Guía de Ejercicios: Aplicaciones Trigonométricas
Resultados de Aprendizaje
Identificar y aplicar identidades trigonométricas elementales , en la resolución de
problemas de planteamiento
Manejo de habilidades matemáticas , que permitan a través de la trigonometría
resolver situaciones problemáticas
Contenidos:
Identidades Trigonométricas diversas
Teorema del seno y coseno
Ejercicio 1
Desde el punto más alto de un edificio, se observa un móvil, ubicado en la acera opuesta, con un ángulo de depresión de
75
º
, si la distancia que separa el pie del edificio con el móvil es de 35 metros ¿cuál es la altura aproximada del edificio?Respuesta: la figura que representa la situación planteada corresponde a :
75º h
35 mts
Se deduce que
35
tan
75
º
35
º
75
tan
h
h
Pero3
3
3
3
3
3
1
1
3
3
º
45
tan
º
30
tan
1
º
45
tan
º
30
tan
)
º
45
º
30
tan(
º
75
tan
(aplicamos la identidadPor lo tanto el valor para
h
es 3 3 3 3 35
h si hacemos uso de la calculadora el valor aproximado es h35(3.732)130.62mts.
Ejercicio 2
Desde la orilla de un río se vé un árbol en la otra orilla, bajo un ángulo de
45
º
y si se retrocede 40 mts , se vé un ángulo de30
º
Encuentre la altura del árbol y el ancho del ríoRespuesta: El problema planteado se puede representar como sigue:
h
º
30
45
º
40metros anchodelrio
Si consideramos que
d
es el ancho del río se tiene :d
d
h
d
h
d
h
tan
45
º
1
º
45
tan
luego la altura del árbol coincide con la medida delancho del rio
Además el retroceder 40 metros se obtiene
d
h
pues
d
tg
d
h
d
d
h
(
40
)
tan(
30
º
)
(
30
º
)
40
tan(
30
º
)
40
)
º
30
tan(
Luego despejando
d
se tiene dtg(30º)d 40tg(30º)d(tg(30º)1)40tg30ºDe donde
3
3
3
40
3
3
3
3
3
40
1
3
3
)
3
3
(
40
1
º
30
º
30
40
tg
tg
d
Aproximando con el uso de laEjercicio 3
Un niño ha encumbrado dos volantines de forma simultánea. Uno de ellos se ha elevado 116 mts y el otro a 128 mts ambas distancias hacia el niño. El ángulo que subtienden ambos volantines , es de
º
30
Se pide encontrar la distancia que los separa
A considerar la siguiente gráfica
d
116 128
º
30
Respuesta: Considerando la distancia que los separa como
d
y aplicando teorema del coseno se tienemts
d
d
d
d
4122
.
50
64
.
2
2
3
29696
29840
)
º
30
cos(
)
128
)(
116
(
2
128
116
2 2 2 2 2
Distancia que separa a ambos volantines
Ejercicio 4
Para calcular la altura de una montaña, se determinan los ángulos
,
y la distanciad
, según se muestra en la figuraa) Determine la longitud de BC en función de
,
,db) Demuestre que la altura
h
de la montaña está dada por la formula) -sen( sen sen
d hc) Utilice la fórmula del inciso (b) para encontrar la altura de una montaña si
pies d y 800 º 29 , º 25
Figura Ch
A
B
Ed
Solución a) A partir de la gráfica se observa:
h
BC
sen
BC
h
sen
además si consideramos el punto E como el pié de la altura de la montaña, se tiene:d
BE
h
tan
, que al sustituirh
se obtiene :d
BE
sen
BC
tan
comoBE
h
tan
, al sustituirh
se tieneBE
sen
BC
tan
de donde Se obtiene
tan sen BCBE , luego al sustituir en
tan
, se obtiene la relación
tan tan tan tan d sen BC sen BC d sen BC sen BC , de donde despejaremosBC
En efecto:
( tan ) tantan BC sen d BC sen (Aplicamos distributividad de
tan
)
tan
sen
BC sen
tan
d tan
tan
BC
tan
sen
sen
tan
d
tan
tan
BC
tan tan tan tan sen sen d BCSi aplicamos procedimiento de reducción , tenemos
tan tan cos tan tan tan cos tan tan tan tan tan d sen sen d sen d BC
sen
d
sen
d
BC
tan
cos
tan
cos
cos
tan
cos
tan
Por lo tanto
BC
se puede expresar en función de
,
,d como
sen d BC tan cos tanSolución b)
Considerando los elementos que se indican en la figura se tiene
sen
h
AC
AC
h
sen
AC
BE
d
cos
sustituyendo el trazo ACh
BE
d
sen
sen
h
BE
d
(
)
cos
Además
cos
cos
BE
BC
BC
BE
Sustituyendo en
cos se obtiene Recordar por parte a)
sen h BC BC h sen
sen sen h sen d hcos cos
d
sen
sen
sen
h
cos
cos
(Factorizando por h)
h sen h d sen h BC d sen ( cos ) cos ) cos ( cos
d sen sen sen h hcos cos
sen
d
sen
sen
sen
h
cos
cos
) ( cos cos
sen sen sen d sen sen sen sen d h Solución c)mts
sen
sen
sen
h
2346
.
5
0698
.
0
79
.
163
0698
.
0
)
484
.
0
)(
423
.
0
(
800
º
4
º
29
º
25
800
Ejercicio 5
Un avión vuela sobre una ruta horizontal, el piloto se da cuenta que en un determinado momento, se encuentra sobre dos torres indicadoras de kilometraje, a 5 km de distancia entre sí , observados con ángulos de depresión de 32º y48ºsegún se indica en la figura
32
º
48
º
A B
5Km a) Determine la distancia del avión a la torre A b) Determine la altitud del avión en ese instante
Solución a) Consideremos
d
la distancia del avión a la torre A, además utilizando el concepto ángulos alternos internos, entre paralelas y aplicando teorema del seno , tenemos :5
º
100
º
48
sen
d
sen
, donde
100
º
es el ángulo suplemento de los ángulos de depresión del problema, por lo tantokm
sen
sen
d
3
.
9
98
.
0
78
.
3
º
100
º
48
5
Solución b) Consideremos la altura del avión como
h
, luego tenemoskm
sen
h
h
sen
3
.
9
32
º
2
.
07
9
.
3
º
32
Ejercicio 6
Para encontrar la distancia que separa las dos orillas de un río , una topógrafa , selecciona dos puntos de un mismo lado del río , sean A y B ambos separados por 200 mts, ella escoge un punto de referencia C del otro lado del río según lo indica el gráfico, generando dos ángulos tal que
º
82
BAC
m
m
ABC
52
º
Se pide calcular aproximadamente la distancia ACA 200 mts B
C
Nota:
m
BAC
denota medida del ánguloBAC
Solución : Según la información del gráfico se tiene que
m
ACB
46
º
Aplicando luego teorema del seno tenemos que :AC
sen
sen
52
º
200
º
46
de donde se desprende que
