(x, y) = 0 y r1(x, y) = 0 no

proporcio-nales cualesquiera que pasen por un punto x0, (por ejemplo, si x0 = (x0, y0)

podemos tomar las rectas r0 : x − x0 = 0 y r1 : y − y0 = 0). El haz de rectas

de base x0 es, por definici´on, el conjunto de todas las rectas que pasan por

x0 y coincide con las combinaciones lineales (no triviales) de r0 y r1, es decir,

el haz de rectas es el conjunto de rectas de la forma ar0(x, y) + br1(x, y) = 0

(35)

donde los coeficientes a, b no son simultáneamente nulas. Ejercicio 70. Demuéstrese esta última afirmación.

Como cualquier múltiplo no nulo de la ecuación de una recta produce la misma recta, podemos usar el parámetro t = b/a en tanto que a 6= 0 y describir el haz como las rectas como

r0(x, y) + t r1(x, y) = 0.

Si hacemos esto, tenemos el inconveniente de que perdemos la recta r1(x, y) =

0, a la que nos podemos acercar tanto como queramos haciendo que t → ∞.

1 1.5 2 2.5 3 2 2.5 3 3.5 4 r0:2x +y−7 =0 r1:−x +2y−4 =0 r =r0−5r1

Figura 2.1: Haz engendrado por r0 y

r1

Cada recta de dicho haz corta a la c´onica en el punto x0 y en otro

punto adicional, x = x(t). Veamos que as´ı se obtiene una parametriza-ci´on racional de la curva. Para ello, conviene simplificar los c´alculos ha-ciendo el cambio af´ın de coordenadas

(

X = r0(x, y)

Y = r1(x, y)

El que las rectas se cortan en un punto finito x0 nos asegura que las

ecuaciones del cambio son invertibles (¿por qu´e?). En las nuevas coordena-das, el punto de corte es (0, 0) y el

haz de rectas es X + tY = 0. La cónica, dado que tiene que pasar por el ori-gen de coordenadas, no tendrá término independiente, es decir, su ecuación será de la forma

f (X, Y ) = aX2+ bY2+ 2cXY + 2dX + 2eY = 0.

Haciendo X = −tY , obtenemos la ecuaci´on para calcular la ordenada de los puntos de intersecci´on:

f (−tY, Y ) = (at2− 2ct + b)Y + 2(−dt + e) Y = 0, que tiene las soluciones Y = 0 e

Y = 2(dt − e) at2_{− 2ct + b}.

(36)

Como la ordenada es X = −tY , la parametrizaci´on que se obtiene es pues c(t) = −2(dt − e)t at2_{− 2ct + b}, 2(dt − e) at2_{− 2ct + b}

Deshaciendo el cambio af´ın de coordenadas, obtenemos la parametrizaci´on racional deseada (¿por qu´e?).

Veamos un ejemplo. Consideremos la elipse f (x, y) = 0 siendo

f(x, y) = 4*x^2 + 9*y^2 - 8*x + 18*y + 12

elipse_dib = implicit_plot(f(x, y), (x, 0, 2), (y, -2, 0)) elipse_dib.set_aspect_ratio(1) 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0

Encontremos primero un punto de la misma. Para ello, cortemos la c´onica con una recta de la forma x = c. Como los puntos de corte pueden ser imaginarios, as´ı que elegiremos c de forma que sean puntos reales.

Las soluciones de f (c, y) = 0 son y = −1₃√−4 c2_{+ 8 c − 3 − 1, y =} 1 3 √ −4 c2 _{+ 8 c − 3 − 1} .

Para que el polinomio −4 c2_{+ 8 c − 3 no sea negativo, debe ser 1/2 ≤ c ≤}

3/2. Si tomamos, por ejemplo, c = 1/2 obtenemos el punto x0 = (1/2, −1).

Ahora que tenemos un punto de la cónica, parametricemos el haz de rectas que pasan por él usando por ejemplo las rectas x − 1/2 = 0 e y + 1 = 0, de forma que una recta genérica es de la forma

(x − 1/2) + t(y + 1) = 0. Cort´emosla con la elipse:

(37)

t

sage: sols = solve([x-1 +t*(y+4/3)==0, f(x,y)==0], x, y) Se observa que la soluci´on no constante viene dada por la curva racional

x = 4 t 2_{− 6 t + 9} 4 t2_{+ 9} , y = − 2 (8 t2_{+ 9)} 3 (4 t2_{+ 9)} como se quer´ıa.

curva = map(lambda X: X.rhs(),sols[1])

elip_param = parametric_plot(curva, (t, -10, 10)) elip_param.set_aspect_ratio(1) 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7

Ejercicio 71. Como se observa, al dibujo de la elipse como curva parametri-zada le falta un trozo. ¿Por qu´e? ¿C´omo podr´ıas hacer para pintar la curva entera?

