Una primera lección de Geometría Algebraica

Una primera lecci´ on de Geometr´ıa Algebraica

Carlos Cadavid ¹

Recepci´ on: 03 de agosto de 2004 — Aceptaci´ on: 07 de octubre de 2004 Se aceptan comentarios y/o discusiones al art´ıculo

Resumen

En este art´ıculo se explica c´ omo aparece la Geometr´ıa Algebraica, partiendo del estudio de los conjuntos de soluciones de sistemas algebraicos.

Palabras claves: Sistemas de ecuaciones algebraicas, m´ etodos de cambio de variable, equivalencia de sistemas algebraicos, Bases de Gr¨ obner, Variedades afines y sus morfismos, equivalencia de variedades afines.

Abstract

This paper explains how Algebraic Geometry originated from the study of solution sets of algebraic systems.

Key words: Algebraic systems, change of variable methods, equivalence of algebraic systems, Gr¨ obner basis, affine varieties and their morphisms, equivalence of affine varieties.

1 Introducci´ on

El prop´ osito es ofrecer una introducci´on a la Geometr´ıa Algebraica, partiendo de nociones elementales. Los cursos usuales de Geometr´ıa Algebraica empiezan “muy adelante”. No hay una primera clase en la que se discuta de donde proviene el inter´es por el estudio de los objetos que se definen. Se espera llenar este vac´ıo.

En este art´ıculo C denotar´ a el campo de los n´ umeros complejos, A ⁿ C el conjunto de n−tuplas de n´ umeros complejos, y C [X 1 , . . . , X n ] el anillo de polinomios en las variables X 1 , . . . , X n . El ´algebra desde sus inicios se enfrent´ o con el problema de “hallar” las soluciones de un sistema de ecuaciones de tipo algebraico. Esto condujo al problema

1

Ph.D. en Matem´ aticas, [email protected], profesor investigador, Universidad EAFIT.

m´as conceptual de “entender” el conjunto de soluciones X ⊂ A ⁿ C de un sistema de m ecuaciones de tipo algebraico en n inc´ ognitas:

f 1 (X 1 , . . . , X n ) = 0 , f 2 (X 1 , . . . , X n ) = 0 ,

.. . f m (X 1 , . . . , X n ) = 0 ,

donde cada f i (X 1 , . . . , X n ) ∈ C [X 1 , . . . , X n ]. Dicho de otra manera, la Geometr´ıa Alge- braica se dedica a “entender” los conjuntos de soluciones de los sistemas algebraicos. El sentido de “entender” que se adoptar´ a ser´ a el de contestar las siguientes dos preguntas:

1. ¿Tiene el sistema alguna soluci´on, es decir, es X 6= φ?

2. ¿Cu´ ando dos sistemas dados tienen las “mismas” soluciones?

En las siguientes secciones se ver´ a c´ omo estas preguntas originan los principales pro- blemas de la Geometr´ıa Algebraica.

2 El problema de la existencia de soluciones de un sistema alge- braico

Si se tiene un sistema algebraico de una sola ecuaci´ on con una sola inc´ ognita, el pro- blema de existencia de soluciones es resuelto de manera exacta por el famoso Teorema Fundamental del ´ Algebra, demostrado por Gauss [3]. Este teorema afirma que siempre existe alguna soluci´on, a menos que el polinomio sea una constante distinta de cero. El problema general de existencia de soluciones de un sistema admite dos tipos de soluci´on.

Un replanteamiento te´ orico (que podr´ıamos llamar “soluci´ on te´orica”) y una soluci´ on computacional.

2.1 Replanteamiento te´ orico

Para la comprensi´ on de este replanteamiento son necesarias las siguientes definiciones y teoremas. Se sugiere leer la excelente presentaci´on que de ´estos se hace en el cap´ıtulo III de [2].

Definici´ on 2.1. Un subconjunto I de C [X 1 , . . . , X n ] se dice que es un ideal si dados

elementos f y g en I, y h y k en C [X 1 , . . . , X n ] se tiene que hf + kg ∈ I.

Definici´ on 2.2. Un ideal I de C [X 1 , . . . , X n ] se dice que es maximal si I 6= C [X 1 , . . . , X n ] y si siempre que J sea un ideal de C [X 1 , . . . , X n ] tal que I ⊂ J ⊂ C [X 1 , . . . , X n ], entonces J = I ´ o J = C [X 1 , . . . , X n ].

El siguiente teorema debido a Hilbert, llamado “Nullstellensatz d´ebil”, caracteriza los ideales maximales.

Teorema 2.1. Un ideal I de C [X 1 , . . . , X n ] es maximal si y s´ olo si I = {f 1 .(X 1 − α 1 ) + · · · + f n .(X n − α n ) : f i ∈ C [X 1 , . . . , X n ]}

para una (de hecho ´ unica) n−tupla (α 1 , . . . , α n ) ∈ A ⁿ C .

Para consultar la demostraci´on del teorema (2.1), v´ease el corolario 5.4, p´ agina 125 de [2].

