Yanethsy Jaimes

(1)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 3

PRELIMINARES

Antes de hablar de series de potencias hagamos un breve repaso de algunos conceptos que son la base para el desarrollo de este material, siendo fundamental su comprensión ya que de ello depende la facilidad con la que nos vamos a ir familiarizando con cada uno de los contenidos expuestos a lo largo de cada sección.

1. SUCESIONES

Una sucesión

 

an , es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, donde los valores funcionales a a a₁, ₂, ₃, ,a_n, representan los términos de la sucesión.

Ejemplo 1.1 Para la sucesión

2 1 n n

 

  

 , los cuatro primeros términos son

1 2 3 4

, , , ,

2(1) 1 2(2) 1 2(3) 1 2(4) 1    1 2 3 4

, , , , 3 5 7 9

1.1. Convergencia de sucesiones

La sucesión

 

a_n , converge o es convergente si existe un L tal que

n n

Lím a L

  , en caso contrario, se dice que

 

a_n diverge, o que es divergente.

Ejemplo 1.2 Determinar si

2 1 n n

 

  

  converge, en caso afirmativo, ¿a qué valor?

En ocasiones se hace conveniente empezar una sucesión en a₀, quedando los términos de la sucesión como

0, ,1 2, 3, , _n,

a a a a a

(2)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

4

Apliquemos la definición para convergencia de una sucesión

¹

2 1 2

n n n

Lím a Lím n L

   n  

 Entonces,

2 1 n n

 

  

  converge a ¹ 2.

2. SERIES INFINITAS

Una serie viene dada por la suma de los infinitos términos de una sucesión y pueden ser de términos fijos o de términos variables. Las de términos fijos son las denominadas series numéricas, parte fundamental para el desarrollo de las series de términos variables (Series de Potencias).

Repasemos entonces los criterios y teoremas de las series numéricas que van a ser de gran importancia para el desarrollo de las series de potencias.

2.1. Series Numéricas

Comencemos con un ejemplo, nótese que, ⁷ 0, 777777... 0, 7

9  

7 7 7 7 7

10 100 1000 10000 10ⁿ

      

Obsérvese que la suma anterior es una suma infinita. Si buscamos una forma de simplificar dicha suma, obtenemos la siguiente igualdad,

1

7 7 7 7 7 7

10 100 1000 10000 10ⁿ _n 10ⁿ





      



Donde ⁷

10ⁿ el término n-ésimo de la serie

1

7 10ⁿ

n





 ^.

(3)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 5 Entonces

1

7 10ⁿ

n





 , es una serie de términos fijos o serie numérica y ⁷ 9 es su suma.

Observe como una serie numérica viene dada por una suma infinita de términos fijos, a partir de esto vamos a establecer su definición.

Definición

Si

 

an es una sucesión infinita, entonces

n n

n a a a a

a     



^



3 ....

1

2 1

Se denomina serie numérica, y a a a₁, ₂, ₃, ,a_n , son los términos de la serie.

Ahora, ¿cómo calcular la suma de infinitos términos? ¿Podemos sumar infinitos términos?

Vamos a ir sumando término a término y llamaremos sumas parciales a las sumas resultantes en cada caso, donde,

1 1

S a 1ra suma parcial

2 1 2

S  a a 2da suma parcial

3 1 2 3

S   a a a 3ra suma parcial

1 2 3

n n

S     a a a a n-ésima suma parcial

Si

  

S_n  S S S1, 2, 3, ,S_n,



corresponde a la sucesión de las sumas parciales y verificamos su convergencia usando el teorema de convergencia para sucesiones tenemos que,



1 2 3



1

n n n

n n

n

Lím S Lím a a a a a



  

     



Si   S / _n

n

Lím S S

  , diremos que S_n converge y en tal caso S corresponde al valor de la suma infinita y escribiremos,

1 n n

a S









(4)

6

siempre y cuando el límite de su n-ésima suma parcial exista. Debemos ahora pasar a la siguiente definición:

2.1.1. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES NUMÉRICAS

Sea

 

a_n una serie numérica y

 

Sn su sucesión de sumas parciales, entonces:

i) Si  S / _n

n

Lím S S

  , diremos que la serie converge a S, y así,

1 n n

a S









ii) Si _n

n

Lím S

  , entonces la serie diverge, y en tal caso admitimos que no tiene suma.

