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Ejercicios propuestos 137

Como L 1 ≡ x 1 − x 2 = 0, la ecuaci´ on impl´ıcita de f

⁻¹

(L 1 ) viena dada por



1 −1 0

 ⎛

⎜ ⎝

−2 1 1

1 0 −1

0 −1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝ 0 0 0

⎞

⎟ ⎠ =⇒

f

⁻¹

(L 1 ) ≡ −3x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 = ⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x 1 = λ + 2μ x 2 = 3λ x 3 = 3μ λ = 1 μ = 0 = ⇒ (1, 3, 0)

λ = 0 μ = 1 = ⇒ (2, 0, 3)

⎫ ⎬

⎭ = ⇒ B

f−1(L₁)

= {(1, 3, 0), (2, 0, 3)}

Como un sistema generador de f (L 2 ) est´ a constituido por los transfor- mados de una base de L 2 y ´ esta s´ olo tiene al vector (1, −1, 1) que se transforma mediante f en

⎛

⎜ ⎝

−2 1 1

1 0 −1

0 −1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ 1

−1 1

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

−2 0 2

⎞

⎟ ⎠

una base de f (L 2 ) la constituye el vector (−2, 0, 2) o bien cualquiera proporcional a ´ el, es decir

B

f(L₂)

= {(1, 0, −1)}

3.8 Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.7 Consideremos la aplicaci´ on lineal f : R ³ → R ³ definida por f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0)

a) Determinar Ker f y hallar una base de dicho subespacio.

b) Hallar el rango de f . c) ¿Pertenece (6, −2, 0) a Ker f?

Sol : B Ker f = {(1, −2, 0)}, rg f = 2, (6, −2, 0) ∈ Ker f.

138 Aplicaciones lineales.

Ejercicio 3.8 Consideremos la aplicaci´ on lineal f : P 2 [x] → R ⁴ que a cada polinomio p ∈ P 2 [x] le asigna (p(0), p(1), p(2), p(3)). Se pide:

a) Calcular las ecuaciones de f respecto de las bases can´ onicas.

b) Obtener las coordenadas de f (2x ² − x + 1) respecto de la base can´onica de R ⁴ .

c) Determinar Ker f e Img f . Sol :

a) x

^

= Ax con A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ .

b) (1, 2, 7, 16).

c) Ker f = {0}, B Img f = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 3)}.

Ejercicio 3.9 Sea f el endomorfismo de R ³ tal que Ker f viene dado por x 1 + x 2 + x 3 = 0 y unas ecuaciones de Img f son

 x 1 + x 3 = 0

x 2 = 0 respecto de una base B de R ³

a) Hallar las ecuaciones de f respecto de B.

b) Determinar f ² .

Sol : Las ecuaciones de f son x

^

= Ax con A =

⎛

⎜ ⎝

1 1 1

0 0 0

−1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠ y f ² es el

endomorfismo nulo.

Ejercicio 3.10 Sean f : E → F una aplicaci´on lineal cuyas ecuaciones, res- pecto de las bases B y B

^

, son

⎛

⎜ ⎝ x

^

₁ x

^

₂ x

^

₃

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

−1 1 2 0

2 1 −1 1

1 2 1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

x 4

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

y L un subespacio de E. Determinar f (L) en los siguientes casos:

Como L 1 ≡ x 1 − x 2 = 0, la ecuaci´ on impl´ıcita de f

⁻¹

(L 1 ) viena dada por



1 −1 0

 ⎛

⎜ ⎝

−2 1 1

1 0 −1

0 −1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝ 0 0 0

⎞

⎟ ⎠ =⇒

f

⁻¹

(L 1 ) ≡ −3x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 = ⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x 1 = λ + 2μ x 2 = 3λ x 3 = 3μ λ = 1 μ = 0 = ⇒ (1, 3, 0)

λ = 0 μ = 1 = ⇒ (2, 0, 3)

⎫ ⎬

⎭ = ⇒ B

f−1(L₁)