Ejercicio 72. Apl´ıquese un procedimiento parecido al anterior para obtener parametrizaciones de la hip´erbola de ecuaci´on (x + y − 1)(x − y + 1) = 1.

Ejercicio 73. H´agase el ejercicio anterior haciendo el cambio af´ın de coor-denadas que sugiere la teor´ıa y deshaci´endolo al final.

Ejercicio 74. Usando Sage, encu´entrese la matriz de la c´onica recorrida por la curva parametrizada como

2t − 1 t2_{+ t + 1}, t + 1 t2 _{+ t + 1}

Ejercicio 75. Progr´amese, usando Sage, un procedimiento que dada una c´onica devuelva un punto real de la misma, si tal punto existe.

(38)

(39)

Curvas regulares. Curvatura.

3.1. Curvas regulares. Longitud de arco.

Sea I ⊂ R in intervalo abierto y sea x : I → Rn _{una curva diferenciable.}

Un punto t ∈ I se dice singular cuando x′_{(t) = 0. Una curva es regular}

cuando no tiene puntos singulares.

Ejemplo 1. La curva x(t) = (t2_{, t}3_{) tiene en t = 0 un punto singular.}

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.5 0.5 1

Llamaremos recta tangente a la curva en un punto regular t a la recta definida por x(t) y el vector x′_{(t). En los puntos singulares no existe recta}

tangente, seg´un esta definici´on.

(40)

Ejercicio 76. Demu´estrese que la curva x(t) = (t3 _{− 4t, t}2 _{− 4) es regular.}

Sin embargo, en el (0, 0) tiene dos posibles rectas tangentes. ¿Contradice esto

la regularidad? -4 -2 2 4 -4 -3 -2 -1 1 2

Ejercicio 77. _{Encu´entrese una curva x : R → R}2 _{tal que x(R) sea el eje}

OX, pero que no sea una curva regular.

Ejercicio 78(*). Sea p un punto de una circunferencia que rueda sobre una

recta sin resbalar. Parametr´ıcese la curva que p describe y encu´entrese sus

puntos singulares. Dib´ujese. Una tal curva se llama cicloide.

Ejercicio 79. La hipocicloide es la curva generada por la traza de un punto

p sobre una circunferencia de radio r que rueda sin deslizarse por el interior

de un c´ırculo de radio R > r. Encu´entrense sus ecuaciones.

Ejercicio 80. En el ejercicio anterior, dib´ujese la curva y encu´entrense sus puntos singulares en el caso de que r = 1, R = 3.

Ejercicio 81. Est´udiese si la curva x(t) = (t2 _{+ 1, t}3 _{− t, t − 1) es regular.}

Calc´ulese su pol´ıgono de control. Dib´ujese.

La longitud de una curva restringida a un intervalo cerrado [a, b] (¿por qué esta restricción?) se puede aproximar del siguiente modo: dada una par-tición P = {t0 = a < t1 < · · · < tk = b}, la longitud asociada a la partición

se define como L(P) = k−1 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k

Ejercicio 82 _{(*). Escr´ıbase un programa en Sage que calcule L(P) siendo}

la partici´on la dada al dividir el intervalo en n trozos iguales.

Se llama longitud de la curva al n´umero

L(x) = sup{L(P) : P es partici´on del intervalo [a, b]}.

Nótese que para que este número no sea infinito, el conjunto debe estar acotado, lo que requiere demostración.

(41)

Teorema 1. Dada una curva diferenciable x, se tiene que

L(x) = Z b

a kx

′_(t)kdt.

Demostraci´on. Queremos ver que dos supremos son iguales, por una parte

L(x) = sup{L(P) : P es partici´on del intervalo [a, b]}. y por otra parte

Z b

a kx

′_{(t)kdt = sup {I(P) : P es partici´on de [a, b]} ,}

donde I(P) denota la suma inferior de Riemann

I(P) =

k−1

X

i=0

mi(ti+1− ti)

y, en la ´_{ultima ecuaci´on, P = {t}i}ki=0 y mi = m´ın{kx′(t)k : t ∈ [ti, ti+1]}. El

que la integral se puede escribir de esta forma es simplemente parte de la definici´on de integral de Riemann.

