1
SEGUNDO EXAMEN DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
(LISTA DE EJERCICIOS 1)
II. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Sección I. Resuelva los ejercicios siguientes.
1. El administrados de una empresa ha notado que la cantidad de inasistencias mensuales promedio de los trabajadores es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
0 1 2 3
( ) 0.2 0.4 0.3 0.1
Sea : cantidad promedio de faltas de los trabajadores de la empresa.
Si a la empresa le cuesta pesos cada vez que un trabajador falta, encuentre la distribución de probabilidad para el costo.
2. Supóngase que se lanza un dado dos veces y se define a la variable aleatoria : diferencia entre el resultado del
primer lanzamiento del dado menos el resultado del segundo lanzamiento. Encuentre la función de distribución
acumulada para y grafique dicha función.
3. Dado un experimento aleatorio resultó que su función de distribución acumulada estaba dada por:
( ) {
2
Sección II. Resuelva los ejercicios siguientes.
1. Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad: ( ) ( ) ( ) y cero en otro caso. Si
, calcule ( ).
2. Sea una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda.
a) Determine el valor de para que la función siguiente sea una función de probabilidad de . ( ) { ( )
b) Calcule ( ).
3. Determine el valor de de manera que la siguiente función sea una distribución de probabilidad de la variable aleatoria .
( ) { ( ) * +
4. Si ( ) es una función con ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y cero en todos los demás puntos.
a) Determine el valor de , para que ( ) sea una función de probabilidad. b) Encuentre la función de distribución acumulada y su gráfica.
c) Calcule ( ) y ( ). d) Calcule . √ √ /.
5. Una urna contiene cinco bolas rojas y siete verdes, de las cuales se saca una bola; si un jugador gana 3 pesos por bola roja y 1 peso por bola verde, ¿cuánto debería de pagar el participante por el derecho a jugar para que el juego sea justo? Es decir, después de jugar varias veces el participante no pierda ni gane.
3
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA Sección I. Resuelva los ejercicios siguientes.
1. Una persona se encuentra en el inicio de un laberinto que tiene cinco caminos iniciales posibles numerados del 21 al 25; si la persona no conoce el camino correcto y elige uno de estos al azar. Calcule la probabilidad de que elija el camino correcto, si se sabe que el camino que eligió tenía un número mayor a 22. Suponga que el camino correcto es el numerado con 25.
2. Un dado en forma de tetraedro regular tiene en sus lados alguno de los números * + sin repetición y se lanza el dado para formar números de dos cifras. Por otro lado, sea la variable aleatoria discreta
Si no se permite la repetición de cifras.
a) Encuentre el espacio muestral del experimento. b) Encuentre el rango de la variable aleatoria .
c) Justifique el hecho de que mientras el dado no esté cargado en un lado, entonces la variable aleatoria discreta estará distribuida uniformemente.
d) Calcule ( ).
e) ¿Se cumplirá el inciso c), cuando se permita la repetición de cifras?
3. Demuestre que si es una v.a.d. con distribución uniforme y * +, entonces: a) ( ) ∑
)-4
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sección I. Resuelva los ejercicios siguientes.
1. Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compañías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Suponga que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos 10% de las veces.
a) Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte a lo más dos errores en las próximas 15 auditorías. b) Si el auditor realiza 50 auditorías, ¿cuál es la cantidad esperada de auditorías con asientos erróneos? 2. Si, en general, 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias físicas o mentales.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (de padres alcohólicos) resulten por lo menos dos casos de nacimientos de niños con deficiencias físicas o mentales?
b) De los siguientes 20 nacimientos (de padres alcohólicos), ¿cuántos se espera que no tengan deficiencias físicas o mentales?
3. Un estudiante del IPN que no se preparó nada para un examen de conocimientos generales, ve que este contiene 20 preguntas de verdadero y falso. Así que decide lanzar al aire una moneda para responder a cada pregunta. Anota verdadero si la moneda cae sol y falso si cae águila.
a) ¿Qué probabilidad hay de que pase el examen si para hacerlo debe contestar cuando menos el 70% de las preguntas correctamente?
b) ¿Qué probabilidad hay de que conteste a lo más la mitad de las preguntas correctamente?
4. Demuestre que si es una v.a.d. con distribución binomial, que consta de ensayos, con probabilidad de éxito y probabilidad de fracaso , entonces:
a) ( ) b) ( )
5
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Sección I. Resuelva los ejercicios siguientes.
1. Un inspector de la Secretaría de Economía encontró que en seis de 10 tiendas que visita se presentan irregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera tienda con irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta tienda?
b) ¿Cuántas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con irregularidades?
2. En un lote grande de artículos hay 3% defectuosos. Si se selecciona al azar un artículo uno tras otro hasta encontrar un defectuoso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que deban inspeccionar más de cinco artículos?
b) ¿Cuál es la probabilidad que se tengan que revisar entre 10 y 20 artículos inclusive para encontrar el primero defectuoso?
3. Se estima que 70% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ¿Cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores
a) sea necesario entrevistar exactamente cuatro personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A?
b) se tenga que entrevistar a lo más seis personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A?
4. Tres personas tiran monedas al aire y la dispareja paga el café. Si los tres resultados son iguales las monedas se tiran nuevamente.
a) Encuentre la probabilidad de que se necesiten más de cuatro intentos para tener un perdedor que pagué el café.
b) ¿En qué intento se espera tener al perdedor?