= {(1, 3, 0), (2, 0, 3)}

Como un sistema generador de f (L 2 ) est´ a constituido por los transfor- mados de una base de L 2 y ´ esta s´ olo tiene al vector (1, −1, 1) que se transforma mediante f en

⎛

⎜ ⎝

−2 1 1

1 0 −1

0 −1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ 1

−1 1

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

−2 0 2

⎞

⎟ ⎠

una base de f (L 2 ) la constituye el vector (−2, 0, 2) o bien cualquiera proporcional a ´ el, es decir

B

f(L₂)

= {(1, 0, −1)}

3.8 Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.7 Consideremos la aplicaci´ on lineal f : R ³ → R ³ definida por f (x, y, z) = (2x + y, −z, 0)

a) Determinar Ker f y hallar una base de dicho subespacio.

b) Hallar el rango de f . c) ¿Pertenece (6, −2, 0) a Ker f?

Sol : B Ker f = {(1, −2, 0)}, rg f = 2, (6, −2, 0) ∈ Ker f.

Ejercicio 3.8 Consideremos la aplicaci´ on lineal f : P 2 [x] → R ⁴ que a cada polinomio p ∈ P 2 [x] le asigna (p(0), p(1), p(2), p(3)). Se pide:

a) Calcular las ecuaciones de f respecto de las bases can´ onicas.

b) Obtener las coordenadas de f (2x ² − x + 1) respecto de la base can´onica de R ⁴ .

c) Determinar Ker f e Img f . Sol :

a) x

^

= Ax con A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ .

b) (1, 2, 7, 16).

c) Ker f = {0}, B Img f = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 3)}.

Ejercicio 3.9 Sea f el endomorfismo de R ³ tal que Ker f viene dado por x 1 + x 2 + x 3 = 0 y unas ecuaciones de Img f son

 x 1 + x 3 = 0

x 2 = 0 respecto de una base B de R ³

a) Hallar las ecuaciones de f respecto de B.

b) Determinar f ² .

Sol : Las ecuaciones de f son x

^

= Ax con A =

⎛

⎜ ⎝

1 1 1

0 0 0

−1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠ y f ² es el

endomorfismo nulo.

Ejercicio 3.10 Sean f : E → F una aplicaci´on lineal cuyas ecuaciones, res- pecto de las bases B y B

^

, son

⎛

⎜ ⎝ x

^

₁ x

^

₂ x

^

₃

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

−1 1 2 0

2 1 −1 1

1 2 1 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

x 4

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

y L un subespacio de E. Determinar f (L) en los siguientes casos:

a) Una base de L est´ a formada por los vectores v y w, cuyas coordenadas respecto de B son (3, 0, 2, 1) y (4, 2, 2, 2) respectivamente.

b) Unas ecuaciones impl´ıcitas de L son:

L =



x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0 Sol : a) B

f(L)

= {(1, 5, 6)} b) B

f(L)

= {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Ejercicio 3.11 Sea f la aplicaci´ on lineal de R ³ en R ⁴ que respecto de las bases can´ onicas tiene por ecuaciones:

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ x

^

₁ x

^

₂ x

^

₃ x

^

₄

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

1 2 5

−2 −1 −1 1 −1 −4

5 1 −2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

⎞

⎟ ⎠

Determinar f

⁻¹

(L) para los siguientes subespacios L de R ⁴ : a) Las ecuaciones impl´ıcitas de L son ax 1 + bx 2 + cx 3 + dx 4 = 0.

b) Las ecuaciones de L son:



x 1 + 2x 2 + x 4 = 0

3x 2 − x 3 + x 4 = 0 c) L =< (1, 0, −1, −1), (1, −1, 0, 2) >.

Sol :

a) f

⁻¹

(L) ≡ (a−2b+c+5d)x 1 + (2a−b−c+d)x 2 + (5a−b−4c−2d)x 3 = 0.

b) f

⁻¹

(L) ≡ 2x 1 + x 2 + x 3 = 0.

c) f

⁻¹

(L) = R ³ .

