Aplicación de la Programación Lineal a la Solución de Problemas No Lineales de Optimización en Sistemas de Potencia Edición única

Texto completo

(1)

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY ESCUELA DE GRADUADOS. APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO-LINEALES DE OPTI MIZACIÓN EN SISTEMAS DE POTENCIA.. TESIS presentada como requisito parcial para optar a l grado académico de MAESTRO EN CIENCIAS Especialidad en Potencia. por Fernando Gómez Gómez. 1970.

(3) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY. ESCUELA DE GRADUADOS Diciembre. 1970. Señor D i r e c t o r de l a E s c u e l a de Graduados: La t e s i s e l a b o r a d a. por e l i n g e n i e r o e l e c t r i c i s t a. Fernando Gómez Gómez. i n t i t u l a d a APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO-LINEALES DE OPTIMIZACIÓN EN SISTEMAS DE POTENCIA.. Ha s i d o aceptada como r e q u i s i t o p a r c i a l para optar e l grado. a—. cadémico de. MAESTRO EN CIENCIAS. Especialidad. Comité. Potencia. Supervisor. de T e s i s. Sinodal Dr. Mayer Sasson. Dr. C a r l o s Treviño. J e f e d e l Departamento de Ingeniería Eléctrica Dr. C a r l o s Treviño L.. Comité de l a E s c u e l a de Graduados. Solo se podrán p u b l i c a r l o s datos de e s t a t e s i s con autorización d e l Comité de l a E s c u e l a de Graduados..

(4) AGRADECIMIENTO. E l autor agradece l a magnífica asesoría y valiosa cooperación del Dr. Mayer Sasson en l a realización de. este. trabajo.. Igualmente a l Departamento. de. Ingeniería Industrial. y a l Centro Electrónico de. Cálculo del I T E S M. por l a prestación. servicios.. de sus. A l a señorita Amanda Seceñas por su ex. celente trabajo de mecanografía..

(5) A mis padres.

(6) RESUMEN. Se investiga un método de solución a los problemas de "Despacho Económico de Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reac tiva",. propuesto originalmente por G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon. (Ref. 5, Cap. I ) . E l método consiste en un proceso iterativo en e l que l a aproximación a l a solución se hace por l a minimización de una función l i neal en cada paso, sujeta a restricciones lineales y no lineales.. Se pre. sentan los conceptos matemáticos generales y su aplicación a l problema en cuestión. Se escribieron programas para computadora de carácter experi mental.. Las pruebas realizadas sobre ejemplos específicos dieron resulta. dos satisfactorios.. Las características de convergencia del método son ha. lagadoras y l o hacen comparable con otros métodos suficientemente experi mentados. Con los procedimientos computacionales empleados se requiere gran capacidad de. memoria, por l o tanto se recomienda e l uso de procesos de. cálculo optimizados para uso. eficiente de l a computadora..

(7) CONTENIDO Resumen. v. L i s t a de Símbolos. viii 1. I.. INTRODUCCIÓN. II.. MATEMÁTICA DEL PROBLEMA 2.1 Problema Simplificado. 3. 2.1.1 Linealización 2.1.2 Problema Lineal. 4 5. 2.1.3. 5. Solución Conjunta. 2.2 Problema General 2.2.1 Linealización 2.2.2 Problema Lineal 2.2.3 Solución Conjunta. 6 7 8 9. I I I . ECUACIONES DEL SISTEMA 3.1 Ecuaciones Fundamentales 3.2 Estudio de Flujos 3.3 Características de l a Matriz Jacobiana 3.3.1 IV.. Relación de Compatibilidad. 13. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 4.1 Despacho de Potencia Real 4.2 Despacho de Potencia Real y Reactiva 4.3 Interpretación de los Planteamientos Teórico y Práctico. V.. 10 11 12. 14 15 15. MÉTODO DE SOLUCIÓN 5.1, Problema Simplificado 5.1.1 Fundamento Matemático 5.1.2 Algoritmo de Solución 5.2 Problema General 5.2.1 Relación de Compatibilidad 5.2.2 Fundamento Matemático 5.2.3 Aleoritmo de Solución. 17 17 19 22 22 25 27.

(8) VI.. PROGRAMA PARA COMPUTADORA 6.1 Características del Programa 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5. Información Matriz Y-Bus Estudio de Flujos Vector Característico Programación Lineal. 31 31 31 31 32 32. 6.2 Diagramas de Flujo. 33. 6.3 Variables del Programa. 33. VII. APLICACIÓN Y RESULTADOS Ejemplo 1. Prueba de Optimalidad Ejemplo 2. Ejemplo 3.. 35 37 40 42. V I I I . CONCLUISIONES Y RECOMENDACIONES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5. Características de Convergencia 44 Selección de Variables para e l Programa de Programación Lineal 44 Detección de Incompatibilidades 45 Nodo "Slack" 45 Otras Aplicaciones 46. APENDICES I.. LA MATRIZ JACOB LANA ES SINGULAR. 47. I I . ÁLGEBRA LINEAL. 48. I I I . PROGRAMACIÓN LINEAL. 51. 111.1. Programación Lineal 111.1.1 Planteamiento del Problema 111.1.2 Propiedades de Una Solución a l Problema General de Programación Lineal 111.1.3 Procedimiento Simplex 111.1.4 Procedimiento Computacional 111.1.5 Desigualdades 111.1.6 No Restricción de No Negatividad 111.1.7 Bases A r t i f i c i a l e s. 111.2. Normalización del Problema 111.2.1 111.2.2 111.2.3 111.2.4. XV. Función Objetivo Restricciones Coeficientes de l a Función Objetivo Vector de Términos Independientes. DIAGRAMAS DE FLUJO Y PROGRAMA. 51 51 52 53 55 56 56 57 58 58 59 60 62 63.

(9) L i s t a de Símbolos a. costo de carga l i g e r a. b. costo diferencial. C. costo t o t a l. E. voltaje. EMAX. límites superior de voltaje. EMIN. límite i n f e r i o r de voltaje. F. función de costo. 6. conjunto de nodos generadores. R. conjunto de nodos con restricción de voltaje, factor de corrección. n,N. número t o t a l de nodos del sistema. N6. número de nodos generadores. NK. número de nodos con restricción de voltaje. P. potencia real calculada. PG. potencia real generada. PL. potencia real de carga. PMAX. límite superior de potencia real. PMIN. límite i n f e r i o r de potencia real.. PH = PG-PL potencia real neta Q. potencia reactiva calculada. QG. potencia reactiva generada. QL. potencia reactiva de carga. QMAX. límite superior de potencia reactiva. QMIN. límite i n f e r i o r de potencia reactiva. QN=QG-QL potencia reactiva neta Y. admitancia. δ ángulo del voltaje θ ángulo de l a admitancia..

(10) X. INTRODUCCIÓN E l incremento actual en e l tamaño de los sistemas eléctricos de potencia - generación, transmisión y consumo - acentúa l a necesidad de operarlos en condiciones óptimas de calidad con e l menor costo posible. Los métodos de cálculo tradicionales que u t i l i z a n fórmulas aproximadas. 1. ya no. son adecuados y es evidente l a necesidad de emplear técnicas más precisas. En éste sentido, y gracias a l advenimiento de l a computadora d i g i t a l , se ha intensificado l a investigación de métodos de solución a l problema, re curriendo a las técnicas matemáticas antiguas y modernas en e l campo dé l a optimizacióna,a,4. En e l año de 1967 G. Dauphin, D. Feingold y G. Sphon5 presenta ron un escrito titulado "Methods of Optimizing the Production of Generating Stations of a Power Network" en e l cual se expone una teoría sobre l a solu ción de problemas en sistemas de potencia basada en procedimientos de o p t i mización de problemas lineales.. Desde e l punto de v i s t a teórico e l método. es atractivo, s i n embargo, no se tenía conocimiento de su comportamiento real. E l objeto principal de este trabajo es e l de investigar e l método mencionado y probar su aplicación a los problemas de "Despacho Económico de Potencia Real" y "Despacho Económico de Potencia Real y Reactiva", para ad q u i r i r experiencia en su uso y establecer bases de comparación con otros mé todos.. En e l capitulo I I se plantea e l problema en términos matemáticos ge. nerales y se dan las bases para l a solución. En e l capitulo I I I se presenta un resumen de las ecuaciones del comportamiento eléctrico de una red..

