ARMÓNICOS
1.-Introducción.2.-Forma trigonométrica de la Serie de Fourier. 3.-Desarrollo en Serie de Fourier de una función.
3.1.-Condiciones de convergencia.
3.2.-Determinación de los coeficientes. 3.3.-Simetría de las Formas de Onda.
4.-Espectro de una onda. 5.-Valor Eficaz y Potencia.
6.-Factor de Armónicos y Factor de Onda Fundamental. 7.-Armónicos en las Redes Eléctricas.
7.1.-Origen de los armónicos.
7.2.-Efectos producidos por los armónicos. 7.3.-Filtrado de armónicos.
SERIES DE FOURIER
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Serie trigonométrica:
( )
( )
(
)
a
a
nnx
b sen nx
n n 0 12
+
=+
∞∑
cos
( )
i a cn(
nx n)
( )
ii a c sen nx(
)
n n n n 1 ; 2 1 2 0 1 0 1 + − + − = ∞ = ∞∑
cos ∑
M c a b tg b a tg a b n n n n n n n n n = + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − − 2 2 1 1 ; ; M
c
nes la
amplitud del armónico
θ
ny
φ
nson los ángulos de
fase del
SERIES DE FOURIER
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Condiciones de
convergencia
(para f(t)=f(t+T)):
• Tener un número finito de discontinuidades en el periodo T.
• Tener un valor medio finito en el periodo T;
• Incluir un número finito de máximos positivos y negativos en el periodo T
SERIES DE FOURIER
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Con la variable Ψ=
7
t:
( )
(
(
)
(
)
)
f t
a
a
nn t
b sen n t
n n=
+
+
= ∞∑
0 12
cos
( ) ( ) ( ) a f t n t dt T f t nt dt n T = ∫
=∫
⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ cos cos 0 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) b f t sen n t dt T f t sen nt dt n T = ∫
=∫
⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ 0 2 0 2 2( ) ( )
an = 1∫
F n d 0 2 ` ` ` cos bn = 1∫
F( ) ( )
sen n d 0 2 ` ` ` SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE
ONDA:
FUNCIONES PARES
Una función se dice que es
par
si
f(-x) = f(x)
(en general, todas las funciones polinómicas que no contengan potencias impares será una función par)
La suma o el producto de dos o más funciones
pares es una función par.
Las funciones pares son simétricas respecto del
eje de ordenadas.
SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE
ONDA:
FUNCIONES IMPARES
Una función se dice que es
impar
si
f(-x) = -f(x)
(en general, todas las funciones polinómicas que no contengan potencias pares será una función impar)
La suma de dos o más funciones impares es una función impar, pero la
suma de una constante elimina la naturaleza impar de la función. El
producto (o cociente) de dos funciones impares es una función simétrica par. El producto (o cociente) de una función par, por una función impar es otra función impar.
SIMETRÍA DE LAS FORMAS DE ONDA
FUNCIÓN INVERSA DE MEDIO CICLO
Se dice que una función periódica f(x)
es
inversa de medio ciclo
si
f(x) = -f(x+T/2)
SIMETRÍA DE LAS FORMAS
DE ONDA
Si la forma de onda es
par
, los términos de sus
series de Fourier son términos en
coseno
,
incluyendo una constante si el valor medio de
la forma de onda es distinto de cero.
La onda puede ser
impar
únicamente después
de restarle su valor medio, en cuyo caso, su
serie de Fourier contendrá esa constante y una
serie de términos en
seno.
Si la onda es
inversa de medio ciclo
, en la serie
ESPECTRO DE UNA ONDA
Es el diagrama donde se representan las
amplitudes
de cada uno de los
armónicos
que constituyen.
Amplitudes:
c0 1a0 cn an2 bn2
2
ESPECTRO DE UNA ONDA
Ejemplo:
Si la
onda no
es
periódica
, no puede obtenerse
su desarrollo en Serie de Fourier (no converge),
pero sí puede utilizarse la
Transformada de
Fourier
. En este caso el
espectro
no será
discreto sino
continuo
.