Ejercicio 3.12 Sea f : R ³ → R ⁴ la aplicaci´ on lineal tal que f (e 1 ) = (1, 1, 0, 1) , f (e 2 ) = (−1, 2, 0, 0) , f(e 3 ) = (0, 3, 0, 1) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases

B = {(1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}

y

B

^

= {(1, 0, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 3)}.

Sol : A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−17 −17 −6

8 8 3

0 0 0

11 / 3 11 / 3 4 / 3

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

Ejercicio 3.13 Sea B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } una base de R ⁴ y sean f y g los endomorfismos de R ⁴ determinados por:

f (u 1 ) = (−1, 2, 0, −1) g(u 1 ) = (2, 0, 0, 1) f (u 2 ) = (0, 0, −1, 0) g(u 2 ) = (0, 1, −1, 0) f (u 3 ) = (−2, 4, −1, −2) g(u 3 ) = (2, 1, −1, 1) f (u 4 ) = (0, 0, 0, 1) g(u 4 ) = (4, 0, 0, 2) a) Determinar las matrices asociadas a f y g, respecto de la base B.

b) Idem para 3f, 2f − g, g ◦ f y f ◦ g.

Sol : A

f

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−1 0 −2 0

2 0 4 0

0 −1 −1 0

−1 0 −2 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A

g

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

2 0 2 4

0 1 1 0

0 −1 −1 0

1 0 1 2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A 3f = 3 · A

f

,

A 2f−g = 2 · A

f

− A

g

, A

g◦f

= A

g

A

f

y A

f◦g

= A

f

A

g

.

Ejercicio 3.14 Sea f el endomorfismo de R ³ determinado por

f (1, 1, 1) = (1 + a, 1, 1 + a), f (0, 1, 1) = (a, 1, 1 + a), f (0, 0, 1) = (0, 1, a) y sean L 1 , L 2 las variedades lineales de R ³ definidas por:

L 1 ≡ x 2 − x 3 = 0 L 2 ≡



x 1 + x 2 = 0 2x 1 − x 2 = 0 a) Hallar la matriz de f respecto de la base can´ onica.

b) Estudiar para qu´ e valores de a es f un automorfismo.

c) Hallar una base y unas ecuaciones impl´ıcitas de la variedad lineal L 3 = f

⁻¹

(f (L 1 ) + L 1 )

d) Determinar para qu´ e valores de a es R ³ = L 2 ⊕ L 3 .

a) Una base de L est´ a formada por los vectores v y w, cuyas coordenadas respecto de B son (3, 0, 2, 1) y (4, 2, 2, 2) respectivamente.

b) Unas ecuaciones impl´ıcitas de L son:

L =



x 1 − x 2 + 2x 3 − x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0 Sol : a) B

f(L)

= {(1, 5, 6)} b) B

f(L)

= {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Ejercicio 3.11 Sea f la aplicaci´ on lineal de R ³ en R ⁴ que respecto de las bases can´ onicas tiene por ecuaciones:

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ x

^

₁ x

^

₂ x

^

₃ x

^

₄

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

1 2 5

−2 −1 −1 1 −1 −4

5 1 −2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝ x 1

x 2

x 3

⎞

⎟ ⎠

Determinar f

⁻¹

(L) para los siguientes subespacios L de R ⁴ : a) Las ecuaciones impl´ıcitas de L son ax 1 + bx 2 + cx 3 + dx 4 = 0.

b) Las ecuaciones de L son:



x 1 + 2x 2 + x 4 = 0

3x 2 − x 3 + x 4 = 0 c) L =< (1, 0, −1, −1), (1, −1, 0, 2) >.

Sol :

a) f

⁻¹

(L) ≡ (a−2b+c+5d)x 1 + (2a−b−c+d)x 2 + (5a −b−4c−2d)x 3 = 0.

b) f

⁻¹

(L) ≡ 2x 1 + x 2 + x 3 = 0.

c) f

⁻¹

(L) = R ³ .

