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Gauss
Estadística y determinismo
1. Introducción.
Estos capítulos que se inician con los nombres de "Curva de Gauss", "Error" y "Coeficiente de seguridad" están vinculados por el suceso universal de la complejidad o también llamada teoría del caos, porque el diseño y cálculo de un edificio es a futuro. Entonces las tareas de cálculo es un pronóstico y como tal está afectado del azar; no se conoce con certeza los sucesos que pue-den suceder el día de mañana.
Existen dos tipos de incertidumbres:
Las que están fuera del dominio del hombre: vientos, sismos, térmicas.
Las que pertenecen a la condición humana.
Ambas solo pueden ser pronosticadas a futuro con la estadísticas de su-cesos del pasado.
2. Estadística y determinismo.
En las ciencias de la construcción existen partes que son solucionadas desde las operaciones deterministas, por ejemplo la ley de momentos es un conjunto de productos y sumas que puede establecer la magnitud de una resul-tante de fuerzas y su ubicación. Sin embargo el estudio de las cargas que ac-tuarán sobre el edificio no es posible obtenerlas desde una ecuación matemáti-ca, en especial aquellas de sobrecargas, de viento, sismo o térmicas, solo es posible mediante la estadística.
La herramienta más útil para la estadística es la relación que existe en-tre la frecuencia (porcentaje) que suceden los fenómenos y la intensidad (mag-nitud) de los mismos. Esa instrumento es la curva de Gauss desde las gráficas y dejamos de lado las ecuaciones teóricas que no corresponden a estos escritos.
3. Curvas de Gauss (Curva de distribución normal).
Todo el universo es aleatorio y de él los sucesos y fenómenos climáti-cos y sísmiclimáti-cos de La Tierra, lo son más. Además, el hombre como parte de ella posee la condición de azaroso, tanto a nivel individual como colectivo. La ecuación fundamental de la estabilidad de los edificios, en todos sus términos contiene factores que amortiguan las contingencias inesperadas. Los reglamen-tos de construcciones establecen que la resistencia nominal interna de la estruc-tura resulte mayor que las provocadas por las fuerzas, acciones o cargas que solicitan al edificio:
350 Según Reglamento:
𝜙𝑆 ≥ 𝛾𝑈 = 𝛾
1𝐷 + 𝛾
2𝐿
ϕ: factor de reducción de resistencia del material. S: Resistencia nominal de la pieza.
D: Carga muerta o permanente. L: Carga viva o sobrecarga.
γ1: factor de mayoración cargas muertas. γ2: factor de mayoración cargas vivas.
La única manera de aproximar un valor de resistencia o carga a futuro es mediante la estadística, la teoría probabilística y la sociología del colectivo técnico, con maniobras que utilizan datos del pasado. La herramienta más utili-zada es la curva gaussiana; en las ordenadas se indica la frecuencia de suceso en porcentual y en las abscisas la intensidad (figura 16.1).
Figura 16.1
La curva superior muestra los resultados de una estadística de las so-brecargas de un edificio de viviendas con datos obtenidos de censos realizados largos períodos de tiempo. Las mayores frecuencias se encontrarían en valores aproximados a 1,0 kN/m2. Mínima frecuencia tendría el valor de L = 0 (depar-tamento vacío) así también aquellos que superan los 2,00 kN/m2. Los valores que nos entrega la curva:
xp: valor promedio de sobrecarga (kN/m2).
xf: valor de mayor frecuencia (kN/m2).
xi: valor individual de cada medición de sobrecarga (kN/m2).
xk: valor característico, solo superado en el 5 % de los casos (kN/m2). Este último es el utilizado para el diseño y cálculo de las estructuras.
4. Las curvas de colectivos, interpretación.
4.1. General.
La frecuencia y la intensidad se pueden establecer en los tres principa-les grupos o colectivos de la construcción:
De cargas en fuerza o presión: daN ó daN/m2.
De materiales en la resistencia: daN/cm2.
De conducta de los técnicos: nota o calificación del 1 al 10.
