Resumen. En este trabajo se presenta una introducción a la teoría del control en modo deslizamiento. Se comprueba que este tipo de control puede dar buenos resultados en términos de robustez frente a perturbaciones, manteniendo una buena respuesta dinámica. También se incluye el diseño de un controlador en modo deslizamiento basado en variables promediadas. La aplicación de este controlador en lazo cerrado a un convertidor buck ha mostrado un comportamiento satisfactorio en cuanto a resultados de simulación .
I. INTRODUCCIÓN A LOS . SISTEMAS DE ESTRUCTURA VARIABLE Los sistemas de estructura variable (SEV) son aquellos en los que su topología cambia en el tiempo de forma intencionada y consecuentemente la acción de control es discontinua y la planta es no lineal. Los instantes de tiempo en los cuales se produce el cambio de estructura están determinados por el estado actual del sistema. Los convertidores de potencia DC-DC conmutados en los que la acción de control (ciclos de trabajo de transistores y diodos) es discontinua pueden ser considerados dentro de la categoría de SEV. La figura 1 muestra las tres topologias básicas de convertidores conmutados DC-DC.
En las todas ellas se ha substituido el conjunto transistor–diodo por un interruptor de dos posiciones controlado por la variable de control u y se ha supuesto conducción continua.
Los convertidores anteriores pueden ser descritos según la expresión (1) en donde el vector de estado X está formado por la tensión en el condensador y
Introducción al Control en Modo Deslizamiento
Carles Jaén Fernández
Universitat Politècnica de Catalunya - Departament d’Enginyeria Electrònica
C./Colom,1, 08222 Terrassa, España
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a) convertidor buck + v -L E R C i u= 1 u= 0 L E i + v -R C b) Convertidor Boost u= 1 u= 0 c) Convertidor Buck-Boost E i L -v + R C u= 0 u= 1 t i tON tOFF T u= 1 u= 0 d) Intensidad a la bobinaFig. 1 Convertidores básicos DC-DC e intensidad a la bobina (1) v i X ; u para B X A X u para B X A X = = + = = + = 0 1 2 2 1 1 & &
la intensidad en la bobina
La expresión (1) se puede compactar según (2)
(
) (
)
(
A
A
X
B
B
)
u
(
)
B
X
A
X
&
=
2+
2+
1−
2+
1−
22
El objetivo final es sintetizar el valor de la variable de control u para que se cumplan las especificaciones del convertidor.III. EL CONTROL EN MODO DESLIZAMIENTO a) Principios generales
La asignación de variables de estado a un sistema no es única. Si en lugar de tomar la intensidad en la bobina y la tensión en el condensador del convertidor se considera el error de la tensión de salida y sus derivadas sucesivas se puede definir el vector error de la tensión de salida V, tal como muestra la expresión (3) siendo
v~
(error de tensión) igual a la diferencia entre la tensión de salidav
y la consigna deseada *v
.El sistema correspondiente a la ecuación (2) también puede expresarse en la forma matricial mostrada en (4) donde C es una matriz de dimensión nxn y D una matriz de dimensión nx1
Se puede escribir una nueva ecuación (5) como la
suma ponderada del error de la tensión de salida y de sus derivadas sucesivas. Los elementos del vector fila son las ganancias de realimentación del error de la tensión de salida y de sus derivadas sucesivas.
Desde un punto de vista geométrico la expresión de S=0 describe un hiperplano o superficie de deslizamiento en el espacio n-dimensional cuyos
ejes son el error de salida y sus derivadas sucesivas.
El principio del control en modo deslizamiento es imponer mediante la adecuada entrada de control que el sistema esté en el hiperplano S=0. Cuando esto se consigue la dinámica del sistema viene dictada por (5).
Al obligar a los estados del sistema que satisfagan S = 0, se debe de asegurar que éste es capaz de alcanzar el estado S = 0 desde cualquier condición inicial y que una vez se ha alcanzado dicho estado la acción de control es también capaz de mantener al sistema en dicho estado. Estas condiciones se expresan matemáticamente en (6) o también en
)
(
dt
dS
hacer
S
Si
dt
dS
hacer
S
Si
6
0
0
0
0
<
>
<
>
forma más abreviada en (7))
(
dt
dS
.
