Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas para los Negocios
Bloque 3
El presente material recopila una serie de definiciones, explicaciones, ejemplos y ejercicios prácticos de autores especializados que te ayudarán a comprender los temas principales de este bloque.
Las marcas empleadas en la antología son única y exclusivamente de carácter educativo y de investigación, sin fines lucrativos ni comerciales.
3. Factorización y fracciones algebraicas
La factorización de un polinomio es el proceso de expresarlo como un producto de dos o más polinomios (Tan, 2012, p. 14).
Por su parte a la expresión fraccionaria que contiene una expresión fraccionaria que contiene fracciones en su numerador y/o denominador se llama fracción compuesta (Tan, 2012, p. 23).
A continuación, revisaremos a detalle el tema de factorización y fracciones algebraicas.
3.1. Factorización
Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, a • b = c, entonces a y b se llaman factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a divide exactamente a c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; mientras que 2, 3, 4 y 6 son factores de 12 (Arya y Lardner, 2009, p. 38).
Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas (Arya y Lardner, 2009, p. 38):
Factores de la expresión que se obtuvo como producto: si dos (o más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez. Por ejemplo, la expresión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de 2xy. Más aún, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy, pues 2xy puede obtenerse multiplicando 2y por x.
De manera similar, x es un factor de la expresión 2x2 + 3x, puesto que podemos escribir 2x2 + 3x = x (2x + 3), y x2 es un factor de 6x2 + 9x3, ya que escribiremos 6x2 + 9x3 = x2(6 + 9x).
“Se llama factorización de la expresión al proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores” (Arya y Lardner, 2009, p. 38).
A continuación, revisaremos algunos métodos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas.
Factorización y fracciones algebraicas
La factorización de un polinomio es el proceso de expresarlo como un producto de dos o más polino- mios. Por ejemplo, si se aplica la propiedad distributiva podemos escribir 3x2 - x = x (3x - 1) y decir que x y 3x - 1 son factores de 3x2 – x (Tan, 2012, p. 14).
Para saber si un polinomio está completamente factorizado, hay que recordar que un entero mayor que 1 es primo si sus únicos factores enteros positivos son el mismo y 1 (Tan, 2012, p. 14). Por ejemplo, del número 3 es primo porque sus únicos factores son 3 y 1.
A continuación, se presentan las reglas para la factorización:
Cuadro 1. Reglas para la factorización
Factor común
xy + xz=x (y + z)
x2+ (a + b) x + ab= (x + a) (x + b)
abx2+ (ad + cb) x + cd= (ax + c) (bx + d) Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2ax + a2= (x + a)2
Trinomio cuadrado perfecto x2 - 2ax + a2= (x - a)2 Diferencia de dos cuadrados x2- a2= (x + a) (x - a) Suma de dos cubos x3+a3= (x + a) (x2 - ax + a2) Diferencia de dos cubos x3-a3= (x - a) (x2 + ax + a2) Fuente: Haeussler y Paul (2015, p. 23).
3.1.1. Factor común
Para factorizar un polinomio, lo primero es comprobar si contiene factores comunes, en caso de tenerlos, se obtiene el factor común de mayor grado (Tan, 2012, p. 15).
Por ejemplo, el factor común mayor de 2a2x + 4ax + 6a es 2a porque (Tan, 2010, p. 15):
2a2x + 4ax + 6a = 2a • ax + 2a • 2x + 2a • 3
= 2a (ax + 2x + 3)
A continuación, se presentan algunos ejemplos:
Cuadro 2. Ejemplos de solución de factor común Ejemplo 1.
Factoriza completamente 3k2x2 + 9k3x Solución:
Como 3k2x2 = (3k2x) (x) y 9k3x = (3k2x) (3k), cada término de la expresión original contiene el factor común 3k2x. Así que, por la regla xy + xz=x (y + z)
3k2x2 + 9k3x = 3k2x (x + 3k)
Observa que, aun cuando 3k2x2 + 9k3x = 3 (k2x2 + 3k3x), no puede decirse que la expresión esté completamente factorizada, puesto que k2x2 + 3k3x todavía puede factorizarse.
Ejemplo 2.
Determina el factor máximo común. 3t2 + 3t Solución:
Como 3t es un factor común de cada término, entonces
-3t2 + 3t = 3t (-t + 1) = 3t (1 - t) Fuentes: Tan (2012, p. 15); Haeussler y Paul (2015, p. 24).
