Tema 5 : Funciones Exponenciales y logarítmicas

Tema 5 : Funciones

Exponenciales y logarítmicas

5.1Funciones exponenciales 5.2Funciones Logaritmicas

5.3Propiedades de los logaritmos

5.4Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

X

Y = f(X)

f

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN VARIABLE REAL

Dominio de la

función

Codominio,

(Recorrido,Contradominio Rango, ámbito)

Variable independiente

Variable dependiente

05/09/2019 2

FUNCIÓN EXPONENCIAL

• Situaciones en las que una variación se produce

• Permite describir crecimientos

poblacionales, decaimiento radiactivo, crecimiento o decrecimiento de cifras económicas (interés compuesto,

anualidades, depreciaciones)

ESTUDIA

Identificar, formular, graficar y resolver problemas que se

modelan utilizando una función exponencial o logarítmica.

Objetivo

05/09/2019 5

a

a

EXPONENTES POTENCIAS Y RADICALES

Funciones Exponenciales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

a x

x

f ( ) 

Restricciones a  0 ; a  1 , x es una variable

Ejemplos de funciones exponenciales:

x

f ( )  2 _{h ( x )  e} ^x q ( x )  10

Base 2 Base e ^{Base 10}

Variable ind base

El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola. Es una función de la forma:

) ( e ^bx e ^bx a

y   ^

Se eligió esta forma porque es óptimo para distribuir las fuerzas estructurales internas del arco.

Ejemplo

EJEMPLOS

Determinar si las siguientes expresiones son funciones exponenciales o no

F(x) = X 3/4

NO Y=

(3/4)

X SI

Y= 92X

e

y 

SI SI Y=10X

SI

2 )

( x 

F

Ejemplo regla de correspondencia definida

1

;

0 

 a a

 1 SIa

X Y -1 0,5

0 1 2

1 2 4

CRECIENTE

R io

Do min 

) ,

0

( 



Rango

0< a < 1

Ejemplo regla de correspondencia definida

2 / 1 )

( x 

F ^x

x y

-3 -2 -1

0 1

8 4 2 1 0,5

) ,

0

( 

 Rango

R io

Do min 

DECRECIENTE

Problema de aplicación

) 9 . 0 ( 100 )

( t 

N ^t

) 9 . 0 ( 100 )

5

( 

N

59 )

5

(  N

T N

0 5 10

100 59

)

, 0 [

min io   Do

] 100 ,

0

 (

Rango

Problema de aplicación

Se proyecta que dentro de 3 años la población será de

P(t

a.- Cual es la población actual

b.- Cual es la población dentro de 30 años c.- realice la grafica

t 0

30

50 91

p

Do min io  [ 0 ,  )

) ,

50

[ 



Rango

ECUACIONES EXPONENCIALES

Es una ecuación que tiene la variable en el exponente.

Para resolver este tipo de ecuaciones , es muy útil la siguiente propiedad:

n m

a

a ^m  ⁿ  

Ejemplo:  ^{x  }  

3 1

5 2

2 ^{x } 

5X-1 =3

5X=3+1

5X=4

X=4/5







  

 ^{x x}

) 2 (

3 )

1 (

2 3

3 ^{ X}  ^{X }

) 2 (

3 )

1 (

2  ^X  ^X 

2-2X= 3X+6

-2X-3X =6-2 -5X = 4





 



 ^{x  x}

3

11 3 ^{x  1} 

LOG 3 = LOG 11

X-1 = LOG 11 X = LOG 11 +1

X = 2,1826583391+1 X = 3,18

FUNCIÓN

LOGARITMICA

FUNCION LOGARITMICA

ES LA INVERSA DE LA FUNCION EXPONENCIAL OBJETIVO

APLICACIÓN EN EL CAMPO DE

FISICA QUIMICA

FINANZAS

Nivel de ruido PH de una solución

Anualidades REGLA DE CORRESPONDENCIA

F(X) = log X _a

base

SI a>1 F(X) es creciente

SI 0 <a<1 F(x) es decreciente

X>0 A>0 A=1

Función logarítmica

Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por , se define

 1 a

x a

y

x ^y

a   

log

a x log

x x

f ( )  log _a

donde , x es una variable a  0 ; a  1

ES UNA FUNCION INVERSA A LA EXPONENCIAL

Función Logarítmica

Definición: Es la función inversa de la exponencial.

