Restricci´ on de una forma cuadr´ atica a un subespacio

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Formas cuadr´ aticas

y su relaci´ on con formas bilineales

Objetivos. Definir formas cuadr´aticas a trav´es de formas bilineales sim´etricas, establecer las identidades de polarizaci´on, describir formas cuadr´aticas a trav´es de la propiedad homog´enea de grado dos y la identidad de paralelogramo.

Requisitos. Formas bilineales, formas bilineales sim´etricas.

1. Definici´on (forma cuadr´atica). Sea V un espacio vectorial real. Una funci´on q : V → R se llama forma cuadr´atica en V si existe una forma bilineal sim´etrica f ∈ BLs(V ) tal que

∀x ∈ V q(x) = f (x, x).

En esta situaci´on se dice que q es la forma cuadr´atica asociada a la forma bilineal f , y que f es la forma bilineal polar de q. Al conjunto de todas las formas cuadr´aticas en V lo denotemos por Q(V ).

2. Ejemplo. Sea f ∈ BLs(R2),

f (x, y) = 3x1y1− 5x1y2 − 5x2y1+ x2y2. Entonces la forma cuadr´atica asociada a f es

q(x) = 3x21− 10x1x2+ x22.

3. Ejemplo (cuadrado de la norma asociada a un producto interno). Sean V un espacio vectorial real con un producto interno, k · k la norma asociada a este producto interno. Entonces la funci´on q(x) := kxk2 es una forma cuadr´atica en V .

4. Observaci´on. Formas bilineales se pueden considerar como una generalizaci´on de producto interno, y formas cuadr´aticas corresponden al cuadrado de la norma.

5. Ejercicio. Sea q ∈ Q(V ). Demuestre que q(0) = 0.

6. Ejercicio. Sea f ∈ BLs(V ) y sea q ∈ Q(V ) la forma cuadr´atica asociada a f . Demues- tre que para todo u, v ∈ V

q(u + v) = q(u) + 2f (u, v) + q(v).

7. Ejercicio. Sean g, h ∈ BL(V ), g sim´etrica, h antisim´etrica, f = g + h. Consideremos la funci´on q : V → R definida mediante la siguiente regla:

∀v ∈ V q(v) := f (v, v).

Demuestre que q es una forma quadr´atica en V y encuentre su forma bilineal polar (¡sim´etrica!).

Formas cuadr´aticas, p´agina 1 de 3

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8. Proposici´on (identidades de polarizaci´on para una forma cuadr´atica real).

Sea f ∈ BLs(V ) y sea q la forma cuadr´atica asociada a f . Entonces f se puede expresar a trav´es de q mediante las siguientes f´ormulas:

f (u, v) = 1

4 q(u + v) − q(u − v)

∀x, y ∈ V ; f (u, v) = 1

2 q(u + v) − q(u) − q(v)

∀x, y ∈ V.

9. Ejercicio. Demuestre las identidades de polarizaci´on.

10. Proposici´on. Sea q ∈ Q(V ). Entonces q es homog´enea de grado dos y cumple con la identidad de paralelogramo:

q(αv) = α2q(v) ∀v ∈ V ∀α ∈ R;

q(u + v) + q(u − v) = 2(q(u) + q(v)) ∀u, v ∈ V.

11. Ejercicio. Demuestre la proposici´on.

12. Ejercicio. Demuestre que la funci´on q : R2 → R, definida mediante la siguiente regla de correspondencia, no es forma cuadr´atica:

q(x) = x1− x22.

Formas cuadr´aticas, p´agina 2 de 3

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Restricci´ on de una forma cuadr´ atica a un subespacio

13. Definici´on (restricci´on de un mapeo a un subconjunto del dominio). Sean X, Y conjuntos, sea ϕ : X → Y una funci´on y sea Z ⊂ X. Entonces el mapeo ψ : Z → Y , definido mediante la regla

ψ(x) = ϕ(x) ∀x ∈ Z, se llama la restricci´on de ϕ a Z y se denota por ϕ|Z.

14. Proposici´on (restricci´on de una forma cuadr´atica a un subespacio). Sea V un espacio vectorial real, sea q ∈ Q(V ) y sea S un subespacio de V . Entonces q|S ∈ Q(S), es decir, la restricci´on de q a S es una forma cuadr´atica en S.

Demostraci´on. Sea f ∈ BLs(V ) la forma bilineal sim´etrica polar de q. Consideremos su restricci´on al conjunto S × S:

f |S×S: S × S → R, f |S×S(u, v) := f (u, v) ∀u, v ∈ S.

Las igualdades

f (αu + βv, w) = αf (u, w) + βf (v, w), f (u, αv + βw) = αf (u, v) + βf (u, w),

f (u, v) = f (v, u)

se cumplen para cualesquiera α, β ∈ R y cualesquiera u, v, w ∈ V ; en particular, para cualesquiera u, v, w ∈ S. Por lo tanto, f |S×S es una forma bilineal sim´etrica en S. Adem´as para cualquier vector v en S tenemos que

f |S×S(v, v) = f (v, v) = q(v) = q|S(v), lo cual significa que q|S es la forma cuadr´atica asociada a f |S×S.

15. Ejemplo. Consideremos una forma cuadr´atica q ∈ Q(R3) y un subespacio S del espacio R3:

q(x) = x21− 4x1x2− 3x22+ 5x23,

S = {x ∈ R3: x2 = 0} =

 x1

0 x3

: x1, x3 ∈ R

= `(e1, e3).

Entonces

q|S(x) = x21+ 5x23 ∀x ∈ S.

Formas cuadr´aticas, p´agina 3 de 3

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