3.1.2. Agrupación de términos
Algunos polinomios sólo tienen un máximo factor común de 1, sin embargo, es posible factorizarlos con un agrupamiento adecuado de los términos. Este proceso se llama factorización por agrupación y se muestra en el ejemplo:
Cuadro 3. Ejemplo agrupación de términos Factoriza x3 + 4x2 + 3x + 12
Solución:
1. Agrupar los términos de modo que tengan un factor común:
x3 + 4x2 + 3x + 12 El factor común es x2 El factor común es 3 2. Se factoriza el polinomio dado como sigue:
x3 + 4x2 + 3x + 12=
= (x3 +4x2) + (3x + 12) Agrupar términos con factores comunes.
= x2 (x + 4) + 3(x+4) Factorizar el máximo factor común de los términos agrupados. Los otros dos términos ahora tienen al binomio x + 4 como factor común.
= (x + 4) (x2 + 3) Obtener como factor al máximo factor común.
Así se obtiene el resultado:
x3 + 4x2 + 3x + 12 = (x + 4) (x2 + 3)
3.1.3. Diferencia de cuadrados
Al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta se le llama diferencia de cuadrados.
A continuación, se presenta un ejemplo con su solución.
Cuadro 4. Ejemplo diferencia de cuadrados Factoriza completamente: x2y4 - 9
Solución:
1. La expresión dada se escribe como (xy2)2 - 32 que es una diferencia de dos cuadrados.
2. Usando la fórmula xy + xz=x (y + z) con a = xy2 y b = 3, tenemos:
x2y4 - 9 = (xy2)2 - 32 = (xy2 - 3) (xy2 + 3)
3. Finalmente, al ver que ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse más, se termina el proceso.
3.1.4. Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
Cuadro 5. Ejemplo de Trinomio Cuadrado Perfecto Factoriza la expresión x2 + 4xy + 4y2
Solución:
Como cada uno de estos polinomios es un trinomio cuadrado perfecto, utilizamos la fórmula x2 + 2ax + a2= (x + a)2 para factorizarlos.
Por consiguiente:
x2 + 4xy + 4y2 = x2 + 2x (2y) + (2y)2 = (x + 2y) (x + 2y) = (x + 2y) 2 Fuente: Tan (2012, p. 16)
3.1.5. Trinomio de la forma X
2+BX+C
Un tipo importante de factorización que aparece con frecuencia requiere hallar los factores de expresiones del tipo x2 + px + q donde p y q son constantes. A menudo tales expresiones pueden escribirse como el producto de dos factores (x + a) y (x + b), siendo a y b dos números reales.
Factoriza la expresión x2 + 3x + 2 en el cual p=3 y q=2, es igual al producto de x + 1 y x + 2:
x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) En este caso, a = 1 y b = 2.
En general, si p y q están dados, deseamos encontrar a y b tales que:
x2 + px + q = (x + a) (x + b).
Por definición sabemos que (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab y, por tanto, x2 + px + q = x2 + (a + b) x + ab.
Estas dos expresiones son iguales con tal que a + b = p y a•b = q. De modo que, con el propósito de deter- minar a y b debemos encontrar dos números cuya suma sea igual a p y su producto igual a q. En términos de la expresión original x2 + px + q, la suma a + b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al término constante (Arya y Lardner, 2009, pp. 41-42).
Las reglas para factorizar un trinomio de esta forma son las siguientes:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término X al cuadrado o X elevado a la dos.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término bx, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de bx y de c.
3. Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual al valor absoluto del factor b de bx, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor c, estos números son los segundos términos de los factores binomios.
4. Si los dos factores tienen signos diferentes, entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del factor b de bx, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor c, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio (AulaFácil, 2020).
“El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posibles pares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos el par (si es que existe) cuya suma sea el coeficiente de x”
(Arya y Lardner, 2009, p. 42).
A continuación, se muestra un ejemplo de factorización:
Cuadro 6. Ejemplo trinomio de la forma X2+BX+C Factoriza x2 + 7x + 12
Solución:
Aquí p = 7 y q = 12. Hay que encontrar dos números a y b tales que el producto de a y b sea 12 y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles parejas que factorizan a 12.
a= 1, b=12 a + b= 13
a= -1, b= -12, a + b= -13
a= 2, b= 6, a + b= 8
a= -2, b= -6, a + b= -8
a= 3, b= 4, a + b= 7
a= -3, b= -4, a + b= -7
De la lista anterior, advertimos que la elección adecuada es a = 3 y b = 4.
Por tanto x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
Observa: la elección a = 4 y b = 3 da exactamente la misma pareja de factores.
Fuente: Arya y Lardner (2009, p. 42).
