Project Scheduling: PERT/CPM. Metodos Cuantitativos M. En C. Eduardo Bustos Farias 1

Project Scheduling: PERT/CPM

Characteristics of a Project

{

A unique, one-time effort

{

Requires the completion of a large number of interrelated activities

{

Resources, such as time and/or money, are limited

{

Typically has its own management

structure

Project Management

{

A project manager is appointed to head the project management team

{

The team members are drawn from various departments and are

temporarily assigned to the project

{

The team is responsible for the

planning, scheduling and controlling

the project to its completion

PERT and CPM

{

PERT: Program Evaluation and Review Technique

{

CPM: Critical Path Method

z Graphically displays project activities

z Estimates how long the project will take

z Indicates most critical activities

z Show where delays will not affect project

Project Schedule

{ Converts action plan into operating timetable

{ Basis for monitoring & controlling project activity

{ More important for projects than for day-to- day operations

z projects lack continuity of on-going functions

z more complex coordination needed

{ One schedule for each major task level in WBS

{ Maintain consistency among schedules

{ Final schedule reflects interdependencies, departments.

Network Model

{

Serves as a framework for:

z planning, scheduling, monitoring, controlling

z interdependencies and task coordination

z when individuals need to be available

z communication among departments and functions needed on the project

{

Identifies critical activities and slack time

{

Reduces interpersonal conflict

PERT / CPM

{ PERT:

z Program Evaluation and Review Technique

z estimates probability of on-time completion

{ CPM:

z Critical Path Method

z deterministic time estimates

z control both time and cost

{ Similar purposes, techniques, notation

{ Both identify critical path and slack time

{ Time vs. performance improvement

PERT / CPM Definitions

{ Activity: task or set of tasks

z uses resources and takes time

{ Event: result of completing an activity:

z has identifiable end state at a point in time

{ Network: combined activities & events in a project

{ Path: series of connected activities

{ Critical: activities, events, or paths which, if delayed, will delay project completion

{ Critical path: sequence of critical activities from start to finish

{ Node / Arrow (Arc) - PERT / CPM notation

The Basics of Using PERT/CPM

The Project Network Model

PERT / CPM Notations

{

EOT:

z earliest occurrence time for event

z time required for longest path leading to event

{

LOT: latest occurrence time for event

{

EST: earliest starting time for activity

{

LST: latest starting time for activity

{

Critical time: shortest time in which the project can be completed

{

Notation: AOA, AON, dummy activities

Slack Time

Gantt Charts

Henry Laurence Gantt (1861-1919)

{

Planned and actual progress

{

for multiple tasks on horizontal time scale

{

easy to read, easy to construct

{

effective monitoring and control of progress

{

requires frequent updating

Components of GANTT Chart

{

Activities - scheduled and actual

{

Precedence relationships

{

Milestones (identifiable points in project)

z usually represents reporting requirements

z usually corresponds to critical events

{

Can add budget information

{

Does not show technical interdependencies

{

Need PERT network to interpret,

control, and compensate for delays

Planning and Scheduling

M A R A P R M A Y J U N J U L A U G S E P O C T N O V D E C

L o c a t e n e w f a c i l i t i e s

I n t e r v i e w s t a f f

H i r e a n d t r a i n s t a f f S e l e c t a n d o r d e r f u r n i t u r e

R e m o d e l a n d i n s t a l l p h o n e s

M o v e i n / s t a r t u p

G a n t t C h a r t

Benefits of CPM/PERT

{

Useful at many stages of project management

{

Mathematically simple

{

Give critical path and slack time

{

Provide project documentation

{

Useful in monitoring costs

Advantages of PERT/CPM

{ useful at several stages of project management

{ straightforward in concept, and not mathematically complex

{ uses graphical displays employing networks to help user perceive relationships among project activities

{ critical path and slack time analyses help pinpoint activities that need to be closely watched

{ networks generated provide valuable project documentation and graphically point out who is responsible for various project activities