VALOR EFICAZ Y POTENCIA
Se define el
valor eficaz
de la función
( ) f t = 1a + a t + a t+ +b sen t + b sen t+ 2 0 1cos 2 cos2 K 1 2 2 K
como
Frms = ⎛ a a a b b ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + + + + + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 2 2 1 2 2 2 K K=
c
02+
1
c
12+
c
22+
c
32+
2
1
2
1
2
K
VALOR EFICAZ Y POTENCIA
Potencia instantánea:
Potencia media
:
(
)
[
]
[
(
)
]
p = vi = V0 +∑
V sen n tn + Mn I0 +∑
I sen n tn + `n P = V I0 0 + 1V I1 1 1 + V I2 2 2 + V I3 3 3+ 2 1 2 1 2cos cos cos K
ARMÓNICOS:
DEFINICIONES
Factor de Forma
:
( )[ ]
( ) FF Y Y T y t dt T y t dt ef med T T = =∫
∫
1 1 2 0 0
Valor Eficaz
(a
0= valor medio):
Yef = a + ⎛ c c c ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 0 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 K
ARMÓNICOS:
DEFINICIONES
Factor de Armónicos
(según la CIGRE):
Factor de Armónicos
(según la CEI):
D
c
c
c
Y
Y
n n n=
+
+
=
= =∞∑
2 2 3 2 1 2 2 1K
D Y Y n n n n n n = = =∞ = =∞∑
∑
2 2 2 1ARMÓNICOS EN LAS
REDES:
ORIGEN
Cargas no Lineales:
Convertidores Estáticos (Diodos y SCR).
Rectificadores: Producen armónicos de orden k·p, siendo p el
número de ramas del rectificador y k = 1, 2, 3, ...
Hornos de Arco (siderurgia):
Pueden ser DC (problemas por el rectificador) o AC, que es no
lineal, asimétrico e inestable.
Alumbrado:
Lámparas de descarga y fluorescentes (25% triplens: ojo con el neutro).
Inductancias Saturables:
Transformador en vacío, sometidos a una sobretensión permanente. Ranuras de las Máquinas Rotativas:
ARMÓNICOS:
EFECTOS
Nombre Fund. 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Frecuencia 50 100 150 200 250 300 350 (Hz)
Secuencia + - 0 + - 0 +
En ausencia de armónicos pares (habitual):
Nombre Fund. 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Frecuencia 50 150 250 350 450 550 650 (Hz)
ARMÓNICOS:
EFECTOS
La secuencia indica el sentido de rotación de su
vector corriente (fasor), el sentido en que giraría el rotor de un motor, al ser excitado por esa señal:
Secuencia directa (+) indica que el sentido de giro es
el horario.
Secuencia inversa (-) indica un sentido de giro antihorario. Problema con motores de inducción. Secuencia homopolar (0) indica que no gira. Esos
armónicos (llamados normalmente triplens) se
suman al neutro de la red (si ésta es de 4 hilos) y son los causantes de sobrecalentamientos que pueden llegar a producir serios problemas en la red.
ARMÓNICOS
EFECTOS INSTANTÁNEOS
Para los sistemas electrónicos, las tensiones
armónicas pueden perturbar los dispositivos de regulación (conmutación de los tiristores).
Los contadores de energía a inducción presentan algunos errores suplementarios en presencia de armónicos.
Perturbación de los receptores de telemando
centralizados a una frecuencia musical utilizada por los distribuidores de energía.
ARMÓNICOS
EFECTOS INSTANTÁNEOS
Las corrientes armónicas generarán vibraciones y
ruidos acústicos, sobretodo en aparatos
electromagnéticos (transformadores, inductancias, ...). Los pares mecánicos pulsatorios, debidos a los campos giratorios armónicos, darán lugar a las vibraciones en las máquinas rotativas.
Perturbaciones sobre las líneas de corrientes
débiles (teléfono, telemando) cuando éstas
transcurren a lo largo de una canalización de distribución eléctrica con corrientes y tensiones deformadas.
