1. DISTRIBUCION BINOMIAL

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ACTIVIDAD ACADEMICA: ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD N° 5: DISTRIBUCION NORMAL

1. DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos

Una distribución binomial se caracteriza por

a. El experimento aleatorio consta de n ensayos idénticos

b. Los resultados del experimento aleatorio se clasifican en uno de dos resultados mutuamente excluyentes clasificados como éxito o fracaso.

c. La probabilidad de éxito de un solo ensayo es igual a p y permanece constante de uno u otro ensayo. La probabilidad de fracaso es q = 1 – p

d. Las pruebas son independientes

e. Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas 1.1 FUNCION DE PROBABILIDAD

Para resolver una probabilidad con la distribución binomial se aplica la siguiente fórmula

P( x)= n!

x!(n−x)! p

^x

q

^n−x

, x= 0, 1,2,3,…,n

Para el manejo de la distribución binomial es necesario determinar los valores de n y p. En forma abreviada se dice que x tiene una distribución binomial con parámetros n y p y se representa como: x~b(n, p)

Ejemplo: Por experiencia un vendedor de seguros de vida sabe que la probabilidad que efectúe una venta en la primera visita es de 0,2. Suponga que el vendedor visita a cuatro posibles compradores. Cuál es la probabilidad que:

a. ¿Exactamente dos compren el producto?

b. Al menos dos compren el producto c. Todos compren el producto

Solución Se define la variable aleatoria.

x: El número de personas que si compran el producto entre los cuatro posibles compradores visitados Entonces x tiene distribución binomial con parámetros n=4, p=0,2, es decir, X

~ b(4, 0.2)

Donde:

a.

P( x)= n!

x! ( n−x ) ! p

^x

q

^n−x

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

(2)

P(2)= 24

2×2 ( 0.04 )(0.64)=0.153

b. P(x≥2) = P(2)+P(3) + P(4) o b también P(x≥2) = 1- P(0) – P(1) por complemento

P( x≥2)=1− 4!

0!(4−0)! ( 0.2) ⁰ (0.8) ⁴ − 4 !

1!(4−1)! ( 0.2) ¹ (0.8) ³ =1−0.4096−0.4096=0,18

c.

P(4)= 4 !

0!(4−0)! ( 0.2) ⁴ ( 0.8) ⁰ = 0,0016

2. La probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20. Si un representante de ventas visita a 6 prospectos calcule:

a. La probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas

Solución Se tiene n= 6, X=4, p=0,20 q= 1-0,20=0,8 a. Por definición

P ( X )= ( ⁿ x ) ^p

^x

^⋅ ^q

^n−x

Reemplazando valores

P(x=4)= ( ⁶ 2 ) ⁽ ^0,2)

⁴

^⋅( ^0,8)

⁶⁻⁴

⁼ 2!.4! ^{6 !} ( 0,0016)(0,64)≈0,015

b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas se determina de la siguiente manera:

P(x≥4)= P(X=4)+ P(X=5) +P(X=6) P ( X≥4 )= 6!

4 !.2! ( 0,2)

⁴

⋅( 0,8)

²

+ 6!

5!.1! ( 0,2)

⁵

⋅( 0,8)

¹

+ 6!

6!. 0! ( 0,2)

⁶

⋅( 0,8)

⁰

P( X≥4 )≃0,017

3. Si la probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20 Calcule la probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es

Solución

Puesto que el uso de la fórmula binomial implica un gran número de operaciones aritméticas cuando la muestra es relativamente grande, suelen emplearse tablas de probabilidades binomiales (véase apéndice)

La probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es P(X<3)= P(X==) + (P(X=1) + P(X=2) siguiendo la tabla

P(X<3)=0,0352 + 0,1319 + 0,2309 P(X<3)=0,3980

3. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada diez resulta defectuoso. Cual es la probabilidad que en una muestra aleatoria de 4 artículos contenga:

a. Ninguno defectuoso P(2) = ^4!