{ applicable to a wide variety of projects and industries

{ useful in monitoring not only schedules, but costs as well

Limitations to CPM/PERT

{

Clearly defined, independent and stable activities

{

Specified precedence relationships

{

Subjective time estimates

{

Over emphasis on critical paths

Limitations of PERT/CPM

{ project activities must be clearly defined,

independent, and stable in their relationships

{ precedence relationships must be specified and networked together

{ time activities in PERT are assumed to follow the beta probability distribution -- this may be difficult to verify

{ time estimates tend to be subjective, and are subject to fudging by managers

{ there is inherent danger in too much emphasis being placed on the critical path

EJEMPLO 1

PERT/CPM

The Sharp Company

The Sharp Company fabrica una línea completa de productos para afeitar.

Recientemente, un competidor presentó una nueva rasuradora con hoja doble que en los últimos seis meses ha absorbido una parte significativa de un mercado que la Sharp había tenido durante años.

Los administradores de la Sharp han decidido que deben introducir un producto competidor.

Bill Bowen, vicepresidente de planeación y desarrollo, ha Identificado las tareas que se necesitan para

diseñar, desarrollar y comercializar el nuevo producto y el tiempo esperado que se requiere para llevar a

cabo cada una de ellas (véase la tabla).

The Sharp Company

The Sharp Company

Bowen le pidió a Phil Wright, su gerente asesor, revisar las tareas y entregarle un informe resumido que

señale:

(1) el tiempo total que se requiere desde el principio del proyecto hasta que el producto nuevo se encuentre en las manos del distribuidor,

(2) las fechas específicas de inicio y terminación para cada tarea y

(3) las tareas críticas, es decir, las que deban terminarse a tiempo para que el proyecto se concluya en una

fecha específica.

The Sharp Company

Bowen le señaló a Wright que, aunque los tiempos de terminación son valores esperados (promedio) y son bastante realistas, para darse una idea de la

variabilidad del proyecto completo sería deseable tener alguna idea de los tiempos que se tendrían en los casos más desfavorables y más favorables.

Bowen también señaló que las tareas no

necesariamente estaban listadas en orden secuencial, sino que se habían listado conforme se habían

identificado.

SOLUCIÓN

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

D

C E

F

I J

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

( , , ) ( , , )

( , , )

( , , ) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

Análisis hacia

adelante

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) ( , , )

( , , )

( , , ) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) ( , , )

( , , )

( , , ) D

C E

F

I J

(6,3,9) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) ( , , )

( , , )

( , , ) (6,3,9) (9,4,13)

D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) ( , , )

(13,6,19)

( , , ) (6,3,9) (9,4,13)

( , , ) ( , , ) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

( , , ) (6,3,9) (9,4,13)

( , , ) ( , , ) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

( , , ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) ( , , ) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

( , , ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8) D

C E

F

I J

( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) D

C E

F

I J

( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) D

C E

F

I J

(20,2,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) D

C E

F

I J

(20,2,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B

F H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8) ( , , ) ( , , )

( , , )

( , , ) ^{( ,} _{, )}

( , , )

Análisis hacia atrás

D

C E

I J

(19,1,20) (20,2,22 ) ( , , ) ( , , )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B

F H

G

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8) ( , , ) ( , , )

( , , )

( , , ) ^{( ,} _{, )}

( , , ) D

C E

I J

(19,1,20) (20,2,22 ) ( , , ) (20,0,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B

F H

G (0,6,6) I

(0,2 ,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) ( , , ) ( , , )

(19,0,20) ( , , )

( , , ) ^(13,0,19)

(15,7,19)

D

C E

J

(20,2,22 ) (20,0,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B

F H

G (0,6,6) I

(0,2 ,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) ( , , ) (9,0,13)

(19,0,20) ( , , )

( , , ) ^(13,0,19)

(15,7,19)

D

C E

J

(20,2,22 ) (20,0,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B

F H

G (0,6,6) I

(0,2 ,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (6,0,9) (9,0,13)

(19,0,20) ( , , )

( , , ) ^(13,0,19)

