MODELOS NO LINEALES. Tema 2: Modelos no lineales. Ana E. Marín Jiménez

(1)

MODELOS NO LINEALES

Tema 2: Modelos no lineales

Ana E. Marín Jiménez

(2)

Modelos no lineales

2.1. Especificaciones no lineales 1. Modelos intrínsicamente lineales

2

1 2

1

i

i i i

i i

i u

i i

y x u

y u

x y x e^β

β β β β β

= + +

=

2. Modelos intrínsicamente no lineales

2

1 2

1

1 ⁱ

i i i

i x i

y x u

y u

e

β β

α β

β β β

γ

+

= + +

= +

+

(3)

Modelos no lineales

2.1. Especificaciones no lineales Ejemplo: Cantidad ofertada y precio

Q P lnQ lnP

5 10 1,609 2,302

6 8 1,791 2,079

7 6 1,945 1,791

9 4 2,197 1,386

12 3 2,484 1,098

15 2 2,708 0,693

18 1,5 2,890 0,405

22 1,5 3,091 0,182

(4)

Modelos no lineales

2.2. Transformación de las variables.

2.2.1. Modelos intrínsicamente lineales.

Transformación de Box-Cox

( )

1

2

1 1

1

2 2

2

1 0

ln 0

1 0

ln 0

y y

y x x

x

λ λ

λ λ λ

λ

⎧ − ≠

= ⎨⎪

⎪ =

⎩

⎧ − ≠

= ⎨⎪

⎪ =

⎩

Modelo Box-Cox:

y

^{( )}^λ¹

= α

₀

+ β x

^{( )}^λ²

+ u

Casos ⇒

(5)

Modelos no lineales

a) Modelo lineal λ λ

₁

=

₂

= 1

Se puede comprobar que en este caso el modelo Box-Cox coincide con el modelo lineal.

En el modelo lineal representa el efecto marginal, es decir, una variación unitaria en la variable x provoca un cambio en la variable e igual a

β

y y x

β = ^∂x ⇒ Δ = Δβ

∂

La elasticidad se define: ^E^x^y ^{y x}

x y

= ∂

∂ entonces ^E^x^y ^x β y

=

(6)

Modelos no lineales

b) Modelo multiplicativo o doblemente logarítmico λ λ

₁

=

₂

= 0

En este modelo representa la elasticidad de y respecto de x.

β

Se puede comprobar que en este caso el modelo Box-Cox coincide con el modelo no lineal:

y = Ax e

^β ^u

β

representa el porcentaje de cambio que se produce en la variable y debido a una variación porcentual en la variable x

(7)

Modelos no lineales

b) Modelo multiplicativo o doblemente logarítmico λ λ

₁

=

₂

= 0

Ejemplos:

Función de demanda de Cobb-Douglas

3 2

1 2 3 ui

i i i

y = β x x e^β ^β

Función de demanda

2

1

ui

i i

y = β x⁻^β e

β <0

(8)

Modelos no lineales

c) Modelo semilogarítmico

c.1) Semilogarítmico en y:

^λ₁ ⁼ ⁰ ^λ₂ ⁼¹

En este caso el modelo Box-Cox coincide con el modelo no lineal

y = e

^{α β}⁺ x u⁺

En este modelo representa la tasa proporcional constante de crecimiento o de decrecimiento debido a un cambio unitario en x.

(

^β

β

^> ⁰

) (

^β ^< ⁰

)

(9)

Modelos no lineales

c) Modelo semilogarítmico

c.1) Semilogarítmico en y:

^λ₁ ⁼ ⁰ ^λ₂ ⁼¹ Ejemplos:

Se usa para recoger el efecto que tienen los años de educación sobre los ingresos

(10)

Modelos no lineales

c) Modelo semilogarítmico

c.2) Semilogarítmico en x:

^λ₁ ⁼¹ ^λ₂ ⁼ ⁰

ln

y = + α β x u +

En este modelo la variación que se produce en y provocada por una variación en x es inversamente proporcional al valor de x.