3.1.6. Trinomio de la forma AX2+BX+C
En este apartado se considerará el problema de factorizar una expresión de la forma:
mx2 + px + q
En donde m, p y q son constantes distintas de cero y m ≠ 1 o m ≠ 1. De este modo, el primer paso consiste en encontrar dos factores del producto m • q que tengan una suma igual a p, el coeficiente de x. Posterior- mente expresamos a p como la suma de esos dos factores. Esto transforma la expresión dada en la suma de cuatro términos. Éstos pueden considerarse de dos en dos y factorizarse por el método de agrupamiento (Arya y Lardner, 2009, pp. 43-44).
Este método se ilustra en los siguientes ejemplos:
Cuadro 7. Ejemplos trinomio de la forma AX2+BX+C Ejemplo 1.
Factoriza 3x2 + 11x + 6.
Solución:
En esta expresión, los coeficientes son m = 3, p = 11 y q = 6. El producto del coeficiente de x2 y el término constante es m*q = 3(6) = 18.
Debemos encontrar dos factores de este producto 18 que tengan una suma igual a 11, el coeficiente de x.
Es claro que, los dos factores adecuados son 9 y 2. En consecuencia, en la expresión dada, expresamos el coeficiente de x, 11, en la forma 9 + 2 y escribimos,
3x2 + 11x + 6 = 3x2 + (9 + 2) x + 6 = 3x2 + 9x + 2x + 6.
Podemos sacar a 3x como factor común de los dos primeros términos y 2 como factor común de los términos restantes.
3x2 +11x + 6 = 3x (x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3) (3x + 2).
Obsérvese que, en el último paso, se extrajo x + 3 como factor común de los dos términos.
Ejemplo 2.
Factoriza 6x2 - 5x - 4.
Solución:
El producto del coeficiente de x2 y del término constante es 6 (-4) = -24. Debemos encontrar dos factores de -24 que sumados den -5, el coeficiente de x.
Sin duda, los dos factores de – 24 —cuya suma es -5— son 3 y -8. Por tanto, escribimos -5 como -8 + 3 en la expresión dada. Esto da la factorización siguiente:
6x2 - 5x - 4 = 6x2 + ( - 8 + 3) x - 4
= 6x2 - 8x + 3x - 4
3.1.7. Suma y diferencia de cubos perfectos
Las siguientes fórmulas son útiles para factorizar una expresión que puede expresarse como una suma o como una diferencia de dos cubos.
a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2) a3-b3= (a-b)+(a2+ab+b2)
Estas fórmulas pueden comprobarse multiplicando las dos expresiones de la derecha. De forma alterna pueden determinarse por medio de la división larga de (a3 ± b3) ÷ (a ± b) (Arya y Lardner, 2009, p. 44).
Se comparte el siguiente ejemplo:
Cuadro 8. Ejemplo suma y diferencia de cubos perfectos Factoriza 8x3 + 27y3.
Solución:
1. Usar la fórmula a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2) 8x2+27y3 =(2x)3+(3y)3
=(2x+3y)[(2x)2-(2x)(3y)+(3y)2] =(2x+3y)(4x2-6xy+9y2)
2. La expresión 4x2 - 6xy + 9y2 no puede factorizarse aún más porque el producto del coeficiente de x2 y el término constante es 4(9y2) = 36y2, el cual no puede expresarse como el producto de dos factores cuya suma sea -6y, el coeficiente de x.
Fuente: Arya y Lardner (2009, pp. 44-45).
3.2. Fracciones algebraicas y su reducción
El término fracción algebraica se emplea por lo general para indicar la razón de dos expresiones que contienen una o más variables, tales como (Arya y Lardner, 2009, p. 46):
y
Los principios básicos involucrados son los mismos métodos para simplificar fracciones algebraicas, aquí examinaremos la adición, sustracción, multiplicación y división de dos o más de tales fracciones. La factorización desempeña un papel trascendental en tales operaciones, como se expresa en los ejemplos siguientes.
x2-7x+5
2x+3 x
2y+xy2 x - y
Cuadro 9. Reducción o simplificación de fracciones
Racionaliza los denominadores de la expresión siguiente:
Solución:
El factor √x + 2 - √5 aparece en el denominador, por lo que multiplicamos por por el conjugado que es: √x + 2 + √5,
tanto en el numerador como en el denominador.
= = = = = √x+2+√5
En donde en el último paso se cancela el factor común (x – 3).
Adición y sustracción de fracciones
Dos o más fracciones que tienen un común denominador pueden sumarse o restarse simplemente sumando o restando sus numeradores, manteniendo sin cambio el denominador.