(11) -2-. Las teorías y procedimiento del capitulo I I se desarrollan en términos del problema real en los capítulos IV y V y se exponen las ca racterísticas particulares del mismo. Una descripción sintetizada de los programas para computadora utilizados en l a investigación se da en e l ca pítulo VI. En e l capítulo VII se reporta un extracto representativo de los resultados obtenidos. Las conclusiones y recomendaciones derivadas del trabajo se presentan en e l capítulo VIII.. En e l apéndice I se hace. l a demostración de una característica importante de las ecuaciones del sistema. Finalmente los apéndices I I y I I I incluyen algunos conceptos básicos de álgebra matricial y programación l i n e a l .. E l último es p a r t i . cularmente importante porque en él se muestra l a adaptación del problema l i n e a l que se presenta en e l curso de l a solución,a l a forma típica de ur problema de programación l i n e a l . REFERENCIAS 1.. L.K. Kirchmayer, Economic Operation of Power Systems. Wiley, 1958.. New York, J .. 2.. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, M. Watson, "An Optimization Technique for Real and Reactive Power Allocation," PROC. IEEE, Vol. 55, pp. 1877 - 1885, Nov. 1967.. 3.. H.W. Dommel, W.F. Tinney, "Optimal Power Flow Solutions," TRANS. IEEE, Vol. PAS-87, pp. 1866-1876, Oct. 1968.. 4.. A.M. Sasson, "Nonlinear programming solutions for the load flow, minimum loss, and economic dispatching problems," Ibid, Vol. PAS-88, pp. 399-409, 1969.. 5.. G. Dauphin, D. Feingold, G. Sphon,"Methods of optimizing the produc t i o n of generating stations of a power network," PROC. PICA, Conf. R e e , Pittsburgh, Pa. pp. 133-140, May. 1967..

(12) -3-. II.. MATEMATICA PEL PROBLEMA Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un s i s t e . ma de potencia son del tipo no l i n e a l .. E l método de optimización que se. describe alterna l a solución de estas ecuaciones con l a minimización de una función l i n e a l .. En e l problema l i n e a l , s i n embargo, se involucra e l efecto. de l a no linealidad por medio de las llamadas en e l texto relaciones de com patibilidad.. En este capítulo se presenta l a formulación y solución en tér. minos matemáticos generales.. En e l capítulo IV se formulan los problemas en. l a terminología normalmente utilizada en Ingeniería Eléctrica. Allá se dan las explicaciones adicionales sobre l a correspondencia e interpretación de los planteamientos teórico y práctico. E l "Despacho de Potencia Real" y e l "Despacho de Potencia Real y Reactiva" se tratan por separado con los nom bres de "Problema simplificado" y "Problema general".. En los capítulos s i . guientes se aplican los conceptos y procedimientos aquí expresados a los problemas de optimización en sistemas de potencia. 2.1 Problema Simplificado Consiste en minimizar l a función de las variables x¿ : (2.1). sujeto a las restricciones lineales:. y satisfaciendo las ecuaciones no lineales: (2.2) donde.

(13) -4-. 2. z. ". z. » a» • • •» n>. Y - (y , y , a. a. y ) m. C — (*x » "a» • • • » ^n» wx * w a » • • • » wm^ j "1» •••» n+m. Además se tiene que no todas las ecuaciones (2.2) son independientes, es de c i r , no se puede asignar valor arbitrario a todas las C j . 2.1.1. Linealización. S i se mantienen constantes las. i-1,. m, y se linealizan. las primeras n restricciones (2.2) alrededor de un punto de operación se tiene e l siguiente conjunto de ecuaciones lineales.. j , 1-1,. n. La matriz de coeficientes (Jacobiano) de éste sistema nes. de ecuacio. es singular. Como se explica en e l apéndice I I , para que un sistema. t a l tenga solución se debe cumplir l a relación de compatibilidad:. (2.3). Las \¿ son las componentes del vector característico asociado con l a raíz cero del Jacobiano transpuesto. Con 'variaciones £ x¿ dadas, l a función f varía en. (2.4).

(14) -5-. Restando (2.3) de (2.4) se obtiene. (2.5). Por l a minimizaciÓn de £ f puede llegar a encontarse un nuevo valor de £ menor que e l anterior. Has adelante se presenta e l algoritmo de solución. 2.1.2 Problema l i n e a l E l problema l i n e a l consiste entonces en minimizar. sujeto a y. 2.1.3. Solución conjunta. E l procedimiento i t e r a t i v o se puede s i n t e t i z a r en las siguientes etapas t 1). Asignar valores arbitrarios a C j , j " l , ..., n+m, j j * l .. Hacer K»l. y calcular £. 2). Resolver las ecuaciones gj (Y»Z) " C j , j"2 q. -. *L. n+m y evaluar. - gx Of,Z). 3). Evaluar l a matriz Jacoblana y e l vector característico.. 4). Resolver e l problema de programación l i n e a l para obtener 1-1, ..., n.

(15) -6-. 5). Calcular los nuevos valores c. x. i nuevo " * i nuevo " i viejo. +. K. x. A i». 1 - 2. » •••». n. e (una tolerancia), i - 1 , ..., n, solución óptima 6). Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • Cy j " 2 , °x nuevo " *x. 7). Bvaluaf f. n u e v o. n u e v < ). .. n+m y evaluar. " % (Y,Z). Si£. n u e v 0. >. £. v l e j 0. , hacer K - K/2 y volver a l. <f. paso 5). S i ¿nuevo viejo» regresar a l a etapa 3). Explicación.. con las etapas 1) y 2) se obtiene una solución i n i c i a l .. La. solución del problema de programación l i n e a l de l a etapa 4) suministra un conjunto de correcciones A x ¿ .. No se puede aplicar todas por l a no inde. pendencia de las ecuaciones g¿. La A * i no se tiene en cuenta. En l a etapa 6) se calcula e l valor de f. s u l t a que. n u e v. o > ¿viejo». 8 6. n u e v o. *. S i debido a l a no linealidad re. reduce e l valor de K y se repite e l proceso. desde l a etapa 5). Cuando para cualquier valor de K se llega a que ..., n, l a solución nueva coincide con l a anterior y ya no es posible reducir más f , luego esta es l a sblución óptima. 2.2 Problema general. Minimizar. con las restricciones lineales j"*l» . • • » n*hn j"li •••t m.

(16) -7-. y las restricciones no lineales gj Or.z) - Cj ,. 2.2.1. j — 1 , • • •, n+m. Lineallzación Linealizando alrededor del punto de operación resulta e l siguien. te sistema de ecuaciones lineales,. <2.6). E l Jacobiano es matriz singular, por l o tanto debe cumplirse l a relación de compatibilidad (2.7). donde (X,u) es e l vector característico (n+m componentes) de raíz cero del Jacobiano transpuesto. En e l problema simplificado las y¿ permanecieron constantes pero- ahora van a ajustarse dentro de ciertos límites. Como se verá más adelante, de l a solución del problema l i n e a l se obtiene p-1,. AYp». m. Con A y ^ dado, l a correspondiente ecuación en (2.6) se puede. eliminar» resultando e l siguiente sistema l i n e a l . j " l , ..., n+m, j^n+k 1*1, ..., n p»l, ..., m, P1*k.

(17) -8 E l superíndice (k) s i g n i f i c a que e l Jacobiano original se ha reducido en e l renglón y columna (n+k).. La nueva matriz sigue siendo singular, así que l a. relación de compatibilidad exige que (2.8). donde. es e l vector característico (n+m-1 componentes) de raíz. cero del Jacobiano reducido transpuesto. Para cada k-1. m habrá una relación de compatibilidad diferente, además. de l a expresada por (2.7).. Sumando l a ecuación (2.7) con las m ecuaciones (2.8) se tiene. Con variaciones dadas. ^w, ^ y , l a variación en f se puede expresar como. 2.2.2 Problema l i n e a l .El problema l i n e a l en este caso consiste en minimizar. A f " (ec. 2.9). Sujeto a l a restricción (2.7) y las m restricciones (2.8) Además de las restricciones de desigualdad j "1, •.., n+m i " l , ..., m Es' importante observar que en l a expresión para £f, las A S son funciones lineales de las.

(18) -9-. 2.2.3. Solución conjunta. A continuación se indica sintéticamente e l procedimiento a seguir en l a solución del problema general, 1). Asignar valores arbitrarios a C j , j«l, ..., n+m, j j * l , n+1 y a y^, i-1,. 2). ..., m. Hacer K-l y calcular £. Resolver las ecuaciones gj(Y,Z) • C j , j»l, Cx - * « gx (Y,Z);. C n 4 l. - *k - g. n 4 i. n+m, j j * l , n+1 y evaluar. (Y,Z). 3). Evaluar l a matriz Jacobiana y los m+1 vectores característicos.. 4). Resolver e l problema de programación l i n e a l para encontrar,. 5). Aplicar correcciones solamente a aquellos términos "C" y "y ' 1. 1. u e. n. 1* * ~. dependencia de las ecuaciones no lineales permita.. c. 6). j. C. nuevo " J viejo. Resolver las ecuaciones independientes del conjunto gj y evaluar e l res to de las variables "C" y "y".. S i hay violación de restricciones de de. sigualdad en "C" o "y"• reducir K y volver a l a etapa 5). Repetir hasta que no haya violaciones. 7). Evaluar f nuevo. S i f n u e v o > f. v i e j o , reducir K y regresar a 5). S i. f nuevo < f v i e j o , regresar a l a etapa 3). E l proceso termina cuando ..., m son más pequeños que una tolerancia establecida..