(15,7,19)

D

C E

J

(20,2,22 ) (20,0,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B D

C E

F H

G (0,6,6) I

(0,2 ,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (6,0,9) (9,0,13)

(19,0,20) (7,7

,9

(0,0,6) _(13,0,19)

(15,7,19)

J

(20,2,22 ) (20,0,22 )

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B D

C E

F H

G

I J

(0,6,6) (0,2

,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (6,0,9) (9,0,13)

(19,0,20) (2,7

,9

(0,0,6) _(13,0,19)

(15,7,19)

(20,2,22 ) (20,0,22 )

Ruta crítica

SOLUCIÓN CON WINQSB

The Sharp Company

Modelos de PERT/CPM:

Probabilístico

Existen proyectos con actividades que tienen tiempos

inciertos, es decir, se tienen solo estimaciones de tiempo por lo cual deben ser tratados como variables aleatorias con distribuciones de probabilidad asociadas.

Para incluir los tiempos inciertos de las actividades en el

análisis de la red, es necesario obtener tres estimaciones de tiempo para cada actividad. Las tres estimaciones son:

TIEMPO OPTIMISTA (a) Es el tiempo requerido para la actividad si todo marcha idealmente

TIEMPO MÁS PROBABLE (m) Es el tiempo requerido para la actividad con más probabilidades bajo condiciones

estándar o normales.

TIEMPO PESIMISTA (b) Es el tiempo para la actividad cuando se afrontan demoras considerables.

Las tres anteriores estimaciones de tiempo permiten al administrador de un proyecto desarrollar una mejor

t= a + 4m + b

6

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

{ El tiempo más probable es el tiempo

requerido para completar la actividad bajo condiciones normales.

{ Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la

incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,

disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

{ El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica.

{ De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las

actividades son independientes (realmente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las

varianzas de las actividades en la ruta crítica.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

{ En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo.

{ Todos los cálculos se hacen con la

suposición de que los tiempos de actividad se conocen.

{ A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso.

{ Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.

Con tiempos inciertos en las actividades, puede utilizarse la medida estadística común conocida como varianza para describir la dispersión o variabilidad en los valores de tiempo de

actividades, la cual estará

determinada por la siguiente fórmula:

Como podrá concluirse, en la medida en que existan diferencias grandes entre b y a se tendrá un elevado grado de incertidumbre en el tiempo de actividad.

PERT probabilístico parte de dos suposiciones:

1. Que las actividades son estadísticamente

independientes, lo cual permitirá sumar las varianzas de las actividades para obtener la varianza total del proyecto.

2. Que el tiempo de terminación de un proyecto es una variable normalmente distribuida, lo cual

permite usar la distribución normal en el análisis.

SHARP COMPANY

PERT PROBABILÍSTICO

SHARP COMPANY PROBABILÍSTICO

Tres estimaciones de tiempo (optimista, más probable y pesimista) para las actividades del caso de la Sharp Company

SOLUCIÓN

1

2 3

6 7

4

8 9 10

5 A

B D

C E

F H

G (0,6,6) I

(0,2 ,2)

(13,6,19)

(8,4,1 2 ) (6,3,9) (9,4,13)

(2,3,5) (5,3,8)

(19,1,20) (6,0,9) (9,0,13)

(19,0,20) (2,2

,9

(0,0,6) _(13,0,19)

(15,7,19)

J

(20,2,22 ) (20,0,22 )

{ Recuérdese que la ruta crítica incluía las actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas. Por tanto, la varianza para el proyecto es:

semanas

J I

G E

C

A t t t t t

t

98 . 3

11 . 0 09

. 0 44

. 0 00

. 1 56

. 0 78

. 1

2 2

2 2

2 2

2

=

+ +

+ +

+

=

+ +

+ +

+

= σ σ σ σ σ σ

σ

semanas

2 98

.

