1.1 Sistema de unidades utilizados en la resolución de circuitos eléctricos

ELEMENTOS, LEYES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.1

Sistema de unidades utilizados en la resolución de circuitos

eléctricos

Las magnitudes y unidades que utilizaremos de acuerdo al Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA), serán las siguientes:

Magnitud Nombre Unidad

u Tensión V Volt i Corriente A Ampere p Potencia W Vatio R Resistencia Ohm G Conductancia S Siemens A Energía J Joule t Tiempo s Segundo l Longitud m Metro

1.2

Elementos básicos de un circuito eléctrico

Los elementos básicos de un circuito eléctrico son las fuentes, los receptores y los conductores de energía eléctrica, los cuales se indican en la figura 1.1.

Figura 1.1 elementos básicos de un circuito

Los elementos básicos ideales, tienen 2 terminales, entre los cuales podemos tener una tensión que llamaremos “u” y la circulación de una corriente eléctrica “i”, según lo mostrado en la figura 1.2. Fuente de energía eléctrica Receptor ó carga Conductores eléctricos

Adoptaremos un sentido de corriente indicándolo mediante una flecha, al que denominaremos “positivo” por convención. Resuelto el circuito y si el resultado fuera contrario al asignado, el valor numérico de la corriente tendrá antepuesto un signo “menos”.

Figura 1.2 Elemento de dos terminales

Elementos activos Son aquellos que habitualmente aportan energía al sistema. Las fuentes de energía eléctrica (Pilas, acumuladores, generadores, etc.) convierten la energía mecánica, química, térmica ó radiante en energía eléctrica.

Elementos pasivos Es todo elemento que sustrae energía del sistema, para convertirla irreversiblemente en otra forma de energía (Térmica en el Resistor “R”) ó acumularla en sus campos conservativos asociados (Campo magnético en el Inductor “L”, ó campo eléctrico en el Capacitor “C”).

1.2.1 Excitación y respuesta

La excitación está compuesta por los elementos del circuito que aportan energía, es decir, las fuentes ó también lo pueden ser para lapsos cortos, las bobinas y los capacitores (debido a la energía acumulada en sus campos respectivos)

1.2.2 Ley de Ohm

En muchos materiales conductores, como el cobre y el aluminio, la tensión que se establece entre sus terminales es directamente proporcional a la corriente que circula a través del mismo.

La expresión matemática que lo expresa es:

u = R. i

Donde “R” es la constante de proporcionalidad y la llamaremos “Resistencia” y su unidad es el Ohm [ ].

Este elemento dentro de ciertos límites, es considerado lineal ó sea que no cambia su valor con los distintos valores que puedan tomar la tensión ó la corriente.

La representación gráfica de esta Ley es la que se muestra en la figura 1.3. u i 1 2

+

-

Figura 1.3 Relación entre la tensión y la corriente en una resistencia

A la inversa de la resistencia la llamaremos Conductancia “G”, siendo su unidad el Siemens [S] .

Figura 1.4 Definición de la polaridad en una resistencia

En la resistencia la corriente siempre es entrante por el terminal positivo, de acuerdo a lo indicado en la figura 1.4, lo que nos indica que siempre absorbe energía.

1.3

Fuentes de energía

1.3.1 Fuentes de energía ideales independientes

Hay fuentes de tensión y fuentes de corriente ideales independientes, siendo su símbolo gráfico el que se indica en la figura 1.5.

Figura 1.5 Dipolos activos ideales

En las mismas está indicado respectivamente, la polaridad y el sentido de circulación de la corriente.

Característica externa de una fuente de tensión ideal independiente La fuente de tensión ideal independiente presenta una tensión constante en sus terminales de salida, independientemente de la corriente que la misma suministre, lo cual se refleja en el gráfico de la figura 1.6.

i

G

1

i

R

u

+

-

e _{ideal independiente} Fuente de tensión i Fuente de corriente _{ideal independiente} La tangente del

ángulo es el valor de “R” u

Figura 1.6 Tensión en los terminales de una fuente de tensión

ideal independiente

1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la misma entregue energía al resto del circuito.