(19) -10-. III.. Kr.1UnT0NBS DEL. 3.1.. SISTEMA. Ecuaciones Fundamentales Las ecuaciones que rigen e l comportamiento eléctrico de un sistema de. potencia son l a conocidas como "Leyes de Kirchoff", que en forma matricial se expresan como: I -YE. (3.1). donde, I. es e l vector de corrientes impresas en cada uno de los nodos.. Y es l a matriz nodal de. admitancias, "Y-Bus". V es e l vector de voltajes de cada uno de los nodos, con respecto a t i e r r a . La expresión (3,1) representa un sistema de ecuaciones, cada una de las cuales es*: (3.2). La potencia compleja en e l nodo i es: (3.3) Sustituyendo (3.2) en (3.3): (3.4) En coordenadas polares.:. Reemplazando en (3.4):. *Lossímbolos con barra horizontal encima indican cantidades complejas..

(20) -11-. d. Apllcando l a identidad e^ - eos d + j sen d, las componentes real e imagi narla de l a potencia son: (3.5). Las potencias activa y reactiva en e l nodo i son, pues, funciones de los voltajes y ángulos de todos los nodos del sistema.. Representando estas. funciones por P¿ (E, .6) y Qi(E, 6) respectivamente, e l balance de potencias en cada uno de loa nodos se puede establecer como sigue: PNi - Pi(E,6) QNi - Qi(E,6). (3.6a) i - 1,. n. (3.6b). Es claro que las n ecuaciones (3.6a), a l igual que las (3.6b) no son independientes, puesto que, e l asignar potencias netas a todos los nodos, supone conocer de antemano las pérdidas del sistema. Usualmente se plantean n-1 ecuaciones, siendo l a n - ésima 3.2. l a correspondiente a l nodo de holgura.. Estudio de Fluloa Cada nodo está caracterizado por cuatro variables, PNi, QNi, E i , 6 i ,. dos de las cuales son especificadas y las otras dos deben ser encontradas. Generalmente, para estudios de f l u j o s , los nodos se c l a s i f i c a n en los s i * guientes tres tipos: 1). Nodo de holgura, con E, 6 especificados y PN, QN desconocidos.. Usual. mente 6 slack *> 0, como referencia. 2). Nodos Generadores, con PN, E especificados y QN, 6 desconocidos..

(21) -12-. 3). Nodos de Carga, con FN, QN especificados y E, 6 desconocidos. En estas condiciones, para e l estudio de flujos por e l método de New. ton, en forma polar, es necesario únicamente plantear las siguientes ecua ciones : Ecuación (3.6a) para nodos generadores. Ecuaciones (3.6a) y (3.6b) para nodos de carga. S i N es e l número t o t a l de nodos del sistema y NC e l número de nodos de carga, e l número de ecuaciones necesarias para resolver e l estudio de flujos es: N + NC - 1. 3.3. Características de l a matriz Jacobiana La matriz Jacobiana del conjunto de ecuaciones (3.6) es una matriz cuadrada de orden 2n X 2n, que se puede e s c r i b i r como:. J -. donde P'6, P'E, Q'6, Q'E son matrices de orden nXn cuyos elementos son:. (p'ehj -. (P'E)^ ( Q ^. -. (Q'E>tj -. i , j " 1, ..., n.

(22) -13-. En e l Apéndice I se demuestra que l a matriz J es singular, l o cual es consecuente con l a no independencia del conjunto de ecuaciones (3.6) 3.3.1. Relación de Compatibilidad S i se hacen pequeflas variaciones de potencia neta A » A Q » * P. a s. varia. ciones en E y 6, A.E, A5, necesarias para mantener las igualdades (3.6), vienen dadas por l a siguiente ecuación m a t r i c i a l , que se deduce por l a ex pansión en serie de Taylor de las funciones Pi(E,6), Qi(E,6), despreciando términos de orden superiort. w. (3.7). Como se demuestra en e l apéndice I I ,. para que un sistema de ecuaciones l i . neales Ax - b, siendo A matriz singular, sea compatible, una condición nece saria y suficientes es que: T [v] donde £VJ. .. [bj. -. 0. (3.8). es e l vector caracteritico asociado con l a raiz característica T. de valor cero de l a matriz A . En nuestro caso, l a relación de compatibili dad (3.8). puede e s c r i b i r como:. donde, es e l vector característico de raíz cero del Jacobiano transpuesto..

(23) -14-. IV.. PLAW1EAMIENI9 PRh PROBLEMA. La técnica de optimización objeto del presente trabajo se va a ap l l c a r a los problemas de "Despacho de Potencia Real" y "Despacho de Potencia Real y Reactiva". 4.1. Despacho de Potencia Real Dado un sistema de potencia, con especificaciones de: a) Cargas b) Límites superior e inferior para las generaciones activas. c) Voltajes en los nodos generadores. d) Costos de carga l i v i a n a y costos diferenciales.. determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eléctricas del sistema. Matemáticamente: (4.1). Minimizar sujeto a. (4.2) El. =• constante i c G. y Ci(PGi) - a¿ + bt PGi Recuérdese que PNi - PGi - PLi QNi - QGi - QLi. (4.3).

(24) -15-. Ci(PGi) es l a función de costo del generador equivalente conectado ál nodo i.. C es e l costo t o t a l de producciónde potencia r e a l .. Las cargas FLi y -. QLi se consideran constantes. 4.2. Despacho de Potencia Real y Reactiva Dado un sistema de potencia con especificaciones de: a) Cargas b) Limites superior e inferior para las generaciones activas c) Limites superior e inferior para las generaciones reactivas d) Límites superior e i n f e r i o r para los voltajes en todos los nodos e) Costos de carga l i v i a n a y costos diferenciales. determinar las condiciones de operación tales que l a producción de energía activa tenga e l más bajo costo, satisfaciendo las ecuaciones eláctricas del sistema. Matemáticamente,. Minimisar. sujeto a PMINi <. PGi <. PMAXi. ieG. QMINi <. QGi. QKAXi. ieG. EMINi ^. Ei ^. EMAXi. i - 1, ..... n. PNi. - Pi(E,6). i - 1, .... n. QNi. - Qi(E,6). i- 1. n. Las cargas se consideran constantes y también se asume que e l costo de producción de energía reactiva es cero. 4.3.. Interpretación de los planteamientos teórico y práctico. La correspondencia con e l planteamiento de los problemas en términos.

(25) -16-. generales del capítulo I I es ahora evidente. Las restricciones no lineales gj(Y,Z) - Cj están representadas por las ecuaciones. de potencia. E. Pj( »6) " PNj, Qj(E,6) - QNj, donde los voltajes E y ángulos 6 corresponden a las variables Y,Z respectivamente.. Hacer un "Estudio de Flujos" equivale. a resolver estas ecuaciones. Como se explicó en l a sección (3.2), asociados con cada nodo del sistema hay cuatro cantidades, dos especificadas y dos desconocidas y en base a ésto se hizo l a clasificación de los nodos en tres tipos. las cantidades desconocidas son PN (x) y/o cuación es. Cuando. QN (w) , l a correspondiente e-. dependiente y a las variables asociadas 6 (Z) y/o E (Y) se las. puede asignar un valor a r b i t r a r i o .. En caso contrario, 6 y/o E desconocidos,. los respectivos PN y/o QN son especificados y l a ecuación es independiente. La solución del problema l i n e a l , tanto en e l caso simplificado como en e l general, proporciona correcciones AP>AQ ¿A? que son aplicables solo en e l evento de que PN, QN, o E estén dentro de las cantidades especificábles en e l nodo correspondiente. E l resto de correcciones se encuentra por l a solución de las ecuaciones no lineales. AE. k. Por ejemplo, l a corrección. se puede aplicar s i k es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) pero debe. ignorarse s i k es un nodo del tipo 3) en cuyo caso e l verdadero A E ^ resul ta en l a solución del sistema no l i n e a l .. En l a sección (5.2.3) se hace una. clasificación de variables teniendo en cuenta estas características. En l a sección (8.2) se presenta una discusión sobre l a selección de las variables para e l problema l i n e a l ..

(26) -17-. V.. METODO DE SOLUCION. E l método de solución consiste en un proceso i t e r a t i v o en que, par a cada uno de l o s pasos, se minimiza una función l i n e a l de varias v a r i a b l e s , cada una de l a s cuales estando restringida a tomar valores dentro de ciertos límites.. En v i r t u d de que l a s restricciones son también del tipo l i n e a l , e l. esquema se ajusta perfectamente para ser soluble por un método de programa" ción l i n e a l .. 5.1. Se u t i l i z a e l algoritmo Simplex.. Problema Simplificado. 5.1.1. Fundamento Matemático. E l problema consiste en minimizar l a suma de l o s costos totales de producción de energía a c t i v a ,. (5.1) minimizan C es equivalente a minimizar. (5.2) S i l a s PG¿ se varían en una pequeña cantidad ^ P G ¿ , l a función de costo se varía en:. Para e l problema simplificado se consideran constantes i o s voltajes E¿, ieG, per. l o tanto, d e l sistema de ecuaciones (3.7 ). se tiene que:. (5.4) con. l a relación de compatibilidad. (5.5).