Una aplicaci´ on rutinaria del lema de Z¨ orn, demuestra el teorema (2.2).

Teorema 2.2. Todo ideal I 6= C [X 1 , . . . , X n ] est´ a contenido en alg´ un ideal maximal.

Definici´ on 2.3. Sea A un subconjunto cualquiera de C [X 1 , . . . , X n ]. Se denotar´ a por (A ) al conjunto

{ h 1 f 1 + · · · + h s f s : donde cada h i ∈ C [X 1 , . . . , X n ] y cada f i ∈ A } . Este conjunto resulta ser un ideal, y se llama ideal generado por el conjunto A.

Es f´acil ver que este ideal coincide con la intersecci´on de todos los ideales de C [X 1 , . . . , X n ] que contienen a A. Es pues el menor (en el sentido de inclusi´ on) ideal que contiene a A. Cuando el conjunto A es finito, A = {f 1 , . . . , f m }, se acostumbra escri- bir (f 1 , . . . , f m ) en vez de ({f 1 , . . . , f m }). Es conveniente recordar este ideal como aquel que consta de las combinaciones lineales de los elementos f 1 , . . . , f m donde los coeficien- tes son elementos de C [X 1 , . . . , X n ]. El siguiente teorema, debido tambi´en a Hilbert, es frecuentemente llamado “Teorema de la base de Hilbert”.

Teorema 2.3. Todo ideal I de C [X 1 , . . . , X n ] es finitamente generado, es decir, existe alguna colecci´ on finita f 1 , . . . , f m ∈ I, tal que I = (f 1 , . . . , f m ).

El teorema (2.3) puede consultarse en [2], corolario (3.6), p´ agina 119.

Definici´ on 2.4. Sea A un subconjunto de C [X 1 , . . . , X n ]. Se denotar´ a por V (A) al conjunto

{ (α 1 , . . . , α n ) ∈ A ⁿ C : f (α 1 , . . . , α n ) = 0 para cada f ∈ A } . Este conjunto se llama variedad af´ın definida por A.

Para ver ejemplos de variedades afines (y tambi´en proyectivas, aunque en este art´ıculo

no se van a definir) se sugiere consultar los cap´ıtulos I y II, hasta la p´ agina 42, de [2].

La variedad af´ın V (A) no es m´as que el conjunto de soluciones del sistema algebraico {f = 0 : f ∈ A}. Es importante observar, y f´ acil de verificar, que si A ⊂ C [X 1 , . . . , X n ], entonces V (A) = V ((A)). Esto significa, en particular, que el sistema de ecuaciones {f = 0 : f ∈ A}, tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema de ecuaciones {f = 0 : f ∈ (A)}. M´ as a´ un, otro teorema de Hilbert, llamado “Nullstellensatz fuerte”, describe con exactitud el conjunto de los polinomios de C [X 1 , . . . , X n ] que se anulan en una variedad af´ın dada. Para enunciarlo es necesaria la siguiente definici´ on.

Definici´ on 2.5. Sea I un ideal de C [X 1 , . . . , X n ]. El conjunto

f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] : f ^t ∈ I, para alg´ un entero t ≥ 1

es un ideal. Este ideal se denota por Rad (I) y se llama radical de I.

Teorema 2.4. Sea I un ideal de C [X 1 , . . . , X n ]. Entonces el ideal de todos los polino- mios que se anulan en el conjunto V (I) es igual al radical de I. Es decir,

{ f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] : f (α) = 0, para todo α ∈ V (I) } = Rad (I) . Este teorema puede ser estudiado en detalle en [2], teorema (5.8), p´ agina 127.

El teorema (2.4) dice, en particular, que un sistema algebraico {f 1 = 0, . . . , f t = 0}, tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema {f = 0 : f ∈ Rad ((f 1 , . . . , f t ))}, y que si una ecuaci´ on g = 0, es tal que todas las soluciones del sistema {f 1 = 0, . . . , f t = 0}

son tambi´en soluciones suyas, entonces g ^r = h 1 f 1 + · · · + h t f t , para alg´ un entero r ≥ 1, y polinomios h i ∈ C [X 1 , . . . , X n ] .

Despu´es de las observaciones anteriores es posible enunciar el replanteamiento te´ orico del problema de existencia de soluciones.

Teorema 2.5. Con la notaci´ on anterior, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El sistema {f i = 0 : i = 1, . . . , t} tiene alguna soluci´ on . 2. La variedad af´ın V (f 1 , . . . , f t ) 6= φ .

3. 1 / ∈ (f 1 , . . . , f t ) . 4. 1 / ∈ Rad ((f 1 , . . . , f t )) . 5. (f 1 , . . . , f t ) 6= C [X 1 , . . . , X n ] .

6. No existen h 1 , . . . , h t ∈ C [X 1 , . . . , X n ] , tales que 1 = h 1 f 1 + · · · + h t f t .

Demostraci´ on. Se demostrar´ a la ´ unica equivalencia no inmediata (1) si y s´ olo si (6) .