2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesta por el resto del circuito), lo que hace que absorba energía.

La tensión en bornes de la fuente es constante cualquiera sea el valor o el sentido de la corriente.

Característica externa de una fuente de corriente ideal independiente. La corriente que entrega este tipo de fuente es constante, cualquiera sea el valor de la tensión en sus terminales, según se ve en la figura 1.7.

Figura 1.7 Corriente en los terminales de una fuente de corriente ideal independiente

1° Cuadrante: La corriente es saliente del terminal positivo de la fuente, lo cual hace que la misma entregue energía al resto del circuito.

4° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo de la fuente (Impuesto por el resto del circuito), lo que hace que absorba energía.

Fuentes de energía reales independientes Toda fuente ó generador, en la práctica presenta interiormente, pérdidas de energía, que se representan en su símbolo gráfico por una resistencia, lo que hace que las características antes estudiadas difieran de la realidad.

A los efectos del análisis correspondiente, vamos a trabajar con sistemas lineales, en los cuales los elementos del sistema ó circuito no cambian sus parámetros, aunque varíen su tensión ó corriente.

Se dice que un circuito es lineal, cuando la respuesta aumenta en un factor “K”, cuando la excitación ha sido aumentada en ese factor “K” (K es real).

Circuito Conteniendo elementos pasivos y fuentes e u iL u u = e = cte iL

+

-

+

-

La representación gráfica de las fuentes reales es la de la figura 1.8.

Figura 1.8 Fuentes reales independientes

Característica externa de una fuente de tensión real independiente Sea una fuente de tensión real independiente alimentando una carga como lo muestra la figura 1.9. iL -

Figura 1.9 Fuente de tensión real independiente alimentando una carga

La ecuación para el circuito es: u = ETH - RTH .iL De la cual analizaremos dos

puntos característicos:

a) Haciendo un cortocircuito en los terminales de la fuente, o sea u = 0

Figura 1.10 Fuente de tensión real independiente con sus terminales en cortocircuito 1.12 figura la de (1) Punto R e i i T H T H CC L Circuito Conteniendo elementos pasivos y fuentes eTH u RTH

+

+

Fuente de tensión real independiente

Fuente de corriente real independiente

b) Si dejamos abiertos los terminales de la fuente, o sea iL= 0, según la figura 1.11.

Figura 1.11 Fuente de tensión real independiente con sus terminales abiertos u = eTH Punto (2) de la figura 1.12

Figura 1.12 Característica externa de una fuente de tensión real independiente

1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma entrega energía al sistema ó circuito.

2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía.

Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.13

Figura 1.13 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente u = 40 V eTH = 10 V RTH = 3

+

+

+

La fuente de corriente impone una corriente de 10 A, en sentido contrario al adoptado como positivo, con lo cual iL tiene antepuesto el signo negativo.

Este sentido de corriente origina una caída de tensión en la resistencia interna de la fuente de tensión real de 30 V con la polaridad indicada.

Luego:

u = eTH + RTH iL = 10 + 3. 10 = 40 V

La fuente ideal absorbe: 10 V. 10 A = 100 W:

La fuente también absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna): RTH. i

2

L = 3. 10 2

= 300 W

La potencia absorbida por la fuente real es: 100 + 300 = 400 W

4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe más energía que la que entrega.

Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito provoque una caída de tensión en la resistencia interna (RTH) de la fuente

que sea mayor que la fuerza electromotriz eTH.

Como ejemplo sea el siguiente circuito de la figura 1.14.