5. Demuestre que si es una v.a.d. con distribución geométrica, con probabilidad de éxito y probabilidad de fracaso , entonces:
a) ( ) b) ( )
6
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Sección I. resuelva los ejercicios siguientes.
1. Una maquina despachadora de refrescos surte un poco más de 20 ml por vaso derramándose el líquido en 10% de los vasos despachados. Se puede definir a la variable aleatoria:
Considere que la forma de despachar el líquido por la maquina es independiente de vaso en vaso. a) Calcule la probabilidad de que el tercer vaso que se derrame sea el vigésimo octavo despachado. b) ¿Qué vaso despachado se espera sea el tercero en el que se derrame el líquido?
2. Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es de 0.20.
a) ¿Cuál es la probabilidad que el segundo pozo productivo se encuentre hasta el décimo pozo perforado? b) ¿Cuántos pozos se espera perforar hasta obtener el cuarto pozo productivo?
3. Se sabe que una moneda está cargada de modo que la probabilidad de que salga “águila” es cuatro veces la probabilidad de que salga “sol”. Si la moneda se lanza varias veces:
a) Calcule la probabilidad de que necesite menos de cinco lanzamientos para obtener la segunda águila. b) ¿Cuántos lanzamientos se espera realizar para obtener el cuarto sol?
7
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Sección I. Realizar los ejercicios siguientes.
1. La administración de la empresa Partec, S.A., estableció la siguiente regla de control de calidad sobre sus líneas de producción para determinar cuándo debe para una línea y llevar a cabo una inspección. De cada lote de tamaño 100 toma una muestra aleatoria de 20 artículos y decide parar la línea de producción, si encuentra al menos dos artículos defectuosos. Suponga que en un lote se encuentran cinco artículos defectuosos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de parar la línea de producción?
b) ¿Cuántos artículos defectuosos se espera que estén en la muestra?
2. En un lote de 10 proyectiles se disparan cuatro al azar, si el lote contiene cinco proyectiles que no disparan. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro proyectiles disparen?
b) ¿Cuántos de los cuatro proyectiles se espera que disparen?
3. Se escogen al azar sin reemplazo ocho objetos de un lote con 15 buenos y seis defectuosos.
a) Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente dos defectuosos entre los ocho objetos seleccionados.
b) ¿Cuántos de los ocho objetos se espera que no estén defectuosos?
4. En un lote de 1000 balas entre las que existen 150 defectuosas por el tiempo (no quemarán la pólvora al apretar el gatillo) se eligen 25 al azar para realizar prácticas de tiro. Calcule la probabilidad de que a lo más cuatro de las 25 balas no disparen en la práctica.
5. Una compañía quiere evaluar sus procedimientos de inspección en embarques de 4000 tornillos. Se sabe, por registros históricos que se tienen, que este tipo de embarques tienen un 20% de tornillos defectuosos. El procedimiento consiste en tomar una muestra de 29 tornillos y aceptar el embarque si no se encuentran más de cinco defectuosos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque?
b) ¿Cuántos de los 29 tornillos se espera que sean defectuosos?
6. Demostrar que si es una v.a.d. con distribución hipergeométrica, con éxitos en una población (lote) de tamaño en el cuál se elige una muestra sin reemplazo de tamaño , entonces:
a) ( ) . /
b) ( ) . / . / .
/
Nota: Demuestre los incisos anteriores considerando que * + y que * + , es decir, .
8
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Sección I. Resolver los ejercicios siguientes.
1. Una secretaria comete en promedio dos errores al escribir una página. Los errores cometidos son independientes y siguen un proceso de Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que cometa uno o más errores en la siguiente página que escriba? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cometa 10 a más errores en las siguientes seis páginas que escriba?
2. Si el número de coches que llegan a un estacionamiento es de ocho por hora en promedio, ¿cuál es la probabilidad de que en un periodo de 10 minutos lleguen al estacionamiento:
a) entre tres y seis (inclusive) automóviles? b) más de dos automóviles?
3. Con objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie, considerando al lente defectuoso, si tres o más de tales manchas, asperezas u otro tipo de defectos aparecen en él. Si la tasa media es de dos defectos por .
a) Calcule la probabilidad de que un lente de 1 se le catalogue como bueno.
b) Calcule la probabilidad de que un lente redondo con un diámetro de 1 se le catalogue como bueno. 4. Según las estadísticas de la Ciudad de México, en la colonia Doctores se comenten en promedio 10 asaltos a
automovilistas al día de manera independiente.
a) Calcule la probabilidad de que un día determinado se cometan más de 10 asaltos a automovilistas.
b) Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 y las 12 horas del día de mañana, no se cometan asaltos a automovilistas
5. Una compañía de seguros se dedica a asegurar cosechas de maíz, frijol y arroz. En promedio al año se pierden 17 de cada 500 cosechas aseguradas. Si la compañía decide asegurar 1000 cosechas, ¿cuál es la probabilidad de que se pierdan 25 cosechas?
6. La probabilidad de vender un seguro de vida a personas que contesten un anuncio especial se estima que es de 0.01. Sobre esta base, si 1000 personas contestan el anuncio, ¿cuál es la probabilidad que:
a) nadie compre un seguro?
b) por lo menos una compre un seguro? c) más de diez compren un seguro?
7. Demuestre que si es una v.a.d. con distribución de Poisson con parámetro , entonces: a) ( ) .
