MECANICA y MECANISMOS Trabajo Práctico: Mecanismos y Biela manivela 2022

MECANICA y MECANISMOS

Trabajo Práctico: Mecanismos y Biela manivela – 2022

Ejercicio Nº1

Sea el mecanismo biela manivela de la figura que corresponde a un sistema monocilíndrico, accionado por un motor eléctrico que hace rotar la manivela OC.

Lbiela = BC = 200 mm.

Lmanivela = R = 60 mm.

= 147 rad/s

a- Graficar la posición, velocidad y aceleración del pistón entre 0 y 360º.

b- Analizar simultáneamente los gráficos de velocidad y aceleración, reparando en los signos que toman dichas variables para los siguientes ángulos 50º, 120º y 300º. Explicar las razones de los signos obtenidos en cada punto.

c- Calcule los vectores velocidad y aceleración del punto C en función del ángulo de rotación (50º, 120º y 300º).

d- Si se agrega una aceleración angular de la manivela de 10 rad/s2, recalcular los vectores velocidad y aceleración de los puntos B y C.

---

La esbeltez queda:

𝜆 =𝐿

𝑅=200

60 = 3,33

a) La posición está dada por:

𝑥 = 𝑅 ∙ [(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) + 1

4𝜆∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)]

Reemplazando valores se obtiene la curva:

B

O

C ω θ

PMS Y

X

La velocidad está dada por:

𝑥̇ = 𝑅 ∙2𝜋 ∙ 𝑁

60 ∙ [𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 + 1

2𝜆∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝜃]

Y la aceleración está dada por:

𝑥̈ = 𝑅 ∙ (2𝜋 ∙ 𝑁 60 )

2

∙ [𝑐𝑜𝑠𝜃 +1

𝜆∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃]

0 0,05 0,1 0,15

0 2 4 6 8

Desplazamiento [m]

Tita [rad]

Desplazamiento

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 2 4 6 8

Velocidad [m/s]

Tita [rad]

Velocidad

b) Para el caso de 50º

Para este caso la velocidad y la aceleración son positivas, o sea que el sistema esta ganando velocidad. Ambas variables son positivas porque los sentidos de ambos vectores son descendentes.

Para el caso de 120º

En este caso la velocidad es positiva y la aceleración es negativa, o sea que el pistón está perdiendo velocidad o sea que está frenando. Como la velocidad es positiva, significa que es descendente, en el caso de la aceleración, esta es ascendente.

c) Para calcular los vectores velocidad y aceleración se pueden utilizar ecuaciones simples y descomponer geométricamente (componente (X; Y)). Como es en componentes, ω para los cálculos, se toma positivo. Si lo calcularía con ecuaciones vectoriales, ω se tiene que poner como negativo

𝑥̇_𝐶 = 𝜔 ∙ 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝜃) ; 𝜔 ∙ 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 2− 𝜃) 𝑥̇_𝐶 = 8,82 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝜃) ; 8,82 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 2− 𝜃)

𝑥̈_𝐶 = 𝜔²∙ 𝑅 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃; −𝜔²∙ 𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥̈_𝐶 = 1296,5 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃; −1296,5 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 -1500,0

-1000,0 -500,0 0,0 500,0 1000,0 1500,0 2000,0

0 2 4 6 8

Aceleración [m/s]

Tita [rad]

Aceleración

d) Para calcular los vectores velocidad y aceleración cuando se tiene aceleración angular, se debe utilizar las ecuaciones de CAP.

𝑉_𝐶

̅̅̅ = 𝑉̅̅̅ + 𝜔̅ ∧ (𝐶 − 𝑂_𝑂 ̅̅̅̅̅̅̅̅)

𝑎̅_𝐶 = 𝑎̅̅̅̅ + 𝜔_𝑂 ̅̅̅̅̅̅̅⋀(𝑉_𝑚𝑎𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + 𝜔_𝐶− 𝑉_{𝑜 𝑚𝑎𝑛}̇ ⋀(𝐶 − 𝑂̅̅̅̅̅̅̅̅) 𝑉_𝐵

̅̅̅ = 𝑉̅̅̅ + 𝜔_𝐶 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∧ (𝐵 − 𝐶_{𝐵𝑖𝑒𝑙𝑎} ̅̅̅̅̅̅̅̅)

𝑎̅_𝐵 = 𝑎̅̅̅ + 𝜔_𝐶 ̅̅̅̅̅̅̅̅⋀(𝑉_{𝐵𝑖𝑒𝑙𝑎} ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + 𝜔_𝐵− 𝑉_{𝐶 𝐵𝑖𝑒𝑙𝑎}̇ ⋀(𝐵 − 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅)

Ejercicio 2:

Sea el mecanismo biela manivela de la figura que corresponde a un sistema monocilíndrico que mueve una masa M y es accionado por un motor eléctrico que mueve la manivela OC

M = 3 Kg.