ARMÓNICOS
EFECTOS RETARDADOS
Calentamiento de los condensadores. Pueden llegar a
producir la perforación del dieléctrico.
Calentamiento debido a las pérdidas suplementarias de
las máquinas y los transformadores (por efecto corona, histéresis y corrientes de Foucault).
Calentamiento de los cables y de los equipos (aumento de su R por efecto corona, aumento de pérdidas dieléctricas en el aislante por la f).
Resonancia paralela con baterías de condensadores de
corrección del factor de potencia.
Triplens: problemas con el neutro y en transformadores
FILTRADO DE ARMÓNICOS
VALORES INDICATIVOS
Máquina síncrona
: 1.3 a 1.4%
Máquina asíncrona
: 1.5 a 3.5%
Cables: 10%
Condensadores de potencia:
10%
(tensión)
Electrónica sensible: distorsión de
FILTRADO DE ARMÓNICOS
VALORES INDICATIVOS
Para las
redes de distribución
: no se llegará
al 5% si cada cliente individual aporta
– Distorsión en tensión inferior al 1.6%
– Factor individual inferior al
• 0.6% para armónicos pares
• 1% para armónicos impares
Redes industriales
:
Siempre que no
contengan material electrónico sensible
(reguladores, autómatas, ...) Se admite una
distorsión de tensión máxima del 5%.
CORRECCIÓN DE ARMÓNICOS
ACTUACIONES
Pasiva
: No se eliminan las causas sino
que se adecuan los conductores, cuadros
y transformadores de forma que la
presencia de los armónicos no produzca
ninguna alteración en el correcto
funcionamiento de éstos.
– Desclasificación
del transformador:
THDF
=
2 I
⋅
I
eficaz cresta
CORRECCIÓN DE ARMÓNICOS
ACTUACIONES
– Recalcular la sección de los conductores con valores
eficaces verdaderos y, sobre todo, teniendo en cuenta el efecto sobre el neutro.
– Sobredimensionado de cuadros o uso de los específicamente diseñados para redes con armónicos.
Activa
:
– Inductancia antiarmónica – Filtros: • Shunt resonante • Filtros amortiguadoresCORRECCIÓN DE ARMÓNICOS
INDUCTANCIA ANTIARMÓNICA
Permite
proteger una batería de condensadores
contra sobrecargas armónicas. No elimina los
armónicos de la red, pero sí que circulen por la
batería de condensadores.
Suprime
el riesgo de
fuertes corrientes
armónicas en los condensadores.
Suprime correlativamente las
fuertes
distorsiones de tensión
en la red, sin llevar, de
todas maneras, los niveles a un valor bajo
CORRECCIÓN DE ARMÓNICOS
INDUCTANCIA ANTIARMÓNICA
Precauciones
:
– no puede haber otras baterías de condensadores que
puedan dar por antirresonancia, un carácter capacitivo a la red, inicial en la gama de frecuencias del espectro armónico,
– se ha de vigilar no colocar la antirresonancia a una frecuencia próxima a la de telemando del distribuidor (compañía eléctrica).
– a causa del espectro continuo, la inductancia antiarmónica no se puede utilizar en el caso de
hornos de arco más que en casos particulares y con
FILTRADO DE ARMÓNICOS
SHUNT RESONANTE
Está constituido por una rama L-C (fig. a) cuya
frecuencia de resonancia
debe ser
f
L C
r
=
⋅
1
2
Casi toda la corriente de ese armónico se derivará hacia el
shunt. Habrá uno para cada armónico que se desee eliminar:
FILTRADO DE ARMÓNICOS
FILTROS AMORTIGUADORES
Los típicos son de
segundo orden
y se suelen
usar con los hornos de arco y cuando no se
desea una batería de shunts resonantes
(
economía
) sino mejor la utilización de un filtro
de amplio espectro que posea las propiedades:
– Amortiguar las antirresonancias.
– Reducir las tensiones armónicas.
– Amortiguar rápidamente el transitorio de puesta en
funcionamiento del filtro.