( ⇒) Si el sistema tiene alguna soluci´on α = (α 1 , . . . , α n ), entonces la ecuaci´ on

h 1 (α) f 1 (α) + · · · + h t (α) f t (α) = 1 implicar´ıa que 0 = 1, y esto es imposible.

( ⇐) Si no existen h 1 , . . . , h t ∈ C [X 1 , . . . , X n ] tales que 1 = h 1 f 1 + · · · + h t f t , entonces 1 / ∈ (f 1 , . . . , f t ). Esto nos dice que (f 1 , . . . , f t ) 6= C [X 1 , . . . , X n ], y que por lo tanto, exis- tir´ıa alg´ un ideal maximal J que contiene a (f 1 , . . . , f t ). Ahora, por el teorema Nullstellen- satz d´ebil se tendr´ıa que J = (X 1 − α 1 , . . . , X n − α n ) para cierto α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ A ⁿ C . Como cada f i ∈ J, entonces existir´ıan polinomios h ij ∈ C [X 1 , . . . , X n ] , con j = 1, . . . , n, tales que f i = h i1 (X 1 − α 1 ) + · · · + h in (X n − α n ). Entonces, para cada i, se tendr´ıa que f i (α) = h i1 (α) . (α 1 − α 1 ) + · · · + h in (α) . (α n − α n ) = 0, y entonces α ser´ıa una soluci´on del sistema algebraico.

2.2 Soluci´ on computacional

El teorema (2.5) traduce un problema te´orico en otros problemas tambi´en te´oricos y no proporciona medios computacionales para decidir si un sistema algebraico dado tiene soluci´on o no. Sin embargo, existe un procedimiento computacional, llamado m´etodo de bases de Gr¨ obner, que proporciona un algoritmo que resuelve el problema de la perte- nencia: si f, f 1 , . . . , f r ∈ C [X 1 , . . . , X n ] , el algoritmo determina si f ∈ (f 1 , . . . , f r ). Una excelente exposici´ on del m´etodo de bases de Gr¨ obner se puede encontrar en [1].

Entonces, la soluci´on computacional es la siguiente: Un sistema {f 1 = 0, . . . , f r = 0} tiene soluci´ on si y s´ olo si el algoritmo determina que 1 / ∈ (f 1 , . . . , f r ).

3 El problema de cu´ ando dos sistemas tienen el “mismo” con- junto de soluciones

En esta secci´ on se ver´ a que existen distintas maneras de comparar los conjuntos de soluciones de dos sistemas algebraicos.

3.1 Primera manera de comparar los conjuntos de soluciones de dos sistemas algebraicos: Igualdad

La manera m´as obvia de comparar los conjuntos de soluciones de dos sistemas algebraicos es la siguiente: diremos que los sistemas {f 1 = 0, . . . , f r = 0} y {g 1 = 0, . . . , g s = 0} con f 1 , . . . , f r , g 1 , . . . , g s ∈ C [X 1 , . . . , X n ], tienen el “mismo” conjunto de soluciones, si los conjuntos de soluciones son id´enticos, es decir, si V ((f 1 , . . . , f r )) = V ((g 1 , . . . , g s )). El problema de cu´ ando se da esta igualdad tiene un replanteamiento te´orico y una soluci´on computacional.

3.1.1 Replanteamiento te´ orico

El siguiente teorema describe, desde el punto de vista algebraico, el que dos sistemas

algebraicos en las mismas variables tengan conjuntos de soluciones id´enticos.

Teorema 3.1. V ((f 1 , . . . , f r )) = V ((g 1 , . . . , g s )) si y s´ olo si Rad ((f 1 , . . . , f r )) = Rad ((g 1 , . . . , g s )) . Demostraci´ on 3.1. Sean I = (f 1 , . . . , f r ) y J = (g 1 , . . . , g s ).

( ⇒) Suponga que V (I) = V (J). El Nullstellensatz fuerte afirma que Rad (I) = {f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] : f ≡ 0 sobre V (I)} =

{f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] : f ≡ 0 sobre V (J)} = Rad (J) .

( ⇐) Suponga que Rad (I) = Rad (J). Entonces V (I) = V (Rad (I)) = V (Rad (J)) = V (J) .

3.1.2 Soluci´ on computacional

Al igual que ocurri´ o con el problema de la existencia de soluciones, el m´etodo de ba- ses de Gr¨ obner puede usarse para determinar la igualdad de los conjuntos de solu- ciones de dos sistemas algebraicos en las mismas variables. De manera precisa, sean {f 1 = 0, . . . , f r = 0} y {g 1 = 0, . . . , g s = 0} dos sistemas algebraicos donde f 1 , . . . , f r , g 1 , . . . , g s ∈ C[X 1 , . . . , X n ]. En la secci´ on anterior se vio que V ((f 1 , . . . , f r )) = V ((g 1 , . . . , g s )), si y s´ olo si, Rad((f 1 , . . . , f r )) = Rad((g 1 , . . . , g s )). Ahora, para demos- trar esta ´ ultima igualdad, basta verificar las inclusiones (f 1 , . . . , f r ) ⊂ Rad((g 1 , . . . , g s )) y (g 1 , . . . , g s ) ⊂ Rad((f 1 , . . . , f r )), ya que como Rad(Rad(I)) = Rad(I) para cualquier ideal I, la primera inclusi´ on implica que Rad((f 1 , . . . , f r )) ⊂ Rad((g 1 , . . . , g s )), y la se- gunda que Rad((g 1 , . . . , g s )) ⊂ Rad((f 1 , . . . , f r )). Ahora, se puede ver que un polinomio f ∈ C[X 1 , . . . , X n ] pertenece a Rad((h 1 , . . . , h t )) si y s´ olo si