Ejercicio 3.12 Sea f : R ³ → R ⁴ la aplicaci´ on lineal tal que f (e 1 ) = (1, 1, 0, 1) , f (e 2 ) = (−1, 2, 0, 0) , f(e 3 ) = (0, 3, 0, 1) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases

B = {(1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}

y

B

^

= {(1, 0, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 3)}.

Sol : A =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−17 −17 −6

8 8 3

0 0 0

11 / 3 11 / 3 4 / 3

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

Ejercicio 3.13 Sea B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } una base de R ⁴ y sean f y g los endomorfismos de R ⁴ determinados por:

f (u 1 ) = (−1, 2, 0, −1) g(u 1 ) = (2, 0, 0, 1) f (u 2 ) = (0, 0, −1, 0) g(u 2 ) = (0, 1, −1, 0) f (u 3 ) = (−2, 4, −1, −2) g(u 3 ) = (2, 1, −1, 1) f (u 4 ) = (0, 0, 0, 1) g(u 4 ) = (4, 0, 0, 2) a) Determinar las matrices asociadas a f y g, respecto de la base B.

b) Idem para 3f, 2f − g, g ◦ f y f ◦ g.

Sol : A

f

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

−1 0 −2 0

2 0 4 0

0 −1 −1 0

−1 0 −2 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A

g

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

2 0 2 4

0 1 1 0

0 −1 −1 0

1 0 1 2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A 3f = 3 · A

f

,

A 2f−g = 2 · A

f

− A

g

, A

g◦f

= A

g

A

f

y A

f◦g

= A

f

A

g

.

Ejercicio 3.14 Sea f el endomorfismo de R ³ determinado por

f (1, 1, 1) = (1 + a, 1, 1 + a), f (0, 1, 1) = (a, 1, 1 + a), f (0, 0, 1) = (0, 1, a) y sean L 1 , L 2 las variedades lineales de R ³ definidas por:

L 1 ≡ x 2 − x 3 = 0 L 2 ≡



x 1 + x 2 = 0 2x 1 − x 2 = 0 a) Hallar la matriz de f respecto de la base can´ onica.

b) Estudiar para qu´ e valores de a es f un automorfismo.

c) Hallar una base y unas ecuaciones impl´ıcitas de la variedad lineal L 3 = f

⁻¹

(f (L 1 ) + L 1 )

d) Determinar para qu´ e valores de a es R ³ = L 2 ⊕ L 3 .

Sol : a) A =

⎛

⎜ ⎝ 1 a 0 1 0 1 a 1 a

⎞

⎟ ⎠.

b) f es automorfismo ∀ a ∈ R.

c) Si a = 0 L 3 = R ³ mientras que si a = 0 L 3 = L 1 ≡ x 2 − x 3 = 0 siendo B

L₃

= {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}.

d) a = 0.

Ejercicio 3.15 Sean f, g ∈ End(R ³ ) tales que:

1. f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 3 , x 1 − x 2 + x 3 , x 2 ) 2. g(1, 0, 0) = (1, 1, 1)

3. g(f (x 1 , x 2 , x 3 )) = (0, 0, 0) ∀ (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R ³ . Se pide:

a) Demostrar que Ker g = Img f .

b) Hallar las matrices asociadas a g y f ◦ g, respecto de la base can´onica.

c) Hallar unas ecuaciones impl´ıcitas de Img f ◦ g respecto de la base can´o- nica, y una base de Ker f ◦ g.