Ejemplo 2.1 Determinar si la serie

1

1 ( 2)( 3)

n n n



  



converge usando el límite de su n- ésima suma parcial, y de ser posible, calcular su suma.

Solución

Antes de calcular S , es conveniente descomponer la función _n a en sus _n fracciones parciales, para así obtener una expresión simplificada para S . _n Aplicando la descomposición en fracciones parciales nos queda:

1 1 1

( 2)( 3) 2 3

an

n n n n

  

   

Calculemos entonces S , _n

1 1 1 1 1 1 1 1

3 4 4 5 5 6 6 7

1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 3

Sn

n n n n n n

       

              

     

               

(5)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 7 Simplificando, nos queda que 1 1

3 3

Sn

 n



¹ ¹ ¹

3 3 3

n n n

Lím S Lím

  n

 

     

Entonces la serie converge y su suma vale ¹ 3.

El calculo de la n-ésima suma parcial (S ) en ocasiones se complica, lo que _n dificulta el uso de la definición para verificar la convergencia de las series numéricas, es por ello que surge la necesidad de desarrollar otros criterios y teoremas que permitan concluir sobre el comportamiento de las series numéricas. A continuación mostraremos un resumen de los criterios que nos ayudaran a identificar el comportamiento de las series numéricas, donde la conveniencia del uso de cada criterio va a depender de la forma de la función n-ésima (a ). _n

Tabla 2.1.1 Resumen de Criterios de Convergencia y Divergencia para las Series Numéricas Criterio Serie Convergencia o Divergencia Comentario Término

n-ésimo _n ₁^aⁿ





 Diverge si _n 0

n

Lím a

  . No concluye si _n 0

n

Lím a

  , condición necesaria pero no suficiente de convergencia.

Serie Geométrica

1 1

n

ar

 



 i) Converge a

1 a

r, si r <1.

ii) Diverge si r 1.

Útil para criterios de comparación.

Series p

1

p

n n







i) Converge si p>1.

ii) Diverge si p1.

Si la serie converge su suma se puede aproximar con los primeros k términos (S ) donde el error cometido _k en la aproximación R_k, va a estar acotado por:

0<R_k< 1 ₁ (p1)k^p^ Útil para criterios de comparación.

Leibnitz 1

( 1)ⁿ _n

n

a







 a >n 0

Converge si se cumple que el

n 0

n

Lím a

  y a_n_₁a_n, 1

n k

   .

Únicamente puede ser aplicado a series alternas, y no concluye divergencia. Si la serie converge su suma se puede aproximar con los primeros k términos (S ) donde el _k error cometido en la aproximación R_k, va a estar acotado por:

0<R_k< a_n_₁ .

(6)

8

Criterio Serie Convergencia o Divergencia Comentario

1 n n

a







1 n n

a





 ^Siⁿ ¹ ^aⁿ





 es convergente, entonces

1 n n

a





 también converge.

Útil para series de términos negativos, series alternas y series de términos cualesquiera.

Tabla 2.1.2. Resumen de Criterios de Convergencia y Divergencia para las series numéricas de términos positivos,

1 n n

a





 ^con^{a >}ⁿ ⁰^.

Criterio Convergencia o Divergencia Comentario

Comparación

i) Converge, si a_n b_n y

1 n n

b





 ^converge.

ii) Diverge, si a_n b_n y

1 n n

b





 ^diverge.

Donde

1 n n

b





 es una serie patrón (de comportamiento conocido), suelen ser geométricas o p, debido a que son series sencillas de analizar.

Comparación por límite

i) Converge, si ⁿ 0

n n

Líma

 b  y

1 n n

b





 ^converge.

ii) Diverge, si ⁿ

n n

Líma

 b   y

1 n n

b





 ^diverge.

iii) Si ⁿ

n n

Líma L

 b  , L/L>0, ambas series convergen o divergen simultáneamente.

Donde

1 n n

b





 es una serie patrón (de comportamiento conocido), suelen ser geométricas o p, debido a que son series sencillas de analizar.

Integral

n ( ) a  f n y n x Donde:

( )

f x debe ser positiva, continua y decreciente

1 x m

  

i) Converge si ( )

m^ f x dx



es convergente.

ii) Diverge si ( )

m^f x dx



es divergente.