Figura 1.14 Circuito eléctrico con una fuente de tensión real independiente u = eTH - RTH iL = 10 - 3. 10 = - 20 V

La fuente ideal entrega: 10 V. 10 A = 100 W:

La fuente absorbe (se disipa como calor en la resistencia interna): RTH. i 2 L = 3. 10 2 = 300 W

La diferencia es una potencia absorbida por la fuente real de:

300 - 100 = 200 W

Característica externa de una fuente de corriente real independiente Sea el circuito con una fuente de corriente real independiente como la mostrada en la figura 1.15. u = - 20 V eTH = 10 V RTH = 3

-+

Figura 1.15 Fuente de corriente real independiente alimentando una carga

a) Si se hace un cortocircuito en los terminales de la fuente según se muestra en la figura 1.16:

Figura 1.16 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en cortocircuito u = 0 luego i = 0 y iL =iCC = iN Punto (1) de la figura 1.18

b) Si en cambio dejamos el circuito abierto o sea iL = 0

Figura 1.17 Fuente de corriente real independiente con sus bornes en circuito abierto N N L N N L R u -i i : Luego R u i : Siendo i -i i : cumple Se Circuito Conteniendo elementos pasivos y fuentes u iN _R N

+

+

Luego: i = iN u = RN . iN Punto (2) de la figura 1.18

Figura 1.18 Característica externa de una fuente de corriente real independiente

1° Cuadrante: La corriente es saliente por el terminal positivo de la fuente, luego la misma entrega energía al sistema ó circuito.

2° Cuadrante: La corriente es entrante por el terminal positivo (Impuesta por el resto del circuito), lo cual hace que la fuente absorba energía, según se muestra la figura 1.19.

Figura 1.19 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente i = iN - iL

i = 10 – (– 20) = 30 A u = RN. i = 2. 30 = 60 V

La fuente de corriente ideal entrega: 10. 60 = 600 W La resistencia absorbe: 2. 302 = 1800 W

La fuente real absorbe: 1800 – 600 = 1200 W 4° Cuadrante: En este caso la fuente absorbe energía.

Esto sucede en el caso que la corriente impuesta por el resto del circuito sea tal que la caída de tensión en la resistencia interna (RN) de la fuente

origine una polaridad en la cual el borne superior sea negativo y el inferior positivo, lo cual hace que la corriente salga por el terminal negativo.

Como ejemplo sea el circuito de la figura 1.20. u = 60 V 10 A ₂

+

Figura 1.20 Circuito eléctrico con una fuente de corriente real independiente i = 10 - 20 = - 10 A

u = RN .i = 2. (- 10) = - 20 V

La fuente de corriente ideal absorbe: 10. 20 = 200 W La resistencia absorbe: 2. 102 = 200 W

La fuente real absorbe: 200 + 200 = 400 W

Equivalencia entre fuentes reales de energía Una fuente de tensión y una fuente de corriente son equivalentes cuando lo sean sus características exteriores (desde sus bornes hacia afuera)

Dados los gráficos analizados de las fuentes ideales se llega a la conclusión que dichas fuentes no pueden ser equivalentes, ya que sus características exteriores no se pueden superponer.

En cambio las fuentes reales, presentan una característica semejante, ó sea que buscando los parámetros adecuados se puede reemplazar una fuente por otra. Esta equivalencia es en cuanto a sus características externas, ya que las fuentes no son iguales, debido a que interiormente los fenómenos energéticos son distintos.

Figura 1.21 equivalencia entre fuentes reales

Para que las fuentes sean equivalentes se debe cumplir: a) Si cortocircuitamos los terminales de las fuentes ó sea u = 0 eTH RTH iN _RN EQUIVALE A:

+

-

+

-

-+

En la fuente de corriente real: icc = iN Por lo tanto:

Internamente los fenómenos energéticos son:

En la fuente de tensión real la resistencia interna produce el siguiente valor de pérdidas por calor: p = RTH . i

2 CC

En la fuente de corriente real por la resistencia interna no circula corriente por lo que no se desarrollan pérdidas.

b) Si dejamos abiertos los terminales de las fuentes ó sea: iL = 0

En la fuente de tensión real: u = eTH

En la fuente de corriente real: u = RN . iN Por lo tanto:

Internamente los fenómenos energéticos son:

En la fuente de tensión real al no haber circulación de corriente no hay pérdidas.

En la fuente de corriente real: p = RN. i2N

En la figura 1.22 observamos las características externas superpuestas de las fuentes de tensión y corriente reales equivalentes.