Sol : A

g

=

⎛

⎜ ⎝

1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠, A

_f◦g

=

⎛

⎜ ⎝

2 −2 −2 1 −1 −1 1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠,

Img f ◦ g ≡



x 1 − 2x 2 = 0

x 2 − x 3 = 0 , B Ker f◦g = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Ejercicio 3.16 Sean f, g : R ³ → R ⁴ definidas por:

f (x, y, z) = (x, −y, z, x + y + z) y g(x, y, z) = (−x, y, 2x, −x − y + z)

a) Hallar la expresi´ on matricial de f + g respecto de las bases can´ onicas.

b) Idem para 3f − 2g.

c) Determinar Ker f y Ker g. ¿Es Ker f + Ker g = Ker(f + g)?

Sol : A

f+g

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A 3f−2g =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

5 0 0

0 −5 0

−4 0 3

5 5 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

Ker f = {0} Ker g = {0} dim Ker(f + g) = 1

⎫ ⎪

⎬

⎪ ⎭ = ⇒ Ker f + Ker g = Ker(f + g).

Ejercicio 3.17 En el espacio vectorial R ⁴ y respecto a la base can´ onica se consideran las variedades lineales siguientes:

L =< (1, 4, 1, −1), (2, 3, 2, 3) > R =< (0, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 2) >

M =< (1, 1, 1, −3), (3, −2, 3, −4), (3, −2, 3, −4) > K :

⎧ ⎨

⎩

x 2 − x 4 = 0 2x 2 + 3x 4 = 0 Sea f el endomorfismo dado por:

f (0, 1, 0, 0) = (−1, 3, 0, −1) f (1, −1, 1, −1) = (1, −2, a, b) f (1, 1, 0, −3) = (m, −5, n, 2) Ker f = L ∩ M f (K) = R a) Hallar la matriz asociada a f respecto a la base can´ onica.

b) Hallar la matriz asociada a f respecto a la base:

B = {(−1, 2, 0, −1), (0, 1, 0, 0), (1, −2, 1, 0), (0, 1, 0, −1)}

Sol : a)

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

0 −1 −1 −1

1 3 3 3

0 0 1 0

0 −1 −2 −1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ b)

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

Ejercicio 3.18 Para cada λ ∈ R se define la aplicaci´on lineal f

λ

: R ⁴ → R ³ , f

λ

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (λx 1 + x 2 , x 1 + λx 3 , x 2 + x 4 ) a) Estudiar los valores de λ que hacen que f

λ

sea inyectiva, sobreyectiva o

biyectiva.

Sol : a) A =

⎛

⎜ ⎝ 1 a 0 1 0 1 a 1 a

⎞

⎟ ⎠.

b) f es automorfismo ∀ a ∈ R.

c) Si a = 0 L 3 = R ³ mientras que si a = 0 L 3 = L 1 ≡ x 2 − x 3 = 0 siendo B

L₃

= {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}.

d) a = 0.

Ejercicio 3.15 Sean f, g ∈ End(R ³ ) tales que:

1. f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 3 , x 1 − x 2 + x 3 , x 2 ) 2. g(1, 0, 0) = (1, 1, 1)

3. g(f (x 1 , x 2 , x 3 )) = (0, 0, 0) ∀ (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R ³ . Se pide:

a) Demostrar que Ker g = Img f .

b) Hallar las matrices asociadas a g y f ◦ g, respecto de la base can´onica.

c) Hallar unas ecuaciones impl´ıcitas de Img f ◦ g respecto de la base can´o- nica, y una base de Ker f ◦ g.

Sol : A

g

=

⎛

⎜ ⎝

1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠, A

_f◦g

=

⎛

⎜ ⎝

2 −2 −2 1 −1 −1 1 −1 −1

⎞

⎟ ⎠,

Img f ◦ g ≡



x 1 − 2x 2 = 0

x 2 − x 3 = 0 , B Ker f◦g = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Ejercicio 3.16 Sean f, g : R ³ → R ⁴ definidas por:

f (x, y, z) = (x, −y, z, x + y + z) y g(x, y, z) = (−x, y, 2x, −x − y + z)

a) Hallar la expresi´ on matricial de f + g respecto de las bases can´ onicas.

b) Idem para 3f − 2g.

c) Determinar Ker f y Ker g. ¿Es Ker f + Ker g = Ker(f + g)?