1

y

x

Dom f=R+

Rec f=R

El eje y es asíntota

x y

a

x  ^y   log _a

 1

a 0  a  1

1 2 3 4

-2 -1 1 2 3 4 5

x y

Graficación de funciones logarítmicas

x x

f ( )  log

Trazar la gráfica de f ( x )  log ₂ x

x ^y

3 2 1 0 -1 -2 -3 23

22

21

1 2⁰ 

2^1

2^2

2^3

y  x

2

23

Propiedades importantes

Exponencial Logarítmica

a = 1

a

a. a

a

a

a

a

a

=

a

a-n = (1/a) n

Log X = Y

a X=

a

a

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el

• . El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por

el logaritmo de la base

EJEMPLOS DE FUNCIONES LOGARITMICAS A EXPONENCIAL

LOG 49 = 2

7 7 = 492

LOG 216 =3 6 = 216

6

3

LOG 81 = 4

3 3 = 814

Log 32= 5 2

2 = 325

Log 8 +log 9 +log 5 = resuesta 6

2 3 5

SI a>1 F(X) es creciente

Ejemplos

A= 2

F(X) = log X

2

2 = X^Y X Y

0,5 1 2 4 8

-1 0 1 2 3

) ,

0 (

min io   Do

) ,

(   

 Rango

base

Ejemplos

SI

0< a < 1

1/2

X =

½

X Y -3

-2 -1

0 8

4 2 1

) ,

0 (

min io   Do

) ,

(   

Rango 

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PROBLEMA DE APLICACION

) (

09 . 5 9

)

( D LOG D

M  

8 . 11 )

5 . 3 ( 09

. 5 9

)

( D   LOG 

M

30 . 13 )

7 ( 09

. 5 9

)

( D   LOG 

M

X Y

9 )

1 ( 09

. 5 9

)

( D   LOG 

M

D M

1 3,5

7

9 11,8

13,30 ES CRECIENTE

) ,

0 (

min io   Do

) ,

9

( 



Rango

Los logaritmos son números , que se emplean para problemas aritméticos , financieros y geométricos .

b x  y  x  b y

log

Logarítmos

Logarítmo en cualquier base

El logarítmo con base a se denota :

a x a

x a

x x

b b

a log

log ln

ln log

log  log  

EJEMPLO DE LOGARITMOS CAMBIO DE BASE

LOG X

b

=

LOG b a

a

LOG 13

5

LOG 13

LOG 5

10 10

1,593692

Leyes de los logarítmos

05/09/2019 32

Leyes de los logarítmos

Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números reales cualesquiera con .

Ley

 1 a

0 0  

 B

A

  ^{A C A}

B B A

A

B A

AB

a c

a

a a

a

a a

a

log log

) 3

log log

log )

2

log log

) (

log )

1





 



 









Ecuaciones Logarítmicas

Log (x-3) - log 3 = log 2

7 7

Log (x-3/3)= log 2

7 7

(x-3/3)= 2 (x-3)= 6

x= 9

EJEMPLO

• Es una igualdad

• La incógnita se encuentra en un logaritmo

• El objetivo es conseguir un logaritmo a cada lado de la igualdad para que se eliminen al tener la misma base

EJERCICIOS

LOG X = 2 LOG 4 LOG X = LOG 42

X= 16 EJEMPLOS

Ln X = 3 Ln 5 Ln x = ln 53

X= 125

Log (x+3) = log 6 2(x+1) (x+3) = 6

2x+2 (2x+2)(x+3) = 6

2

2x +8x = 02 2X(x+4) = 0

2x= 0 X+4=0 X= -4 X=0

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2 = 3

Log 2 = log 3 X+4 2x-1

(X+4) log 2 = (2x-1) log 3 Destruyo parenteses X log 2 + 4 log2= 2xlog3- log 3

Xlog2 -2xlog3 = -log3-4log2

Factor común X( log 2-2log 3) = log 3 – log 2-1 4

X( log 2 - log 3 ) = log 3 2

2 -1

4

Despejo x X= log 3

16 -1

Log 2 9

Log (x+3) +log(x-5) = 2 Log ( x-6)

log(x+3) (x-5) = Log (X-6)2 (x+3) (x-5) = (X-6)2

X - 5x+3x-15 = X -12X +36 2 2 X - 2x -15 = X -12X +36 2 10X -51 = 0

X= 51/10

Ejemplo cambio de base

Log X – log X = 4

2 2

3log X – 3 log X = 123

2 2

2log X = 12

Log X = 12/2 Log X = 6

2 = X6

Log X – log X = 4

8

LOG X LOG 8

2 2 LOG X LOG 2 3

2 2

X = 64

2log x - log 3= 1 log x - log 3= 1

log x/3= 1

log x 10 /3=

10

10

X = 10*3

X = 30