TANGENCIAS Y ENLACES
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TANGENCIAS EN EL PLANO
Tangencias y enlaces. Óvalos y ovoides. Espirales. Curvas cíclicas. TEMPORALIZACIÓN: 6 horas
Enlace es la unión de dos o más líneas, curvas entre sí o rectas y curvas, de modo que parezca una línea continua y sin alteraciones.
Propiedades:
- En cualquier circunferencia, un radio y la tangente en su extremo son perpendicu-lares.
- Si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia están alineados.
- La mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por el centro.
Posiciones relativas de recta y circunferencia. Fig.3.1
Fig.3.5
Consideraciones
1.- Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la linea que une los centros.
2.- Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia es el pie de la perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la recta tangente.
3.- El radio perpendicular a una cuerda la divide en dos partes iguales, así como al arco que subtiende. De la misma forma la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Hacer pasar un arco de radio conocido R, por dos puntos dados A y B. Fig.3.4
Únanse por medio de una recta dichos puntos. Se levanta la perpendicular en su punto medio. Desde cualquiera de los puntos y con radio R trácese un arco que corte a la perpendicular. En el punto de intersección O estará el centro del arco pedido.
Hacer pasar un arco por 3 puntos no alinea-dos. Fig.3.5
Únanse dichos puntos por medio de las rectas AB y BC. Trácese la mediatriz de cada una de las rectas. El punto O, intersección de ambas mediatrices será el centro de la circunferencia pedida, pues equidistará de los tres puntos.
Fig.3.7
Fig.3.8 Fig.3.9
Dada una recta AB trazar una circunferencia tan-gente a ésta y que pase por un punto dado N. Fig.3.6
Sea C un punto cualquiera de la recta AB y N el punto exterior por el que debe pasar la circunferencia. Le-vántese una perpendicular a dicha recta por C. Se une C con N y se levanta una perpendicular en su punto medio. La intersección de las dos perpendiculares será el centro de la circunferencia pedida.
Describir una circunferencia tangente a los lados de un ángulo ABC. Fig.3.7
Trácese la bisectriz del ángulo ABC. En un punto cualquie-ra D de uno de los lados levántese una perpendicular. El centro O se encontrará en el punto de intersección de esta perpendicular con la bisectriz del ángulo.
Describir una circunferencia tangente a los lados de una línea poligonal convexa. Fig.3.8
Trácense las bisectrices de los ángulos ABC y BCD. Desde el punto O de la intersección de las bisectrices levántese la perpendicular OE, al lado CD. La recta OE será el radio de la circunferencia.
Inscribir una circunferencia en un triángulo cualquiera ABC. Fig.3.9
Se trazan las bisectrices de dos de sus ángulos. Desde el punto de intersección de las bisectrices, trácese una perpendicular a un lado cualquiera del triángulo. La recta OD es el radio de la circunferencia pedida.
Fig.3.11 Fig.3.12
Trazar 3 circunferencias exteriores a los la-dos de un triángulo. Fig.3.10
Prolónguense los lados del triángulo formando así sus lados exteriores. Se trazan las bisectri-ces de dichos ángulos exteriores y se prolongan hasta que se corten dos a dos. Los segmentos O'I, O''G y O'''H, serán los radios de dichas cir-cunferencias.
Trazar una tangente a una circunferencia en un punto cualquiera de ella. Fig.3.11
Basta trazar un radio desde el punto citado y levantar una perpendicular en ese punto N.
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. Fig.3.12
Se une el punto exterior A con el centro de la circunferencia O. Se traza la mediatriz de este segmento para hallar el punto D. Por D y con radio DO se traza un arco que cortará en BE a la circunferencia. Por dichos puntos pasarán las dos tangentes, únicas posibles, que pueden trazarse desde el punto A.
Trazado de tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. Fig.3.13
Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia que pase por O' y O. Por las intersecciones de esta circunferencia con la circunferencia auxiliar O', hágase pasar dos rectas que cortarán a la circunferencia mayor en dos puntos P y Q que son los puntos de tangencia. Desde el punto O, se trazan las rectas OB y OD respectivamente paralelas a PO' y O'Q. Uniendo los puntos B y P, así como DQ, y prolongando las
Fig.3.14 Fig.3.13
rectas se obtienen las tangentes pedidas.