(27) -18-. donde X es e l vector característico de raíz cero áe l a matriz singular Bs un vector rial que (5.6) m. (Nótese que A ? i ¿^PG ai VL es constante) í. ±. Poniendo (5.5) en forma de sumatoria,. En los nodos de carga Aft>i - 0, por l o tanto (5.5) se convierte en. (5.7). (5.8). Es claro que cuando F es mínimo, t i b l e con las restricciones.. 0. para cualquier vector£A,PG~J compa. De (5.8) se puede . deducir las condiciones ne. cesarias para optimalidad, como sigue: también l o es.. En e l mínimo,. siempre habrá una R t a l que. (5.9).

(28) 19-. 5.1.2 Algoritmo de Solución. S i se i n i c i a a partir de una solución factible (aquella en l a cual se cumplen las restricciones), e l método encuentra otra solución factible de menor costo, s i existe. En realidad, e l proceso puede iniciarse a p a r t i r de una solución no f a c t i b l e .. En este caso, e l primer paso l l e v a las variables. a l a región permisible. Se tiene entonces e l siguiente problema parcial: Enoontrar las APGi tales que l a función, (5.10) sea mínima baio l a s siguientes restricciones:. (5.11). Es fácil plantear este problema en l a forma normal de un problema de programación l i n e a l , donde las variables de l a función objetivo son las /SPCi y las restricciones lineales vienen dadas por (5.11).. Es de advertir. que en e l algoritmo simplex las variables no pueden ser negativas, s i n em bargo, en nuestro problema es permitido que las A P G i tomen . valores negati vos.. En e l apéndice III' se muestra l a adaptación de nuestro problema par. c i a l a l a forma típica.de un problema de programación l i n e a l . La solución del problema de programación l i n e a l suministra un con junto de correcciones A P G i que, aplicadas a las PGi anteriores, da un nuevo conjunto de potencias generadas PGi nuevas que resulta en un costo de produ-.

(29) -20. ceion menor. Sin embargo, l a aplicación de todas las correcciones no resul t a , en general, consecuente con las leyes eléctricas del sistema de potencia, porque ésto equivaldría a asignar un valor específico a las pérdidas del s i s tema, desconocidas bajo las nuevas condiciones de operación. Lo que se debe hacer es aplicar todas las correcciones menos una y resolver las ecuaciones (3.6), (estudio de flujos) tomando e l nodo que no se corrigló como e l slack para, encontrar su verdadera APG. Entonces,. PGi(nueva) - PGi(vieja) + ¿gGt. i¿ slack. En virtud de que las ecuaciones (3.6) son no lineales, puede suce der, que e l nuevo valor de F sea mayor que e l anterior; l o que indica que l a corrección /\PGi es demasiado grande.. Debe hacerse entonces,. PGi(nueva) - PGi(vieja) + K ApGi, K<1; i¿ slack y un nuevo estudio de flujos.. Esto se repite con valores de K sucesivamente. más pequeños hasta lograr un costo menor. En e l límite, cuando K=0, se ha regresado a l estado o r i g i n a l , indicando que ésta es l a solución más económi ca. Cuando se encuentre un conjunto de K APGi t a l que l a nueva solución tenga un costo menor que l a anterior, se comienza nuevamente e l proceso com pleto a p a r t i r de l a última solución. Por las razone8 expuestas* arriba se deduce que e l mínimo del pro blema l i n e a l y del problema no l i n e a l no coinciden, razón por l a cual las condiciones (5.9) no se cumplen exactamente. A continuación se describe sintéticamente los pasos a seguir para l a solución del problema. 1). Estudio de flujos I n i c i a l , escogiendo PGI, ieG, i^slack, entre límites^ calcular F..

(30) -21-. 2). Para un nodo j cuya PG esté entre límites, escoger. Xj - bj como l a j -. ásima componente del vector [ XJ 3.). Resolver las ecuaciones ( 5 . 6 ) para las demás componentes \í, i - 1, ... n; i *j. 4). Resolver e l siguiente problema de programación l i n e a l Minimizar. 5). Calcular PGi(nueva) - PGi (viejo) + K¿^G. 6). Estudio de flujos para encontrar PG del nodo slack.. 7). Con las nuevas PGi calcular F nuevo. S i Fnuevo> Fviejo, hacer K » %. i. y volver a l a etapa 5 ) .. i j* slack (Inicialmente K * l ) .. Este proceso se continua hasta encontrar que. F nuevo<: Fviejo.. 8). Regresar a l a etapa 2). E l proceso termina cuando, para I K APGi I ^. e, una. tolerancia, no -. se ha logrado que Fnuevo<Fviejo. Explicación adicional. Para encontrar e l valor característico asociado a l a T. raíz cero de l a matriz singular [P'fi] , hay que asignar un valor a r b i t r a r i o a una de las n componentes \i, y a partir de asta, encontrar los demás valores..

(31) -22-. Aqul, a l a componente j se l e asigna e l valor b j , e l costo incrementa! del generador j .. Así, e l término correspondiente de l a función objetivo se. hace cero y e l ¿&Gj puede tomar cualquier valor, cumpliendo siempre con e l principio de optimalldad. Sin embargo, dicha escogencia puede hacerse ar bitrariamente por l o que se dice en e l párrafo anterior a (5.9) 5.2 Problema General. En e l despacho de potencia real y reactiva, las potencias PGi, QGi y los voltajes E l , ieG, van a ser los parámetros de control y su varia ción está restringida dentro' de ciertos límites. 5.2.1. Relación de Compatibilidad Las ecuaciones eléctricas del sistema de potencia son:. PN - P (E,5) X. t. QNi - Qi (E,5) La matrís Jacobiana del sistema (5.12) es:. (5.12).

(32) -23-. (5.13) Si A E. k. es una variación dada en l a magnitud del voltaje en e l nodo k, l a ecuación. ( n + k) puede ser eliminada y e l arreglo (5.13) toma l a siguiente forma:. (5.14) Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones Ax • b, donde l a matriz A, de orden (2n-l) X (2n-l), es singular, (note que las primeras n columnas son linealmente dependientes. Ver apéndice I ) , por l o tanto para que e l sistema sea compatible, se debe cumplir l a t. relación (3.8)..

(33) -24. e l vector característico l a matriz. (2n-l componentes) asociado con l a raíz cero de -. reducida en e l renglón y columna (n+k). La relación de compa. t i b i l i d a d (3.8) en este caso es:. - 0. que es l o mismo que. donde, vector de n componentes. vector de n-1 componentes. Se ha suprimído e l elemento k..

(34) 25-. columna (n+k) del Jacobiano original s i n e l elemento (n+k). S i hacemos,. l a relación de compatibilidad se expresa finalmente como:. (5.15). S i las A. p. i. i. * l. «*». AQi. n. ••• » Ifti. y A ^ k »• relacionan según. (5.15), e l sistema de ecuaciones (5.14) (incógnitas A6¿. n. i " l > ••• ; A E i. i«l, ... n, i^k) tiene solución.. Más generalmente, s i K es e l conjunto de nodos con variación dada en magnip. tud de v o l t a j e y A ». Aft *on variaciones de energía a c t i v a y r e a c t i v a , l a s. condiciones necesarias y s u f i c i e n t e s para que e l sistema de ecuaciones (5.13) tenga solución son:. (5.16). (5.17) *- <it TW**™*^ 7. 0. Matemático. Ahora se replantea e l problema, introduciendo. los nuevos elementos..

(35) -26-. Sumando l a ecuación (5.16) con las NK ecuaciones (5.17) y teniendo en cuen ta que cuando i i G, A P i - A Q i - O. - 0. (5.18). Al igual que antes, e l problema consiste en minimizar l a suma de los costos totales de producción de energía activa, o l o que es l o mismo, minimizar. S i se producen variaciones A P G i , l a variación en F es:. (5.19). Teniendo en cuenta además las variaciones en QGi, ieG y en E i , leK, l a va riación en F correspondiente se puede obtener restando (5.18) de (5.19) (Note que A P i " A P G i , A Q i " AQGi, con PLi • constante, QLi - constante).. (5.20). E. S i F es mínimo, cualquier conjunto de variaciones APi» A Q i i e G , A * ieK, compatible con las restricciones, dará lugar a un A F ^ 0.. De (5.20). pueden deducirse las condiciones necesarias para optimalidad, en l a misma forma que se hizo con (5.9). Iniciando de una solución factible se puede llegar a otra de menor costo por l a minimización de l a función £F. Repitiendo este procedimiento paso a paso, se l l e g a finalmente a l a solución óptima. En cada iteración -.