Sabemos que, por ser kx′_{(t)k continua en [a, b], su integral es finita. Sin}

embargo esto no está tan claro para L(x), as´ı que asegurémonos de que L(x) < ∞. Para ello, observemos que, dada una partición P, por el teorema de Lagrange del valor medio, podemos escribir

x_h(ti+1) − xh(ti) = x′h(αhi)(ti+1− ti)

para ciertos αh

i ∈ (ti, ti+1) y cada h = 1, . . . , n. Pero nuevamente por tratarse

x′_h de un n´umero finito de funciones continuas en un compacto, est´an uni-formemente acotadas, es decir, existe M ≥ 0 tal que |x′

(42)

componente h y t ∈ [a, b]. Por tanto L(P) = k−1 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k = k−1 X i=0 v u u t n X h=1 (xh(ti+1) − xh(ti))2 = k−1 X i=0 v u u t n X h=1 x′ h(αhi)(ti+1− ti) 2 = k−1 X i=0 v u u t n X h=1 x′ h(αhi) 2 (ti+1− ti) ≤ v u u t n X h=1 M2 k−1 X i=0 (ti+1− ti) =√_{nM (b − a).} (3.1)

Como esta acotaci´on no depende de la partici´on empleada, concluimos que L(x) ≤√nM (b − a) < ∞.

Por definición de supremo y por ser la longitud asociada a una partición ≥ 0, resulta que para todo ǫ > 0 existe una partición P tal que

0 ≤ L(x) − L(P) < ǫ.

Análogamente, por ser kx′_{(t)k ≥ 0 y también por la definición de supremo,}

existe una partici´on P′ _{tal que}

0 ≤ Z b

a kx

′_{(t)kdt − I(P}′_{) < ǫ.}

Veamos que podemos conseguir un refinamiento com´_{un de P y P}′ _que

satisface las mismas desigualdades. Para ello, notemos que refinar P (o P′₎

incrementa L (o I). Para ver esto, basta con a˜_{nadir un punto a P, obteniendo} ¯

P. Por simplicidad, suponemos que a˜nadimos un punto al final, de forma que ¯_{P = {t}0, t1, . . . , tk, tk+1}. Se argumentar´ıa de forma similar si se a˜nade

(43)

en cualquier otra posici´on. Tenemos que L(P) = k−1 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k = k−2 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k + kx(tk) − x(tk−1)k = k−2 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k + kx(tk) − x(tk+1) + x(tk+1) − x(tk−1)k ≤ k−2 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k + kx(tk) − x(tk+1)k + kx(tk+1) − x(tk−1)k = L( ¯_P).

Un argumento inductivo muestra que, en general, si ¯_{P es m´as fina que P (y} escribiremos P ≤ ¯P) entonces

L(P) ≤ L( ¯P). Se demuestra de forma parecida que

I(P′_{) ≤ I( ¯}_P′₎

si P′ _{≤ ¯}_P′

Ejercicio 83 (*). Pruébese esta última afirmación.

De forma que podemos refinar P y P′ _{obteniendo una partici´on P}′′ _m´as

fina que ambas y tan fina como deseemos. Para esta partici´on ocurrir´a que 0 ≤ L(x) − L(P′′_{) ≤ L(x) − L(P) < ǫ}

0 ≤ I(x) − I(P′′) ≤ I(x) − I(P′_{) < ǫ.}

En adelante escribiremos P′′ _{= P, por simplicidad. Veamos cu´al es la}

distancia entre L(P) y I(P): |L(P) − I(P)| = k−1 X i=0 kx(ti+1) − x(ti)k − I(P) = k−1 X i=0 v u u t n X j=1 x′_j(αj_i)2 (ti+1− ti) − k−1 X i=0 mi(ti+1− ti) = k−1 X i=0   v u u t n X j=1 x′ j(α j i) 2 − mi  (ti+1− ti) .

(44)

Tenemos que analizar si podemos hacer tan peque˜na como queramos la dife-rencia v u u t n X j=1 x′ j(α j i) 2 − mi.