Trazado de tangentes interiores a dos circunferencias dadas. Fig.3.14
Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la suma de radios de las dos circunferencias propuestas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia que pase por O' y O, que cortará a la auxiliar en P y P'. Se unen estos puntos con el centro O'. Las intersecciones de estas rectas con la circunferencia serán los puntos de tangencia. Los otros dos puntos N y N' se hallan por medio de paralelas a O'P y O'P'.
Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias, por homotecia. Fig. 3.15
Se unen los centros de las dos circunferencias.
1
Se halla el centro de homotecia. Para ello se dibuja un radio cualquiera O A y otro
2
paralelo al primero, O B.
1 2
Se prolonga AB hasta que corte a O O , con lo que se obtiene H. A continuación se
1 2
trazan las tangentes a la circunferencia de centro O y O que partan de H. El segmento CD será la tangente buscada.
El mismo procedimiento sirve para hallar las tangentes interiores. Fig.3.16
Fig.3.17 Fig.3.18
Construir circunferencias de radio conocido r que cumplen dos de las tres condiciones siguientes: Pasar por un punto, ser tangentes a una recta o ser tangentes a una circunferencia.
Propiedades:
1.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un punto fijo P, es la circunferencia de centro P y radio r.
2.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que son tangen-tes a la recta R, son dos paralelas a ambos lados de la recta R y a una distancia igual a r.
3.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r, que son tangentes a una circunferencia de radio R son las concéntricas a éstas con radios R+r y R-r.
Trazar una circunferencia tangente a otra dada O y a una recta AB, en un punto determinado de ella. Fig.3.17
Se levanta una perpendicular en el punto N y se prolonga. A ambos lados del punto N se toma una distancia NC-NC' igual al radio de la circunferencia O. Se unen estos puntos C y C' con O y se levantan sus mediatrices. En las intersecciones de estas perpendiculares con la perpendicular levantada en el punto N, se hallarán los centros de las dos circunferencias tangentes O' y O''.
Fig.3.20 Fig.3.19
Describir una circunferencia tangente, interior o exteriormente, a otra determi-nada O, y que pase por un punto conocido N. Fig.3.18
Sea un punto cualquiera A de la circunferencia O, y N el punto determinado por donde ha de pasar la circunferencia cuyo radio se busca. Se unen con A el centro O y el punto N. Se levanta una perpendicular en el punto medio de AN. La intersección de esta perpendicular con OA será el centro O' de la circunferencia pedida.
Construir un círculo de radio determinado que sea tangente a las rectas concurrentes AB y CD. Fig.3.19
Se construyen rectas paralelas a las concurrentes a una distancia igual al radio r. En su intersección se hallará el centro del círculo que se desee. Para hallar el punto de tangencia bájese una perpendicular a cada una de las rectas desde el centro hallado.
Construir un círculo de radio determinado que sea tangente a una recta AB y a un círculo O'. Fig.3.20
Trazamos una paralela a la recta AB a una distancia igual al radio r. Con el radio de la circunferencia dada, más r, y con centro en O' se traza un arco que corte a la paralela en O, punto centro del círculo tangente a la circunferencia O' y a la recta AB.
Trazar una tangente a un arco de circunferencia de centro desconocido, por un punto T del arco. Fig.3.21
Se toman dos arcos iguales TM y MN. Con centro en T y radio TN trácese un arco. Nuevamente, con centro en M y radio MN trácese otro arco. Estos dos arcos se cortan en el punto S. La recta ST es la tangente pedida.
Fig.3.21 Fig.3.22
Fig.3.23
Trazar circunferencias tangentes a una recta AB, que pasen por un punto P y que tengan un radio dado r. Fig.3.22
Trazamos la paralela a la recta AB, a una distancia igual al radio r. Trácese una circunferencia auxiliar que tenga como centro el punto dado P y radio r. Los puntos de intersección de la paralela y la circunferencia auxiliar son los centros de las soluciones, cuyos puntos de tangencia son T y T'.