2

= 3 =

= σ

σ

{ Puesto que la variación en el tiempo de duración del proyecto sigue una distribución normal, puede

utilizarse lo que se sabe acerca de esta distribución para hacer un planteamiento de probabilidades con respecto a una fecha específica de terminación del proyecto; dada una fecha objetivo específica de

terminación, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa fecha o antes.

{ Como ejemplo, suponga que Bill Bowen,

vicepresidente de la Sharp Company, ha indicado que sería deseable terminar el proyecto antes de 6 meses (26 semanas), y le gustaría conocer la probabilidad de que esto ocurriera.

{ Para determinar este valor de la probabilidad,

primero se convierte el valor de 26 semanas a un valor de Z.

{ Se sabe que el valor de Z está expresado mediante la siguiente función:

μ

x

{ Por tanto, x = 26, μ = 22 (nuestro tiempo esperado de terminación), y σ = 2, el valor de Z es

{ Utilizando Z = 2.0 y una tabla para la distribución normal, se encuentra que a probabilidad asociada (y por ello el porcentaje del área total que se encuentra bajo la curva y a la izquierda de x = 26) es 0.5000 + 0.4772 = 0.9772.

{ Ver tabla en la siguiente diapositiva.

{ La probabilidad de que el proyecto se termine en 26 semanas o menos es 0.9772; por tanto, el señor Bowen puede tener bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse hacia esa fecha.

2 2 22 26 − = Z =

SOLUCIÓN CON WINQSB

Modelos de Pert/CPM: intercambios

de tiempo y costo

{ Hasta este punto nos hemos concentrado la atención en los aspectos del tiempo de

PERT/CPM y en que debe tenerse cuidado de satisfacer una fecha programada de

terminación.

{ No se ha analizado el costo de los recursos asociados con cumplir con una fecha

específica de terminación, o de los costos que estarían relacionados con reducir el tiempo de terminación.

{ Hemos visto como PERT/CPM se concentra en el factor tiempo del desarrollo de un proyecto y ofrece información que puede utilizarse

para programar y controlar actividades y del proyecto en total.

{ No obstante, aunque el tiempo es una

consideración importante, existen muchas situaciones en las que el costo es casi tan importante como el tiempo.

{ A continuación veremos como PERT/costo puede ser utilizado, adicionalmente, para controlar los costos de un proyecto, puesto que su objetivo es ofrecer información que sirva para mantener los costos del proyecto dentro de un presupuesto especificado y para un mejor ejercicio de recursos adicionales.

EJEMPLO 1

Sharp Company

{ Muchas actividades de una red pueden reducirse, pero sólo aumentando los costos.

{ Por ejemplo, en la red de la Sharp Company, es probable que pudieran reducirse lo tiempos de la actividad C,

“ordenar y recibir los materiales para el producto”, y de la actividad D, “ordenar y recibir los materiales para el

empaque” invirtiendo dólares adicionales para acelerar los pedidos y/o estando dispuestos a pagar cantidades extra por entregas más prontas de los materiales.

{ De la misma manera, los tiempos de la actividad de

fabricación E y F, y de los tiempos de las actividades de prueba, G y H, pueden reducirse utilizando equipo y/o

mano de obra adicionales, todo lo cual añade costos extra para la terminación del proyecto.

{ Sin embargo, las actividades no pueden reducirse más allá de cierto punto, sin

importar la cantidad de dinero adicional que se invierta.

{ Por ello, existe un límite mínimo sobre el tiempo total que se requiere para terminar un proyecto; más allá de este punto el costo simplemente se incrementa sin una

reducción adicional en el tiempo de terminación del proyecto.

{ La figura es un representación gráfica de la relación entre el tiempo y el costo en un proyecto

representativo.

{ Cada punto de esta curva de intercambio de tiempo y costo representa un programa factible para el

proyecto.

{ Observe que existe un programa de tiempo mínimo así como también un programa de costo mínimo.

{ Sólo este programa y los que están sobre la curva y entre los dos puntos extremos son programas

factibles.