Para ello, definamos la funci´on

F : [a, b]n_{→ R} como

F (t) = k(x′1(t1), . . . , x′n(tn))k.

donde hemos llamado, para abreviar, t = (t1_{, . . . , t}n_{). Esta es una funci´on}

cont´ınua y [a, b]n _{es compacto, as´ı que es uniformemente continua. Esto}

sig-nifica que para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si kt − t′_{k < δ entonces}

|F (t) − F (t′_{)| < ǫ/(b − a).}

Por otra parte, como kx′_{k es continua y [t}

i, ti+1] es compacto, el m´ınimo mi

se alcanza en alg´un punto del intervalo [ti, ti+1], digamos βi. Ahora refinemos

la partici´on P de forma que |P| = m´ın{ti+1− ti, i = 0, . . . , k − 1} < δ/√n.

Entonces v u u t n X j=1 x′ j(α j i) 2 − mi = F (α1_i, . . . , αn_i) − F (β_i, . . . , β_i) < ǫ/(b − a) ya que k(α1i, . . . , αni) − (βi, . . . , βi)k = v u u t n X j=1 (α_ij_{− β}i)2 ≤ v u u t n X j=1 (δ/√n)2 _{= δ.}

As´ı que ya tenemos que

|L(P) − I(P)| = k−1 X i=0   v u u t n X j=1 x′ j(α j i) 2 − mi  (t_i+1− t_i) ≤ k−1 X i=0 v u u t n X j=1 x′ j(α j i) 2 − mi (ti+1− ti) ≤ ǫ b − a n X j=1 (ti+1− ti) = ǫ b − a(b − a) = ǫ.

(45)

Finalmente, vemos que L(x) − Z b a kx ′_(t)kdt = L(x) − L(P) + L(P) − I(P) + I(P) − Z b a kx ′_(t)kdt ≤ |L(x) − L(P)| + |L(P) − I(P)| + I(P) − Z b a kx ′_(t)kdt ≤ ǫ + ǫ + ǫ = 3ǫ.

Como esto ocurre para todo ǫ > 0, concluimos que L(x) =

Z b

a kx

′_(t)kdt,

como quer´ıamos demostrar.

Observaci´on 1. Desde un punto de vista intuitivo, el teorema anterior puede interpretarse as´ı: en un tiempo infinitesimal dt la curva recorre un arco de longitud ds. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ds2_=dx2_+dy2 dx dy

La infinitesimalidad del arco nos permite suponer que ds en realidad es la hi-potenusa de un triángulo rectángulo de lados dx y dy. El teorema de Pitágoras aplicado a los elementos infinitesimales asegura que

ds =pdx2_{+ dy}2

con lo que, integrando,

s = Z pdx2_{+ dy}2 ₌ Z s dx dt 2 + dy dt 2 dt.

(46)

Ejercicio 84. Este argumento es intuitivamente interesante, pero no es ri-guroso. ¿Qu´e deficiencias le ves?

Ejercicio 85. Calc´ulese la longitud del segmento de recta determinado por los puntos p y q.

Ejercicio 86. Demu´estrese que la longitud de un arco de circunferencia de ´angulo θ y radio r es θr.

Ejercicio 87. Calcúlese una aproximación numérica a la longitud de una

elipse de semiejes a = 2 y b = 3 con un error menor que 10−3_.

Ejercicio 88 (*). Una curva se desplaza en un cilindro circular de radio a,

girando alrededor del cilindro con velocidad angular ω y subiendo a lo largo

del mismo con velocidad b. Calc´ulese su longitud que recorre cuando da una

vuelta completa alrededor del cilindro.

Ejercicio 89 (*) (La distancia m´as corta entre dos puntos es la l´ınea recta).

Demu´estrese que si la longitud de una curva x : [a, b] → Rn _{satisface la}

desigualdad

kx(b) − x(a)k ≥ L(x),

entonces la curva es una recta (en el sentido de que está contenida en el segmento [x(a), x(b)] y su longitud es kx(b) − x(a)k. (Indicación: si en algún

instante t1 la curva no está contenida en el segmento, considérese la partición

{t0 = a, t1, t2 = b}.

La longitud de arco de una curva es la funci´on s : I → R definida por s(t) =

Z t

t0

kx′(u)kdu,

siendo t0 ∈ I. Intuitivamente, la longitud de arco mide la distancia sobre la

curva entre el punto parametrizado por t0 y el parametrizado por t, teniendo

en cuenta que el signo viene dado por el sentido de recorrido de la curva. Cuando se cambia t0 se obtiene una nueva longitud de arco que difiere de la

anterior en una constante.

Ejercicio 90. Demuéstrese esta última afirmación.