(36) -27-. debe, entonces, resolverse e l siguiente problema de programación l i n e a l : 1. Minimizar A F - f X A P i . A Q » A E i ). (-5.20). teniendo en cuenta las restricciones lineales PMIN < (Pi + A P i ) < FMAXi QMIN< (Qi + A Q i X Q M A X i EMIN< (Ei + A. E. i. X EMAXi. ieG ieG. (5.21). ieK. y además, cumpliendo con las relaciones de compatibilidad (5.16) y (5.17). En e l apéndice ( I I I ) se indica e l planteamiento del problema en l a forma típica de un problema de programación l i n e a l . La solución del problema de programación l i n e a l suministra un con pi. junto de correccionesA > AQi ieG, A E i ,. ieK, que aplicadas a los valo. res anteriores, darían una solución de menor costo.. Sin embargo, esta so. lución resultante de l a aplicación de todas las correcciones no es compati ble oon las leyes eléctricas de l a red.. 5 , 2. «. 3. Asgortt"?. gotortfo. Podemos c l a s i f i c a r las variables en dos tipos: Y i , que representa a las P i , ieG, i?* slack, E i , ieK, ieG X i , que representa a las Qi, ieG; E i , ieK, i¿G; Pslack. Obsérvese que s i ieG, 1 es un nodo del tipo 1) o del tipo 2) y s i itfG, i es un nodo del tipo 3). Las correeciones¿Yi solución del problema de programación .lineal se aplican <Ur«ctem«nte « sus respectivas variables,.

(37) -28. Con estos nuevos datos se procede a hacer un estudio de flujos para encontrar e l verdadero valor de las X i .. La solución así obtenida -. cumple con las leyes de Kirchoff, aunque no necesariamente es de menor costo que l a anterior debido a l a no linealidad de las ecuaciones de l a red. Otro evento que puede presentarse es que algunas o todas de las nuevas X i violen las restricciones de desigualdad (5.21). Se sugiere en tonces disminuir l a corrección y hacer Y i nuevo - Y i anterior + K A Y i y un nuevo estudio de flujos.. K< 1. Esto se repite con valores de K sucesivamen. te más pequeffos hasta lograr que todas las nuevas variables.Xi estén dentro de l a región permisible.. En e l límite, cuando K"0, se ha regresado a l e s - — -. tado original l o que indica que cualquier movimiento en e l sentido de mini mizar F implica l a violación de alguna restricción. Por l o tanto, ésta es l a solución óptima. Una discusión a l respecto se presenta en l a sección(8.1) Una vez que se ha logrado e l cumplimiento de todas las r e s t r i c c i o nes por medio del procedimiento anterior, puede suceder que e l nuevo valor de F sea mayor que e l anterior. do grande.. Esto indica que l a corrección es aún demasía'. Se debe entonces seguir reduciendo (o comenzar a reducir, según. e l caso) K hasta que F nuevo<F viejo.. De nuevo, en e l límite, cuando K-0,. no se ha hecho ningún movimiento a partir de l a solución factible de l a eta pa anterior, siendo, en consecuencia, ésta l a óptima. Cuando se encuentre algún conjunto de K A Y i t a l que l a nueva so lución factible tenga menor costo que l a anterior, se procede a repetir %<?dp e l procedimiento descrito, a p a r t i r de esta solución..

(38) 29-. A continuación se describe. sintéticamente los pasos a seguir en. l a solución del problema. 1). Estudio de flujos i n i c i a l , asegurándose de que todas las variables Y i , X i , queden entre límites. Calcular F.. 2). Calcular e l vector característico de raíz cero, completa. 3). £x .J, >r. de l a matriz. •. Para cada keK, encontrar e l vector característico de raíz cero, jx^,. j|, de l a matriz reducida | " j J • Son en t o t a l NKvectores. k. 4). Para cooo KeK, calcular. 5). Resolver e l siguiente problema de programación l i n e a l : Minimizar. Sujeto a EMINi - E i < ^ E i < E M A X i - E i ieK PMINi - P61<^ A J. P. i. <. P. M. A. X. i. ". P. G. i. i. e. G. QMINi - QGis^ AQi<QMAXi - QGi ieG.

(39) -30-. 6). Calcular Y i nuevo - Y i viejo + k A Y i (Inicialmente K-l). 7). Con Y i nuevos, hacer un estudio de flujos para encontrar los verdaderos X i nuevos. S i algunas X i violan restricciones, hacer K«=^ y v o l ver a l a etapa 6). Repetir hasta que todas las X i cumplan las restricciones o hasta cuando | K A Y i | ^. s, una tolerancia, en cuyo ca-. so e l proceso termina. 8). Con todas las variables dentro de límites, calcular F nuevo. S i F nuevo> F v i e j o , hacer K-fc y volver a l a etapa 6), repitiendo hasta encontrar que F nuevo<F viejo.. De l o contrario, regresar a l a eta-. pa 2). S i cuano | K A Y i J <^ e aún no se ha logrado que F nuevo F v i e j o , l a solución óptima es l a obtenida en l a etapa 7).. <.

(40) -31-. VI. PROGRAMA PARA COMPUTADORA Para l a solución automática del problema se ha escrito programas. para l a versión FORTRAN (3.2)/ MASTER de l a computadora CD-3300 6.1. Características del programa. A continuación se describen las características más importantes del programa, incluyendo a l f i n a l una relación de las variables utilizadas. 6.1.1 .. Información. Los datos necesarios son: 1). Número t o t a l de nodos y de nodos generadores.. 2). Especificación del tipo de nodo.. 3). Parámetros del sistema de transmisión.. 4). Coeficientes de costo.. 5). Límites superior e i n f e r i o r de potencias activa y reactiva y de voltajes.. 6). Consumo de potencia activa y reactiva en cada nodo.. 6.1.2. Matriz Y-Bus Con los datos de impedáñelas primitivas y susceptancias de las -. líneas se forma l a matriz de admitancias de nodo Y-Bus haciendo uso de l a subrutina REPOL para hacer cambios de coordenadas rectangulares a coordena das polares. 6.1.3.. Estudio de flujos. Se u t i l i z a e l método de Newton con las cantidades expresadas en forma polar*. La matriz Jacobiana completa se calcula y almacén» con e l -.

(41) -32-. nombre AT. Luego, por medio de l a subrutina REDUCE, se elimina los ren glones y columnas que no se necesitan para e l estudio de flujos (Ver sección 3.2).. La matriz resultante se almacena en l a variable AJ.. Las -. ecuaciones (3.6) se resuelven por inversión de l a matriz AJ, utilizando l a subrutina INVER. Las iteraciones del estudio de flujos terminan cuan do las diferencias PE¿ - P¿ y QE - Q¿ son todas más pequeñas que una to ¿. lerancia dada. 6.1.4. Vector característico. a). Para e l problema de Despacho Real se necesita e l vector caract. de raíz cero de l a matriz |^ P¿ J ^«. Para esto se u t i l i z a l a sub. rutina CARACT, con argumentos AT, N. b). En e l problema de Despacho Real y Reactivo hay que calcular tan to vectores característicos como nodos con restricción de volta je mas uno.. En cada caso se u t i l i z a l a subrutina REDUCE para e-. liminar e l renglón y columna correspondientes de l a matriz AT y luego se usa l a subrutina CARACT con argumentos AT, 2N-1. En e l último caso los argumentos son AT y 2N. 6.1.5. Programación l i n e a l .. Una vez formada l a función objetivo y l a matriz de restricciones (ver apéndice III.2) se u t i l i z a l a subrutina SIMPLEX para resolver e l pro blema de programación l i n e a l .. Para entrar a l Simplex, las variables hay. que desdoblarlas en dos partes como se indica en e l apéndice citado. A l a salida se hace provisión para volverlas a integrar..

(42) 33-. 6.2. Diagramas de f l u j o En e l apéndice IV se presentan los siguientes diagramas de f l u j o. macroscópicos. a). Diagrama de f l u j o general para los dos problemas tratados*. b). Estudio de flujos.. c). Cálculo de los vectores característicos para e l problema de Despacho Real y Reactivo.. 6.3. Variables del programa A continuación se definen las variables más importantes utilizadas. en e l programa. N:. Numero t o t a l de nodos del sistema.. NEL:. Número de elementos de l a red.. NG:. Número de nodos generadores.. NSt. Número del nodo slack.. TND:. Especificación del tipo de nodo.. Rj. Resistencia de las líneas.. X:. Reactancia de las líneas.. GT:. Conductancia equivalente entre los nodos y t i e r r a .. BT:. Susceptancia equivalente entre los nodos y t i e r r a .. Y:. Matrís de admitancias de nodo Y-Bus.. TH:. Angulo de las admitancias.. PL:. Potencia activa de carga.. QL:. Potencia reactiva de carga.. PG:. Potencia activa generada.. QG:. Potencia reactiva generada.. PE:. Potencia activa neta». QB:. Potencia reactiva neta..

(43) -34-. P:. Potencia activa calculada, función de voltajes y ángulos.. Q*. Potencia reactiva calculada, función de voltajes y ángulos.. PMAX, PHINt. Límites superior e inferior de potencia activa generada.. QMAX, QMIN:. Límites superior e inferior de potencia reactiva generada.. EMAX, EMINi. Límites superior e i n f e r i o r de voltajes.. ANG:. Angulo del voltaje.. B:. Costo diferencial.. AI:. Matriz Jacobiana completa.. AJ:. Matriz reducida para estudios de f l u j o .. DPQj. Diferencias A P y AQ.. DAE:. Diferencias A. BS:. Tárminos independientes en e l problema de programación l i . E. 5. y A». neal. VS:. Variables del problema de programación real.. D:. Matriz de restricciones.. DS:. Solución del problema de programación l i n e a l .. C:. Coeficientes de l a función objetivo.. AL, T:. Vectores característicos.. COSTO 1, COSTO 2, Costos antes y después de cada c i c l o completo de optimi zación..