Si la serie converge su suma se puede aproximar con los primeros k términos (S ) donde el error _k cometido en la aproximación R_k, va a estar acotado por:

0<R_k< ( )

k^ f x dx



Razón Con

n 0,

a n

i) Converge si ⁿ ¹

n n

Líma a



 <1.

ii) Diverge si ⁿ ¹

n n

Líma a



 >1.

Si ⁿ ¹

n n

Líma a



 =1 el criterio no concluye.

Raíz i) Converge si ⁿ _n

Lím an

 <1.

ii) Diverge si ⁿ _n Lím an

 >1.

Si ⁿ _n

n

Lím a

(7)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 9 Continuación…

Criterio Convergencia o Divergencia Comentario

Raabe Únicamente si

lim ⁿ 1

n n

a a



 =1

i) Converge si 1 ⁿ ¹

n n

Lím n a a





 

  

 >1.

ii) Diverge si 1 ⁿ ¹

n n

Lím n a a





 

  

 <1.

Si 1 ⁿ ¹

n n

Lím n a a





 

  

 =1 el criterio no concluye.

2.1.2. SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA

Cuando hablamos de series de términos cualesquiera, su nombre lo indica, son series donde sus términos pueden ser: positivos, negativos, alternos o de diferente signo sin un orden específico, como por ejemplo:

           

1

1 2 3 4 5

n

sen n sen sen sen sen sen





     



Entonces,

 

1

0,8414 0,9092 0,1411 0, 7568 0,9589

n

sen n





     



Para verificar el comportamiento de dichas series, haremos uso de los siguientes criterios

2.1.3. CRITERIOS PARA CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

DEFINICIÓN: Una serie infinita

1 n n

a





 ^es:

i) Absolutamente convergente si la serie de los módulos

1 n n

a





 converge.

ii) Condicionalmente convergente si

1 n n

a





 converge y la serie de los módulos

1 n n

a





 ^diverge.

(8)

10

convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia haciendo uso de la definición y el criterio de convergencia para la serie de los módulos

1 n n

a





 establecido en la tabla 2.1.1:

Analizamos el comportamiento de la serie de los módulos inicialmente:

La

1 n n

a





 Converge Absolutamente Converge

1 n n

a





 Si La

1 n n

a





 Converge Condicionalmente Analizamos

1 n n

a





 ^Si

La

1 n n

a





 ^Diverge

También podemos hacer el esquema analizando inicialmente, la serie

1 n n

a





 ^:

La

1 n n

a





 Converge Absolutamente Analizamos

1 n n

a





 ^Si

1 n n

a





 Si La

1 n n

a





 Converge Condicionalmente La

1 n n

a





 Diverge

De la definición se puede concluir que todas las series infinitas se pueden clasificar en uno de los siguientes tipos: Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes o Divergentes. Por supuesto, las series de términos positivos sólo pueden ser absolutamente convergente o divergente, demuéstrelo!

Los criterios de la Razón y la Raíz aplicados a las series de los módulos también pueden emplearse para verificar convergencia absoluta (y en consecuencia convergencia) o divergencia. Algunos autores suelen llamar a estos criterios “Extensiones de la Razón y la Raíz para convergencia absoluta”.

(9)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 11 Estos criterios, como veremos luego, son de gran utilidad para analizar convergencia y divergencia de una serie de potencias.

Tabla 2.1.3. Criterios de la Razón y la Raíz para Convergencia Absoluta o Divergencia de series numéricas de la forma

1 n n

a





 ^.

Criterio Convergencia Absoluta o Divergencia Comentarios Razón

Con

n 0,

a n

i) Converge Absolutamente si ⁿ ¹

n n

Lím a a



 <1.

ii) Diverge si ⁿ ¹

n n

Lím a a



 >1.

Si ⁿ ¹

n n

Lím a a



Raíz

i) Converge Absolutamente si ⁿ _n

n

Lím a

 <1.

ii) Diverge si ⁿ _n

n

Lím a

 >1.

Si ⁿ _n

n

Lím a

(10)

12

SERIES DE POTENCIAS

Como vimos en los preliminares las series infinitas pueden ser de términos fijos (Series Numéricas) o de términos variables (Series de Potencias), estas últimas tienen mayor aplicabilidad, siendo la de términos fijos la base para su desarrollo. En matemática evaluar funciones transcendentes (senx e lnx etc, ^x, , .), suele complicarse para casos como por ejemplo,

(1, 23456)

cos donde no se puede dar resultado numérico fácilmente sin la ayuda de una calculadora. Las Series de Potencias permiten calcular aproximaciones muy precisas de cualquier función trascendente, siendo ésta una de sus tantas aplicaciones. Hoy en día son factor importante en el desarrollo de la tecnología digital como: televisión digital, fotografía digital, entre otras, y áreas tradicionales de investigación científica como la tomografía, holografía y la espectroscopia están apoyadas en el concepto de series.