1 ∈ (h 1 , . . . , h t , 1 − W.f ) ⊂ C[X 1 , . . . , X n , W ] ,

donde W es una nueva variable, consultar [1] p´ agina 66. Pero el problema de la perte- nencia de un polinomio espec´ıfico a un ideal dado por un conjunto de generadores, es el t´ıpico problema que resuelve el m´etodo de bases de Gr¨ obner.

Hay otra manera computacional de saber, al menos en principio, si dos sistemas alge- braicos en las mismas variables tienen conjuntos de soluciones id´enticos. En ´algebra lineal se estudia cu´ ando dos sistemas lineales en las mismas variables tienen el mismo conjunto de soluciones. La respuesta es que dos sistemas lineales tienen el mismo conjunto de so- luciones si y s´ olo si uno de los sistemas es transformable en el otro aplicando un n´ umero de transformaciones elementales. Algo similar ocurre con dos sistemas algebraicos en las mismas variables.

Teorema 3.2. Sean f 1 , . . . , f r , g 1 , . . . , g s ∈ C [X 1 , . . . , X n ]. Entonces los sistemas

{f 1 = 0, . . . , f r = 0} y {g 1 = 0, . . . , g s = 0} tienen el mismo conjunto de soluciones,

si y s´ olo si, es posible transformar el primer sistema en el segundo aplicando un n´ umero

finito de las siguientes tranformaciones elementales:

Tipo I) Agregar o eliminar del sistema un n´ umero finito de ecuaciones de la forma 0 = 0.

Tipo II) En el sistema {k 1 = 0, . . . , k t = 0}, reemplazar la ecuaci´ on j−´esima, k j = 0, por la ecuaci´ on hk i + k j = 0, donde k i = 0 es la i−´esima ecuaci´ on, h ∈ C [X 1 , . . . , X n ] e i 6= j.

Tipo III) Si en la j−´esima ecuaci´ on k j = 0 del sistema {k 1 = 0, . . . , k t = 0}, el polinomio k j es de la forma p ^r , con p ∈ C[X 1 , . . . , X n ] y r ≥ 1 , entonces ´esta puede ser reemplazada por la ecuaci´ on p ^s = 0, para cualquier s ≥ 1.

Este teorema es una consecuencia casi inmediata del teorema Nullstellensatz fuerte.

3.2 Segunda manera de comparar el conjunto de soluciones de dos sistemas de ecuaciones polin´ omicas: correspondencia v´ıa cambios de variables po- lin´ omicos

Esta forma de comparar los conjuntos de soluciones de dos sistemas algebraicos tiene origen en los trucos de “cambio de variable” de tipo polin´omico para estudiar un sistema algebraico transform´ andolo en otro. A continuaci´ on se presentar´ an algunos ejemplos de c´ omo funcionan estos m´etodos.

Ejemplo 3.1. Considere la ecuaci´ on

aX ² + bX + c = 0

con a, b, c ∈ C y a 6= 0. Dividiendo ambos lados de la ecuaci´ on por a, y refrescando la notaci´ on, se puede suponer que la ecuaci´ on a estudiar es de la forma

f (X) = X ² + bX + c = 0 ,

con b, c ∈ C. Si se introduce una nueva variable Y tal que X = Y − (b/2) la ecuaci´ on toma la forma

g (Y ) = Y ² − b ² /4
+ c = 0 ,

la cual tiene como conjunto de soluciones las dos (o una en el caso b ² /4
− c = 0) ra´ıces complejas del n´ umero complejo b ² /4
− c. Esto se puede expresar diciendo que existe una funci´ on ϕ : V (f ) → V (g) dada por

ϕ (α) = α + (b/2) , y una funci´ on ψ : V (g) → V (f ) dada por

ψ (β) = β − (b/2) ,

tal que ϕ ◦ ψ = id _V (g) y ψ ◦ ϕ = id _V (f ) . Es importante anotar que las funciones ϕ, ψ son de tipo polin´ omico. Equivalentemente, existe una funci´ on ϕ : V (f ) → V (g) que es biyectiva y que puede expresarse, tanto ella como su inversa, polin´ omicamente.