Ejemplo 1:
+ = = =
Ejemplo 2:
- = = = = 2
√x+2 - √5x-3
2x+3x + 1 x-1
x + 1 (2x+3)+(x-1)
x + 1 2x+3+x-1
x + 1 3x+2x + 1
2x+5x - 1 7
x - 1 (2x+5)-7
x + 1 2x - 2
x - 1 2(x - 1) x - 1 x - 3 x + 2 - √5
(x - 3)(√x+2 + √5) (√x + 2 -√5) ( √ x + 2 + √5)
(x - 3)(√x+2 + √5) (√x+2)2-(√5)2 (x - 3)(√x+2 + √5)
x+2-5 (x - 3)(√x+2 + √5)
x-3
Multiplicación de fracciones
Dos o más fracciones pueden multiplicarse a la vez multiplicando sus numeradores y denominadores, de la manera en que se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.
⋅ = Ejemplo 2.
⋅ =
En el ejemplo 2, el producto puede simplificarse factorizando tanto el numerador como el denominador y dividiéndolos entre sus factores comunes:
= =
División de fracciones
Para dividir una fracción a/b entre otra fracción c/d, invertimos c/d y la multiplicamos por la primera, lo cual se describe en el teorema siguiente:
÷ = = ⋅
En el ejemplo, este método se ilustra para fracciones algebraicas.
÷ = ⋅ = = Fuente: Arya y Lardner (2009, pp. 48-52).
2x + 1
x - 2 3 - x
x + 1 (2x + 1) (3 - x) (x - 2)(x + 1) x2-5x+6
6x2+18x+12 4x2-16
2x2-5x-3 (x2-5x+6) (4x2-16) (6x2+18x+12) (2x2-5x-3)
(x-2)(x-3)⋅2⋅2(x-2)(x+2)
2⋅3(x+1)(x+2)(x-3)(2x+1) 2(x-2)(x-2) 3(x+1)(2x+1)
2(x-2)2 3(x+1)(2x+1)
ab c
d a/b
c/d a
b d
c
2x+3x-1 x+3
2x2-2 2x+3
x-1 2x2-2
x + 3 (2x+3)⋅2(x-1)(x+1)
(x-1)(x+3) 2(x+1)(2x+3)
(x+3)
4. Ecuaciones de una variable
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Regularmente involucra una o más variables y el símbolo de igualdad = (Arya y Lardner, 2009, p. 60).
Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones.
Cuadro 10. Ejemplos ecuaciones de una variable
2x-3=9-x La variable es la letra x.
y2-5y=6-4y La variable es la letra y.
2x+y=7 Hay dos variables x y y.
= s r no puede ser 1, pues esto produciría una división entre cero.
Fuente: Arya y Lardner (2009, p. 60).
No es posible que las variables de cualquier ecuación tomen valores que hagan que una expresión que ocurra en la ecuación quede indefinida (Arya y Lardner, 2009, p. 60).
Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad se denominan lados (miembros) de la ecuación;
por separado se llaman el lado izquierdo (primer miembro) y el lado derecho (segundo miembro) (Arya y Lardner, 2009, p. 60).
4.1. Ecuaciones lineales de una variable
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, donde a y b son constantes con a ≠ 0. Una ecuación lineal en x también se llama ecuación de primer grado en x o ecuación de grado 1 en x (Tan, 2012, p. 30).
1 - ra
Cuadro 11. Ejemplos ecuaciones lineales de una variable Resuelve la ecuación lineal 8x - 3 = 2x + 9
Solución:
Se utilizan las propiedades de igualdad de los números reales para obtener las siguientes ecuaciones equivalentes, en las que el objetivo es despejar x.
8x-3=2x+9
8x-3-2x=2x+9-2x Se resta 2x en ambos lados
6x-3=9
6x-3+3=9+3 Se suma 3 en ambos lados
6x=12
(6x) = (12) Se multiplica por en ambos lados
x=2
y por tanto la solución requerida es 2.
Fuente: Tan (2012, p. 31).
En cuanto a las propiedades de igualdad de los números reales, sean a, b y c números reales (Tan, 2012, p. 30):
Propiedades de adición y sustracción: Si a = b, entonces a + c = b + c y a - c = b – c
Propiedades de multiplicación y división: Si a = b y c ≠ 0, entonces c•a = c•b y = Por lo tanto, si sumamos o restamos el mismo número a ambos lados de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Asimismo, si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación entre un número que no sea cero se obtendrá una ecuación equivalente (Tan, 2012, p. 30).
A partir del siguiente ejemplo se mostrará la resolución.