Vamos a deducir una serie de términos variables a partir de una serie de términos fijos, la serie geométrica denotada como



^



 1

1 n

arn Si hacemos r x , siendo x una variable y a1 nos queda:

^      ^ 





 ² ³ ¹ 1

1 1 ⁿ

n

n x x x x

x

Por ser una serie geométrica, la serie converge si x < 1 1 < x < 1, entonces ^x^{ }



^{1, 1}



y la suma de la serie es ¹

1 x . Así, puede plantearse la igualdad:

¹ ² ³ ¹

1

( ) 1 1

1

n n

n

f x x x x x x

x si

1,1 x

Si ( ) ¹

f x 1

 x

 , entonces la serie ¹

1 n

n

x

 



 , sirve para aproximar la función f siempre que ^x^{ }



^{1, 1}



, lo que representa, como veremos luego, una de las grandes aplicaciones de las series de potencias para aproximar funciones.

(11)

Figura 1 Gráfica de

x x

f  

1 ) 1

( y

las tres primeras sumas parciales de



^

0 n

xn

Por conveniencia, comencemos la serie en n 0. Así,

 

0

1 1,1

1

n

x si x x





  





La figura 1 muestra una gráfica de x x

f  

1 ) 1

( junto con las tres primeras sumas parciales de su serie, en el intervalo de



¹^,¹



:

0 0 1

S a  Primera suma parcial

1 0 1 1

S a   a x Segunda suma parcial

2

2 0 1 2 1

S a  a a   x x Tercera suma parcial

Observe que cuando n crece, S_n se aproxima cada vez más a f(x), entonces si n es lo suficientemente grande, la serie se comporta de manera similar a la función.

DEFINICIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

Una serie de potencias centrada en c, para c, es una suma infinita denotada por

0

( )ⁿ

n n

a x c







 . Es decir,



  



















^ 



n n

n

n x c a a x c a x c a x c a x c

a ( ) ₀ ₁( ) ₂( )² ₃( )³ ( )

0

Ejemplo 1.1 La serie

0 n

n

x





 es una serie de potencias centrada en cero (c0), con

n 1 a 

Ejemplo 1.2



f(x)

S0

S2

S1

-1 1

1 2 3

x y

(12)

14

La serie





 

0

) 3 4( 1

n

x n

n es una serie de potencias centrada en 3 (c3), con ¹

n 4 a  n

 .

Como mencionamos anteriormente, las series de potencias tienen gran utilidad ya que nos permiten aproximar una función a partir de la suma de sus términos. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1.3

Sea ¹

 

1

( ) 1 1,1

1

n

f x x si x

x

 



   





, aproximar el valor de ^f

 

¹ ^y

1 f  2

  , usando el desarrollo en series de potencias indicado.

Solución

Si queremos aproximar la función a partir del desarrollo en series, únicamente será posible para valores de x en el intervalo donde la igualdad se cumple, o sea, ^x^{ }



^1,1



, que son los valores donde la serie es convergente. A dicho intervalo se le denominará intervalo de convergencia de la serie como veremos más adelante.

Entonces no es posible aproximar ^f

 

¹ , con el desarrollo en series indicado, ya que en x1 la serie no es convergente.

Ahora, ¹



^1,1



2  , entonces es posible asignarle a x el valor de ¹ 2, y de esta forma estaremos generando una serie numérica que se sabe es convergente.

Haciendo ¹

x 2 nos queda entonces:

1

1 1 1

1 2

2 2

1 2

n

f

 



     

   

  



 

Observe como la serie de términos variable se transforma en una serie de términos fijos. En este caso, una serie geométrica donde a1, 1

r2 y

Las series de potencias son de gran utilidad, ya que nos permiten aproximar el valor de una determinada función como se ha visto, ahora, dicha aproximación será posible únicamente para los valores de x donde la serie sea convergente, por esta razón, siempre que se asocie una serie de potencias a una determinada función es necesario indicar para que valores de x la serie de potencias es convergente.