Ejemplo 3.2. Considere el sistema algebraico de cuatro ecuaciones en tres variables X, Y, Z:

f

(X, Y, Z) = 10X

− 10X − 15Y

3

− 12Z + 4Y

2

Z − 2Z

+ 15Y + 10Y Z + 8Y

− 8 = 0 , f

(X, Y, Z) = −1 + Y

− 2Y

3

+ 2XY + 2Y Z − 2Z = 0 , f

(X, Y, Z) = 2Z − 4Y

Z + 4Z

− 5Y + 5Y

3

− 6Y Z − 2Y

2

+ 2X + 4XZ = 0 , f

(X, Y, Z) = 1 − 6Y

+ 4Z − 8Y

Z + 4Z

+ 5Y

= 0 .

Se puede verificar que si se hace la substituci´ on

X = S ² + T , Y = S + T y Z = 2ST + T ² ,

el sistema se convierte en un sistema formado por cuatro ecuaciones en dos variables que puede llevarse al sistema de una sola ecuaci´ on

g 1 (S, T ) = S ² + T ² − 1 = 0 ,

aplicando ciertas transformaciones de tipo I, II y III. La simplificaci´ on es dram´ atica.

Note adem´ as que el cambio de variables

S = Y − Z − X + Y ² y T = Z + X − Y ² ,

transforma el sistema {g 1 = 0} en un sistema en las variables X, Y, Z, que puede ser llevado al sistema {f 1 = 0, f 2 = 0, f 3 = 0, f 4 = 0} aplicando ciertas transformaciones de tipo I, II y III. Tal como en el ejemplo anterior, esto se puede expresar diciendo que hay una funci´ on ϕ : V (f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) → V (g 1 ) dada por

ϕ (α 1 , α 2 , α 3 ) = α 2 − α 3 − α 1 + α ² ₂ , α 3 + α 1 − α ² ₂
, y una funci´ on ψ : V (g 1 ) → V (f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) dada por

ψ (β 1 , β 2 ) = β ² ₁ + β 2 , β 1 + β 2 , 2β 1 β 2 + β ₂ ²
,

tal que ϕ ◦ ψ = id V (g

) y ψ ◦ ϕ = id V (f

,f

,f

,f

) . Dicho de manera m´ as sucinta, existe una funci´ on ϕ de V (f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) en V (g 1 ) expresable polin´ omicamente y biyectiva, tal que su inversa tambi´en es expresable polin´ omicamente. Note adem´ as que las funciones ϕ y ψ vistas como funciones de A ³ C en A ² C , y de A ² C en A ³ C , respectivamente, no son inversas la una de la otra. Si lo fueran, A ³ C y A ² C ser´ıan homeomorfos, lo cual es falso.

En los ejemplos (3.1) y (3.2), tanto el cambio directo de variables como el inverso, son

dados por polinomios en varias variables. Esta situaci´ on es formalizada a continuaci´ on.

3.2.1 Cambio de variables: presentaci´ on formal

Para estudiar en detalle el contenido de este aparte, consultar [5], p´ aginas 14-20. La formalizaci´ on de lo que ocurri´ o en los ejemplos (3.1) y (3.2), requiere la introducci´on de las siguientes nociones.

Definici´ on 3.1. Sean

f 1 , . . . , f r ∈ C [X 1 , . . . , X n ] y g 1 , . . . , g s ∈ C [Y 1 , . . . , Y m ] , y sean

W = V ((f 1 , . . . , f r )) ⊂ A ⁿ C y Z = V ((g 1 , . . . , g s )) ⊂ A ^m C

las variedades afines definidas por estos conjuntos de polinomios. Una funci´ on ϕ : W → Z se dice que es regular si existen polinomios h 1 , . . . , h m ∈ C [X 1 , . . . , X n ] tales que

ϕ (α 1 , . . . , α n ) = (h 1 (α 1 , . . . , α n ) , . . . , h m (α 1 , . . . , α n )) , para cada (α 1 , . . . , α n ) ∈ W .

Definici´ on 3.2. Sean W y Z como en la definici´ on anterior y sea ϕ : W → Z una funci´ on regular. Se dice que ϕ es una equivalencia o una funci´ on birregular, si existe otra funci´ on regular ψ : Z → W tal que ϕ ◦ ψ = id Z y ψ ◦ ϕ = id W . Esto equivale a exigir que ϕ : W → Z sea regular y biyectiva, y que su inversa sea regular. Se dice que dos variedades afines W y Z son isomorfas, si existe alguna funci´ on birregular de la una en la otra.

Las definiciones (3.1) y (3.2) formalizan el que dos sistemas sean el mismo, excepto por un cambio polin´omico de variables.

Definici´ on 3.3. Dos sistemas {f 1 = 0, . . . , f r = 0}, con f 1 , . . . , f r ∈ C [X 1 , . . . , X n ] y {g 1 = 0, . . . , g s = 0}, con g 1 , . . . , g s ∈ C [Y 1 , . . . , Y m ] se dice que son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son variedades afines isomorfas.

Uno de los problemas centrales de la Geometr´ıa Algebraica es el de determinar cu´ ando dos variedades afines dadas son isomorfas. Como en los dos problemas que ya han sido tratados, hay una soluci´on computacional y una aproximaci´ on te´orica.