S
<
0
7
Cuando el sistema está en un estadofuera de la superficie S = 0, el movimiento del estado del sistema respecto del tiempo (dS/dt) es en la dirección de recuperar la superficie S = 0. Por consiguiente la entrada de control discontinua u debe escogerse de tal manera que se cumplan las condiciones expuestas anteriormente.
Si se combinan (4) y (5) se obtiene (8)
(8)
GE
GDu
V
~
GC
V
G
dt
dS
+
+
=
= &
y si se supone (9)(9)
u
u
hacer
S
Si
u
u
hacer
S
Si
=
<
=
>
− +0
0
se obtiene (10) que contiene la estrategia de control
Si la entrada de control se asigna de forma apropiada a los valores 0 y 1 de acuerdo con (10) la dinámica del sistema se describirá en función de S=0 o de las ganancias g0, g1,..., siendo independiente de otros parámetros del sistema. Esta cualidad del control en modo deslizamiento se conoce con el nombre de robustez.
b) Aplicación al convertidor buck
)
(
dt
v~
d
.
.
dt
v~
d
v~
V
~
n n3
1 1
=
− −)
(
E
u
D
V
~
C
V
~
&
n=
+
+
4
(
g
,
g
,...,
g
,
)
G
)
(
dt
v~
d
g
...
dt
v~
d
g
v~
g
S
n n n n 1 1 0 1 1 1 1 00
5
− − − −=
=
+
+
+
=
(10)
GE
GDu
V
~
GC
dt
dS
GE
GDu
V
~
GC
dt
dS
>
+
+
⇒
>
<
+
+
⇒
<
− +0
0
0
0
Supuesto el caso del convertidor buck (fig. 1a), éste se puede describir para u =1 (transistor en conducción) mediante (11) y para u = 0 (diodo en conducción) mediante (12).
Para el caso de régimen permanente se obtienen los puntos de equilibrio que se muestran en (13).
(13)
0
v
0
u
Para
E
v
u
Para
=
=
=
= 1
Para componer el plano de fase se eligen como coordenadas como coordenadas el error de salida
v~
y su derivadadt
v~
d
. Para una consigna constante se verifica (14)
(14)
dt
dv
dt
v~
d
=
por tanto las coordenadas del plano de fase serán el error de tensión de salida
v~
y la derivada de la tensión de salidadv
dt
, es decir la intensidad por el condensador .La fig.2 muestra las trayectorias en el plano de fase hacia los puntos de equilibrio del convertidor buck Se puede crear un control en modo deslizamiento si se escoge la superficie descrita en (15)
(15)
dt
dv
g
v~
g
S
=
0+
1=
0
con la ley de control (16).
Las trayectorias de fase siempre irán a buscar la
línea de deslizamiento tanto para u= 0 como para u= 1 ya que los puntos operativos en régimen permanente para cada valor de la entrada de control están localizados en la región opuesta. Consecuentemente cualquier acción de conmutación obliga al sistema a desplazarse hacia la línea de deslizamiento y pasar a la otra región.
Cuando se aplica la ley de control el estado del
sistema se mueve hacia la línea de deslizamiento y una vez llega a la misma se desliza a través suyo hasta llegar al régimen permanente final. En la
práctica el deslizamiento se produce alrededor de la línea de deslizamiento entre unos límites
formando unas bandas de histéresis de amplitud Ψ, tal y como se puede observar en fig. 3.
Debido a que la evolución del sistema está obligada a mantenerlo siempre alrededor de la línea de deslizamiento la respuesta del mismo depende únicamente de la línea o superficie de deslizamiento escogido y es independiente de los parámetros del sistema.
c) Resultados de simulación
Se incluyen algunos resultados de simulación en el entorno MATLAB-Simulink. Se ha trabajado con un convertidor buck con los parámetros siguientes: E= 20 V, L= 1 mH, C= 10 µF y R= 10 Ω. Para la ley de control se ha escogido una relación g0/g1 igual a 5000 y una banda de histéresis Ψ igual a ±3000.