Ejercicio 91. Encu´entrese la longitud de arco de la cicloide, definida en el ejercicio 78.

Ejercicio 92. Consid´erese la curva x(t) = aebt_{(cos t, sin t), siendo a > 0 y}

b < 0. Dib´ujese para algunos valores de a y b. Demu´estrese que la curva tiende al origen de coordenadas cuando t → ∞, dando infinitas vueltas alrededor de

(47)

Una curva se dice que est´a parametrizada por la longitud de arco cuando est´a recorrida con velocidad uno. Equivalentemente, s(t) = t − t0.

Ejercicio 93 (*). Demuéstrese la equivalencia. ¿Qué significado geométrico

tiene el que s(t) = t − t0?

Las curvas parametrizadas por longitud de arco tienen la ventaja de que están libres de los elementos no geométricos que suponen los cambios de velocidad. Todas las curvas regulares pueden reparametrizarse por la longitud de arco. Definamos formalmente lo que es una reparametrización: dos curvas x_{: I → R}n_{, y : J → R}n se dicen que son reparametrizaciones una de la otra cuando existe un difeomorfismo f : I → J tal que x = y ◦ f.

Como f es difeomorfismo, es sobreyectiva, lo que asegura que la imagen de la curva reparametrizada es la misma que la de la original, es decir

y_{(I) = (x ◦ f)(I).}

Por otra parte, por tener f una inversa diferenciable, f′ _{nunca se anula}

(¿por qu´e?). Por tanto,

y′(t) = x′(f (t))f′(t)

y, si la curva x es regular, entonces podemos asegurar que su reparametriza-ción y también es regular. Nótese que esta fórmula nos dice que la velocidad a la que es recorrida la curva reparametrizada es la de la original escalada por el factor f′_(t).

Ejercicio 94 (*). Dar un ejemplo que muestre que el que dos curvas tengan

la misma imagen no implica que sean equivalentes por reparametrizaciones.

Ejercicio 95. Diremos que dos curvas son equivalentes cuando una es una reparametrización de la otra. Demuéstrese as´ı tenemos una relación de equi-valencia en el conjunto de curvas diferenciables.

Ejercicio 96 (*). Se consideran las parametrizaciones de la circunferencia

dadas por x(θ) = (cos θ, sin θ), ¯ x(t) = 1 − t 2 1 + t2, 2t 1 + t2 .

Encu´entrese un cambio de par´ametros que las relacione.

Ejercicio 97. Dada la concoide de Nicomedes en coordenadas polares: r =

a

cos θ + c, a, c 6= 0, dib´ujese y encu´entrese sus ecuaciones en coordenadas

(48)

Teorema 2. Dada una curva regular, existe siempre una reparametrizaci´on de la misma por la longitud de arco.

Demostración. La función longitud de arco s : I → R es una función

diferen-ciable cuya derivada es s′_{(t) = kx}′_{(t)k > 0. Por tanto define un difeomorfismo}

sobre su imagen J = s(I). La curva y : J → Rn _{dada por y = x ◦ s}−1 _{es una}

reparametrizaci´on de x y, debido a la regla de la cadena, y′(ξ) =x′(s−1(ξ))(s−1)′(ξ) =x′_(s−1_(ξ)) 1 s′_(s−1_(ξ)) = x ′_(s−1_(ξ)) kx′_(s−1_(ξ))k, (3.2)

con lo que claramente y′ _{tiene norma uno, es decir, es una curva}

parametri-zada por la longitud de arco.

Intentaremos descargar un poco la notación: la inversa de la longitud de arco s = s(t) se llamará simplemente t = t(s). Esto conlleva la confusión de denotar por las letras s y t simultáneamente a funciones y variables, pero esperamos que esté claro por el contexto de qué se trata en cada caso. Más aún, denotaremos por el mismo s´ımbolo x tanto a la curva como a su reparametrización. Con esta notación, las ecuaciones (3.2) quedarán como

dx ds = dx dt dt ds = dx dt 1 ds/dt = dx dt 1 kdx/dtk. (3.3)

En adelante, cuando llamemos s al par´ametro de una curva, supondremos que est´a parametrizada por la longitud de arco.

En general, no es posible calcular expl´ıcitamente una reparametrización al arco: por una parte no suele poder calcularse expl´ıcitamente s(t) y aún menos su inversa. No obstante, su existencia teórica es de gran ayuda para clarificar definiciones y demostraciones, como enseguida veremos.