3.2.2 Soluci´ on computacional

El m´etodo de bases de Gr¨ obner proporciona un algoritmo eficiente que permite decidir si dos variedades afines

V (f 1 , . . . , f r ) ⊂ A ⁿ C y V (g 1 , . . . , g s ) ⊂ A ^m C

son isomorfas. En caso de ser isomorfas, el algoritmo proporciona un isomorfismo expl´ıci-

to, ver [1] para m´as detalles.

3.2.3 Aproximaci´ on te´ orica

Como se acaba de ver, la soluci´on computacional es completa. Sin embargo, los ge´ome- tras algebraicos se interesan en distinguir “cualitativamente” las variedades afines. De manera precisa, esto significa hallar un conjunto, ojal´ a completo, de invariantes para las variedades afines. Un invariante para las variedades afines es una asignaci´ on de un ente matem´atico de alg´ un tipo (un grupo, un polinomio, etc´etera) a cada variedad af´ın, que satisfaga las siguientes condiciones:

1. Si dos variedades afines son isomorfas entonces el invariante les asigna entes iso- morfos.

2. Que sea relativamente f´ acil de computar para cada variedad.

Una familia de invariantes se dice que es completo si se cumple que dos variedades afines son isomorfas si y s´ olo si todos los invariantes de dicha familia coinciden. Gran parte de la actividad de la Geometr´ıa Algebraica consiste en buscar dicha familia de invariantes.

Cabe aqu´ı la siguiente analog´ıa. Se puede afirmar que clasificar las especies animales significa ser simplemente capaz de distinguir dos especies distintas por cualquier detalle m´ınimo en que difieran. Tal esquema de clasificaci´ on ser´ıa poco inteligente. No admite, por ejemplo, el que dos animales sean parecidos, o de la misma familia, sino que los ve como id´enticos o no id´enticos. Es como si asignara distancia 1 si son distintos y 0 si son iguales. Un orden m´as inteligente los agrupa de acuerdo a caracter´ısticas m´as generales, como asignando una m´etrica m´as compleja en el conjunto de las especies animales. De hecho, una buena agrupaci´ on termina siendo el reflejo de la historia de la construcci´ on de los animales mismos, es decir, de la evoluci´ on.

Finalmente, el problema de clasificaci´ on de variedades afines admite un replantea- miento de tipo puramente algebraico. A continuaci´ on se discute este punto.

3.2.4 Traducci´ on del problema de clasificaci´ on de variedades afines a un problema de clasificaci´ on puramente algebraico

Para estudiar en detalle el contenido de este aparte, consultar [5], p´ aginas 14-20.

Sea X = V ((f 1 , . . . , f r )) ⊂ A ⁿ C una variedad af´ın. Considere el conjunto de funciones polin´omicas de la variedad en el campo de los complejos

C [X] = { f | _X : f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] } .

Este conjunto con la suma y la multiplicaci´ on usual de funciones forma un anillo. Este anillo es claramente isomorfo al anillo

C [X 1 , . . . , X n ] /I (X) , donde

I (X) = {f ∈ C [X 1 , . . . , X n ] : f | _X ≡ 0} .

Este ´ ultimo anillo es, a su vez, isomorfo a

C [X 1 , . . . , X n ] /Rad ((f 1 , . . . , f r )) ,

por el Nullstellensatz fuerte. Este anillo se denomina anillo de coordenadas de la variedad X, y se denota por C [X]. Por ser can´ onicos los isomorfismos entre los tres anillos ante- riores es com´ un usar C [X] para denotar simult´ aneamente estos tres anillos. Sea Y ⊂ A ^m C

otra variedad af´ın y ϕ : X → Y una funci´ on regular. ´ Esta induce un homomorfismo de anillos ϕ ^∗ : C [Y ] → C [X] definido por ϕ ^∗ (f ) = f ◦ ϕ. Tomar * tiene las siguientes dos propiedades. En primer lugar, si id X denota la funci´ on identidad de X, e id C [X] denota el homomorfismo identidad del anillo C [X] , entonces

(id X ) ^∗ = id C [X] .

En segundo lugar, si W ⊂ A ^l C es otra variedad af´ın, y ψ : Y → W es una funci´ on regular, entonces

(ψ ◦ ϕ) ^∗ = ϕ ^∗ ◦ ψ ^∗ .

Adem´as, para todo homomorfismo h : C [Y ] → C [X] existe una ´ unica funci´ on regular ϕ : X → Y tal que

ϕ ^∗ = h .

Estos hechos implican el teorema (3.3), el cual da una caracterizaci´ on algebraica de la equivalencia de variedades afines.

Teorema 3.3. Las variedades afines X y Y son isomorfas si y s´ olo si sus anillos coor- denados C [X] y C [Y ] son isomorfos.

3.3 Tercera manera de comparar los conjuntos de soluciones de dos sistemas algebraicos: correspondencia v´ıa cambios de variables racionales

Para el estudio detallado del contenido de esta subsecci´ on, consultar [5] p´ aginas 22-27.

Esta noci´on de equivalencia surge de la posibilidad de transformar un sistema algebraico en otro usando cambios de variables de tipo racional, es decir, que sean expresables como cocientes de polinomios en varias variables. He aqu´ı algunos ejemplos.