{ Podría desarrollarse un programa de tiempo y costo para el caso de la Sharp Company; sin embargo,

puesto que es muy alta la probabilidad (recuerde que era de 0.9772) de que se satisfaga la fecha fijada de 26 semanas, es poco probable que los

administradores estuvieran dispuestos a invertir dinero extra para reducir el tiempo de terminación del proyecto.

{ Por ello, consideremos otro ejemplo que puede

usarse para ilustrar la construcción de una curva de tiempo y costo, así como también otros conceptos de intercambio entre tiempo y costos.

{ Suponga que se tiene un proyecto formado por ocho actividades.

Los cálculos de la ruta crítica (anotados en la red) muestran que las actividades A, B, C y D son críticas y que el tiempo esperado de

terminación es 17 días (suponiendo que los tiempos de las actividades se expresen en días).

Reducción de los tiempos de las actividades (tiempos “de urgencia”)

Para determinar qué actividad debe reducirse y en cuánto, es necesario saber:

(1)el costo esperado asociado con cada tiempo esperado de actividad;

(2) el tiempo más breve posible para cada actividad, si se aplica el máximo de recursos, y

(3) el costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible para esa actividad.

Se utiliza la siguiente notación para representar estos factores:

{ tn= tiempo normal (esperado) para la actividad

{ cn= costo asociado con el tiempo normal de la actividad

{ tc= tiempo reducido: al menor tiempo

posible para terminar la actividad (reducción máxima)

{ cc= costo de reducción: el costo asociado con el menor tiempo posible para la

actividad (reducción máxima)

Las relaciones entre tn, cn, tc y cc se muestran en la figura:

Datos normales y de reducción para el ejemplo del proyecto con ocho actividades

Actividad Tiempo

Normal (t_n)

Costo Normal (c_n)

Tiempo de Urgencia (t_c)

Costo de Urgencia (c_c)

A 3 $ 300 2 $ 360

B 4 $ 500 2 $ 900

C 6 $1000 3 $1600

D 4 $ 600 3 $ 650

E 5 $1200 2 $1500

F 3 $ 500 3 $ 500

G 6 $ 800 5 $1050

Para utilizar estos datos con el objeto de determinar qué actividades deben

reducirse y en qué medida, deben calcularse dos factores:

(1) la reducción máxima de tiempo para cada actividad, que se expresa de la siguiente manera:

c n

D t t

t = −

(2) el costo de reducción por unidad de tiempo que se expresa como sigue:

Para ilustrar esto, la actividad C tiene un tiempo normal de 6 días con un costo

asociado de $1000 y un tiempo máximo de reducción de 3 días con un costo asociado de $6000.

D n c

c n

n c

a emergengci normal

normal emergencia

t c c

t t

c c

Tiempo Tiempo

Costo Costo

S = ⁻

−

= −

−

= −

Por tanto, el tiempo máximo de reducción para la actividad es:

tD = tn – tc = 6 – 3 = 3 días.

El costo diario asociado para alcanzar esta reducción es

pordía t

t

c S c

c n

nl

c $200

3 600 3

6

1000

1600 = =

−

= −

−

= −

Máxima reducción y costos de emergencia por unidad de tiempo para el proyecto

Actividad Tiempo Normal (t_n)

Costo Normal

(c_n)

Tiempo de Urgencia (t_c)

Costo de Urgencia

(c_c)

Reducción Máxima de Urgencia

Costo de urgencia Por unidad de tiempo

A 3 $ 300 2 $ 360 1 $ 60

B 4 $ 500 2 $ 900 2 $ 200

C 6 $1000 3 $1600 3 $ 200

D 4 $ 600 3 $ 650 1 $ 50

E 5 $1200 2 $1500 3 $ 100

F 3 $ 500 3 $ 500 0 $ 0

G 6 $ 800 5 $1050 1 $ 250

H 3 $ 900 2 $1200 1 $ 300

c n

D t t

t = −

c n

nl c

t t

c S c

−

= −

{ Una vez que se han obtenido los datos de la tabla anterior, es posible comenzar con el proceso de reducción.