(11)

Modelos no lineales

c) Modelo semilogarítmico

c.2) Semilogarítmico en x:

^λ₁ ⁼¹ ^λ₂ ⁼ ⁰ Ejemplos:

Este modelo se usa para explicar el gasto en un determinado tipo de bien en función de la renta

(12)

Modelos no lineales

y 1 u

α β x

= − +

En este modelo la variación que se produce en y provocada por una variación en x es inversamente proporcional al cuadrado de x.

d) Modelo recíproco o hipérbola:

λ1 =1 λ2 = −1

(13)

Modelos no lineales

Ejemplos:

d) Modelo recíproco o hipérbola:

λ1 =1 λ2 = −1

Este modelo se utiliza para representar la curva de PHILLIPS donde se relaciona la tasa de variación de los salarios o la tasa de inflación respecto al reciproco de la tasa del desempleo

Este modelo se utiliza para estudiar el consumo de alimentos en función de la renta, es adecuado para gastos en bienes normales

(14)

Modelos no lineales

x u

y e

α− +β

=

En este modelo la tasa de crecimiento que se produce en y provocada por una variación en x es inversamente proporcional al cuadrado de x.

e) Modelo logarítmico-recíproco:

λ1 = 0 λ2 = −1

(15)

Modelos no lineales

e) Modelo logarítmico-recíproco:

λ1 = 0 λ2 = −1 Representación gráfica:

(16)

Modelos no lineales

Ejemplos:

f) Modelo potencial o parábola:

y = β β1 + 2x + β3x² +u

Se usa para representar la relación entre la renta media y la edad media y para recoger la relación de las ventas de un producto en el tiempo, ya que a partir de un momento las ventas disminuyen

Se usa para representar la relación entre los costes variables medios y la producción

(17)

Modelos no lineales

g) Modelo con término de iteración:

^y ⁼ ^{β β}₁ ⁺ ₂^x₂ ⁺ ^β_{3 3}^x ⁺ ^β₄^{x x}_{2 3} ⁺ ^u En este caso el cambio en E(y) correspondiente a un cambio

unitario en x₂ depende del valor de x₃, y viceversa.

2 4 3

2

3 4 2

3

y x

x

y x

x

β β β β

∂ = +

∂

∂ = +

∂

ambas derivadas representan una función lineal con igual pendiente

( )

β4

La transformación para linealizar el modelo consiste en x₂x₃ = x₄

(18)

Modelos no lineales

2.2.2. Modelos intrínsicamente no lineales.

La estimación de los parámetros de los modelos no lineales se puede realizar desde diferentes ópticas:

a) Mínimos cuadrados no lineales.

b) Método del desarrollo en serie de Taylor.

c) Máxima verosimilitud

Mediante estos procedimientos se obtiene un sistema de ecuaciones normales que será necesario resolver para obtener las estimaciones de los parámetros. Debido a que estos sistemas serán normalmente no lineales respecto de los parámetros es necesario utilizar algoritmos de cálculo que mediante la prueba y el error permiten obtener dichas estimaciones.

(19)

Modelos no lineales

a) Mínimos cuadrados no lineales

Queremos estimar el siguiente modelo:

y

_i

= β

₁

+ x

_i^β²

+ u

_i

De forma genérica quedaría expresado:

( ) ^, ^1, ^,

i i i

y = f x β + u i = … n

(f es una función no lineal) En nuestro ejemplo:

1 2

1

i

x x

β β

β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

El método de Mínimos Cuadrados No Lineales (MCNL) consiste en minimizar la SCR:

( )

²

( )

²

2

ˆ , ˆ

i i i i i

e = y − y = ^⎡ ⎢ ⎣ y − f x β ^⎤ ⎥ ⎦

∑ ∑ ∑

(20)

Modelos no lineales

a) Mínimos cuadrados no lineales

Tomando derivadas respecto de cada parámetro e igualando a cero:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 , ˆ

2 , ˆ 0 1, ,

ˆ ˆ

, ˆ

, ˆ 0

ˆ

ˆ ˆ

, ,

, ˆ

ˆ ˆ

i i

j j

i

i i

j

i i

j j

e f x

y f x j k

f x y f x

f x f x

y f x

β β

β

β β

β β β

⎡ ⎛∂ ⎞⎤

∂∂ = − ⎢⎢⎢⎡⎢⎣ − ⎤⎥⎦⎜⎜⎜ ∂ ⎟⎟⎟⎥⎥⎥ = =

⎝ ⎠

⎣ ⎦

⎛∂ ⎞

⎜ ⎟

⎡ − ⎤⎜ ⎟=

⎢ ⎥

⎣ ⎦⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎛∂ ⎞⎤ ⎡ ⎛∂ ⎞⎤

⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥

⎢ ⎜ ∂ ⎟⎥= ⎢ ⎜ ∂ ⎟⎥

⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑

∑

∑ ∑

…

Matricialmente: ^⎛^⎜^⎜_⎜^δ ^f_δβ

( )

_ˆ^β^ˆ ^⎞^⎟^⎟_⎟^' ^y ⁼ ^⎛^⎜^⎜_⎜^δ ^f_δβ

( ) ( )