Trazar circunferencias tangentes a una recta AB, dada, y que pasen por los puntos P y Q. Fig.3.23
Por dos puntos pasan infinitas circunferencias, incluidas las incógnitas. Por los dos puntos PQ pasará el eje radical común a todo el haz. Unimos P y Q prolongándolo hasta M. En un punto cualquiera de la mediatriz de PQ, por ejemplo por O, dibuja-mos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos P y Q, y desde M se traza la
1 1 2 3
tangente MT ; con centro en M y radio MT cortamos a la recta dada AB=r en T y T que son los puntos de tangencia en dicha recta.
1 2
Trazando las perpendiculares a la recta AB por ellos, se obtienen los centros O y O de las soluciones.
Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan conociendo el radio de estas. Fig. 3.24
Dado que las circunferencias deben ser tangentes a las rectas dadas, se trazan paralelas a las rectas r y t dadas a una distancia igual al radio de las circunferencias tangentes.
Trazar las posibles circunferencias, que con un radio dado, sean tangentes a una circunferencia y una rectas dadas. Fig. 3.25
Trazar las posibles circunferencias que con radio dado sean tangentes a dos cir-cunferencias dadas, secantes entre si. Fig.3.26
Trazar las posibles circunferencias tangentes a tres rectas dadas, siendo dos de ellas paralelas y la tercera secante a las mismas. Fig.3.27
Se traza la linea media de las dos rectas paralelas, lugar en el que se encontrarán los centros de las circun-ferencias tangentes.
Se hallan las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r-w y s-w. Cuando las bisectrices corten a la recta media tendremos los centros de las circunferen-cias tangentes.
Fig.3.25
Fig.3.26
Trazar dos o más circunferencias tangentes a dos rectas convergentes dadas, siendo a su vez tangentes entre si. Fig.3.28
Se halla la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. Por ejemplo por medio de dos rectas paralelas situadas a igual distancia.
Se dibuja la primera circunferencia con centro en un punto cualquiera de la bisectriz. Puede ser el punto de intersección entre las dos paralelas.
Para hallar el centro de la segunda circunferencia se dibuja por el punto de intersec-ción de la circunferencia con la bisectriz, una tangente. La bisectriz del ángulo formado por la tangente y la recta concurrente r'dará el centro de la segunda circunferencia.
Trazar las posibles circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas, de igual radio. Fig. 3.29
Por tratarse de tres circunferencias de igual radio, los puntos de tangencia han de resultar equidistantes de sus centros, luego el problema se reduce a hallar el centro
1 2 3
de una circunferencia que pase por 3 puntos: O , O y O , centro de las circunferen-cias dadas.
Obtenido este centro en la intersección de las mediatrices de los segmentos de unión de los tres centros dados, se trazarán con centro en el mismo las dos circunfe-rencias resultado, tangentes interior y exterior a las dadas.
Fig.3.30
Fig.3.33
Trazar las posibles circunferencias tangentes a dos rectas r y s, dado el punto de tangencia T en una de ellas. Fig.3.30
Trazar la circunferencia tangente a tres rectas dadas r, s y t cuando al menos dos de las rectas se cortan fuera del dibujo. Fig.3.31
Trazar las circunferencias tangentes a otra dada y a una recta r, dado el punto de tangencia T en la circunferencia. Fig.3.32
Trazar circunferencias tangentes a otras dadas conocidos los puntos de tangencia. Ejemplos de tangencias simples por inversión. Ver capítulo 5
Curva envolvente de una poligonal. Fig.3.33
Se trata de ir uniendo los puntos de una poligonal con arcos de circunferencia tangentes entre sí. Se ha de tener en cuenta que los centros de las circunferencias están en la mediatriz de cada segmento, y también que para que la curva sea tangente a la anterior, ha de estar en una recta que llamaremos línea de centros y que une el final de la última curva trazada con su centro. El punto de corte de ambas rectas, mediatriz y línea de centros, nos da el centro de la siguiente cir-cunferencia.
El procedimiento a seguir será: hallamos la
me-Fig.3.31
ENLACES
Fig.3.34
Fig.3.35
1
diatriz de AB y en ella elegimos cualquier punto O como centro de la primera curva. Para trazar la segunda curva, dibujamos la mediatriz de BC, al igual que la línea de
1 2
centros BO . Donde se cortan ambas rectas, nos dará el punto O que será el centro de la segunda curva.