{ El procedimiento que se utiliza consiste n examinar las actividades de la ruta crítica y

elegir la actividad que tenga el menor costo de reducción por unidad y tiempo.

{ Se reduce esa actividad en una unidad de tiempo a la vez y después se revalúa la red para identificar la ruta crítica.

{ Si aparecen rutas críticas paralelas, deben reducirse todas ellas en forma simultánea en etapas de reducción subsecuentes.

{ Puede continuarse este proceso hasta que

todas las actividades de cualquier ruta crítica se hayan reducido en su totalidad.

RUTA CRÍTICA

{ Comenzando con la figura anterior se

observa que las actividades A, B, C y D se encuentran todas sobre la ruta crítica.

{ Dado que la actividad D tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo, $50, se reduce esta actividad en un día.

{ La red que resulta se muestra en la figura siguiente:

{ Las actividades A, B, C y D siguen siendo las actividades críticas en la figura anterior, y la actividad D se ha reducido a su máximo

posible (1 día).

{ Puesto que la actividad A tiene el menor costo de reducción por unidad de tiempo y se encuentra sobre la ruta crítica, ahora se procede a reducir esta actividad.

{ La figura siguiente es la nueva red después de reducir la actividad A en un día.

{ La ruta crítica sigue incluyendo las

actividades A, B, C y D, pero las actividades A y D se han reducido a su máximo, por

tanto, sólo las actividades B y C son elegibles para reducción.

{ Ambas actividades tienen el mismo costo de reducción por unidad de tiempo; sin

embargo, reducir la actividad B reduce la longitud de dos rutas.

{ Por ello, debe reducirse enseguida la actividad B.

{ De la tabla de datos se observa que la máxima reducción para la actividad B es 2 días.

{ Esto indica que el tiempo de la actividad podría reducirse en 2 días en vez de uno solo; pero sólo puede hacerse una reducción de un día.

{ Si se redujeran 2 días en una sola etapa, podría pasarse por alto una ruta crítica paralela, lo cual daría como resultado una red no válida.

{ Por tanto, se reduce la actividad B en un solo día. La red resultante para esta etapa se muestra en la

figura siguiente:

3

Al reducir B en un día, se crean dos rutas críticas: A-B-C-D y A-G-H-D.

Ambas actividades A y D, son comunes a las dos rutas; sin embargo, estas actividades se han reducido a su máximo.

Por tanto, debemos reducir en forma simultánea (en un día9 una actividad en cada una de las rutas.

Puesto que la actividad B todavía puede reducirse en un día antes de llegar a su reducción máxima, es posible utilizar el mismo razonamiento que se empleó en la etapa anterior para elegir esta actividad para la ruta crítica A-B-C-D.

Dado que el costo de reducción por unidad de tiempo para la actividad G es menor que para la actividad H (obsérvese la tabla), debe decidirse reducir la actividad G en la ruta

crítica A-G-H-D.

La red resulta después de reducir estas actividades en forma simultánea se muestra en la figura siguiente:

{ Obsérvese que con cada nueva red el costo se incrementa.

{ En la red inicial, el costo para el programa de 17días era $5800.

{ El programa de 13 días que se muestra en la figura da costos de $6560.

{ En la figura anterior son críticas las mismas dos rutas que lo eran en la figura de 14 días, pero ahora las actividades B y G se han

reducido al máximo.

{ Las únicas actividades restantes que son

elegibles para reducción son las actividades C y H.

{ Reduciendo en forma simultánea estas actividades en un día cada una de ellas y volviendo a calcular las rutas críticas, se obtiene la red que se muestra en la figura siguiente:

{ En este punto, todas las actividades de la red son críticas; por tanto, para hacer una mayor reducción en el tiempo total de

proyecto, debe hacerse una reducción

simultánea en las tres rutas críticas A-B-C- D, A-G-H-D y A-B-E-F.

{ Pero todas las actividades de la ruta A-B-C-D se han reducido al máximo; por lo tanto, la red completa se ha reducido a su máximo.