16 1
6 1
6
ac b c
Cuadro 12. Ejemplos propiedad de igualdad de los números Resuelve - = 6
Solución:
Primero se eliminan fracciones, multiplicando ambos lados de la ecuación por el máximo común denominador (mcd), que es 4. Después se realizan varias operaciones algebraicas para obtener una solución.
4 - = 4 (6) Se multiplica por 4 en ambos
4 ⋅ - 4 ⋅ = 24 Propiedad distributiva
27x+3-9x-8=24 Se simplifica en ambos lados
14x+6-9x+8=24 Propiedad distributiva
5x+14=2 Se resta 14 en ambos lados
5x=10 Se divide entre 5 en ambos lados
x=2
y por tanto la solución requerida es 2.
Fuente: Tan (2012, p. 30).
4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable
Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado o ecuación de grado dos, porque la potencia más grande que aparece en ella es la segunda. Mientras que una ecuación lineal sólo tiene una raíz, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces diferentes (Haeussler y Paul, 2015, p. 47).
Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación que puede escribirse de la forma ax2 + bx + c
= 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0 (Haeussler y Paul, 2015, p. 47).
Para resolver una ecuación cuadrática en x hay que encontrar sus raíces. Las raíces de una ecuación cuadrática en x son precisamente los valores de x que la satisfacen. El método de resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización se basa en la siguiente propiedad del producto cero de los números reales, la cual se repite aquí (Tan, 2012, p. 44).
7x+32 9x-8 4
7x+32 9x-8 4
7x+32 9x-8
4
La propiedad del producto cero de los números reales, si a y b son números reales y a•b = 0, entonces a = 0 o b = 0 o ambos a, b = 0. Esta propiedad, simplemente formulada, indica que el producto de dos números reales es igual a cero si y sólo si uno (o ambos) factores es igual a cero (Tan, 2012, p. 44).
A continuación, se presentará un ejemplo donde se resolverá una ecuación mediante factorización.
Cuadro 13. Ejemplos ecuaciones cuadráticas de una variable Ejemplo 1.
Resuelve x2 - 3x + 2 = 0 mediante factorización.
Solución:
Al factorizar la ecuación dada obtenemos:
x2 - 3x + 2 = (x - 2) (x - 1) = 0
Según la propiedad del producto cero de los números reales, obtenemos:
x - 2 = 0 o x - 1 = 0
por lo que vemos que x = 2 o x = 1 son las raíces de la ecuación.
Si una ecuación cuadrática no está en forma estándar, primero la volvemos a escribir en forma estándar y luego la factorizamos para determinar sus raíces.
Ejemplo 2.
Resuelva 2x2 - 7x = - 6 mediante factorización.
Solución:
Al reescribir la ecuación en forma estándar, obtenemos:
2x2 - 7x + 6 = 0 Al factorizar la ecuación obtenemos:
(2x - 3) (x - 2) = 0 Por consiguiente:
2x - 3 = 0 o x - 2 = 0 x= o x=2 Fuente: Tan (2012, p. 44).
Para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización puede ser muy difícil. Sin embargo, existe una fórmula llamada fórmula cuadrática, que proporciona las raíces de cualquier ecuación cuadrática. Las
32
raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, están dadas por (Arya y Lardner, 2009, p. 75):
x =
A continuación, se presentan algunos ejemplos:
Cuadro 14. Ejemplos fórmula cuadrática Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación: 2x2 + 5x - 12 = 0 Solución:
La ecuación está en forma estándar, con a = 2, b 0 5 y c = -12. Al utilizar la fórmula cuadrática encontramos:
x = =
= = = -4 o
Observa que esta ecuación también puede resolverse mediante factorización.
Por tanto, 2x2 + 5x - 12 = (2x - 3) (x + 4) = 0, donde vemos que las raíces deseadas son las mismas:
x= o x=-4 Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación: x2 + 165x + 6624 = 0 Solución:
La ecuación está en forma estándar con a = 1, b = 165 y c = 6624. Al utilizar la forma cuadrática encontramos:
x = = =
= = -96 o-69
En este caso es preferible utilizar la fórmula cuadrática en lugar de factorizar la ecuación cuadrática.
- b ± √b2 - 4ac 2a
- b ± √b2 - 4ac
2a - 5 ± √52 - 4(2)(-12) 2(2) -5±√121
4 -5±11
4 32
32
- b ± √b2 - 4ac
2a - 165 ± √1652 - 4(1)(6624) 2(1)
-165±√729 2 -165± 27
2
Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México: Pearson.
AulaFácil. (2020). Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c. Recuperado de
Haeussler, E. y Paul, R. (2015). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson.
Tan, S. (2012). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida. México: Cengage Learning.