Figura 1.22 Características externas superpuestas de las fuentes reales de tensión y corriente independientes

T H T H N i R e T H T H CC R e i : real tensión de fuente la En

R

R

i

e

i

e

R

u

1.3.2 Fuente de tensión ideal dependiente ó controlada

Es una fuente en la cual la tensión en sus terminales, está determinada por el valor de la corriente ó la tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.23.

Fuente de tensión controlada por tensión

K1 .UX

K1 Adimensional

Fuente de tensión controlada por corriente

K2 .IX

K2: Volt/Amper [ ]

Figura 1.23 Fuentes de tensión controladas o dependientes

1.3.3 Fuente de corriente ideal dependiente ó controlada

Es una fuente la cual la corriente que suministra está determinada por la corriente ó la tensión en otra parte del circuito. Su símbolo gráfico es el mostrado en la figura 1.24.

Fuente de corriente controlada por tensión

K3 .UX

K3: Amper/Volt [s]

Fuente de corriente controlada por corriente

K4 .IX

K4: Adimensional

1.4

Agrupamiento de resistencias (Dipolos pasivos)

Agrupamiento en serie La conexión de resistencias como muestra la figura 1.25, se denomina en serie:

Figura 1.25 Agrupamiento de resistencias en serie

De acuerdo al esquema, la corriente que circula por las resistencias es la misma. Por lo tanto la caída de tensión total es la suma de las caídas de tensión en cada resistencia.

u = u1 + u2 + ……..+ uN = i R1 + i R2 + ……..+ i RN

u = i (R1 + R2 + ……+ RN)

O sea que la resistencia equivalente del conjunto es la suma de las resistencias parciales. RS = REQUIVALENTE = Ri = R1 + R2 + …….+ RN

Agrupamiento en paralelo En este caso la caída de tensión aplicada en todas las resistencias es la misma, como puede observarse en la figura 1.26

Figura 1.26 Agrupamiento de resistencias en paralelo

N N 2 2 1 1 N 2 1 R u R u R u i i i i P N 2 1 R u ) R 1 R 1 R 1 ( u i R1 R2 RN i2 u iN

+

+

-i i N 2 1 P G R 1 R 1 R 1 R 1 R 1 Donde G: Conductancia [S]

1.5

Leyes de KIRCHHOFF

Primera Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de corrientes en un nodo) En todo circuito o red de conductores, la suma algebraica de las corrientes que concurren a un nodo es igual a cero. Generalizando podemos decir que la suma algebraica de las corrientes que concurren a un recinto cerrado es igual a cero.

Para los cálculos a realizar hemos adoptado la convención mostrada en la figura 1.29.

Figura 1.29 Convención de signos para el sentido de las corrientes Nodo Recinto cerrado i1 i1 i2 i₂ i3 i4 i3 i4 i = 0 - i1 + i2 + i3 – i4 = 0 - i1 + i2 + i3 – i4 = 0 Nodo ó Recinto cerrado Corriente entrante (

-

)

+)

+)

+

-

El sentido de la corriente en la resistencia es desde el punto de mayor potencial al de menor potencial (concuerda con la caída de tensión en los bornes)

Ejemplo numérico Sea el circuito de la figura 1.30.

Figura 1.30 Circuito de ejemplo

Asignándole potencial cero al nodo inferior y “u” al superior, la suma de las corrientes en este último será:

0 0,3067 u 16,33 0 0,1 15 1 10 1 25 1 u 3 15 10 10 100 10 0 0,1 u 3 15 10 15 u 10 100 10 u 25 u 10 0 0,1 u 3 15 10 u 10 100 u 25 u 10 2,13 A 25 53,26 25 u i₁ 4,674 A 10 100 -53,26 10 100 -u i₂ 4,217 A 15 10 53,26 15 10 u i₃ i4 = u .0,1 = 53,26 . 0,1 = 5,326 A

Sumando las corrientes en el nodo:

- 10 + 2,130 - 4,674 + 4,217 + 3 + 5,326 = 0

Indica que a dicho punto se le asigna un potencial de referencia de 0 Volts

0,1 S 100 V 15

+

-

+

Segunda Ley de Kirchhoff (Ley de la suma de tensiones en un circuito cerrado) En todo circuito cerrado la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la suma algebraica de las caídas de tensión en las resistencias.