(11)
LC
E
LC
v
dt
dv
CR
1
CR
v
C
i
dt
dv
L
E
L
v
dt
di
dt v d2=
+
+
−
=
+
−
=
2(12)
LC
v
dt
dv
CR
1
CR
v
C
i
dt
dv
L
v
dt
di
dt v d20
2+
+
=
−
=
−
=
(16)
u
hacer
S
Si
u
hacer
S
Si
=
<
=
>
1
0
0
0
Trayectorias para u = 1 v~ dt dv * V − E V* − Trayectorias para u = 0Fig. 2 Trayectorias y puntos de equilibrio en el plano de fase
Fig. 3 Evolución del sistema en el plano de fase
Ψ S=0 Ψ S>0 S<0 * V −
dt
dv
E-V* v-v*La fig. 4 muestra la evolución de la tensión de salida y de la intensidad en la bobina para un proceso de arranque con una tensión de consigna de 10 V.
La fig. 5 muestra la respuesta del sistema bajo condiciones de cambio en la resistencia de carga. Para t= 5 ms se ha modificado el valor de R de 10 a 15 Ω., observándose una buena respuesta dinámica del sistema ya que se alcanza el nuevo equilibrio en menos de 1ms.
En la fig. 6 se muestra la evolución del sistema en un proceso de arranque bajo las mismas condiciones que las mostradas en fig.4. Para ello se ha utilizado un espacio de fase tridimensional en donde se ha añadido el tiempo como el tercer eje .
IV. CONTROLADOR EN MODO DESLIZAMIENTO BASADO EN VARIABLES
PROMEDIADAS
En este apartado se propone el diseño de un controlador en modo deslizamiento basado en un modelo promediado de espacio de estado del convertidor. Su funcionamiento será a frecuencia fija y utilizará la técnica de la modulación en anchura de pulso (PWM) en contraste con el método clásico de frecuencia variable más habitual en este tipo de controlador y que se ha mostrado anteriormente.
a) Aplicación al convertidor buck
La formulación del modelo promediado en espacio de estado del convertidor buck conduce a la expresión (17) en donde el símbolo
( )
denota variable promediada y d corresponde al ciclo de trabajo del conmutadorSe puede definir una superficie de deslizamiento (S) en el plano de fase, según la expresión (19) donde λ es un número real positivo denominado factor de convergencia.
(19)
0
v~
dt
v~
d
S
=
+
λ
=
Cuanto mayor sea el valor de este factor más rápidamente alcanzará el sistema el régimen permanente. No obstante existen limitaciones en el valor máximo de este parámetro debido a restricciones del propio sistema. Un valor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 10-3 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo (s) a) T ens ió n s al id a ( V ) – b) In te ns id ad bo bi na (A)
Fig. 5 Evolución de la tensión de salida e intensidad en la bobina frente a cambios en la resistencia de
carga a) b) -10 -5 0 5 0 0.005 0.01 0.015 -2 0 2 4 6 x 104 Error (v-v*) (V) Tiempo (s) dv /d t ( v/ m s)
Fig.6 Evolución del sistema en el plano de fase tridimensional
(18)
d
L
E
L
v
dt
i
d
CR
v
C
i
dt
v
d
+
−
=
+
−
=
0 0.005 0.01 0.015 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo a) T ens ió n s al id a (V ) – b ) I nte ns id ad bo bi na a ) b)excesivamente grande puede conducir a una deficiente respuesta dinámica.
Para el diseño del controlador en modo deslizamiento se deben combinar (18) y (19); a partir de estas expresiones se obtiene el ciclo de trabajo d(t) (20) en función de los parámetros del convertidor y de las variables promediadas.
( )
R
L
LC
con
(20)
E
v
v
v
)
t
(
d
*λ
λ
α
α
−
=
−
−
=
2Para verificar las prestaciones del controlador se ha diseñado el sistema en lazo cerrado que se muestra en Fig. 7.