2! ( ₄₋₂ ) _! ( 0.2) ² (0. 8) ⁴⁻²

(3)

c. Exactamente dos defectuosos d. no más de dos defectuosos

Solución Se tiene n=4 p= 1/10 = 0,1 q= 1-0,10 = 0,90 Por definición

P ( X )= ( ⁿ x ) ^p

^x

^⋅ ^q

^n−x

en cada caso a. Ninguno defectuoso

P( X=0)= ( ⁴ 0 ) ⁽ ^0,1)

⁰

^⋅( ^0,9)

⁴⁻⁰

⁼ 0!. 4!. ^{4 !} ( 0,1)

⁰

⋅( 0,9)

⁴

= 1(1)(0,6551)=0,6561=65,61%

b. Exactamente uno defectuoso

P ( X=1)= ( ⁴ 1 ) ⁽ ^0,1)

¹

^⋅(0,9)

⁴⁻¹

⁼ 1!.3! ^4! (0,1)

¹

⋅(0,9)

³

= 4(0,1)(0,729)=0,2916=29,16%

c. Exactamente dos defectuosos

P( X=2)= ( ⁴ 2 ) ⁽ ^0,1)

²

^⋅(0,9)

⁴⁻²

⁼ 2!.2! ^{4 !} ( 0,1)

²

⋅( 0,9)

²

= 6(0,01)(0,81)=0,0486=4 ,86%

d. No más de dos defectuosos P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P ( X≤2)= 4 !

0 !.4 !. ( 0,1)

⁰

⋅( 0,9)

⁴

+ 4 !

1!.3 ! ( 0,1)

¹

⋅( 0,9)

³

+ 4!

2!.2! ( 0,1)

²

⋅(0,9)

²

P( X≤2)=0 ,6561+0,2916+0 ,0486 P( X≤2)=0 ,9963=99,63%

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 4 artículos contenga:

a. Ninguno defectuoso

b. Exactamente uno defectuoso c. Exactamente dos defectuosos d. No más de dos defectuosos

2. En una fábrica el 20% de los artículos que produce una máquina resultan defectuosos. Si 10 artículos son elegidos al azar, de todos los productos en el día por dicha máquina. Calcular la probabilidad de que haya:

a. Exactamente dos defectuosos b. 3 o más defectuosos

c. Más de 5 defectuosos d. Ninguno defectuoso

3. Los registros hospitalarios indican que el 10% de los casos de cierta enfermedad resultan fatales. Si hay 5 pacientes que sufren de la enfermedad, encontrar la probabilidad de que.

a. Todos sanen

b. Por lo menos 3 mueran

c. Exactamente 3 mueran

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ANEXO

(5)

1. DISTRIBUCION BINOMIAL

1. DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos

Una distribución binomial se caracteriza por

a. El experimento aleatorio consta de n ensayos idénticos

b. Los resultados del experimento aleatorio se clasifican en uno de dos resultados mutuamente excluyentes clasificados como éxito o fracaso.

c. La probabilidad de éxito de un solo ensayo es igual a p y permanece constante de uno u otro ensayo. La probabilidad de fracaso es q = 1 – p

d. Las pruebas son independientes

e. Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas 1.1 FUNCION DE PROBABILIDAD

Para resolver una probabilidad con la distribución binomial se aplica la siguiente fórmula

P( x)= n!

x!(n−x)! p

q

, x= 0, 1,2,3,…,n

Para el manejo de la distribución binomial es necesario determinar los valores de n y p. En forma abreviada se dice que x tiene una distribución binomial con parámetros n y p y se representa como: x~b(n, p)

Ejemplo: Por experiencia un vendedor de seguros de vida sabe que la probabilidad que efectúe una venta en la primera visita es de 0,2. Suponga que el vendedor visita a cuatro posibles compradores. Cuál es la probabilidad que:

a. ¿Exactamente dos compren el producto?

b. Al menos dos compren el producto c. Todos compren el producto

Solución Se define la variable aleatoria.

x: El número de personas que si compran el producto entre los cuatro posibles compradores visitados Entonces x tiene distribución binomial con parámetros n=4, p=0,2, es decir, X

Donde:

a.

P( x)= n!

x! ( n−x ) ! p

q

P(2)= 24

2×2 ( 0.04 )(0.64)=0.153

b. P(x≥2) = P(2)+P(3) + P(4) o b también P(x≥2) = 1- P(0) – P(1) por complemento

P( x≥2)=1− 4!