(13)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 15 1

f  2

   coincide con la suma de la serie geométrica convergente que resulta.

Así se cumple que:

2 3 4

1 1 1 1 1

2 2 1 2 2 2 2

f               

       

Del ejemplo 1.3 se concluye que al asociar una serie de potencias a una función f , de la forma

0

( ) _n( )ⁿ

n

f x a x c







 , si queremos aproximar el valor de la función para un determinado valor de x a partir del desarrollo en series asociado, es necesario conocer para que valores de x la igualdad se cumple, o sea, para que valores de x la serie converge. Vamos a detenernos entonces en como calcular estos valores, antes de desarrollar series de potencias para diferentes funciones.

INTERVALO Y RADIO DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS

Sea

0

( ) _n( )ⁿ

n

f x a x c







 , llamaremos intervalo de convergencia los valores para los cuales la serie asociada a f converge, y su radio de convergencia ( )r la medida de la longitud calculada del centro de la serie

 

c a cada extremo del intervalo de convergencia.

Ahora, ¿Qué criterios utilizar a la hora de calcular los valores de x para los cuales la serie

0

( )ⁿ

n n

a x c







 es convergente?

Si recordamos los criterios para analizar el comportamiento de las series (Tablas 2.1.1 y 2.1.2. Preliminares), el criterio a utilizar depende de la forma de la función n-ésima. En el caso de las series de potencias el término general denotado como

0

( )ⁿ

n n

a x c







 , no lo podemos identificar como positivo, negativo o alterno ya que depende de la variable x , por lo que la analizamos como una serie de términos cualesquiera. Por lo que se utilizaran los Criterios de la Razón y la Raíz para Convergencia Absoluta o Divergencia,



(14)

16

y el criterio para la serie

1 n n

a (ver preliminares), para determinar el intervalo de convergencia de la serie. Y así:

Criterio de la Razón para Convergencia Absoluta

1

1( )

( )

n n

n

a x c

Lím a x c







 = _n

n n n

n a x c

c x c x Líma

) (

) ( )

1(



 



 =

n n

n a

Líma c

x ^¹



  = xcL

Haciendo ⁿ ¹

n n

L Lím a a



 

Entonces para que sea absolutamente convergente xcL<1

Criterio de la Raíz para Convergencia Absoluta

n n

n an x c

Lím (  )



 = ⁿ _n

n

a Lím c x





 = xcL

Haciendo ⁿ _n

L Límn a

 

Entonces para que sea absolutamente convergente xcL<1

En ambos casos la serie converge absolutamente, y en consecuencia converge, si xcL<1.

Así, el intervalo de convergencia de la serie

0

( )ⁿ

n n

a x c







 , viene dado por

los valores de x , donde la desigualdad xcL<1 se cumple. Esto va a depender del valor que tome L en cada caso, ya que L puede ser:

I) Un número real que se sabe, debe ser positivo (se genera de evaluar un límite de una función en valor absoluto).

II) Igual a cero.

III) Infinito positivo.

Estudiemos entonces que sucede con el intervalo de convergencia de la serie de potencias

0

( )ⁿ

n n

a x c







 , en cada caso:

INTERVALO Y RADIO DE CONVERGENCIA PARA



^







0

) ( )

(

n

n x c

a x f

Intervalo: son los valores de

x donde xcL < 1

Radio: r

r c r( c c r) 

(15)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 17 CASO I: L / L>0

L c

x <1  xc<

L1  Por propiedad de módulos L

1 < xc<

L1

 c L1

 < x < c L

1  _



 



  

 c L

c L

x 1

1,

. Entonces:

Intervalo de convergencia = _



 



   c L

c L 1

1, Radio de convergencia = r ¹

 L

Ahora, ¿Qué sucede cuando xcL 1?

Cuando xcL=1 el criterio para convergencia absoluta tanto para la razón como para la raíz no son concluyentes, entonces es necesario analizar el comportamiento de la serie para los valores donde esto ocurre, a este estudio lo llamaremos Análisis de Extremos, o sea, donde

c L

x 1



 .

Al asignarle a x un valor real, la serie de potencias pasa a ser una serie numérica, que analizaremos con el criterio más conveniente de acuerdo a la función de n generada, y así poder concluir si cada extremo pertenece o no, al intervalo de convergencia.

CASO II: L0

L c

x <1  xc0<1  0<1. Esta última desigualdad es una proposición verdadera para toda x real, Así:

Intervalo de convergencia =



,



Radio de convergencia =.