(44) 35-. VII. APLICACION Y RESULTADOS. en este capítulo se muestra l a aplicación del método a un s i s t e ma de prueba de 5 nodos cuyo diagrama u n i f i l a r se muestra en l a Fig. 1. Este 8Í8tema ha sido utilizado por otros autores. 1. para probar otros méto. dos de optimización. En las tablas I y I I se dan los datos de impedanclas de las lí neas y las cargas del sistema.. En l a tabla I I I se dan los límites de o-. peraeion y coeficientes de costo. Fig. 1. Sistema de potencia de 5 nodos. TABLA Impedancias en p.u.. I. sobre l a base de. 100 MVA.

(45) -36-. TABLA. II. Especificación de Cargas. T A B L A III Límites de operación y coeficientes de costo. TABLA. IV. Resultados del Flujo de Carga I n i c i a l.

(46) -37-. E l estudio de flujos i n i c i a l se hizo tomando como base las gene raciones mínimas. E l nodo 5 se tomé como e l nodo slack. La tabla IV mues t r a los resultados obtenidos. r. Bajo estas condiciones, e l costo de operación es 976.3397 pesos/ hora.. Obsérvese que l a generación del nodo 5 ha sobrepasado e l límite má. ximo. Se hizo e l despacho de potencia real por e l método descrito y se llegó a l a solución mínima en l a tercera iteración. En todas las iteracio nes, e l costo siempre fue menor que en l a anterior, luego no hubo necesidad de modificar l a corrección (Ver Sec. 5.1.2). En l a tabla V se muestran los resultados en cada iteración. En este ejemplo, como en todos los que se ha tratado, se observa que en l a primera iteración se logre gran acercamiento hacia l a solución óptima. (Tabla V 2a. parte) En l a tabla VI se muestran e l vector característico, y las corre cciones de potencia activa generada y l a función objetivo solución del pro blema de programación l i n e a l , en cada iteración. Prueba de Optimalidad. Con l a notación de l a sección (5.1.1), e l tos 1,4,5) es:. S i multiplicamos este vector por k.

(47) -38-. T A B L A. V.

(48) -39-. cont. Tabla V. TABLA. VI. Resultados del problema de programación l i n e a l. Función objetivo en cada iteración ( A ? ). S* tient. ahora las siguientes relaciones..

(49) -40-. Refiriéndonos a las condiciones de optimalidad (5.9), vemos que las relaciones a) y b) cumplen exactamente (con PG¿ » 0, X¿ puede tomar cualquier valor comparado con b j ) .. La relación 3) no cumple l a condición. de optimalidad. Sin embargo, s i se analiza e l curso de l a variación de APG*» •• observa que está muy próxima a tomar valor positivo.. Que esta. mos muy cerca del mínimo se puede comprobar ya que. esta es l a razón por l a cual, en l a solución f i n a l no se cumple que £¡J* 0. Sin.embargo, e l valor f i n a l A ? es muy pequeño negativo. Obsérvese l a t r a yectoria de A P a través de las iteraciones.. Para todos los fines prácti. cos se puede decir que l a solución f i n a l obtenida es l a óptima. Ejemplo 2. En e l siguiente ejemplo,. a diferencia del anterior, en cada i t e . ración (excepto l a primera) hubo necesidad de alterar l a corrección porque e l costo resultó mayor que en l a iteración anterior.. Se llegó a l mínimo en. l a quinta iteración. E l sistema es e l mismo que e l de l a Fig. 1, con los siguientes cambios en los datos (las cifras entre paréntesis corresponden a las del ejemplo anterior): E j - 1.049 (1.050), E4 - 0.985 (1.05), Q - 17.0 (0.06), Qg - 11.0 (-10.44) a. El estudio de flujos i n i c i a l se hizo en base de las generaciones promedio entre e l límite superior y e l límite i n f e r i o r . slack.. E l nodo 5 se tomó como e l. En l a tabla VII se muestran los resultados obtenidos, donde l a i t e . ración 0 corresponde a i f l u j o de carga i n i c i a l ..

(50) -41T A B L A VII RESULTADOS DEL DESPACHO. REAL PARA EL EJEMPLO 2. Aquí nuevamente ae observa que en l a primera iteración se llega bastante cerca de l a solución óptima. Referencing. 1.. J.F. Dopazo, O.A. K l i t i n , G.W. Stagg, y M. Watson, "An Optimization Tech nique for Real and Reactive Power Allocation." Proc. IEEE, Vol. 55. pp. 1877*1885, Nov. 1967..

(51) -42-. Ejemplo 3. Se aplicó e l método descrito para resolver e l problema de "Des pacho de Potencia Real y Reactiva" utilizando e l mismo sistema de poten c i a con los datos de carga de l a tabla I I . En l a tabla V l I I se muestran loe limites empleados. TABLA. VIII. Especificación de límites. E l estudio de flujos i n i c i a l se hizo en base de las potencias generadas y voltajes en los nodos generadores en sus valores promedios. En l a tabla IX se indican los resultados. TABLA. IX. Flujo de Carga Básico.

(52) -43-. Bajo estas condiciones e l costo total que de 852.59 pesos/hora.. Nótese que. l a generación reactiva del nodo 4 ha violado ligeramente su limite i n f e r i o r . Se llegó a l a solución mínima en l a segunda iteración. Los resultados para cada iteración se muestran en l a tabla X. T A. BL. A. X. Resultados de Despacho Real y Reactivo en cada iteración. Según l a notación de l a sección (5.2.3), las variables X¿ corresponden a Q*, 0,, Eg, E3 y P. ,. B. La solución del problema de programación l i n e a l en cada iteración dio para •atas contidades los valores dados en l a tabla XI. T A B L A. XI. Solución del problema l i n e a l. Una comparación de las tablas X y XI muestra cómo se van confundiendo las soluciones del problema l i n e a l y del no l i n e a l en las cercanías del mínimo..

(53) -44-. VIII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 8.1 Características de convergencia Como se ha observado en e l capítulo de resultados, e l método avan za rápidamente hacia l a solución óptima en l a primera iteración, indepen dientemente del punto de operación i n i c i a l .. Sin embargo, se ha impuesto l a. condición de que l a solución i n i c i a l debe satisfacer todas las r e s t r i c c i o nes.. (En l o que sigue se hace referencia a l a sección 5.2.3). N. Aunque siempre es posible i n i c i a r e l proceso con un conjunto dado de variables Y¿ que estén dentro de sus límites, l a solución de las ecuacio nes no lineales puede dar lugar a valores de las variables X¿ fuera de sus límites, siendo. este e l caso más común.. Se eliminó l a prueba de restricciones de l a etapa 7) del a l g o r i t mo y con esta modificación se trató un ejemplo en e l que inicialmente había cuatro violaciones en las X¿. E l resultado fué que en l a solución mínima no hubo violaciones, dentro de cierto margen de tolerancia. Esta caracte rística es muy importante pues hace a l método más versátil, y es una conse cuencia de l a inclusión de las variables X¿ en l a función objetivo del pro blema de programación l i n e a l , como se entiende de l a discusión que sigue. 8.2 Selección de variables para e l problema de programación l i n e a l . La solución del problema de programación l i n e a l suministra un con junto de correcciones, no todas de las cuales se aplican para no i n t e r f e r i r con las leyes eléctricas de l a red.. Sin embargo, l a inclusión de las varia. bles dependientes X¿ sirve de "ligazón" entre e l problema l i n e a l y e l pro blema no l i n e a l , en e l sentido de que éstas ejercen influencia en l a sele-.

(54) -45-. cción de las variables independientes Y¿ de l a siguiente iteración, logran do así soluciones más cerca de l a f a c t i b i l i d a d .. En caso contrario, (no i n . clusión de las X¿ en l a función objetivo) las variables independientes Y¿ tendrían más "libertad de acción", "olvidándose" de las restricciones que pesan sobre e l resto de variables del problema. 8.3 Detección de Incompatibilidades. A primera v i s t a y antes de cualquier estudio no se puede saber s i los límites de variación (generalmente impuestos por e l usuario) son compa tibles.. E l método detecta esta eventualidad cuando l a solución del proble. ma l i n e a l contiene variables a r t i f i c i a l e s con valor diferente de cero. (La definición de este término se encuentra en e l apéndice I I I ) . 8.4 Nodo 'Slack" En e l proceso de solución se calculan correcciones a las variables PG¿, todas las cuales se aplican menos una, l a correspondiente a l nodo Slack. La escogencia óptima del nodo Slack para estudios de f l u j o de carga ha sido 1. discutido en otros trabajos . En e l problema que nos ocupa, e l c r i t e r i o de selección del nodo Slack se basa, más que en consideraciones de convergencia de l a solución del f l u j o de carga, en relación con las restricciones de po tencia.. La escogencia debe ser t a l que ofrezca e l menor riesgo de violación. del límite superior de potencia activa.. Se desea que, después del estudio. de f l u j o s , PG slack s^PMAX slack se recomienda entonces, que se seleccione e l nodo slack del conjunto de no dos para los cuales l a diferencia PMAX¿ - PG¿ sea mayor que las pérdidas to tales de potencia activa del sistema..