Resumen del proceso de reducción para el proyecto.

No. Del Programa Del Proyecto

Tiempo de Terminación Del proyecto

(día)

Costos Totales

($)

Última Actividad

reducida

Costos Por Día

Que se ahorra

Actividades De La Ruta Crítica

1 17 $5800 Ninguna - A,B,C,D

2 16 $5850 [D] $ 50 A,B,C,D

3 15 $5910 [A] $ 60 A,B,C,D

4 14 $6110 [B] $200 A,B,C,D

A,G,H,D

5 13 $6560 [B] $200 A,B,C,D

[G] $250 A,G,H,D

{ Si se trazan en una gráfica los datos de “tiempo de terminación del proyecto” y “costos totales” que aparecen en las columnas respectivas de la tabla

anterior, el resultado sería la curva de intercambio de tiempo y costo para el proyecto, y esta curva se

muestra en la figura siguiente.

{ Esta curva presenta un resumen completo de los

programas posibles y señala cuál es el programa más eficiente, así como también las sucesivas reducciones en el tiempo de terminación del proyecto.

{ Esto no quiere decir que el proyecto deba terminarse en 12 días, que es el tiempo mínimo de terminación;

más bien, los administradores deben elegir el programa que satisfaga requerimientos tanto de tiempo como de costo.

Un modelo de PL para la

reducción de los tiempos de

las actividades

Dado el siguiente problema

VARIABLES DE DECISIÓN

xi= tiempo de ocurrencia del evento i, en donde i=1,2,3,4,5,6,7

yk= cantidad de tiempo de reducción para la actividad k, en donde

k=A,B,C,D,E,F,G,H

FUNCIÓN OBJETIVO

{

En el proceso de reducción, el objetivo consiste en minimizar el costo

asociado con la reducción del tiempo total de terminación del proyecto.

{

Esto se expresa en forma de una

función objetivo como la minimización

de la suma de los costos asociados de

reducción.

FUNCIÓN OBJETIVO

MINIMIZAR

Z = 60yA + 200yB + 200yC + 50yD + 100yE + 0yF + 250yG + 300yH

RESTRICCIONES

Existen tres tipos de restricciones asociadas con el modelo:

(1)

las que se utilizan para describir la estructura de la red,

(2)

las que limitan los tiempos de reducción de las actividades y

(3)

las que están asociadas con la

reducción de la fecha de terminación

del proyecto.

{ Para elaborar las restricciones descriptivas, se

escriben las condiciones de tiempos para los eventos (nodos) de la red.

{ Estas condiciones son similares a las que se utilizaron en los procedimientos de revisión hacia atrás y

revisión hacia delante, del proceso de la ruta crítica y se estructuran reconociendo que las siguientes

relaciones deben cumplirse:

(1) el tiempo de ocurrencia de un evento (nodo) debe ser mayor o igual que el tiempo de terminación para todas las restricciones,

(2) el tiempo de iniciación para una actividad es igual al tiempo en el que ocurre el evento (nodo) precedente, y

(3) el tiempo real para una actividad es igual al tiempo normal (esperado) para la actividad, menos la

magnitud del tiempo reducido.

{

Haciendo referencia a la figura e igualando el tiempo del

evento 1 a cero (x1 = 0),

pueden escribirse restricciones

descriptivas para cada uno de

los eventos.

El formato para desarrollar estas restricciones se expresa utilizando la siguiente relación:

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

≤

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

final evento

el para

ocurrencia de

Tiempo

actividad la

de urgencia

de Tiempo actividad

la de esperado

normal Tiempo

inicial

evento del

ocurrencia de

tiempo decir

es actividad

la para

inicial Tiempo

) (

,

,

Entonces, las restricciones reales de los eventos son las siguientes:

3

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

≤

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

final evento

el para ocurrencia de Tiempo

actividad la

de urgencia

de Tiempo actividad

la de esperado

normal Tiempo

inicial evento del

ocurrencia de

tiempo decir

es actividad

la para

inicial Tiempo

) (

, ,