Enlazar dos rectas perpendiculares por un arco de circunferencia de radio dado. Fig.3.34
Se traza desde el punto A, corte de las perpendicu-lares, un arco DE con un radio r igual al dado. Con la misma abertura de compás, y centro en D y E, se trazan dos arcos que se cortarán en O. Desde O como centro y con radio R, se traza el arco desde D, hasta E.
Enlazar dos rectas paralelas por medio de dos arcos de igual radio, pero en diferente sentido, tangentes a las rectas en los puntos A y E. Fig.3.35
Únanse por una recta los puntos A y E, y determínese el punto medio F. En los puntos A y E trácense dos rectas perpendiculares a las rectas dadas. Trácense mediatrices en los puntos medios de los segmentos de la recta AF y FE. Los puntos O y O' determinan los centros de las curvas.
Enlazar dos rectas paralelas por medio de dos arcos. Fig.3.36
Unanse los puntos de tangencia A y C; por A y C se trazan perpendiculares a las rectas B y D. Por el punto medio G, del segmento AC se traza la paralela a las rectas dadas y se lleva GP=GA; la perpendicular por P al segmento AC determina los centros O y E de los arcos.
Fig.3.37
Fig.3.38
Fig.3.39
Enlazar dos circunferencias por medio de un arco de radio conocido. Fig.3.37
1 2 1
Describimos con centros en O y O y radios R +R y
2
R +R arcos, los cuales en su intersección O, determinan el centro del arco de enlace. Otra solución se obtiene
1 2
trazando los arcos con diferencia de radios S-R y S-R
Enlazar dos rectas, AB y CD, no paralelas, por dos arcos de circunferencia, conocidos los puntos M y N de contacto y el radio de uno de los arcos.
Fig.3.38
Trazar a cada una de las rectas dadas una perpendicular en los puntos M y N de contacto. A partir del punto N, llévese de N hacia O, el radio r y con centro O, descríbase el arco NF. Levántese desde M la perpendicular MO' y en ella y a partir de M llévese una distancia MT = r. Únase T con O, y trácese una perpendicular UO' en su punto medio. El punto O' de encuen-tro de la perpendicular con la trazada al princi-pio MO' es el centro del otro arco. Para deter-minar el punto de tangencia F se une O con O'.
Enlazar dos circunferencias por medio de un arco de radio dado. Fig.3.39
1 2
Describimos arcos con centros en O y O y
1 2
radios R+R y R-R , los cuales en su intersec-ción O determinan el centro del arco de enlace.
1 2
Los puntos de tangencia T y T se encontrarán en los puntos de corte de las rectas que unen
1 2
los centros O O y O O con la circunferencia.
Dada una recta y una circunferencia, enlazar-las mediante un arco, conocidos el punto T de tangencia en la recta. Fig.3.40
Se dibuja la perpendicular a la recta por el punto de tangencia. A continuación de T se lleva el radio de la circunferencia con lo que se obtiene el punto A.
Se une A con el centro O de la circunferencia. Se dibuja la mediatriz de OA . Esta mediatriz corta a
OVALOS Y OVOIDES
Fig.3.41 Fig.3.42
Fig.3.43
1
la perpendicular por T en O que resulta ser el centro de la circunferencia tangente.
Trazar un ovoide conociendo su anchura b. Fig.3.41
Tomando AB como diámetro, trácese una circunferencia. Perpendicularmente a AB trácese otro diámetro. Unase con rectas indefinidas 2 y 4, 3 y 4. Haciendo centro sucesivamente en 2, 3 y 4, llévense los tres arcos con un trazo continuo.