Adoptaremos la siguiente convención de signos:

Le asignamos un sentido a la corriente arbitrario, con lo cual las caídas de tensión en las resistencias toman polaridad positiva en los terminales en los cuales la corriente es entrante.

Se adopta un sentido de circulación arbitrario. En nuestro caso adoptaremos un sentido de circulación horario.

Sobre la base de estas premisas adoptaremos como positivas las fuerzas electromotrices y caídas de tensión cuando nos encontremos con la polaridad positiva (+) en el terminal por el cual entramos, cuando estamos efectuando la circulación.

Si en los resultados nos aparece un signo menos (-), nos indica que el sentido real de la corriente es contrario al adoptado.

Ejemplo numérico Consideremos el circuito de la figura 1.31.

Figura 1.31 Circuito de ejemplo Será: i. R1 - E1 + i. R2 + E2 + i. R3 - E3 + i. R4 + i. R5 = 0 - E1 + E2 - E3 + i (R1 + R2 + R3 + R4 + R5) = 0 Sentido de circulación E1 20 V 12

+

+

+

+

-+

-+

-+

-+

A 1 12 8 15 10 5 70 20 100 i R R R R R E E E i 5 4 3 2 1 3 2 1

1.6

Resolución de circuitos por medio de las corrientes auxiliares de

malla (Método de las mallas)

En todo circuito eléctrico ramificado encontramos un cierto número de ramas, nodos y mallas.

Llamamos Ramade un esquema eléctrico, aquella parte que vincula dos nodos. Consta de elementos conectados en serie (Fuentes y resistencias).

Llamamos nodode un esquema eléctrico el punto en el cual concurren por lo menos tres ramas. Cabe aclarar que nodo también es el punto al cual concurren solo dos ramas, pero el mismo no agrega nada a la resolución de circuitos.

Llamamos mallaa todo circuito elemental cerrado que no encierra a otros circuitos. Llamamos lazo o supermalla a un circuito cerrado que encierra a dos ó más mallas. Resolver un circuito implica determinar las tensiones de los nodos y las corrientes de las ramas. El método que analizaremos se basa en la segunda Ley de Kirchhoff.

Sea el circuito de la figura 1.32.

Figura 1.32 Circuito de análisis

En dicho circuito existen tres mallas, cuyas corrientes denominaremos I1 – I2 – I3, y de

acuerdo a las convenciones utilizadas, se cumple:

IAC = I1 IAB = I2 – I1 IBC = I3 – I1

IOA = I2 IBO = I2 – I3 ICO = I3

Se observa que las corrientes de las ramas externas, coinciden con lo que denominamos corrientes de malla. Apliquemos la segunda ley de Kirchhoff en cada malla y nos queda:

E2 R5

_

+

+

+

Malla 1: R1. IAC – E1 – R4. IBC – R3. IAB = 0

Malla 2: R3. IAB + R5. IBO + E2 + R2. IOA = 0

Malla 3: R4. IBC + E3 + R6. ICO – R5. IBO = 0

Reemplazando las corrientes de rama por las de malla:

Malla 1: R1. I1 – E1 – R4. (I3 – I1) – R3. (I2 – I1) = 0 Malla 2: R3. (I2 – I1) + R5. (I2 – I3) + E2 – R2. I2 = 0 Malla 3: R4. (I3 – I1) + E3 + R6. I3 – R5 (I2 – I3) = 0 Agrupando: Malla 1: (R1+ R3 + R4) I1 – R3. I2 – R4. I3 = E1 Malla 2: - R3. I1 + (R2 + R3 + R5). I2 – R5. I3 = - E2 Malla 3: - R4. I1 – R5. I2 + (R4 + R5 + R6). I3 = - E3

Presentándolo en forma matricial, nos queda:

(R1+ R3 + R4) – R3 – R4. I1 E1

- R3 (R2 + R3 + R5) – R5 . I2 = - E2

- R4. – R5 (R4 + R5 + R6) I3 - E3

En forma genérica para “n” mallas, la forma sería: R11 – R12 - …… – R1n. I1 E1

- R21 R22 - ... – R2n . I2 = E2

……….. .. .. - Rn1. – Rn2. - …… Rnn In En

Las resistencias que tienen los dos subíndices iguales, se llaman resistencia propia de la malla, y es la suma de las resistencias que se encuentran al recorrer la malla mencionada. Las resistencias que tienen los dos subíndices distintos, se llaman resistencias comunes a ambas mallas.