_ˆ^β^ˆ ^⎞^⎟^⎟_⎟^' ^{f X}^,^β^ˆ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La solución a este sistema de ecuaciones es el Estimador Mínimo Cuadrático No Lineal (EMCNL)

(21)

Modelos no lineales

a) Mínimos cuadrados no lineales

En nuestro ejemplo el sistema de ecuaciones normales es:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

2

2 2 2

2

ˆ

ˆ 1 ˆ

1 1

1

ˆ

ˆ 1 ˆ ˆ

1 1

2

ˆ 1

, ˆ

, ˆ 0

ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ

ˆ ˆ ln 0

ˆ ˆ

i

i i

j

i

i i i i

i

i i i i i i

i i

f x

y f x

x

y x y x

x

y x y x x x

y x

β

β β

β

β β β

β

β β

β

β β β

β

β β β

β β

⎛∂ ⎞

⎜ ⎟

⎡ − ⎤⎜ ⎟ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

⎧ ⎛∂ + ⎞

⎪ ⎡ − + ⎤⎜ ⎟ = ⎡ − + ⎤ =

⎪ ⎣ ⎦⎜⎜ ∂ ⎟⎟ ⎣ ⎦

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ ∂ +

⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎪ ⎣ − + ⎦⎜ ∂ ⎟ = ⎣ − + ⎦ =

⎪ ⎜⎝ ⎟⎠

⎩

⎡ − + ⎤

⎣ ⎦

∑

∑ ∑

( )

[ ]

( )

2

2 2 2 2 2

ˆ 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1

0 ˆ

ˆ ln 0 ln ˆ ln

i i

i i i i i i i i i i

y x

y x x x y x x x x x

β

β β β β β

β

β β

⎫ ⎧ ⎡ ⎤

= ⎪⎬⇒ ⎪⎨ = ⎣ + ⎦

⎡ − + ⎤ = ⎪ ⎪ ⎡⎣ ⎤⎦ = ⎡ + ⎤

⎣ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

(22)

Modelos no lineales

a) Mínimos cuadrados no lineales

Matricialmente:

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

2

' '

ˆ

1 1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 1 1 ˆ

1

ˆ ˆ

, ˆ

ˆ ˆ

ˆ

1 1 1 1

ln ln ln ln

n n n n ˆ

n n

f f

y f X

y x

x x x x x x x x

y x

β

β β β β

β

δ β δ β

δβ δβ β

β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ + ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ + ⎟

⎝ ⎠

Este sistema de dos ecuaciones es no lineal en los estimadores de los parámetros (que son las incógnitas del sistema) y por tanto no se puede obtener una expresión explícita para dichos estimadores, habrá que utilizar métodos de optimización para obtener las estimaciones.

(23)

Modelos no lineales

a) Mínimos cuadrados no lineales

Ejercicio 1: Obtener el sistema de ecuaciones normales del modelo no lineal:

xi

i i

y = α e

^β

+ u

(24)

Modelos no lineales

b) Método del desarrollo en serie de Taylor

Cualquier función no lineal se puede expresar mediante un desarrollo en serie de Taylor:

( ) ( ) ( ) ( ) (

^'

)

² ^''

( ) ( ) ( )

2! !

k

x a x a k

f x f a x a f a f a f a R

k

− −

= + − + + +… +

Donde a es un valor fijo en el dominio de x, y R es un residuo.

En nuestro modelo econométrico no lineal con k parámetros tendríamos que:

( )

₁

^{( )} ⁽ ⁾

₁

^{( )}

²

⁽ ⁾

²

ˆ ˆ

, 1 ,

ˆ ˆ ˆ

, 2!

j j j j

k k

i i

i i j j j j i

j j j j

f x f x

y f x u

β β β β

β β

β β β β β

β β

= =

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂′′ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= + − + − + +

∂ ∂

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

^…

Donde los valores fijos en el dominio de cada son las estimaciones

β j

ˆj

β

(25)

Modelos no lineales

b) Método del desarrollo en serie de Taylor

Los dos primeros elementos del desarrollo anterior proporcionan una aproximación lineal de la función lineal, por lo que podemos eliminar el resto y reagrupar.