Ejemplo 3.3. Considere la ecuaci´ on

Y ² − X ² − X ³ = 0 . Las substituciones

X = T ² − 1, Y = T T ² − 1
,

convierten esta ecuaci´ on en una ecuaci´ on en la variable T , equivalente a la ecuaci´ on 0 = 0 en la variable T . Rec´ıprocamente, la ecuaci´ on 0 = 0 es equivalente a la ecuaci´ on

T T ² − 1

2

= T ² − 1
2

+ T ² − 1
3

.

Se puede ver que la substituci´ on

T = Y /X

convierte esta ´ ultima ecuaci´ on en una ecuaci´ on equivalente a la ecuaci´ on Y ² − X ² − X ³ = 0 .

Es crucial destacar que los cambios de variables directo e inverso, son dados por expre- siones racionales.

Antes de dar una definici´ on formal de lo que significa el que dos variedades afines sean equivalentes bajo cambios racionales de variables, son necesarias las siguientes defi- niciones.

Definici´ on 3.4. Sea X ⊂ A ⁿ C una variedad af´ın. Se dice que tal variedad es reducible si existen dos variedades Y, Z ⊂ A ⁿ C con Y 6= X y Z 6= X, tal que X = Y ∪ Z. Se dice que una variedad es irreducible si no es reducible.

Es tambi´en necesario dotar a cada variedad af´ın de una topolog´ıa especial, llamada topolog´ıa de Zariski.

Definici´ on 3.5. Sea X ⊂ A ⁿ C una variedad af´ın. La colecci´ on { X ∩ G : A ⁿ C − G es una variedad af´ın de A ⁿ C }

de subconjuntos de X, es una topolog´ıa para X. Esta topolog´ıa se llama topolog´ıa de Zariski de X. Un subconjunto U de X se dice que es denso en X, si la intersecci´ on de todos los cerrados que lo contienen es X.

Teorema 3.4. Sea X una variedad af´ın irreducible. Entonces todo abierto no vac´ıo de Zariski de X es denso en X.

Teorema 3.5. El anillo coordenado C [X] de una variedad af´ın irreducible X no tiene divisores de cero, es decir, es un dominio entero.

Todo dominio entero puede ser embebido en su campo de fracciones, consultar [4].

Definici´ on 3.6. El campo de fracciones del anillo C [X] , donde X es una variedad af´ın irreducible, se llama campo de funciones racionales de X y se denota por C (X). A cada uno de sus elementos se le denomina funci´ on racional de X.

Note que este campo es una construcci´ on puramente algebraica. Sin embargo, es posi- ble interpretar sus elementos como verdaderas funciones con valores complejos, definidas en “casi toda” la variedad X.

Definici´ on 3.7. Un elemento ϕ ∈ C (X) se dice que es regular en el punto α ∈ X, si

existe una representaci´ on ϕ = f /g con f, g ∈ C [X], tal que g (α) 6= 0. En este caso se

dice que α es un punto regular de ϕ.

Si α ∈ X es un punto regular de ϕ ∈ C (X), entonces tiene sentido hablar del valor que ϕ toma en α.

Definici´ on 3.8. El valor que ϕ toma en un punto regular α, se define por f (α) /g (α) ∈ C, donde f /g es cualquiera de las representaciones de ϕ con g (α) 6= 0. Tal valor se denotar´ a por ϕ (α).

Observaci´ on 3.1. La validez de esta definici´ on usa impl´ıcitamente el hecho de que el n´ umero complejo ϕ (α) no depende de la representaci´ on de ϕ que se use.

Definici´ on 3.9. El conjunto de todos los puntos regulares de ϕ ∈ C (X) es un abierto no vac´ıo de la topolog´ıa de Zariski de X (y por tanto es denso en X). A este conjunto se le llama dominio de ϕ, y se denota por Dom (ϕ).

Definici´ on 3.10. Sean X ⊂ A ⁿ C y Y ⊂ A ^m C variedades afines irreducibles. Una funci´ on racional ϕ de X en Y (lo cual se denota por ϕ : X → Y ) es una colecci´ on de m funciones racionales ϕ 1 , . . . , ϕ m ∈ C (X), tales que (ϕ 1 (x) , . . . , ϕ m (x)) ∈ Y para todo x ∈ Dom (ϕ 1 ) ∩ . . . ∩ Dom (ϕ m ) . Se dice que cada punto x de Dom (ϕ 1 ) ∩ . . . ∩ Dom (ϕ m ) es un punto regular de ϕ y que (ϕ 1 (x) , . . . , ϕ m (x)) es el valor de ϕ en x. El conjun- to Dom (ϕ 1 ) ∩ . . . ∩ Dom (ϕ m ) se llama dominio de ϕ y se denota por Dom (ϕ). Se llamar´ a imagen de ϕ al conjunto

{ y ∈ Y : existe x ∈ Dom (ϕ) con ϕ (x) = y } .

Este conjunto se denota por ϕ (X).