(55) -46-. 8.5 Otras Aplicaciones. E l método se aplica para encontrar e l mínimo de l a función. Otro c r i t e r i o de optimización en sistemas de potencia consiste en minimizar las pérdidas de potencia totales del sistema.. donde. S i éstas se representan por. representa l a demanda t o t a l de potencia activa.. S i ésta es. constante, minimizar Rj. equivale a minimizar,. Como puede observarse, este problema es una particularización del problema original s i se hace,. En este trabajo se ha operado con funciones de costo del t i p o ,. Basta, pues, poner todos los a¿ • 0 y todos los b¿ " 1 (en general, b¿ « k, con k e l mismo para todo i ) , para u t i l i z a r los mismos programas. Se h i c i e ron pruebas en este estudio, llegando a resultados satisfactorios. Referencias 1.. L.L. Freris y A.M. Sasson, "Investigation of the Load-Flow problem," Proc. IEE, Vol. 115, pp. 1459-1470, 1968..

(56) -47. APENDICE. l. LA MATRIZ JACOBIANA ES SINGULAR Los elementos (P¿)ij» ij"l» ••• *»i del jacoblano se pueden dedu c i r derivando (3.5a) respecto a 6.. (I.la). (I.Ib) La suma de los n elementos del renglón 1 es:. según se deduce de (I.la) y ( I . l b ) . Análogamente se demuestra que:. í»l, ..., n. En consecuencia, las primeras n columnas del Jacobiano son linealmente de pendientes, por l o tanto l a matriz completa es singular. Es evidente que cualquier matriz obtenida del Jacobiano eliminan do un renglón y columna de orden i , n«cl^2n, tiene l a misma propiedad y también es singular..

(57) -48-. APENDICE. ALGEgRA. II. mm. RESUMEN Definición.- E l rango de una matriz cuadrada A de orden n, no nula, es i gual a r , e l orden del mayor determinante en A diferente de cero.. Si r<n,. l a matriz se llama singular y contiene r vectores linealmente independientes. Sistema de Ecuaciones Lineales.- Considérese e l sistema de n ecuaciones. li. neales con n incógnitas, AX » b. (H.l). Teorema 1.. La condición necesaria y suficiente para que este sistema tenga A. solución es que l a matriz de coeficientes |^ ~[ y. l a. ampliada con los térmi. nos independientes^ Ai b j tengan e l mismo rango. E l sistema homogéneo AX - 0. (II.2). cumple con esta condición. Teorema 2. La condición necesaria y suficiente para que e l sistema homogéneo (II.2) con n ecuaciones y n incógnitas tenga solución distinta de l a t r i v i a l es que r«cn. Esto implica que e l determinante de A debe ser cero. Vector característico.- Considérese l a transformación l i n e a l. AX - Y. (II.3).

(58) -49. donde A es matriz cuadrada de orden n y X e Y son vectores. Todo vector X t a l que AX - XX. (. T T. ". Se llama vector característico respecto de l a transformación ( I I . 3 ) . Raíces características.. De (II.A) se obtiene AX - XX - (A - XI)X - 0. (II.5). donde I es l a matriz indentidad de orden n. Según e l teorema 2., para que (II.5) tenga solución se requiere que Det El desarrollo de este determinante es un polinomio de grado n en X cuyas raíces se llaman valores característicos de l a matriz A. Las matrices 7. A y A tienen las mismas raices características. Cada raíz característica Xi tiene un vector característico X i asociado a e l l a , cuyas componentes son l a solución de (II.4) con X - X i . S i e l rango de una matriz cuadrada A de orden n es r < n (A es.sin* guiar), a l menos n-r de sus raíces características tienen valor cero. Relación de Compatibilidad. Considérese e l sistema de ecuaciones (II.1) y sea VI e l vector ca racterístico asociado con l a raíz característica X i de A? Entonces, por (II.4)'. T. A V i - Xi V i. i-1. n. (II.6). Las ecuaciones (II.1) pueden escribirse como. X. A. b. ( I I . 7).

(59) -50-. T. Premultiplicando (II.6) por X y teniendo en cuenta (II.7), b. T. T. Vi - U. X Vi. que también puede escribirse como T. T. Xi V i X - V i b. i-1,. T. n. (II.8). T. S i e l rango de A es r-n-1, (A y A son singulares) A tiene por l o menos una raíz característica de valor cero.. Sea ésta XJ y Vj e l correspondiente vec. tor característico. Entonces, por (II.6), T. A VJ - 0. (II.9). Po8t-multiplicando (II.7) por V j , T. T. T. X A Vj - b Vj. (11.10). De (II.9) y (11.10) se deduce que e l vector de términos'Independientes" b de be satisfacer l a relación b. T. Vj - 0. (II. II). Bajo estás condiciones, los dos lados de l a j-ésima ecuación (II.8) son cero, T. T. (note que, en general, V b - b V) lo que permite asignar un valor arbitra r i o a l a incógnita Xj y e l resto de las variables pueden obtenerse de las n-1 ecuaciones restantes (II.8).. E l cumplimiento de l a relación (11.11) asegura. que e l rango de l a matriz original y l a aumentada sea e l mismo. Referencias. 1.. F. Ayres, J r . , "Matrices," McGraw-Hill, 1969.. 2.. A.M. Sasson, "Optimización de Diseño y Operación de Sistemas de Potencia," Instituto Tecnológico de Monterrey, México, Reporte de Investigación 3, 1970..

(60) -51APENDICE. M U. III. PROGRAMAgyOy LINEAL En este apéndice se va a dar un resumen de l a teoría básica de l a. programación l i n e a l y del procedimiento computacional simplex.. Después se. indica l a adaptación de nuestro problema a l a forma canónica. III.l.l. Planteamiento del Problema E l problema general de programación l i n e a l consiste en encontrar. un vector (Xy X j ,. Xj,. x ^ que minimice l a función objetivo l i n e a l. Cj x + C Xg + ... + Cj Xj + ... + C x,^ l. a. n. Sujeto a l a restricciones lineales Xj ^ 0. j - 1 , ..., n. y +. +. +. «xi * i «xa *a «81. +. * l. «38 ^. ••• * i j +. + -. x. «3J. +. +. j X. +. j. x. +. b. n " i. "SI» %. B. ". 8. » e o a. +. Ü * i. a. +. i a *a+ •••. a. ij. x. a. b. j + ••• + i n *n " i. «. 0. %. +. «i %. 3. ^. +. + a. x. b. ••• m j j + •••'+ *mn *n " m. donde las a ^ j , b i y Cj son constantes dadas y m<n y todos los bi> 0. Se u t i l i z a generalmente l a siguiente notación en forma m a t r i c i a l : Minimizar. Sujeto a y. CX. (III.1). X^O. (III.2). AX - b. (III.3a).

(61) -52-. o. XxPi + XaP + ... + x ?. III.1.2. Propiedades de una solución a l problema de programación l i n e a l. a. n. a. - P. (III.3b). 0. Se darán las definiciones y teoremas más importantes que caracte rizan a una solución del problema general de programación l i n e a l . ba de estos teoremas se encuentra en l a referencia. La prue. 1. Definición 1. Una solución factible es un vector X que satisface las con diciones (III.2) y (III.3) Definición 2. Una solución factible básica es una solución factible con no mas de m x¿ positivas. Definición 3. Una solución factible básica no degenerada es una solución factible básica con exactamente m x¿ positivas. Definición 4. Una solución factible mínima es una solución factible que también minimiza (III.1) Teorema 1. E l conjunto de todas las soluciones factibles a un problema de programación l i n e a l. Teorema 2. es un conjunto convexo.. La función objetiva (III.1) asume su mínimo en un punto ex tremo del conjunto convexo K generado por e l conjunto de so luciones factibles a l problema de programación lineal. S i a? sume su mínimo en más de un punto extremo, entonces toma e l mismo valor para toda combinación convexa de estos puntos particulares.. Teorema 3. S i un conjunto de k<m vectores P , P , ... P x. a. encontrado que sea linealmente independiente. k. puede ser y t a l que.