( ) ^{( )} ^{( )}

ˆ ˆ

, ,

ˆ ˆ

,

j j j j

i i

i i i

f x f x

y f x u

β β β β

β β

β β β

β β

= =

′ ′

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− + = +

⎜ ∂ ⎟ ⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dado un valor inicial o primera aproximación del estimador se podrían evaluar las derivadas y así calcular el primer miembro de la expresión, que se puede denotar:

( ) ^{( )}

*

ˆ

ˆ , ˆ

,

j j

i

i i i

f x

y y f x

β β

β β β

β =

⎛ ∂ ⎞′

⎜ ⎟

= − +

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

Y el segundo miembro: *

( )

ˆ

,

j j

i i

f x x

β β

β

β =

⎛ ∂ ⎞′

⎜ ⎟

′ = ⎜⎝ ∂ ⎟⎠

β

ˆ

(26)

Modelos no lineales

b) Método del desarrollo en serie de Taylor

A continuación podríamos aplicar mínimos cuadrados al modelo linealizado:

* *

i i i

y = x β + u

Resumen:

Se puede decir que este procedimiento consiste en la linealización mediante un desarrollo en serie de Taylor en torno a un valor de prueba inicial del vector de parámetros y a continuación se aplica MCO obteniendo estimaciones iniciales de los parámetros, se repite el proceso hasta la convergencia. Este proceso tiene la ventaja de que se pueden usar los estadísticos usuales, R2, t-Student, etc.

(27)

Modelos no lineales

b) Método del desarrollo en serie de Taylor

Ejercicio 2: Obtener la aproximación lineal mediante el desarrollo en serie de Taylor del modelo:

i i i

y = + α x

^β

+ u

Ejercicio 3: Obtener la aproximación lineal mediante el desarrollo en serie de Taylor del modelo:

i i i

y = + α β x + u

(28)

Modelos no lineales

c) Máxima verosimilitud

Suponiendo

(

^0, ²

)

u → N σ I

La función de verosimilitud es:

( ( ) )

²

2

2 2

1 ,

2 exp 2

n

i i

y f x L

β

πσ σ

⎡− − ⎤

⎛ ⎞ ⎢ ⎥

= ⎜⎝ ⎟⎠ ⎢⎢⎣ ⎥⎥⎦

∑

Tomando logaritmos neperianos:

( ( ) )

²

2

ln ln 2 ln 1 ,

2 2 2 ⁱ ⁱ

n n

L π σ y f x β

= − − − σ

∑

−

(29)

Modelos no lineales

c) Máxima verosimilitud

( ( ) )

2

2 2 4

ln 1 , 2 0

ln 1 1

, 0

2 2

i i

y f x L

L y f x

β

β σ β

σ σ σ β

⎧∂ ∂ −

⎪ = − =

⎪ ∂ ∂

⎨⎪∂

= − + − =

⎪ ∂

⎩

∑

Así se obtiene un sistema de k+1 ecuaciones y k+1 incógnitas.

El problema para resolver este sistema es que son, normalmente, ecuaciones no lineales respecto de los parámetros y la solución algebraica es difícil, por lo que será necesario utilizar un procedimiento iterativo de prueba y error para obtener las estimaciones.

Derivando con respecto de y deβ σ ²

(30)

Modelos no lineales

c) Máxima verosimilitud

Ejercicio 4: Obtener el sistema de ecuaciones del EMV de la función:

xi

i i

y = α e

^β

+ u

(31)

Modelos no lineales

2.3. Optimización no lineal.

Sea la función objetivo y el vector de k parámetros.

El objetivo de la optimización no lineal consiste en maximizar (o en minimizar , según el caso).

Las condiciones de máximo son:

( )

f θ

θ

( )

f θ

( )

f θ

−

2

0

n

f

θ

θ θ θ

⎧ ∂ ⎛ ⎜ ⎞ = ⎟

⎪ ∂ ⎝ ⎠

⎪ ⎨

⎛ ∂ ⎞

⎪ ⎜ ⎟ <

⎪ ⎝ ∂ ∂ ′ ⎠

⎩

(32)

Modelos no lineales

a) Algoritmo de Newton-Raphson.

Este método consiste en la aproximación mediante un desarrollo cuadrático en serie de Taylor entorno al estimador ^β^ˆ

( ) ( ) ^{( )} ( ) ( )

²

^{( )} ( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ

2

f f

β β

β β β β β β β β

β β β

⎛ ∂ ⎞ ′⎛ ∂ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

≈ + − + − −

⎜ ∂ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ′ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

f β Es la suma de cuadrados de las perturbaciones

( )

^ˆ

f β Es la suma de cuadrados de los residuos que se pretende minimizar

El vector representa el mínimo de la función f, y por tanto la primera derivada de dicha función será nula en ese punto

βˆ

( )

ˆ

0 f

β

β β

⎛ ∂ ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

(33)

Modelos no lineales

a) Algoritmo de Newton-Raphson.

