El n´ucleo de Dirichlet

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El n´ ucleo de Dirichlet

Objetivos. Demostrar varias f´ormulas equivalentes para el n´ucleo de Dirichlet y estudiar sus propiedades elementales.

Requisitos. La suma de la progresi´on geom´etrica, f´ormulas de Euler.

Aplicaciones. El n´ucleo de Dirichlet sirve para representar la suma parcial de Fourier Snpf q en forma integral. Varios resultados sobre la convergencia de sumas de Fourier se demuestran por medio del n´ucleo de Dirichlet.

Monomios y polinomios trigonom´ etricos (repaso breve)

Definici´on 1 (monomios trigonom´etricos). Para cada k en Z, denotamos por ϕk a la funci´on R Ñ C definida mediante la f´ormula

ϕkpθq :“ ek i θ. (1)

Definici´on 2 (polinomios trigonom´etricos). Una funci´on f : R Ñ C se llama polinomio trigonom´etrico o polinomio de Fourier si f es una combinaci´on lineal finita de algunas de las funciones ϕk, k P Z; en otras palabras, si existe un subconjunto finito A de Z y una familia pckqkPA de n´umeros complejos tales que

f “ ÿ

kPA

ckϕk. (2)

En otras palabras, f es un polinomio trigonom´etrico si existe un n´umero n P t0, 1, 2, . . .u y algunos n´umeros ck, k P t´n, . . . , nu, tales que

f “

n

ÿ

k“´n

ckϕk. (3)

Obviamente (3) es un caso particular de (2), con A “ t´n, . . . , nu. Por otro lado, para pasar de (2) a (3), es suficiente poner n :“ maxt|k| : k P Au y ck :“ 0 para k en t´n, . . . , nuzA.

1. Per´ıodo positivo m´ınimio del monomio trigonom´etrico (repaso breve). La funci´on ϕ0 es una funci´on constante, por eso cualquier n´umero real sirve como su per´ıodo, y el per´ıodo positivo m´ınimio no est´a definido. Si k P Zzt0u, entonces para cada θ en R

ϕk

ˆ

θ ` 2π

|k|

˙

“ ek i θ`2π sgnpkq

“ ek i θ “ ϕkpθq,

as´ı que k es un per´ıodo positivo de ϕk. Por otro lado, la funci´on ϕk toma el valor 1 solamente en los puntos de la forma 2πj

|k|, j P Z, por eso es f´acil demostrar que el per´ıodo positivo m´ınimo de ϕkes |k|. Como 2π es un m´ultiplo de |k|, la funci´on ϕk es 2π-peri´odica.

El n´ucleo de Dirichlet, p´agina 1 de 3

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2. Proposici´on (periodicidad de polinomios trigonom´etricos). Cada una de las funciones ϕk es 2π-peri´odica, por eso cualquier polinomio trigonom´etrico tambi´en es una funci´on 2π-peri´odica.

3. Otras formas de trabajar con funciones peri´odicas. La periodicidad permite considerar polinomios trigonomericos como funciones definidas en el grupo cociente R :“

R{p2πZq o en la circunferencia unitaria T, pero en estos apuntes no trabajamos as´ı.

Algunos autores prefieren trabajar con funciones x ÞÑ e2πk i x. Sus combinaciones lineales son 1-peri´odicas y se pueden considerar como funciones definidas en el grupo cociente R{Z.

El n´ ucleo de Dirichlet

4. Definici´on del n´ucleo de Dirichlet como la suma de ciertas funciones b´asicas de Fourier. Para cada n en N0 :“ t0, 1, 2, . . .u, el n´ucleo de Dirichlet Dn es una funci´on R Ñ R definida mediante la siguiente f´ormula:

Dn:“

n

ÿ

k“´n

ϕk, (4)

esto es,

Dnpϑq “

n

ÿ

k“´n

ek i ϑ. (5)

De la forma (4) o (5) es obvio que Dn es un polinomio trigonom´etrico.

Proposici´on 3 (el n´ucleo de Dirichlet como una combinaci´on lineal de cosenos).

Dnpϑq “ 1 ` 2

n

ÿ

k“1

cospkθq. (6)

Demostraci´on.

Dnpϑq “

n

ÿ

k“´n

ek i ϑ

´1

ÿ

k“´n

ek i ϑ`1 `

n

ÿ

k“1

ek i ϑ

“ 1 `

n

ÿ

k“1

pek i ϑ` e´k i ϑ “ 1 ` 2

n

ÿ

k“1

cospkϑq.

El n´ucleo de Dirichlet se puede calcular en forma cerrada (sinř).

Proposici´on 4 (f´ormula cerrada para el n´ucleo de Dirichlet).

Dnpϑq “ sen p2n`1qϑ2

senθ2 . (7)

El n´ucleo de Dirichlet, p´agina 2 de 3

(3)

Del punto de vista elemental, el lado derecho de (7) no est´a definido en los puntos de la forma θ “ 2mπ, m P Z. Sin embargo, en cada uno de estos puntos el lado derecho de (7) tiene l´ımite 2n ` 1 y se puede definir por continuidad. Del punto de vista de an´alisis complejo, Dnes una funci´on anal´ıtica, los m´ultiplos de 2π son sus singularidades evitables, y el valor Dn en estos puntos se define de manera autom´atica.

Demostraci´on. Usar la f´ormula de la suma de la progresi´on geom´etrica.

Proposici´on 5 (propiedades elementales del n´ucleo de Dirichlet). El n´ucleo de Dirichlet es una funci´on 2π-peri´odica:

Dnpϑ ` 2mπq “ Dnpϑq pθ P R, m P Zq. (8) El n´ucleo de Dirichlet es una funci´on par:

Dnp´ϑq “ Dnpϑq pθ P Rq. (9)

El n´ucleo de Dirichlet tiene valor 2n ` 1 en los m´ultiplos enteros de 2π, esto es, en los puntos del conjunto 2πZ:

Dnp2mπq “ 2n ` 1 pm P Zq. (10)

El n´umero 2n ` 1 es el m´aximo valur absoluto de Dn, esto es, el valor absoluto de Dn se acota por 2n ` 1:

|Dnpθq| ď 2n ` 1 pθ P Rq. (11)

Si θ no es un m´ultiplo de 2π, entonces Dnpθq es estrictamente menor que 2n ` 1:

Dnpθq ă 2n ` 1 pθ P Rz2πZq. (12)

Para cada n en N, el per´ıodo positivo m´ınimo de la funci´on Dn es 2π.

Demostraci´on. Para la ´ultima propiedad, notamos que Dn toma el valor 2n ` 1 solamente en los m´ultiplos de 2π.

El n´ucleo de Dirichlet, p´agina 3 de 3

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