Mpistón = 0,5 Kg.

Mbiela = 1 Kg.

Lbiela = BC = 200 mm.

Dist B-CGb = 115 mm Dist B-E = 135 mm.

Mmanivela = 0,8 Kg.

Lmanivela = R = 60 mm.

CGm = Lm / 2

E = centro de percusión σmaterial = 2400 Kg/cm2 N = 1400 rpm (sentido horario)

a- Hallar el Torque máximo y la Potencia media necesaria del motor eléctrico que

acciona la manivela del mecanismo para mover alternativamente la masa M. Graficar el torque y la potencia entre 0º y 360º.

b- Dimensionar el perno del pistón B (considerar las cargas de inercia máximas actuantes como cargas estáticas, buscando los máximos entre 0 y 360º).

c- Dimensionar la sección de la biela (suponer sección cuadrada, buscando los máximos entre 0 y 360º).

(Tener en cuenta que dependiendo del ángulo que toma la manivela, la aceleración en el punto B cambia de sentido y por lo tanto la fuerza de inercia que se genera puede solicitar a tracción o a compresión la biela). Dimensionar además para los tres puntos particulares cuando la manivela toma los ángulos de 45º, 100º y 235º, esquematizando la fuerza que actúa sobre la biela e indicando si la biela está a tracción o compresión.

d- Dimensionar el perno de la manivela para los casos de 0º, 45º, 100º y 235º de posición de la manivela.

Esquematizar las fuerzas que actúan sobre el perno de la manivela.

e- Hallar el tipo y magnitud de cada una de las tensiones que se generan en la manivela (suponer sección cuadrada) para los casos de 0º, 45º, 100º y 235º de posición de la manivela. Esquematizar las fuerzas que actúan sobre la manivela

f- Calcular las reacciones de vínculo en el punto O de la manivela para los casos de 0º, 45º, 100 y 235º de posición de la manivela. Esquematizar las reacciones de vínculo.

a) La potencia está dada por:

𝑃𝑜𝑡 = 𝑀_𝑡∙ 𝑤

Donde el torque se obtiene partiendo de la ecuación de la página 24 del apunte, pero agregando la masa M en la expresión de Fb:

𝑀_𝑡= 𝐹_𝑏⋅ 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 𝜃 + 𝛽)

𝑀_𝑡 =(𝑀𝑃 + 𝑀_𝑏^𝐵+ 𝑀) ⋅ 𝑋^••

𝑐𝑜𝑠 𝛽 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 𝜃 + 𝛽)

Reemplazando en la ecuación de la potencia:

𝑃𝑜𝑡 =(𝑀𝑃 + 𝑀_𝑏^𝐵+ 𝑀) ⋅ 𝑋^••

𝑐𝑜𝑠 𝛽 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑠𝑒𝑛( 𝜃 + 𝛽) ∙ 𝑤

Reemplazando valores y graficando entre 0 y 360º.

El máximo de la cupla es 198 Nm.

-40000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000

0 1 2 3 4 5 6 7

Potencia [W]

Tita [rad]

Potencia

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

0 1 2 3 4 5 6 7

Cupla [Nm]

Tita [rad]

Cupla

Para encontrar el valor medio hay que aplicar algún teorema de valor medio.

b) La fuerza que pasa por el perno será la de inercia debidas a las masas involucradas, o sea M y MP (considerar que el perno es el vínculo entre el conjunto (Masa M y Pistón) con la biela:

𝐹_𝑖𝑝 = (𝑀𝑃 + 𝑀) ⋅ 𝑋^••

Pero la fuerza máxima que verá el perno va a ser:

𝐹_𝑖𝑝

𝑐𝑜𝑠 𝛽=(𝑀𝑃 + 𝑀) ⋅ 𝑋^••

𝑐𝑜𝑠 𝛽

Debido a que la Fip es la componente en X de una fuerza resultante que esta en la dirección de la biela.