El convertidor y el controlador han sido realizados en formato de subsistemas en el entorno MATLAB-Simulink.
b) Resultados de simulación
Para la simulación se han adoptado los siguientes valores para los parámetros del convertidor: E= 20 V, R= 10Ω, L= 1 mH, C= 10 µF, con un periodo de conmutación de 100 µs. Para el diseño del controlador, λ se ha ajustado a un valor de 5000 s1. Varias simulaciones previas mostraron resultados con una buena dinámica hasta un límite de λ cercano a 10.000 s-1. Así pues, el valor seleccionado para este parámetro está justo en la mitad del rango práctico.
En la Fig. 8 se muestra un proceso de arranque en respuesta a una referencia de tensión de 10 V operando en bucle cerrado. Se presentan la tensión de salida y la intensidad por la bobina. El régimen permanente se obtiene en aproximadamente 3 ms. Para verificar las prestaciones dinámicas del sistema bajo condiciones de cambios en la carga, ésta se ha modificado de 10 a 15 Ω en t = 10 ms. Tal y como muestra la Fig. 9, la tensión de salida alcanza un valor de pico de 12 V con una duración
inferior a 0,5ms, tardando aproximadamente 4 ms en recuperar su valor nominal.
La Fig. 10 ilustra la respuesta del convertidor a la aplicación de un escalón de 10 V a 15 V en la consigna de tensión en el instante t = 10 ms. El convertidor alcanza el nuevo régimen permanente en aproximadamente 4 ms. 0.0054 0.007 0.009 0.011 0.013 0.015 0.017 0.019 6 8 10 12 14 16 Tiem po (s ) a) T e n s ión s a lid a b ) 10* d1 a) b) VI. CONCLUSIONES
En este trabajo se ha efectuado una introducción a los sistemas de estructura variable así como a la
Parámetros convertior Controlador 2 v vREF d(t)1 Circuito disp. + v _ D T L E + E R C i Filtro
Fig. 7 Diagrama del sistema de control en lazo cerrado
0 0.005 0.01 0.015 0 2 4 6 8 10 12 Tiem po (s) a) T ens ió n s a lida b) I n tens id ad bob in a a) b)
Fig.8. Proceso de arranque en respuesta a una tensión de referencia de 10 (V) 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.0154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Tiem po (s) a) T e ns ió n s a lid a b) 10 *d 1 a) b)
Fig. 9. Tensión de salida y ciclo de trabajo frente a cambios en la carga
Fig. 10. Tensión de salida y ciclo de trabajo frente a cambios en la consigna de tensión
teoría del control en modo deslizamiento, con una posterior aplicación a un convertidor de estructura buck.
A continuación se ha diseñado un controlador en modo deslizamiento mediante la técnica del promediado local de variables. Igualmente se ha aplicado a un convertidor buck
Los resultados de simulación del sistema, operando en lazo cerrado han mostrado un comportamiento satisfactorio.
REFERENCIAS
[1] J. Mahdavi, A. Emadi, H.A. Toliyat. “Application of state space averaging method to sliding mode control of PWM DC/DC converters,” Industry Applications Society, Annual Meeting, New Orleans, Oct. 1997, pp 820-827.
[2] P.Mattavelli, L.Rossetto, G.Spiazzi, P.Tenti “General-purpose sliding-mode controller for DC/DC converter applications,” Trans. on Power Electronics, Vol.10,nº3, May, 1995, pp 302-309
[3] Kassakian, J.G. Schlecht, M.F Verghese G.C. ”Principles of power electronics,” Addison Wesley. 1992
[4] L. Martinez Salamero, R. Giral, O. Pallas “Control de convertidores en modo deslizamineto. Metodologia, ejemplos de aplicación y problemas abiertos”. Dpt Enginyeria Electrònica. URV, Tarragona [5] V.I. Utkin, “Sliding modes and their
application in variable structure systems”, MIR, Moscow, 1978