CASO III: L

(16)

18

L c

x <1  x c  

0 si xc

 Si x c  x c    0 0  0 <1. Así:

La serie converge para xc Radio de convergencia = 0.

Los resultados obtenidos en este análisis para las posibilidades de L, conducen al planteamiento del siguiente Teorema:

TEOREMA I: CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIA Si



^





0

) (

n

n x c

a es una serie de potencias, entonces se cumple sólo una de las siguientes proposiciones:

i) Existe un ^r^{  }



^,



^/ ^r^⁰, de modo que la serie converge para



^,



x  c r c r  y diverge para ^x      



^,^{c r}

 

^{c r}^,



, pudiendo o no ser convergente para x c r donde r es el radio de convergencia.

ii) La serie converge para todo x



,



, y el radio de convergencia es

.

iii) La serie converge solo para x c y diverge para el resto de los valores de x , y el radio de convergencia es nulo



^r^⁰



^.

Ejemplo 2.1

Calcular el intervalo y radio de convergencia de la serie de potencias



^



 

0

2 ( 2)

n 1

x n

n

En el caso III, cuando x c efectivamente x c    0 0, esta igualdad pudiera confundir al lector, ya que estamos acostumbrados a ver 0 como una indeterminación. Es conveniente aclarar que se trata de una indeterminación, cuando existe alguna tendencia de la variable x, y en este caso x no tiende a c, por lo que

x c no tiende a 0; En este caso xc, entonces x c 0, y así

0 x c  

(17)

Solución

Usando el Criterio de la Razón:

n n

n a x c

c x Líma

) (

)

( ¹

1



 ^





 =

 

ⁿ

n

x n n

n x

Lím n

) 2 ( 1 ) 1 (

) 1 ( ) 2 )(

1 (

2

2 1







 ^





= x2

n n n

n n Límn

n 2 2

1

2 3







= ^x^^{2 1}

 

Entonces la serie será convergente si, ^x^^{2 1}

 

^<1

 x2<1  1<x2<1  1< x <3

En consecuencia la serie converge, pudiendo o no ser convergente en los extremos.

Apliquemos Análisis de Extremos para verificar el comportamiento de la serie

2 0

( 2) 1

n

n x

n





 



en cada caso:

Cuando x 1 



^



 

0

2 (1 2)

n 1

n

n =



^

 



0

2 1

) 1 (

n

n. Resulta una Serie Alterna.

Analizamos su comportamiento aplicando el Criterio para Series Alternas (Tabla 2.1.1, Preliminares)

Donde se deben cumplir las siguientes condiciones:

i) Que el _n 0

n

Lím a

 

0

2 1





 n Lím n

n ,  Se cumple esta condición.

ii) Que 0< a_n_1a_n, nk1

1 1

) 1 (

1

2

2  



n n n

n 

1 2

2 1

2

2  



n n n

n n

(18)

20

) 2 2 ( ) 1 )(

1

(n n  n n  n  n n n1n 2n 2n. Entonces, n²n1, desigualdad que se cumple n1  Se cumple esta condición.

Se cumplen las condiciones i) y ii), entonces la serie converge para x1

Cuando x3 



^



 

0

2 (3 2)

n 1

n

n =



^

0 

2 1

n n

n , Resulta una Serie de términos positivos.

De los criterios para series de términos positivos (Tabla 2.1.2, Preliminares) usemos el Criterio de Comparación por Límite.

Seleccionemos como serie patrón

1 n n

b





 , a la serie

1

n n







La serie

1

n n





 , es una serie p divergente puesto que p1.

Evaluando ⁿ

n n

Lím a

 b , nos queda 1

2 1

2

 



 n Lím n

n

Como el límite es un número real positivo, ambas series se comportan similarmente, entonces la serie diverge para x3.

Por lo que la serie converge x[1,3) y ¹ ¹ 1 r 1

  L . En conclusión:

r 1 Intervalo de convergencia =



^1,3



Radio de convergencia = 1

Ejemplo 2.2



^





0

) 2 (

n

n n x

n

1 2 3 centro

(19)

Solución

Usando el Criterio de la Raíz:

n n

n an x c

Lím (  )



 = ⁿ ⁿ ⁿ

n n x

Lím ( 2)



 = 2

n

x Lím n



 = x2 .