Una vez que vemos cual es la función de la fuerza que pasa por el perno, podemos plantear las tensiones que soportará dicha pieza, que serán de corte:

𝜏 =4 3

𝐹_𝑖𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝛽

⁄ 𝐴

Graficando o maximizando en función de tita se puede encontrar el valor máximo de la fuerza:

Considerando que constructivamente el perno posee dos secciones trasversales (ver figura inferior) obtenemos:

𝜏 =4 3∙

𝐹_𝑖𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝛽

⁄

2 ∙ 𝐴 =4

3∙5869𝑁 2 ∙ 𝐴

A falta de un valor de referencia de la tensión de corte, se puede asumir que dicha tensión es la mitad de la tensión normal:

𝜏 =𝜎 2=4

3∙5869𝑁 2 ∙ 𝐴

2400𝑘𝑔/𝑐𝑚2

2 = 117,7𝑀𝑃𝑎 =4

3∙5869𝑁 2 ∙ 𝐴

Despejando:

𝐴 = 33,2 𝑚𝑚² -4000

-2000 0 2000 4000 6000 8000

0 2 4 6 8

Fuerza [N]

Tita [rad]

Fip/Cosb

c) En el caso de la biela la fuerza que la atraviesa debe contemplar además de la fuerza que ve el perno del pistón, la de inercia debida a la masa de la biela en el punto B:

𝐹_𝑏=(𝐹_𝑖𝑝+ 𝑀_𝑏^𝐵∙ 𝑥̈) 𝑐𝑜𝑠 𝛽

⁄

Debido a que la biela soporta cargas de tracción y compresión:

𝜎 =𝐹_𝑏 𝐴 =

(𝑀𝑃 + 𝑀_𝑏^𝐵+ 𝑀) ⋅ 𝑋^••

𝑐𝑜𝑠 𝛽

⁄ 𝐴

La fuerza máxima a la tracción es de 6582N:

235,4𝑀𝑃𝑎 =6582𝑁 𝐴

Despejando: A = 27,9 mm²

Considerando la sección cuadrada: A= b² b = 5,3 mm -6000

-4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000

0 2 4 6 8

Fuerza [N]

Tita [rad]

Fb

Caso tita=45º:

Para este caso la aceleración es positiva, por lo cual, si se hace el planteo de cuerpo libre para el pistón, vemos que para acelerar al mismo en la dirección de X positivo tenemos que aplicar una fuerza descendente en el sentido de la biela.

Cuando realizamos el mismo planteo para la biela como la F es una fuerza interna, al cambiar de cuerpo, se debe invertir el sentido:

Al observar el diagrama de cuerpo libre de la biela podemos concluir que está sometida a tracción.

d) Para el caso del perno de la manivela, expondremos el caso para tita=45º, para el resto se procede de la misma forma.

En el perno cuando nos paramos del lado de la manivela tendremos la fuerza de la biela, la cual la descomponemos en una componente radial y otra tangencial al usar una terna intrínseca sumamos componentes en ambos ejes (tangencial y radial). La resultante vectorial de la fuerza de la biela Fb y de la centrífuga de la manivela será la fuerza que verá el perno (Fmm). En la figura siguiente se ve el perno de la manivela, pero parados desde la manivela, por eso la fuerza Fb tiene el sentido contrario al que se aprecia en la figura de arriba. En la misma figura en gris se ve la dirección de la biela.

Planteando la fuerza F^mm como la suma de las componentes de F^b y de la centrífuga en la terna intrínseca queda:

𝜏 =4 3∙

√𝐹_𝑡²+ (|𝑀_𝑏^𝐶∙ 𝜔²∙ 𝑅| + |𝐹_𝑟|)² 𝐴

Reemplazando valores y considerando nuevamente que hay dos áreas trasversales:

𝜏 =4

3∙√3077²+ (742 + 1984)² 2 ∙ 𝐴

Despejando el área y contemplando que la tensión de corte es la mitad de la normal:

A = 23,3 𝑚𝑚²

e) El dimensionado de la manivela se puede realizar haciendo el planteo de cuerpo libre de la manivela (para 45°) y considerando que como caso más desfavorable toda la masa de la manivela está concentrada en el punto C:

En función de las fuerzas tangenciales y radiales se obtiene tensiones de corte puro debido a las fuerzas tangenciales y de flexión compuesta, debido a la tracción de las fuerzas radiales y la flexión simple de las fuerzas tangenciales, o sea:

𝜎 =(𝑀_𝑏^𝐶+ 𝑀_𝑚) ∙ 𝜔²∙ 𝑅 + 𝐹_𝑟

𝐴 +𝐹_𝑡∙ 𝑅 ∙ 𝑦

𝐽 𝜏 =𝐹_𝑡

𝐴

f) Las reacciones en el punto O son las fuerzas que equilibran la manivela, planteadas en componentes de una terna intrínseca o en los ejes X e Y (para 45º):

El momento torsor sobre el punto O es el que asegura que la manivela gire a velocidad constante.