Estas variables determinan el grado de incertidumbre en el proyecto y ejecución. Es necesario destacar las maniobras que se realizan para obtener los datos de diseño y cálculo de una estructura:
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Investigar los sucesos y antecedentes de la región o ciudad donde se cons-truirá el edificio (cargas, acciones, materiales y conducta humana).
Operar esos datos para ser posible una predicción de los sucesos a futuro. En ambos casos participa el proyectista tanto arquitecto o ingeniero y su gestión es estudiada por los principios del origen del CS (Coeficiente de Seguridad) que establece calificaciones generales en cuatro niveles y sus notas:
Malo: de 1 a 2. Regular: de 3 a 5. Bueno: de 6 a 8. Muy Bueno: de 9 a 10.
Cuanto mayor es el control y exigencias en la investigación del pronós-tico de las cargas y resistencia, menor será el CS.
4.2. Cargas de las estadísticas de la historia.
Desde informes y datos de sucesos pasados analizamos cuatro grupos de cargas: permanentes, sobrecargas, vientos y sismos . Para cada grupo obte-nemos una curva en particular. Esas curvas nos indican el nivel de caos o des-orden particular de cada una
En el histograma se indican de manera aproximada la frecuencia de los sucesos y su intensidad (figura 16.2):
(1) Cargas permanentes. (2) Sobrecargas. (3) Cargas de viento. (4) Cargas de sismo.
Figura 16.2
(1): Las cargas permanentes poseen una baja dispersión, porque la masa y la gravedad son casi constantes en el edificio. Además los errores que se pueden cometer en su determinación son reducidos porque el cálculo es de-terminista: producto del volumen por la densidad.
(2) Las sobrecargas poseen menor intensidad que las permanentes, pe-ro mayor dispersión. En las estadísticas de sobrecargas en un departamento de vivienda los valores pueden oscilar entre mínimos cercanos al cero y máximos superiores al indicado en reglamentos (200 daN/m2).
(3): Las cargas de viento poseen mayores frecuencias en valores de vientos normales (brisas, vientos leves), pero menor frecuencia en vientos fuer-tes (tempestad, tormenta).
(4): Las cargas de sismo poseen largos períodos de tiempo con intensi-dades nulas o mínimas, pero cortos períodos de intensiintensi-dades muy fuertes (te-rremotos).
352 Esta investigación fue realizada desde los datos y mediciones realiza-das en diferentes regiones o ciudades. Es el estudio del pasado, el proyectista de estructuras debe interpretarlas desde la estadística para utilizarlas en el dise-ño.
4.3. Materiales.
La tecnología de fabricación de los materiales de la construcción ha avanzado de manera notable en las últimas décadas. Podemos decir que los materiales de manera individual son buenos, pero cuando son necesarios mez-clarlos para producir otro material combinado, como el caso del hormigón ar-mado entonces la calidad del conjunto combinado puede variar. La resistencia dependerá si la elaboración fue realizada en condiciones de control riguroso, regular y descuidado.
En la curva que sigue analizamos tres grupos de hormigones realizados con diferentes tipos de controles (figura 16.3). En la curva (1) se muestra el resultado de ensayos de hormigones con vigilancia rigurosa; curva esbelta con baja dispersión. La curva (2) representa al grupo de control regular. Por último la curva (3) son los resultados de frecuencia y calificación del hormigón reali-zado con un control pobre o descuidado.
Figura 16.3
Eje de las ordenadas "yy": frecuencia en porcentual. Eje de las abscisas "xx": calificación o resistencia.
En las curvas existe una particularidad, a los efectos didácticos; todos los grupos poseen la misma resistencia media, pero la posibilidad de encontrar-nos con hormigones de mala calidad es mucho más elevada en la curva (3) que en la (1). Veremos que en diseño, cálculo y construcción de los edificios la cualidad de "dispersión" tiene mayor rango que la de "promedio".
4.4. Conducta humana.
El estudio de la conducta o nivel de conocimiento de grupos humanos también se la estudia con el histograma o curva de Gauss. Así lo establece el Cirsoc en el R105 y el R106.