Trazar un ovoide de altura b y anchura a conocidas. Fig.3.42
Trácese A'B' igual a AB y tomándola como diámetro trácese una circunferencia. Perpendicularmente a AB, trácese otro diámetro y prolónguese. Tómese desde D', una altura D'C' igual a la propuesta. Desde los puntos extremos A' y B' llévense distancias iguales a C'E en F y G respectivamente. Levántense las mediatrices de EF y EG que cortan el diámetro A'B' en 3 y 2. Los puntos 2, 3 y 4 son los centros de los arcos que satisfacen el problema. (C'E no puede ser mayor que la semianchura)
Trazar un óvalo o falsa elipse conociendo el eje mayor a. Fig.3.43
Trácese el eje mayor y divídase en tres secciones iguales. Descríbanse las circunferencias O y O'. Unan-se con rectas indefinidas los puntos de interUnan-sección de estas circunferencias con los centros O y O'. Desde los puntos 1, 2, 3 y 4 como centro, trácense los arcos que forman el óvalo.
Fig.3.45 Fig.3.44
Fig.3.46
Trazar un óvalo conociendo sus dos ejes a y b. Fig.3.44
Levántese la mediatriz de A'B'. Desde el punto O como centro, trácese una semicir-cunferencia. Señálese sobre la mediatriz la altura OC' del arco igual al de un eje menor y únase el punto C' con los extremos A'B' de la anchura. Desde C' como centro y con radio igual a C'F descríbase una circunferencia. En medio de cada uno de los segmentos A'D y B'E levántense mediatrices que determinarán los puntos 1, 2, 3 y 4 que son los cuatro centros con los que se podrá construir el óvalo propues-to.
Construir un óvalo, dado el eje mayor a. Fig.3.45
Tomando AB=a, divídase en cuatro partes iguales. Con centro en C y en E y radio igual a 1/4 de AB descríbanse dos circunferencias que serán tangentes en D. Haciendo ahora centro en C y en E y con radio CE descríbanse los cuatro arcos que se cortarán en F y en G, y únanse estos dos puntos con los centros C y E, prolon-gando los radios hasta encontrar a las circunferencias en L y M y en H e I. Con centro F y radio FL trácese el arco LM, y con el mismo radio y centro en G el arco HI. Estos dos arcos serán tangentes a las dos circunferencias primeramente descritas.
Construir un óvalo, dado el eje mayor a. Fig.3.46
Tomando AB igual al eje dado a, se divide en cuatro partes iguales, y con centro sucesivamente en los puntos C, D, E y radio igual a 1/4 del eje se describen tres circunferencias. Trácese por D la perpendicular al eje y
por los puntos de intersección F y G los radios FC, FE, GC y GE, prolongándolos hasta encontrar a las circunferen-cias en L, M, H, I. Con centro en F y G y con radio FL descríbanse los arcos LM y HI, que serán tangentes a las dos circunferencias de centros C y E en los puntos H, I, L y M.
Fig.3.48 Fig.3.47
ESPIRALES
Construir un óvalo dado el eje menor. Fig.3.47
Construimos la circunferencia de diámetro CD y se trazan los diámetros perpendicu-lares. Los puntos 1, 2, 3 y 4 son los centros de los arcos de circunferencia que permiten construir el óvalo.
Construir un óvalo conociendo los ejes mayor y menor. Fig.3.48
Se dibujan perpendiculares los ejes mayor y menor; se toman en OB y OC dos segmentos iguales BF=CE; se une E con F y obtenemos la mediatriz que corta en H a la prolongación del eje menor. Hallamos los simétricos de F y H respecto de O y obtendremos los puntos G e I. Los puntos F, H, G e I son los centros de los arcos.
Se llama espiral a la curva plana originada por un punto al desplazarse alrededor de otro punto de forma que con cada vuelta se aleja de él. Paso es la distancia radial que existe entre dos espiras consecutivas, es decir, la distancia existente entre las diferentes espiras de la curva, la cuál permanece siempre constante y equivale al perímetro del polígono.
Construir la espiral de dos centros conocido el paso. Fig.3.49
Sobre una recta se marca un segmento de longitud igual a la mitad del paso, y se describen arcos sucesivos haciendo centro en cada uno de los extremos 1, 2, 1, 2, etc. con diámetros iguales a la mitad del paso. Con centro en el punto 1 se dibuja el arco 2A. Con centro en el punto 2, se dibuja el arco AB, etc.