La columna de las fuerzas electromotrices, son las de malla y su valor se obtiene como la suma de las fuerzas electromotrices que se encuentran al recorrer la malla, con signo positivo si se pasa de menor a mayor potencial y negativo en caso contrario.

El número de mallas está dado por: M = R - (N - 1) Donde: M: Número de mallas

R: Número de ramas N: Número de nodos M = 3 - (2 - 1) = 2

Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a cada malla: Malla 1: – 42 + 6. IA + 3 (I1 – I2) = 0

Malla 2: – 10 + 3 (I2 – I1) + 4 I2 = 0 Desarrollando este nos queda:

Malla 1: 9 I1 – 3 I2 = 42

Malla 2: – 3 I1 + 7 I2 = 10 Resolviendo el sistema:

I1 = 6 A I2 = 4 A IOA = I1 = 6 A IAO = I1 – I2 = 6 - 4 = 2 A IAOF = I2 = 4 A u = 3. IAO = 3. 2 = 6 V

Indeterminación en mallas. Supermalla. Cuando una fuente de corriente (ideal independiente o controlada), está presente una de las ramas del circuito, nos queda indeterminada la caída de tensión en bornes de dicha fuente, ya que la misma depende del resto del circuito.

Para resolver el circuito se hace una especie de supermalla, a partir de dos mallas que tengan como elemento común dicha fuente de corriente, estando la misma dentro de la supermalla.

Veamos el ejemplo de la figura 1.33.

42 V 3

+

-+

Figura 1.33 Circuito de análisis

En este circuito tenemos 3 mallas que denominamos A, B y C, pero observamos que en la rama entre las mallas A y B se encuentra una fuente de corriente, lo que nos obliga a formar una supermalla, que es la que presenta el recorrido: 0 - Resistencia de 4 - A - Fuente de 7 V- C – Fuente de 12 V - Resistencia de 5 - 0.

Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff nos queda: Supermalla: 4. I2 – 7 + 12 + 5. I3 = 0

Malla 3: 12 + 5. I3 + 3 (I3 – I2) + 2 (I3 – I1) = 0

Rama A-B I1 – I2 = 7 La corriente de la fuente

Agrupando:

Resolviendo este sistema:

I1 = 6,08 A I2 = - 0,92 A I3 = - 0,26 A IAC = I1 = 6,08 A IBA = 7 A ICB = I1 – I3 = 6,08 – (– 0,26) = 6,34 A I0A = I2 = – 0,92 A IOB = I3 – I2 = (– 0,26) – (– 0,92) = 0,66 A ICD = I3 = – 0,26 A uA - u0 = uA = – 4 . I0A = – 4. (– 0,92) = 3,68 V uB - u0 = uB = – 3 . I0B = – 3. 0,66 = – 1,98 V uC - u0 = uC = uA + 7 = 10,68 V 4. I2 + 5. I3 = – 5 – 2 I1 – 3. I2 + 10. I3 = – 12 I1 – I2 = 7 A 7 V 4 ICB

-

₊

+

-La tensión sobre la fuente de corriente será:

uA – uB + 1 . 7 = 3,68 – (– 1,98) + 7 = 12,66 V

Procederemos a volcar los resultados en lo que llamaremos diagrama del circuito, en el cual dibujamos con trazos las ramas sin colocar ningún elemento activo ó pasivo, e indicando los valores de corrientes y tensiones con sus signos reales, según se muestra en la figura 1.34.

Figura 1.34 Diagrama del circuito

1.6.1 Balance energético

Para efectuar el balance de la energía puesta en juego en el circuito adoptaremos la convención indicada en la figura 1.35.