Ejercicio 98. Reparametr´ıcese la curva x(t) = (a cos t, a sin t, bt) por la lon-gitud de arco.

Ejercicio 99. Reparametr´ıcese la espiral logar´ıtmica

x(t) = aebt(cos t, sin t)

por la longitud de arco.

Ejercicio 100. Reparametr´ıcese la cicloide por la longitud de arco en la zona comprendida entre dos puntos singulares, excluyendo los mismos.

(49)

Ejercicio 101. Dada la curva x(t) = (1₂t,_2t1,√₂2log t), t > 0, parametr´ıcese

por la longitud de arco.

Ejercicio 102. Demuéstrese que la longitud de una curva dada por una función y = f (x) con x ∈ [a, b] está dada por

L = Z b

a

p1 + f′_(x)2_dx.

Ejercicio 103. Demu´estrese que la longitud de una curva dada en coorde-nadas polares por ρ = ρ(θ) est´a dada por

L = Z b

a

pρ2 _{+ (ρ}′₎2_dθ.

Ejercicio 104 (*). Parametr´ıcese la elipse de ecuaci´on 4x2_{+ 9y}2 _{= 1}

usan-do funciones trigonométricas y calcúlese numéricamente, usando Sage, una

reparametrizaci´on de la misma por la longitud de arco. Dib´ujese los puntos

de la misma equiespaciados por la longitud de arco, como comprobación de la corrección de los cálculos.

Ejercicio 105 (*). Dibújense los puntos de la hipérbola xy = 1 que cortan a las rectas y = 10x e y = x/10 en el primer cuadrante, junto con la secuencia de puntos sobre la hipérbola que los une y que se hayan equiespaciados sobre la hipérbola a distancia igual a 0,03 unidades.

3.2. Definici´

on de curvatura

El vector tangente o velocidad x′_{(s) de una curva parametrizada por el}

arco es un vector unitario y la velocidad con la que éste var´ıa indica cuánto se está curvando una curva. Con más precisión, definimos pues el vector curvatura k(s) = x′′_{(s) y la función curvatura está dada por k(s) = kk(s)k.}

Ejemplo 2. Con lo que sabemos hasta ahora, s´olo podemos calcular la curva-tura de curvas parametrizadas al arco. Por ejemplo, sea v un vector unitario y sea x(s) = p + sv la recta que pasa por p y tiene vector director v. Como

x′_{(s) = v, es kx}′_{(s)k = 1, con lo que la recta est´a efectivamente}

parametriza-da por la longitud de arco. Su vector de curvatura es k′′_{(s) = 0 y su funci´on}

curvatura es pues k(s) = 0, como cab´ıa esperar.

Observemos que, derivando la ecuaci´on dx ds, dx ds = 1

(50)

obtenemos que 2 d 2_x ds2, dx ds = 0,

es decir, la aceleraci´on de una curva parametrizada por el arco es perpendi-cular a la velocidad.

Ejercicio 106. Esta afirmaci´on es, intuitivamente, evidente si se observa que los vectores tangentes recorren una curva sobre la circunferencia o esfera unidad. Expl´ıquese por qu´e.

3.2.1. Curvatura de una curva plana

Llamemos t(s) = x′_{(s). Este vector, si la curva es plana, puede ser}

com-pletado con un vector unitario n(s) de forma que {t(s), n(s)} formen una base ortonormal positivamente orientada. Como t(s) = (x′_{(s), y}′_{(s)), vemos}

que el vector normal es n(s) = (−y′_{(s), x}′_(s)).

La interpretaci´on geom´etrica del producto escalar hn(s), x′′_{(s)i es la}

pro-yecci´on del vector de curvatura sobre el vector normal. Como ambos vectores son paralelos y n(s) es unitario, es

| hn(s), x′′(s)i | = kx′′(s)k.

El signo de hn(s), x′′_{(s)i es positivo si x}′′_{(s) tiene la misma direcci´on que n(s)}

y negativo en caso contrario. Como x′′_{(s) es la velocidad con la que se mueve}

el vector tangente t(s) y el vector normal completa el tangente formando una base ortonormal positivamente orientada, es decir, siempre se encuentra a la izquierda del vector tangente, deducimos que hn(s), x′′_{(s)i es positivo}

cuando la curva est´a girando “a izquierdas” respecto al vector de velocidad y negativo cuando gira “a derechas” (v´ease el siguiente dibujo).