Fig.3.50 Fig.3.49
Fig.3.51
Construir la espiral de tres centros dado el paso. Fig. 3.50
Se construye un triángulo equilátero, cuyo lado mida 1/3 del paso dado. Se prolon-gan sus lados en un sentido y se numeran sus vértices 1, 2, 3. Haciendo centro en cada uno de los vértices, trazamos desde el punto 3 el arco 1A, desde 1 el arco AB, y con centro en 2 describimos el arco BC; haremos la misma operación para CD, DE, etc.
Construir la espiral de cuatro centros dado el paso. Fig.3.51
Se dibuja un cuadrado de lado 1/4 del paso dado. Se prolongan sus lados en un mismo sentido y se describen arcos de centros en los vértices 2, 3, 4, 1, 2, etc.
Con centro en el vértice 2 se traza el arco A; con centro en 3 se dibuja el arco B; con centro en 4 el arco C, etc. Para dibujar más vueltas se repite esta operación.
Construir la espiral logarítmica o aúrea. Fig.3.51bis
Sobre dos ejes que se corten perpendicularmente tenemos dos magnitudes OA y OB distintas, uniendo los extremos A y B mediante un segmento. Por B se traza una perpendicular al segmento AB hasta cortar en C al eje horizontal. De nuevo por C se dibuja una perpendicular a BC, obteniéndose el punto D sobre el eje vertical. El procedimiento continúa hasta conseguir los puntos E, F,
G, H, de puntos sobre los ejes, que unidos mediante línea continua nos reproduce la espiral logarítmica. La curva no llegará a alcanzar al origen O, si bien se apro-ximará a él infinitamente.
CURVAS CíCLICAS
Son las que se generan al desplazarse, sin resbalar, un punto de una circunferencia, sobre una recta o sobre una circunferencia. A las figuras móviles se las llama ruletas, y a la línea sobre la que se efectúa el movimiento se la denomina base o directriz.
Cicloide. Fig.3.52
Es una curva plana originada por un punto de una circunferencia o ruleta que rueda, sin resbalar, sobre una recta llamada directriz.
Para trazar la curva se dibuja la circunferencia, tangente a la directriz en un punto P, que es el generador de la curva. Sobre la directriz se lleva la longitud rectificada de la circunferencia, dividiendo tanto ésta como su rectificación en un mismo número de partes iguales. Cuantas más divisiones de la ruleta más precisa será la curva. Se trazan paralelas a la directriz por todas las divisiones de la circunferencia y, asimismo, perpendiculares a la directriz por las divisiones efectuadas en ella que corten a la paralela a la recta directriz que pasa por el centro O de la ruleta,
obte-1 2 3
niéndose los centros O , O , O , etc.
1 1
Para determinar el punto P , por ejemplo, de la curva se hace centro en O y con un radio igual al de la ruleta se traza un arco que corte a la paralela a la directriz 1-11;
2 2
para determinar el punto P de la curva se hace centro en O y con un radio igual al de la ruleta se traza un arco que corte a la paralela a la directriz 2-10; así
sucesiva-12
mente hasta determinar el punto P . Uniendo los puntos con una plantilla de curvas se obtiene la cicloide normal.
En la Fig.3.52 están representadas la cicloide normal, la cicloide acortada y la cicloide alargada
Si el punto generador P no es tangente a la directriz sino que se encuentra en el radio de la ruleta, e interior, se origina una cicloide acortada. La cicloide acortada parte de la construcción de la cicloide normal.
Para construir la curva acortada se toma un punto Q del radio como punto
genera-1
dor interior a la ruleta. Se lleva el segmento OQ, a partir de O , sobre la recta que
1 1 1
une el centro O con el P de la ruleta normal y obtendremos un nuevo punto Q de
2
la curva acortada. El punto Q se conseguirá de la misma manera a partir del centro
2 3 4
O . Con el Q , Q , etc. se opera de la misma forma.
La cicloide alargada se construye igual que la cicloide acortada pero en este caso el punto generador es exterior a la ruleta. Los puntos de la curva son los puntos que se
1
inician en R. La distancia OR se lleva a partir de O sobre la recta que une el centro
1 1 1
O con el P de la ruleta normal y obtendremos un nuevo punto R de la curva alargada.
Fig.3.52
Epicicloide. Fig.3.53
Es una curva plana originada por un punto, de una ruleta, que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia llamada circunferencia directriz.