Las gráficas que siguen nos muestran los resultados de una evaluación de tres colectivos o grupos de técnicos de ciudades diferentes (figura 16.4). Otras vez elegimos la situación particular: la nota promedio es la misma para los tres grupos es la calificación de "5".
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Figura 16.4
Colocamos en el eje "xx" las notas o calificaciones obtenidas de los exámenes y en el eje "yy" los porcentuales de sus eventos. Vemos que el pro-medio en los tres grupos encuestados tiene el valor 5 (cinco).
Curva (1): Grupo con buen conocimiento y además todos los integrantes del poseen casi el mismo nivel de instrucción. Mínima dispersión.
Curva (2): Grupo con conocimiento y control medios, la dispersión aumenta.
Curva (3): Grupo con conocimiento bajos y control pobre. Tiene el mismo promedio que los anteriores pero la dispersión es elevada, esto significa que hay mayor proba-bilidad de encontrar técnicos con niveles con capacidad por debajo de cinco.
En resumen, la primera curva nos muestra que la mayoría de los profe-sionales poseen un grado de conocimientos uniformes, mientras que la última indica la elevada posibilidad de encontrarnos profesionales de bajo nivel . Ve-remos más adelante, cuando estudiemos coeficientes de seguridad que el grado de dispersión de la conducta humana es la variable principal de diseño del CS.
En general, los resultados de la exploración de colectivos humanos una reducida dispersión va acompañada de una calificación alta. Así las curvas no solo difieren en la forma sino también en la posición de la posición de la nota media (figura 16.5). Esto lo mostramos en las gráficas que siguen.
Figura 16.5
La población (1) de la imagen tiene un promedio de ≈ 6,8. La pobla-ción (2) un promedio ≈ 6,0 y la (3) un promedio ≈ 4,0. En estos casos una re-ducción en la intensidad de la nota y además un aumento de la dispersión. Para
354 cada uno de estos colectivos en el proceso de diseño estructural le corresponde un CS determinado; aumenta cuanto mayor es la dispersión y su menor su cali-ficación de conocimiento.
4.5. Reflexiones.
Los materiales utilizados en la actualidad para la construcción de los edificios y en especial sus estructuras son de muy buena calidad. Las barras de hierro y el hormigón son controlados en laboratorios de fábricas. También los tableros de maderas especiales para los encofrados permiten realizar trabajos de buen nivel.
Entonces, si en el mercado de la construcción se ofrecen productos de calidad certificada surge la pregunta ¿porqué existen deficiencias o fallas? La respuesta es inmediata: la incorrección, la irregularidad o el desperfecto es cau-sado por maniobras erróneas de las personas que participan en el proyecto, cálculo y ejecución.
Está demostrado que la calidad del colectivo humano que participa en una obra es variable de diseño y quien lo representa es el coeficiente de seguri-dad (CS). Este estudio fue publicado hace décadas atrás en "Recomendación Cirsoc 106" para el dimensionamiento del coeficiente de seguridad. Es por ello que damos énfasis al tema de la estadística y a las curvas de distribución, así también para justificar las aplicaciones que siguen.
5. Aplicaciones.
5.1. Valor característico del hormigón.
Inicio.
Analizamos los resultados de un lote de 30 (treinta) probetas de hor-migón realizadas con un control mediano (figura 16.6).
Resultados y curva.
Los resultados de las tensiones de rotura oscilan entre un mínimo de ≈ 100 daN/cm2 a un máximo de ≈ 460 daN/cm2.
Figura 16.6
En el eje "yy" del gráfico se muestran los porcentuales de sucesos de cargas similares y en el "xx" la intensidad de las tensiones de rotura.
355 El promedio nos entrega una tensión de ≈ 280 daN/cm2, pero existe dispersión. Del estudio de la curva y aplicación de las fórmulas de la estadística se obtiene que la tensión a utilizar para el cálculo debe ser menor o igual a 200 daN/cm2. La superficie sin sombra indica la posibilidad de encontrar valores de resistencia superiores a los 200 daN/cm2, la superficie en negro la posibilidad de encontrar valores menores.