0!(4−0)! ( 0.2) 0 (0.8) 4 − 4 !

1!(4−1)! ( 0.2) 1 (0.8) 3 =1−0.4096−0.4096=0,18

c.

P(4)= 4 !

0!(4−0)! ( 0.2) 4 ( 0.8) 0 = 0,0016

2. La probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20. Si un representante de ventas visita a 6 prospectos calcule:

a. La probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas

Solución Se tiene n= 6, X=4, p=0,20 q= 1-0,20=0,8 a. Por definición

P ( X )= ( n x ) p

⋅ q

Reemplazando valores

P(x=4)= ( 6 2 ) ( 0,2)

⋅( 0,8)

= 2!.4! 6 ! ( 0,0016)(0,64)≈0,015

b. La probabilidad de que el vendedor realice cuatro o más ventas se determina de la siguiente manera:

P(x≥4)= P(X=4)+ P(X=5) +P(X=6) P ( X≥4 )= 6!

4 !.2! ( 0,2)

⋅( 0,8)

+ 6!

5!.1! ( 0,2)

⋅( 0,8)

+ 6!

6!. 0! ( 0,2)

⋅( 0,8)

P( X≥4 )≃0,017

3. Si la probabilidad de que un prospecto de ventas aleatoriamente elegido realice una compra es de 0,20 Calcule la probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es

Solución

Puesto que el uso de la fórmula binomial implica un gran número de operaciones aritméticas cuando la muestra es relativamente grande, suelen emplearse tablas de probabilidades binomiales (véase apéndice)

La probabilidad de que un vendedor que visita 15 prospectos realice menos de tres ventas es P(X<3)= P(X==) + (P(X=1) + P(X=2) siguiendo la tabla

P(X<3)=0,0352 + 0,1319 + 0,2309 P(X<3)=0,3980

3. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada diez resulta defectuoso. Cual es la probabilidad que en una muestra aleatoria de 4 artículos contenga:

a. Ninguno defectuoso P(2) = 4!

2! ( 4−2 ) ! ( 0.2) 2 (0. 8) 4−2

c. Exactamente dos defectuosos d. no más de dos defectuosos

Solución Se tiene n=4 p= 1/10 = 0,1 q= 1-0,10 = 0,90 Por definición

P ( X )= ( n x ) p

⋅ q

en cada caso a. Ninguno defectuoso

P( X=0)= ( 4 0 ) ( 0,1)

⋅( 0,9)

= 0!. 4!. 4 ! ( 0,1)

⋅( 0,9)

= 1(1)(0,6551)=0,6561=65,61%

b. Exactamente uno defectuoso

P ( X=1)= ( 4 1 ) ( 0,1)

⋅(0,9)

= 1!.3! 4! (0,1)

⋅(0,9)

= 4(0,1)(0,729)=0,2916=29,16%

c. Exactamente dos defectuosos

P( X=2)= ( 4 2 ) ( 0,1)

0!(4−0)! ( 0.2) ⁰ (0.8) ⁴ − 4 !

1!(4−1)! ( 0.2) ¹ (0.8) ³ =1−0.4096−0.4096=0,18

0!(4−0)! ( 0.2) ⁴ ( 0.8) ⁰ = 0,0016

P ( X )= ( ⁿ x ) ^p

^⋅ ^q

P(x=4)= ( ⁶ 2 ) ⁽ ^0,2)

^⋅( ^0,8)

⁼ 2!.4! ^{6 !} ( 0,0016)(0,64)≈0,015

a. Ninguno defectuoso P(2) = ^4!

2! ( ₄₋₂ ) _! ( 0.2) ² (0. 8) ⁴⁻²

P ( X )= ( ⁿ x ) ^p

^⋅ ^q

P( X=0)= ( ⁴ 0 ) ⁽ ^0,1)

^⋅( ^0,9)

⁼ 0!. 4!. ^{4 !} ( 0,1)

P ( X=1)= ( ⁴ 1 ) ⁽ ^0,1)

^⋅(0,9)

⁼ 1!.3! ^4! (0,1)

P( X=2)= ( ⁴ 2 ) ⁽ ^0,1)

^⋅(0,9)

⁼ 2!.2! ^{4 !} ( 0,1)