Figura 1.35 Convenciones a utilizar en el balance energético - 1,98 V 3,68 V 10,68 V 6,34 A 7 A 0,92 A 0,66 A _{0,26 A} 6,08 A u i i u

+

-

-

+

+

-

-

+

Haremos el balance energético para el ejercicio anterior el cual resumiremos en un cuadro: Referencia Potencia [W] Cálculo Entregada Absorbida Fuente de tensión [7 V] 42,56 --- E .i1 = 7. 6,08

Fuente de corriente 88,62 --- ufuente . i2 = 12,66. 7

Fuente de tensión [12 V] 3,12 --- 12 .i6 = 12. 0,26 Resistencia 1 --- 49,00 R. i22 = 1. 7 2 Resistencia 2 --- 80,39 R. i23 = 2. 6,34 2 Resistencia 3 --- 1,31 R. i25 = 3. 0,66 2 Resistencia 4 --- 3,39 R. i24 = 4. 0,92 2 Resistencia 5 --- 0,34 R. i26 = 5. 0,26 2 Totales 134,30 134,43

La diferencia entre las columnas se debe a las

aproximaciones

1.7 Resolución de circuitos mediante los potenciales de nodos (Método

de los nodos)

Mediante este método se determinan las tensiones de los nodos y luego las corrientes de cada rama. Se basa en la primera Ley de Kirchhoff.

Analicemos el mismo circuito que utilizamos para el método de las mallas, el cual tiene cuatro nodos, A uno de ellos le asignaremos potencial “cero”, con lo cual solamente necesitaremos plantear tres ecuaciones, para obtener los potenciales de los nodos “A”, “B” y “C”.

E2 R5

_

+

+

+

Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado, es más positivo que el resto, con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la primera Ley de Kirchhoff obtenemos:

Nodo A: IAC + IAB + IAO = 0

Nodo B: IBA + IBC + IBO = 0

Nodo C: ICA + ICO + ICB = 0

Con asignado a las corrientes el valor de las mismas surge de: 1 1 C A AC R E u u I 3 B A AB R u u I 2 2 A AO R E u I 3 A B BA R u u I 4 C B BC R u u I 5 B BO R u I 4 B C CB R u u I 1 1 A C CA R E u u I 6 3 C CO R E u I

Reemplazando en cada nodo nos queda:

Nodo A: 1 1 C A R E u u + 3 B A R u u + 2 2 A R E u = 0 Nodo B: 3 A B R u u + 4 C B R u u + 5 B R u = 0 Nodo C: 4 B C R u u + 1 1 A C R E u u + 6 3 C R E u = 0 Agrupando: Nodo A: 2 2 1 1 C 1 B 3 A 3 2 1 R E R E u R 1 u R 1 u R 1 R 1 R 1

Si trabajamos con las inversas de las resistencias o sea con lo que denominamos conductancias, las ecuaciones en forma matricial nos queda:

(G1+ G2 + G3) – G3 – G1. uA - G1. E1 – G2. E2

- G3 (G3 + G4 + G5) – G4 . uB = 0

- G1. – G4 (G1 + G4 + G6) uC G1. E1 + G6. E3

En forma genérica para “N” nodos, la forma sería:

GAA – GAB - …… – GAN. uA Σ GA. EA + Σ IA

- GBA GBB - ... – GBN . uB = Σ GB. EB + Σ IB

……….. .. ………. - GNA. – GNB. - …… GNN uN Σ GN. EN + Σ IN

Las conductancias que tienen los dos subíndices iguales, representa la suma de las conductancias de las ramas que concurren a ese nodo.

Las conductancias que tienen los dos subíndices distintos, es la suma de las conductancias de las ramas que unen dichos nodos.

El segundo miembro de cada una de las ecuaciones contiene la suma algebraica de los productos de la fuerzas electromotrices por las conductancias correspondientes a todas las ramas que concurren a ese nodo, con signo positivo si originan corriente entrante a ese nodo y a esto se le deben sumar las corrientes que puedan originar fuentes de corriente.

Analicemos como ejemplo el circuito de la figura 1.36.