Donde x2 < 1, sólo si x2, entonces la serie converge únicamente en ese valor.

En Conclusión:

La serie converge para x2. Radio de convergencia = 0.

Ejemplo 2.3



^







0

1 2

)!

1 2 (

) 1 (

n

n n

n

x

Solución

Usando el Criterio de la Razón

1 2 3

2 (2 1)!

)!

3 2

( ^









 ⁿ

n

n x

n n

Lím x =

x x

n n

x

Lím x _n

n

n 2

3

2 (2 1)!

)!

1 2 )(

2 2 )(

3 2 (







=

) 2 2 )(

3 2 (

2 1





 n n

Lím x

n =x²(0)=0<1. Así, la serie converge

 x . En conclusión:

Intervalo de convergencia =



^{ }^,



Radio de convergencia =

Ejemplo 2.4



^







0

2 1 2

) 1 (

) 3 2 ( ) 1 (

n

n n

n

x , ¿Dónde esta centrada la serie?

(20)

22

Usando el Criterio de la Razón

1 2

2 2

3 2

) 3 2 (

) 1 ( ) 2 (

) 3 2 (





 





n n

n x

n n

Lím x = ₂

2 2

) 2 (

) 1 ) (

3 2

( 

 



 n

Lím n x

n = (2x3)²

Entonces la serie converge si (2x3)²<1, Así:

4x² 12x9<1  4x²12x8<0  x² 3x2<0

Así, x² 3x2=(x2)(x1). Donde en la gráfica de la figura 2, se cumple que x² 3x2<0

 

1,2



x

Entonces la serie converge ^{ }^x

 

^{1, 2} ^.Pudiendo o no ser convergente en los extremos.

Apliquemos Análisis de Extremos para verificar el comportamiento de la serie



^







0

2 1 2

) 1 (

) 3 2 ( ) 1 (

n

n n

n

x , en cada caso:

Cuando x1 



^







0

2 1 2

) 1 (

) 1 ( ) 1 (

n

n n

n =



^







0

2 1 3

) 1 (

n

n . Resultando una Serie Alterna

Analizamos su comportamiento aplicando el Criterio para Series Alternas.

Donde se deben cumplir las siguientes condiciones:

i) Que _n 0

n

Lím a

 

 

²

1 0

n 1 Lím

 n 

 ,  Se cumple esta condición.

ii) Que 0<a_n_1a_n, nk1

  

²



²

1 1

2 1

n  n

   n  1 n 2  1 2 , proposición verdadera.

Figura 2 Gráfica de la parábola correspondiente la función

2

2 3x x

1 2 3

1 2

x y

(21)

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 23 Por lo que la desigualdad que se cumple n1.  Se cumple esta condición.

Se cumplen las condiciones i) y ii), entonces la serie converge para x1.

Cuando x2 



^

 



0

)2

1 (

) 1 (

n

n . Resultando una Serie Alterna.

Del análisis anterior, se puede concluir que la serie converge para x2 En conclusión:

r ¹2 Intervalo de convergencia

=

 

^{1 , 2}

Radio de convergencia =12

Ejemplo 2.4 Suponga que



^





0

) 3 (

n

n n x

a converge en x1. ¿Por qué puede concluir que converge en x6?¿Se podría garantizar que converge en x7?

Solución

El centro de la serie es 3, llamaremos r su radio de convergencia entonces la serie converge   x (3 r , 3r), así:

Si la serie converge en x1  1 (3  r , 3r).

(

)

3 r 3 3 r ( )

1 ³₂ 2 centro

Nótese, que la serie anterior esta centrada en x³₂, esto lo podemos observar si la arreglamos a la forma

 

1

n n

n

a x c







 , donde sabemos que c corresponde al centro de la serie.

(22)

24

i) Que x 1, este dentro del intervalo, o sea, 1 >3 r  r > 4

ii) Que x 1, coincida con el extremo del intervalo, o sea,

  1 3 r  r4.

Para ambos casos (i) y (ii), x6 se encuentra dentro del intervalo de convergencia, lo que garantiza que la serie es convergente para ese valor.

Ahora, cuando x7, en el caso (i) se encuentra dentro del intervalo de convergencia, mientras que en (ii) coincide con el extremo del intervalo, por lo que no se puede asegurar que la serie sea convergente para ese valor.

En conclusión, podemos garantizar que la serie converge para x6, pero no para x7.