Estudio de la curva.
Entre porcentuales del 15 al 20 % es cóncava, tanto a la izquierda como a la derecha. Por arriba de ese valor la curva es convexa. Desde el punto de inflexión de la curva hasta la media se establece el grado dispersión o desvia-ción que en nuestro caso es de un valor aproximado a 50 daN/cm2.
La curva puede ser simétrica; el valor medio o promedio coincide con el de máximo porcentual. En nuestro estudio la curva es asimétrica; el valor promedio (280) está un poco desplazado al de máximo porcentual (300).
5.2. Valor característico de diseño.
Inicio:El grupo de profesionales ingenieros, arquitectos, técnicos, capataces y obreros que participan en el proyecto, cálculo, dirección y ejecución de una obra tiene en su conjunto colectivo un valor característico de calidad en su la-bor.
Cuanto más elevado es el rigor y control de cada una las fases que par-ticipan menor será el coeficiente seguridad empleado para el diseño estructural. En general el valor total promedio que establecen los reglamentos a nivel inter-nacional oscila en el entorno:
CS ≈ 2,00
El CS es una "nota", una calificación del colectivo humano que partici-pa en toda la obra.
Si es necesario construir un edificio en una región donde la calidad de los técnicos y obreros, así como los materiales es regular a pobre el CS se debe elevar, por ejemplo:
CS ≈ 3,5 a 4,5
Por ejemplo si diseñamos una columna de madera sin pandeo que se realiza en una población técnica de control bueno y en otra región de población técnica pobre. La carga y las características mecánicas de la madera son iguales en ambos casos:
Carga: P = 12.000 daN Tensión rotura madera: 300 daN/cm2 a) Sección de columna para la región de control bueno a riguroso:
CS = γ ≈ 2
S = (P . γ) / σrot = (12000 . 2) / 300 = 80 cm2. Lados de columna cuadrada: ≈ 10 cm
b) Sección de columna para la región de control pobre o descuidada: CS = γ ≈ 4,5
S = (P . γ) / σrot = (12000 . 4,5) / 300 = 180 cm2. Lados de columna cuadrada: ≈ 14 cm
Resumen: se utilizará un 40 % más de material en esta última región por la incertidumbre que existe en la ejecución y control de la columna.
356 Ejemplo simple: Estudio del colectivo humano.
El grupo de profesionales ingenieros, arquitectos, técnicos, capataces y obreros que participan en el proyecto, cálculo, dirección y ejecución de una obra tiene en su conjunto colectivo un valor característico de calidad en su la-bor.
Es habitual a nivel internacional la aplicación de seguros de riesgo para las fallas que son provocadas en la fase de proyecto o de dirección de obra. En estos casos las compañías de seguros realizan una evaluación del grupo que participará en la obra.
Los investiga en función de los antecedentes certificados de cada pro-fesional y de los capataces de obra. A cada uno lo califican con notas de 1 (uno) a 10 (diez). Para simplificar suponemos que el grupo de trabajo se consti-tuye por 100 (cien) personas. Confeccionan una planilla como la que se indica a continuación: nota % 1 0 2 1 3 2 4 15 5 37 6 22 7 12 8 8 9 3 10 0
100
En la primer columna: la calificación o nota. En la segunda columna: el porcentual de esa nota.
Con los valores de las notas y los porcentuales se construye la curva (figura 16.7):
Figura 16.7
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La nota promedio oscila entre el valor 5 (cinco) a 6 (seis).
La dispersión se mide en la zona de inflexión de las curvas en ascenso y en descenso: puede ser ≈ 2,0 (diferencia entre 4 y 6).
Un 5 % de encontrar por debajo de 4.
Un 15 % de encontrar en el entorno de 4.
Un 60 % de encontrar entre 5 y 6.
Un 15 % de encontrar entre 6 a 8.
Un 5 % de encontrar en el entorno de 9.
En base a estos estudios se establece el monto del contrato entre el ase-gurado (estudio de arquitectura, de ingeniería y directores de obras) y la com-pañía de seguros.