Sol : A

f+g

=

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ , A 3f−2g =

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

5 0 0

0 −5 0

−4 0 3

5 5 1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ ,

Ker f = {0}

Ker g = {0}

dim Ker(f + g) = 1

⎫ ⎪

⎬

⎪ ⎭ = ⇒ Ker f + Ker g = Ker(f + g).

Ejercicio 3.17 En el espacio vectorial R ⁴ y respecto a la base can´ onica se consideran las variedades lineales siguientes:

L =< (1, 4, 1, −1), (2, 3, 2, 3) > R =< (0, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 2) >

M =< (1, 1, 1, −3), (3, −2, 3, −4), (3, −2, 3, −4) > K :

⎧ ⎨

⎩

x 2 − x 4 = 0 2x 2 + 3x 4 = 0 Sea f el endomorfismo dado por:

f (0, 1, 0, 0) = (−1, 3, 0, −1) f (1, −1, 1, −1) = (1, −2, a, b) f (1, 1, 0, −3) = (m, −5, n, 2) Ker f = L ∩ M f (K) = R a) Hallar la matriz asociada a f respecto a la base can´ onica.

b) Hallar la matriz asociada a f respecto a la base:

B = {(−1, 2, 0, −1), (0, 1, 0, 0), (1, −2, 1, 0), (0, 1, 0, −1)}

Sol : a)

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

0 −1 −1 −1

1 3 3 3

0 0 1 0

0 −1 −2 −1

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠ b)

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎝

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎠

Ejercicio 3.18 Para cada λ ∈ R se define la aplicaci´on lineal f

λ

: R ⁴ → R ³ , f

λ

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (λx 1 + x 2 , x 1 + λx 3 , x 2 + x 4 ) a) Estudiar los valores de λ que hacen que f

λ

sea inyectiva, sobreyectiva o

biyectiva.

b) Hallar una base de Ker f 2 .

c) Sea la variedad lineal L de R ⁴ de ecuaciones x 1 = x 3 = 0, calcular f 0 (L).

d) Dada la base de R ³ , B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, hallar la matriz de f 1 respecto a la base can´ onica de R ⁴ y B de R ³ .

Sol :

 λ = 0 = ⇒ biyectiva

λ = 0 =⇒ s´olo sobreyectiva B Ker f

₂

= {(2, −4, −1, 4)},

f 0 (L) =< (1, 0, 0), (0, 0, 1) >, A

CB

(f 1 ) =

⎛

⎜ ⎝

0 1 − ¹ / 2 1 / 2

0 0 ¹ / 2 1 / 2

1 0 ¹ / 2 − ¹ / 2

⎞

⎟ ⎠

Ejercicio 3.19 Sea f el endomorfismo de R ³ definido por:

• El vector (1, 0, 1) se transforma, mediante f, en s´ı mismo.

• La variedad lineal de ecuaci´on x 1 − x 2 = 0 tambi´ en se transforma en s´ı misma mediante f .

• La matriz asociada a f, respecto de la base can´onica, es sim´etrica y de traza nula.

a) Hallar la matriz A asociada a f respecto de la base can´ onica.

b) ¿Es posible determinar una base del n´ ucleo sin necesidad de hallar sus ecuaciones? Razona la respuesta.

c) Siendo H la variedad lineal generada por los vectores (1, 1, 1) y (2, 2, 0), hallar una base de f ¹⁹⁹⁶ (H).

d) Determinar una base de f (L) ∩ H donde L es la variedad de ecuaci´on x 3 = 0

Sol : A =

⎛

⎜ ⎝

0 −1 1

−1 0 1

1 1 0

⎞

⎟ ⎠, Ker f = {0}, B

^f1996

^(H) = {(0, 0, 1), (1, 1, 0)},

B

f(L)∩H

= {(1, 1, −2)}