Quedando:

( ) ( ) ( )

²

^{( )} ( )

ˆ

ˆ 1 ˆ ˆ

2

f

f f

β

β β β β β β β

β β

⎛ ∂ ⎞

′ ⎜ ⎟

≈ + − −

⎜ ∂ ∂ ′ ⎟

⎝ ⎠

Derivando respecto de se obtiene:β

( )

²

( ) ( )

ˆ

f f ˆ

β

β β

β β β β β

⎛ ⎞

∂ ∂

⎜ ⎟

= −

⎜ ′ ⎟

∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠

Operando y despejando

( )

²

( )

²

( )

²

( )

¹

( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

f f f f f

β β β

β β β β β

β β β β

β β β β β β β β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − ⇒ = −

′ ′ ′

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂

Dando un valor inicial de se plantea un procedimiento iterativoβ

( )

¹

( )

2

1

ˆ

ˆ ˆ

n

n n

f f

β

β β

β β β

−

+

⎛ ∂ ⎞ ∂

⎜ ⎟

= −

⎜ ∂ ∂ ′ ⎟ ∂

⎝ ⎠

(34)

Modelos no lineales

b) Algoritmo de Gauss-Newton.

Este método consiste en la aproximación lineal del desarrollo en serie de Taylor entorno al estimador ^β^ˆ

( ) ( ) ^{( )} ( )

ˆ

ˆ ˆ

i

f

f f u

β

β β β β β

β

⎛ ∂ ⎞

⎜ ⎟

= + − +

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

( )

f β Es la suma de cuadrados de las perturbaciones

( )

^ˆ

f β Es la función a estimar y no la suma de cuadrados de los residuos como en el método anterior

La expresión del algoritmo de Gauss-Newton es:

( ) ( ) ( )

1

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

n

n n n i

f f

f u

β

β β

β β β

β β

−

+

⎛ ⎛ ∂ ⎞⎛ ∂ ⎞′ ⎞

⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟

= +⎜⎜⎝ ⎜⎝ ∂ ⎟⎜⎠⎝ ∂ ⎟⎠ ⎟⎟⎠ ∂

∑ ∑

(35)

Modelos no lineales

Criterios de convergencia

1. Los valores de los parámetros se estabilizan.

2. El valor de la función objetivo se estabiliza.

3. El valor del gradiente está próximo a cero.

4. Se alcanzó el número máximo de iteraciones.

Estos métodos no siempre son estacionarios, es decir, no son convergentes. Por ello se requiere establecer a priori unos criterios que permitan finalizar el proceso iterativo cuando no se alcanza dicha convergencia. Estos criterios son:

(36)

Modelos no lineales

2.4. El uso de variables dicotómicas y modelos no lineales.

Funciones quebradas o spline

Las variables ficticias se pueden usar para expresar la relación no lineal entre la variable dependiente y la variable explicativa. Para ello se usa la regresión por tramos, quebrada o spline.

Esta regresión consiste en unir funciones, normalmente lineales, de forma que se adapten a la nube de puntos de la variable dependiente respecto de la variable explicativa.

(37)

Modelos no lineales

En este ejemplo:

Ajustamos tres rectas a la nube de puntos y por tanto tenemos dos puntos de unión cuyas coordenadas son x₁^* y x₂^*. El modelo que ajustaríamos es:

(

^*

) (

^*

)

0 1 2 1 1 3 2 2

i i i i i i i

y = α + β x + β x − x D + β x − x D + u

Donde D_1i y D_2i son dos variables ficticias.

(38)

Modelos no lineales

D_1i y D_2i toman los valores:

* *

1 2

1

* 2 2

1

0 otro caso 1

0 otro caso

i i

x x x

D

x x D

⎧ ≤ <

= ⎨⎩

⎧ ≤

= ⎨⎩

Dependiendo de los valores que tomen estas variables ficticias tenemos que el valor esperado de la función es:

(

ⁱ ^/ ¹ⁱ ^0, ²ⁱ ^{0, ,}ⁱ ¹^*^, ²^*

)

⁰ ¹ ⁱ

E y D = D = x x x =α + β x que representa el primer tramo

(39)

Modelos no lineales

(

ⁱ ^/ ¹ⁱ ^1, ²ⁱ ^{0, ,}ⁱ ¹^*^, ²^*

) (

⁰ ^{2 1}^*

) ⁽

¹ ²

⁾

ⁱ

E y D = D = x x x = α − β x + β β+ x

que representa el segundo tramo

(

ⁱ ^/ ¹ⁱ ^0, ²ⁱ ^{1, ,}ⁱ ¹^*^, ²^*

) (

⁰ ^{3 2}^*

) ⁽

¹ ³

⁾

ⁱ

E y D = D = x x x = α − β x + β β+ x

que representa el tercer tramo

MODELOS NO LINEALES. Tema 2: Modelos no lineales. Ana E. Marín Jiménez