Como en el caso de la cicloide existen tres tipos de epicicloide: normal, acortada y alargada, según que el punto generador se encuentre en el borde exterior, en el
interior o en el exterior de la ruleta. Primer procedimiento:
Para trazar la curva se dibuja la circunferencia ruleta, de radio r, tangente a la circunferencia directriz, de radio R, en un punto P, que es el generador de la curva. La directriz, es en este caso una circunferencia y la ruleta es exterior a ella. Para preparar el trazado de esta curva en cualquiera de sus tres variantes, dividiremos la ruleta en un número de partes (se han elegido ocho en la figura) que corresponden a arcos de amplitud 45° a los que les correspondan a su vez, en función del radio, una longitud del arco que será la misma que deberán recorrer sobre la base, con lo cual se hace necesario el cálculo en la base del valor de la amplitud del arco que a ésta le corresponda.
Fig.3.53
El perímetro de la ruleta será l = 2Br y la amplitud del arco de la directriz será
Para calcular en la directriz el arco correspondiente bastará aplicar una regla de tres:
de donde
Obtenido el arco de la directriz (a°), se divide en tantas divisiones como hayamos hecho en la ruleta. Habremos dibujado un ángulo central equivalente a un recorrido completo del punto P sobre la directriz.
Fig.3.54
Segundo procedimiento:
Se rectifica uno de los arcos (el arco CE) en que está dividida la ruleta y se obtiene el segmento CD. Se
recti-2
fica la circunferencia de centro O y se une el punto D con el punto M, con lo que se obtiene el arco equiva-lente rectificado, CF, en la
circunfe-2
rencia de centro O .
Una vez hallado el ángulo central la
construcción de la curva es idéntica a la construcción de la cicloide.
Hipocicloide. Fig.3.54
Es una curva plana, originada por un punto, de una ruleta, que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia llamada circunferencia directriz.
Como en el caso de la cicloide y de la epicicloide existen tres tipos de hipocicloide: normal, acortada y alargada, según que el punto generador se encuentre en el borde exterior, en el interior o en el exterior de la ruleta.
Las construcciones del ángulo central y de la curva hipocicloide son idénticas a las de la epicicloide.
Cardioide. Fig.3.55
Es una curva cíclica engendrada por una circunferencia ruleta que rueda exterior-mente, y sin resbalar, por otra de igual radio que ella. El punto que genera la curva en su posición inicial es P. Para su construcción se divide la circunferencia directriz en un número cualquiera de partes iguales, en este caso 8, y se unen con el punto P generador. Se prolongan las rectas a ambos lados de P. Se llevan a ambos lados de las divisiones de la circunferencia directriz distancias iguales a su diámetro; por
1
ejemplo, desde el punto 1, con el valor del diámetro determinamos los puntos P y
1 2 2
P ,; desde el punto 2 determinamos los puntos P y P , y así sucesivamente hasta determinar la curva.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:
A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:2, teniendo en cuenta que la posición de los centros se determina por coordenadas.
Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.
Nota: No borrar las construcciones geométricas auxiliares que han servido para la determinación de la pieza.
X Y X Y X Y
A 30 30 D 203 45 G 249 120
B 60 90 E 219 45 H 249 30
2.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:
A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:1
Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.
3.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:
A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:1
Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.
EJERCICIOS RESUELTOS
CAPITULO 2º
1.- Se halla el segment o aúreo de a según la teoría descrita en la página 1-11, con lo que se obtie-ne el segmento x, lado de un heptágono regular.
Siguiendo la construcción descri-ta en la página 2-38 se consigue el polígono regular de siet e lados pedido.
2.- Se aplica el proceso explicado en la página 2-38 para construir un polígono regular de cualquier nú-mero de lados dado el tamaño del lado.
Una vez dibujado el decágono es fácil hallar el radio x de la circun-ferencia donde se inscribe el polí-gono.
3.- Se dibuja un hept ágono de lado 4 5 mm. Se hallan las bisectrices de dos ángulos cualesquiera del heptágono para obtener el centro de la circunfe-rencia inscrita. El radio es la perpendi-cular a uno de los lados del heptágo-no.