Definici´ on 3.11. Sean X ⊂ A ⁿ C y Y ⊂ A ^m C variedades afines irreducibles, y sea ϕ : X → Y una funci´ on racional. Se dice que ϕ es un isomorfismo birracional si ad- mite una inversa, es decir, si existe una funci´ on racional ψ : Y → X tal que ϕ (X) es denso en Y, ψ (Y ) es denso en X y ϕ ◦ ψ (x) = x para aquellos x ∈ Dom (ψ) ta- les que ψ (x) ∈ Dom (ϕ), y que ψ ◦ ϕ (x) = x para aquellos x ∈ Dom (ϕ) tales que ϕ (x) ∈ Dom (ψ). Se dice que dos variedades afines son birracionalmente isomorfas si existe al menos un isomorfismo birracional de la una en la otra.

La definici´ on (3.11) es precisamente la tercera manera como se puede entender que

dos variedades afines sean la “misma”. Esta noci´ on motiva el problema de clasificaci´ on

de variedades afines excepto por isomorfismo birracional: ¿Cu´ ando dos variedades afines

irreducibles son isomorfas birracionalmente? El autor s´ olo conoce un replanteamiento

te´orico de este problema de clasificaci´ on que se presenta a continuaci´ on.

3.3.1 Replanteamiento te´ orico

La clasificaci´ on birracional de variedades afines es obviamente menos fina que la clasifica- ci´on salvo isomorfismos. Entonces, la clasificaci´ on birracional no tiene solamente inter´es en s´ı misma, sino que se puede considerar como un primer paso en la soluci´on del proble- ma de clasificaci´ on salvo isomorfismos. Los ge´ometras se han dedicado a la b´ usqueda de conjuntos completos de invariantes birracionales para las variedades afines. Este estudio se ha llamado Geometr´ıa Birracional (m´ as detalles en [5]).

3.3.2 Traducci´ on del problema de clasificaci´ on birracional de variedades afi- nes a un problema puramente algebraico

Sean X ⊂ A ⁿ C y Y ⊂ A ^m C variedades afines irreducibles, y sea ϕ : X → Y una funci´ on racional tal que ϕ (X) es denso en Y . Si se considera la funci´ on de Dom (ϕ) en ϕ (X) que ϕ define, entonces se denotar´ a por ϕ ^∗ (f ) a la funci´ on compuesta

f | ϕ(X)∩Dom(ψ) ◦ ϕ| _Dom(ϕ) ,

donde f denota cada funci´ on de Y en C inducida por un elemento de C (Y ) . Es f´acil ver que ϕ ^∗ (f ) es la funci´ on inducida por un ´ unico elemento en C (X) que se denota nuevamente por ϕ ^∗ (f ). Se puede verificar que la funci´ on ϕ ^∗ : C [ Y ] → C (X) as´ı definida es un homomorfismo inyectivo del anillo C [Y ] en el campo C (X). Este homomorfismo a su vez, extiende a un ´ unico homomorfismo inyectivo del campo C (Y ) de fracciones de C [Y ], en C (X), que tambi´en se denota por ϕ ^∗ . Ahora, si a´ un se supone que ϕ (X) es denso en Y y que ψ : Y → Z es una funci´ on racional, entonces se puede verificar f´acil- mente que su composici´ on ψ ◦ ϕ como funciones determina un´ıvocamente una funci´ on racional (como colecci´ on de elementos de C (X)) de X en Z, que se denota nuevamente por ψ ◦ ϕ. Es adem´as cierto que (ψ ◦ ϕ) ^∗ = ϕ ^∗ ◦ ψ ^∗ , y que si id X denota la funci´ on identidad de X, e id C(X) denota el homomorfismo identidad del campo C (X), entonces id ^∗ _X = id C (X) . Estos hechos implican que si ϕ : X → Y es un isomorfismo birracio- nal, entonces ϕ ^∗ : C (Y ) → C (X) es un isomorfismo de campos. Rec´ıprocamente, si h : C (Y ) → C (X) es un isomorfismo de campos, entonces existe un ´ unico isomorfismo birracional ϕ : X → Y tal que h = ϕ ^∗ .

Esto demuestra, en particular, que dos variedades afines son birracionalmente isomor- fas si y s´ olo si sus campos de funciones racionales son isomorfos.

4 Conclusiones

Los problemas centrales de la geometr´ıa algebraica tienen origen en los trucos de cambio

de variable para solucionar sistemas algebraicos.

Agradecimientos

El autor agradece a la Universidad EAFIT por brindar un inmejorable ambiente de trabajo acad´emico.

Referencias

[1] W. Adams y P. Loustaunau. An introduction to Gr¨ obner bases, Graduate Studies in Mathematics, 3, American Mathematical Society, 1994.

[2] K. Kendig. Elementary Algebraic Geometry, New York: Springer-Verlag, 1977.

[3] S. Lang. Complex Analysis, Springer Verlag, fourth edition, 1999.

[4] John B. Fraleigh. A first course in Abstract Algebra, Addison Wesley, seventh edition, 2002.

[5] I. R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry, Berlin: Springer-Verlag, 1977.