Figura 1.36 Circuito de análisis Este circuito tiene dos nodos y cuatro ramas.

A uno de los nodos lo tomaremos como referencia, y le asignaremos potencial cero, por lo tanto se necesita una sola ecuación para resolver el circuito, ya que la incógnita es el potencial “u”. Supondremos siempre que el potencial del nodo considerado (El superior en este análisis) es más positivo con lo cual las corrientes en las resistencias son salientes del nodo. Aplicando la primera Ley de Kirchhoff obtenemos:

– 120 + u. 30 + 30 + u. 15 = 0 V 2 15 30 30 120 u 30 A 15 s 120 A i2 30 s i1 u

Al obtener un resultado positivo nos indica que el sentido asignado es correcto. i1 = u. G1 = 2. 30 = 60 A

i2 = u. G2 = 2. 15 = 30 A

Supernodo Cuando en una de las ramas del circuito aparece una fuente de tensión ideal independiente o controlada, la corriente que circula por la misma, depende del resto del circuito lo cual, hace que no podamos calcular la misma en forma directa.

Para solucionar esto, se agrupan los nodos entre los cuales se encuentra la mencionada fuente, y se forma lo que llamaremos un supernodo.

Analizaremos el circuito de la figura 1.37.

Figura 1.37 Circuito de análisis

Nodo A: 3 (uA – uB) + 3 + 4 (uA – uC) + 8 = 0

Supernodo B-C: 3 (uB – uA) – 3 + 4 (uC – uA) – 25 + 5 uC + 1 uB = 0

Agrupando nos queda:

7 uA – 3 uB – 4 uC = – 11

– 7 uA + 4 uB + 9 uC = 28

La ecuación restante es: uC – uB = 22 V

Resolviendo el sistema obtenemos: uA = – 4,50 V

uB = – 15,50 V

uC = 6,50 V

Las corrientes son: IAB = 3 (uA - uB) = 3 (– 4,50 + 15,50) = 33 A

25 A A 8 A 4 S IB0 IAC 1 S 3 S B IBC 5 S C IAB IC0

+

IAC = 4 (uA - uC) = 4 (– 4,50 – 6,50) = – 44 A

IB0 = 1 uB = 1. (– 15,50) = – 15,50 A

IC0 = 5 uC = 5. 6,50 = 32,50 A

IBC = IAB – IB0 + 3 = 33 – (– 15,50) + 3 = 51,50 A

El diagrama del circuito es el de la figura 1.38.

Figura 1.38 Diagrama del circuito El balance energético será:

Referencia

Potencia [W]

Cálculo Entregada Absorbida

Fuente de tensión 1133,00 --- E .i5 = 22. 51,5

Fuente de corriente de 3 A --- 33 3(uB - uA)=3(-15,5+4,5)

Fuente de corriente de 8 A 36,00 --- 8 (- uA) = 8 . 4,50 Fuente de corriente de 25 A 162,50 --- 25 .uC = 25. 6,50 Conductancia 1 s --- 240,25 i23/G1 = 15,52/1 Conductancia 3 s --- 363,00 i21/G3 = 33 2 /3 Conductancia 4 s --- 484,00 i22/G4 = 442/4 Conductancia 5 s --- 211,25 i24/G5 = 32,5 2 /5 Totales 1331,50 1331,50 La diferencia que pueda haber entre

las columnas se debe a las aproximaciones

- 4,50 V - 15,50 V 6,50 V 33 A 3 A 51,50 A 8 A 44 A 15,50 A 32,50 A 25 A

1.7

Circuitos con fuentes controladas

Tomemos como ejemplo el circuito de la figura 1.39, el cual planteamos la resolución por el método de los nodos:

3 u 0 3 9 u 6 42 u

Figura 1.39 Circuito con fuente controlada

De la ecuación en el nodo “u”, nos queda:

0 3 9 6 42 3 3 1 6 1 u u( 2,5) 7 3 u 1,6 V 1 i 7,27 A 6 42 u i2 = - 3. u = 4,8 A i3 = 2,47 A 3 9 u 42 V

_-

+

-

₊