Obtenida la circunferencia se procede a dividirla en 6 partes iguales para inscribir el hexágono.
Ejercicio 4
5.- Diagonal es el segment o que une dos vért ices no contiguos del polígo-no.
Todos los ángulos de un polígono suman 360° y por tanto cada ángulo de un pentágono tiene 72° .
Tómese el segmento AB igual a la diagonal d= 45 mm.
Los puntos A y B serán vértices del pentágono. Otro vértice será el arco capaz de 72° . Est os t res vértices determinarán la circunferencia en la que se inscribe el pentágono.
6.- Para inscribir una circunferencia en un triángulo basta hallar la intersección de las bisect rices de dos de sus ángu-los.
Los puntos de tangencia serán las perpendiculares trazadas desde el centro de la circunferencia a los lados del triángulo.
7.- Para hallar las circunf erencias tangentes a las dos dadas basta con trazar circunferencias concéntricas con las dadas de radios 64+ 23 y 32+ 23. Los puntos de corte de estas dos
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nuevas circunferencias serán los centros O y
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O de las dos circunferencias buscadas. Los puntos de tangencia de las circunferencias con las dadas se encuentran en las rectas que unen los centros de las circunferencias.
8.- 1 procedimiento:er
Supongamos un triángulo equilátero de lado x. Si se traza la alt ura de dicho triángulo obtendremos dos triángulos rectángulos de forma que en cada uno de ellos la hipotenusa vale x y el cateto menor tiene un valor de x/2.
Por los datos del ejercicio se sabe que la suma de la hipotenusa AB y del cateto BC es 120 o lo que es lo mis-mo x+ x/2= 120. Resolviendo la ecuación sabemos que la hipotenusa AB= 80 y el catet o menor BC= 40, con lo que puede construirse el trián-gulo.
Para hallar el centro de la circunferen-cia t angente basta hallar el punto de corte de las bisectrices de los ángu-los. Los punt os de tangencia se
en-cuentran en la perpendicular trazada desde el centro de la circunf erencia a las prolongaciones de los lados del triángulo.
2º Procedimiento:
En un triángulo rectángulo si un vértice de la hipot enusa f orma un ángulo de 60° , el otro necesariamente tiene que formar un ángulo de 30° . Por t anto co-menzamos dibujando una recta igual al valor de la hipotenusa AB más el cat eto BC. Por el vért ice A dibujamos un ángulo de 30° , que se cortará en C con la per-pendicular levantada por el vértice B. Hallamos la mediatriz del segmento AC que al cortar al segmento AB nos deter-minará un punto B'.
A'B' + B'C'será igual a 120.
9.- Suponem os un c uadrado de lado a= 45 mm. Trazamos la semidiagonal desde el centro del lado a. La semidiagonal es el radio de un arco que al cor-tarse con la prolongación del lado a nos determina un mento del cuál el a es su seg-mento aúreo y que es el lado del polígono estrellado de 7 puntas y paso 3.
Puesto que el ángulo que for-man dos lados del polígono estrellado de 7 puntas es de
26 grados construimos dicho ángulo siendo el tamaño del lado el del polígono. Determinamos así tres puntos de paso de una circunferencia donde se inscribe el polígono.
10.- Se t oma un segment o DC igual a la suma b+ c de los dos catetos, construyendo en uno de sus extremos D, un ángulo de 45° , y con centro en el ot ro extremo C se describe un arco de radio igual a la hipotenusa dada. Est e arco corta al lado obli-cuo del ángulo en el vértice B. El vért ice A se obtiene trazando una perpendicular a DC desde B. El punto B' donde al arco también corta a DE, nos proporciona otra
solución, que es simétrica a la obtenida.
A l ser el ángulo A DB de 4 5 ° y BA perpendic ular a D A , el t riángulo DA B es rec t ángulo e isósc eles, por lo que DA = BA , lo que conf irm a la const rucc ión.
1 1 . - El ángulo " tiene el vértice en la circunferencia y contiene el centro por lo que el
valor del ángulo es igual a la suma de dos ángulos inscritos, con vértice en la circunferencia y en el que un lado pasa por el centro.
[Ver el cuadro del capítulo 2 sobre ángulos en la circunferencia]