(62) -53-. p. p. * i i + *a*a + ... + % P k " o. p. b. <o " >. y todo x ^ O , entonces e l punto X • (XJ , XG , ..., x^, 0, ... 0) es un punto extremo del conjunto convexo de soluciones factibles.. X es un vector n-. dimensional cuyos últimos n-k elementos son cero. Teorema 4. S i X - (x^, XG, ..., x ) es un punto extremo de K, entonces R. los vectores asociados con x¿ positivos forman un conjunto linealmente inde pendiente ,. Por l o tanto, cuando más m de las X¿ son positivas.. Del anterior teorema se desprende que asociado con cada punto extremo de K hay un conjunto de m vectores linealmente independientes del conjunto dado Pi» Pa , ..., P . n. Teorema 5. E l vector X - (x¿ , XG, ..., x ^ es un punto extremo de K s i y. únicamente s i las xj positivas son coeficientes de vectores linealmente i n dependientes Pj en. III.1.3. Procedimiento Simplex. E l procedimiento Simplex permite obtener una solución factible mí nima en un número f i n i t o s de pasos. Los teoremas enunciados indican que las soluciones de punto extremo, incluyendo l a mínima, tienen m vectores l i n e a l mente independientes asociados con cada una. E l esquema Simplex partiendo de una solución factible básica o de punto extremo, en cada paso encuentra una nueva solución factible cuyo correspondiente valor de l a función objeti vo es menor que e l de l a solución anterior, generando en cada paso m vecto res linealmente independientes distintos..

(63) -54-. Generación de Soluciones de punto extremo Setílenel a solución factible básica i n i c i a l. x. ("lo' ao* ***' "mo» ®» •••» ®) Entonces *io. p. + x. P. i 3 o a +•••. *lo q + donde todas las. X3. 0. + x. mo. C + ... + x a. P. p. m. m Q. - o. C - Z m. Q. 0, C son los coeficientes de l a función objetivo y Z x. 0. es e l valor de l a función objetivo para l a solución dada Como los vectores P , P , ... P son linealmente independientes, x. a. m. cualquier vector del conjunto P , P , ... P se puede expresar en función x. a. n. de P i , P , ... P , como: a. m. XJJ Pj + x a j P a + ... + x m j P m - Pj. j-1,. n. Se define ahora *ij Teorema 6. c. +. i. c. *aj a. +. +. C. z. ••• V j m " j J - l t ...f n. (III.4). S i para cualquier j f i j o se cumple l a condición Zj - C j > 0 ,. entonces un conjunto de soluciones factibles puede ser construido t a l que Z<Z. 0. P. a r a. cualquier miembro del conjunto, donde e l límite i n f e r i o r de Z -. puede ser f i n i t o o i n f i n i t o .. (Z es e l valor de l a función objetivo para -. cualquier miembro del conjunto de soluciones factibles. Teorema 7 se. S i para cualquier solución factible básica X - ( x , x , ...,Xja ). cumplen las condiciones Zj - Cj ^ 0 para todo j - 1 ,. una solución factible mínima.. 1 0. 3 o. n entonces X es. 0.

(64) -55. III.1.4. Procedimiento Computacional Haciendo operaciones sucesivas de pivote, se puede transformar un. sistema l i n e a l. a l a siguiente forma llamada canónica. (una operación -. de pivote consiste en operaciones elementales de renglón que reemplazan un sistema l i n e a l por otro equivalente en que una variable especificada resul ta con coeficiente unitario en una ecuación y cero en las demás): xx. + *i» m+i. + ... + ex , 2^ - b n. x. *a. + «a . m+i i. +. +. + V. m+i Xm+i. b. • • • «3 »n Xn " a. m+. *m. r. +. +. m. ••• « W *n. \. que, en l a notación (III.3b) es, P. * l Pi + ... + \ P + V i m-H. +. m. +. X. P. P. ••• n n " o. Los vectores unitarios ? , .... P sonlinealmente independientes x. m. por l o tanto e l punto X • ( b , ba, ... b , 0, ...» 0) es una solución fac x. m. t i b l e básica. Algoritmo. 1). Para todo j - 1 , ... n, calcular Zj según (III.4) y luego Zj - Cj (note que para las variables básicas, en este caso x , ... x^, Zj - Cj « 0) l. 2). Seleccionar k t a l que, max (Zj - Cj) " Z - C > 0 k. 3). 4). k. Seleccionar r t a l que,. Ejecutar operación de pivote sobre e l elemento a ^ . Todas las opera-.

(65) -56-. ciones elementales de renglón que se efectúan sobre l a matriz A deben también efectuarse sobre e l vector b. 5). Regresar a l a etapa 7) y repetir e l mismo procedimiento sobre e l s i s tema resultante. E l proceso termina cuando, en l a etapa 2), 2j - Cj ^ 0 para todo j , en cuyo caso ésta es l a solución mínima.. III.1.5. Desigualdades. S i e l problema originalmente contiene restricciones de desigual dad lineales del tipo,. Se definen nuevas variables Xhi no negativas, llamadas de holgura, para con v e r t i r l a desigualdad en igualdad:. Estas variables entran eon coeficiente 1 (o -1, según e l caso) en l a ecuación correspondiente y coeficiente 0 en l a demás. En l a función objetivo entran con coeficiente 0. III.1.6. No Restricción de no negatividad.. S i alguna variable del problema o r i g i n a l , xk, no tiene restricción de no negatividad, se expresa como l a diferencia de dos variables no negati vas.

(66) -57-. III.1.7. Bases a r t i f i c i a l e s .. Si e l problema originalmente no contiene una matriz unitaria que pueda ser usada para l a solución básica i n i c i a l , se emplea e l método de l a base a r t i f i c i a l , como sigue: Sea e l problema o r i g i n a l , minimizar sujeto a. Por e l método de l a base a r t i f i c i a l , e l sistema anterior se aumenta en l a • siguiente forma: minimizar. sujeto a. y Al. coeficiente tu se l e da un valor positivo bastante grande.

(67) 58-. S i e l problema es f a c t i b l e , es decir, s i las restricciones son compatibles, en l a solución mínima f i n a l no debe aparecer ninguna variable a r t i f i c i a l con valor positivo. III.2. Normalización del problema. En esta sección se explicará l a organización del problema- de pro gramación l i n e a l planteado en e l paso 5) del algoritmo de l a sección 5.2.3 para ajustarlo a l a forma canónica (III.1). Las mismas explicaciones son válidas para e l problema del paso 4) del algoritmo de l a sección 5.1.2. III.2.1.. Función objetivo. La función a minimizar es. que se puede e s c r i b i r como. donde NG • número de elementos del conjunto G NK • número de elementos del conjunto K. Hay, por l o tanto,. 2NG + NK variables.. Además, como no hay restricción de no negatividad, cada variable debe representarse como l a diferencia de otras dos variables no negativas. Esto es, en forma generalizada:.

(68) -59-. Ahora e l sistema contiene III.2.2. 4NG + 2NK variables.. (III.5). Restricciones Cada variable original tiene l a siguiente restricción, expresada. en forma generalizada:. l a cual se puede representar por las dos desigualdades. Los términos XMAX^ - X y X¿ - XMINj^ van a formar parte del vector de tér ¿. minos independientes b de (111.3a). Mientras las variables cumplen con las restricciones, éstos son positivos.. Por cada una de estas restricciones -. de desigualdad se agrega una variable de holgura para convertirla en igual dad:. Habrá 4NG + 2NK de estas variables. Cada una de las restricciones de igualdad.

(69) -60-. Se puede e s c r i b i r como,. y l a restricción de igualdad. se puede e s c r i b i r como. Por cada restricción de igualdad se agrega una variable a r t i f i c i a l XA¿. Habrá entonces NK+1 de estas variables. En l a figura adjunta se muestra l a matriz de restricciones. para. e l caso particular NG«2, NK»3. A esta matriz hay que agregarle a l a dere cha l a matriz-unitaria correspondiente a l a base i n i c i a l , que está consti tuida por las 4NG+2NK variables de holgura de las restricciones de desi gualdad más las NK+1 variables a r t i f i c i a l e s correspondientes a las r e s t r i cciones de igualdad. En t o t a l , e l número de renglones es m « 4NG + 3NK + 1 y e l número de columnas es n - 8NG + 5NK + 1 III.2.3. Coeficientes de l a función objetivo. La función objetivo aumentada tiene n variables.. Las coeficien-.

(70)

(71) -62-. tes de las primeras 4NG+2NK vienen dados por (III.5); las siguientes 4NG+2NK tienen coeficientes cero por ser variables de holgura y las últi mas NK+1 tienen coeficiente de valor grande por ser variables a r t i f i c i a les. 111.2.4 Vector de términos independientes. Este vector tiene m componentes. Las primeras 2NG+NK son los XMAX - X . Los siguientes 2NG+NK son los X - XMtt^ y las últimas NK+1 t. i. ±. tienen valor cero por corresponder a las restricciones de igualdad (rela ciones de compatibilidad). 111.2.5 Observación Como puede apreciarse, las dimensiones de l a matriz de r e s t r i cciones pueden resultar excesivamente grandes, aún para redes pequeñas, l o que exige que, para l a solución del problema de programación l i n e a l , se ut i l i c e n programas para computadora optimizados, tomando ventaja de l a gran esparcidad de-dicha matriz. Referencias. 1.. S.I. Gass, "Linear Programming," McGraw-Hill Book Company, Inc., 1964.

(72) -63-.

(73) -64-.

(74) -65-. c). Cálculo de V e c t o r e s característicos de una m a t r i z A s i n g u l a r.